MKE 7.pdf

7/25/2019 MKE 7.pdf

1/48

Vrste elemenata za rjeavanje ravnih problema

201

VRSTE ELEMENATA ZARJEAVANJE RAVNIHPROBLEMA

777

7.1. UvodPrethodno su opisani trougaoni i etverougaoni konani elementi savorovima u tjemenima i linearnom funkcijom pomjeranja. Postoje i vrstetrougaonih i etverougaonih elemenata koji osim vorova u tjemenimaimaju i vorove na sredinama stranica. Dakle, umjesto est stepeni slobodei est jednaina postoji dvanaest. ak se moe umjesto vora na sredinielementa staviti dva ili vie vorova na stranicama.

Osnosimetrini elementi su specijalni dvodimenzionalni elementi koji susimetrini u odnosu na osu i po geometriji i po optereenju. Najee sekoriste za analizu debelostjenih proizvoda.

7.2. Matrica krutosti i jednainetrougaonog elementa

Slika 7.1. Trougaoni element sa vorovima na sredini stranicax u

v4

u44v1

u11

v5

u55 v6

u66

v3

u33

v2

u22

O

y,v

7/25/2019 MKE 7.pdf

2/48

7/25/2019 MKE 7.pdf

3/48


203

take. Osim toga elementi su povezani u vorovima pa e kompatibilnostbiti zadovoljena i du stranica i u vorovima. U optem sluaju broj vorovaravnog elementa i stepen polinoma mogu se pokazati pomou Paskalovogtrougla prikazanog na slici 7.2.

Paskalov trougao Stepen polinoma Broj vorova trougla

Slika 7.2. Veza izmeu vrste ravnog trokutnog elementa i redapolinoma

Funkcija pomjeranja za ravni element je

12

2

1

22

22

1000000

0000001

a

a

a

yxyxyx

yxyxyx

v

u

(7.3)

to se moe napisati u obliku:

aMv

u*

(7.4)

Matrica M*funkcija varijabli x i y je reda 12x12, a koeficijenti a1do a12sedobiju rjeavanjem jednaine:

v

uMa 1

* (7.5)

xy

1

x y

x y

x

yxy

x y

0

1(linearan)

2 (kvadratni)

3 (kubni)

0

3

6

10

7/25/2019 MKE 7.pdf

4/48


204

7.2.3. Veze deformacija-pomjeranje i naponi ideformacije

Deformacije ravnog elementa date su u obliku:

y

u

x

v

y

v

x

u

xy

y

x

(7.6)

Ako je funkcija pomjeranja definirana kao kvadratna funkcija (vidi desnustranu izraza 7.3) vektor deformacije ravnog trougaonog elementa dobijese kada se naprave izvodi navedeni u izrazu (7.6), pa je:

12

2

1

0201010100

20100000000

00000002010

a

a

a

yxyx

yx

yx

(7.7)

ili

aM' (7.8)

Matrica M'sadri linearne veze deformacija i pomjeranja pa se za takavtrougao kae da ima linearne deformacije. Izraz (7.8) se moe pisati uobliku:

dB (7.9)

gdje je: Bfunkcija varijabli x i y i koordinata taaka od 1 do 6.

Veza napona i deformacija ostvaruje se preko matrice Dkoja je funkcijaosobina materijala E i .

7/25/2019 MKE 7.pdf

5/48


205

xy

y

x

xy

y

x

D

(7.10)

7.2.4. Matrica krutosti i jednaine elementa

Matrica krutosti ravnog elementa sa konstantnim deformacijama dobije seslinim postupkom kao za trougaoni element sa konstantnimdeformacijama u obliku:

v

TdVBDBk (7.11)

U sluaju konstantnih deformacija, matrica B je funkcija koordinatavorova, dok je kod elemenata sa linearnim deformacijama funkcija od x i yi koordinata vorova.

Kada se u vorove dodaju optereenja veza sa pomjeranjima je:

12

12

1

1

12,121,12

12,11,1

6

1

1

.......

.......

v

u

v

u

kk

kk

f

ff

y

y

x

(7.12)

12x1 12x12 12x1

Sastavljanje globalne matrice krutosti obavlja se na isti nain kao i kod

prethodno opisanog elementa sa konstantnim deformacijama. Naponi sedobiju u teitu elemenata ili kao srednja vrijednost napona izraunatih uvorovima.

7/25/2019 MKE 7.pdf

6/48


206

7.3. Osnosimetrini element

Osnosimetrini element, slika 7.3 je dio torusa iji je popreni presjektrokut. Element je simetrian i po geometriji i po optereenju u odnosu na

osu. Osa z u odnosu na koju se posmatra simetrija zove se osa simetrijeelementa ili osa rotacije. Svaki vertikalni popreni presjek je oblika trokuta.

a) b)

c)

Slika 7.3. a) Podjela torusa na elemente; b) Osnosimetrini elementc) Popreni presjek

U ravanskim problemima (slika 7.3) naponi se javljaju u x-y ravni. Uosnosimetrinim problemima radijalna pomjeranja dovode do deformacija

zbog kojih nastaju naponi u radijalnom pravcu r u cirkularnom ilongitudinalnom pravcu.

Osnosimetrini elementi se esto koriste za proraun naponskodeformacionog stanja sloenih povrina i jednostavni su za koritenje.

Simetrija napona u odnosu na osu z je nezavisna od koordinate . Zato su

r

z

j

m

i

u+u/r

C

d

r

u A

DB

y

x

AB

C

D

dr dr

dz

z

r

7/25/2019 MKE 7.pdf

7/48


207

svi izvodi po jednaki nuli i pomjeranje v u trangencijalnom pravcu,deformacije klizanja r, z i tangencijalni naponi r, zsu jednaki nuli.

Deformacije osnosimetrinog elementa u cilindrinim koordinatama

pokazane su na slici 7.3b i c. Pomjeranja u i v su pomjeranja u radijalnom ilongitudinalnom pravcu. Zbog djelovanja optereenja strana AB se pomjera

za u, a strana CD za drr

uu

u odnosu na poetno stanje. Deformacija u

radijalnom pravcu je:

r

ur

(7.13)

Slika 7.4. Pomjeranja elemenata ABCD u z-r ravni

Deformacija u tangencijalnom pravcu zavisi od pomjeranja v i pomjeranja u.Poto je v = 0 tangencijalna deformacija zavisi samo od u i iznosi:

r

u

rd

rddur

)( (7.14)

z,w

w+(w/z)dz

dz

D

F

u

w

dr u+(u/r)dr

(w/r)dr

(u/z)dz

B

E

r,u

7/25/2019 MKE 7.pdf

8/48


208

Longitudinalna deformacija moe se nai analizom elementa BDEF, slika7.4. Do pomjeranja elementa dolazi u radijalnom i longitudinalnom pravcu.Npr. taka E pomjeri se za rastojanje u, u radijalnom pravcu, a taka B za

jo dodatnih

z

u

dz u istom pravcu. Taka E pomjeri se za u, u

longitudinalnom pravcu, a B za joz

w

dz u istom z pravcu.

Longitudinalna normalna deformacija je:

z

w

z (7.15)

a klizanje u r-z ravni je:

r

w

z

urz

(7.16)

Za izotropni materijal veza napona i deformacija je data izrazom (7.17)

rz

z

r

rz

z

r

2

21000

01

01

01

)21)(1(

E (7.17)

7.3.1. Funkcija pomjeranja

Postupak izbora elementa i procedura za raunanje naponskodeformacionog stanja osnosimetrinog elementa poinje diskretizacijomdomena i izborom elementa. Na slici 7.5.a dato je osnosimetrino tijelo, ana slici 7.5.b naponi osnosimetrinog elementa.

7/25/2019 MKE 7.pdf

9/48


209

a) b)

Slika 7.5. a) Osnosimetrino tijelo podjeljeno na elemente;b) Naponi osnosimetrinog elementa

Pomjeranja vorova daju se kao funkcije:

u (r,z) = a1+ a2r + a3z(7.18)

v (r,z) = a4+ a5r + a6z

Vidi se da su pomjeranja linearne funkcije od z i r, i da ima 6 nepoznatihpomjeranja datih izrazom (7.19):

m

m

j

j

i

i

w

uw

u

w

u

d (7.19)

Ukupna funkcija pomjeranja elementa je:

z,w

r,u

rz

zr

r

z

r

z

7/25/2019 MKE 7.pdf

10/48


210

6

2

1

654

321

1000

0001

a

a

a

zr

zr

zaraa

zaraa

w

u

(7.20)

Nepoznati koeficijenti ai odrede se iz jednaine (7.21) nakon to seizrauna inverzna matrica:

m

j

i

mm

jj

ii

u

u

u

zr

zr

zr

a

a

a 1

3

2

1

1

1

1

(7.21)

m

j

i

mm

jj

ii

w

w

w

zr

zr

zr

a

a

a 1

6

5

4

1

1

1

(7.22)

ili

m

j

i

mji

mji

mji

u

u

u

Aa

a

a1

3

2

1

2

1

(7.23)

m

j

i

mji

mji

mji

w

w

w

Aa

a

a1

6

5

4

2

1

(7.24)

gdje je:

i= rjzm zjrmj= rmzi zmrim= rizj zirji= zj- zmj= zm- zi (7.25)m= zi- zji= rm- rjj= ri- rm

m= rj- ri

7/25/2019 MKE 7.pdf

11/48


211

Funkcije oblika osnosimetrinog elementa:

zrA

N

zrA

N

zrA

N

mmmm

jjjj

ijii

2

1

2

1

2

1

(7.26)

Nakon zamjena funkcija promjeranja osnosimetrinog elementa je:

m

m

j

j

i

i

mji

mji

w

u

w

u

w

u

NNN

NNN

zrw

zru

000

000

),(

),( (7.27)

ili

dN (7.28)

7.3.2. Veza pomjeranja i deformacija i napona ideformacija

Izraz za deformacije osnosimetrinog elementa:

53

32

1

6

2

aar

zaa

r

a

a

a

r

w

z

ur

u

z

w

r

u

(7.29)

7/25/2019 MKE 7.pdf

12/48


212

Izraz se moe napisati u proirenom obliku:

6

5

4

3

2

1

010100

00011

100000

000010

a

a

a

a

a

a

r

z

rrz

z

r

(7.30)

ili preko funkcije pomjeranja dobije se:

m

m

j

j

i

i

mmjjii

m

m

mj

j

ji

i

i

mji

mji

w

u

w

u

vu

r

z

rr

z

rr

z

rA 000

000

000

2

1 (7.31)

ili

dB (7.32)

gdje je Bfunkcija od koordinata r i z. Naponi su dati u obliku funkcije:

dBD (7.33)

7.3.3. Matrica krutosti i jednaine elementa

Kao i u svim prethodnim sluajevima matrica krutosti dobije se u obliku:

v

TdVBDBk (7.34)

ili

A

TrdrdzBDBk 2 (7.35)

7/25/2019 MKE 7.pdf

13/48


213

Nakon integriranja dobije se matrica krutosti k koja je funkcija od r i z ireda 6x6. Za rjeavanje se moe koristiti jedna od tri metode:

- numerika integracija

- eksplicitna multiplikacija- ocjena Bza sredinju taku zr, elementa

33

mjimji zzzzz

rrrrr

(7.36)

Bse definira kao BzrB , u prvoj aproksimaciji:

BDBArk T

2 (7.37)

Ako je podjela ravnomjerna, rezultat je taan.

7.3.4. Optereenje elementa

Osim koncentrisanih sila, sile vlastite teine i povrinsko optereenje moguiniti optereenje elementa. Optereenja od vlastite teine tj. gravitacione

sile djeluju u z pravcu, ili centrifugalne sile kod rotirajuih dijelova mainakoje djeluju u r pravcu mogu se smatrati silama koje su rezultat

materijalnosti samog tijela. Vektor tih sila dat je izrazom:

dzrdrZ

RNf

A b

bT

b

2 (7.38)

ili ematski prikazan na slici

Slika 7.6 Centrifugalne i gravitacione sile

z

zb

Rb r

7/25/2019 MKE 7.pdf

14/48


214

gdje su: Rbi Zbcentrifugalne i gravitacione sile

Rb= 2r

pri emu je = const, -gustina, r radijalna koordinata

N

T

=

i

i

N

N

0

0

je matrica oblika

Povrinske sile se mogu e nai prema izrazu:

S

T

S dSTNf (7.39)

Povrinsko optereenje je radijalno kontinuirano optereenje odnosnopritisak pri aksijalno optereenje pzpa se posljednji izraz pie u obliku:

S s

rT

S dSp

pNf (7.40)

Djelovanje povrinskog optereenja moe se pokazati na slici 7.7.Jednaina 7.40 moe se napisati za svaki vor. Npr. za vor j imae oblik:

Slika 7.7. Djelovanje pritiska pri pz

dzrp

p

zr

zr

Af j

z

r

jjj

jjj

z

z

sj

m

i

2

0

0

2

1

(7.41)

Kada se napiu fsi i fsm za i i m vorove dobije se stvarna distribucijapovrinskih sila u obliku:

m

ji

pr pz

7/25/2019 MKE 7.pdf

15/48


215

z

r

z

rjmj

s

p

pp

pzzrf

0

0

2

)(2 (7.42)

U postupku rjeavanja problema sabiranjem se dobije globalna matricakrutosti, ukupna matrica sila i jednaine problema. Nakon toga nau sepomjeranja u vorovima, a zatim deformacije i naprezanja u elementima.

Primjer 7.1.

Debelostjena posuda izloena je dejstvu pritiska od p = 1 N/cm2i prikazanana slici 7.7. Odrediti pomjeranja i napone.

Slika 7.8. a) Debelostjena posuda izloena dejstvu pritiska;

b) Dio diskretiziranog cilindra

Prvi korak u rjeavanju problema je diskretizacija. Cilindar se podijeli naetiri trougaona elementa.

Horizontalna projekcija male debljine karakterizira ponaanje cijelogcilindra. Ukupna matrica strukture je:

osasim

etrije

r=0,5c

m

r=0,5cm

r=1cm

4 3

2

p

pz,w

r,u

1

5

7/25/2019 MKE 7.pdf

16/48


216

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

w

u

w

u

w

uw

u

w

u

K

F

F

F

F

F

FF

F

F

F

z

r

z

r

z

r

z

r

z

r

(7.43)

Matrica Kje reda 10x10. Matrica Kdobije se sabiranjem matrice krutostipojedinih elemenata. Zbog pojednostavljenja postupka moe se koristitiaproksimativni metod gdje se ocijeni da je:

BDBrk T2 (7.44)

Za element 1 i koordinate:ri= 0,5, z

i= 0, r

j= 1, z

j= 0, r

m= 0,75, z

m= 0,25, (i = 1, j = 2, m = 5)

u globalnom koordinatnom sistemu datom na slici 7.8.b.

Prije matrice B (7.47) nau se lanovi matrice:

i= rjzm zjrm= 10,25 00,75 =0,25j= rmzi zmri= 0,750 0,250,5 = -0,125m= rizj zirj= 0,50 01= 0i= zj zm= 0-0,25 =- 0,25

j= zm zi= 0,25-0 = 0,25 (7.45)m= zi zj= 0-0 = 0i= rm rj= 0,75-1= -0,25j= ri rm= 0,5-0,75= -0,25m= rj ri= 1-0,5=0,5

7/25/2019 MKE 7.pdf

17/48


217

206250250502

1

08330

3

25000

3

7503

750150

3

cm,,,A

cm,,zzz

z

cm,,,rrr

r

mji

mji

(7.46)

mmjjii

mmi

mj

j

jii

i

mji

mji

r

z

rr

z

rr

z

rA

B

000

000

000

2

1 (7.47)

050250250250250

005560005560005560

50025002500

0002500250

2502

1

,,,,,

,,,

,,,

,,

,B (7.48)

Za GPacm

N

Ei 20010203,0 26

Za osnosimetrini sluaj naprezanja matrica Dje

2

3,021000

03,013,03,0

03,03,013,0

03,03,03,01

3,0213,01

1020 6

D (7.49)

2,0000

07,03,03,0

03,07,03,0

03,03,07,0

107,57 6D (7.50)

7/25/2019 MKE 7.pdf

18/48


218

015,035,015,0

1,00388,00166,00167,0

05,0075,0175,0075,0

05,0114,00917,0192,0

05,0075,0175,0075,0

05,00361,00583,0158,0

125,0107,57

6

DB T

(7.51)

i=1 j=2 m=5

31,19006,915,9584,4915,9571,31

06,972,5666,2231,2072,3137,29

15,9566,22171,6152,3898,3326,2

84,4931,2052,3859,7233,1163,31

15,9572,3198,3333,1117,6145,29

71,3137,2926,263,3145,2946,54

1K (7.52)

Element 2

i = 2 j = 3 m = 5 ri= 1 zi= 0 rj= 2 rj= 1 zj=0,5 rm= 0,75 zm= 0,5 cm.

i= rjzm zjrm= -0,125j= rmzi zmrj= 0,25m= rizj zjri= 0,5i= zj- zm= 0,25j= zm zj= 0,25m= zi zj= -0,5i= rm rj= -0,25

j= ri rm= -0,25m= rj ri= 0

20625,0

25,03

9167,03

cmA

cmzzz

z

cmrrr

r

mji

mji

(7.53)

7/25/2019 MKE 7.pdf

19/48

7/25/2019 MKE 7.pdf

20/48


220

i=1 j=4 m=5

31,19006,915,9572,3115,9584,40

06,972,5672,3137,2966,2231,20

15,9572,3117,6145,2998,3333,11

72,3137,2945,2946,5426,263,31

15,9566,2298,3326,217,6152,38

84.4931,2033,1163,3152,3858,72

)3(k (7.56)

Element 4

Istim postupkom dobije se matrica krutosti elementa 4 koja glasi

i=4 j=1 m=5

28,42014,2114,2114,2114,21

014,16924,3645,6624,3645,66

14,2124,3657,4790,2143,2675,0

14,2145,6690,2153,4175,039,20

14,2124,3643,2675,057,4790,21

14,2145,6675,039,2090,2153,41

)4(k (7.57)

Superpozicijom matrica )1(k do )4(k dobije se ukupna matrica krutostistrukture koja je reda 10 x 10.

36,48903,11686,524,12807,834,12807,833,11686,52

099,49896,6782,9598,692,13998,672,13996,6782,95

3,11696,6774,10835,5198,3333,110043,2675,0

86,5282,9535,5199,9526,263,310075,039,20

4,12898,6798,3326,294,13559,8454,4184,1200

07,832,13933,1163,3159,8433,15884,1252,5200

4,12898,670054,4184,1294,13559,8498,3326,2

07,832,1390084,1252,5259,8434,15833,1163,31

3,11696,6743,2675,00098,3333,1174,10835,51

86,5282,9575,039,200026,263,3135,5199,95

106k

(7.58)

7/25/2019 MKE 7.pdf

21/48


221

Sile u vorovima su

NFF rr 785,02

5,05,0241

(7.59)

Sve druge sile u vorovima su nula.

Iz jednaine

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

6

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

0

785,0

0

00

0

0

785,0

w

u

w

u

w

uw

u

w

u

K

F

F

F

F

F

FF

F

F

F

z

r

z

r

z

r

z

r

z

r

(7.60)

Pomjeranja su:

u1= 0,032210-6cm w1= 0,0011510

-6cm

u2= 0,021910-6cm w2= 0,0020610

-6cm (7.61)

u3= 0,021910-6cm w3= 0,0021110

-6cm

u4= 0,032210-6cm w4= - 0,0011510

-6cm

u5= 0,024410-6cm w5= 0

Nakon to su odreena pomjeranja svih vorova mogu se nai naprezanjau sva etiri elementa u radijalnom i cirkulacionom i aksijalnom pravcu poizrazu (7.62)

dBD (7.62)

pa se dobije:

za element 1: r= - 0,338 N/cm2 z= - 0,0126 N/cm

2

= 0,942 N/cm2

rz= - 0,1037 N/cm2

7/25/2019 MKE 7.pdf

22/48


222

za element 1: r= - 0,105 N/cm2 z= - 0,0747 N/cm

2

= 0,690 N/cm2 rz= 0 (7.63)

za element 3: r= 0,337 N/cm2

z= 0,0125 N/cm2

= 0,942 N/cm2 rz= 0,1037 N/cm

2

za element 4: r= - 0,470 N/cm2 z= 0,1493 N/cm

2

= 1,426 N/cm2 rz= 0

Vrijednosti napona su izraunate u centrima elemenata.

7.3.5. Primjena osnosimetri

nih elemenataMnogi sistemi koje treba proraunati spadaju u osnosimetrine probleme.Osnosimetrini elementi su pogodni za raunanje debelostjenih cilindaraizloenih djelovanju unutranjeg pritiska. To mogu biti i kalupi za livenjeelika i drugih metala ili plastika. Zbog njihove simetrinosti koristi se samoetvrtina ili polovina koja se podijeli na veliki broj konanih elemenata ovogtipa. Rezultat su vrijednosti napona preko kojih se mogu odrediti glavninaponi a zatim uporedni napon po nekoj od hipoteza. S obzirom na velikibroj rezultata neophodno je koristiti raunar i software podrku. Najee

se koriste komercijalni programi koji sadre i modelere za crtanjenedeformiranog modela. Danas su to ANSYS, CATIA, Pro/E, I-DEAS imnogi drugi.

7.4. Izoparametarska formulacija

Postavljanje matrice krutosti za prethodno analizirane trougaone elementeje vrlo teak posao koji zahtijeva puno raunanja. Kada neki problem koji

se rjeava ima mnogo elemenata onda je postavljanje matrice krutosti uglobalnom koordinatnom sistemu vrlo teak posao, pa ak za raunarzahtijeva puno vremena. Izoparametarska formulacija problema moe seprimijeniti na dvo i trodimenzionalne probleme analize napona. Moe seprimjeniti i na elemente koji imaju zakrivljene stranice to je est sluajnaroito kod livenih struktura. Livene strukture se vrlo teko moguanalizirati analitikim metodama zbog niza radijusa i krivih stranica. Zarjeavanje jednaina problema definiranih izoparametarskim elementimakoristi se numerika integracija.

7/25/2019 MKE 7.pdf

23/48


223

7.4.1. Matrice krutosti elementa tapa uizoparametarskoj formulaciji

Izraz "izoparametarski" koristi se jer su funkcije oblika ili interpolacione

funkcije N kojim se definira geometrijski oblik iste kao i funkcijapomjeranja nad elementom. Tako npr. ako je funkcija oblika u = a1+ a2s,funkcija pomjeranja je x = a1+ a2s. Njima su opisane koordinate vorovaelementa tapa i fizki oblik elementa.

Za izoparametarsku formulaciju koristi se sistem prirodnih koordinata ukome je koordinata s odreena geometrijom elementa, a ne orijentacijom uglobalnom koordinatnom sistemu. Aksijalna koordinata s pridruena jetapu, slika 7.8 i ostaje u pravcu du tapa bez obzira kako je tap

postavljen u prostoru. Postoji veza izmeu prirodnih i globalnih koordinata ita veza se koristi u formulaciji jednaina.

7.4.2. Izbor tipa elementa

Prirodna koordinata s je pridruena elementu sa poetkom u centruelementa, slika 7.9. Osa s ne mora biti paralelna osi x, ali to je usvojenakonvencija.

a) b)

Slika 7.9. Element tapa sa linearnim pomjeranjema) prirodni koordinatni sistemb) globalni koordinatni sistem

Element tapa ima 2 stepena slobode. To su pomjeranja u1i u2, po jedno usvakom voru u globalnom koordinatnom sistemu i pravcu ose x.

U specijalnom sluaju kada su s i x paralelne njihova veza je:

sL

xx c2

(7.64)

gdje je xckoordinata centra elementa u globalnom koordinatnom sistemu.

2

s=-1

1

s=1s=0s

L

x1

1

x2

2

x u

7/25/2019 MKE 7.pdf

24/48


224

Funkcije oblika koje se koriste za definiranje poloaja tapa odreuju seslino kao kod direktne formulacije (poglavlje 2).

Poinje se od veze izmeu prirodnih i globalnih koordinata datih izrazom:

x = a1+ a2s (7.65)

gdje se s mijenja u granicama 1 s 1.

Rjeavanjem za a-ti lan dobije se:

21 112

1xsxsx (7.66)

ili u matrinom obliku:

2

1

21x

xNNx (7.67)

gdje su N1i N2funkcije oblika izraene kao:

2

1

2

121

s

N

s

N

(7.68)

Slika 7.10. Funkcije oblika u prirodnim koordinatama

Ako se u (7.68) uvrsti s = -1, dobije se N1= 1, N2= 0 pa je x = x1. Funkcijeoblika imaju iste osobine kao interpolacione funkcije. N1 predstavlja oblikkooridnate x kada se ova nacrta za element za vrijednosti x1= 1 i x2= 0(slika 7.10). N2 predstavlja koordinatu x elementa nacrtanu za x2= 1 ix1= 0. Zbir funkcija oblika N1+ N2= 1.

N1

1

1-1

s

N2

1

1-1

s

7/25/2019 MKE 7.pdf

25/48

7/25/2019 MKE 7.pdf

26/48


226

Vektor deformacija tapa uobiajeno se pie u obliku (7.73):

dB (7.73)

Matrica Bkoja treba za raunanje matrice krutosti elementa ima oblik

LL

B 11

(7.74)

7.4.5. Matrica krutosti elementa

Matrica krutosti elementa u svim razmatranim sluajevima bila je funkcijakoordinate x

L

o

TdxABDBk (7.75)

Za izoparametarsku formulaciju mora se matrica krutosti izraziti prekokoodrinate s.

U literaturi je transformacija izmeu prirodnih i Dekartovih koordinata dataizrazom

L

o

dsJsfdxxf

1

1

)()( (7.76)

U kome Jpredstavlja Jakobijan. Za element tapa Jakobijan je:

2

L

ds

dxJ (7.77)

gdje je x2 x1 = L. Jakobijan predstavlja duinu elementa u globalnomkoordinatnom sistemu podijeljenu sa duinom tapnog elementa datog u

prirodnom koordinatnom sistemu. U optem sluaju J je funkcijakooridnate s i zavisi od numerikih vrijednosti koordinata vorova. Matricakrutosti u prirodnim koordinatama je:

7/25/2019 MKE 7.pdf

27/48


227

1

12

dsABEBL

k T

(7.78)

U sluaju tapa E = D i

11

11

L

AEk (7.79)

Primjer 7.1.

Za izoparametarski jednodimenzionalni element na slici 7.11 sa etiri voraodrediti:

a) Funkcije oblika N1, N2, N3, N4,b) Matricu Bkoja povezuje pomjeranja i deformacije i vektor {}.

Smatrati da je: u = a1+ a2s + a3s2+ a4s

3

Slika 7.11. Jednodimenzionalni element

Funkcija pomjeranja u izoparametarskoj formulaciji je:

u = a1+ a2s + a3s2+ a4s

3 (7.80)

Poto je koordinata s istog pravca kao x pie se:

x = a1+ a2s + a3s2

+ a4s3

(7.81)

x1= a1+ a2(-1) + a3(-1)2+ a4(-1)

3 (7.82)

x2= a1+ a2(-1/2) + a3(-1/2)2+ a4(-1/2)

3 (7.83)

x3= a1+ a2(1/2) + a3(1/2)2+ a4(1/2)

3 (7.84)

x4= a1+ a2(1) + a3(1)2+ a4(1)

3 (7.85)

-1

1

-1/2

s

2

1

3 4

1/2

7/25/2019 MKE 7.pdf

28/48


228

Iz posljednje 4 jednaine odrede se koeficijenti a1, a2, a3i a4

(7.82)+(7.85) x1+ x4= 2a1+ 2a3 (7.86)

22)84.7()83.7( 3132 aaxx (7.87)

)(3

232413 xxxxa (7.88)

(7.82)-(7.85) x1- x4= -2a2- 2a4 (7.89)

2)84.7()83.7( 4

232

a

axx (7.90)

2

3)(2)90.7(2)89.7( 43241

axxxx

(7.91)

Kada se (7.91) uvrsti u (7.90) slijedi:

2

)(3/8)(3/1 32412

xxxxa

(7.92)

Zamjenama (7.88), (7.89), (7.91), (7.92) u (7.81)

6

)(4)(8

6

)(4

6

)(8)(

6

)(4

3

411223241

324132

sxxxxs

xxxx

sxxxxxxx

(7.93)

Mnoenjem i sreivanjem u izrazu (7.93) dobije se:

4

23

3

23

2

23

1

23

6

1

63

2

3

2

3

2

3

4

3

2

3

4

3

2

3

4

3

2

3

4

6

1

63

2

3

2

xs

ssxsss

xsssxs

ssx

(7.94)

Poto je vektor pomjeranja:

7/25/2019 MKE 7.pdf

29/48


229

4

3

2

1

4321

x

x

x

x

NNNNx (7.95)

funkcije oblika su:

6

1

63

2

3

2

3

2

3

4

3

2

3

4

3

2

3

4

3

2

3

4

6

1

63

2

3

2

23

4

23

3

23

2

23

1

sssN

sssN

sssN

sssN

(7.96)

Izvod funkcije pomjeranja je vektor deformacija:

42

32

22

12

6

1

3

42

3

4

3

44

3

4

3

44

6

1

3

42

xssxss

xssxssds

dx

(7.97)

Napisano u drugom obliku:

23

4

23

8

24

6

1

23

82

3

4

3

44

6

1

3

42

23

2142

232323

2

141414

2

Lxxs

LsL

xxsLs

xxxxsxxs

xxxxsxxsds

dx

7/25/2019 MKE 7.pdf

30/48


230

LxslsL

xsLsds

dxcc

3

2

3

82

63

82 22

2

L

ds

dx

(7.98)

4

3

2

1

2222

6

1

3

42

3

4

3

44

3

4

3

44

6

1

3

42

u

u

u

u

ssssssssds

du (7.99)

dBdx

du

ds

dxds

du

ds

dux (7.100)

4

3

2

1

2222

3

1812

2

3

4412

2

3

4412

3

1812

u

u

u

u

L

ss

L

ss

L

ss

L

ssx

(7.101)

7.5. Ravni element pravougaonog oblika

Sva procedura opisana u taki 7.3.1. moe se primijeniti na pravougaonielement u ravni kako bi se dobila njegova matrica krutosti.

Primjena pravougaonog konanog elementa ima i prednosti i nedostataka uodnosu na trokutni element. Prednosti se sastoje u lakoj interpretaciji

rezultata i jednostavnijem zadavanju ulaznih podataka dok je nedostataklinearna funkcija pomjeranja koja loe aproksimira granine uslove.

7.5.1. Izbor funkcije pomjeranja

Svi uglovi pravougaonog konanog elementa su 90, vorovi su 1, 2, 3 i 4,a stanice 2b i 2h. Obiljeavanje vorova vri se u smjeru suprotnom odkazaljke na satu, slika 7.10. Pomjeranje vorova dato je izrazom (7.102)

7/25/2019 MKE 7.pdf

31/48


231

4

4

3

3

2

2

1

1

v

u

v

uv

u

v

u

d (7.102)

Slika 7.12. Konani element oblika pravougaonika

Za kompatibilnost pomjeranja funkcije pomjeranja u i v moraju biti linearnedu svake stranice, jer na stranici postoje samo dva vora. Funkcijepomjeranja mogu se pisati u linearnom obliku:

u (x,y) = a1+ a2x + a3y + axxy(7.103)

v (x,y) = a5+ a

6x + a

7y + a

8xy

Kada se uklone koeficijenti a1do a8dobije se:

4321

4321

4

1),(

4

1),(

byhxbvyhxbvyhxbvyhxbbh

yxv

uyhxbuyhxbuyhxbuyhhbbh

yxu

(7.104)

Iste funkcije pomjeranja mogu se izraziti i preko funkcija oblika i nepoznatih

pomjeranja u vorovima:

u4

u1

u3

u2

v1 v2

v4 v3

y, v

x, u

h

h

bb

1 2

4 3

7/25/2019 MKE 7.pdf

32/48


232

dN (7.105)

gdje su:

,

4,

4

,4

,4

43

21

bh

yhxbN

bh

yhxbN

bhyhxbN

bhyhxbN

(7.106)

Funkcije Nisu takve da su im vrijednosti u jednom voru jedan, a u svimostalim nula. Npr. N1= 1 u voru 1 dok je N1= 0 u svim drugim vorovima.Jednaina (7.103) moe se napisati u obliku:

4

4

3

3

2

2

1

1

4321

4321

0000

0000

vu

v

u

v

u

v

u

NNNN

NNNN

v

u (7.107)

7.5.2. Veze pomjeranje deformacija ideformacija napon

Deformacije su oblika:

x

v

y

u

y

vx

u

xy

y

x

(7.108)

ili u obliku:

7/25/2019 MKE 7.pdf

33/48


233

dB (7.109)

gdje je: B

)()()()()()()()(

)(0)(0)(0)(00)'(0)(0)(0)/

4

1

yhxbyhxbyhxbyhxb

xbxbxbxbyhyhyhyh

bhB

(7.110)

7.5.3. Matrica krutosti

Za pravougaonik matrica krutosti

b

b

h

h

TdydxtBDBk (7.111)

je reda 8x8. Vektor sila je:

v s

TTdsNNPdVxNf (7.112)

gdje je Nmatrica sa 2 vrste i 8 kolona.

Jednaine konanog elementa daju se izrazom:

dkf (7.113)

Postupak zdruivanja matrica vie elemenata u jednu globalnu matricustrukture je isti kao i za sve prethodno opisane sluajeve.

Primjer 7.2.

Pokazati da je suma N1+ N2+ N3+ N4= 1 bilo gdje na pravougaoniku gdjesu N1i N2dati izrazom (7.106) (Slika 7.12).

Izrazi (7.106) definiraju funkcije oblika:

7/25/2019 MKE 7.pdf

34/48


234

bh

yhxbN

bh

yhxbN

bh

yhxbN

bh

yhxbN

4

,

4

4,

4

43

21

U centru pravougaonika je koordinatni poetak pa je x = 0 i y = 0. Kada seuvrste vrijednosti u (7.106) dobije se

1;4

1,

4

1,

4

1,

4

143214321 NNNNNNNN (7.114)

U taki A

2

,

2

hy

bx

116

3

16

9

16

3

16

1

16

3,

16

9

,16

3

4

22,

16

1

4

22

4321

43

21

NNNN

NN

bh

hh

bb

Nbh

hh

bb

N

(7.115)

7.5.4. Izoparametarska formulacija za ravnietverougaoni element

Osnovno obiljeje izoparametarske formulacije u metodu konanihelemenata je koritenje iste funkcije oblika i pomjeranja. Npr. neka jefunkcija oblika:

u = a1+ a2s + a3t + a4s t (7.116)

a funkcija pomjeranja:

x = a1+ a2s + a3t + a4s t . (7.117)

7/25/2019 MKE 7.pdf

35/48


235

Prirodni koordinatni sistem s-t definiran je geometrijom elementa. Za svakisluaj posebno, kao to je uraeno za tap, izvri se transformacija izmeuglobalnog i lokalnog (prirodnog) koordinatnog sistema.

a) b)

Slika 7.13. a) Linearni etverougaoni element u s-t koordinatnomsistemu; b) etverougaoni element izdijeljen u x-y koordinatama ija

veliina i oblik su odreeni sa 4 vora odnosno 8 koordinate

Na ravnom etverougaonom elementu moe se pokazati izoparametarskaformulacija. Ova formulacija moe se primjeniti i na komplikovanijeelemente slika 7.13.b) koji imaju i vorove rasporeene du stranica i kodkojih stranice mogu biti zakrivljene ili ravne. Elementi vieg reda imajudodatne vorove i koriste razliite funkcije oblika u odnosu na linearnielement. Meutim svi koraci u postupku dobivanja matrice krutosti su isti.Prvi je izbor tipa elementa. Za element na slici 7.13.a) poetak prirodnogkoordinatnog sistema postavljen je u sredite elementa pri emu s i tkooridnate ne moraju biti meusobno okomite niti paralelne sa osama x i yglobalnog koordinatnog sistema. Orijentacija s-t koordinata je takva da su 4vora i stranice povezani sa +1 ili 1. Ovakav pristup ima prednosti kod

numerike integracije koja e se koristiti za dobivanje konkretnih vrijednosti.

Pretpostavlja se da vorovi imaju po dva stepena slobode u1v1... u4, v4uglobalnim koordinatama. Element tada, slika 7.13.b) ima ravne stranice. Zaspecijalni sluaj kada se element ije su stranice krive linije poklapa tj. teielementu ije su stranice ravne, koordinate s-t i x-y su paralelne. Vezaizmeu koordinata, slika 7.9. je:

x = xc+ b s, y = yc+ h t (7.118)

s

1 2

4 3

1 1

1

1

t

s

ty, v

x, u

stranas=-1

4(x4,y4) 3(x3,y3)

2(x2,y2)1(x1,y

1)

strana t=1

strana t=-1

stranas=1

7/25/2019 MKE 7.pdf

36/48


236

gdje su xc i yckoordinate centra elementa. Funkcije oblika (7.106) koje sukoritene kod pravougaonog elementa koriste se i za kvadratni, slika7.13.a) u izoparametarskim kooridnatama s-t i etverougaoni, slika 7.13.b)u x-y koordinatama. Veliina i oblik su odreeni sa osom vornih koordinatax

1, y

1... x

4, y

4u obliku :

x = a1+ a2s + a3t + a4s t(7.119)

y = a5+ a6s + a7t + a8s t

Eliminacijom koeficijenata a1i rjeavanjem x i y u funkciji od x1, y1... x4, y4dobije se:

43

21

43

21

11)1(1

)1(1114

1

1111

111)14

1

ytsyts

ytsytsy

xtsxts

xtsxtsx

(7.120)

ili u matrinom obliku:

4

4

1

1

4321

4321

0000

0000

y

x

y

x

NNNN

NNNN

y

x (7.121)

gdje su funkcije oblika linearne funkcije:

;

4

11;

4

11

;4

11;

4

11

43

21

tsN

tsN

tsN

tsN

(7.122)

Funkcije oblika mogu se vidjeti na emi s-t koordinata u bilo kojoj taki

kvadratnog elementa, slika 7.14. ilietverougaonog elementa slika 7.13.b.

7/25/2019 MKE 7.pdf

37/48


237

Npr. neka su koordinate vora 1 s = -1 i t = -1, iz (7.122) dobije se N1= 1.Kada se te vrijednosti uvrste u jednaine (7.121) i (7.122) dobije seN2 = N3= N4= 0

x = x1 i y = y

1(7.123)

Na slian nain mogu se postaviti koordinate drugih vorova 2, 3 i 4 tako dase kvadratni element u s-t koordinatama mapira u etverougaoni element uglobalnim koordinatama.

Zbir svih funkcija oblika u svakom voru je N1+ N2+ N3+ N4= 1 za svevrijednosti s i t. Fiziko znaenje i prikazivanje funkcija Nikoje variraju nadelementom u prirodnim koordinatama dato je na slici 7.14.

Slika 7.14. Funkcije oblika linearnog kvadratnog elementa

s1

1

2

341

1

11

tN1

1

1

2

341

1

11

s

t

N3

1

1

2

341

1

11

s

t

N4

1

1

2

34

1

1

11

tN2

7/25/2019 MKE 7.pdf

38/48


238

7.5.5. Izbor funkcija pomjeranja

Funkcije pomjeranja unutar elementa su

4

4

1

1

4321

4321

0000

0000

v

u

v

u

NNNN

NNNN

v

u (7.124)

gdje su u i v pomjeranja u pravcu x i y koordinata.

7.5.6. Veza deformacija pomjeranje inapon - deformacija

Prije postavljanja matrice krutosti k treba odrediti matricu B, kada se unjoj javljaju s i t koordinate. Koritenje s i t koordinata je lake nego x i y, jerinterpolacione funkcije su znatno jednostavnije. Raunanje odreenihintegrala po elementu svodi se na jednostavan analitiki oblik.

Pomjeranje je takoer funkcija s i t koordinata kao i deformacije. Prethodno

treba nai parcijalne izvode funkcije f po x i y gdje je f funkcija pomjeranja(u ili v):

t

y

y

f

t

x

x

f

t

f

s

y

y

f

s

x

x

f

s

f

(7.125)

Svi parcijalni izvodi po s i t su poznati a trai se .yfi

xf

7/25/2019 MKE 7.pdf

39/48


239

t

y

s

y

t

x

s

xt

f

s

f

t

x

s

x

yf

t

y

s

y

t

x

s

xt

y

s

y

t

f

s

f

xf

(7.126)

Nazivnici izraza (7.126) predstavljaju determinante matrice Jakobijana:

t

y

t

x

sy

sx

J (7.127)

Vektor deformacija je:

v

u

xy

y

s

xy

y

x

)()(

)(0

0)(

(7.128)

gdje su:

yi

x

)()(

- parcijalni izvodi bilo koje varijable stavljene u

zagradu i iznose:

st

x

ts

x

Jy

ts

y

st

y

Jx

)()(1)(

)()(1)(

(7.129)

gdje je Jdeterminanta matrice J, izraena preko prirodnih koordinata:

7/25/2019 MKE 7.pdf

40/48


240

v

u

ts

y

st

y

st

x

ts

x st

x

ts

x

ts

y

st

y

Jxy

y

x

)()()()(

)()(0

0)()(

1

(7.130)

Vektor deformacija moe se izraziti preko funkcija oblika:

dND' (7.131)gdje je D' matrica oblika data u izrazu (7.130) i predstavlja sve napisanoispred vektora pomjeranja.

Matrica Bpotrebna za definisanje matrice krutosti je:

B= D' N (7.132)

7.5.7. Matrica krutosti

Za izoparametarsku formualciju matrica krutosti iz oblika (7.133)

A

TdydxtBDBk (7.133)

treba da se prevede u prirodne koordinate.

U optem sluaju prelazak sa Dekartovih u prirodne koordinate vri seprema izrazu:

)(

),(,AA

dtdsJtsfdydxyxf (7.134)

Primjenjujui izraz (7.134) na matricu krutosti dobije se:

1

1

1

1

dtdsJtBDBk T

(7.135)

7/25/2019 MKE 7.pdf

41/48

7/25/2019 MKE 7.pdf

42/48


242

)1()1()1()1(4

1

)1()1()1()1(4

1

)1()1()1()1(4

1

)1()1()1()1(4

1

4321

4321

4321

4321

sxsxsxsxd

txtxtxtxc

tytytytyb

sysysysya

(7.140)

Koristei funkcije oblika (7.122) dobije se:

14

1

14

1

,1

,1

sN

tN

t

s

(7.141)

Matrica B je funkcija s i t. Matrica J i (7.137) su funkcije globalnih

koordinata od x1 do y4 . Postupak raunanja J i B je sloen i matrica

krutosti kza element odreuje se metodom numerike integracije.

Nakon odreivanja matrice krutosti nau se sile od teine tijela po izrazu:

dtdsJtxNf Tb

1

1

1

1

(7.142)

Povrinske sile obuhvaene su vektorom:

dsLtTNf Ts 2

1

1 (7.143)

raunaju se po cijeloj duini L du ivica t = 1, slika 7.13.b.

Povrinske sile mogu se pisati i u obliku:

7/25/2019 MKE 7.pdf

43/48


243

dsL

tp

p

NN

NN

f

f

f

f

t

s

T

ts

ss

ts

ss

200

001

1 43

43

4

4

3

3

(7.144)

Kada nema vornih sila u vorovima 1 i 2, N1= 0 i N2= 0 du stranice t = 1.

7.6. Funkcije oblika vieg reda

U optem sluaju funkcije vieg reda se koriste kada se na sredini stranicadoda vor. Ovi elementi tada imaju vii red unutar svakog elementa, a

konvergencija ka tanom rjeenju je bra. Druga prednost koritenjaelemenata vieg reda ogleda se u injenici da se zakrivljene straniceelemenata koje ine nepravilne oblike mogu jednostavno i tanoaproksimirati koritenjem linearnih elemenata sa ravnim stranicama.

Koncept elemenata vieg reda moe se ilustrirati na etverougaonomelementu sa etiri vora u vrhovima i etiri na sredinama stranica, slika7.15.

Slika 7.15. etverougaoni izoparametarski element(kvadratni element)

stranas=-1

s

t

y

x

4(-1,1)

strana t=1

strana t=-1

strana s=1

8(-1,0)

7(0,1) 3(1,1)

6(1,0)

2(1,-1)

5(0,-1)

1(-1,-1)

7/25/2019 MKE 7.pdf

44/48


244

Funkcije oblika etverougaonog elementa se zasnivaju na kubnompolinomu.

Koordinate x i y su:

x = a1+ a2s + a3 t + a4 s t + a5s2+ a6t

2+ a7s2t + a8s t

2(7.145)

y = a9+ a10s + a11t + a12s t + a13s2+ a14t

2+ a15s2t + a16s t

2

Ukupan broj stepeni slobode je 16. Za svaki vor postoje po 2 stepenaupravo onoliko koliko je koeficijenata ai . Funkcije oblika za vorove uvrhovima 1, 2, 3, 4 i na sredinama stranica 5, 6, 7, 8 su razliite. Zavorove 1, 2, 3, 4 funkcije oblika su:

11141 iiiii ttssttssN

gdje su:si= -1, 1, 1, -1 za i = 1, 2, 3, 4

(7.146)ti= -1, -1, 1, 1 za i = 1, 2, 3, 4

kako je naznaeno na slici 7.15.

Za vorove 5, 6 funkcije oblika su:

8,61,1112

1

7,51,1112

1

2

2

izastssN

izatttsN

iii

iii

(7.147)

I u ovom sluaju vai da je Ni= 1 u voru i, a u svim drugim vorovimaNi= 0.

Nakon funkcija oblika odredi se funkcija pomjeranja:

8

1

1

87654321

87654321

00000000

00000000

v

v

u

NNNNNNNN

NNNNNNNN

v

u

(7.148)

i matrica deformacija:

7/25/2019 MKE 7.pdf

45/48


245

NDB

dND

'

'

(7.149)

Postupak je dalje isti kao i kod funkcija nieg reda.

Element sa kubnom funkcijom pomjeranja ima etiri vora u vrhovimaeteverougla i po dva dodatna na svakoj stranici rasporeena na treini idvije treine duine stranice, slika 7.16.

Slika 7.16. Kubni izoparametarski element

Ukupan broj pomjeranja za 12 vorova iznosi 24 to je jednako brojukoeficijenata aiu funkcijama pomjeranja. Funkcija pomjeranja u x pravcu je:

x = a1+ a2s + a3t + a4s2+ a5s t + a6t

2+ a7s2t +

(7.150)+ a8s t

2+ a9s3+ a10t

3+ a11s3t + a12s t

3

Analogan izraz moe se napisati za funkciju pomjeranja u y pravcu sa jo

12 koeficijenata a1.

15 6 2

7

8

3910

4

13

12

t

s

7/25/2019 MKE 7.pdf

46/48


246

Primjer 7.3.

Na etverougao du njegove stranice 3-4 djeluje pritisak pt= p i ps= 0, slika7.17. Odredi sile u vorovima ako je t = 1

Slika 7.17. etverougao

Prema izrazima (7.143) i (7.144) povrinske sile

dsL

tTNf

T

s2

1

1

(7.151)

za t = 1

dsL

tp

p

NN

NN

f

f

f

f

t

s

T

ts

ss

ts

ss

200

001

1 43

43

4

4

3

3

(7.152)

x

y3(5,5)

2(5,2)1(3,2)

4(3,4)

7/25/2019 MKE 7.pdf

47/48


247

Slika 7.18. Djelovanje povrinskih sila na etverougao

Za ps= 0 pt= p

dsL

t

N

Nf

p

p

s20

0

1

1

4

3

(7.153)

dsL

t

pts

pts

fs2

4

)1()1(0

4

)1()1(0

1

1

(7.154)

1

12

2

2

42

42

0

tL

psps

psps

fs (7.155)

1

s

t

3

2

4

7/25/2019 MKE 7.pdf

48/48

2

0

2

0

4

4

3

3

tLpf

f

tLpf

f

ts

ss

ts

ss

(7.156)

Documents

MKE 7.pdf