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Matemáticas

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D.R.© Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Eugenio Garza Sada 2501 Sur, Col. Tecnológico, Monterrey, N.L. México. 2013

Matemáticas Módulo II. Conjuntos y elementos de lógica matemática

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Introducción al módulo

El ser humano se ha encargado de clasificar y organizar todo lo que observa, estudia y siente. En esta primera parte del curso de Matemáticas, estudiaremos a los conjuntos.

Tu vida está relacionada con conjuntos: tu familia es un conjunto con ciertas características, formas parte del conjunto de alumnos que estudian la prepa en Prepanet, tus amigos forman un conjunto, etcétera.

Tenemos muy claro el concepto de conjunto porque de manera intuitiva lo relacionamos con una agrupación de objetos con ciertas características comunes.

El concepto de conjunto es fundamental en el estudio de las matemáticas porque se encuentra presente en la terminología y en muchos de los principios que se usan para construir proposiciones y definiciones, además es necesario para establecer conceptos en las diferentes ramas de las matemáticas. En este módulo aprenderás la notación y el lenguaje del tema de conjuntos y harás operaciones entre ellos.

Conocerás la estructura del conjunto más importante en el estudio de las matemáticas, que es el de los números reales.

Aprenderás que la lógica es la que se encarga de estudiar la forma en que razonamos. Formarás proposiciones compuestas uniendo las proposiciones simples con los conectivos lógicos y este conocimiento te permitirá deducir si la proposición formada es verdadera o falsa.

Te estarás preguntando “¿y las operaciones aritméticas, como la suma y la resta?

Antes de entrar a operaciones aritméticas es imprescindible que aprendas la naturaleza de las matemáticas y la lógica de esa manera tendrás una visión más completa de ellas. Esto permite remediar algunos malos hábitos y concepciones erróneos que tenemos acerca de esta interesante disciplina.

¿Ya estás listo para comenzar?

Competencias del módulo

La competencia que desarrollarás en este módulo es la siguiente:

Organizar, presentar y comunicar de manera efectiva la información matemática referente a los conjuntos

y a la lógica matemática, en forma oral, escrita, y mediante diagramas, haciendo uso de herramientas tecnológicas o sin ellas.

Unidad 1 Conjuntos y subconjuntos Unidad 2 Operaciones con conjuntos Unidad 3 Solución de problemas reales utilizando operaciones con conjuntos Unidad 4 Razonamiento lógico

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Unidad 1 Conjuntos y subconjuntos

Introducción

¿Cuáles son los equipos de futbol soccer de primera división?

¿Cuáles son los estados de la República Mexicana? ¿Qué letras forman el abecedario?

¿Qué números forman los dígitos?

Las respuestas a las preguntas anteriores forman un conjunto de elementos con características comunes.

A lo largo de esta unidad vas a construir conceptos sobre la teoría de los conjuntos. Esta teoría te ofrecerá ver a las matemáticas desde un punto de vista más global, lo cual facilitará tu comprensión de éste y otros cursos de Matemáticas.

Competencias de la unidad

Las competencias que desarrollarás en esta unidad son las siguientes:

Identificar y explicar correctamente las relaciones entre un conjunto y un elemento, así como las relaciones entre otros conjuntos.

Interpretar y expresar correctamente las dos formas de notación de conjuntos: por enumeración y por descripción, para expresar las características de los elementos de un conjunto.

A continuación te presentamos los temas que revisaremos en esta unidad:

Tema 1 Definiciones Tema 2 Notación de conjuntos Tema 3 Cardinalidad

Tema 1 Definiciones

¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es un grupo de objetos o ideas que comparten alguna propiedad que permite distinguirlos de otros objetos o ideas.

Ejemplos de conjuntos pueden ser:

Días de la semana = {lunes, martes, miércoles, jueves, sábado y domingo} Estaciones del año = {primavera, verano, otoño e inverno}

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Si observamos bien, los conjuntos tienen varios componentes, sin embargo el componente más importante de cada uno de los conjuntos son sus elementos.

Los elementos del conjunto de los días de la semana, precisamente son los días de la semana:

Días de la semana = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes sábado y domingo}

Elementos

Observando lo anterior podemos definir el término de elementos de la siguiente manera:

Elementos son los objetos, personas, animales o ideas que forman parte de un conjunto. Como te has podido dar cuenta, la escritura y expresiones que se utilizan para describir conjuntos tienen su propia simbología y reglas.

Veamos a continuación algunas características que debes tomar en cuenta para escribir correctamente acerca de los conjuntos:

Letras mayúsculas

Letras minúsculas

Para denotar a los conjuntos, por ejemplo: A, B, C, etc.

A = { a, b, c, d, e }

Para denotar elementos de un conjunto, por ejemplo: a, b, c, x, y, z, etc.

A = { a, b, c, d, e }

Llaves Para contener los elementos que forman un conjunto, los cuales están separados por comas.

Relación entre un conjunto y un elemento

Entonces si tenemos al conjunto…

A = { a, b, c, d, e }

A = {a, b, c, d, e}

Podemos decir que los elementos a, b, c, d y e pertenecen a “A”.

Para reducir este enunciado se utiliza el siguiente método.

a A se lee : “ a pertenece a A b A se lee : “ b pertenece a A”

f A se lee : “ f n o p er tenece a A ”

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Por lo tanto el símbolo se utiliza para representar pertenencia, así como el símbolo representa no pertenencia y siempre se colocan entre un elemento y un conjunto.

Si observas con cuidado, los elementos a y b sí están en el conjunto A y por eso utilizamos el

símbolo, mientras que f no se encuentra en dicho conjunto, por lo que podemos decir que no

pertenece a A y utilizamos el símbolo .

Ya analizamos la relación que existe entre los conjuntos y sus elementos, pero ¿qué pasa si un elemento es parte de otro conjunto?

Observa los siguientes ejemplos.

¿?

Si D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} E = {1, 2} F = {1, 4, 8, 9, 10, 15, 19}

En este ejemplo estamos analizando tres conjuntos, donde todos los elementos del conjunte E, también pertenecen al conjunto D, esto se representa de la siguiente manera:

E D se lee: “E es su b co n jun t o de D”

Ahora observa que pasa con el conjunto F.

Observa que, aunque hay algunos elementos de F que también forman parte de E, F no es subconjunto de D, debido a que hay algunos elementos de F (como el 15 y el 19) que no pertenecen al conjunto D.

F D se lee : “F no es sub co n jun to de D ”.

Continuando con el ejemplo…

Si D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} E = {1, 2} F = {1, 4, 8, 9, 10, 15, 19}

{1, 2} E se lee: “el conjunto {1, 2} es subconjunto de E

{1, 8, 9} F se lee: “el conjunto {1, 8, 9} es subconjunto de F

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Se utiliza el símbolo para el subconjunto para representar que los elementos de un conjunto también pertenecen a otro conjunto.

Recuerda que: La notación de un conjunto se establece cuando se ponen sus elementos entre llaves ({,}), por lo que {1,2} al estar entre llaves se considera un conjunto.

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Tema 2. Notación de conjuntos

Llamamos notación de conjuntos a la forma en la que podemos expresar las características de los elementos de un conjunto. La notación puede ser de dos formas:

1. Por enumeración o extensión: Consiste en escribir todos los elementos que conforman un

conjunto entre llaves ({,}) y separados por comas (,).

V = {a, e, i, o, u} D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} P = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

2. Por enumeración o extensión: Consiste en escribir todos los elementos que conforman un

conjunto entre llaves ({,}) y separados por comas (,).

V = {a, e, i, o, u} D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} P = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

3. Por descripción o comprensión: Consiste en describir las características de los elementos que

conforman los elementos de un conjunto.

V = {vocales} D = {x | x es un día de la semana} P = {x | x es un número positivo par menor o igual que 12}

Nota. x | x se lee: x tal que x. Lo que significa que tenemos que listar las “x” que cumplan las características descritas.

Inclusive se pudieran ligar dos conjuntos:

Por ejemplo: Si D = {x | x es un día de la semana} podemos escribir otro conjunto a partir de D.

E = {x D| x es un día del fin de semana} por lo que el resultado sería…

E = {sábado, domingo}

Otro ejemplo: V = {x | x es una vocal} entonces L = {x V | x es una vocal de la palabra “azul”} por lo que el resultado sería L = {a, u}

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También se pueden mezclar los dos tipos de notación.

Observa los dos ejemplos.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} entonces B = {x A | x es un número impar} por lo que el resultado sería B = {1, 3, 5, 7, 9}

x=1,3,5,7,9

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} entonces E = {x D | x <5} por lo que el resultado sería E = {0,1, 2, 3, 4}

x=0,1,2,3,4

Siempre que veas este patrón x | x, éste vendrá acompañado de la descripción del conjunto.

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Tema 3. Cardinalidad

La cardinalidad en los conjuntos es muy sencilla, sólo basta con contar el número de elementos que componen a un conjunto.

Observa la siguiente tabla.

Utilizaremos algunos de los conjuntos vistos previamente para mostrar la aplicación de este concepto.

Conjunto Cardinalidad

A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n(A) =10

B= {2, 4, 6, 8} n(B) =4

C= {1, 4, 17} n(C) =3

V= {vocales} n(V)=5

D= {x | x es un día de la semana} n(D) =7

Cardinalidad de un cojunto es el número de elementos que forman el conjunto.

La cardinalidad del conjunto A se representa: n(A)

Cierre de la unidad

Has concluido el estudio de la Unidad 1 Conjuntos y subconjuntos.

En esta unidad aprendiste lo siguiente:

La simbología utilizada en esta área de las Matemáticas, lo cual te permitirá tener un mayor grado de abstracción acerca de la categorización que realizamos de nuestro entorno.

También pudiste determinar la veracidad de algunos conjuntos al observar la relación que hay

entre todas sus partes.

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