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Méthodes eulériennes pour le couplage fluide-structure
Milcent Thomas
INRIA Bordeaux Sud-Ouest, Equipe MC2
Groupe de Travail Méthodes Numériques, Laboratoire JLL
– p. 1
Contexte physique et biologique
−→ Modèles permettant de simuler des structures immergées dans un fluide.
– p. 2
Plan de l’exposé
I) Introduction générale
II) Modèle de membrane
⊲ Analyse mathématique
⊲ Modélisation flexion
⊲ Simulations numériques
III) Modèle volumique
⊲ Incompressible
⊲ Compressible
IV) Perspectives
– p. 3
Approche eulérienne
Conservation de la masse et de la quantité de mouvement
ρt + divx(ρu) = 0 ρ(ut + (u · ∇x)u) = divx(σ)
⊲ Equations posées sur Ωt −→ Difficultés pour les surfaces libres
⊲ Bien adapté à la mécanique des fluides σ = −pI + f (∇u)
– p. 4
Approche lagrangiennex = X(ξ, t)
Conservation de la masse et de la quantité de mouvement
ρ(X, t)det(∇ξX) = ρ0 ρ0∂2X
∂t2= divξ(T )
Lien entre les tenseurs des contraintes T = σ(X, t)Cof(∇ξX)
⊲ Equations posées sur Ω0 −→ Prise en compte des surfaces libres
⊲ Bien adapté à l’élasticité T = T (∇ξX) (effet mémoire)– p. 6
Problématique générale du couplage fluide-structure
Couplage des modèles à l’interface
⊲ Continuité de la vitesse
⊲ Continuité des contraintes normalesmarqueurs lagrangiens
Champ de vitesse
Solide
Fluide
Interface
Difficultés
⊲ Couplage de modèles écrit dans des formulations différentes
⊲ Traitement de la frontière libre du fluide
⊲ Interpolations à l’interface
– p. 7
Méthode ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian)
Idée: Introduire une vitesse de maillage pour traiter la surface libre du fluide
Source: Cécile Dobrzynski
Inconvénients
⊲ Remaillage pour des grandes déformations
⊲ Implémentation en 3D– p. 8
Méthode de frontière immergée de Peskin (1977)
Idée: Traiter l’élasticité (incompressible) comme un terme source
ρ(ut + (u · ∇)u)− µ∆u+∇p = F(X)δS,∂X∂t = u(X, t), div(u) = 0
marqueurs lagrangiens
Champ de vitesse
Fluide
Interface
Solide
Inconvénients
⊲ Interpolations pour le calcul de F(X) −→ pertes de volume
⊲ Ajout de marqueurs lagrangiens pour de grandes déformations
Approche adoptée −→ Traiter l’élasticité de manière eulérienne
– p. 9
Plan de l’exposé
I) Introduction générale
II) Modèle de membrane
⊲ Analyse mathématique
⊲ Modélisation flexion
⊲ Simulations numériques
III) Modèle volumique
⊲ Incompressible
⊲ Compressible
IV) Perspectives
– p. 10
Membranes élastiques
Types de déformations que l’on veut considérer
Variation d’aire Cisaillement membranaire
Flexion
−→ Modèle eulérien pour ces déformations?
– p. 11
Méthode level set
Idée: Représenter une surface comme la ligne de niveau de φ : Rn −→ R.
Informations géométriques contenues dans φ
⊲ Interface: Γ = φ = 0
⊲ Normale: n(φ) = ∇φ|∇φ|
⊲ Courbure: H(φ) = div(n(φ))
−→ Prise en compte de l’elasticité à l’aide de φ?
– p. 12
Modèle de membrane eulérien (Cottet-Maitre, M3AS 2006)
Fluide
Fluidemembrane elastique
φ(·, t) = 0
Energie liée à la variation d’aire
Eelas =∫
QE(|∇φ|)
1
εζ
(
φ
ε
)
dx
Modèle
ρ(φ)(ut + (u · ∇)u)− µ∆u+∇p = Felas(φ)
φt + u · ∇φ = 0
div(u) = 0
– p. 13
Plan de l’exposé
I) Introduction générale
II) Modèle de membrane
⊲ Analyse mathématique
⊲ Modélisation flexion
⊲ Simulations numériques
III) Modèle volumique
⊲ Incompressible
⊲ Compressible
IV) Perspectives
– p. 14
Analyse mathématique
Hypothèses
⊲ Ω ouvert régulier de R3
⊲ φ0 ∈ W2,p(Ω) et u0 ∈ W2,p(Ω)⋂
W1,p0 (Ω) (p > 3)
⊲ E′ ∈ C1([0,∞[) et ε > 0
Résultat : Théorème d’existence local en temps de solutions fortes
Plan de la preuve
⊲ Existence globale de solutions pour un problème approché
⊲ Estimations Lp pour le problème de Stokes et l’équation de transport
⊲ Passage à la limite
– p. 15
Plan de l’exposé
I) Introduction générale
II) Modèle de membrane
⊲ Analyse mathématique
⊲ Modélisation flexion
⊲ Simulations numériques
III) Modèle volumique
⊲ Incompressible
⊲ Compressible
IV) Perspectives
– p. 16
Problématique energie de flexion
Energie de flexion
J(Γ) =∫
Γ
H(Γ)2 ds
Dérivée de forme paramétrique (Willmore)
J′(X)(θ) = −∫
Γ
(
2∆ΓH + H(H2 − 4G))
θ ds
Dérivée de forme level set (Cottet-Maitre)
J′(φ)(θ) =∫
φ=0
1
|∇φ|div
(
−H(φ)2∇φ
|∇φ|+
2
|∇φ|P∇φ⊥ (∇(|∇φ|H(φ)))
)
θ ds.
Lien entre ces formules? −→ approche surfacique
– p. 17
Méthode de différentiation surfacique
Formule de Reynolds surfacique
d
dt
(
∫
φ=0f [φ] ds
)
=∫
φ=0( f [φ])t +div( f [φ]n) u · n ds
Vitesse u(·, t)
Γ = φ(·, t) = 0
Intégration par parties
∫
Γ
fdivΓ(v) ds = −∫
Γ
v · ∇Γ f ds+∫
Γ
f H v · n ds
Dérivée de forme
(J(φ))t = −∫
φ=0
(
2∆ΓH + H(H2 − 4G))
u · n ds
−→ Résultat géométrique
– p. 18
Calcul dans le cas général
Resultat 1. Soit J(φ) =∫
φ=0 F(H(φ),G(φ)) ds avec φ une fonction distance. Alors
(J(φ))t =∫
φ=0
F(H,G)H − FH (H2 − 2G)− ∆Γ(FH)
− FG GH − H∆Γ(FG) + [∇Γn] : ∇Γ(∇Γ(FG)) u · n ds
Intérêt
⊲ Implémentation en level set
⊲ Résultat géométrique qui coïncide avec le résultat a
⊲ Applications physiques faisant intervenir la courbure de Gauss
aD. Steigmann, Interfaces and free boundaries (2003)
– p. 19
Plan de l’exposé
I) Introduction générale
II) Modèle de membrane
⊲ Analyse mathématique
⊲ Modélisation flexion
⊲ Simulations numériques
III) Modèle volumique
⊲ Incompressible
⊲ Compressible
IV) Perspectives
– p. 20
Problématique vésicules
Contraintes physiques
⊲ Vésicule très rigide
⊲ Peu de résistance au cisaillement
⊲ Flexion de la membrane
⊲ Faible nombre de Reynolds
⊲ Conservation du volume
Vésicule phospholipidiqueObjectifs
⊲ Formes d’équilibre
⊲ Comportement dans un écoulement en cisaillement
– p. 21
Méthodes numériques
Modèle de membrane avec la force de flexion
ρ(φ)(ut + (u · ∇)u)−1
Re∆u+∇p =
1
WeFe(φ) +
1
WcFc(φ)
φt + u · ∇φ = 0
div(u) = 0
Re =LUρre f
µre fWe =
LU2ρre f
λWc =
L3U2ρre f
α
⊲ Méthode eulérienne −→ différences finies
⊲ Découplage explicite des équations
⊲ Méthode de projection sur une grille MAC
⊲ Schéma Weno pour l’équation de transport
⊲ Faibles nombres de Reynolds −→ diffusion en im-plicite (FISHPACK)
vi,j
ui,j
pi,j , φi,j
– p. 22
Formes d’équilibre 3D
Les formes d’équilibre dépendent du taux de remplissage τ = V43 π( S
4π )32
⊲ Le volume est fixé par l’incompressibilité du fluide
⊲ L’aire est pénalisée par une grande raideur de la force élastique
Paramètres: Resolution = 643, Re = 0.01, We = 0.01, Wc = 30.
Taux de remplissage τ = 0.77 Taux de remplissage τ = 0.6
– p. 23
Conclusions, perspectives pour le modèle de membrane
Conclusions
⊲ Théorème d’existence local pour le modèle de membrane
⊲ Comparaison de méthodes d’optimisation de forme pour des fonctionnellesdépendant de la courbure
⊲ Formes d’équilibre de vésicules
⊲ Simulations numériques de cisaillement à viscosité constante
Perspectives
⊲ Formes d’équilibre 3D de vésicules avec la courbure de Gauss
⊲ Simulations numériques de cisaillement à viscosité variable
⊲ Prise en compte d’une énergie de cisaillement membranaire en eulerien
– p. 25
Plan de l’exposé
I) Introduction générale
II) Modèle de membrane
⊲ Analyse mathématique
⊲ Modélisation flexion
⊲ Simulations numériques
III) Modèle volumique
⊲ Incompressible
⊲ Compressible
IV) Perspectives
– p. 26
Elasticité lagrangienne
Caractéristiques directes X
ξ
ξ + dξX(ξ + dξ, t)
X(ξ, t)
Ω0 Ωt
Développement limité
X(ξ + dξ, t)− X(ξ, t) = ∇ξX(ξ, t)dξ + o(dξ)
Pour un matériau hyperélastique
E =∫
Ω0
W(∇ξX(ξ, t))dξ
−→ Permet de calculer T = ∂W∂F (∇ξX)
– p. 27
Isotropie et indifférence matérielle
Indifférence matérielle + Isotropie
E =∫
Ω0
W(Tr(C), Tr(Cof(C), det(C)) dξ C = [∇ξX]T [∇ξX]
Tenseur des contraintes correspondant T = [∇ξX]Σ avec
Σ(ξ, t) = αC I + βCC+ γCC−1
En notant B = [∇ξX][∇ξX]T
σ(X(ξ, t), t) = αB I + βBB+ γBB−1
−→ On est encore en lagrangien car on calcule σ avec X(ξ, t)!!
−→ Comment calculer σ de manière eulérienne?
– p. 28
Elasticité eulérienne (Cottet-Maitre-M, M2AN 2008)
Caractéristiques rétrogrades Y
x = X(ξ, t)ξ = Y(x, t)
Ω0 ΩtX(·, t)
Y(·, t)
En dérivant Y(X(ξ, t), t) = ξ
Yt(x, t) + u(x, t) · ∇xY(x, t) = 0 [∇ξX](ξ, t) = [∇xY]−1(x, t)
−→ permet de calculer σS avec les caractéristiques rétrogrades Y(x, t) eulériennes
– p. 29
Plan de l’exposé
I) Introduction générale
II) Modèle de membrane
⊲ Analyse mathématique
⊲ Modélisation flexion
⊲ Simulations numériques
III) Modèle volumique
⊲ Incompressible
⊲ Compressible
IV) Perspectives
– p. 30
Elasticité eulérienne incompressible
Incompressibilité eulérien vs lagrangien
div(u) = 0 det(∇ξX) = 1
Indifférence matérielle + Isotropie
E =∫
Ωt
W(Tr(B), Tr(Cof(B))) dx
Tenseur des contraintes
σS(x, t) = −pI + dev(σ(B)) B(x, t) = [∇xY]−1[∇xY]
−T
p est un multiplicateur de Lagrange qui permet d’imposer la conditiond’incompressibilité.
– p. 31
Modèle fluide-structure volumique incompressible
Solide elastique
Fluide
Ψ(·, t) = 0Modèle
ρ(Ψ)(ut + (u · ∇)u)− div(σ(u,Y)) +∇p = 0
div(u) = 0
Yt + u · ∇Y = 0
avec σ(u,Y) = σS(Y)χS + σF(u)χF
Avantages
⊲ Traitement implicite de la continuité de la vitesse et des contraintes
⊲ Discrétisation sur une grille fixe cartésienne avec des différences finies
⊲ Méthode de projection pour imposer la contrainte d’incompressibilité
⊲ Schémas WENO pour le transport
– p. 32
Perspectives incompressible
Déplacement d’objets rigides déformables dans un fluide
Source: Michel Bergmann
−→ Ajout de parties élastiques (queue, nageoires...)
Difficulté : Grandes raideurs élastiques −→ Implicite?– p. 37
Plan de l’exposé
I) Introduction générale
II) Modèle de membrane
⊲ Analyse mathématique
⊲ Modélisation flexion
⊲ Simulations numériques
III) Modèle volumique
⊲ Incompressible
⊲ Compressible
IV) Perspectives
– p. 38
Elasticité eulérienne compressible
E =∫
Ωt
(
Wvol(ρ) +Wiso(Tr(B), Tr(Cof(B))))
ρ dx
avec
ρ = det(B)−12 B =
B
det(B)13
tenseur des contraintes
σS(x, t) = W ′vol(ρ)I + dev(σiso(B))
WvolWiso
– p. 39
Lien avec les fluides compressibles
Pour une déformation isochore
σS = −p(ρ)I
−→ Equations d’euler compressible barotropes
Exemples de lois de comportement pour r 7→ Wvol(r)
0
2
4
6
8
10
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0.5*(-2*log(x) +exp(2*log(x))-1)
(a) Milieu elastique
0
2
4
6
8
10
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
exp(-1.0*log(x))
(b) Milieu fluide
– p. 40
Elasticité eulérienne compressible
Modèle complet sous forme conservative
(ρu)t + div(ρu⊗ u− σ(∇Y)) = 0
ρt + div(ρu) = 0
∇Yt +∇((u · ∇)Y) = 0
Système hyperbolique Ψ = (ρ, ρu,∇Y)
Ψt + div(F(Ψ)) = 0
Développement de méthodes numériques −→ recherche des valeurs propres
– p. 41
Elasticité eulérienne compressible 1D
Equations de l’élasticité 1D
ρt + (ρu)x = 0
(ρu)t + (ρu2 − σ(Yx))x = 0
(Yx)t + (uYx)x = 0
Valeurs propres du système
ΛE =
u, u+
√
−σ′(Yx)Yx
ρ, u−
√
−σ′(Yx)Yx
ρ
−→ On retrouve Euler isotherme et Euler isoentropique.
– p. 42
Elasticité eulérienne compressible 2D-1D
Le système s’écrit Ψt + (F1(Ψ)),1 = 0 avec
Ψ =
ρ
φ1
φ2
Y1,1
Y2,1
F1(Ψ) =
φ1(φ1)2
ρ − σ11
φ1φ2
ρ − σ21
φ1Y1,1
ρφ1Y
2,1+φ2
ρ
Valeurs propres du système
ΛE =
u1, u1 +
√
α1ρ, u1 −
√
α1ρ, u1 +
√
α2ρ, u1 −
√
α2ρ
−→ 5 ondes
– p. 43
Méthode numérique
Méthode volume finis
Ψn+1k − Ψ
nk
∆t= −
Fnk+1/2(Ψ
nk ,Ψ
nk+1)−Fn
k−1/2(Ψnk−1,Ψ
nk )
∆x
⊲ Calcul des flux F −→ Solveur de Riemann HLLC
⊲ Traitement "sharp" de l’interface
⊲ Ordre 1 en temps et en espace
Loi de comportement
W =ργ−1
γ − 1+
p∞
ρ+ α(Tr(B)− 2)
Partie volumique −→ Stiffened gas
Partie élastique −→ Néo-Hookean
– p. 44
Cas test
Solid Air
0 0, 15 0, 4 1
u2 = 1000 u2 = 0 u2 = 0
u1 = 0 u1 = 0 u1 = 0
ρ0 = 1
p0 = 105
ρ0 = 8.9103
p0 = 105
Paramètres cuivre: γ = 4.22, p∞ = 3.42× 108, α = 9.2× 1010
Paramètre air: γ = 1.4
– p. 45
Plan de l’exposé
I) Introduction générale
II) Modèle de membrane
⊲ Analyse mathématique
⊲ Modélisation flexion
⊲ Simulations numériques
III) Modèle volumique
⊲ Incompressible
⊲ Compressible
IV) Perspectives
– p. 58
Lien avec les fluides visco-élastiques
Tenseur des contraintes
σ = µ1D(u) + σS
Modele de Voigt Modele de Maxwell
µ1
G G µ2
µ1
3
σS = 03
σS +1
τσS =
µ2
τD(u)
3
σS =
σS = (σS)t + u · ∇σS − [∇u]σS − σS[∇u]T sur-convectéeσS = (σS)t + u · ∇σS + [∇u]TσS + σS[∇u] sous-convectée
−→ Lien avec l’élasticité eulérienne?
– p. 59
Approche avecY pour des fluides viscoélastiques
En dérivant Yt + u · ∇Y = 0 (B = [∇xY]−1[∇xY]−T)
B = 0
B−1 = 0
Approche avec Y
−→ Calcul des 3 composantes de Y avec une équation de transport
Approche avec σS
−→ Calcul des 6 composantes de σS avec une équation plus complexe
– p. 60
Lien modèles volumique et membrane
Y contient toute l’information sur les déformations. Projection sur le plan tangent
M = [∇Y]−1[I − n0(Y)⊗ n0(Y)] A = MMT
Variation d’aire et de cisaillement
Va =√
Tr(Cof(A)) Vc =Tr(A)
2√
Tr(Cof(A))
– p. 61
Publications
⊲ G.-H Cottet, E. Maitre and T. Milcent : Eulerian formulation and level set
models for incompressible fluid-structure interaction, M2AN (2008)
⊲ E. Maitre, T. Milcent, G.-H Cottet, A. Raoult, Y. Usson : Applications of levelset methods in computational biophysics, MCM (2009)
⊲ A. Iollo, T. Milcent, H. Telib : A sharp contact discontinuity scheme for
multimaterial models, soumis (2011)
⊲ T. Milcent : Shape derivative of the Willmore functional and applications to
equilibrium shapes of vesicles, soumis (2011)
– p. 62