1

KINEMATIKA

GERAK DALAM SATU DIMENSI

PENDAHULUAN

Kinematika adalah bagian dari mekanika yang membahas tentang gerak tanpa

memperhatikan penyebab benda itu bergerak. Artinya pembahasannya tidak meninjau

atau tidak menghubungkan gaya-gaya yang berkaitan dengan sifat-sifat benda yang

bergerak itu.

Dalam pembahasan gerak ini diasumsikan benda yang bergerak adalah partikel, sebab

secara matematis sebuah partikel diperlakukan sebagai titik, yaitu benda tanpa ukuran,

sehingga rotasi dan vibrasi tidak perlu diperhitungkan.

1. Kecapatan rata-rata

Misalnya sebuah partikel pada saat t1 berada di titik A dengan vektor posisi 1rρ (Gb 1).

Pada saat t2 berada di B dengan vektor posisi 2rρ

. Vektor pergeseran (perpindahan) yang

menunjukkan perubahan posisi partikel dari A ke B adalah 12 rrrρρρ

−=∆ dan selang

waktunya adalah 12 ttt −=∆ . Kecepatan rata-rata dalam selang waktu itu didefinisikan

sebagai ;

uselangwakt

pergeseran

t

rv =

∆

∆=

ρ (1)

A

12 rrrρρρ

−=∆

1rρ B

2rρ

O

Gambar 1. Pergeseran partikel dari titik A ke titik B

Berdasarkan persamaan (1) dapat dinyatakan bahwa kecepatan rata-rata hanya

menyangkut pergeseran total dan selang waktu total. Contoh, misalkan seseorang naik

mobil dari rumah keliling kota, kemudian setelah selang waktu ∆t (missal dua jam) ia

kembali ke rumahnya, maka kecepatan rata-rata mobil tersebut selama ∆t adalah nol.

Kecepatan rata-rata adalah laju (rate) perubahan posisi terhadap waktu

2

Jika kecepatan rata-rata yang diukur antara dua titik sembarang pada lintasan sama (baik

arah maupun besarnya) maka dapat dikatakan bahwa partikel tersebut bergerak dengan

kecepatan konstan

2. KECEPATAN SESAAT (INSTANTENEOUS VELOCITY)

Jika sebuah partikel bergerak sedemikian rupa sehingga kecepatan rata-ratanya yang

diukur dalam berbagai selang waktu yang berbeda, ternyata tidak konstan, maka partikel

tersebut bergerak dengan kecepatan yang berubah-ubah. Oleh karena itu kecepatan pada

setiap saat sembarang disebut kecepatan sesaat) harus dapat diukur

Misalkan sebuah partikel berberak dari titik A pada saat t1 dan sampai dititik B pada saat

t2 , maka kecepatan rata-ratanya seperti ditunjukan oleh persamaan (1). Jika ∆t semakin

kecil maka pergeserannya ∆r juga semakin pendek dan arahnya pun berbeda (gambar 2)

A B’

B

O

Gambar 2. Gerak partikel dengan kecepatan rata-rata dalam berbagai selang wakt

berbeda

Semakin dekat titik B dengan titik A, maka perbandingan pergeseran dengan selang

waktu mendekati suatu harga limit tertentu, arah vector pegerserannya pun mendekati

sutau arah limit tertentu yaitu garis singgung lintasan partikel. Harga limit ∆r/∆t disebut

kecepatan sesaat di titik A.

Jika rρ

∆ adalah pergeseran dalam selang waktu ∆t setelah saat t, maka kecepatan pada

saat t adalah harga limit yang didekati oleh tr ∆∆ / jika rρ

∆ dan ∆t keduanya menuju nol.

Oleh karena itu kecepatan sesaat dituliskan ;

t

ritv

t ∆

∆=

→∆

ρρ

0lim (2)

Persamaan (2) dapat dinyatakan dalam bentuk derivative sebagai berikut

dt

rd

t

ritv

t

ρρρ

=∆

∆=

→∆ 0lim (3)

3

Besarnya kecepatan sesaat disebut laju, dan dinyatakan sebagai berikut

dt

rdvv

ρρ

== (4)

3. Gerak satu dimensi dengan kecepatan berubah

Misalkan sebuah partikel bergerak dalam bidang X-Y. Pada saat t posisinya dinyatakan

dengan r, maka dapat dituliskan

jyixr ˆˆ +=ρ

Kecepatan partikel itu dapat dinyatakan sebagai berikut;

jdt

dyi

dt

dx

dt

rdv ˆˆ +==

ρρ

(5) atau dapat dituliskan

jvivv yxˆˆ +=

ρ (gerak dua dimensi) (6)

Persamaan (5) menunjukan persamaan kecepatan untuk gerak dua dimensi yang memilki

komponen kecepatan arah sumbu X dan kecepatan arah sumbu Y, sehingga jika yang

ditinjau adalah gerak arah sumbu X saja yang berarti kecepatan arah sumbu Y = 0.

Sedangkan kecepatan arah sumbu X adalah

ivv xˆ=

ρ (gerak satu dimensi) (7)

Kecepatan partikel (6) mengarah pada sumbu X saja sehingga merupakan gerak partikel

dalam satu dimensi. vx adalah komponen skalar pada sumbu X dan i vector satuan. Oleh

karena itu berdasarkan (5) dan (7) dapat dinyatakan bahwa ;

dt

dxvx = (8)

4. Percepatan a. Percepatan rata-rata

Miosalkan sebuah partikel bergerak pada suatu lintasan tertentu. Pada saat 1t berada di

titik A dengan kecepatan sesaat 1vρ

dan pada saat 2t berada di titik B dengan kecepatan

sesaat 2vρ

, maka percepatan rata- rata didefinisikan sebagai perubahan kecepatan dibagi

selang waktunya, yaitu;

t

v

tt

vva

∆

∆=

−

−=

ρρρ

12

12 (9)

4

Y

1vρ

B t2 2vρ

2vρ

A t1 - 1vρ

12 vvvρρρ

∆−∆=∆

X

Gambar 3. Perubahan vector kecepatan vρ

∆ yang dialami oleh partikel ketika berpindah

dari titik A ke titik B

Persamaan (9) menunjukan bahwa percepatan rata-rata hanya tergantung dari kecepatan

akhir dan kecepatan awal saja.

b. Percepatan sesaat

Jika percepatan rata-rata yang diukur dalam berbagai selang waktu ternyata tidak

konstan, maka dikatakan bahwa partikel mengalami percepatan yang berubah. Percepatan

dapat berubah besarnya, arahnya atau kedua-duanya. Oleh karena itu perlu diketahui

percepatan partikel pada semabarang waktu atau disebut percepatan sesaat. Percepatan

sesaat didefinisikan sebagai berikut:

dt

vd

t

vita

t

ρρρ

=∆

∆=

→∆ 0lim (10)

Arah percepatan sesaat adalah arah limit perubahan vector kecepatan vρ

∆ . Sedangkan

besarnya percepatansesaat adalah

dt

vdaa

ρρ== (11)

Jika percepatannya konstan, maka percepatan sesaat akan sama dengan percepatan rata-

rata.

5. Gerak satu dimensi – Percepatan Berubah

Berdasarkan persamaan (6) dan (10), maka dapat dintuliskan bahwa;

dt

dvj

dt

dvi

dt

vda

yx ˆˆ +==ρ

ρ (12)

5

atau dapat dituliskan,

yx ajaia ˆˆ +=ρ

(gerak dua dimensi) (13)

Dari (12) dan (13) dapat dinyatakan bahwa : dt

dva x

x = dan dt

dva

y

y = merupakan

komponen scalar dari vektor percepatan aρ.

Untuk gerak satu dimensi (misal dalam arah sumbu X), maka ay = 0, sebab vy konstan,

sehingga percepatannya adalah

xaia ˆ=ρ

(gerak satu dimensi) (14)

6. Gerak satu dimensi – Percepatan konstan

Misalkan suatu partikel bergerak satu dimensi (arah sumbu X) dengan percepatan

konstan. Dalam percepatan tetap, maka percepatan rata-rata dalam sembarang selang

waktu sama dengan percepatan sesaat ax. Misalkan pada saat t1 = 0 besar kecepatan

partikel vx0 , dan pada saat t2 = t adalah vx, sehingga berdasarkan persamaan (10) dapat

dituliskan;

dt

dvax = (15)

Karean ax konstan , maka dapat dinyatakan

∫ ∫ ∫==

=x

xo

v

v

t t

xx dtadtadv

adtdv

0 0

tavv xxox += (16)

Grafik dari persamaan (12) adalah sebagai berikut

vx

axt

Kemiringan = ax vx vxo

0 t

Gambar 4. Grafik kecepatan terhadap waktu untuk percepatan konstan

6

Jika posisi partikel pada saat t = 0 adalah x0, maka posisi partikel pada saat t

adalah x dapat dituliskan dengan persamaan sebagai berikut;

Berdasarkan persamaan (8) dan (16) diperoleh

∫

∫

++=

+=−

+=

+=

=

=

x

x

xxoo

xxoo

t

xxo

xxo

x

x

o

tatvxx

tatvxx

dttavdx

dttavdx

dtvdx

ataudt

dxv

2

2

0

2

1

2

1

)(

)(

,

(17)

x

2

2

1atxx o +=

t

0

Gambar 5. Grafik pergeseran terhadap waktu

Berdasarkan persamaan (16) dapat ditentukan t yaitu

x

xox

a

vvt

−= (18)

Jika persamaan (18) disubstitusikan ke (17) maka diperoleh hasil sebagai berikut;

)(2 0

22 xxavv xxox −+= (19)

7

Persamaan (16), (17) dan (19) adalah persamaan gerak lurus (satu dimensi) dengan

percepatan konstan.

Contoh. 1.

Misalkan partikel bergerak dengan percepatan konstan 5 m/s2 . Laju awal partikel adalah

10 m/s. Tentukan laju partikel setelah selang waktu 10 s.

Penyelesaian:

Diketahui : a = 5 m/s2, vxo = 10 m/s, dan t = 10 s

Ditanyakan : vx

Jawab :

Menurut persamaan (16)

tavv xxox +=

vx = 10 m/s + 5 m/s2. 10 s

= 10 m/s + 50 m/s

= 60 m/s

Contoh 2.

Sebuah partikel bergerak dengan dengan kecepatan mula-mula 10 m/s. Setelah bergerak

selama 20 s kecepatannya meningkat scara teratur menjadi 40 m/s. Tentukanlah

percepatan geraknya, dan jarak yang ditempuh selama waktu itu?.

Penyelesaian:

Diketahui : vxo = 10 m/s, vx = 40 m/s, t = 20 s

Ditanyakan : a, dan x

Jawab:

Berdasarkan persamaan (16) dapat dituliskan;

smt

vva xox /5,1

20

30

20

1040==

−=

−=

Dengan persamaan (17), dengan xo = 0, maka

mssmssmattvx xo 50030020020./5,1.2

120/10

2

1 2222 =+=+=+=

PERHATIAN

SISTEM SATUAN YANG DIGUNAKAN DALAM

PERHITUNGAN GERAK LURUS INI MENGGUNAKAN

SISTEM SATUAN INTERNASIONAL

8

7. Gerak satu dimensi dengan kecepatan tetap

Jika kecepatan gerak partikel konstan, maka, 0==dt

dva , sehingga berdasarkan

persamaan (17) pergeserannya dapat dinyatakan sebagai berikut:

)( oo ttvxx −+= (20)

Grafik kecepatan dan pergeseran dalam gerak satu dimensi sebagai berikut

v x

)( oo ttvxx −+=

v = konstan

xo

t t

0 0

a) b)

Gambar 5. a. Grafik kecepatan terhadap waktu

b. Grafik pergeseran(posisi) terhadap waktu

8. Gerak Jatuh Bebas Contoh gerak dengan percepatan konstan yang sring dijumpai dalam kehidupan

sehari-hari adalah gerak benda jatuh ke bumi. Jika tidak ada gesekan udara, maka semua

benda yang jatuh ke bumi pada tempat yang sama akan mengalami percecapatan yang

sama, Keadaan tersebut tidak tergantung ukuran, berat maupun susunan benda. Demikian

juga jika jarak yang ditempuh selama jatuh tidak terlalu besar, maka percepatannya juga

dianggap konstan.

Gerak ideal yang mengabaikan gesekan udara dan perubahan kecil percepatan terhadap

ketinggian, disebut gerak jatuh bebas. Percepatan yang dialami oleh benda jatuh bebas

disebut percepatan gtavitasi (g = 9,8 m/s2).

Misalnya dipilih kerangka acuan sumbu Y positif diambil vertical ke atas, maka

percepatan gravitasinya merupakan sebuah vektor yang arahnya vertika ke bawah. Oleh

karena itu gerak jatuh bebas dapat dinyatakan dengan gerak satu dimensi dengan

percepatan tetap sepanjang sumbu Y. Sehubungan dengan hal tersebut, maka persamaan

gerak sepanjang sumbu Y dapat dituliskan berdasarkan persamaan (16), (17), dan (19)

tinggal menggatikan x dengan y dan mengganti ay = -g sehingga diperoleh bentuk;

gtvv yoy −= (21)

9

2

2

1gttvy yo −= (22)

)(2 0

22 yygvv yoy −−= (23)

Contoh;

Sebuah benda diolepaskan dari keadaan diam dan jatuh secara bebas. Tentukan posisi dan

laju benda setelah bergerak 2 s.

Penyelesaian:

Diketahui : vyo = 0, g = 9,8 m/s2, t = 2 s

Ditanyakan : y dan vy

Jawab;

Dengan menggunakan persamaan (20) dan (21) maka diperoleh:

gtvv yoy −= = 0 - 9,8. 2 = - 19,6 m/s

dan

mgttvy yo 8,92.8,9.2

10

2

1 22 −=−=−=

Tanda negative menunjukan bahwa vector yang bersangkutan berarah ke sumbu Y

negatif