Miner i Capitulo III

7/28/2019 Miner i Capitulo III

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PROCESAMIENTO DE MINERALES MINERALURGIA I M.Sc. Ing. Nataniel Linares Gutirrez

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CAPTULO III

CARACTERIZACICARACTERIZACICARACTERIZACICARACTERIZACIN DEL TAMAO DE PARTN DEL TAMAO DE PARTN DEL TAMAO DE PARTN DEL TAMAO DE PARTCULASCULASCULASCULAS

3. OBJETIVO.

Al concluir el estudio del presente captulo, el estudiante metalurgista estar capacitado en la toma demuestras para diferentes fines por diversos mtodos, efectuar anlisis granulomtricos para evaluacinde operaciones unitarias de reduccin de tamao, as como a partir de los datos de laboratoriorepresentar el anlisis granulomtrico mediante modelos matemticos.

3.1. INTRODUCCION.

La evaluacin de las caractersticas de las partculas de mineral es muy vital en el Procesamiento deMinerales, donde tiene mucho que ver con la forma y tamao y este proceso de reduccin de tamaotiene como finalidad liberar los diferentes minerales valiosos de los no valiosos. El anlisis de tamaode partcula en una Planta Concentradora debe realizarse empleando mtodos que sean exactos yseguros y como normalmente las partculas procedentes de los diversos productos de las operaciones dereduccin de tamao tienen una gama de caractersticas, lo cual hace imposible lograr una descripcinprecisa de tales productos, por ende, ser necesario tener en cuenta, lo siguiente:

El tamao de partcula. El tamao promedio de todas las partculas. La forma de las partculas.

La gama de tamaos de partculas. Los minerales que ocurren en las partculas La asociacin de los minerales en las partculas.

3.2. CARATERIZACION DE PARTICULAS Y CONJUNTOS DE PARTICULAS.

La caracterizacin de partculas y conjuntos de partculas es una actividad muy importante en elProcesamiento de Minerales, ya que el tamao se usa como una medida de control para la conminucinque tiene como finalidad la liberacin de las especies valiosas de las no valiosas. De otro lado, laconminucin tiene un alto costo, por lo que se debe evitar una sobreliberacin o subliberacin de laespecie valiosa. La subliberacin ocurre cuando el grado de reduccin de la partcula no es suficientepara liberar completamente a la especie valiosa. En cambio, la sobreliberacin ocurre cuando el gradode reduccin de la partcula es mayor que el necesario para liberar completamente la partcula de la

especie valiosa (Figura 3.1).

Mineralvalioso

Mine

ralde

gang

a

Figura 3.1. Representacin de los grados de reduccin de una partcula.


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2

Para medir el grado de liberacin se usa el tamao de la partcula debido a su relativa facilidad demedicin. El tamao de una partcula es igual a una dimensin representativa de su volumen en formasgeomtricas regulares. Ejemplo: Esfera en la cual el tamao puede describirse por su dimetro. Sin

embargo, las partculas molidas o chancadas son totalmente irregulares, por lo que se recurre a undimetro nominal el que se puede definir de distintas formas.

3.2.1. Dimetro basado en una dimensin lineal.

a).- Dimetro de Feret (dF): Valor de la distancia entre 2 paralelas tangentes a la silueta proyectada de lapartcula y que son perpendiculares a una direccin fija.

Fd

Figura 3.2. Representacin del dimetro de Feret

b).- Dimetro de Martin (dM): Largo de la lnea paralela a una direccin fija que divide la siluetaproyectada en 2 partes iguales.

Md

1A

2A

Figura 3.3 Representacin del dimetro de Martin.

c).- Dimetro Mximo y Mnimo Lineal: Corresponden a la mxima y mnima dimensin lineal de unapartcula.

maxd

mind

Figura 3.4. Representacin del dimetro mximo y mnimo lineal.


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Un mineral al ser fracturado, aun cuando originalmente haya sido regular, est formado por una gama departculas de formas distintas e irregulares que no pueden ser definidas con exactitud, por lo que se optapor adoptar una forma aproximada a fin de darle una descripcin adecuada que se le conoce como el

dimetro nominal dnEste dimetro se define ya sea en funcin de una propiedad real de la partcula como su volumen o elrea de su superficie. Esto es:

1. Dimetro de superficie 4. Dimetro de Stokes.

dS

s=

(3.2) d

v

gst

s l

=

18

( ) (3.5)

2. Dimetro de volumen. 5. Dimetro de superficie especfica

d Vv =63

(3.3) d dd

vs

v

s

=

3

2 (3.6)

3. Dimetro del rea proyectada.

dA

a

p=

4

(3.4)

Como se puede ver, es importante definir el dimetro nominal utilizado, siempre que se mencione eltamao de partcula, puesto que, en las diversas etapas de conminucin-clasificacin y concentracin deminerales, el tamao de partcula constituye una de las variables de mayor importancia operacional.

El comportamiento del mineral a travs de las etapas de trituracin-cribado, molienda-clasificacin,flotacin y separacin slido-lquido, dependen en gran medida del tamao de las partculas tratadas encada una de estas etapas del proceso de concentracin de minerales. Por lo tanto, el tamao de partculaes una medida representativa de su extensin en el espacio, que dependiendo de la tcnica de medicinempleada, se puede caracterizar el tamao de partcula en funcin de su rea superficial, su volumen, sumasa, siendo posible asimismo definir relaciones matemticas de equivalencia entre las distintasmetodologas, tal como se muestra en las relaciones matemticas que se presentan arriba.

Para obtener un buen ensaye de tamaos de partculas es necesario contar tambin con una buenamuestra, la cual debe ser representativa y ello depende del mtodo de muestreo que se utilice.

3.2.2. FORMA DE LAS PARTICULAS.

Para caracterizar totalmente las partculas se debe indicar la forma que tienen. En efecto, la forma de laspartculas puede afectar fuertemente la clasificacin por tamaos. Una partcula angular puede serclasificada en diferentes formatos segn la manera en la que enfrente a la abertura de una malla o tamiz.Esto se aprecia en la siguiente figura:

Figura 3.5 Efecto de la forma en la clasificacin de partculas.


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a).- Partcula retenida.b).- Partcula pasa una abertura mucho menor que la anterior.

3.2.3. MUESTRA. En Procesamiento de Minerales, una muestra es una pequea porcin de un lote demineral, el cual contiene todos los componentes qumicos y mineralgicos, en la mismaproporcin que existen en el original, Figura 3.6.

Figura 3.6. Toma de muestra de un lote de mineral.3.3. MUESTREO.

El muestreo es una operacin de control metalrgico que obligatoriamente se hace en toda PlantaConcentradora que consiste en la obtencin de pequeas muestras que representan todas las cualidadesdel tonelaje tratado, es decir, el muestreo conduce a la obtencin de una muestra representativa quepermite estimar a travs de ella, todas las caractersticas de un gran conjunto de mineral del que fueextrada. En consecuencia, esta operacin se ejecuta con el propsito de investigar, controlar yestablecer las condiciones en que se desarrollan todas las operaciones de un proceso metalrgicoextractivo.

3.3.1. ELEMENTOS DE LA OPERACIN DE MUESTREO.

Para una ptima caracterizacin de un yacimiento se requiere de un acabado conocimiento de la Menade inters, para lo cual se deben obtener una serie de muestras extradas sistemticamente, es decir,que sean lo ms representativas posibles. Las muestras obtenidas deben ser lo ms cercano posible alas propiedades reales del mineral en el sentido de obtener y extrapolar sus propiedades a todo elyacimiento. En general en el Procesamiento de Minerales es vital una adecuada muestra para podercaracterizar eficientemente la mena. Esta debe ser lo ms representativa posible para extrapolar suspropiedades a todo el lote de mineral.

Los parmetros a determinar o propiedades tpicas son granulometra, dureza, humedad, gravedadespecfica (g.e.), forma, rea superficial, composicin, etc.

Los elementos bsicos considerados en cualquier procedimiento de muestreo son:

Definir la caracterstica a investigar. Grado de precisin requerido. Caractersticas de la poblacin. Tamao de la muestra requerida.

Por consiguiente, as como es importante hacer un buen muestreo que permita obtener datos confiables,reviste tambin trascendental importancia la preparacin de las muestras la cual se puede definir comoun conjunto de operaciones que deben hacerse para llevar la muestra desde su forma original hasta laforma apropiada para los estudios y/o anlisis que se efectuarn con ella. As por ejemplo, la muestra setoma para ejecutar lo siguiente:

Anlisis granulomtrico y mineralgico. Ensaye qumico.


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Anlisis microscpico o mineragrfico. Estudios metalrgicos de yacimientos. Embarque de concentrados.

Balances de materiales y metalrgicos en una Planta Concentradora.

Anlisis de tamao Distribucin de masa de lasfracciones de tamao

Tamizado (seco o hmedo) Elutriacin (cyclosizer) Anlisis de la variedad de partculas finas.

Anlisis Qumico Distribucin de los elementos en las variasfracciones de tamao de partcula

Agrupamiento de fracciones de tamao. Tamizado (seco o hmedo) Anlisis de los elementos orgnicos e

inorgnicos.

Estudio Mineralgico

Modo de interpretacin

Separacin en lquidos pesados. Anlisi por difraccin de rayos X. Anlisis: mayora de elementos constituyentes de la

muestra. Observacin: ptica, microscpica equipada con

microscopio electrnico de barrido

Identificacin de constituyentescontenidos en las fases yevaluacin del grado deliberacin

ETAPAS OBJETIVOS PROCEDIMIENTOS

Estudio metalrgico Concentracin de los

minerales Extraccin del metal

Pruebas de concentracin de flotacin,gravimtrica, electromagntica, etc.

Pirometalurgia, hidrometalurgia, etc.

Figura 3.7. Caracterizacin de las muestras en procesamiento de minerales

Las muestras que deben someterse a preparacin en la industria de los minerales o mineralurgia puedenprovenir de Mina y de Planta Concentradora y por lo tanto se clasifican en dos grupos:

1. Muestras de mineral slido y seco: De mina tomadas por el departamento de geologa y de PlantaConcentradora de algn punto de las etapas de chancado, cribado y almacenamiento.

2. Muestras de pulpa: De Planta Concentradora, tomadas de algn punto de la molienda, clasificacin,flotacin, espesamiento, filtrado y secado.

Si la muestra es slida seca, se sigue el siguiente procedimiento:

Si la muestra est como pulpa, se ejecuta el siguiente procedimiento:

3.3.2. FACTORES QUE AFECTAN AL MUESTREO.

Los factores que hacen difcil un muestreo de minerales son entre otros los siguientes:

Gran variedad de constituyentes minerales en la mena.


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Distribucin dispareja de los minerales en la mena. Variacin en tamao de las partculas constituyentes. Variacin en dureza en los distintos minerales.

3.3.3. PESO DE MUESTRA.

El peso que debe tener una muestra variar en funcin del tamao de partcula y se puede determinarpor el mtodo ideado por Gy, el cual toma en cuenta el tamao de partcula de mineral, el contenido y elgrado de liberacin de los minerales y la forma de la partcula. Este mtodo est identificado por lasiguiente frmula:

2

3

s

CdM = (3.1)

Donde:

M = Es el peso mnimo necesario de muestra en g.C = Es la constante de muestreo para el mineral del que se toma la muestra, en g/cm3.d = Es la dimensin de las partculas ms grandes en el mineral que se va a muestrear.s = Es la medida del error estadstico que se puede tolerar en el ensaye de la muestra, o

el error que se comete durante el muestreo.

El trmino s se usa para obtener una medida de la confiabilidad en los resultados del procedimiento demuestreo.

La constante de muestreo C es especfica para el material del que se toma la muestra, teniendo encuenta el contenido mineral y su grado de liberacin. Est dado por:

C = f g l m (3.2)

Donde:

f = Es un factor de forma.g = Es factor de distribucin de partcula.l = Es un factor de liberacin.m = Es un factor de composicin mineralgica.

3.3.4. METODOS DE MUESTREO.

Generalmente en una Planta Concentradora, las muestras pueden ser tomadas por tres mtodos, asaber:

1. Muestreo manual o a mano.2. Muestreo mecnico o a mquina.3. Muestreo en lnea (control automtico).

1. El muestreo manual es llevado a cabo por personal de Planta Concentradora o del laboratorioqumico, es lento y caro, con una pronunciada tendencia a error y algunas veces se presta para elfraude. Este puede hacerse por:

Muestreo mediante tenazas. Muestreo mediante tubos o dispositivos en espiral Muestreo mediante cono y cuarteo. Paleo fraccionado o alternado. Rifleado.


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Este tipo de muestreo se justifica slo cuando es ocasional o temporal y donde el material es pegajoso ydifcil de manejar. La obtencin de una muestra de laboratorio metalrgico para realizar anlisisgranulomtrico, anlisis qumico y/o mineralgico se puede realizar mediante diversas tcnicas. Sin

embargo, un requisito previo es una buena mezcla de la mena y esta mezcla previa se efecta con unpao roleador cuando es de grano fino, pero si es grueso, el coneo se hace con una pala.

Cuando la muestra es de peso grande, el roleo es hecho por dos personas que sujetan el pao, el cualdescansa en el piso, por dos de sus extremos, haciendo rodar el material de una esquina a otra. Laoperacin se repite hasta que se considere haber alcanzado una buena homogeneizacin de la muestra,es decir, durante varios minutos.

Cuando la muestra es pequea, menor a 3 Kg., la operacin puede ser realizada en pao roleador sobreuna mesa y por una sola persona. En algunos casos y para muestras de varias decenas de Kg., se utilizamezcladores mecnicos. Un esquema general de las etapas de un proceso de muestreo se muestra en lafigura 3.8, en la cual se resume todo lo antes expresado.

Figura 3.8. Esquema general de las etapas de un proceso de muestreo.

Coneo y Cuarteo.

Este mtodo es probablemente el ms antiguo de todos los mtodos de muestreo probabilstico, limitadoen la actualidad su uso a lotes de menos de una tonelada, con mena de tamao mximo de partcula de50 mm. Los pasos tpicos a seguir en la ejecucin de este procedimiento se muestra en la figura 3.9 yconsisten en:

1. El mineral se extiende sobre una superficie plana, fcil de limpiar. Si la cantidad de mena a muestreares muy grande, si la apila formando un cono mediante una pala, haciendo caer cada paladaexactamente en el vrtice de cono, para conseguir una adecuada distribucin de las partculas en lasuperficie del cono. Esta operacin se repite 2 a 3 veces con el propsito de dar adems unadistribucin granulomtrica homognea en todo el cuerpo del cono.

2. Seguidamente, la mena se distribuye para formar primero un cono truncado, distribuyendo radialmentelas partculas con una paleta o con la palma de la mano, luego se continua hasta alcanzar la altura deuna torta circular plana y simtrica en concordancia al paso anterior.

3. Finalmente, la torta circular plana se divide en 4 partes mediante el trazado de dos dimetrosperpendiculares entre s


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Figura 3.9. Esquema de operacin en el mtodo de Coneo y Cuarteo.

Paleo Fraccionado y Alternado.

El paleo fraccionadoes el ms barato y sencillo de los mtodos masivos de muestreo el cual consisteen mover el lote mediante una pala, ya sea en forma manual o mecnica, separando una muestraformada por una palada de cada N, logrando as una relacin de corte t = 1/N.

Este mtodo puede dividirse en tres formas de llevarse a cabo: Paleo fraccionado verdadero. Paleo fraccionado degenerado. Paleo alternado.

En el paleo fraccionado, las palas extradas de un lote se depositan en la parte superior de N montones,los cuales, al terminar con el lote M se convierten N muestras potenciales de igual volumen. Esto semuestra en la figura 3.10.

Paleo fraccional con N = 5

Figura 3.10. Representacin esquemtica del paleo fraccionado verdadero.

En paleo fraccionado degenerado, cada n-sima palada se deposita en el montn 1 y el resto, n-1paladas del ciclo, se depositan en el montn 2; en consecuencia, el montn 1 es la muestrapredeterminada y el montn 2 es el rechazo. Ver figura 3.11.

Figura 3.11. Representacin esquemtica del paleo fraccionado degenerado.


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En el paleo alternadose ha caracterizado por N = 2 y una relacin de muestreo t = , tal como semuestra en la figura 3.12 En este mtodo existe la posibilidad de una desviacin mayor cuando semuestrean menas gruesas, ya que una porcin menor o mayor de ellos puede quedar en una de las

fracciones.

Figura 3.12. Representacin esquemtica del paleo alternado.

Rifleado.

El partidor de Rifles se le conoce tambin como partidor de Jones, el cual consiste en un ensamble de unnmero par de chutes idnticos y adyacentes, normalmente entre 12 y 20. Los chutes en ngulo de 45 oms con el plano horizontal y se colocan alternadamente opuestos para que dirijan el material a dosrecipientes ubicados bajo ellos. La mena se alimenta por medio de una bandeja rectangular con el que sela distribuye uniformemente sobre su superficie. Cada bandeja o recipiente recibe una muestra potencial,tal como se muestra en la figura 3.13. Cuando la bandeja se descarga muy rpido y muy cerca de uno delos lados del partidor Jones, es posible que uno de los juegos de chutes derrame hacia el otro juego, locual en este caso, resulta una de las muestras potenciales con ms peso que la otra. En la figura 3.14, semuestra el uso correcto de este aparato. El rango normal de uso del partidor Jones, es el siguiente:

El tamao de partcula es de alrededor de 15 mm. El peso de lote desde 100 gramos hasta algunos cientos de kilos.

El peso de muestra, hasta unos cuantos gramos. El material debe ser totalmente seco.

Figura 3.13. Cortador Jones o de Rifle Fig. 3.14 Empleo correcto del Cortador Jones

2. El muestreo a mquinase lleva a cabo en equipos denominados muestreadores mecnicos que ensu mayora son automticos, los cuales operan por el movimiento de un mecanismo colector a travsdel material a muestrearse que cae de una faja transportadora o tubera.

En estos equipos es importante que:

El frente del mecanismo colector o cortador se presente en ngulos rectos a la corriente. El cortador cubra la corriente El cortador se mueva a velocidad constante. El cortador sea bastante grande para pasar la muestra.

El intervalo de tiempo debe ser predeterminado.


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3.3.5. MUESTREO POR LOTES DE MINERAL

a).- Grab Sampling

b).- Muestreo de Tuboc).- Muestreo con Pala

a).- Grab Sampling: En este mtodo las muestras se obtienen mediante una pala u otro dispositivo, deacuerdo a un esquema fijo o aleatorio, desde la superficie del mineral, se aplica en cualquier tipo demineral a granel, barcos, etc. Tiene poco uso debido a que tiene un gran error asociado, figura 3.15.

Figura 3.15. Sistema de muestreo Grab Sampling

b).- Muestreo con Tubos: Las muestras se obtienen insertando un tubo ranurado en el material el cuales rotado para cortar y extraer una muestra. Es aplicable a menas o concentrados de granulometra fina,hmeda o seca, en pilas de almacenamiento, silos, carros de ferrocarril o camiones, figura 3.16.

Figura 3.16. Sistema de muestreo con muestreador de tubo

c).- Muestreo con Pala: Durante la transferencia manual del material, se extrae una palada a intervalosespecificados (2a, 5a, 10a, 20a). El mtodo funciona mejor para materiales de granulometra fina.

3.3.6. MUESTREO INCREMENTAL

Se refiere a los procedimientos para obtener muestras primarias por mtodos peridicos, generalmentedesde un transportador (correas, canaletas, etc.). Los errores asociados con la obtencin de muestras

(incrementos) desde fajas transportadoras en movimiento, son funcin de la falta de uniformidad de lacorriente por efectos de segregacin por densidad y estratificacin por tamao. Estos pueden originarseen buzones o pilas desde donde se alimenta a la faja o durante el transporte (por vibraciones en la faja ocorrea).

El material de alimentacin a la faja puede estar estratificado en composicin debido a un mezcladoinsuficiente cuando se carga al buzn o pila. Esto ser particularmente evidente en slidos con un ampliorango de tamaos y densidades, los finos y minerales de alta densidad tendern a sedimentaracumulndose en el fondo de la faja. En el caso de las pulpas, stas se segregarn como resultado de lavariacin en las velocidades de las partculas, con las ms grande y densas sedimentando al fondo de lacorriente. El muestreo de corrientes de slidos y pulpas se basa en que toda la corriente es desviada porun intervalo especificado de tiempo, para la obtencin de la muestra. El mtodo preferido para una mejorexactitud es muestrear desde la descarga del transportador. Una tcnica alternativa es usar un cortadorfijo, que tome una porcin de la corriente para el muestreo. Si bien este mtodo es ms simple, no


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representa la corriente completa, por lo que la simplicidad es anulada por la falta de confiabilidad. ElMuestreo Incremental se llama tambin Estratificado, que es el trmino que describe el flujo dematerial con segregaciones a lo largo del transportador. Un plan para muestreo incremental debe tomar

en cuenta el grado de estratificacin de la corriente. La teora del muestreo puede emplearse pararesolver el problema de cantidad de muestra y el intervalo de tiempo entre incrementos, de modo que lamuestra final sea representativa del total.

TECNICAS DE MUESTREO INCREMENTAL

a) Estratificado en base a tiempo constante: En este caso el mecanismo cortador de muestra seactiva a intervalos regulares de tiempo. Se supone aqu que el flujo msico del material es constante.

b) Estratificado en base a peso constante: Se usa la seal de masa integrada de una balanza decorrea u otro dispositivo para activar el cortador de muestra cuando una masa predeterminada hapasado por el sistema. Este mtodo se emplea cuando el flujo de material es irregular y el peso sepuede medir con exactitud suficiente para asegurar que se lograran muestras confiables de acuerdoal flujo msico.

c) Estratificado aleatorio: Se realiza eligiendo un intervalo aleatorio para la operacin del cortador.Este mtodo se usa cuando ocurren variaciones peridicas del flujo msico o del parmetro a medir yse incurrira en error si se tomaran muestras correspondientes a la periodicidad de la variacin.

De estos 3 mtodos el ms utilizado es el de tiempo constante, basado en el supuesto que el flujo dematerial es controlable a una velocidad constante. La seleccin del mtodo de muestreo incremental estagobernado por las circunstancias encontradas de modo de minimizar errores sistemticos de muestreo,tomando en consideracin las fuentes de error que pueden influenciar la posibilidad de erroressistemticos.

MUESTREO DE CORRIENTES DESDE UN TRANSPORTADOR

El trmino transportador se aplica a la descarga de slidos desde correas y similarmente a pulpasdescargadas desde un canal o caera. Los mtodos para extraer o cortar una muestra desde una

corriente de material que cae desde un transportador son los siguientes:

a).- Corte con carrera Lineal: El cortador se mueve a travs de la corriente siguiendo una trayectoria enlnea recta. La trayectoria puede ser perpendicular a la direccin del flujo, opuesto a la direccin del flujoo en la misma direccin al flujo, Figura 3.17.

Figura 3.17. Corte con carrera lineal


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b).- Corte con Carrera Rotacional: El cortador se mueve en una trayectoria con forma de arco, de modoque la corriente completa est dentro del radio del arco, Figura 3.18.

Figura 3.18. Corte con carrera rotacional

Cualquiera sea el tipo de muestreador en general debe cumplir las siguientes condiciones: Debe tomar la corriente completa de material en cada punto de la trayectoria y debe pasar a

travs de toda la corriente. Debe tener lados paralelos y moverse en ngulo recto a la corriente de material. La abertura debe tener un ancho por lo menos de 4 veces mayor que la partcula ms grande del

material a muestrear. La velocidad a travs de la corriente debe ser constante y de una magnitud tal que altere lo

menos posible el flujo de material.

3.4. TAMAO Y FORMA DE LAS PARTICULAS - ANALISIS GRANULOMTRICO.

El anlisis granulomtrico es una operacin de control metalrgico que tiene por objeto estudiar lacomposicin granular de las mezclas de minerales con el fin de conocer el tamao promedio departculas, su volumen y su superficie, adems, en la medida de lo posible, debe conocerse la formaaproximada de la partcula, tal como:

Acicular: Forma de aguja. Cristalina: Forma geomtrica libremente formada en un medio fluido. Angular: Forma puntiaguda. Dentrtica: Ramificaciones en forma cristalina. Fibroso: Regular o irregularmente filamentado. Escamoso: En forma de hojas o lminas. Granular: Tiene aproximadamente una misma forma irregular equidimensional. Irregular: Carece de cualquier simetra. Modular: Tiene forma redonda irregular

Esfrica: Forma globular.


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En el anlisis granulomtrico se trata de cubrir una variedad muy amplia de tamao de partculas,teniendo en cuenta que esta variedad sea una de las de mayor importancia industrial, sobre todo cuandose trata de la liberacin de los minerales valiosos para ser separados o concentrados, tal como se

muestra en la figura 3.19.

Figura 3.19. Separacin de un lote de partculas en varias fracciones de tamao

En concordancia de lo antes mencionado, los mtodos utilizados para realizar el anlisis granulomtricose seleccionan con esa finalidad. Uno de estos mtodos se da a continuacin:

Mtodo Escala utilizada en micronesPrueba de tamizado 100 000 a 10Elutriacin 40 a 5Microscopa (ptica) 50 a 0,25Sedimentacin (gravedad) 40 a 1Sedimentacin (centrfuga) 5 a 0,05Microscopa electrnica 1 a 0,005

Por tanto, los fines particulares del anlisis granulomtrico de los minerales son: a) Determinacin de lagama de tamao de partculas. b) Separacin de ellas de acuerdo con su tamao.

Operacionalmente, un anlisis granulomtrico completo, consiste en hacer pasar un peso determinado demineral representativo de la muestra original, por una serie de tamices o mallas ordenadas de arribahacia abajo, es decir, de la malla de mayor abertura a la de menor abertura, tal como se muestra en lafigura 3.20.

Figura 3.20. Procedimiento del tamizado


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Terminada la operacin despus de un tiempo predeterminado, se pesa el mineral que se retiene encada malla, el cual nos servir para determinar el porcentaje en peso de cada fraccin de tamao.Cuando se requiere de mayor precisin se prefiere lavar la muestra (Figura 3.21).

Fig. 3.21. Lavado de la muestra para un tamizado libre de finos

Para un mejor tamizado se suele lavar la muestra, a fin de retirar todos los finos que pueden estar

adheridos a las partculas ms grandes y as el tamizado sea ms exacto. Esta operacin se lleva cabocon material seco o hmedo y las mallas se agitan para exponer todas las partculas a las aberturas. Estemovimiento es impartido por un equipo denominado Ro-Tap, el cual se muestra en la figura 3.22.

Figura 3.22. Ro-Tap de malla vibratoria.

El tiempo que se utiliza vara de 15 o ms a 7 minutos, segn el tipo de mineral metlico o no metlico.

3.4.1. TAMICES Y SELECCION DE TAMICES.

Los tamices son depsitos generalmente de forma cilndrica en cuyo fondo llevan una malla que es unatrama de alambre de distintas aberturas. Estas mallas se designan por el tamao nominal de la abertura,que es la separacin central nominal de los lados opuestos de una abertura cuadrada o el dimetronominal de una abertura redonda. Las telas de alambre de las cribas se tejen para producir aberturas


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cuadradas normalmente uniformes dentro de las tolerancias necesarias. La tela de alambre en las cribascon una abertura nominal de 75 m y las ms grandes es de tejido simple, mientras que en las telas conaberturas menores de 63 m, los tejidos pueden ser cruzados, Figura 3.23.

Recipientes metlicos de 8 a 12 de dimetro, equipados con una malla con aberturas cuadradas.

Nmero de malla: Nmero de aberturas cuadradas en el tamiz por pulgada lineal. Malla 100: Hay 100 aberturas en la malla en una pulgada lineal. Entonces, abertura: 2.54/100 = 0.0254 [cm.] - dimetro del alambre = 0.15mm. Entonces, para separar partculas ms finas deben usarse mallas de nmero mayor. Realizan la misma funcin que las cribas, es decir, separan las partculas de una cierta muestra o

corriente de partculas segn sus respectivos tamaos.

Figura 3.23. Tejidos de la tela de alambre de la malla del tamiz

La serie de tamices se estandarizan de acuerdo a una progresin geomtrica, siendo una razn de 2

para la serie normal, 24 para la serie doble y la serie 1010 que hace posible una clasificacin msestrecha de las partculas. As, para la serie normal, si se denomina por x i al tamao de la abertura de lamalla de un tamiz, tendremos la siguiente serie:

xi -1 = 2 xi = Malla inmediata superior.xi = Abertura de malla base.

xi + 1 = xi / 2 = Malla inmediata inferior...

xi - 4

= 2122x = 300 m m48

xi -3 = 2 150 = 212 m m65

xi - 2 = 2 106 = 150 m m100

xi -1 = 2 75 = 106 m m150

xi = 75 m malla base m200

xi + 1 = 75/ 2 = 53 m m270

xi + 2 = 53/ 2 = 38 m m 400

xi + 3 = 38/ 2 = 27 m m 600


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Como podemos ver, cada uno de estos tamices se puede identificar por un nmero. Pero desde 1962 lostamices se designan por el tamao de la abertura, que ofrece directamente al operario la informacin quenecesita. Asimismo se conocen las siguientes series:

Serie TYLER Americana

Serie ASTM-E-11-61 Americana

Serie AFNOR Francesa

Serie BSS-410 Britnica

Serie DIN-4188 Alemana

Cuando no se tiene mallas o las partculas son mayores a 4 se mide la longitud ms grande, tal como semuestra en el esquema a), b) y c).

a) Formas de dimensionar una partcula mineral. b) Produccin de partculas

c) Esquema fsico de un tamiz


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Marcas de Tamices: Tyler, Dual, Reicotex, ATM, Retsch, etc.

CINETICA DE TAMIZAJEEl proceso de tamizaje vara en el tiempo debido a los efectos que tiene el proceso en las caractersticasdel material. Para que se realice un adecuado proceso de tamizaje deben cumplirse las siguientescondiciones:

La partcula debe tener la oportunidad de enfrentar la abertura. Si las partculas son menores que la abertura, estn bien orientadas y no est tapada la abertura,

entonces pasarn al tamiz ms fino.

PROBLEMAS DE TAMIZAJE

El proceso de tamizaje tiene los siguientes problemas:

a) Cegado de Tamiz: Las aberturas del tamiz pueden taparse con partculas atrapadas en la malla dealambre.

b) Abrasin del Material: El material blando se va desgastando por efectos de la abrasin por lo quenunca se alcanza el equilibrio.

3.4.2. PRESENTACION DE LOS RESULTADOS DE UN ANALISIS GRANULOMETRICO.

Los datos obtenidos de un anlisis granulomtrico pueden ser presentados mediante un arreglocomo el que se muestra en la tabla 3.1.

Tabla 3.1 Presentacin de datos de anlisis granulomtrico.

NUMERO DE

MALLA

ABERTURA DE

MALLA EN mxi

PESO

RETENIDO ENg wi

% RETENIDO

PARCIALf(xi)

% RETENIDO

ACUMULADOG(xi)

% PASANTE

ACUMULADOF(xi)xo 0,00 0,00 0,00 100,00x1 w1 f(x1) G(x1) F(x1)x2 w2 f(x2) G(x2) F(x2)x3 w3 f(x3) G(x3) F(x3)x4 w4 f(x4) G(x4) F(x4). . . . .. . . . .. . . . .

xn - 1 wn - 1 f(xn - 1) G(xn - 1) F(xn.-1)xn wn f(xn) G(xn) F(xn)

xn + 1 wn + 1 f(xn - 1) G(xn + 1) F(xn + 1)TOTAL W 100,00 - -

En esta tabla se nota lo siguiente:

1) xn + 1 = 0 ciego (3.2) 5) F(xi) = fj = 100 - G(xi) (3.6)

2) W = wi (3.3) 6) G(xi) = fj = f(x1) + f(x2) + . + f(xi) (3.7)

3) f(xi) = (wi/W)x 100 (3.4) 7) G(xn + 1) = 100 (3.8)

4) f(xi) = 100 (3.5) 8) G(xi) + F(xi) = 100 (3.9)

f(xi).- Es el porcentaje en peso de mineral retenido en cada malla, referido al peso total de mineraltamizado, considerado como muestra representativa.


19/36


19

G(xi).- Es el porcentaje acumulado retenido, es decir, est constituido por todo el mineral que tiene untamao de partcula mayor que la abertura del orificio de una malla X cualquiera de la serie detamices tomada. Es el mineral rechazado por esta malla.

F(xi).- Es el porcentaje acumulado pasante, es decir, est constituido por todo el mineral que tiene untamao de partcula menor que la abertura del orificio de una malla X cualquiera de la serie detamices tomada. Es el mineral que pas a travs de esta malla.

Para realizar un buen anlisis granulomtrico se debe lavar la muestra en la malla ms conveniente, porejemplo m10 para mineral grueso y m200 o m400 para mineral fino, tal como se muestra en la figura 3.9.

Tabla. 3.2. Resultados del anlisis granulomtrico

Abertura de malla Tyler Peso % Parcial % Ac. Ret. % Ac. Pas.N Intervalo de tamao en

mAbertura

nominal, mgramos f(x) G(x) F(x)

1 2 3 4 5 660 +250 250 0,02 0,045 0,045 99,95580 -250 +180 180 1,32 2,964 3,009 96,991

115 -180 +125 125 4,23 9,497 12,506 87,494170 -125 +90 90 9,44 21,194 33,7 66,300250 -90 +63 63 13,10 29,412 63,112 36,888325 -63 +45 45 11,56 25,954 89,066 10,934-325 -45 -45 4,87 10,934 100,00 -------

W = 44,54 g

La tabla 3.2 muestra lo siguiente:

1. El intervalo de tamices empleados en la prueba.2. Los tamaos de abertura nominal de los tamices que se usan en la prueba.3. El peso de material en cada intervalo de tamaos, por ejemplo, 1,32 g de material pas a travs de la

malla de 250 m, pero qued retenido sobre la malla de 180 m; por lo tanto , el material est

comprendido entre la gama de tamaos 250 +180 m.4. El peso de material retenido en cada tamao nominal se expresa como un porcentaje del peso total,denominado porcentaje parcial retenido o f(x).

5. El porcentaje acumulado retenido en cada malla o G(x), por ejemplo, el 12,506% de material es +125m; es decir, no pas esta malla.

6. El porcentaje acumulado pasante por cada malla, por ejemplo, el 87,494% de material pas el tamiz115, por lo tanto es menor de 125 m en tamao.

3.4.3. REPRESENTACION GRAFICA DEL ANALISIS GRANULOMETRICO.

Convencionalmente, los datos obtenidos de un anlisis granulomtrico son representados en laescala horizontal, el tamao de partcula en micrones y en la escala vertical, la cantidad de lacaracterstica, que puede ser: G(xi), F(xi) o f(xi). La representacin grfica ms utilizada en el

procesamiento de minerales es el ploteo de:

250 m = 0,02 g

180 m = 1,32 g

125 m = 4,23

90 m = 9,44 g

63 m = 13,10 g

45 m = 11,56 g

Cie o = 4 87

Aqu podemos ver, que el material retenido en

cada malla, se ha retirado y luego pesado, cuya

suma es igual al peso de la muestra W = 44,54 g.

A partir de este par de valores se construye el

anterior cuadro.


20/36


20

F(x), G(x) o f(x) Tamao de partcula

Escala aritmtica ologaritmica

Escala logaritmica

vs

En el primer caso, el grfico obtenido tendr la siguiente forma:

ANLISIS GRANU LOMTRICO

01020

30

4050

6070

8090

100

10 100 1000

TAMAO DE PART CULA EN MICRONES

Resu l tados de l an l is is g ranu lomt r ico

1

10

100

10 100 1000

Tam ao de pa r t cu la , m ic rones

Tamao de partcula, micrones

PorcentajeacumuladoPasante,

F(x)

PorcentajeAcum

uladoRetenido,

G(x)

F(x)G(x)

PorcentajeAcumumuladoPasante,

F(x)

Tamao de partcula, micrones

Fig. 3.16. Representacin en papel semi-logaritmo. Fig. 3.17. Representacin en papel log-log.

Fig. 3.18. Comparacin de escalas


21/36


21

3.4.3. REPRESENTACION MATEMATICA DEL ANALISIS GRANULOMETRICO.

Los resultados de un anlisis granulomtrico pueden ser generalizados y correlacionados por

expresiones matemticas denominadas funciones de distribucin de tamaos que relacionan el tamaode partcula (abertura de malla), con un porcentaje en peso, que generalmente es el acumulado retenidoo el pasante. Existen ms de 06 funciones de distribucin de tamao, pero las ms utilizadas enprocesamiento de minerales son tres:

1. Funcin de distribucin de Gates-Gaudin-Schuhmann (G-G-S).

2. Funcin de distribucin de Rosin Rammler (R-R).

3. Funcin de distribucin de los tres parmetros.

1.- Funcin de distribucin de Gates-Gaudin-Schumann (G-G-S).

Esta funcin se obtiene de comparar o relacionar los valores del porcentaje acumulado pasante F(x i) conel tamao de partcula o abertura de malla de la serie utilizada. El modelo matemtico propuesto es:

Fx

xx o

a

( ) =

100 (3.15)

Donde:F(x) = % en peso acumulado pasante por cada malla.

X = Tamao de partcula en micrones.

Xo = Mdulo de tamao el cual indica el tamao terico mximo de partculas en la muestra.

A = Mdulo de distribucin.

Una forma habitual de representar la distribucin granulomtrica G.G.S es un grfico log-log, tal

como se muestra en la fig.3.4, donde en las ordenadas se plotea el log F(x) y en las abscisas se plotea ellog(x), y como podemos ver, es una lnea recta, la cual se origina debido a que:

Fx

xxo

a

a

( ) =

100

es transformada en el papel logartmico en:

log log log( )Fx

a xxo

a=

+

100(3.16)

donde si hacemos un cambio de variable, tendremos:

Y = log F(x)

X = log x

A = log100

xoa

Constante.

De donde se obtiene el valor de xo mediante la siguiente expresin:

log 100 a log xo = A


22/36


22

xo

A

a=

10

2

B = a pendiente de la recta

Luego:Y = A + BX (3.17)

que es la ecuacin de una lnea recta.

1

1 10 100 1000

10

100

F(x)

Tamao de partcula en micrones (escala log)

log[100/xoa]

m = b

m

xo

Fig. 3.19. Representacin grfica del modelo G.G.S.

Cuando se examina la curva, se notar que cunto ms grande sea el valor de a , ms uniforme ser elproducto y ms pequeo ser el dispersin del material en los tamaos muy finos y muy gruesos.

Esta representacin sobre una escala log-log agranda considerablemente la regin abajo del 50 % en lacurva acumulativa de finos, especialmente debajo de 25 %.

Sin embargo sta se contrae severamente arriba de la regin de 50 % y especialmente arriba de 75 %, locual constituye la mayor desventaja de este mtodo.

2.- Funcin de distribucin de Rosin-Rammler (R-R).

Al efectuar un anlisis granulomtrico de algn producto de reduccin de tamao de partcula mineral, seobtiene un conjunto de datos experimentales de tamao de partcula o abertura de malla y su respectivoporcentaje acumulado fino o pasante, los cuales se ajustarn a una distribucin de Rossin-Rammler, sicumplen la siguiente expresin:

Fx

xx r

m

( ) exp=

100 1 (3.18)

Donde:


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23

F(x) = Porcentaje acumulado pasante.Xr = Es el mdulo de tamaom = Es el mdulo de distribucin.

Esta ecuacin se puede escribir tambin como:

Fx

xx r

m

( ) exp=

100 100

o

100 100 =

Fx

xx r

m

( ) exp

G

x

xx

r

m

( ) exp=

100 (3.19)

100

G

x

xx r

m

( )

exp=

Aplicando logaritmo natural a ambos lados tenemos:

ln( )

100

G

x

xx r

m

=

Luego, aplicando logaritmo decimal a ambos lados, se obtiene:

log ln log log( )

100

Gm x m x

x

r

= (3.20)

si se grfica el log ln[100/G(x)] vs log x se obtendr una lnea recta de la forma: Y = A + BX sihacemos:

Y = log ln[100/G(x)]

A = - m log xr

De donde se obtiene el valor de xr.

xr

A

m=

10

B = m

X = log x

Luego:

Y = A + BX


24/36


24

que es la ecuacin de una lnea recta.

Como el mtodo es tedioso para graficar, existe un papel especial para hacer el grfico de este

modelo, llamado papel de Rosin Rammler, en el cual se plotea directamente x y G(x).En comparacin con el mtodo log-log de G.G.S, la grfica de R-R agranda las regiones abajo del

25 % y arriba del 75 % del acumulativo de finos y se contrae en la regin de 30 a 60 %. Sin embargo, seha demostrado que esta contraccin es insuficiente para causar efectos adversos. En este grfico seaprecia que para x = xr

F(x) = 100 [1 - exp(-1) ] = 63,21

G(x) = 100 exp(-1) = 36,79

Porcentajeacumuladoretenido

PorcentajeAcumuladoPasante

Fig. 3.13. Representacin grfica de la funcin R-R.

3.- Funcin de distribucin de tres parmetros.

Esta funcin fue deducida por C. Harris y est dada por:

rs

mx

xxF

= 11)( (3.21)

Donde:

s = Parmetro de distribucin de tamao.R = Parmetro de sesgamiento de distribucin.Xm = Tamao mximo de partcula.

3.5. APLICACIONES DE LOS GRAFICOS DE ESTAS FUNCIONES.

Se tienen las siguientes aplicaciones

1. En la determinacin de las eficiencias comparativas de unidades de chancado y molienda.2. Las reas superficiales de las partculas se determinan mediante el anlisis de malla.


25/36


25

3. La estimacin de la potencia requerida para chancar y/o moler una mena desde un tamao dealimentacin hasta un tamao de producto determinado.

4. El clculo de la eficiencia de clasificacin por tamaos de un clasificador o hidrocicln se

estima con acertada precisin.5. El clculo de la eficiencia de molienda por mallas.6. El clculo del D50 para el transporte de pulpas.

Existen otros mtodos de poder clasificar las muestras minerales, tales como:

La elutriacin. La microscopa. De resistencia elctrica. Por rayo lser. Anlisis de tamaos de partcula en lnea o sobre la marcha. (En Planta Concentradora)

3.5.1. ANALIZADORES DE PARTICULAS POR DIFRACCIN LSER

Los analizadores de partculas por difraccin lser de longitud de onda individual y mltiple son sistemasautomatizados que ofrecen una reproducibilidad inigualable. Estos analizadores novedosos tienen lacapacidad de medir un rango amplio de tamao de partculas que se extiende desde 0.04 a 2000 mutilizando la tecnologa patentada de PIDS. El LS 13 320 es la innovacin de La Serie LS. El softwarecumple el requisito 21 CFR Parte 11, el cual ha sido diseado para satisfacer y superar el estndarinternacional (ISO/DIN 13320 - I Anlisis de Tamao de Partcula). Adems, en slo cuestin desegundos, ofrece mayor rapidez en el intercambio de mdulos. El software proporciona 4 niveles deseguridad y un nmero de funciones que simplifican el proceso de medicin y provee ayuda nica alcliente.


26/36


26

Equipos donde se lleva a cabo la reduccin de tamao y la liberacin del mineral valioso


27/36


27

3.6. PROBLEMAS DE APLICACIN.

1. Se tom una muestra del alimento fresco a un molino de barras para anlisis granulomtrico. El peso

seco de la muestra es de 2 320 g. Los resultados obtenidos se muestran en el cuadro # 1.

Abertura de malla Peso en gramosN En m wi1 36,65 96,74 417,143/8 239,65m4 408,0810 367,9514 81,4320 71,6828 66,3535 69,3748 57,7765 50,11100 45,04150 35,96200 23,43-200 252,65

TOTAL 2 320,00

1. Determine la representacin grfica.2. Determine los modelos de G-G-S y R-R.3. Haga una interpretacin de los resultados.

SOLUCION

Para poder representar en forma grfica y para determinar los modelos G.G.S y R.R se debeconstruir el cuadro N 2.

Cuadro N 2. Clculos del Anlisis Granulomtrico.

Abertura de malla Peso % Parcial % Ac. Retenido % Ac.Pasante

1 2 3 4 5 6

N m g f(xi) G(xi) F(xi)

1.5 0,00 0,00 0,00 100,00

1 25 000 36,65 1,58 1,58 98,42

19 000 96,74 4,17 5,75 95,83

12 500 417,14 17,98 23,73 76,27

3/8 9 500 239,65 10,33 34,06 65,94m4 4 750 408,08 17,59 51,65 48,35

10 1 700 367,95 15,86 67,51 32,49

14 1 180 81,43 3,51 71,02 28,98

20 850 71,68 3,09 74,11 25,89

28 600 66,35 2,86 76,97 23,03

35 445 69,37 2,99 79,96 20,04

48 300 57,77 2,49 82,45 17,55

65 212 50,11 2,16 84,61 15,39

100 150 45,04 1,94 86,55 13,45

150 106 35,96 1,55 88,11 11,90

200 75 23,43 1,01 89,11 10,89

-200 -75 252,65 10,89 100,00 0,00

TOTAL 2 320,00 100,00

Para obtener el valor de f(xi) utilizamos la siguiente frmula:


28/36


28

f xw

wx xi

i( )

,, ,= = = 100

36 65

2320100 1579 158%

= = 96 74

2320100 4 169 4 17%

,, ,x

y as sucesivamente

El valor de G(xi) se obtiene de la siguiente relacin:

G(xi) = f(x1) + f(x2) + f(x3) + + f(xi)G(x1) = 1,58.G(x2) = 1,58 + 4,17 = 5,75.G(x3) = 1,58 + 4,17 + 17,98 = 23,73..

.El valor de F(xi) se obtiene de

G(xi) + F(xi) = 100

F(xi) = 100 - G(xi)

F(x1) = 100 - 1,58 = 98,42

F(x2) = 100 - 4,17 = 95,83

ANALISIS GRANULOMETRICO

0.00

10.00

20.0030.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

90.00

100.00

10.0 100.0 1000.0 10000.0 100000.0

TAMAO DE PARTICULA EN MICRONES

%AC

UMULADOPASANT

exp

calc

Fig. 3.15. Curva del anlisis granulomtrico en escala semi-log

2. Determinacin de los modelos G.G.S y R.R.

A. Determinacin del modelo G.G.S.


29/36


29

Este modelo o funcin de distribucin est definida por:

F

x

x o

a

=

10 0

1,00

10,00

100,00

1000,00

10,0 100,0 1000,0 10000,0 100000,0

%ACUMULADOPASANTE

ABERTURA DE MALLA EN MICRONES

ANALISIS GRANULOMETRICO exp

calc

Fig. 3.16. Curva GGS experimental y ajustada

Al linealizar la expresin, aplicando logaritmo decimal obtenemos:

log ( ) log logF xx

a xo

a= +100

Y = A + BX Es una lnea recta.

Mediante regresin lineal, por el mtodo de mnimos cuadrados encontramos las constantes de estalnea recta, stas son:

A = 0,28379

B = 0,3878 = a

r = 0,9987 coeficiente relativo de correlacin.

Clculo del valor de xo.

Log100 - 0,3878 log(xo) = 0,28379

xo = 26 m

En consecuencia, la funcin de distribucin granulomtrica G.G.S queda expresada por:


30/36


30

F xx

( )

,

=

100

14489

0 4 29 1

B. Determinacin de la funcin R-R.

Este modelo est definido por la expresin

F xx

x r

m

( ) exp=

100 1

Al linealizar esta expresin se obtiene la siguiente relacin:

logln

( )

log log100

G x

m x m xr

= +

que tambin representa a un lnea recta, es decir:

YG x

A m xr

=

=

logln( )

log( )

100

B = m

Del mismo modo, mediante el mtodo de mnimos cuadrados, encontramos los valores de las

constantes. Esto es:A = - 2,1120

B = 0,564

r = 0,9767

A partir de estos valores calculamos el valor de xr:

- 0,564 log xr = - 2,1120

xr = 5 555 m

En consecuencia, la funcin de distribucin R-R es:

=

564,0

5555exp1100)(

xxF


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31

2. Se ha tomado una muestra del rebose de un hidrocicln, la cual fue debidamente manipulada, a finde tenerla en estado seco y despus de un cuarteo se obtuvo un peso de muestra de 850 g paraanlisis granulomtrico, cuyos datos se dan en la siguiente tabla:

Malla 28 35 48 65 100 150 200 270 400 - 400Peso, g 0,17 4,165 23,205 57,885 84.575 89,420 78,2 63,41 48,365 400,605

Se pide determina las funciones granulomtricas GGS y R-R y hacer el comentario correspondiente.

Solucin.

En primera instancia confeccionaremos el cuadro de anlisis granulomtrico siguiendo el procedimientodel problema anterior.

Cuadro 3. Anlisis granulomtrico

Abertura de malla Peso, g % Parcial % Acum. Ret. % Acum. Pas.N m wi f (xi) G(xi) F(xi)20 850 -- --- --- 100,0028 600 0,17 0,02 0,02 99,9835 425 4,165 0,49 0,51 99,4948 300 23,205 2,73 3,24 96,7665 212 57,885 6,81 10,05 89,95100 150 84,575 9,95 20,00 80,00150 106 89,42 10,52 30,52 69,48200 75 78,2 9,20 39,72 60,28270 53 63,41 7,46 47,18 52,82400 38 48,365 5,69 52,87 47,13

- 400 - 38 400,605 47,13 100,00 0,00

850,00Por definicin, la ecuacin GGS est dada por la siguiente expresin:

=

0

100)(x

xxF i

La cual transformamos en una lnea recta, llevando a su forma logartmica, es decir:

+=

0

100loglog)(log

xxxF ii

Es decir, Y = BX + A que es la expresin de una lnea recta, que resulta de un cambio de variable, talcomo se muestra a continuacin:

=

=

=

=

0

100log

log

)(log

xA

B

xX

xFY

i

i

Ahora, aplicando regresin lineal por el mtodo de los mnimos cuadrados tenemos que:


32/36


32

( )

=

22

2

ii

iiiii

XXN

YXXYXA

( )

==

22

ii

iiii

XXN

YXYXNB

El coeficiente de correlacin correlativa est dado por la siguiente expresin:

( )[ ] ( )[ ]

=

2222YYNxXXN

YXXYNr R2 = r2

Ahora, a partir del cuadro 3 construimos el cuadro 4

Cuadro 4. Datos para la regresin por mnimos cuadrados

xi F(xi) logxi logF(xi)

Xi Yi XiYi 2iX 2iY 600 99,98 2,778 1,9999 5,5557 7,7173 3,9996425 99,49 2,629 1,9977 5,2519 6,9116 3,9996300 96,76 2,477 1,9857 4,9186 6,1355 3,9430212 89,95 2,326 1,9540 4,5450 5,4103 3,8181150 80,00 2,176 1,9030 4,1409 4,7349 3,6214106 69,48 2,025 1,8418 3,7296 4,1006 3,392275 60,28 1,875 1,7802 3,3378 3,5156 3,169153 52,82 1,724 1,7228 2,9701 3,0359 2,968038 47,13 1,5797 1,6733 2,6433 2,4954 2,7999

19,5897 16,8584 37,0929 44,0571 31,7021

iX iY iiYX 2iX 2iY

Con estos valores calculamos las constantes regresionales.

2615,1)5897,19(0571,449

0929,375897,198585,160571,442

=

=

x

xxA

==

= 281,0

)5897,19(0571,449

1685845897,190929,3792x

xxB

9513,0]8584,167021,319[]5897,190571,449[

8584,165897,190929,379

22=

=

xxx

xxr

R2 = 0,9049

Y el valor de x0 est dado por:

mx 42573,42410)

281,0

2615,12(

0 ==

Luego la funcin GGS est dada por:

281,0

425100)(

=

xxF


33/36


33

Luego establecemos el siguiente cuadro comparativo

Abertura de malla % Acum. Pasante % Ac Pas. Calc. Diferencia

N m F(xi) F(xi)1 F(xi)1 - F(xi)28 600 99,98 110,175 10,19535 425 99,49 100,000 0,5448 300 96,76 90,676 - 6,08465 212 89,95 82,247 - 7.703100 150 80,00 74,628 - 5,372150 106 69,48 67,691 - 1.789200 75 60,28 61,420 1,14270 53 52,82 55,71 2,89400 38 47,13 50,739 3,609

- 400 - 38

Curva terica y prctica

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

10 100 1000

Tamao de partcula en micrones

%A

cumuladoPasanteF(x)yF(x)1

F(xi)

F(xi)1

Curva terica y prctica

10

100

10 100 1000


%A

cumuladoPasanteF(x)yF(x)1

F(xi)

F(xi)1

Ahora resolviendo para la funcin de Rosin-Ramler (R-R), cuya expresin es matemtica es:

=

m

rx

xxF exp1100)( )

=

m

rx

xxF exp100100)(

=

m

rx

xxF exp100)(100

=

m

rx

xxGexp

100

)(

m

rx

x

xG

= exp

)(

100

Aplicando logaritmo natural tenemos:

m

rx

x

xG

=

)(

100ln


34/36


34

Ahora aplicando logaritmo decimal tenemos (base 10):

rxmxmxG loglog)(

100

lnlog =

Al hacer un cambio de variable tenemos:

=

)(

100lnlog

xGY

mB =

rxmA log=

Que origina tambin una lnea recta de la forma: Y = BX + A. Luego construimos el siguiente cuadro.

logx Logln(100/G(x)X Y XY X Y

2,778 0,9303 2,5844 7,7173 0,86542,629 0,7225 1,8994 6,9116 0,52202,477 0,5352 1,3257 6,1355 0,28642,326 0,3613 0,8404 5,4103 0,13052,176 0,2067 0,4498 4,7349 0,04272,025 0,0744 0,15066 4,1006 0,00551,875 - 0,0346 - 0,0648 3,5156 0,00121,724 - 0,1242 - 0,2141 3,0359 0,0154

1,5797 - 0,1956 - 0,3089 2,4954 0,038219,5897 2,4760 6,6625 44,0571 1,9073

iX

iY iiYX

2

iX 2

iY

Con estos datos procedemos a calcular las constantes regresionales y las del modelo, as:

67986,15897,190571,449

6625,65897,19476,2,20571,442

=

=

x

xxA

9319,05897,190571,449

476,25897,196625,692

=

==

x

xxmB

9657,0)]476,29073,19()5897,190571,4489[(

476,25897,196625,69

22=

=

xxx

xxr

9326,02 =R

Luego:

rxlog9319,067986,1 =

9319,0

67986,1log =rx

477,63109319,0

67986,1

==

rx


35/36


35

=

9319,0

477,63

exp100)(x

xG

Para comparacin construimos el siguiente cuadro.

m G(x) G(x)1 Calc. G(x)1 - G(x) Ln100/G(x) Ln100/G(x)1600 0,02 0,03 0,01 8.517 8,111425 0,51 0,28 - 0,23 5,278 5,878300 3,24 1,42 - 1,82 3,429 4,254212 10,05 4,61 - 5,44 2,297 3,077150 20,00 10,76 - 9,24 1,609 2,229106 30,52 19,94 - 10,58 1,186 1,61275 39,72 31,09 - 8,63 0,923 1,168

53 47,18 42,94 - 4,24 0,751 0,84538 52,87 53,80 0,93 0,637 0,619

Valores de G(x) real y calculado

0

10

20

30

40

50

60

10 100 1000


%AcumuladoretenidoG(x)yG(x)1

G(x)

G(x)1

0,100

1,000

10,000

10 100 1000


Ln(100/G(x)yln(100/G(x)1

Serie1

Serie2

Curva de R-R del anlisis granulomtrico

Observando los dos anlisis vemos que la distribucin R-R representa mejor los datos experimentales.


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3. Se ha tomado una muestra del rebose de un molino de bolas, la cual fue debidamente manipulada, afin de tenerla en estado seco y despus de un cuarteo se obtuvo un peso de muestra de 400 g paraanlisis granulomtrico, cuyos datos se dan en la siguiente Tabla I:

Tabla I. Resultado de la operacin de tamizaje en el Laboratorio

Malla 8 10 14 20 28 35 48 65 100 150 200 -200Peso, g 12,3 67,6 68,8 55,6 40,8 32,8 25,6 18,0 15,2 12,4 7,6 43,3

Se pide representar grficamente la distribucin granulomtrica y luego determinar las funcionesgranulomtricas GGS y R-R y hacer el comentario comparativo correspondiente.

Solucin.

En primera instancia se confecciona la Tabla II de anlisis granulomtrico siguiendo el procedimiento delproblema anterior.

Tabla II.

N de MallaTYLER

Aberturam

Masag % Parcial

% AcumuladoRetenido

% AcumuladoPasante

xi wi f(xi) G(xi) F(xi)7 2800 0 0 0 1008 2360 12,3 3,1 3,1 96,9

10 1700 67,6 16,9 20,0 80,014 1180 68,8 17,2 37,2 62,820 850 55,6 13,9 51,1 48,928 600 40,8 10,2 61,3 38,735 425 32,8 8,2 69,5 30,548 300 25,6 6,4 75,9 24,165 212 18 4,5 80,4 19,6

100 150 15,2 3,8 84,2 15,8150 106 12,4 3,1 87,3 12,7200 75 7,6 1,9 89,2 10,8-200 -75 43,3 10,8 100,0 0

400 100

Representacin grfica del ANGRA

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000 10000

Tamao de particulas, en micrones

%A

cumuladoG(x),F(x)

% Parc ia l f (xi) % Acum. Retenido G(xi) % Acum. Pasante F(x i)

ANGRA

1

10

100

10 100 1000 10000


%A

cumulado

F(x)

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Miner i Capitulo III