Upload
semiramist
View
67
Download
14
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Mikrodalga Tekniği 4.Ders
Citation preview
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 1 / 31
ZEL DURUMLAR
1. KISA DEVRE (ZL=0) LETM HATTI
ekil.2.21 Ksa devre iletim hatt
Ksa devre nedeniyle yk snr art V(0)=0 dr ve bunun sonucu olarak, [ ] [ ]
1 011)0( 020
==+=+== ++
L
Lj
Lj VeeVdV
elde edilir. Ayn zamanda,
+
=VV
L olduundan, + = VV
yazlabilir. Bylece, hat voltajnn fazrn,
ZL=0Z0
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 2 / 31
( )dVj
eeVeVeVeVeVdV djdjdjdjdjdj
sin2
)(+
++++
===+=
eklinde yazabiliriz. Benzer ekilde akm fazrn de,
( ) ( ) ( )d
ZV
eeZVeVeV
ZeVeV
ZdI djdjdjdjdjdj
cos2
11)(
0
000+
++++
=
+=+==
eklinde elde etmek mmkndr. Bylece hat empedans,
djZZdVdVj
dIdVZdZ KD
tan
cos2sin2
)()()( 0
0==== +
+
olur. Ayn eitlik,
djZZdjZZZdZ
L
L
tantan)(
0
00 +
+=
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 3 / 31
denkleminde ZL=0 yazlarak da elde edilebilir. Grld gibi, bir ksa devre ile sonlandrlm d-uzunluundaki kaypsz iletim hattnn giri empedans saf imajinerdir ve
KDp
in jXdvfjZdjZdjZZ =
=
== 2tan2tantan 000
eklinde yazlabilir. Sabit bir f frekansnda, hattn uzunluu 0dan /2ye kadar deitirilerek herhangi bir reaktans deeri elde edilebilir. Tanjant fonksiyonu periyodik olduundan,
empedansn davran her /2 mesafede zde olarak tekrarlayacaktr. Dier taraftan tanjant fonksiyonu (-) ile () aralnda deieceinden, ekil.2.22 ve 2.23den de grlecei gibi, ksa devre iletim hattnn giri empedans indktif veya kapasitif olacaktr.
d
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 4 / 31
ekil.2.22 Ksa devre ile sonlandrlm iletim hattnn giri empedansnn hat uzunluu ile deiimi
Ksa Devre letim Hatt Sabit Frekans d
---- ------------------ ------------
d = /4 Zin Paralel Rezonans/4 < d < /2 Im(Zin) < 0 Kapasitans
d = 0 Zin = 0 Seri Rezonans
0 < d < /4 Im(Zin) > 0 ndktans
d = 3/4 Zin Paralel Rezonans3/4 < d < Im(Zin) < 0 Kapasitans
d = /2 Zin = 0 Seri Rezonans/2 < d < 3/4 Im(Zin) > 0 ndktans
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 5 / 31
ekil.2.23 Ksa devre ile sonlandrlm iletim hattnn giri empedansnn hat uzunluu ile deiimi
Ksa Devre Hat EmepedansSabit Frekans, Deiken Uzunluk
Hat uzunluu, d
0 100 200 300 400 500
N
o
r
m
a
l
i
z
e
G
i
r
i
E
m
e
p
d
a
n
s
Z
(
d
)
/
Z
0
=
j
t
a
n
d
-150
-100
-50
0
50
100
150
(derece)
KapasitifKapasitif
ndktifndktifndktif
/()=/23/(2)=3/4/(2)=/4
2/=5/(2)=5/4
ZL=0 Z0
0 d
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 6 / 31
olur. Hat uzunluunun artan deerleri iin giri empedansnn ald deerler ve davran
ekil.2.22 ve 2.23de gsterilmitir. Grld gibi giri empedans her yarm dalga boyu
mesafede tekrarlanyor.
ekil.2.24 Ksa devre ile sonlandrlm iletim hattnn giri empedansnn frekansla deiimi
Ksa Devre Hat EmepedansSabit Uzunluk, Deiken Frekans
alma Frekans, f
0 100 200 300 400 500
N
o
r
m
a
l
i
z
e
G
i
r
i
E
m
e
p
d
a
n
s
Z
(
d
)
/
Z
0
=
j
t
a
n
d
-100
-50
0
50
100
(derece)
vp/(2d)vp/(4d) 3vp/(4d)
vp/d5vp/4d
KapasitifKapasitif
ndktifndktifndktif
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 7 / 31
Dikkat edilmelidir ki; iletim hattnn uzunluu sabitlenip alma frekans
deitirilirse, benzer bir davran elde edilir (bkz. ekil.2.24). d=/4 ve /2 civarnda, ksa devre hattn davran LC devrelerinin davranna benzer. Toplu eleman LC
devrelerinin karakteristikleri ile karlatrlrsa, ksa devre iletim hattnn d=/4 ve /2 veya d=/2 ve civarnda u zelliklere sahip olduu grlr: d=(2n-1)/2 civarndaki frekanslarda ksa devre hat paralel rezonans devresi gibi
davranr.
d=n civarndaki frekanslarda ksa devre hat seri rezonans devresi gibi davranr. Ksa devre iletim hattnn bu iki zellii band geiren ve band tutan filtre tasarmnda nemli
yer tutar.
Eer ksa devre hat kaypl ise, giri empedans,
ddjdjdZdjdZdZZ KD
tantanh1tantanh)tanh(tanh 000 +
+=+== olur. Kaypsz durumda d=n iin giri empedans sfr idi. Ancak kayp nedeniyle, imdi giri empedans sonlu bir deere sahiptir. =0.5 Neper olmak zere, kaypl ksa devre hat
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 8 / 31
uzunluu d=n/2 (n, tamsay) ise, ohm )(tanh 00 dZdZZKD = olur. Hat uzunluu d=(2n-1)/4 ise, ohm coth 00 dZdZZKD = olur. Bu durumda, giri empedans sonlu ve reeldir.
Dier taraftan ksa devre iletim hattnda voltaj ve akmn zamana baml ifadeleri,
[ ] [ ][ ] [ ]
)sin(sin2
)sin()cos(Resin2Resin2
sin2Re)(Re),(
)(
+=++==
==
+
+++
+
tdV
ttjdVjedV
edeVjedVtdV
tj
tjjtj
[ ] [ ][ ] [ ]
)cos(cos2
)sin()cos(Recos2Recos2
cos2Re)(Re),(
0
0
)(
0
0
+=
+++==
==
+
++
+
+
tdZ
V
ttdZ
Vjed
Z
V
ZedeVedItdI
tj
tjjtj
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 9 / 31
eklinde elde edilir. Bylece, ani g ve buna karlk gelen ortalama g, srasyla,
)22sin(2sin
)cos()sin(cossin4),(),(),(
0
20
2
+=
++==+
+
tdZ
V
ttddZ
VtdItdVtdP
0 )22sin(12sin ),(1),(00
2
0=+==
+dtt
Td
Z
VdttdP
TtdP
TT
olarak bulunur.
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 10 / 31
2. AIK DEVRE (ZL=) LETM HATTI
ekil.2.25 Ak devre iletim hatt
Ak devre nedeniyle yk snr art I(0)=0 dr ve bunun sonucu olarak,
[ ] [ ]1
011)0(0
020
0=
====++
L
Lj
Lj
ZVee
ZVdI
elde edilir. Ayn zamanda,
+
=VV
L olduundan, + =VV
yazlabilir. Bylece, hat akm fazrn,
ZL Z0
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 11 / 31
( ) ( )( ) d
ZVjee
ZV
eVeVZ
eVeVZ
dI
djdj
djdjdjdj
sin2
11)(
00
00++
+++
==
==
eklinde yazabiliriz. Benzer ekilde voltaj fazrn de,
( ) dVeeV eVeVeVeVdV djdjdjdjdjdj
cos2
)(++
+++
=+=+=+=
eklinde elde etmek mmkndr. Bylece hat empedans,
dZj
ZdVjdV
dIdVZdZ AD
tansin2
cos2)()()( 0
0==== +
+
olur. Ayn eitlik, ksa devre durumunda belirtildii gibi, genel hat empedans ifadesinden de
elde edilebilir. Grld gibi, bir ak devre ile sonlandrlm d-uzunluundaki kaypsz iletim hattnn giri empedans saf imajinerdir ve
KDp
in jXdvfjZdjZdjZZ =
=
== 2cot2cotcot 000
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 12 / 31
eklinde yazlabilir. Sabit bir f frekansnda, hattn uzunluu 0dan /2ye kadar deitirilerek kapasitanstan balayan herhangi bir reaktans deeri elde edilebilir. Yukardaki empedans
fonksiyonu da periyodik olduundan, empedansn davran her /2 mesafede zde olarak tekrarlayacaktr. Dier taraftan cotanjant fonksiyonu (-) ile () aralnda deieceinden, ekil.2.26 ve 2.27den de grlecei gibi, ak devre iletim hattnn giri empedans yine
kapasitif veya indktif olacaktr. d
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 13 / 31
ekil.2.26 Ak devre iletim hattnn giri empedansnn hat uzunluu ile deiimi
---- ------------------ ------------
Ak Devre letim Hatt Sabit Frekans
Paralel Rezonansd = 0 Zin Kapasitans0 < d < /4 Im(Zin) < 0
Seri Rezonansd = /4 Zin = 0 ndktans/4 < d < /2 Im(Zin) > 0
Paralel Rezonansd = /2 Zin Kapasitans/2 < d < 3/4 Im(Zin) < 0
Seri Rezonansd = 3/4 Zin = 0 ndktans3/4 < d < Im(Zin) > 0
d
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 14 / 31
ekil.2.27 Ak devre iletim hattnn giri empedansnn hat uzunluu ile deiimi
Ak Devre Hat EmepedansSabit Frekans, Deiken Uzunluk
Hat Uzunluu, d
0 100 200 300 400 500
N
o
r
m
a
l
i
z
e
G
i
r
i
E
m
e
p
d
a
n
s
Z
(
d
)
/
Z
0
=
-
j
c
o
t
d
-60
-40
-20
0
20
40
60
(derece)
/(2)=/4
KapasitifKapasitif
ndktifndktifndktif
Kapasitif
/()=/23/(2)=3/4
2/=5/(2)=5/4
ZL= Z0
0 d
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 15 / 31
ekil.2.28 Ak devre iletim hattnn giri empedansnn frekansla deiimi
Dikkat edilmelidir ki; iletim hattnn uzunluu sabitlenip alma frekans
deitirilirse, benzer bir davran elde edilir (bkz. ekil.2.28). d=/4 ve /2 civarnda, ak devre hattn davran toplu eleman LC devrelerinin davranna benzer. Toplu eleman
Ak Devre Hat EmepedansSabit Uzunluk, Deiken Frekans
alma Frekans, f
0 100 200 300 400 500
N
o
r
m
a
l
i
z
e
G
i
r
i
E
m
e
p
d
a
n
s
Z
(
d
)
/
Z
0
=
-
j
c
o
t
d
-100
-50
0
50
100
ndktif ndktif ndktif
Kapasitif Kapasitif
(derece)
Kapasitif
vp/(2d)vp/(4d) 3vp/(4d)
vp/d5vp/4d
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 16 / 31
LC devrelerinin frekans karakteristikleri ile karlatrlrsa, ak devre iletim hattnn d=/4 ve /2 veya d=/2 ve civarnda u zelliklere sahip olduu grlr: d=(2n-1)/2 civarndaki frekanslarda, yani eyrek dalga boyunun tek katlar olan
frekanslarda, ak devre hat seri rezonans devresi gibi davranr.
d=n civarndaki frekanslarda, yani yarm dalga boyunun tam katlar olan frekanslarda, ak devre hat paralel rezonans devresi gibi davranr.
Ak devre hattn bu zellikleri de mikrodalga filtrelerinin tasarmnda nemli bir yer tutar.
Eer ksa devre hat kaypl ise, giri empedans,
)coth(coth 00 djdZdZZ AD +== olur. Kaypsz durumda d=n iin giri empedans sonsuz idi. Ancak kayp nedeniyle, imdi giri empedans sonlu bir deere sahiptir. =0.5 Neper olmak zere, kaypl ak devre hat uzunluu d=n/2 (n, tamsay) ise, ohm 0 dZZ AD olur. Ak devre hat uzunluu d=(2n-1)/4 ise, ohm )(0 dZZ AD olur. Bu durumda, giri empedans sonlu ve reeldir.
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 17 / 31
3. LETM HATLARININ REZONANS DEVRES OLARAK KULLANILMASI Bilindii gibi indktans veya kapasitansn reaktans,
)(indktansLX = veya
s)(kapasitan 1 CX = eitlikleri ile tanmlandndan, toplu eleman (alak frekanslarda) durumunda frekansla
lineer olarak deiir. Reaktans bir iletim hattnn paras olarak gerekletirildiinde ise, bu doru deildir. Reaktif eleman olarak iletim hatlarn kullanarak, rezonans devrelerini gerekletirmek mmkndr. rnek olarak, ayn karakteristik empedansa sahip hatlarla gerekletirilen
ekil.2.29daki devreyi gz nne alalm.
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 18 / 31
ekil.2.29 letim hatlar ile gerekletirilmi rezonans devresi
Bu devrede,
101 tan LjZZin = 202 tan LjZZin = dir. L1 ve L2 uzunluklar, bir indktans ve kapasitans gerekletirecek ekilde seilirse, devre rezonansta olur. Paralel devrenin toplam giri empedans sonsuz olursa (veya edeer olarak, paralel devrenin giri admitans sfr olursa), rezonans art salanm olur. Yani,
Ksa Devre
Ksa Devre
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 19 / 31
0tan
1tan
12010=+
LjZLjZ rr
veya
=
21 tantan LvL
v pr
p
r
olur. Burada,
p
r
rr v
== 2
dir. Tanjant periyodik bir fonksiyon olduundan, yukardaki rezonans artn salayan,
mmkn rezonans asal frekansnn rnin katlarnda da rezonans oluur. zmler, nmerik yntemler kullanlarak bulunabilir.
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 20 / 31
Voltaj ve akmn zamana baml ifadeleri, [ ] [ ] [ ][ ]
)cos(cos2
)sin()cos(Recos2
Recos2cos2Re)(Re),( )(
+=+++=
===
+
+
+++
tdV
tjtdV
edVedeVedVtdV tjtjjtj
[ ] [ ][ ][ ]
)sin(sin2
)sin()cos(Resin2
Resin2
sin2Re)(Re),(
0
0
0)(
0
+=
++==
==
+
+
++
+
tdZ
V
ZttjdV
ZjedV
ZedeVjedItdI
tj
tjjtj
eklinde elde edilir. Bylece, ani g ve buna karlk gelen ortalama g, srasyla,
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 21 / 31
)22sin(2sin
)cos()sin(cossin4
),(),(),(
0
20
2
+=
++=
=
+
+
tdZ
V
ttddZ
V
tdItdVtdP
ve
0 )22sin(12sin
),(1),(
00
20
=+=
=
+dtt
Td
Z
V
dttdPT
tdP
T
T
olarak bulunur.
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 22 / 31
3. UYUMLU YKLE SONLANDIRMA (ZL=Z0)
ekil.2.30 Uyumlu yk ile sonlandrlm iletim hatt
Uyumlu yk ile sonlandrlm iletim hattnda yansma katsays,
000
00
0
0 =+=+
=ZZZZ
ZZZZ
L
LL Yansma Yok
olur. Hat voltaj ve hat akm fazrleri, ( ) djdjLdj eVeeVdV ++ =+= 21)( ( ) djdjLdj eZVeeZVdI 020 1)(
++ ==
ZL=Z0Z0
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 23 / 31
eklinde yazlr. Bu durumda, hat empedans konumdan bamszdr ve hattn karakteristik empedansna eittir. Yani,
0
0
)()()( Z
eZV
eVdIdVdZ
dj
dj=== +
+
olur. Ani voltaj ve akm ise, [ ] [ ][ ] )cos(Re
Re)(Re),(
)(
++====
++++
+
dtVeV
eeeVedVtdV
dtj
tjdjjtj
[ ][ ] )cos(Re
Re),(
0
)(
0
0
++==
=+
+++
+
dtZ
Ve
Z
V
ZeeeVtdI
dtj
tjdjj
eklinde ifade edilebilir. Ani g ve ykn harcad ortalama g, srayla,
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 24 / 31
)(cos
)cos()cos(),(
2
0
20
++=
++++=+
++
dtZ
V
dtZ
VdtVtdP
ve
0
2
0
2
0
2
2dt )(cos1),(
Z
Vdt
Z
V
TtdP
T++
=++= olur.
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 25 / 31
4. SAF REAKTANSLA SONLANDIRMA (ZL=jX)
ekil.2.31 Saf reaktans ile sonlandrlm iletim hatt
Saf reaktif ykn yansma katsays,
( ) ( )( ) ( )2
02
02
02
20
200
00
0
0
0
0
2ZX
XZjZXZX
jXZZjXjXZZjX
ZjXZjX
ZZZZ
L
LL
+++=
+=+
=+=
olur. Polar (kutupsal) formda bu ifade,
LjLL e=
eklinde yazlabilir. Burada,
ZL=jXZ0
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 26 / 31
( )( ) ( ) ( )( ) 14 220222
02
220
2
20
2
220
2
220
2=
++=
++
+=
ZX
ZX
ZX
ZX
ZX
ZXL
=
20
201 2tan
ZXXZ
L
dir. Ksa ve ak devre yk durumunda olduu gibi, ykn harcad sfr ortalama g ile
yansma katsays birim genlie sahiptir. Hem voltaj hem de akm ykte sonlu deere
sahiptir ve ani g, pozitif ve negatif deerler arasnda osilasyon yapar. Bunun anlam
udur; g harcamadan, yk periyodik olarak depolar ve gc iletim hattna geri dndrr.
Reaktif empedanslar ksa veya ak devre ile sonlandrlm iletim hatlar ile
gerekletirilebilir.
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 27 / 31
LETM HATLARINDA GEC VE SREKL HAL imdi iletim hatlar iin elde edilen matematiksel sonularn fiziksel yorumuna ihtiyacmz
var. Her eyden nce, dikkat edilmelidir ki; iletim hatt boyunca dalga yaylmnn zamana
gre mkemmel periyodik olduu kararl hal rejimini gz nne alyoruz. Bunun anlam
udur: bu durumda zaten geici olaylarn hepsi bozulmu oluyor.
Kararl hal rejiminin ne olduunu anlamak iin, t=0 referans annda bir anahtarn kapatlmas ile kaynaa balanan bir iletim hattn gz nne alalm. Kolaylk asndan,
hattn karakteristik empedans da dahil, btn empedanslarn reel olduunu kabul edelim.
ekil.2.32 letim hattnda geici hal
Kaynak Anahtar Yk
RL letim Hatt
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 28 / 31
Anahtar kapatldktan sonra, iletim hattnn giriindeki voltaj, iletim hattna akmaya balayan
+I akm ile, kaynan ak devre voltaj GV den +V deerine ani olarak deiecektir. letkenlerdeki ykler hareket ettike (yke doru akm akyla) iletim hattnda bir geici hal
oluur. Yk ak iletim hattnn sonuna varncaya kadar, yk voltaj sfrda kalr.
Balangta, iletim hattnn giri empedansnn hattn karakteristik empedans ile ayn
olduu gzlenir, nk akm, henz yk empedansnn deerini alglayamaz. Bundan
dolay, +I gelen akm ile +V gelen voltaj yaylr. Burada,
0
00 ZZ
ZVZIVG
G +==++
0
0
0 ZRVV
ZVI
GG +==
++
dr. Eer yk, hattn karakteristik empedansna tam olarak uyumlu deilse, dalga hat
sonuna ulanca +I akm ile +V voltaj RL yk zerinde olumaz, nk bu durumda,
LRIV++
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 29 / 31
dr. Bundan dolay,
LRIIVV )(++ ++
olacak ekilde, I akm ve V voltaj ile geriye yansyan bir dalga cephesi ile ykte akm ve voltaj kendi kendilerini ayarlar. Ayn zamanda yansyan dalga Z0 empedansn greceinden,
++ == IZVIZV 00 ve
0
0ZRZRVV
L
L+= +
elde edilir. Bu durumda yk yansma katsays,
0
0ZRZR
VV
L
LL +
== +
olur. Ykten yansyan dalga negatif ynde yaylan dalgadr ve iletim hatt boyunca
(kaynaktan uygulanmaya devam eden) voltaj ve akmn osilasyon yapan deerleriyle giriim
yapar.
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 30 / 31
Yansyan dalga iletim hattnn giriine ulatnda, kaynak empedans RG ile karlar ve bu empedans karakteristik empedans ile uyumlu deilse, yeniden yke doru yansma oluur.
Bu kez, pozitif ynde yke doru yaylan voltaj,
0
02 ZR
ZRVVL
L+= +
olur. Unutulmamaldr ki; ideal voltaj kayna yansyan dalga iin bir ksa devre gibi
davranacaktr.
Kaynak tarafndan yansyan dalga tekrar yke ulaacak, ve giderek azalan bir genlikle
dalgalar hat boyunca, balangtaki dalga cephesi kayboluncaya kadar, ileri-geri yansmaya
devam edecektir.
Osilasyon yapan kaynaktan salanan her ardk dalga cephesi zde katl yansma olayna
maruz kalr. Eer sinzoidal bir kaynak kabul edilirse, iletim hattna verilen voltaj ve akm,
osilasyon periyoduna gre, periyodik olarak tekrarlanr. Bundan dolay, hattn ularndaki
ardk yansmalar ayn yansma katsaysna uyarlar, ancak zamana gre farkl genlik ve
faz deerleri ierirler. Eer kaynak kararl bir osilasyonla hatt beslemeye devam ederse,
yeterli bir zaman sonra, pozitif ve negatif ynlerdeki dalgalarn birleik giriimi kararl olur ve
Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 31 / 31
hat zerinde yryen sonsuz geici bileenlerin sperpozisyonundan doan, iyi-tanml
gelen ve yansyan kararl hal dalgalar tanmlanabilir.
Dikkat edilmelidir ki; dalgalar, telleri kuatan ortamdaki k hzna eit bir faz hz ile
yaylrlar. Ayrca, hat uzunluu dalgalarn giriim paternini etkileyecektir. Bylece farkl
uzunluktaki hatlar, hat boyunca farkl voltaj ve akm dalmna neden olacaktr.
Bir iletim hattnda kararl hal voltaj ve akmlaryla alldnda, sadece hattn her
noktasnda kararl hal osilasyonlarn gsteren fazrlerin bilinmesi gerekir. Fazrler, bir
referans annda, genlik ve faz vastasyla, voltaj ve akmn uzayda birbiriyle nasl ilikili
olduunun anlk durumunu salar. Kararl halde, voltaj ve akmn hattn her noktasnda,
kaynak periyoduna gre, mkemmel periyodik olduunu bildiimiz iin, zamana gre gerek
osilasyon kolayca belirlenebilir.
Eer kaynak birden fazla osilasyon frekans salarsa, kararl halde, spektrumdaki her
frekansn davran bamsz olarak allabilir ve toplam sonu, sper pozisyon ile elde
edilir.