MÍRY VARIABILITY

MÍRY VARIABILITY

Pokus shrnout jedním číslem míru odlišnosti hodnot statistických znaků

Míry variability pro nominální znaky existují, ale nejsou náplní kurzu

Míry variability pro ordinální a kvantitativní znaky jsou založeny na: Kvantilech – vybraných hodnotách ze souboru Všech hodnotách v souboru

VARIAČNÍ ROZPĚTÍ

Variační rozpětí je rozdílem mezi maximem a minimem

R = max – min

PŘÍKLAD

Určete variační rozpětí daného souboru:W X Y Z5 3 10 105 5 12 05 6 5 185 4 18 335 3 5 605 5 7 535 6 10 125 8 14 355 50 7 555 4 6 43

VÝSLEDKY

W: 5 – 5 = 0 X: 50 – 3 = 47 Y: 18 – 5 = 13 Z: 60 – 0 = 60

ROZPĚTÍ KVANTILŮ

Rozpětí různých kvantilů, nejčastěji:

Kvartilové rozpětí x0,75 – x0,25

Decilové rozpětí x0,9 – x0,1

Percentilové rozpětí x0,99 – x0,01

PŘÍKLAD

U dat z předchozího příkladu určete kvartilové a decilové rozpětí.

VÝSLEDKY

Kvartilové: W: 5 – 5 = 0 X: 7 – 3,5 = 3,5 Y: 13 – 5,5 = 7,5 Z: 54 – 11 = 43

Decilové: W: 5 – 5 = 0 X: 8 – 3 = 5 Y: 14 – 5 = 9 Z: 55 – 10 = 45

PRŮMĚRNÁ ABSOLUTNÍ ODCHYLKA

První ukazatel míry odlišnosti počítaný ze všech čísel

Jedná se o průměr z absolutních odchylek jednotlivých hodnot od průměru

Musí se tedy určit průměr, následně určit (absolutní – kladný) rozdíl mezi průměrem a jednotlivými hodnotami znaku (d) a tyto rozdíly se průměrují

PŘÍKLAD

Určete průměrnou absolutní odchylku z dat předchozích příkladů.

VÝSLEDKYW dw X dx Y dy Z dz

5 0 5 4,4 12 2,6 0 31,95 0 3 6,4 10 0,6 10 21,95 0 6 3,4 10 0,6 12 19,95 0 6 3,4 5 4,4 18 13,95 0 4 5,4 18 8,6 33 1,15 0 8 1,4 14 4,6 35 3,15 0 4 5,4 6 3,4 43 11,15 0 5 4,4 7 2,4 53 21,15 0 50 40,6 7 2,4 55 23,15 0 3 6,4 5 4,4 60 28,1

Průměry: W = 5; X,Y = 9,4; Z = 31,9Průměrné abs. Odchylky: W = 0; X = 8,12; Y = 3,4; Z = 17,52

PŘÍKLAD

V následující tabulce jsou četnosti známek pro dvě skupiny studentů – určete průměrnou absolutní odchylku v těchto skupinách a porovnejte, kde je větší variabilita známek.

ZnámkaPočet - 1. skupina

Podíl - 2. skupina

1 15 0,3

2 25 0,2

3 25 0,2

4 15 0,3

VÝSLEDKY - PRŮMĚR

xi ni pj nixi pjxi

1 15 0,3 15 0,32 25 0,2 50 0,43 25 0,2 75 0,64 15 0,3 60 1,2

Součty: 80 1 200 2,5

1. Skupina: 200/80 = 2,52. Skupina: 2,5

VÝSLEDKY – PR. ABSOLUTNÍ ODCHYLKA

xi di ni pj dini pjdi

1 1,5 15 0,3 22,5 0,452 0,5 25 0,2 12,5 0,13 0,5 25 0,2 12,5 0,14 1,5 15 0,3 22,5 0,45

Součty: 80 1 70 1,1

1. Skupina: 70/80 = 0,8752. Skupina: 1,1

ROZPTYL

Rozptyl je nejpočítanější mírou variability, byť sám o sobě nemá velký věcný význam.

Jedná se o průměrnou čtvercovou odchylku od průměru.

Pro každou hodnotu se musí udělat její rozdíl od průměru a tento rozdíl umocnit na druhou (tomu se říká čtverec). Tyto umocněné (čtvercové) odchylky se potom průměrují.

VLASTNOSTI ROZPTYLU

Rozptyl je nejmenší ze všech čtverců odchylek od libovolné konstanty

Rozptyl konstanty je roven 0 Přičteme-li k jednotlivým hodnotám

konstantu, rozptyl se nezmění Vynásobíme-li jednotlivé hodnoty konstantou,

rozptyl se násobí druhou mocninou této konstanty

VÝPOČET ROZTPYLU

Rozptyl má dva tvary pro výpočet Definiční:

Výpočtový:

SMĚRODATNÁ ODCHYLKA

Směrodatná odchylka je odmocninou z rozptylu. Jedná se de facto opět o průměrnou odchylku od průměru, ale jedná se o odlišný typ průměru (tzv. kvadratický průměr)

VARIAČNÍ KOEFICIENT

Všechny dosavadní ukazatele byly tzv. absolutními mírami variability – byly uváděny ve stejných jednotkách jako zkoumané proměnné.

Variační koeficient je poměr směrodatné odchylky a průměru. Jedná se tedy o tzv. bezrozměrný ukazatel – relativní variabilitu.

Jedná se o výborný ukazatel pro srovnání variability více souborů.

PŘÍKLAD

Na základě dat z prvního příkladu vypočtěte rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient.

VÝSLEDKYW w2 X x2 Y y2 Z z2

5 25 5 25 12 144 0 05 25 3 9 10 100 10 1005 25 6 36 10 100 12 1445 25 6 36 5 25 18 3245 25 4 16 18 324 33 10895 25 8 64 14 196 35 12255 25 4 16 6 36 43 18495 25 5 25 7 49 53 28095 25 50 2500 7 49 55 30255 25 3 9 5 25 60 3600

Průměry: 5 25 9,4 273,6 9,4 104,8 31,91416,

5

VÝSLEDKY

S2w = 25 – 52 = 0

S2x = 273,6 – 9,42 = 185,24

S2y = 104,8 – 9,42 = 16,44

S2z = 1416,5 – 31,92 = 398,89

Sw = 0 Vw = 0

Sx = 13,61 Vx = 1,45

Sy = 4,05 Vy = 0,43

Sz = 19,97 Vz = 0,63

SHRNUTÍ VÝSLEDKŮ

W X Y ZR 0 47 13 60Kvartilové r. 0 3,5 7,5 43Decilové r. 0 5 9 45Pr. abs. odchylka 0 8,12 3,4 17,52Rozptyl 0 185,24 16,44 398,89Sm. odch. 0 13,61 4,05 19,97Variační koef. 0 1,45 0,43 0,63

PŘÍKLAD

Na základě údajů z druhého příkladu na průměrnou absolutní odchylku vypočítejte rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient.

VÝSLEDKY

xi xi2 ni pj xi

2ni pjxi2

1 1 15 0,3 15 0,32 4 25 0,2 100 0,83 9 25 0,2 225 1,84 16 15 0,3 240 4,8

Součty: 80 1 580 7,7Rozptyly: 1. skupina: 580/80 –2,52 = 1

2. skupina: 7,7 – 2,5 2 = 1,45Sm. odchylky: 1. skupina: 1

2. skupina: 1,2049Var. koeficienty: 1. skupina: 0,4

2. skupina: 0,48

PŘÍKLAD

Máme vypočtený průměr 100 a rozptyl 400. Jak se tyto hodnoty změní, jestliže.. A.) od každé hodnoty daného znaku odečtu 15 B.) každou hodnotu daného znaku snížím o 15%

Jak se změní variační koeficient v těchto případech?

VÝSLEDKY

A.) nový průměr 85 a rozptyl 400. Variační koeficient se zvýší z 0,2 na 0,24

B.) nový průměr 85 a rozptyl 289. Variační koeficient se nezmění.