Mémoire présenté devant le Centre d’Études Actuarielles

Association Loi de 1901 – Déclaration d’activité enregistrée sous le n° 11 75 09789 75 auprès du Préfet de région IDF 4, rue Chauveau-Lagarde - 75008 PARIS - Tél : 01 44 51 72 79 - Fax : 01 44 51 72 73 - Email : [email protected] -

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Mémoire présenté devant le Centre d’Études Actuarielles

pour la validation du cursus à la Formation d’Actuaire du Centre d’Études Actuarielles

et l’admission à l’Institut des Actuaires le XXXXX 2016

Par : Éric GETTLER

Titre : Sinistres attritionnels en non-vie : quelles méthodes de provisionnement ?

Confidentialité : NON OUI (Durée : 1an 2 ans)

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Membres présents du jury de l’Institut des Actuaires : ________________________

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Membres présents du jury du Centre d’Etudes Actuarielles : ________________________

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Secrétariat :

Bibliothèque :

Entreprise : AXA Corporate Solutions

Nom : ______________________________

Signature :

Directeur de mémoire en entreprise :

Nom : Jérémie DEVUN

Signature :

Invité :

Nom : ______________________________

Signature :

Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de diffusion de documents actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité) Signature du responsable entreprise

Signature(s) du candidat(s)

Éric GETTLER – Mémoire d’actuariat 2


Remerciements

Je tiens en premier lieu à remercier tout particulièrement Jérémie Devun qui a su pendant

toute la durée de rédaction de ce mémoire, apporter de précieux conseils ainsi que des critiques

constructives. Il m’a permis de me remettre en question et a été décisif dans l’accomplissement

de mon travail, en y apportant toute la pédagogie nécessaire.

Je voudrais aussi exprimer ma profonde reconnaissance à Stéphane Lafon pour sa

confiance et son soutien.

Je voudrais ensuite témoigner ma gratitude à Richard Verrall pour sa disponibilité et son

aide précieuse.

Je tiens également à remercier toute l’équipe de provisionnement, en particulier Ramy

Ibrahim, pour les différents échanges que l’on a pu avoir tout au long de mon étude sur la

méthode de Schnieper.

Je souhaiterais aussi remercier Jessica Luiz-Manzanares, Delphine Prodhomme, Cynthia

Augereau, Alexandre Dias-Lopes et Sophie Rousset qui ont été une des clés de ma réussite lors

de ma formation.

Enfin, je remercie Olivier Lopez pour son suivi de la préparation de ce mémoire.

À Mariko et Julia.


Table des matières

Remerciements ................................................................................................................................ 3

Table des matières ........................................................................................................................... 4

Index des figures, tableaux et des graphiques ................................................................................ 7

Introduction ..................................................................................................................................... 10

I Problématique du provisionnement des branches IARD chez AXA Corporate Solutions ....... 12

1) Présentation d’AXA Corporate Solutions ........................................................................ 12

2) Généralités sur la gestion des sinistres .......................................................................... 12

1.1) Cycle de vie d’un sinistre ......................................................................................... 12

1.2) Charge ultime .......................................................................................................... 13

1.3) Triangles de charge ................................................................................................. 14

3) Organisation des périmètres chez AXA Corporate Solutions ......................................... 16

4) Périmètres considérés .................................................................................................... 17

5) Les provisions techniques sous Solvabilité II ................................................................. 18

6) Problématique ................................................................................................................. 19

II Méthodes de provisionnement ................................................................................................ 20

1) Méthodes agrégées ........................................................................................................ 20

1.1) Méthode Chain Ladder ............................................................................................ 20

a) Principe .................................................................................................................... 20

b) Hypothèses et règles de calcul ............................................................................... 20

c) Exemple ................................................................................................................... 22

d) Avantages et inconvénients .................................................................................... 24

e) Customisation .......................................................................................................... 24

1.2) Méthode de Bornhuetter - Ferguson ....................................................................... 35

a) Principe .................................................................................................................... 35

b) Hypothèses et règles de calcul ............................................................................... 35

c) Exemple ................................................................................................................... 36

d) Avantages et inconvénients .................................................................................... 38

2) Méthodes « pseudo ligne à ligne » et ligne à ligne ......................................................... 39

2.1) Méthode de Schnieper ............................................................................................ 39

a) Origine ..................................................................................................................... 39

b) Principe .................................................................................................................... 39

c) Intérêt de la méthode ............................................................................................... 40


d) Analyse de la méthode – Règles de calcul ............................................................. 40

e) Exemple ................................................................................................................... 42

f) Ajustements de la méthode ..................................................................................... 46

g) Remarque sur le lien entre la méthode Chain Ladder et la méthode de Schnieper46

2.2) Une méthode développée pour les sinistres graves appliquée aux sinistres

attritionnels .......................................................................................................................... 47

a) Contexte .................................................................................................................. 47

b) Principe de la méthode ............................................................................................ 47

c) Exemple ................................................................................................................... 52

d) Avantages et inconvénients de la méthode ............................................................ 54

3) Synthèse des résultats .................................................................................................... 55

III Critères de sélection des méthodes de provisionnement ...................................................... 57

1) Vérification des hypothèses des méthodes .................................................................... 57

2) Back-testing. Technique de Denuit – Charpentier .......................................................... 58

3) Comparaison des volatilités des méthodes Chain Ladder et de Schnieper ................... 61

3.1) Définitions ................................................................................................................ 61

3.2) Modèle de Mack ...................................................................................................... 63

a) Origine ..................................................................................................................... 63

b) Hypothèses du modèle ............................................................................................ 63

c) Vérification des hypothèses du modèle .................................................................. 64

d) Variabilité des provisions ......................................................................................... 67

e) Exemples ................................................................................................................. 68

f) Intervalles de confiance ........................................................................................... 74

3.3) Modèle de Schnieper ............................................................................................... 76

a) Erreurs de prédiction ............................................................................................... 76

b) Exemple ................................................................................................................... 77

4) Problématique d’additivité des triangles ......................................................................... 79

4.1) Estimation du SCR de réserves .............................................................................. 79

a) Risque de réserve ................................................................................................... 79

b) Méthode de Merz et Wüthrich ................................................................................. 79

c) Additivité des triangles............................................................................................. 83

4.2) Critères d’additivité des triangles ............................................................................ 84

4.3) Tests d’additivité sur les différentes méthodes présentées .................................... 85

5) Granularité des calculs .................................................................................................... 86

6) Robustesse des méthodes face à des changements de sinistralité importants ............ 89

Conclusion ...................................................................................................................................... 92

Bibliographie ................................................................................................................................... 94


Lexique ........................................................................................................................................... 96

Annexes .......................................................................................................................................... 97


Index des figures, tableaux et des graphiques

Fig. 1 : Répartition du chiffre d’affaires d’AXA Corporate Solutions .............................................. 12

Fig. 2 : Cycle de vie d’un sinistre ................................................................................................... 13

Fig. 3 : Décomposition de la charge ultime d’un sinistre ............................................................... 14

Fig. 4 : Triangle de liquidation ........................................................................................................ 15

Fig. 5 : Triangle de charge Dommage, France, k€ ........................................................................ 22

Fig. 6 : Calcul du premier coefficient de développement ............................................................... 22

Fig. 7 : Détail du calcul de 𝑓1 ......................................................................................................... 22

Fig. 8 : Coefficients de développement 𝑓𝑘 ..................................................................................... 23

Fig. 9 : Triangle de charge complété .............................................................................................. 23

Fig. 10 : Réserves et ultimes .......................................................................................................... 24

Fig. 11 : Coefficients de passage ................................................................................................... 26

Fig. 12 : Coefficients de développement pour différentes méthodes dérivées de Chain Ladder .. 27

Fig. 13 : Développement de la charge à l’ultime en fonction des différentes méthodes ............... 28

Fig. 14 : Charge ultime par année de survenance pour chaque méthode .................................... 28

Fig. 15 : IBNR par année de survenance pour chaque méthode .................................................. 28

Fig. 16 : IBNR totaux pour chaque méthode .................................................................................. 29

Fig. 17 : Écarts-types et coefficients de variation des méthodes par année de survenance ........ 29

Fig. 18 : Tests de stabilité à l’ultime ............................................................................................... 30

Fig. 19 : Tests d’erreur sur la dernière diagonale .......................................................................... 30

Fig. 20 : Loi exponentielle .............................................................................................................. 31

Fig. 21 : Loi puissance ................................................................................................................... 32

Fig. 22 : Facteurs de queue pour chaque méthode ....................................................................... 33

Fig. 23 : Coefficients R² pour chaque méthode ............................................................................. 33

Fig. 24 : Triangle de charge pour la branche Dommages, affaires directes, France .................... 36

Fig. 25 : Primes, loss ratios et ultimes utilisés pour la méthode de Bornhuetter - Ferguson ........ 37

Fig. 26 : Coefficients 𝑧𝑘 et 𝑓𝑘 ......................................................................................................... 37

Fig. 27 : Triangle de charge branche Dommage, complété avec la méthode Bornhuetter-

Ferguson......................................................................................................................................... 37

Fig. 28 : Réserves obtenues pour la branche Dommage, affaires directes, méthode de

Bornhuetter - Ferguson .................................................................................................................. 38

Fig. 29 : Décomposition des triangles en euro pour la méthode de Schnieper ............................. 39

Fig. 30 : Informations nécessaires à la création des triangles D et N ........................................... 41

Fig. 31 : Création du triangle N ...................................................................................................... 41

Fig. 32 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge C, k€ ......................................................... 43


Fig. 33 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge N, k€ ......................................................... 43

Fig. 34 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge D, k€ ......................................................... 43

Fig. 35 : Vecteur d’exposition, k€ ................................................................................................... 44

Fig. 36 : Paramètres 𝜆𝑗 et 𝛿𝑗 .......................................................................................................... 44

Fig. 37 : Ultimes et réserves calculés par la méthode de Schnieper, k€ ....................................... 44

Fig. 38 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge C complété, k€ ......................................... 45

Fig. 39 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge N complété, k€ ......................................... 45

Fig. 40 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge D complété, k€ ......................................... 45

Fig. 41 : Variantes de la méthode de Schnieper : IBNR totaux ..................................................... 46

Fig. 42 : Comparaison des IBNeR calculés par les méthodes DHV et de Schnieper pour 2

branches ......................................................................................................................................... 52

Fig. 43 : Coefficients de passage en fonction des montants des sinistres (branche Dommages) 53

Fig. 44 : Coefficients de passage en fonction des montants des sinistres (branche Construction)

........................................................................................................................................................ 53

Fig. 45 : Compositions différentes de la charge des sinistres ....................................................... 54

Fig. 46 : Synthèse des résultats des Best Estimate des réserves IBNR par branche et par

méthode .......................................................................................................................................... 55

Fig. 47 : Histogrammes comparatifs des résultats normés des Best Estimate des réserves IBNR

par branche et par méthode ........................................................................................................... 55

Fig. 48 : Back-testing : utilisation de sous-triangles ....................................................................... 58

Fig. 49 : Triangle tronqué : sous-triangle sans 5 diagonales ......................................................... 58

Fig. 50 : Triangles complété avec la méthode Chain Ladder ........................................................ 59

Fig. 51 : Résultats normés du back-testing sur cinq ans pour sept périmètres ............................. 59

Fig. 52 : Résultats normés du back-testing sur cinq ans pour sept périmètres ............................. 60

Fig. 53 : Pourcentage des cas où la charge estimée est supérieure à la charge réelle ................ 60

Fig. 54 : Modèle de Mack - Validation de l’hypothèse 1 (Dommage, affaires directes) ................ 69

Fig. 55 : Triangle de charge – Branche dommages, affaires directes ........................................... 70

Fig. 56 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝐹𝑘................................................... 70

Fig. 57 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝑟𝑘 ................................................... 70

Fig. 58 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝑠𝑘 ................................................... 71

Fig. 59 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝑇𝑘 et de T ...................................... 71

Fig. 60 : Test de saisonnalité : 𝐹𝑘 et 𝑚𝑘 ........................................................................................ 72

Fig. 61 : Test de saisonnalité : 𝑀𝑘 et 𝑁𝑘 ....................................................................................... 72

Fig. 62 : Test de saisonnalité : résultats ........................................................................................ 72

Fig. 63 : Test de saisonnalité : appartenance à l’intervalle ............................................................ 73

Fig. 64 : Modèle de Mack - Validation de l’hypothèse 3 (Dommages, affaires directes) .............. 73

Fig. 65 : Loi log-normale, densité de probabilité et fonction de répartition, avec μ =0 .................. 74


Fig. 66 : Comparaison des volatilités des méthodes Chain Ladder et de Schnieper .................... 78

Fig. 67 : Rapport des montants de réserves globaux et individuels par branche d’activité .......... 83

Fig. 68 : Synthèse des résultats des tests d’additivité des triangles par branche d’activité et par

méthode .......................................................................................................................................... 85

Fig. 69 : Synthèse des résultats des tests de granularité pour la branche Dommages ................ 86

Fig. 70 : Synthèse des résultats des tests de granularité pour la branche Construction Tous

Risques Chantier ............................................................................................................................ 87

Fig. 71 : Synthèse des écarts relatifs des tests de granularité ...................................................... 87

Fig. 72 : Coefficients de développement des triangles individuels et totaux ................................. 87

Fig. 73 : Chronique des coefficients de développent ..................................................................... 88

Fig. 74 : Chocs sur les coefficients de passage ............................................................................. 89

Fig. 75 : Validation de l’hypothèse 1 de Chain Ladder : choc sur la diagonale ............................. 90

Fig. 76 : Validation de l’hypothèse 1 de Chain Ladder : choc sur deux années de survenance ... 90

Fig. 77 : Résultats normés des tests de Denuit-Charpentier sur les chocs de sinistralité simulés :

SSE ................................................................................................................................................. 91

Fig. 78 : Résultats des tests de Denuit-Charpentier sur les chocs de sinistralité simulés. ........... 91

Fig. 79 : Critères de sélection des méthodes de provisionnement de sinistres attritionnels ......... 93


Introduction

L’inversion du cycle de production oblige les assureurs, pour respecter leurs

engagements envers leurs assurés, à constituer des provisions techniques pour pouvoir payer

les sinistres qui arriveront ultérieurement et pour lesquels les assurés ont payé leurs primes dans

un premier temps. L’importance de ces provisions, puisqu’elles permettent aux compagnies

d’assurance de garantir leur solvabilité, est donc de premier plan et leur estimation représente un

enjeu fondamental. Solvabilité II impose que leur évaluation soit la plus juste possible.

Pour effectuer ces évaluations, de nombreuses méthodes existent. Parmi elle, la méthode

Chain Ladder, se basant sur le calcul de coefficients de développement, est souvent utilisée

comme référence, grâce à sa simplicité d’exécution et les bons résultats qu’elle peut donner.

Cependant, elle repose sur des hypothèses qui ne sont pas toujours vérifiées dans la pratique.

De plus, certaines situations montrent les limites de cette méthode. On est alors amené à mettre

en place d’autres méthodes, plus complexes, utilisant plus de données et de paramètres.

Le cadre de ce mémoire se situe en assurance non-vie et utilise des données de

branches d’activité diverses afin d’essayer de couvrir un large panel de cas de figure (branches

courtes, mi-longues et très longues). Les sinistres concernés sont les sinistres dits de fréquence,

ou attritionnels, dont les montants des charges à l’ultime se situent sous un seuil. Les sinistres

atypiques ayant une fréquence bien plus faible et dont les montants sont bien plus importants

sont hors du scope de cette étude.

Les outils utilisés pour effectuer les calculs et les estimations contenus dans ce document

sont principalement des fichiers Excel ainsi que des programmes écrits en R. Les principales

données utilisées sont regroupées en annexe en fin de mémoire. Enfin, la bibliographie renvoie

aux articles et ouvrages de référence donnant en détail les démonstrations nécessaires aux

résultats et formules utilisés notamment lors de la description des méthodes présentées ; ces

démonstrations ne sont pas reprises dans le corps du mémoire.

Dans une première partie, nous présenterons brièvement le contexte de l’étude,

l’entreprise où elle a eu lieu, ainsi que les concepts et notations qui seront utilisés par la suite afin

d’introduire la problématique générale du mémoire.

Dans un second temps, nous présenterons en détail quatre méthodes de

provisionnement de sinistres et les différentes options qui peuvent être utilisées avec une

approche à la fois déterministe et stochastique. Pour chaque méthode, on prendra soin de

rappeler, outre les formules principales utiles pour le calcul des réserves recherchées, les

hypothèses indispensables à l’application de ces méthodes ainsi que des exemples illustrant en

détail leur mise en place. Enfin, on mentionnera les avantages et les inconvénients de chacune

des méthodes en gardant à l’esprit la nécessité du côté pratique recherché dans le milieu

professionnel notamment vis-à-vis des données nécessaires aux calculs.

Enfin, dans une troisième partie, nous essayerons de présenter des critères permettant

d’apporter une aide à la sélection d’une méthode aux dépens d’une autre.

Ce mémoire ne se veut pas un catalogue de méthodes de provisionnement. Il en existe

des dizaines, plus ou moins complexes, plus ou moins efficaces… Nous chercherons plutôt à

étudier en profondeur deux de ces méthodes, une très classique, Chain Ladder, et une moins


utilisée, proposée par Schnieper, tout en les comparant avec deux autres méthodes, notamment

une méthode également très utilisée dans le monde de l’assurance, celle de Bornhuetter-

Ferguson.

La méthode Chain Ladder, bien que simple et classique, sera mise en avant car son

principe sert de base à de nombreuses autres.

La question est de savoir si l’optimisation de ces méthodes donne des résultats

satisfaisants et comment on peut parvenir à obtenir des critères de sélection adéquats pour ces

méthodes.


I Problématique du provisionnement des branches IARD chez AXA

Corporate Solutions

1) Présentation d’AXA Corporate Solutions

AXA Corporate Solutions est une filiale du groupe AXA (chiffre d’affaires 2014 : 2,12 milliards

d’euros, résultat opérationnel 2014 : 150 millions d’euros), elle emploie 1 500 collaborateurs et

possède un réseau international de 150 pays. Spécialisée dans les grands risques non-vie, dits

IARD (P&C) et les marchés spécialisés comme la Marine ou l’Aviation.

Ses clients sont principalement des entreprises du monde entier dont le chiffre d’affaires est

supérieur à 500 millions d’euros ou dont le nombre d’employés est supérieur à 5 000. Présente

dans une dizaine de pays, son activité se répartit en une dizaine de branches diverses telles que

le Dommage, la Responsabilité Civile, la Marine, l’Aviation ou encore la Construction pour les

plus importantes.

Fig. 1 : Répartition du chiffre d’affaires d’AXA Corporate Solutions

2) Généralités sur la gestion des sinistres

1.1) Cycle de vie d’un sinistre

Le cycle de vie d’un sinistre est très important pour l’estimation de ses provisions. En effet,

des événements comme la date de survenance ou la date de déclaration vont totalement

conditionner les paramètres pour la modélisation des lois utilisées pour le calcul des réserves.


On peut résumer le cycle de vie d’un sinistre de la manière suivante :

Fig. 2 : Cycle de vie d’un sinistre

Il est indispensable de prendre en compte le délai entre la date de survenance du sinistre et

celle de sa date de déclaration. Il peut s’écouler plusieurs années entre les deux, par exemple

dans le cas de sinistres dus à l’amiante.

Par ailleurs, une fois qu’un sinistre est déclaré, il peut se passer également plusieurs années

avant que la totalité du montant que l’assureur doit à l’assuré ; comme dans les situations de

blessure corporelle et de responsabilité civile, lorsqu’un ou plusieurs procès sont nécessaires

pour statuer précisément sur la responsabilité des acteurs impliqués, sans oublier le fait qu’un

sinistre fermé peut aussi être rouvert par la suite, dans le cas, par exemple, où de nouveaux

éléments apparaîtraient, de nouvelles pièces seraient ajoutées au dossier lors de la procédure

judiciaire pour déterminer les responsabilités d’un sinistres (pour les garanties liées aux

responsabilités civiles par exemple).

Cet aspect spécifique, les réouvertures, ainsi que les provisions pour recours que l’assureur

peut également constituer dans certains cas, ne sont pas traités dans ce mémoire.

L’assureur doit donc faire face à plusieurs inconnues vis-à-vis des sinistres qu’il doit gérer,

notamment leur délai de règlement et leurs montants finaux. Il va alors devoir utiliser ou

concevoir des méthodes pour provisionner suffisamment en prévision de ces sinistres en

adaptant ces méthodes spécifiquement à ses lignes d’activité.

1.2) Charge ultime

L’assureur doit, du fait du cycle inversé de production de son activité, constituer des

provisions techniques afin de pouvoir payer, entre autres, plusieurs mois ou années après,

les sinistres dont il n’a pas complètement, ou pas du tout connaissance, au moment de

l’arrêté comptable qu’il effectue régulièrement, en général, au moins trimestriellement.

Au moment d’un arrêté, la charge ultime d’un sinistre correspond à la somme du montant

payé pour ce sinistre et des provisions techniques constituées.


Ces provisions se répartissent de la manière suivante :

- Provisions dossier/dossier (D/D, ou F/F en anglais pour File/File ou encore RBNS :

Reported But Not Settled). Ces provisions sont estimées au cas par cas par l’équipe de

gestionnaires des sinistres qui est spécialisée par branche d’activité et qui est experte en

ce qui concerne les différents cas de figure qui peuvent survenir au cours du cycle de vie

du sinistre.

- Provisions IBNR (Incurred But Not Reported) : elles-mêmes subdivisées en :

Provisions IBNeR (Incurred But Not enough Reported) : provisions visant à

compléter (positivement ou négativement) les provisions dossier/dossier,

Provisions IBNyR (Incurred But Not yet Reported) : provisions servant à couvrir

les sinistres survenus mais non encore déclarés à l’assureur.

On appelle généralement PSAP, pour Provisions pour Sinistres À Payer, la somme des

toutes ces provisions techniques.

Fig. 3 : Décomposition de la charge ultime d’un sinistre

1.3) Triangles de charge

Un grand nombre de méthodes actuarielles d’estimation des provisions de sinistres se basent

sur des triangles agrégés de montants cumulés de sinistres. Ils sont bien souvent le point de

départ, la première étape indispensable, pour pouvoir appliquer ces méthodes. On comprend

ainsi aisément qu’il est primordial de pouvoir constituer ces triangles de données sensibles en

s’assurant d’une certaine qualité, d’un certain contrôle, en maîtrisant entre autres, leur origine et

la manière dont ils sont constitués.


Il existe plusieurs manières ou sens de présenter ces triangles, mais dans toute la suite nous

utiliserons la représentation et les notations ci-dessous :

- en ligne sont indiquées années de développement i,

- en colonne, on trouve les années de survenance j.

De plus, on considèrera dans la suite, sauf indication contraire, des triangles de charges

cumulés de sinistres, c’est-à-dire, l’accumulation pour chaque année de survenance des

montants des sinistres payés et des réserves dossier/dossier pour l’agrégation de tous les

sinistres d’un périmètre donné.

Le choix des périmètres est très important mais leur définition n’est pas toujours évidente.

Jusqu’à quel point doit-on agréger les sinistres ? Quel niveau de granularité choisir ?

En agrégeant trop, on risque de regrouper des données hétérogènes (avec des risques non

similaires par exemple, ou encore de source très distinctes, géographiquement entre autres, ce

qui ferait que le regroupement n’aurait pas de sens). Au contraire, si on descend trop dans le

détail, on risque de ne plus pouvoir appliquer la loi des grands nombres, avoir des données trop

volatiles ou tout simplement des données pour lesquelles les hypothèses de base des méthodes

de calcul ne seraient pas vérifiées.

Si le choix du périmètre est en partie à la main de l’actuaire, ce dernier est également

fortement dépendant des données qu’il a à disposition et devra parfois s’accommoder de

données hétérogènes qu’il ne pourra retraiter comme il le souhaiterait. Par exemple, impossibilité

de connaître, du fait de systèmes de gestion non adéquats, le lieu géographique du sinistre pour

les sinistres liés aux conditions météorologiques, aux catastrophes naturelles…

Comme on le verra par la suite, selon le périmètre et la granularité choisis, les méthodes de

provisionnement peuvent donner des résultats significativement différents.

La figure ci-dessous présente une illustration de ce qui est communément appelé un triangle

de liquidation. La partie supérieure correspond à la charge cumulée agrégée des montants de

sinistres connue et la partie inférieure est la partie qu’on cherche à estimer pour obtenir en

particulier l’ultime pour chaque année de survenance. On désigne simplement par année de

survenance, l’année où a eu lieu le sinistre (qui peut être différente de l’année de sa déclaration

comme le montre la figure 2). Les années de développement correspondent aux années qui

suivent cette année de survenance, d’où cette représentation en triangle.

Fig. 4 : Triangle de liquidation

0 1 2 3 4 … i … I

0

1

2 Ci,j

3 ( i +j ≤ I )

4

…

j Ci,j

… ( i +j > I )

JAn

née

s d

e d

ével

op

pem

ent

Années de survenance des sinistres


On s’attend naturellement à ce que la charge agrégée cumulée des montants de sinistres

soit croissante. Si c’est le cas en général, il arrive également qu’elle décroisse à cause de

provisions dossier/dossier revues fortement à la baisse.

3) Organisation des périmètres chez AXA Corporate Solutions

En plus du découpage naturel par ligne d’activité (Construction, Aviation, Responsabilité

Civile…) et par entité gérant le contrat (France, Allemagne…), les informations sur les sinistres

sont réparties également par :

- Catégorie de sinistres : attritionnel ou grave. Le seuil des sinistres graves étant fixé à 3

millions d’euros, sachant que le montant d’un sinistre peut évoluer au cours du temps, il

est tout à fait possible qu’entre sa date d’ouverture et sa date de fermeture, un sinistre

change de catégorie. Ce découpage est nécessaire car la fréquence des sinistres graves

est complètement éloignée de celle des sinistres attritionnels avec des montants en rien

comparables. Les mélanger aurait pour conséquence de «polluer » les triangles de

données avec des valeurs extrêmes qui ne permettraient pas de vérifier les hypothèses

qu’il est nécessaire de respecter pour appliquer les méthodes traditionnelles de calcul de

provisionnement de sinistres. Dans ce mémoire, nous nous sommes intéressés

uniquement aux méthodes de provisionnement pour calculer les réserves des sinistres

attritionnels. Les sinistres graves sont traités d’une manière totalement différente.

- Type de réassurance : données brutes, cédées et nettes (avec ou sans recours). En

général, deux méthodes de calcul sont utilisées pour calculer les charges ultimes selon

leur type de réassurance. Soit on calcule les ultimes au brut et au net et on en déduit par

différence la charge cédées, soit on estime les ultimes brutes et on applique un taux de

cession pour en déduire le net. Le choix des deux méthodologies dépend fortement de la

qualité des données dont on dispose et la possibilité ou non, d’y appliquer des méthodes

actuarielles dont les hypothèses seront vérifiées.

- Sous-branches : une ligne d’activité peut être subdivisée en plusieurs sous-branches

avec des modes de gestion et donc des délais de déclaration, de paiement etc. très

différents d’où la nécessité de les traiter séparément pour conserver le côté homogène

des données. En général, chaque branche est au moins divisée en deux sous-branches

pour considérer séparément les affaires directes où AXA CS est l’assureur, et les affaires

acceptées où AXA CS joue le rôle d’un réassureur et où les délais d’obtention des

informations sont bien plus longs que pour les affaires directes, puisque les données

doivent transiter par plus d’intermédiaires et plus de systèmes de gestion.


Par ailleurs, bien que les arrêtés comptables effectués chez AXA CS soient trimestriels, les

montants cumulés agrégés des sinistres dans les triangles sont construits avec des données

annuelles. Tout comme pour le découpage en sous-branche, ce choix a un effet important sur les

résultats et considérer des données trimestrielles, semestrielles ou annuelles par exemple, a une

conséquence directe sur les résultats des méthodes ne serait-ce que parce que cela un impact

direct sur la volatilité des données.

4) Périmètres considérés

Parmi toutes les branches d’activité d’AXA Corporate Solutions, nous ne nous pencherons

que sur certaines dans le cadre de ce mémoire pour tester les différentes méthodes de

provisionnement abordées. Elles ont chacune leurs spécificités propres, aussi bien au niveau de

la durée de leur déroulement, de leur système de gestion, que de leur législation.

Aussi nous présentons ici brièvement seulement celles qui seront mentionnées par la suite

afin de donner une idée un peu plus concrète sur ce qui se cache derrière les chiffres.

Branche Construction (TRC - TRME : Tous Risques Chantier – Tous Risques

Montage Essais, CAR – EAR : Construction All Risks – Erection All Risks en

anglais) : correspond aux garanties diverses pour couvrir tous les dommages qui

peuvent intervenir lors d’un chantier mais également lors du montage de machines

servant à ces chantiers (échafaudages, grues, turbines…).

Branche Dommages (Property en anglais) : garanties pour tout ce qui concerne les

dommages aux biens (usines, entrepôts, hôtels, centres de vacances, magasins,

entreprises…) et également la perte pécuniaire engendrée par une cessation

d’activité temporaire, totale ou partielle, due à un dommage. Cette perte d’exploitation

peut intervenir par exemple si une chaîne de production doit être stoppée à cause

d’un dégât matériel. C’est une branche plutôt courte.

Branche Automobile (Motor en anglais) : correspond aux garanties des parcs

automobiles des compagnies et des responsabilités corporelles et matérielles.

Branche mi-longue.

Branche Responsabilité Civile Construction (Building Liability en anglais) : concerne

la responsabilité civile rattachée au domaine des chantiers de construction. Branche

longue.

Branche Décennale (Decennial en anglais) : concerne les garanties s’appliquant à un

ouvrage pendant dix ans à partir de la fin d’un chantier de construction (solidité,

impropriété, effondrements…). Branche longue.


Ensemble des périmètres utilisés par la suite :

- Dommages France affaires directes,

- Dommages France affaires acceptées,

- TRC – TRME France affaires directes,

- TRC – TRME France affaires acceptées,

- Automobile France affaires directes,

- Responsabilité Civile France affaires directes,

- Décennale France, affaire directes.

5) Les provisions techniques sous Solvabilité II

La réforme européenne Solvabilité II du monde de l’assurance a plusieurs buts, notamment

donner un cadre juridique sur l’établissement des fonds propres dont les entreprises d’assurance

ont besoin, harmoniser les différentes normes et pallier les manques et insuffisances de

Solvabilité I.

Elle s’articule autour de 3 piliers :

- Premier pilier :

Ce pilier définit deux seuils réglementaires quantitatifs relatifs aux fonds propres nécessaires

des entreprises : le MCR, Capital Minimum Requis (Minimum Capital Requirement), seuil au-

dessous duquel, l’ACPR, l’Autorité de Contrôle Prudentiel et de Résolution, pourra intervenir pour

retirer l’agrément ; et le SCR, le Capital de Solvabilité Requis (Solvency Capital Requirement) qui

est prévu pour pouvoir résister à un choc induit par un événement extraordinaire important et les

pertes potentielles consécutives à ce choc.

- Deuxième pilier :

Ce pilier a trait à tout ce qui est exigences qualitatives et règles de contrôle qui incombent

aux entreprises du secteur de l’assurance. Le but est de s’assurer de la bonne gestion et du

calcul des risques de la compagnie et que son capital est conforme à la réglementation.

- Troisième pilier :

Ce dernier pilier concerne la publication des informations basées sur les deux premiers piliers

afin que le public, autorités de contrôle, actionnaires, analystes puissent juger de la qualité des

actions effectuées, en termes de transparence et de suivi du risque. Les indicateurs attendus

devront présenter les performances financières, les profils de risques, les hypothèses utilisées

ainsi que les mesures d’incertitude et de volatilité des résultats fournis.


Avec Solvabilité II, les provisions techniques sont la somme deux termes : les provisions

techniques communément appelées Best Estimate et une marge de risque. Seul le premier terme

sera traité dans ce mémoire. La directive Solvabilité II décrit les provisions Best Estimate comme

suit : « La meilleure estimation correspond à la moyenne pondérée par leur probabilité des flux

de trésorerie futurs, compte tenu de la valeur temporelle de l’argent (valeur actuelle probable des

flux de trésorerie), estimée sur la base de la courbe des taux sans risque pertinente ».

6) Problématique

Le provisionnement des sinistres attritionnels chez AXA CS nécessite plusieurs équipes

dédiées qui font partie d’un processus complexe, trimestriel, impliquant une quantité importante

de données. Même si elles sont parfois ajustée aux branches d’activité et à certaines spécificités,

les méthodes utilisées restent classiques et finalement peu nombreuses.

La présente étude vise à évaluer la pertinence de ces méthodes ainsi que leur efficacité.

Sans pour autant tester une liste exhaustive de méthodes développées par la communauté

actuarielle, le but est également de s’intéresser à des méthodes qui pourraient être

particulièrement adaptées au cadre d’AXA CS

En effet, certaines situations montrent aujourd’hui les limites des méthodes utilisées où les

données disponibles ne semblent pas propices et où certains résultats apparaissent peu fiables

et donc inutilisables. C’est le cas du provisionnement sur l’année courante, notamment.


II Méthodes de provisionnement

1) Méthodes agrégées

1.1) Méthode Chain Ladder

a) Principe

La méthode Chain Ladder est une méthode déterministe de calcul de provisionnement

des réserves de sinistres largement utilisée dans le monde professionnel notamment à cause de

sa simplicité d’implémentation et d’exécution, et de son côté intuitif. Elle permet la plupart du

temps, de donner un premier aperçu rapide du montant des réserves.

Apparue dans les ouvrages de droit des assurances vers 1938, elle est souvent

considérée comme une méthode de référence. Elle a pour but de donner une estimation de la

charge ultime afin d’en déduire les provisions qu’on cherche à calculer en se basant uniquement

sur les triangles historiques des règlements cumulés des sinistres (triangles de charges ou de

paiements par exemple). L’idée de base est d’analyser et de comparer la tendance des encours

cumulés d’une année de survenance à une autre identique pour toutes les années de

survenance.

Une enquête réalisée sur 42 pays représentant 87% du marché mondial (en primes

émises en 2014) publiée en juin 2016 dans la revue L’actuariel #21, montre que la méthode

Chain Ladder est utilisée comme méthode principale dans plus de 90% des cas.

Cette méthode nécessite d’avoir un portefeuille :

homogène : les sinistres considérés doivent présenter des similitudes dans leur nature et

leur traitement par les services de gestion des sinistres. Par exemple, pour reprendre ce

qui a été évoqué dans la première partie, on séparera systématiquement les affaires

directes des affaires acceptées car les délais de gestion ne sont pas comparables.

présentant un historique suffisant pour avoir un jeu de données significatif.

dont les événements extrêmes peuvent être identifiés, isolés et extraits.

b) Hypothèses et règles de calcul

Hypothèses :

Afin de pouvoir utiliser la méthode Chain Ladder, deux hypothèses sur les données

contenues dans les triangles doivent être vérifiées.


(H1) : Les paiements cumulés 𝐶𝑖,𝑗 des années de survenance sont indépendants.

(H2) : Il existe des facteurs de développement 𝑓0. . . 𝑓𝐽−1 > 0, tels que :

∀ 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝐼 et 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝐽, on a :

𝐸[𝐶𝑖,𝑗|𝐶𝑖,0, … , 𝐶𝑖,𝑗−1] = 𝐸[𝐶𝑖,𝑗|𝐶𝑖,𝑗−1] = 𝑓𝑗−1𝐶𝑖,𝑗−1

Règles de calcul :

Les facteurs de développement sont donnés par la formule :

𝑓�� = ∑ 𝐶𝑖 ,𝑘+1𝑛−𝑘−1𝑖=0

∑ 𝐶𝑖 ,𝑘𝑛−𝑘−1𝑖=0

La charge ultime de sinistres pour chaque année d’occurrence s’écrit alors :

𝑈�� = 𝐶𝑖 ,𝑘+1× (𝑓𝑛+1−𝑖 ×… × 𝑓𝑛)

La réserve recherchée pour une année de survenance i est donnée par :

𝑅�� = 𝑈�� − 𝐶𝑖 ,𝑛+1−𝑖

De plus, pour toute année de survenance i > n + 1 – i, le montant cumulé pour une année

de survenance i est donné par :

𝐶𝑖,�� = 𝐶𝑖 ,𝑛+1−𝑖× (𝑓𝑛+1−𝑖 ×… × 𝑓𝑘−2 × 𝑓𝑘−1)


c) Exemple

L’exemple suivant résume les différentes étapes de calcul ainsi que les résultats

appliqués au périmètre de données correspondant au secteur d’activité : Dommages, pour les

affaires directes sur la filiale France, données brutes de réassurance, en kiloeuro, à fin 2014, sur

17 ans d’historique.

Fig. 5 : Triangle de charge Dommage, France, k€

Fig. 6 : Calcul du premier coefficient de développement

Fig. 7 : Détail du calcul de 𝑓1

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

n 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 876 41 422 21 554 39 859

n+1 12 901 26 515 71 129 69 089 49 074 33 617 29 672 33 195 35 991 33 930 47 629 38 770 31 629 37 721 35 322 24 961

n+2 14 318 74 525 62 057 65 495 45 423 29 235 27 626 34 912 38 696 32 924 46 210 35 347 25 894 31 695 33 768

n+3 60 061 70 783 54 855 61 265 43 080 28 815 24 958 31 061 37 907 32 378 44 229 33 851 26 470 30 994

n+4 57 444 69 462 54 219 62 514 42 663 27 872 25 137 31 170 37 677 30 892 44 144 32 546 26 308

n+5 54 510 67 899 53 996 61 969 42 093 27 947 25 147 30 638 37 210 30 425 43 502 30 550

n+6 53 256 67 696 52 663 61 128 41 087 27 524 25 141 30 744 36 800 30 395 43 097

n+7 54 961 67 099 51 928 60 249 40 901 28 332 24 279 30 676 35 901 29 801

n+8 54 315 66 714 50 388 59 564 40 238 27 613 24 112 30 382 35 889

n+9 54 407 65 561 50 163 57 724 38 769 27 273 24 471 30 144

n+10 53 870 65 872 49 562 57 467 38 655 27 005 24 470

n+11 53 899 65 629 48 918 55 119 39 071 26 985

n+12 53 722 64 797 48 443 54 258 38 034

n+13 53 554 64 770 48 375 54 308

n+14 53 503 64 772 48 375

n+15 53 503 63 947

n+16 53 502

An

née

s d

e d

ével

op

pem

ent

Années de survenance

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

n 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 876 41 422 21 554 39 859

n+1 12 901 26 515 71 129 69 089 49 074 33 617 29 672 33 195 35 991 33 930 47 629 38 770 31 629 37 721 35 322 24 961

n+2 14 318 74 525 62 057 65 495 45 423 29 235 27 626 34 912 38 696 32 924 46 210 35 347 25 894 31 695 33 768


Le calcul des coefficients de développement donne :

Fig. 8 : Coefficients de développement 𝑓𝑘

Comme on l’a vu avec les formules précédemment, ces coefficients s’interprètent de la

manière suivante : pour obtenir la charge ultime de l’année 2000, par exemple, il faut multiplier le

montant de la diagonale de l’année de survenance de l’année correspondante par 0.99 x 1.00 x

1.00.

On remarque qu’au niveau des données, les montants cumulés ne croissent pas toujours

avec les années de développement. Cela est dû au fait que les provisions dossier/dossier sont

revues à la baisse.

L’application des formules amènent aux résultats suivants :

Triangle complété :

Fig. 9 : Triangle de charge complété

2014 1,33

2013 1,02

2012 1,03

2011 0,99

2010 0,98

2009 0,99

2008 0,99

2007 0,99

2006 0,99

2005 1,00

2004 0,99

2003 0,99

2002 1,00

2001 1,00

2000 0,99

1999 1,00

1998 1,00

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

n 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 876 41 422 21 554 39 859

n+1 12 901 26 515 71 129 69 089 49 074 33 617 29 672 33 195 35 991 33 930 47 629 38 770 31 629 37 721 35 322 24 961 53 110

n+2 14 318 74 525 62 057 65 495 45 423 29 235 27 626 34 912 38 696 32 924 46 210 35 347 25 894 31 695 33 768 25 470 54 192

n+3 60 061 70 783 54 855 61 265 43 080 28 815 24 958 31 061 37 907 32 378 44 229 33 851 26 470 30 994 34 746 26 207 55 761

n+4 57 444 69 462 54 219 62 514 42 663 27 872 25 137 31 170 37 677 30 892 44 144 32 546 26 308 30 562 34 262 25 842 54 984

n+5 54 510 67 899 53 996 61 969 42 093 27 947 25 147 30 638 37 210 30 425 43 502 30 550 25 805 29 978 33 607 25 348 53 933

n+6 53 256 67 696 52 663 61 128 41 087 27 524 25 141 30 744 36 800 30 395 43 097 30 176 25 490 29 612 33 196 25 039 53 275

n+7 54 961 67 099 51 928 60 249 40 901 28 332 24 279 30 676 35 901 29 801 42 864 30 013 25 352 29 452 33 017 24 903 52 987

n+8 54 315 66 714 50 388 59 564 40 238 27 613 24 112 30 382 35 889 29 415 42 308 29 624 25 024 29 070 32 589 24 580 52 300

n+9 54 407 65 561 50 163 57 724 38 769 27 273 24 471 30 144 35 400 29 014 41 732 29 220 24 683 28 674 32 145 24 245 51 587

n+10 53 870 65 872 49 562 57 467 38 655 27 005 24 470 30 005 35 237 28 880 41 539 29 086 24 569 28 541 31 997 24 134 51 349

n+11 53 899 65 629 48 918 55 119 39 071 26 985 24 235 29 716 34 898 28 603 41 140 28 806 24 333 28 267 31 689 23 902 50 856

n+12 53 722 64 797 48 443 54 258 38 034 26 637 23 923 29 334 34 449 28 234 40 610 28 435 24 020 27 903 31 281 23 594 50 201

n+13 53 554 64 770 48 375 54 308 37 997 26 612 23 900 29 305 34 415 28 207 40 571 28 408 23 997 27 876 31 251 23 571 50 153

n+14 53 503 64 772 48 375 54 292 37 986 26 604 23 892 29 297 34 405 28 199 40 559 28 400 23 989 27 868 31 242 23 564 50 138

n+15 53 503 63 947 48 037 53 913 37 721 26 418 23 726 29 092 34 165 28 002 40 276 28 201 23 822 27 674 31 024 23 400 49 788

n+16 53 502 63 946 48 037 53 912 37 720 26 418 23 726 29 092 34 165 28 002 40 276 28 201 23 822 27 673 31 024 23 400 49 787


An

née

s d

e d

ével

op

pem

ent


Calcul des réserves :

Fig. 10 : Réserves et ultimes

La valeur négative totale des réserves IBNR s’explique par la baisse de la charge

cumulée dossier/dossier, mise à part sur l’année 2014. Cela se traduit pas une libération des

réserves (également appelée boni sur les réserves).

d) Avantages et inconvénients

La simplicité et la popularité de la méthode ainsi que l’absence de données complexes

nécessaires à sa mise en œuvre sont des avantages certains de la méthode Chain Ladder.

Cependant, l’utilisation de facteurs de développement sera pertinente et significative à

condition d’avoir un historique de données suffisant.

De plus, la réserve finale calculée par la méthode est directement liée au dernier montant

de charge de sinistre. Si ce dernier montant est nul ou très peu significatif, alors la réserve

calculée sera très peu fiable.

Si la méthode est simple à utiliser, elle est aussi basée sur des hypothèses non

nécessairement réalistes. En effet, elle repose sur le principe qui ne prend pas en compte une

évolution potentielle du déroulement des règlements de sinistres dans le temps. Ou une

modification de la jurisprudence. En clair, la méthode Chain Ladder se base sur une hypothèse

très forte de très grande stabilité des facteurs de développements de sinistralité.

Par ailleurs, cette méthode ne fait pas intervenir de paramètres liés aux primes acquises

calculées en année de survenance et ne sera donc pas sensible à une modification potentielle de

la tarification. En outre, la méthode présente une dépendance très forte de la charge finale à la

dernière année (ou période) de survenance du triangle. Ceci entraine une importante sensibilité à

la valeur initiale.

e) Customisation

Il peut arriver que les données brutes que l’on souhaite utiliser ne vérifient pas de

manière satisfaisante les hypothèses nécessaires à l’application de la méthode. La présence de

points aberrants est courante.

Un changement dans les systèmes informatiques, dans la gestion des sinistres, dans la

réglementation… peut impacter grandement les cadences de paiement des sinistres, leurs

réserves dossier/dossier et donc l’allure des triangles de charge.

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Total

53 502 63 946 48 037 53 912 37 720 26 418 23 726 29 092 34 165 28 002 40 276 28 201 23 822 27 673 31 024 23 400 49 787 -

- 1 - 338 - 395 - 313 - 567 - 744 - 1 052 - 1 724 - 1 799 - 2 821 - 2 348 - 2 486 - 3 320 - 2 744 - 1 561 - 9 928 12 286 550 -

Ultimes

Réserves


Afin de pallier ces problèmes, il est possible de modifier les calculs des coefficients de

développement en essayant de ne pas prendre en compte certains coefficients de passage,

(CDP). On définit ces coefficients de passage, pour chaque année de survenance i, simplement

par :

∀ 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝐽 CDP = 𝐶𝑖,𝑗−1

𝐶𝑖,𝑗

La difficulté provient du fait que bien souvent, ces points aberrants ne sont pas isolés. Un

changement de gestion sur une année a souvent des implications sur plusieurs ratios

consécutifs. De plus, choisir de ne pas prendre en compte un ratio, c’est se priver d’une partie de

l’information qui est, elle, correcte, du fait de l’agrégation des données.

Cet exercice est assez délicat et doit reposer dans la mesure du possible sur une recherche

des causes amenant à des facteurs de développement anormaux pour pouvoir justifier de

ajustements manuels impactants. Suivant la profondeur de l’historique, les volumes en jeu et la

connaissance de la branche, le choix effectué au niveau de la customisation peut varier

significativement d’un cas de figure à l’autre.

Cependant, ces différentes options permettent de ne pas rester cantonné à une méthode

rigide donnant parfois des résultats éloignés de la réalité quand les hypothèses de base ne sont

pas vérifiées.

Les ajustements suivants peuvent être simplement mis en place pour le calcul des

coefficients de développement :

Remplacer les points aberrants au niveau des coefficients de passage par une moyenne

des autres coefficients de passage pour une année de développement donnée.

Supprimer une partie des données du triangle, cela revient à « nettoyer » certaines

années pour lesquelles on sait qu’elles sont non significatives.

Considérer les historiques sur une période plus courte pour calculer les coefficients de

développement, sur les 3 dernières années par exemple, si on sait que le business a

considérablement évolué.

Choisir de pondérer ou non les coefficients en fonction du volume des charges de

sinistres constatés afin de donner plus de poids aux années où l’activité est plus

révélatrice de la situation réelle du marché.


Si l’on reprend l’exemple précédent sur la branche Dommage, les coefficients de passage ont

pour valeurs :

Fig. 11 : Coefficients de passage

Ce tableau précise par ailleurs :

La moyenne (AV) pour chaque année de développement, des coefficients de passage,

L’écart-type (STD) pour chaque année de développement des coefficients de passage,

Les coefficients de passage non compris entre [AV – STD ; AV + STD] par le biais des

coefficients affichés en rouge.

Ce tableau permet de détecter rapidement les montants qui peuvent présenter des

particularités et ainsi, offre la possibilité de ne pas prendre en compte des montants ou des

années qui manifestement ont des différences notables avec les autres.

Bien sûr, ce genre d’analyse doit s’accompagner d’une recherche des causes plus

approfondie auprès des différents services de gestion des sinistres.

Dans l’exemple précédent, on peut voir entre autres que certaines diagonales ne sont

constituées pratiquement que de chiffres en rouge. C’est le cas de la diagonale 2001/2000, ce

qui laisse à penser qu’un événement significatif a eu lieu à cette époque.

Il serait alors légitime de ne pas prendre en compte les montants des années.

À partir de ces montants, on peut définir plusieurs méthodes dérivées de la méthode

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Moyenne Écart-type

N+1 / N 1,37 2,10 4,00 1,06 1,11 0,97 1,19 1,26 1,28 1,17 1,57 1,45 1,40 1,58 0,85 1,16 1,47 0,73

N+2 / N+1 1,11 2,81 0,87 0,95 0,93 0,87 0,93 1,05 1,08 0,97 0,97 0,91 0,82 0,84 0,96 1,07 0,49

N+3 / N+2 4,19 0,95 0,88 0,94 0,95 0,99 0,90 0,89 0,98 0,98 0,96 0,96 1,02 0,98 1,18 0,87

N+4 / N+3 0,96 0,98 0,99 1,02 0,99 0,97 1,01 1,00 0,99 0,95 1,00 0,96 0,99 0,99 0,02

N+5 / N+4 0,95 0,98 1,00 0,99 0,99 1,00 1,00 0,98 0,99 0,98 0,99 0,94 0,98 0,02

N+6 / N+5 0,98 1,00 0,98 0,99 0,98 0,98 1,00 1,00 0,99 1,00 0,99 0,99 0,01

N+7 / N+6 1,03 0,99 0,99 0,99 1,00 1,03 0,97 1,00 0,98 0,98 0,99 0,02

N+8 / N+7 0,99 0,99 0,97 0,99 0,98 0,97 0,99 0,99 1,00 0,99 0,01

N+9 / N+8 1,00 0,98 1,00 0,97 0,96 0,99 1,01 0,99 0,99 0,02

N+10 / N+9 0,99 1,00 0,99 1,00 1,00 0,99 1,00 1,00 0,01

N+11 / N+10 1,00 1,00 0,99 0,96 1,01 1,00 0,99 0,02

N+12 / N+11 1,00 0,99 0,99 0,98 0,97 0,99 0,01

N+13 / N+12 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00

N+14 / N+13 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00

N+15 / N+14 1,00 0,99 0,99 0,01

N+16 / N+15 1,00 1,00 0,00


classique de Chain Ladder. Le tableau suivant résume quelques-unes de ces méthodes en

présentant les coefficients de développement de chaque méthode.

Fig. 12 : Coefficients de développement pour différentes méthodes dérivées de Chain Ladder

Les particularités des différentes méthodes sont les suivantes :

Sans lissage / Avec lissage : dans le cas des méthodes avec lissage, les coefficients de

passage en dehors de la plage [AV – STD ; AV + STD] sont remplacés par la moyenne

des autres coefficients de passage des autres années de survenance pour la même

année de développement.

Moyenne pondérée / Moyenne : pour pondérer ou non les coefficients de développement

par les montants des charges dossier/dossier. On préfèrera en général pondérer les

coefficients avec le poids de la charge sinistre. Cependant, dans le cas d’une charge

sinistre qui aurait fortement diminué avec le temps par exemple, et des coefficients des

années le plus anciennes significativement différents des années récentes, on pourrait ne

pas vouloir donner trop de poids à ceux-là.

AY/3Y/ 3 oo 5 : coefficients de développement pris sur la totalité de l’historique, 3 ans ou

sur 5 ans en retranchant le minimum et le maximum.

Le graphe suivant montre pour toutes les méthodes comment se développe la charge

totale jusqu’à l’ultime (NS/S : sans/avec lissage, WA/A : moyenne pondérée ou non) :

AY 3Y AY 3Y 3 oo 5 AY 3Y AY 3Y 3 oo 5

N+1 / N 1,33 1,13 1,47 1,20 1,34 1,23 1,13 1,30 1,20 1,34

N+2 / N+1 1,02 0,87 1,07 0,87 0,90 0,94 0,87 0,95 0,87 0,90

N+3 / N+2 1,03 0,98 1,18 0,99 0,97 0,95 0,98 0,95 0,99 0,97

N+4 / N+3 0,99 0,99 0,99 0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99

N+5 / N+4 0,98 0,97 0,98 0,97 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99

N+6 / N+5 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99

N+7 / N+6 0,99 0,98 0,99 0,98 0,98 0,99 0,98 0,99 0,98 0,99

N+8 / N+7 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99

N+9 / N+8 0,99 1,00 0,99 1,00 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99

N+10 / N+9 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 0,99 1,00 0,99 1,00 1,00

N+11 / N+10 0,99 0,98 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

N+12 / N+11 0,99 0,98 0,99 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99

N+13 / N+12 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

N+14 / N+13 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

N+15 / N+14 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00

N+16 / N+15 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

Sans lissage Avec lissage

Moyenne pondérée Moyenne Moyenne pondérée Moyenne


Fig. 13 : Développement de la charge à l’ultime en fonction des différentes méthodes

Les résultats des calculs des charges ultimes avec les différentes méthodes sont

présentés dans le tableau ci-dessous :

Fig. 14 : Charge ultime par année de survenance pour chaque méthode

Les montants des IBNR correspondants sont regroupés dans le tableau suivant :

Fig. 15 : IBNR par année de survenance pour chaque méthode

0

20

40

60

80

100

120

140

N N+1 N+2 N+3 N+4 N+5 N+6 N+7 N+8 N+9 N+10 N+11 N+12 N+13 N+14 N+15 N+16

% d

e l'u

ltim

e

Années de développement

Développement de la charge

NS WA AY

NS WA 3Y

NS A AY

NS A 3Y

NS A 3oo5

NS A 3oo5

S WA AY

S WA 3Y

S A AY

S A 3Y

S A 3oo5

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

AY 53 502 63 946 48 037 53 912 37 720 26 418 23 726 29 092 34 165 28 002 40 276 28 201 23 822 27 673 31 024 23 400 49 787

3Y 53 502 63 946 48 037 53 912 37 747 26 337 23 504 28 831 34 235 28 279 40 244 28 311 23 676 27 479 29 416 18 978 34 197

AY 53 502 63 946 48 066 53 945 37 741 26 414 23 765 29 131 34 281 28 096 40 385 28 311 23 939 27 805 35 852 28 377 66 623

3Y 53 502 63 946 48 066 53 945 37 768 26 333 23 633 28 989 34 454 28 449 40 508 28 511 23 808 27 612 29 660 19 110 36 526

3 oo 5 53 502 63 947 48 375 54 308 37 999 26 619 23 998 29 392 34 399 28 252 40 229 28 416 24 090 27 900 29 576 19 734 42 107 - - - - - - - - - - - - - - - - -

AY 53 502 63 946 48 037 53 929 37 736 26 432 23 864 29 230 34 519 28 371 40 520 28 436 24 184 28 186 29 071 20 115 39 441

3Y 53 502 63 946 48 037 53 929 37 736 26 431 23 885 29 298 34 554 28 431 40 461 28 389 24 107 28 238 30 228 19 502 35 141

AY 53 502 63 946 48 066 53 962 37 757 26 449 23 883 29 261 34 558 28 401 40 557 28 450 24 208 28 223 29 269 20 477 42 570

3Y 53 502 63 946 48 066 53 962 37 757 26 449 23 911 29 329 34 591 28 467 40 535 28 439 24 151 28 277 30 375 19 571 37 406

3 oo 5 53 502 63 947 48 375 54 309 38 000 26 619 24 040 29 488 34 826 28 628 40 785 28 610 24 293 28 403 30 110 20 090 42 867 - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sans

lissage

Avec

lissage

Moyenne

pondérée

Moyenne

Moyenne

pondérée

Moyenne

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

AY - 1 - 338 - 395 - 313 - 567 - 744 - 1 052 - 1 724 - 1 799 - 2 821 - 2 348 - 2 486 - 3 320 - 2 744 - 1 561 - 9 928

3Y - 1 - 338 - 395 - 287 - 648 - 966 - 1 312 - 1 654 - 1 522 - 2 852 - 2 239 - 2 632 - 3 514 - 4 352 - 5 983 - 5 662 -

AY - 1 - 309 - 363 - 292 - 571 - 705 - 1 012 - 1 607 - 1 705 - 2 712 - 2 238 - 2 369 - 3 189 - 2 084 3 416 26 764

3Y - 1 - 309 - 363 - 266 - 652 - 836 - 1 155 - 1 435 - 1 352 - 2 589 - 2 039 - 2 501 - 3 382 - 4 108 - 5 851 - 3 334 -

3 oo 5 - - - 0 - 34 - 366 - 472 - 751 - 1 490 - 1 549 - 2 868 - 2 133 - 2 218 - 3 094 - 4 192 - 5 227 - 2 248

AY - 1 - 338 - 379 - 298 - 553 - 606 - 914 - 1 370 - 1 430 - 2 577 - 2 114 - 2 124 - 2 808 - 4 697 - 4 846 - 419 -

3Y - 1 - 338 - 379 - 298 - 554 - 585 - 845 - 1 334 - 1 370 - 2 636 - 2 161 - 2 201 - 2 756 - 3 540 - 5 459 - 4 718 -

AY - 1 - 309 - 346 - 276 - 535 - 587 - 883 - 1 331 - 1 400 - 2 539 - 2 099 - 2 100 - 2 771 - 4 499 - 4 484 - 2 710

3Y - 1 - 309 - 346 - 276 - 535 - 559 - 814 - 1 298 - 1 334 - 2 562 - 2 111 - 2 157 - 2 716 - 3 393 - 5 390 - 2 454 -

3 oo 5 - - - 1 34 - 366 - 429 - 655 - 1 063 - 1 173 - 2 312 - 1 940 - 2 016 - 2 590 - 3 658 - 4 871 - 3 007

Sans

lissage

Avec

lissage

Moyenne

pondérée

Moyenne

Moyenne

pondérée

Moyenne


Fig. 16 : IBNR totaux pour chaque méthode

On remarque que les différentes méthodes peuvent présenter dans certains cas des

résultats significativement différents, en prenant en compte le fait que dans cet exemple, aucun

coefficient de passage et donc aucun montant de charge n’a été écarté des calculs. Il incombe à

l’actuaire de justifier son choix de manière pertinente en fonction de la situation car la

combinatoire des résultats peut être rapidement importante.

En comparant la dizaine de différentes méthodes que l’on obtient, il est possible de

calculer des données statistiques par année de survenance afin de déterminer les valeurs

maximales, minimales, moyenne et surtout un écart-type, ainsi qu’un coefficient de variation,

(« CV », l’écart-type divisé par la moyenne), comme l’atteste le tableau suivant, toujours sur le

même exemple sur les données Dommages, affaires directes :

Fig. 17 : Écarts-types et coefficients de variation des méthodes par année de survenance

Cela permet de jauger plus précisément la volatilité des méthodes. On remarque sur

l’exemple précédent, logiquement, que ces coefficients de variation augmentent avec les années

les plus récentes.

Total

AY 12 287 -

3Y 34 356 -

AY 15 192

3Y 30 170 -

3 oo 5 22 147 - -

AY 25 471 -

3Y 29 173 -

AY 21 450 -

3Y 26 255 -

3 oo 5 18 098 -

Sans

lissage

Avec

lissage

Moyenne

pondérée

Moyenne

Moyenne

pondérée

Moyenne

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

Écart-type 0 0 137 157 108 98 165 197 196 185 172 114 204 325 1 984 2 898 9 598

CV 0% 0% 0% 0% 0% 0% 1% 1% 1% 1% 0% 0% 1% 1% 7% 14% 22%


Tests de stabilité et d’erreurs :

En plus de l’évolution des coefficients de variation, des tests de stabilité et des tests d’erreur

sont également utiles pour avoir une idée de l’invariabilité de la méthode :

Tests de stabilité : les tests de stabilité consistent à recalculer l’ultime en enlevant une,

puis deux diagonales du triangle de données initial et de prendre une moyenne des écarts

relatifs calculés

En reprenant notre exemple précédent, on obtient les résultats suivants pour chaque méthode :

Fig. 18 : Tests de stabilité à l’ultime

On remarque que dans ce cas, en général, les différentes méthodes sont plutôt stables sur les

années antérieures.

Tests d’erreur : on procède de même que pour les tests de stabilité, on enlève une puis

deux diagonales et on recalcule l’ultime avec les nouveaux coefficients de développement

obtenus. Puis, on prend de nouveau une moyenne des écarts relatifs.

On obtient les résultats ci-dessous :

Fig. 19 : Tests d’erreur sur la dernière diagonale

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

AY 0% 1% 0% 1% 2% 0% 2% 1% 1% 2% 0% 4% 0% 12% 24%

3Y 0% 1% 0% 1% 2% 1% 2% 1% 1% 1% 1% 3% 3% 5% 30%

AY 0% 1% 0% 1% 2% 0% 2% 1% 1% 2% 1% 4% 8% 22% 30%

3Y 0% 1% 0% 1% 2% 0% 2% 1% 1% 1% 1% 3% 4% 4% 29%

3 oo 5 0% 1% 0% 0% 2% 0% 2% 1% 1% 1% 1% 4% 3% 6% 25%

AY 0% 1% 0% 0% 2% 0% 2% 1% 1% 2% 1% 4% 5% 6% 17%

3Y 0% 1% 0% 0% 2% 0% 2% 1% 0% 1% 1% 4% 4% 3% 28%

AY 0% 1% 0% 0% 2% 0% 2% 1% 1% 1% 1% 4% 4% 7% 19%

3Y 0% 1% 0% 0% 2% 0% 2% 1% 1% 1% 1% 4% 4% 3% 28%

3 oo 5 0% 1% 0% 0% 1% 0% 2% 0% 1% 1% 0% 4% 3% 6% 24%

Avec

lissage

Moyenne

pondérée

Moyenne

Sans

lissage

Moyenne

pondérée

Moyenne

+15/+14 +14/+13 +13/+12 +12/+11 +11/+10 +10/+9 +9/+8 +8/+7 +7/+6 +6/+5 +5/+4 +4/+3 +3/+2 +2/+1 +1/N

AY 1% 0% 0% 1% 2% 1% 2% 1% 2% 1% 2% 2% 3% 13% 26%

3Y 1% 0% 0% 1% 2% 0% 3% 1% 1% 0% 2% 2% 3% 9% 23%

AY 1% 0% 0% 1% 2% 1% 2% 1% 2% 1% 2% 2% 17% 17% 33%

3Y 1% 0% 0% 1% 2% 0% 2% 1% 1% 0% 2% 2% 3% 9% 26%

3 oo 5 1% 0% 0% 1% 1% 0% 2% 1% 1% 1% 3% 2% 3% 8% 32%

AY 1% 0% 0% 1% 1% 1% 2% 1% 1% 1% 3% 2% 6% 7% 19%

3Y 1% 0% 0% 1% 1% 1% 2% 1% 1% 1% 2% 2% 3% 9% 23%

AY 1% 0% 0% 1% 1% 1% 2% 1% 1% 1% 3% 2% 6% 7% 24%

3Y 1% 0% 0% 1% 1% 1% 2% 1% 1% 1% 2% 2% 3% 9% 26%

3 oo 5 1% 0% 0% 1% 1% 1% 2% 1% 1% 1% 2% 2% 3% 8% 32%

Avec

lissage

Moyenne

pondérée

Moyenne

Sans

lissage

Moyenne

pondérée

Moyenne


Facteur de queue :

Principe

La méthode Chain Ladder ne permet pas d’estimer un facteur de queue de distribution.

Lorsque les années les plus anciennes sont encore en développement, il est nécessaire

d’approximer une queue de développement.

Avantages et inconvénients

L’avantage est évidemment de prendre en compte un développement futur, sur base de

données passées.

Un inconvénient est l’absence de courbes mathématiques simples permettant de simuler le

phénomène de « cloche ».

Théorie

Utilisation de courbes mathématiques : il s’agit d’ajuster une courbe pour les coefficients de

passage choisis et d’utiliser la courbe pour lisser le développement connu et projeter le

développement futur. Cet ajustement se fait par une courbe mathématique. Les familles de

courbes utilisées les plus classiques sont les deux suivantes sachant que la liste des possibilités

est longue.

Famille exponentielle :

𝑟𝑡 = 1 + 𝑎 𝑒𝑏𝑡

Fig. 20 : Loi exponentielle


Famille puissance :

𝑟𝑡 = 𝑎𝑏𝑡

Fig. 21 : Loi puissance

Où 𝑟𝑡 représente le ratio des développements cumulés du temps t au temps t+1 et les

paramètres a et b sont constants.

Tests et analyses

Analyse du coefficient de détermination :

Le coefficient de détermination mesure l’adéquation de la loi de distribution choisie à la

courbe des coefficients de passage sélectionnée. Plus il est proche de 100%, meilleure est

l’adéquation de la loi. On utilise également souvent en statistique le coefficient de détermination

ajusté qui tient compte du nombre de variables utilisées.

Formule du R² :

𝑅² =∑(𝑥 − ��) (𝑦 − ��)²

∑(𝑥 − ��) ²(𝑦 − ��)²

Formule du R² ajusté :

𝑅𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡é2 = 𝑅2 −

𝑘 (1 − 𝑅2)

𝑛 − 𝑘 − 1

où k est le nombre de variables explicatives.


Exemple :

Le tableau suivant donne les facteurs de queue pour les différentes méthodes présentées

précédemment sur la branche Automobile :

Facteur de queue

Exponentielle Puissance

Sans lissage

Moyenne pondérée AY 1,894% 1,987%

3Y 1,587% 1,698%

Moyenne

AY 1,876% 1,970%

3Y 1,570% 1,681%

3oo5 0,000% 0,000%

Avec lissage


3Y 2,521% 2,660%

Moyenne

AY 1,889% 1,982%

3Y 2,539% 2,678%

3oo5 2,601% 2,736%

Fig. 22 : Facteurs de queue pour chaque méthode

Le tableau ci-dessous donne les coefficients de développement R² correspondant :

Coefficient de détermination R²

Exponentielle Puissance

Sans lissage


3Y 52,960% 52,703%

Moyenne

AY 0,005% 0,021%

3Y 51,169% 50,857%

3oo5 83,179% 6,521%

Avec lissage


3Y 7,887% 7,732%

Moyenne

AY 0,085% 0,120%

3Y 6,522% 6,378%

3oo5 82,689% 6,395%

Fig. 23 : Coefficients R² pour chaque méthode


On remarque que pour cet exemple, les coefficients de développement obtenus

présentent une volatilité importante d’une part, et des valeurs dans l’ensemble assez basses

d’autre part. Cela nous amène à penser que dans ce cas, les lois utilisées pour évaluer les

facteurs de queue ne sont pas optimales.


1.2) Méthode de Bornhuetter - Ferguson

a) Principe

Imaginée par Bornhuetter et Ferguson en 1972 et publiée dans The Actuary and the IBNR,

afin de s’exonérer du lien entre la charge ultime et le dernier règlement cumulé 𝐶𝑖,𝑛+1−𝑖, cette

méthode propose une alternative à l'absence de robustesse de la méthode de Chain Ladder

notamment vis-à-vis des calculs pour les années de survenance très récentes.

Elle se base sur une donnée exogène et permet donc d'introduire de l'information extérieure

qui peut être, par exemple, un avis d'expert d’une branche de business spécifique. Elle offre

également la possibilité de lier directement le calcul des provisions à la stratégie de souscription

de l’entreprise en se basant sur les loss ratios définis dans son business plan.

b) Hypothèses et règles de calcul

Hypothèses :

Comme pour la méthode Chain Ladder, deux hypothèses doivent être vérifiées.

(H1) : Les sinistres cumulés 𝐶𝑖,𝑗, sont indépendants suivant les années d’incidence i.

(H2) : Il existe des paramètres 𝜇0, … , 𝜇𝑖 > 0, et des cadences 𝛽0, … , 𝛽𝑖 > 0 avec 𝛽𝐽 = 1 tels que :

∀ 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝐼 et 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝐽-1 et 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝐽-j, on a :

𝐸[ 𝐶𝑖,0] = 𝛽0𝜇𝑖

𝐸[ 𝐶𝑖,𝑗+𝑘| 𝐶𝑖,0, … , 𝐶𝑖,𝑗] = 𝐶𝑖,𝑗 + (𝛽𝑗+𝑘 − 𝛽𝑗)𝜇𝑖

Règles de calcul :

Soit 𝑃𝑖 la prime acquise pour l’année i, 𝐿𝑅�� un estimateur du loss ratio ultime pour l’année i.

𝐿𝑅𝑖 = 𝑈𝑖

𝑃𝑖

où 𝑈𝑖 est la charge ultime de l’année i.


Soit 𝑧�� un estimateur de la proportion de sinistres payés à la date k.

��𝑛+1−𝑖 représente alors la proportion de sinistres payés à la date n + 1 – i et 1 − ��𝑛+1−𝑖 la

proportion qu’il reste à payer.

On a alors pour l’année de survenance i, selon la méthode de Bornhuetter – Ferguson, la

réserve suivante :

𝑅�� = 𝑈�� × (1 − ��𝑛+1−𝑖)

𝑅�� = 𝑃𝑖 × 𝐿𝑅𝑖 × (1 − ��𝑛+1−𝑖)

Le loss ratio est une estimation à partir d’informations liées au secteur et à la

souscription. Elles mènent alors à des estimations peu différentes d’une année d’occurrence à

l’autre.

Les coefficients 𝑧�� proviennent des coefficients de développement de la méthode Chain

Ladder, 𝑓1, … , 𝑓𝑛 :

𝑧�� = 1

𝑓�� ; 𝑧𝑛−1 =

1

𝑓𝑛 × 𝑓𝑛−1 ; … ; 𝑧1 =

1

𝑓�� ×… ×𝑓1

c) Exemple

Reprenons les mêmes données que pour notre premier exemple pour la méthode Chain

Ladder : branche Dommage, pour les affaires directes sur la filiale France, données brutes de

réassurance, en euro, à fin 2014, sur 17 ans d’historique.

Fig. 24 : Triangle de charge pour la branche Dommages, affaires directes, France

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

n 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 876 41 422 21 554 39 859

n+1 12 901 26 515 71 129 69 089 49 074 33 617 29 672 33 195 35 991 33 930 47 629 38 770 31 629 37 721 35 322 24 961

n+2 14 318 74 525 62 057 65 495 45 423 29 235 27 626 34 912 38 696 32 924 46 210 35 347 25 894 31 695 33 768

n+3 60 061 70 783 54 855 61 265 43 080 28 815 24 958 31 061 37 907 32 378 44 229 33 851 26 470 30 994

n+4 57 444 69 462 54 219 62 514 42 663 27 872 25 137 31 170 37 677 30 892 44 144 32 546 26 308

n+5 54 510 67 899 53 996 61 969 42 093 27 947 25 147 30 638 37 210 30 425 43 502 30 550

n+6 53 256 67 696 52 663 61 128 41 087 27 524 25 141 30 744 36 800 30 395 43 097

n+7 54 961 67 099 51 928 60 249 40 901 28 332 24 279 30 676 35 901 29 801

n+8 54 315 66 714 50 388 59 564 40 238 27 613 24 112 30 382 35 889

n+9 54 407 65 561 50 163 57 724 38 769 27 273 24 471 30 144

n+10 53 870 65 872 49 562 57 467 38 655 27 005 24 470

n+11 53 899 65 629 48 918 55 119 39 071 26 985

n+12 53 722 64 797 48 443 54 258 38 034

n+13 53 554 64 770 48 375 54 308

n+14 53 503 64 772 48 375

n+15 53 503 63 947

n+16 53 502

An

née

s d

e d

ével

op

pem

ent



Avec les paramètres de primes et de loss ratios suivants (les loss ratios utilisés sont ceux

de la charge de sinistres pour les anciennes années et des moyennes mobiles pour les années

récentes – ils pourraient être remplacés sur certaines années par des données externes

estimées par un avis d’expert) :

Fig. 25 : Primes, loss ratios et ultimes utilisés pour la méthode de Bornhuetter - Ferguson

Les coefficients de développement ainsi que les estimateurs de la proportion de sinistres

payés sont :

Fig. 26 : Coefficients 𝑧𝑘 et 𝑓𝑘

On complète le triangle de charge :

Fig. 27 : Triangle de charge branche Dommage, complété avec la méthode Bornhuetter-Ferguson

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

Primes 133 486 148 823 116 147 113 580 141 972 130 400 142 346 110 365 152 881 118 212 102 015 105 325 106 915 103 600 103 780 104 162 108 963

Loss Ratios 40% 43% 42% 48% 27% 21% 17% 27% 23% 25% 42% 29% 25% 30% 33% 24% 37%

Ultimes 53 502 63 947 48 375 54 308 38 034 26 985 24 470 30 144 35 889 29 801 43 097 30 550 26 308 30 994 33 768 24 961 39 859

fk zk

1,332 80,06%

1,020 106,67%

1,029 108,85%

0,986 112,00%

0,981 110,44%

0,988 108,33%

0,995 107,00%

0,987 106,43%

0,986 105,05%

0,995 103,61%

0,990 103,14%

0,987 102,15%

0,999 100,83%

1,000 100,73%

0,993 100,70%

1,000 100,00%

1,000 100,00%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 876 41 422 21 554 39 859

1 12 901 26 515 71 129 69 089 49 074 33 617 29 672 33 195 35 991 33 930 47 629 38 770 31 629 37 721 35 322 24 961 42 519

2 14 318 74 525 62 057 65 495 45 423 29 235 27 626 34 912 38 696 32 924 46 210 35 347 25 894 31 695 33 768 27 169 43 385

3 60 061 70 783 54 855 61 265 43 080 28 815 24 958 31 061 37 907 32 378 44 229 33 851 26 470 30 994 37 820 27 956 44 642

4 57 444 69 462 54 219 62 514 42 663 27 872 25 137 31 170 37 677 30 892 44 144 32 546 26 308 34 229 37 292 27 566 44 019

5 54 510 67 899 53 996 61 969 42 093 27 947 25 147 30 638 37 210 30 425 43 502 30 550 28 499 33 575 36 580 27 040 43 178

6 53 256 67 696 52 663 61 128 41 087 27 524 25 141 30 744 36 800 30 395 43 097 32 689 28 151 33 165 36 133 26 709 42 651

7 54 961 67 099 51 928 60 249 40 901 28 332 24 279 30 676 35 901 29 801 45 866 32 512 27 999 32 985 35 938 26 565 42 420

8 54 315 66 714 50 388 59 564 40 238 27 613 24 112 30 382 35 889 31 305 45 271 32 091 27 636 32 558 35 472 26 221 41 870

9 54 407 65 561 50 163 57 724 38 769 27 273 24 471 30 144 37 186 30 878 44 654 31 654 27 259 32 114 34 988 25 863 41 300

10 53 870 65 872 49 562 57 467 38 655 27 005 24 470 31 089 37 015 30 736 44 449 31 508 27 133 31 966 34 827 25 744 41 110

11 53 899 65 629 48 918 55 119 39 071 26 985 24 995 30 790 36 659 30 440 44 022 31 205 26 873 31 659 34 493 25 497 40 715

12 53 722 64 797 48 443 54 258 38 034 27 209 24 673 30 394 36 187 30 048 43 455 30 803 26 527 31 251 34 048 25 168 40 190

13 53 554 64 770 48 375 54 308 38 313 27 183 24 649 30 365 36 152 30 020 43 413 30 774 26 501 31 221 34 016 25 144 40 152

14 53 503 64 772 48 375 54 690 38 301 27 175 24 642 30 356 36 141 30 011 43 400 30 764 26 493 31 212 34 005 25 137 40 140

15 53 503 63 947 48 375 54 308 38 034 26 985 24 470 30 144 35 889 29 801 43 097 30 550 26 308 30 994 33 768 24 961 39 860

16 53 502 63 947 48 375 54 308 38 034 26 985 24 470 30 144 35 889 29 801 43 097 30 550 26 308 30 994 33 768 24 961 39 859


An

née

s d

e d

ével

op

pem

ent


Le calcul des réserves totales et par année donne :

Fig. 28 : Réserves obtenues pour la branche Dommage, affaires directes, méthode de Bornhuetter - Ferguson

d) Avantages et inconvénients

La méthode de Bornhuetter – Ferguson est spécifiquement souhaitable pour les triangles

présentant des paiements instables.

Un des avantages de cette méthode en introduisant des données extérieures est de ne pas

se cantonner simplement aux données brutes d’évolution de la charge cumulée des montants de

sinistres.

Cependant, un inconvénient majeur est la dépendance très forte vis-à-vis de la justesse des

données extérieures.

De plus, le besoin d’avis d’expert entraîne une certaine complexité pour automatiser la

méthode. Enfin, comme pour la méthode Chain Ladder, un historique long est nécessaire.

Reserves - 1 - 340 - 398 - 316 - 579 - 768 - 1 090 - 1 811 - 1 915 - 3 019 - 2 544 - 2 746 - 3 719 - 2 987 - 1 666 - 7 948

Total 15 948 -


2) Méthodes « pseudo ligne à ligne » et ligne à ligne

2.1) Méthode de Schnieper

a) Origine

Mise au point en 1991, cette méthode déterministe présente des similarités avec la

méthode Chain Ladder.

b) Principe

Elle est basée sur la séparation des IBNeR et des IBNyR (comme on l’a défini dans la

partie I).

En partant du même triangle C des montants cumulés des charges des sinistres utilisé

pour la méthode Chain Ladder, il s'agit de diviser ce triangle, en 2 autres triangles, D, et N,

représentant les IBNeR et les IBNyR.

L’exemple simple suivant montre la décomposition des 2 triangles.

Fig. 29 : Décomposition des triangles en euro pour la méthode de Schnieper

1 2 3 4 5 6 7

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1 30 335 301 26 736 038 22 586 126 23 875 565 41 422 385 21 554 126 39 859 233

2 47 628 823 38 769 987 31 628 942 37 721 419 35 322 351 24 961 059

3 46 210 389 35 347 199 25 894 460 31 695 496 33 767 940

4 44 228 890 33 850 637 26 470 319 30 993 783

5 44 143 899 32 545 983 26 308 108

6 43 502 366 30 549 547

7 43 096 708

1 2 3 4 5 6 7

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1 30 335 301 26 736 038 22 586 126 23 869 772 41 413 579 21 751 475 39 859 233

2 12 634 811 4 342 697 6 214 026 5 493 122 2 218 905 6 796 764

3 232 530 715 831 525 600 1 392 983 353 161

4 85 310 549 921 229 296 158 379

5 52 137 999 14 963

6 2 125 1 241

7 130

1 2 3 4 5 6

2008 2009 2010 2011 2012 2013

2 4 658 712 - 7 691 252 - 2 828 789 - 8 352 732 - 8 318 938 3 389 830

3 1 650 964 4 138 619 6 260 082 7 418 906 1 907 573

4 2 066 809 2 046 483 346 562 - 860 092

5 85 043 1 442 653 177 174

6 643 657 1 997 678

7 405 788 Triangle C

Triangle D

Triangle N


Pour chaque cellule du triangle, on a la relation ci-dessous :

𝐶𝑖,𝑗 = 𝐶𝑖,𝑗−1 − 𝐷𝑖,𝑗 +𝑁𝑖,𝑗

Cette décomposition se comprend aisément de la manière suivante : pour chaque année

de survenance, chaque cellule du triangle de charge cumulée de sinistres, 𝐶𝑖,𝑗 , peut se voir

comme la somme de la charge de l’année de développement précédente, 𝐶𝑖,𝑗−1, plus l’évolution

de cette charge, −𝐷𝑖,𝑗 , (les IBNeR), plus la charge des nouveaux sinistres inconnus au moment

de l’année de développement précédentes, 𝑁𝑖,𝑗,(les IBNyR).

c) Intérêt de la méthode

Le calcul du provisionnement des sinistres est étroitement lié à la qualité des données

remontées par les équipes de gestion des sinistres.

Des délais différents et conséquents peuvent être observés selon le périmètre des

données considéré (par exemple entre les affaires directes ou acceptées chez AXA CS) entre le

moment de la survenance d'un sinistre, sa déclaration, son enregistrement et son paiement

effectif. C'est en cela que la méthode de Schnieper présente un intérêt certain pour AXA CS afin

de distinguer les traitements des IBNeR et des IBNyR et en permettant d’identifier les méthodes

de provisionnement D/D.

L'étude de cette méthode a été liée au besoin de mieux comprendre et analyser les

triangles d'IBNeR et d'IBNyR qui peuvent grandement se différencier chez AXA CS d'une

branche ou d'un périmètre à l'autre.

De plus, elle reste relativement facile à mettre en place et un simple fichier Excel permet

de rapidement la tester.

d) Analyse de la méthode – Règles de calcul

Pour obtenir les triangles d'IBNeR et d'IBNyR, une base de données détaillées pour tous

les sinistres et leurs évolutions est nécessaire : il faut pouvoir disposer de l'évolution de chaque

sinistre de manière individuelle, contrairement à la méthode de Chain Ladder où un triangle

agrégé suffit.

En plus des données par sinistres, il est nécessaire d’avoir pour chaque transaction

(montant des sinistres payés, montant des réserves dossier/dossier), la date de survenance du

sinistre mais aussi sa date de création et les différentes évolutions des montants au cours de la

vie du sinistre de pouvoir créer les triangles D et N.


L’exemple suivant donne pour un sinistre, les informations nécessaires :

Fig. 30 : Informations nécessaires à la création des triangles D et N

Les 2 premières lignes, en jaune, correspondent à une partie du montant de la cellule

année de survenance 2006, année de développement 2, pour le triangle N. Les lignes de vision 3

et 4 sont quant à elles incluses dans le triangle D qui est créé par différence avec le triangle C

classique, de charge totale, utilisé dans les autres méthodes.

Fig. 31 : Création du triangle N

Comme pour chaque méthode de provisionnement, il est important de rappeler l'existence

d'hypothèses sur lesquelles on se base pour utiliser les résultats.

(H1) : 𝐸[𝑁𝑖,𝑗|𝑋𝑖,𝑗−1] = 𝐸𝑖𝜆𝑗

𝐸[𝐷𝑖,𝑗|𝑋𝑖,𝑗−1] = 𝑋𝑖,𝑗−1𝛿𝑗

Cette première hypothèse traduit 2 choses importantes.

Tout d’abord, que l’espérance des IBNyR, conditionnellement aux observations passées,

est proportionnelle à l’exposition et que le facteur de proportionnalité est indépendant de l’année

de survenance mais spécifique à chaque année de développement.

Ensuite, toujours conditionnellement aux observations passées, le montant de sinistres

dégonflé en année de développement j est proportionnel au montant cumulé en année j-1. Ce

deuxième facteur de proportionnalité ne dépendant que de l’année de développement.

Référence sinistre Vision Date de création Date de survenance Charge

1824532220 2 2008 2006 12 032 -

1824532220 2 2008 2006 1 068 -

1824532220 3 2008 2006 -

1824532220 4 2008 2006 12 032

1824532220 4 2008 2006 508 -

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0 - - 154 937 3 292 652 7 514 739 2 820 273 1 903 036 6 547 163 9 237 180 14 365 257 14 511 376 15 069 305 16 585 426 20 815 969 21 101 454 14 353 952 23 670 595

1 28 190 2 570 680 8 562 127 13 098 808 2 582 383 531 008 1 162 181 - 4 252 145 5 587 160 13 912 011 5 371 017 7 120 287 5 915 876 10 006 273 13 260 633

2 3 912 076 8 626 358 3 476 662 1 413 864 621 783 673 626 886 178 1 448 124 900 817 1 981 774 978 242 1 880 109 2 378 268 2 826 522 1 092 885

3 1 282 118 2 195 282 1 477 329 759 630 165 771 11 771 91 820 201 548 56 397 12 675 124 829 156 864 120 476 1 953 438

4 880 683 1 554 571 883 491 352 715 190 094 13 400 1 372 777 10 452 120 423 83 581 23 252 271 586 56 596

5 340 824 278 525 230 074 40 750 98 836 30 751 3 913 - 11 395 30 139 458 315 146 618

6 38 929 131 195 198 268 734 003 9 925 - 4 - - - 78 419

7 25 958 22 934 19 990 124 111 - 2 906 - - 2 698 254

8 23 146 176 32 720 - 12 327 - - - 9 000

9 9 853 26 218 - 573 947 - - 9 345 -

10 3 933 1 265 49 919 - - - -

11 1 410 4 619 - - - -

12 - - - - -

13 - - - -

14 - - -

15 - -

16 -


An

née

s d

e d

ével

op

pem

ent


(H2) : 𝑉𝑎𝑟[𝑁𝑖,𝑗|𝑋𝑖,𝑗−1] = 𝐸𝑖𝜎𝑖²

𝑉𝑎𝑟[𝐷𝑖,𝑗|𝑋𝑖,𝑗−1] = 𝑋𝑖,𝑗−1𝜏𝑗²

Il est à noter que l’hypothèse 2 porte sur les variances uniquement et non sur la

distribution entière.

(H3) : Indépendance des charges {𝑁𝑖,𝑗 , 𝐷𝑖,𝑗 |𝑖 = 1,11, 𝑛; 𝑗 = 1,… , 𝑛} entre les années

d’occurrence.

𝐸𝑖 désignant le vecteur d'exposition, on introduit de plus, pour chaque année de

survenance i, les paramètres suivants :

𝜆�� = ∑ 𝑁𝑖,𝑗𝑛+1−𝑗𝑖=1

∑ 𝐸𝑖𝑛+1−𝑗𝑖=1

, 𝑝𝑜𝑢𝑟 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

𝛿�� = ∑ 𝐷𝑖,𝑗𝑛+1−𝑗𝑖=1

∑ 𝑋𝑖,𝑗−1𝑛+1−𝑗𝑖=1

, 𝑝𝑜𝑢𝑟 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

Schnieper a montré, compte tenu de la définition des paramètres ci-dessus, que les

charges ultimes pouvaient s’écrire de la manière suivante, pour j > n – i + 1 :

𝑋𝑖,�� = 𝑋𝑖,𝑛−𝑖+1(1 − 𝛿𝑛−𝑖+2)… (1 − 𝛿𝑛)

+ 𝐸𝑖[𝜆𝑛−𝑖+2(1 − 𝛿𝑛−𝑖+3)… (1 − 𝛿𝑛) + 𝜆𝑛−𝑖+3(1 − 𝛿𝑛−𝑖+4)… (1 − 𝛿𝑛) + ⋯

+ 𝜆𝑛]

e) Exemple

Reprenons comme exemple, le même périmètre que celui utilisé pour la méthode Chain

Ladder : branche Dommage, pour les affaires directes sur la filiale France, données brutes de

réassurance, en euro, à fin 2014, sur 17 ans d’historique.


Les 3 triangles C, N et D sont les suivants :

Fig. 32 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge C, k€

Fig. 33 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge N, k€

On constate en années de développement 1 et 2, des nouveaux sinistres avec une

volatilité importante puis très peu de nouveaux sinistres pour les années ultérieures sauf pour

quelques exceptions comme l’année 2006.

Fig. 34 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge D, k€

On constate plutôt un dégonflement de la charge, surtout à partir de l’année de

développement 3 tandis que l’année de développement 2 est contrastée.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 876 41 422 21 554 39 859

2 12 901 26 515 71 129 69 089 49 074 33 617 29 672 33 195 35 991 33 930 47 629 38 770 31 629 37 721 35 322 24 961

3 14 318 74 525 62 057 65 495 45 423 29 235 27 626 34 912 38 696 32 924 46 210 35 347 25 894 31 695 33 768

4 60 061 70 783 54 855 61 265 43 080 28 815 24 958 31 061 37 907 32 378 44 229 33 851 26 470 30 994

5 57 444 69 462 54 219 62 514 42 663 27 872 25 137 31 170 37 677 30 892 44 144 32 546 26 308

6 54 510 67 899 53 996 61 969 42 093 27 947 25 147 30 638 37 210 30 425 43 502 30 550

7 53 256 67 696 52 663 61 128 41 087 27 524 25 141 30 744 36 800 30 395 43 097

8 54 961 67 099 51 928 60 249 40 901 28 332 24 279 30 676 35 901 29 801

9 54 315 66 714 50 388 59 564 40 238 27 613 24 112 30 382 35 889

10 54 407 65 561 50 163 57 724 38 769 27 273 24 471 30 144

11 53 870 65 872 49 562 57 467 38 655 27 005 24 470

12 53 899 65 629 48 918 55 119 39 071 26 985

13 53 722 64 797 48 443 54 258 38 034

14 53 554 64 770 48 375 54 308

15 53 503 64 772 48 375

16 53 503 63 947

17 53 502

Cij


An

née

s d

e d

ével

op

pem

ent

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 870 41 414 21 751 39 859

2 774 3 761 10 669 9 231 8 066 1 775 5 048 3 755 1 808 5 364 12 635 4 343 6 214 5 493 2 219 6 797

3 90 869 1 219 2 342 33 461 2 34 4 469 85 233 716 526 1 393 353

4 37 265 117 313 572 1 9 6 33 376 85 550 229 158

5 118 112 37 466 4 - - - 0 101 0 138 15

6 8 110 74 321 68 - - - 3 1 2 1

7 5 35 8 17 0 - - - 1 - 0

8 444 3 9 34 - 575 - - - -

9 1 2 - 1 - - - - -

10 - 60 - - - - - -

11 - 11 - - - - -

12 - 0 - - - -

13 - - - - -

14 - - - -

15 - - -

16 - -

17 -

Nij


An

née

s d

e d

ével

op

pem

ent

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

2 2 733 - 10 145 - 42 661 - 5 106 3 262 2 884 262 3 126 - 6 000 - 449 4 659 - 7 691 - 2 829 - 8 353 - 8 319 3 390

3 1 327 - 47 140 - 10 291 5 936 3 683 4 843 2 047 1 683 - 1 764 1 091 1 651 4 139 6 260 7 419 1 908

4 45 706 - 4 007 7 319 4 543 2 916 422 2 677 3 858 821 921 2 067 2 046 347 - 860

5 2 735 1 433 673 783 - 421 942 179 - 110 - 231 1 587 85 1 443 177

6 2 942 1 674 297 866 639 75 - 10 - 532 469 468 644 1 998

7 1 259 238 1 340 858 1 006 423 6 105 - 411 30 406

8 1 261 - 600 745 912 185 233 - 862 67 899 594

9 646 387 1 540 686 663 720 167 294 13

10 92 - 1 213 225 1 840 1 470 340 360 - 238

11 537 300 - 601 258 114 268 2

12 30 - 244 645 2 347 416 - 20

13 177 832 475 861 1 037

14 168 27 68 50 -

15 52 2 - 0

16 0 - 825

17 0

An

née

s d

e d

ével

op

pem

ent

Dij



Le vecteur d’exposition (primes) se présente sous la forme :

Fig. 35 : Vecteur d’exposition, k€

On obtient alors les résultats suivants pour les paramètres λ et μ :

Fig. 36 : Paramètres 𝜆�� et 𝛿��

Les ultimes et les réserves en découlent :

Fig. 37 : Ultimes et réserves calculés par la méthode de Schnieper, k€

Exposition

1998 133 486

1999 148 223

2000 116 147

2001 113 580

2002 141 972

2003 130 400

2004 142 346

2005 110 365

2006 152 881

2007 118 212

2008 102 015

2009 105 325

2010 106 915

2011 103 600

2012 103 780

2013 104 162

2014 108 963

λi:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,2442 0,0455 0,0070 0,0016 0,0006 0,0004 0,0000 0,0008 0,0000 0,0001 0,0000 0,0000 - - - - -

δi:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,1407 - 0,0015 0,0241 - 0,0157 0,0202 0,0124 0,0079 0,0130 0,0138 0,0046 0,0096 0,0129 0,0010 0,0003 0,0070 0,0000

CiJ: Ultimes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

53 502 63 946 48 037 53 912 37 720 26 418 23 726 29 092 34 168 28 004 40 251 28 213 23 858 27 697 31 028 23 654 46 811

Réserves

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Somme

- 1 - 338 - 395 - 313 - 567 - 744 - 1 051 - 1 721 - 1 797 - 2 846 - 2 337 - 2 450 - 3 297 - 2 739 - 1 307 - 6 951 14 952 -


On peut également en déduire les 3 triangles complétés :

Fig. 38 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge C complété, k€

Fig. 39 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge N complété, k€

Fig. 40 : Méthode de Schnieper – Triangle de charge D complété, k€

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 171998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 876 41 422 21 554 39 859

12 901 26 515 71 129 69 089 49 074 33 617 29 672 33 195 35 991 33 930 47 629 38 770 31 629 37 721 35 322 24 961 50 423

14 318 74 525 62 057 65 495 45 423 29 235 27 626 34 912 38 696 32 924 46 210 35 347 25 894 31 695 33 768 25 654 51 111

60 061 70 783 54 855 61 265 43 080 28 815 24 958 31 061 37 907 32 378 44 229 33 851 26 470 30 994 34 747 26 438 52 516

57 444 69 462 54 219 62 514 42 663 27 872 25 137 31 170 37 677 30 892 44 144 32 546 26 308 30 569 34 263 26 085 51 756

54 510 67 899 53 996 61 969 42 093 27 947 25 147 30 638 37 210 30 425 43 502 30 550 25 817 29 990 33 610 25 598 50 750

53 256 67 696 52 663 61 128 41 087 27 524 25 141 30 744 36 800 30 395 43 097 30 177 25 503 29 625 33 199 25 286 50 129

54 961 67 099 51 928 60 249 40 901 28 332 24 279 30 676 35 901 29 801 42 839 30 024 25 389 29 475 33 022 25 171 49 821

54 315 66 714 50 388 59 564 40 238 27 613 24 112 30 382 35 889 29 415 42 284 29 635 25 059 29 093 32 593 24 845 49 175

54 407 65 561 50 163 57 724 38 769 27 273 24 471 30 144 35 402 29 016 41 706 29 232 24 720 28 698 32 150 24 508 48 503

53 870 65 872 49 562 57 467 38 655 27 005 24 470 30 005 35 240 28 882 41 514 29 098 24 606 28 566 32 002 24 396 48 279

53 899 65 629 48 918 55 119 39 071 26 985 24 235 29 717 34 901 28 605 41 115 28 818 24 370 28 291 31 694 24 161 47 815

53 722 64 797 48 443 54 258 38 034 26 637 23 923 29 334 34 452 28 237 40 585 28 447 24 056 27 927 31 286 23 850 47 199

53 554 64 770 48 375 54 308 37 997 26 612 23 900 29 306 34 419 28 209 40 546 28 420 24 033 27 900 31 256 23 827 47 154

53 503 64 772 48 375 54 292 37 986 26 604 23 892 29 297 34 408 28 201 40 534 28 411 24 026 27 892 31 247 23 820 47 140

53 503 63 947 48 037 53 913 37 721 26 418 23 726 29 093 34 168 28 004 40 252 28 213 23 858 27 697 31 029 23 654 46 811

53 502 63 946 48 037 53 912 37 720 26 418 23 726 29 092 34 168 28 004 40 251 28 213 23 858 27 697 31 028 23 654 46 811

Cij


An

née

s d

e d

ével

op

pem

ent

9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 870 41 414 21 751 39 859

774 3 761 10 669 9 231 8 066 1 775 5 048 3 755 1 808 5 364 12 635 4 343 6 214 5 493 2 219 6 797 4 957

90 869 1 219 2 342 33 461 2 34 4 469 85 233 716 526 1 393 353 730 764

37 265 117 313 572 1 9 6 33 376 85 550 229 158 165 166 174

118 112 37 466 4 - - - 0 101 0 138 15 63 63 64 67

8 110 74 321 68 - - - 3 1 2 1 42 40 40 40 42

5 35 8 17 0 - - - 1 - 0 5 5 5 5 5 5

444 3 9 34 - 575 - - - - 83 86 87 84 84 85 89

1 2 - 1 - - - - - 0 0 0 0 0 0 0 0

- 60 - - - - - - 9 7 6 6 6 6 6 6 6

- 11 - - - - - 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

- 0 - - - - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - -

Nij


An

née

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pem

ent

- - - - - - - - - - - - - - - - -

2 733 - 10 145 - 42 661 - 5 106 3 262 2 884 262 3 126 - 6 000 - 449 4 659 - 7 691 - 2 829 - 8 353 - 8 319 3 390 5 607 -

1 327 - 47 140 - 10 291 5 936 3 683 4 843 2 047 1 683 - 1 764 1 091 1 651 4 139 6 260 7 419 1 908 38 76

45 706 - 4 007 7 319 4 543 2 916 422 2 677 3 858 821 921 2 067 2 046 347 - 860 813 - 618 - 1 231 -

2 735 1 433 673 783 - 421 942 179 - 110 - 231 1 587 85 1 443 177 488 547 416 827

2 942 1 674 297 866 639 75 - 10 - 532 469 468 644 1 998 533 619 694 528 1 048

1 259 238 1 340 858 1 006 423 6 105 - 411 30 406 377 319 370 415 316 627

1 261 - 600 745 912 185 233 - 862 67 899 594 341 238 202 234 262 200 396

646 387 1 540 686 663 720 167 294 13 387 556 390 329 382 428 327 646

92 - 1 213 225 1 840 1 470 340 360 - 238 495 406 583 409 346 401 450 343 678

537 300 - 601 258 114 268 2 140 164 135 194 136 115 133 149 114 225

30 - 244 645 2 347 416 - 20 235 288 339 278 399 280 236 274 307 234 464

177 832 475 861 1 037 348 312 383 450 368 530 371 314 364 408 311 616

168 27 68 50 - 37 26 23 28 33 27 39 27 23 27 30 23 45

52 2 - 0 16 11 8 7 9 10 8 12 9 7 8 9 7 14

0 - 825 337 379 265 186 167 204 240 197 283 198 168 195 218 166 329

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Dij


An

née

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e d

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op

pem

ent


f) Ajustements de la méthode

Comme pour la méthode Chain Ladder, il est possible de procéder à des ajustements de

la méthode de Schnieper afin de «corriger» certains coefficients intermédiaires calculés par une

application directe des formules afin de prendre en compte des points particuliers, des

changements dans les méthodes de gestion, des points aberrants résultant d'anomalies

potentielles etc.

Le tableau suivant reprend les différentes variantes décrites dans la partie sur la méthode

Chain Ladder pour le même périmètre, sur un historique de 13 ans, en appliquant diverses

variations sur le paramètre δ :

Fig. 41 : Variantes de la méthode de Schnieper : IBNR totaux

g) Remarque sur le lien entre la méthode Chain Ladder et la méthode de Schnieper

Si le triangle N des IBNyR est vide (pour les lignes i>1), alors tous les λ𝑖 pour i>1 sont nuls et

on retrouve les résultats donnés par la méthode Chain Ladder. On en déduit aussi que moins le

triangle N comportera de données non nulles, plus les résultats donnés par la méthode de

Schnieper tendront vers ceux de la méthode Chain Ladder.

Total

AY 26 089 -

3Y 28 609 -

AY 24 699 -

3Y 27 548 -

3 oo 5 16 468 - -

AY 20 678 -

3Y 20 596 -

AY 20 365 -

3Y 20 571 -

3 oo 5 12 455 -

Sans

lissage

Moyenne

pondérée

Moyenne

Avec

lissage

Moyenne

pondérée

Moyenne


2.2) Une méthode de projection sinistre par sinistre développée pour les

sinistres graves appliquée aux sinistres attritionnels

a) Contexte

Dans le but d’améliorer les méthodes de provisionnement des sinistres graves (ayant une

fréquence faible mais un coût très élevé) chez AXA CS, une méthode spécifique a été

développée (méthode « DHV »).

Chez AXA CS, le seuil défini pour l’appellation des sinistres graves est une charge de 3

millions d’euros en brut de réassurance. Bien que cette charge peut varier dans le temps et

repasser au-dessous du seuil, une fois qu’un sinistre est déclaré comme grave, il le reste jusqu’à

sa clôture.

La méthode mise en place pour les sinistres graves, vise à traiter les IBNeR et les IBNyR de

manière séparée, comme c’est le cas dans la méthode de Schnieper.

Nous avons donc voulu tester son application sur les sinistres attritionnels et la comparer aux

autres méthodes classiques précédemment évoquées.

b) Principe de la méthode

La méthode se décompose en 2 parties :

Projection des IBNeR : utilisation de la méthode Chain Ladder sinistre par sinistre avec

pondération des facteurs de développement des sinistres en fonction de leur proximité.

Projection des IBNyR : méthode de Bornhuetter-Ferguson avec cadence Chain Ladder et

a priori ALR pour les nombres d’IBNyR.


Projection d’IBNeR :

On considère Kn(j) le sous-ensemble des sinistres dont la charge de sinistres à l’année de

développement j est connue pour l’année courante n. Pour un sinistre k dont la dernière charge

connue correspond à l’année de développement j (c’est-à-dire survenue à l’année n – j + 1), sa

charge ultime est estimée par :

𝐶𝑘,�� = 𝐶𝑘,𝑗 𝐹𝑘,𝑗 𝐹𝑘,𝑗+1…𝐹𝑘,𝑛−1

Avec :

𝐹𝑘,�� =1

∑ 𝑤𝑘,𝑘′𝑗

𝑘′∈𝐾𝑛(𝑗+1)

∑ 𝑤𝑘,𝑘′𝑗𝐹𝑘′,𝑗

𝑘′∈𝐾𝑛(𝑗+1)

𝐹𝑘,�� = 1

∑ 𝑤𝑘,𝑘′��

𝑘′∈𝐾𝑛(𝑠+1)

∑ 𝑤𝑘,𝑘′�� 𝐹𝑘′𝑠

′𝑘′∈𝐾𝑛(𝑠+1) , avec s = j+1,…, n-1

Et :

𝐹𝑘′,𝑗 = 𝐶𝑘′,𝑗+1

𝐶𝑘′,𝑗 les coefficients de passage,

𝑤𝑘,𝑘′𝑗

= (𝑀𝑎𝑥 (휀, |𝐶𝑘,𝑗 −𝐶𝑘′𝑗

𝐶𝑘,𝑗|))𝛽 mesurant la proximité entre k et k’ à l’année de

développement j (dans le cas où 𝐶𝑘,𝑗est connue),

𝑤𝑘,𝑘′��

= (𝑀𝑎𝑥 (휀, |𝐶𝑘,𝑗 −𝐶𝑘′𝑗

𝐶𝑘,𝑗|))𝛽 mesurant la proximité entre k et k’ à l’année de

développement j (dans le cas où 𝐶𝑘,𝑗 n’est pas connue et doit être estimée). Comme la

mesure de proximité w dépend de la charge du sinistre à développer, elle n’est connue

que pour l’année courante. Pour les années suivantes, la charge doit être estimée pour

calculer sa proximité avec les sinistres de référence,

ε > 0, un paramètre, appelé « tolérance », introduit dans le but de ne pas surpondérer les

sinistres trop « proches » du sinistre à développer,

𝛽 ≥ 0 le paramètre mesurant l’impact de la proximité au niveau de la charge entre deux

sinistres sur leur développement.

Les coefficients de passage sont calculés comme dans la méthode Chain Ladder classique.

Les poids 𝑤𝑘,𝑘′𝑗

font partie de la particularité de la méthode. Plus la charge d’un sinistre de

référence 𝐶𝑘′,𝑗 est proche de celle du sinistre à développer 𝐶𝑘,𝑗, plus on donne un poids important

à 𝐹𝑘′,𝑗.


La présence de la tolérance ε dit que les poids sont capés à ε−β. Le poids est équiréparti

entre les sinistres dont la charge se trouve dans l’intervalle[Ck,j(1 − ε); Ck,j(1 + ε)]. D’une telle

manière, un sinistre avec un développement atypique et une charge trop proche du sinistre à

développer n’influerait pas gravement le coefficient de passage estimé.

L’intervalle défini ci-dessus est appelé voisinage de 𝐶𝑘,𝑗. Il est d’autant plus grand que la

charge 𝐶𝑘,𝑗 est élevée.

Le paramètre β est calibré par une technique d’apprentissage statistique appelée « leave-

one-out cross validation ». L’idée est de faire parcourir à ce paramètre β un intervalle

suffisamment grand. Pour chaque valeur de β, successivement, un sinistre de la base de

données est écarté, et les coefficients de passage pour ce sinistre sont estimés en utilisant les

autres sinistres comme sinistres de référence.

Enfin, le véritable développement de ce sinistre est comparé au développement prédit par

l’algorithme. Ainsi, le β optimal est celui qui minimise l’erreur moyenne de prédiction. Ce β

optimal indique si la proximité entre sinistres à un impact important, faible, voire nul sur leur

développement.

Projection d’IBNyR :

La projection d’IBNyR est réalisée avec une approche fréquence-coût ; pour cela, le calcul de

la projection des IBNeR est au préalable nécessaire pour estimer la sévérité des sinistres sur les

montants de charge ultime de la totalité des sinistres.

La sévérité est calibrée simplement par une moyenne pondérée. La méthode alors utilisée

est une méthode Bornhuetter – Ferguson avec cadence Chain Ladder et a priori ALR.

Méthode ALR (Additive Loss Reserving) :

Cette méthode utilise un triangle des montants incrémentaux ainsi qu’un vecteur d’exposition.

Soit 𝑋𝑖,𝑗 le montant incrémental du sinistre i pour l’année de développement j.

Hypothèses de la méthode :

(H1) : Indépendance entre années de survenance

(H2) : indépendance des montants incrémentaux entre années de développement. Il existe un

vecteur d’exposition (𝐸𝑖)i=1,…, n et 𝛼1, … , 𝛼𝑛 tels que :

𝐸[𝑋𝑖,𝑗 |𝑋𝑖,1 , … , 𝑋𝑖,𝑗−1] = 𝛼𝑗 𝐸𝑖

Dans cette méthode, l’exposition 𝐸𝑖 n’est pas une estimation a priori de l’ultime mais un

volume proportionnel à ce dernier. L’hypothèse ALR suggère que pour chaque année de

développement j, le montant incrémental représente une part 𝛼𝑗 et l’exposition.


𝛼 = ∑ 𝛼𝑗𝑛𝑗=1 prend le rôle du facteur proportionnel (rapport entre l’ultime et l’exposition).

Si le vecteur de primes est choisi comme estimateur du vecteur d’exposition, 𝛼 sera le

ratio Sinistres/Primes espéré :

𝜇𝑖 = 𝛼 𝐸𝑖

Ainsi, 𝛼𝑗

𝛼 représente la part de l’ultime réglée pendant l’année de développement j. On

peut le relier au paramètre 𝛽𝑖 de la méthode Bornhuetter-Fergusson de la manière suivante :

𝛼1𝛼= 𝛽1

𝛼𝑗

𝛼= 𝛽𝑗 − 𝛽𝑗−1 pour j=2, …, n

Ce qui revient à :

∑ 𝛼𝑚𝑗𝑚=1

𝛼= 𝛽𝑗 , pour j=1, …, n

Si 𝐷𝑛 désigne l’information connue jusqu’à l’année n, c’est-à-dire l’ensemble {𝐶𝑖,𝑗; 1 ≤

𝑗 ≤ 𝑛, 𝑖 + 𝑗 ≤ 𝑛 + 1} alors le Best Estimate de 𝑋𝑖,𝑗, de la charge ultime et du montant de réserve

sont respectivement :

𝐸[𝑋𝑖,𝑗|𝐷𝑛] = 𝛼𝑗 𝐸𝑖

𝐸[𝐶𝑖,𝐽|𝐷𝑛] = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1 + ∑ 𝛼𝑗

𝑛

𝑗=𝑛−𝑖+2

𝐸𝑖

𝐸[𝑅𝑖|𝐷𝑛] = ∑ 𝛼𝑗

𝑛

𝑗=𝑛−𝑖+2

𝐸𝑖

Avec 𝛼𝑗 estimé par :

𝛼�� = ∑ 𝑋𝑖,𝑗 𝑛−𝑗+1𝑗=1

∑ 𝐸��𝑛−𝑗+1𝑗=1


En remarquant que :

∑ 𝛼𝑗𝑛𝑗=𝑛−𝑖+2 = ∑ 𝛼𝑗

𝑛𝑗=1 − ∑ 𝛼𝑗

𝑛−𝑖+1𝑗=1 = 𝛼 − ∑ 𝛼𝑗

𝑛−𝑖+1𝑗=1 = (1 − ∑ 𝛼𝑗

𝑛−𝑖+1𝑗=1 /𝛼)𝛼 = (1 −

𝛽𝑛−𝑖+1)𝛼,

le Best Estimate de l’ultime et celui de la réserve peuvent se réécrire :

𝐸[𝐶𝑖,𝐽|𝐷𝑛] = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1 +(1 − 𝛽𝑛−𝑖+1)𝛼 𝐸𝑖 = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1 + (1 − 𝛽𝑛−𝑖+1)𝜇𝑖

𝐸[𝑅𝑖|𝐷𝑛] = (1 − 𝛽𝑛−𝑖+1)𝛼 𝐸𝑖 = (1 − 𝛽𝑛−𝑖+1)𝜇𝑖

On retrouve les formules de la méthode de Bornhuetter – Ferguson, ce qui peut

s’interpréter comme le fait que la méthode Additive Loss Reserving peut se voir comme une

méthode appartenant à la famille des méthodes Bornhuetter – Ferguson. Son point spécifique est

que la cadence 𝛽𝑖 dépend de l’exposition 𝐸𝑖 et que 𝜇𝑖 dépend du triangle supérieur au travers du

terme α.

La méthode de projection des IBNyR nécessite donc un triangle de nombres

incrémentaux de sinistres (𝑋𝑖,𝑗). et un vecteur d’exposition (𝐸𝑖). L’hypothèse sous-jacente

est que le nombre de sinistres attritionnels est a priori proportionnel à l’exposition.

Pour chacune des années de développement j = 1, …, n, le ratio (��𝑗). « nombre de sinistres

attritionnels survenus par unité d’exposition est calculée » est :

(��𝑗) =∑ 𝑋𝑖,𝑗𝑛−𝑗+1𝑖=1

∑ 𝐸𝑖𝑛−𝑗+1𝑖=1

Le ratio ultime �� = ∑ 𝛼��𝑛𝑗=1 en est déduit. En le multipliant par le vecteur d’exposition, on

obtient un vecteur a priori du nombre ultime de sinistres attritionnels par année de survenance :

μi = 𝐸𝑖 ��.

La méthode de Bornhuetter – Ferguson est alors utilisée pour estimer le nombre ultime

de sinistres attritionnels pour chacun des années de survenance et le nombre d’IBNyR :

𝐶𝑖,n𝐵�� = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1 + (1 − 𝛽𝑛−𝑖+1 )μi

où la cadence est estimée grâce à la méthode de Chain Ladder :

𝛽𝑛−𝑖+1 = 1

∏ 𝑓𝑗 𝐶��𝑛−1

𝑗=𝑛−𝑖+1


c) Exemple

Le tableau suivant compare les résultats des estimations des IBNeR totaux avec cette

méthode développée pour les sinistres atypiques et la méthode de Schnieper.

Fig. 42 : Comparaison des IBNeR calculés par les méthodes DHV et de Schnieper pour 2 branches

La méthode spécifiquement développée pour les sinistres graves semble donner des

résultats plutôt très éloignés de ceux de la méthode de Schnieper, bien que dans les 2 exemples

présentés, l’ordre de grandeur des écarts diffère significativement.

Les graphiques suivants montrent la répartition des coefficients de passages des sinistres

de chaque branche en fonction des montants de la charge des sinistres, une fois les points

aberrants écartés.

On ne constate pas, mis à part pour les ordonnées 0 et 1, de réels regroupements de

points particuliers. En revanche, il est à noter que le nombre de sinistres sur la branche

Dommages est environ trois fois supérieur à ceux de la branche Construction.

Il convient de préciser que pour pouvoir appliquer cette méthode, les données ont été

largement filtrées en amont car du fait des nombreuses boucles du programme et de la relative

grande quantité de lignes à traiter, les temps d’exécution n’auraient pas été acceptables. Cette

étape de filtrage qui a consisté à ne conserver qu’une minorité de lignes mais pour les sinistres

représentant la majorité de la charge, a pu quelque part, fausser la nature des données et on a

pu perdre de l’information utile concernant le développement des sinistres au global. Si bien que

l’hypothèse très forte sur laquelle repose la méthode, comme quoi les sinistres de taille similaire

se comportent de manière analogue, n’est pas vérifiée ou fortement biaisée.

Schnieper DHV

Dommages Affaires Directes -33 496 27 958

Construction Affaires Directes 4 996 38 603


Fig. 43 : Coefficients de passage en fonction des montants des sinistres (branche Dommages)

Fig. 44 : Coefficients de passage en fonction des montants des sinistres (branche Construction)

-

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

-500 000 - 500 000 1000 000 1500 000 2000 000 2500 000 3000 000

-

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

- 200 000 400 000 600 000 800 000 1000 000 1200 000 1400 000 1600 000 1800 000 2000 000


d) Avantages et inconvénients de la méthode

Cette méthode ligne à ligne peut présenter un inconvénient certain concernant la

préparation des données nécessaires à son utilisation. En effet, elle suppose d’avoir à sa

disposition des systèmes de gestion de données suffisamment fiables et précis. C’est le cas bien

sûr pour toutes les méthodes d’estimation mais à plus forte raison ici car les points aberrants

peuvent ressortir de manière plus prononcée que pour les méthodes agrégées. Il devient alors

indispensable de supprimer ces points aberrants, mais l’exercice peut s’avérer délicat et se priver

d’une partie des données pertinentes est un risque qui peut rapidement survenir. Enfin, il en

résulte que toute cette préparation des données prend un temps bien plus conséquent que pour

les méthodes agrégées.

Par ailleurs, les résultats données par la méthode DHV, assez différents de ceux des

autres méthodes étudiées, laissent à penser qu’elle n’est pas nécessairement adéquate pour

traiter les différents périmètres attritionnels qui nous intéressent. En revanche, cette méthode

pourrait s’avérer très intéressante dans le cadre de données de sinistres très hétérogènes.

En effet, prenons l’exemple très simplifié suivant : pour la même charge de départ en

année 1 de 20 m€, un premier cas avec une quarantaine de sinistres de 500 k€ et un second cas

avec dix sinistres attritionnels importants de 2 m€.

Le développement en année 2 peut varier fortement selon la « composition » et les types

de sinistres observés. On remarque effectivement, que les gros sinistres ont tendance (en

général) à moins se développer que les sinistres plus petits. La méthode classique Chain Ladder,

dans les deux cas de figure décrits ci-dessous, ne distingue pas de différences et appliquerait le

même coefficient de passage. Dans le cas où un grand nombre des sinistres sont présents, une

certaine homogénéité peut s’observer et ces situations particulières sont estompées. Mais dans

le cas où ce nombre est réduit et présente une certaine hétérogénéité (un portefeuille jeune, par

exemple), la méthode DHV pourrait se révéler intéressante.

Cas 1

Cas 2

Année 1

Année 2

Année 1

Année 2

20 -> 40

20 -> 24

40 x 0,5

10 x 2

Fig. 45 : Compositions différentes de la charge des sinistres

Ainsi, on pourrait imaginer une étude, qui sort du cadre de ce mémoire, afin de voir ce

que donnerait cette méthode pour traiter, en même temps, à la fois les sinistres attritionnels et

atypiques. Aujourd’hui, chez AXA CS, quelles que soient la filiale et la branche, ces deux

estimations sont toujours séparées. S’il était possible, un tel regroupement serait plus que

profitable en termes opérationnels et permettrait un gain de temps substantiel.

Enfin, avec le développement des technologies big data et machine learning, on pourrait


envisager de déterminer et d’utiliser d’autres critères pour « rapprocher » le comportement des

sinistres que celui utilisé ici (la taille des sinistres), surtout dans le cas du traitement de bases de

données sinistres bien plus importante que celle d’AXA CS. Cette multiplicité potentielle des

critères et des paramètres peut se voir comme un réel intérêt par rapport aux autres méthodes

présentées.

3) Synthèse des résultats

Le tableau ci-dessous regroupe les résultats des estimations des Best Estimate des

provisions IBNR, pour chaque branche, par méthode. Il indique également l’écart absolu et relatif

avec la méthode de référence de Chain Ladder.

Fig. 46 : Synthèse des résultats des Best Estimate des réserves IBNR par branche et par méthode

Fig. 47 : Histogrammes comparatifs des résultats normés des Best Estimate des réserves IBNR par branche et

par méthode

Les différents périmètres ont été sélectionnés pour essayer de balayer différents cas de

figure, que ce soit en termes de volume, de volatilité des montants ou de durée des branches. On

constate que les méthodes étudiées donnent des résultats des Best Estimate du même ordre de

grandeur globalement, même si pour certains cas, les écarts sont très prononcés comme pour es

k€

Branches Chain Ladder Bornhuetter - Ferguson Schnieper

Dommages Affaires directes 23 939 - 26 681 - 2 742 - 11% 26 088 - 2 149 - 9%

Dommages Affaires acceptées 17 881 - 22 327 - 4 446 - 25% 26 260 - 8 379 - 47%

Construction Affaires directes 11 617 6 279 5 338 - -46% 7 877 3 740 - -32%

Construction Affaires acceptées 9 711 5 103 4 608 - -47% 1 117 8 594 - -88%

Automobile Affaires directes 7 969 - 9 406 - 1 437 - 18% 9 235 - 1 266 - 16%

RC Construction Affaires directes 367 747 380 104% 601 234 64%

Décennale Affaires directes 5 152 - 5 865 - 713 - 14% 5 190 - 38 - 1%

∆ (Chain Ladder) ∆ (Chain Ladder)

-

50

100

150

200

250

Dommages Affaires directes Dommages Affaires acceptées Construction Affaires directes Construction Affaires acceptées Automobile Affaires directes RC Construction Affaires directes Décennale Affaires directes

Comparaison des Best Estimate des réserves IBNR par méthode et par périmètre

Chain Ladder Bornhuetter - Ferguson Schnieper


Affaire acceptées. D’autre part, on remarque également qu’aucune des méthodes ne donne

systématiquement de résultat supérieur ou inférieur aux autres.

La question la plus légitime et la plus immédiate qui se pose alors concerne le choix de la

méthode à utiliser et les critères permettant d’aboutir à cette sélection. La troisième partie de

cette étude se propose d’essayer de répondre à cette question.

Le tableau suivant propose une synthèse non exhaustive, en se référant aux cas traités

dans cette étude, des avantages et des inconvénients vus plus précédemment pour chaque

méthode.

Chain Ladder Bornhuetter - Ferguson Schnieper DHV

Donne de bons résultats

sur certains périmètres

Permet de détecter des

changements dans la

gestion des D/D

Complexe à

implémenter et utiliser

Résultats peu

satisfaisants pour les

sinistres attritionnels

dans certains cas

Avantages

Ouverture possible pour

traiter les sinistres

atypiques et attrionnels

en même temps

Facile à utiliser et implémenter

InconvénientsHypothèses de stabilité

fortes

Forte dépendance vis-à-

vis de la justesse des

données extérieures

Hypothèses peu ou pas

vérifiées

Permet d'introduire des

données extérieures

Méthode largement

utilisée dans le monde et

proposant de nombreuses

variantes et ajustements


III Critères de sélection des méthodes de provisionnement

Dans la partie précédente, nous avons décrit quatre méthodes de provisionnement des

réserves de sinistres, en partant de la méthode agrégée probablement la plus simple et la plus

répandue, la méthode Chain Ladder, pour ensuite s’attarder sur des méthodes plus

sophistiquées, moins agrégées, introduisant d’autres paramètres que les simples données des

triangles de charges cumulées des montants de sinistres.

Mais comment choisir parmi ces différentes méthodes ? Quels critères utiliser pour pouvoir

déterminer la ou les méthodes à utiliser selon les cas de figures qui se présentent ?

Nous allons essayer d’exhiber quelques éléments de réponse dans cette troisième partie.

1) Vérification des hypothèses des méthodes

Les méthodes de provisionnement présentées reposent toutes sur des hypothèses qu’il

convient de vérifier pour pouvoir les appliquer aux données considérées. Une méthode qui

donnerait de « bons résultats théoriques » mais qui supposerait des conditions très rarement

vérifiées dans la pratique serait peu souhaitable.

Pour chacun des méthodes étudiées, nous avons énoncé les hypothèses nécessaires

correspondantes.

Pour la méthode Chain Ladder, nous indiquons dans le paragraphe dédié au modèle de

Mack, ainsi qu’en annexe, comment procéder afin de contrôler que les données passent les tests

d’hypothèses. Dans l’ensemble, sur les sept périmètres principaux, on peut considérer que c’est

le cas. Pour la méthode de Bornhuetter – Ferguson, la condition principale d’indépendance des

années d’occurrence est également satisfaite.

Pour la méthode de Schnieper, en revanche, si l’hypothèse d’indépendance pour les triangles

D et N est à peu près vérifiée, ce n’est clairement pas le cas pour la première hypothèse de

proportionnalité comme on peut le constater en annexe 5 sur une partie des périmètres. Ceci

pose un problème de légitimité de l’application de la méthode et donc des différents résultats

obtenus même s’ils ne sont pas tant éloignés de ceux de la méthode Chain Ladder. Malgré ce

problème, nous avons tout de même souhaité mener à termes les calculs sur tous les périmètres.

Enfin, concernant la méthode de DHV, la vérification des hypothèses est d’autant plus

délicate. En effet, pour la méthode Chain Ladder ligne à ligne utilisée pour le calcul des IBNeR et

qui sert de base à toute la méthode, un certain nombre de point aberrants sont exclus pour le

calcul des coefficients de développement qui sont ensuite appliqués à tous les sinistres.


2) Back-testing. Technique de Denuit – Charpentier

Michel Denuit et Arthur Charpentier, en 2005, dans leur ouvrage Mathématiques de

l’assurance non-vie, ont présenté une méthode systématique bien adaptée aux triangles de

développement. L’idée assez intuitive qui s’apparente à du back-testing, consiste à appliquer les

méthodes de projections utilisées sur des sous-triangles inclus dans le triangle de départ et

comparer les résultats obtenus avec les chiffres réels.

Cela revient tout simplement à appliquer une méthode sur des données passées et voir avec

les données futures connues, si on est proche ou non de la réalité.

Étant donné la taille des triangles de développement de départ, le nombre de possibilités de

choix de sous-triangles est rapidement important. Nous nous sommes limités aux sous-triangles

avec I = J et en remontant sur 5 années en arrière.

Fig. 48 : Back-testing : utilisation de sous-triangles

On définit la somme des carrés des erreurs, SSE, de la manière suivante :

𝑆𝑆𝐸 = ∑∑ ∑ (𝐶𝑖,�� − 𝐶𝑖,𝑘

𝑚

𝑘=𝑚−𝑖+1

)²

𝑚

𝑖=1

5

𝑚=1

La méthode la plus adaptée est celle qui donnera la SSE la plus faible.

La figure suivante présente un triangle de charge auquel on a enlevé les 5 dernières

diagonales :

Fig. 49 : Triangle tronqué : sous-triangle sans 5 diagonales

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

44 270 201 34 726 351 24 885 983 26 313 493 28 183 817 29 015 100 30 335 301 26 736 038

49 073 713 33 617 028 29 671 961 33 194 668 35 991 109 33 929 830 47 628 823

45 423 412 29 234 967 27 626 169 34 912 252 38 695 730 32 923 703

43 079 589 28 814 641 24 957 535 31 060 705 37 907 107

42 662 718 27 872 290 25 136 747 31 170 305

42 092 570 27 947 418 25 147 057

41 086 817 27 524 138

40 901 358


On applique par exemple la méthode Chain Ladder, et on complète le triangle. On obtient le

rectangle suivant :

Fig. 50 : Triangles complété avec la méthode Chain Ladder

Les montants en jaune, vont être comparés aux montants réels qui avaient été tronqués au

départ, en prenant le carré des différences.

Le back-testing a été réalisés sur plusieurs périmètres. Le tableau suivant présente les

résultats normés.

Fig. 51 : Résultats normés du back-testing sur cinq ans pour sept périmètres

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

44 270 201 34 726 351 24 885 983 26 313 493 28 183 817 29 015 100 30 335 301 26 736 038

49 073 713 33 617 028 29 671 961 33 194 668 35 991 109 33 929 830 47 628 823 32 308 062

45 423 412 29 234 967 27 626 169 34 912 252 38 695 730 32 923 703 46 156 254 31 309 174

43 079 589 28 814 641 24 957 535 31 060 705 37 907 107 31 038 239 43 512 994 29 516 171

42 662 718 27 872 290 25 136 747 31 170 305 37 589 889 30 778 502 43 148 864 29 269 171

42 092 570 27 947 418 25 147 057 31 012 385 37 399 445 30 622 566 42 930 255 29 120 882

41 086 817 27 524 138 24 633 979 30 379 636 36 636 380 29 997 771 42 054 345 28 526 726

40 901 358 27 399 899 24 522 785 30 242 507 36 471 009 29 862 366 41 864 518 28 397 960


Dommages Affaires directes 100 130 74

Dommages Affaires acceptées 100 150 134

Construction Affaires directes 100 117 95

Construction Affaires acceptées 100 67 87

Automobile Affaires directes 100 100 91

RC Construction Affaires directes 100 115 98

Décennale Affaires directes 100 78 99

SSE


Fig. 52 : Résultats normés du back-testing sur cinq ans pour sept périmètres

On remarque que dans 6 cas sur 7, la méthode de Schnieper donne des résultats

meilleurs que celle de Chain Ladder et dans 5 cas sur 7 des résultats meilleurs que ceux de la

méthode de Bornhuetter-Ferguson. Comme précisé au paragraphe II) 2) 1) g), pour les branches

avec très peu d’IBNyR, comme c’est le cas pour la branche Décennale, Affaire directes (en

survenance), on retrouve des résultats très similaires en termes de SSE pour les méthodes

Chain Ladder et de Schnieper.

Il intéressant de noter que même lorsque les hypothèses de la méthode de Chain Ladder

sont vérifiées, comme c’est le cas pour le périmètre Dommage Affaires Directes, la méthode de

Schnieper peut donner de meilleurs résultats du point de vue de cette méthode de back-testing.

De plus, des tests sur 3 diagonales au lieu de 5 ont également été menés, aboutissant quasiment

aux mêmes constats.

Nous avons également étudié si les écarts donnés par la back-testing étaient toujours « dans

le même sens » ou non. Pour cela, nous avons pris individuellement chaque écart 𝐶𝑖,�� − 𝐶𝑖,𝑘.

Le tableau suivant résume pour chaque méthode et chaque périmètre le pourcentage des cas où

cet écart est positif, c’est-à-dire quand la charge estimée est supérieure à la charge réelle.

Fig. 53 : Pourcentage des cas où la charge estimée est supérieure à la charge réelle

-

20

40

60

80

100

120

140

160

Dommages Affaires directes Dommages Affaires acceptées Construction Affaires directes Construction Affaires acceptées Automobile Affaires directes RC Construction Affaires directes Décennales Affaires directes



Dommages Affaires directes 51% 84% 47%

Dommages Affaires acceptées 47% 66% 44%

Construction Affaires directes 46% 28% 46%

Construction Affaires acceptées 53% 20% 54%

Automobile Affaires directes 27% 61% 27%

RC Construction Affaires directes 32% 27% 34%

Décennale Affaires directes 18% 30% 18%


On remarque que la tendance est plutôt d’avoir des montants estimés inférieurs, ce qui se

traduirait par une évaluation pas assez prudente des charges ultimes.

3) Comparaison des volatilités des méthodes Chain Ladder et de Schnieper

Afin de pouvoir évaluer l’incertitude des projections des charges ultimes de sinistres, des

méthodes stochastiques ont été développées vers les années 1990. En considérant les éléments

𝐶𝑖,𝑗 des triangles des montants cumulés des sinistres comme des variables aléatoires, des

techniques ont été élaborées pour permettre de fournir des estimations et des intervalles de

confiance sur les montants de réserves calculés.

3.1) Définitions

On définit en statistique la MSEP (pour « Mean Squared Error of Prediction ») qui est

l’incertitude d’un estimateur, de la manière suivante :

𝑀𝐸𝑆𝑃(𝜃) = 𝐸([𝜃 − 𝜃]²)

où 𝜃 est l’estimateur d’une constante 𝜃. La MSEP représente l’erreur quadratique moyenne de

l’estimateur.

Dans le cas présent, où le montant total des réserves est une variable aléatoire, la MSEP

donne l’évaluation de l’incertitude due à son évaluation. On montre que l’on peut approximer la

MSEP de la manière suivante :

𝑀𝐸𝑆𝑃(��) ≈ 𝑉𝑎𝑟 (𝑅) + 𝑉𝑎𝑟(��) (*)

où :

𝑉𝑎𝑟 (𝑅) est appelée erreur d’estimation (« estimation variance »),

𝑉𝑎𝑟(��) est appelée erreur de processus (« process variance »).


Par ailleurs, on définit l’erreur standard, Se (« Standard Error »), égale à la racine carrée de

la MSEP, qui donne de manière précise la volatilité de la réserve totale :

𝑆𝑒(��) = √𝑀𝑆𝐸𝑃(��)


3.2) Modèle de Mack

a) Origine

En 1993, Thomas Mack publie dans son article intitulé Distribution-free calculation of the

standard error of Chain Ladder reserves estimates, le détail de son modèle ainsi qu’un exemple

simple d’application directe.

b) Hypothèses du modèle

Il est primordial pour pouvoir appliquer le modèle de Mack de vérifier dans un premier temps

3 hypothèses.

(H1) : Les coefficients de passage 𝑓0, … , 𝑓𝑛−1 sont indépendants de l’année i de survenance

et :

𝐸(𝐶𝑖,𝑘+1|𝐶𝑖,0, … , 𝐶𝑖,𝑘) = 𝐶𝑖,𝑘 𝑓𝑘, ∀ 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 et 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛-1

(H2) : {𝐶𝑖,0, 𝐶𝑖,1, … , 𝐶𝑖,𝑛} et {𝐶𝑗,0, 𝐶𝑗,1, … , 𝐶𝑗,𝑛} indépendants pour i ≠ j.

(H3) : Les coefficients 𝑓�� peuvent se mettre sous la forme :

𝑓�� = ∑ 𝑤𝑗,𝑘 𝑛−𝑘𝑗=0 ×

𝐶𝑗,𝑘+1

𝐶𝑗,𝑘 avec ∑ 𝑤𝑗,𝑘

𝑛−𝑘𝑗=0 = 1,

et choisis de telle manière que la variance de l’estimateur soit minimale.

Ce qui implique que ∀ 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 et 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛-1 :

𝑉𝑎𝑟(𝐶𝑖,𝑘+1|𝐶𝑖,0, … , 𝐶𝑖,𝑘) = 𝐶𝑖,𝑘σk2

avec σ²k : paramètres inconnus à estimer.


c) Vérification des hypothèses du modèle

(H1) : Les coefficients de passage 𝑓0, … , 𝑓𝑛−1 sont indépendants de l’année i de survenance

et :

𝐸(𝐶𝑖,𝑘+1|𝐶𝑖,0, … , 𝐶𝑖,𝑘) = 𝐶𝑖,𝑘 𝑓𝑘, ∀ 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 et 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛-1

L’hypothèse (H1) signifie que, quel que soit k, les points (𝐶𝑖,𝑘+1,𝐶𝑖,𝑘) sont alignés sur une

droite passant par l’origine et de pente fk.

De plus, on doit avoir 𝐶𝑖,𝑘+1

𝐶𝑖,𝑘 et

𝐶𝑖,𝑘

𝐶𝑖,𝑘−1 non corrélés.

Pour le premier point, il suffit tracer les points (𝐶𝑖,𝑘+1,𝐶𝑖,𝑘) pour chaque k et de vérifier leur

alignement.

Pour la deuxième partie de l’hypothèse, comme Thomas Mack l’a énoncé dans son article de

1994, Measuring the variability of Chain Ladder Reserve Estimates, on peut réaliser un test de

Spearman comme décrit ci-dessous.

On calcule pour chaque ligne du triangle des montants des sinistres, le coefficient de

passage :

𝐹𝑘 = 𝐶𝑖,𝑘+1

𝐶𝑖,𝑘 , 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 − 𝑘

Pour chaque ligne, on trie de manière croissante les 𝐹𝑘, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1

Soit 𝑟𝑖,𝑘 le rang des 𝐹𝑘, 0 ≤ 𝑟𝑖,𝑘 ≤ 𝑛 − 1 − 𝑘

On supprime du triangle de départ le coefficient 𝐶𝑛−1−𝑘,𝑘+1

𝐶𝑛−1−𝑘,𝑘 pour 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1

On trie une nouvelle fois de manière croissante les 𝐹𝑘

Soit 𝑠𝑖,𝑘 le nouveau rang des 𝐹𝑘, avec 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 − 𝑘 et 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 2

On calcule les coefficients de Spearman :

𝑇𝑘 = 1 − 6 ∑ (𝑛−1−𝑘𝑖=0 𝑟𝑘,𝑖−𝑠𝑘,𝑖 )²

(𝑛−𝑘)3−𝑛+𝑘 pour 1 ≤ 𝑘 < 𝑛 − 2


On calcule le coefficient de corrélation total :

𝑇 = ∑

𝑛 − 𝑘 − 1(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)

𝑇𝑘𝑛−2𝑘=1

2

La non-corrélation sera vérifiée si :

𝑇 ∈

[

−0.67

√(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)2

,0.67

√(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)2 ]

(H2) : {𝐶𝑖,0, 𝐶𝑖,1, … , 𝐶𝑖,𝑛} et {𝐶𝑗,0, 𝐶𝑗,1, … , 𝐶𝑗,𝑛} indépendants pour i ≠ j.

L’hypothèse (H2) pourrait ne pas être vérifiée en cas de saisonnalité.

Un effet de saisonnalité est localisé sur une diagonale du triangle de charge des sinistres.

Afin de réaliser un test de saisonnalité sur le triangle, on procède de la manière suivante :

On trie en ordre croissant les coefficients 𝐹𝑘 = 𝐶𝑖,𝑘+1

𝐶𝑖,𝑘 , 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 − 𝑘

On calcule la médiane pour chaque ligne 𝑚𝑘 , 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1

Pour chaque colonne, les coefficients supérieurs à la médiane se voient attribués la

valeur 2, et la valeur 1 quand ils sont inférieurs.

Si le nombre d’éléments d’une ligne est pair, un de ces éléments vaut la médiane. On lui

attribue alors 0 et n’est plus considéré.

Pour chaque diagonale 𝐷𝑖 = { 𝐶𝑖,1

𝐶𝑖,0, … ,

𝐶0,𝑖+1

𝐶0,𝑖} pour 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1, on compte le nombre Mj

(resp. Nj) de facteurs supérieurs (inférieurs) à la médiane de la colonne.

Soit Lj = min (Mj, Nj), p = Mj + Nj et s = 𝑝−1

2, L = L2 + … + Ln-1

E(Lj) = 𝑝

2− (𝑝−1

𝑠)

𝑝

2𝑝

Var (Lj) = 𝑝(𝑝−1)

4− (𝑝−1

𝑠) 𝑝(𝑝−1)

2𝑝+ 𝐸(𝐿𝑗) − (𝐸(𝐿𝑗))

2

On suppose que L suit une loi normale


L’hypothèse d’absence de saisonnalité sera vérifié avec une probabilité d’erreur de 5%

si :

𝐿 ∈ [𝐸(𝐿) − 2 √𝑉𝑎𝑟 (𝐿), 𝐸(𝐿) + 2 √𝑉𝑎𝑟 (𝐿)]

(H3) : Les coefficients 𝑓�� peuvent se mettre sous la forme :

𝑓�� = ∑ 𝑤𝑗,𝑘 𝑛−𝑘𝑗=0 ×

𝐶𝑗,𝑘+1

𝐶𝑗,𝑘 avec ∑ 𝑤𝑗,𝑘

𝑛−𝑘𝑗=0 = 1,

et choisis de telle manière que la variance de l’estimateur soit minimale.

Ce qui implique que ∀ 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 et 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛-1 :

𝑉𝑎𝑟(𝐶𝑖,𝑘+1|𝐶𝑖,0, … , 𝐶𝑖,𝑘) = 𝐶𝑖,𝑘σk2

avec σ²k : paramètres inconnus à estimer.

On peut vérifier l’hypothèse (H3) à l’aide d’un graphique : il s’agit de représenter les résidus 𝐶𝑖,𝑘+1−𝐶𝑖,𝑘𝑓��

√𝐶𝑖,𝑘 en fonction des Ci,k. L’hypothèse sera vérifiée si les résidus sont aléatoires.


d) Variabilité des provisions

Comme on l’a vu dans le paragraphe II, 2.1), la méthode Chain Ladder permet de calculer la

charge ultime pour une année de survenance i par :

𝐶𝑖,�� = 𝐶𝑖 ,𝑛+1−𝑖× (𝑓𝑛+1−𝑖 ×… × 𝑓𝑘−2 × 𝑓𝑘−1)

Il a été également montré que : 𝐸(𝐶𝑖,��) = 𝐸(𝐶𝑖 ,𝑛) = 𝐶𝑖 ,𝑛

La Mean Square Error of Prediction de la charge ultime s’écrit alors :

𝑀𝑆𝐸𝑃(𝐶𝑖,��) = E { (𝐶𝑖 ,𝑛- 𝐶𝑖,��)² | { 𝐶𝑖 ,𝑘 / 0 ≤ 𝑖 + 𝑘 ≤ 𝑛} }

En se basant sur l’équation (*), Thomas Mack a montré que :

𝑀𝑆𝐸𝑃(𝑅��) = 𝑀𝑆𝐸𝑃(𝐶𝑖,��) = 𝐶𝑖,�� ² ∑𝜎𝑘²

��𝑘²

𝑛−1𝑛−𝑖 × (

1

𝐶𝑖,��+

1

∑ 𝐶𝑗,𝑘 𝑛−𝑘−1𝑗=0

)

Avec 𝜎𝑘 ² estimateur sans biais de σk² et :

𝜎𝑘 ² = 1

𝑛−𝑘−1∑ 𝐶𝑖 ,𝑘 × (

𝐶𝑖,𝑘+1

𝐶𝑖,𝑘 − 𝑓𝑘)²

𝑛−𝑘−1𝑖=0 pour 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 2

𝜎𝑛−12 = 𝑚𝑖𝑛(

𝜎𝑛−24

𝜎𝑛−32, 𝑚𝑖𝑛(𝜎𝑛−3

2 , 𝜎𝑛−22 ))


Enfin, on montre que pour la provision totale des sinistres, la MSEP est donnée par :

𝑀𝑆𝐸𝑃(𝑅) = ∑ [𝑀𝑆𝐸𝑃 (𝑅𝑖) + 𝐶𝑖,𝑛 (∑ 𝐶𝑗,𝑛𝑛𝑗=𝑖+1 )∑

2𝜎𝑘²

��𝑘²

∑ 𝐶𝑚,𝑘 𝑛−𝑘−1𝑚=0

𝑛−1𝑘=𝑛−𝑖 ]𝑛

𝑖=1

e) Exemples

Les données sur lesquelles la méthode de Mack a été testée sont les suivantes :

Dommages France affaires directes,

Dommages France affaires acceptées,

TRC – TRME France affaires directes,

TRC – TRME France affaires acceptées,

Automobile France affaires directes,

Responsabilité Civile France affaires directes,

Décennale France, affaire directes.

Pour chaque jeu de donnée, on procède dans un premier temps à la vérification des trois

hypothèses d’application de la méthode.

Dans les pages suivantes, les résultats de la vérification des trois hypothèses à vérifier

pour la méthode de Mack sont présentés pour le premier jeu de données. La vérification des

hypothèses pour les autres périmètres testés sont consultables en annexe.

En pratique, les trois hypothèses ne sont pas toujours vérifiées. De plus, certaines

méthodes de vérifications sont graphiques et sont donc sujettes à interprétation. Cependant ces

méthodes ont le mérite d’exister et sont autant d’aides à la décision pour l’application ou non

d’une méthode d’estimation des provisions.


Vérification des hypothèses :

Hypothèse 1 : sur un premier exemple : Dommages France affaires directes.

Première partie : alignements des points

Fig. 54 : Modèle de Mack - Validation de l’hypothèse 1 (Dommage, affaires directes)

On peut considérer globalement que la première partie de l’hypothèse 1 est vérifiée.

Existence d'un unique facteur de développement

Chain Ladder - Validation de l'hypothèse 1

y = 1,2194xR² = 0,0409

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

90 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000

(Ci1 - Ci2)

y = 0,9796xR² = 0,3233

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000

(Ci2 - Ci3)

y = 0,9669xR² = 0,2247

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000

(Ci3 - Ci4)

y = 0,9663xR² = 0,9871

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000

(Ci4 - Ci5)

y = 0,9872xR² = 0,9991

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000

(Ci5 - Ci6)

y = 0,9949xR² = 0,9967

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000

(Ci6 - Ci7)


Deuxième partie : test de Spearman

On reprend les données déjà présentées :

Fig. 55 : Triangle de charge – Branche dommages, affaires directes

Calcul des Fk :

Fig. 56 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝐹𝑘

Calcul des rk :

Fig. 57 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝑟𝑘

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

n 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 876 41 422 21 554 39 859

n+1 12 901 26 515 71 129 69 089 49 074 33 617 29 672 33 195 35 991 33 930 47 629 38 770 31 629 37 721 35 322 24 961

n+2 14 318 74 525 62 057 65 495 45 423 29 235 27 626 34 912 38 696 32 924 46 210 35 347 25 894 31 695 33 768

n+3 60 061 70 783 54 855 61 265 43 080 28 815 24 958 31 061 37 907 32 378 44 229 33 851 26 470 30 994

n+4 57 444 69 462 54 219 62 514 42 663 27 872 25 137 31 170 37 677 30 892 44 144 32 546 26 308

n+5 54 510 67 899 53 996 61 969 42 093 27 947 25 147 30 638 37 210 30 425 43 502 30 550

n+6 53 256 67 696 52 663 61 128 41 087 27 524 25 141 30 744 36 800 30 395 43 097

n+7 54 961 67 099 51 928 60 249 40 901 28 332 24 279 30 676 35 901 29 801

n+8 54 315 66 714 50 388 59 564 40 238 27 613 24 112 30 382 35 889

n+9 54 407 65 561 50 163 57 724 38 769 27 273 24 471 30 144

n+10 53 870 65 872 49 562 57 467 38 655 27 005 24 470

n+11 53 899 65 629 48 918 55 119 39 071 26 985

n+12 53 722 64 797 48 443 54 258 38 034

n+13 53 554 64 770 48 375 54 308

n+14 53 503 64 772 48 375

n+15 53 503 63 947

n+16 53 502

An

née

s d

e d

ével

op

pem

ent


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Fk 0 1,373 2,103 3,996 1,064 1,109 0,968 1,192 1,262 1,277 1,169 1,570 1,450 1,400 1,580 0,853 1,158

1 1,110 2,811 0,872 0,948 0,926 0,870 0,931 1,052 1,075 0,970 0,970 0,912 0,819 0,840 0,956

2 4,195 0,950 0,884 0,935 0,948 0,986 0,903 0,890 0,980 0,983 0,957 0,958 1,022 0,978

3 0,956 0,981 0,988 1,020 0,990 0,967 1,007 1,004 0,994 0,954 0,998 0,961 0,994

4 0,949 0,977 0,996 0,991 0,987 1,003 1,000 0,983 0,988 0,985 0,985 0,939

5 0,977 0,997 0,975 0,986 0,976 0,985 1,000 1,003 0,989 0,999 0,991

6 1,032 0,991 0,986 0,986 0,995 1,029 0,966 0,998 0,976 0,980

7 0,988 0,994 0,970 0,989 0,984 0,975 0,993 0,990 1,000

8 1,002 0,983 0,996 0,969 0,963 0,988 1,015 0,992

9 0,990 1,005 0,988 0,996 0,997 0,990 1,000

10 1,001 0,996 0,987 0,959 1,011 0,999

11 0,997 0,987 0,990 0,984 0,973

12 0,997 1,000 0,999 1,001

13 0,999 1,000 1,000

14 1,000 0,987

15 1,000

ri,k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 10 15 16 3 4 2 7 8 9 6 13 12 11 14 1 5

1 14 15 4 8 6 3 7 12 13 11 10 5 1 2 9

2 14 6 1 4 5 12 3 2 10 11 7 8 13 9

3 2 5 6 13 7 4 12 11 9 1 10 3 8

4 2 3 10 9 7 12 11 4 8 5 6 1

5 3 8 1 5 2 4 10 11 6 9 7

6 10 6 5 4 7 9 1 8 2 3

7 4 8 1 5 3 2 7 6 9

8 7 3 6 2 1 4 8 5

9 2 7 1 4 5 3 6

10 5 3 2 1 6 4

11 5 3 4 2 1

12 1 3 2 4

13 1 3 2

14 2 1

15 1


Calcul des sk :

Fig. 58 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝑠𝑘

On en déduit les Tk ainsi que T :

Fig. 59 : Modèle de Mack – Test de Spearman – Calcul des 𝑇𝑘 et de T

[

−0.67

√(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)2

,0.67

√(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)2 ]

= [−0.065; 0.065]

On constate donc que T appartenant à l’intervalle. On en déduit qu’il y a non-corrélation

et que la deuxième partie de l’hypothèse 1 est vérifiée.

si,k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 9 14 15 3 4 2 6 7 8 5 12 11 10 13 1

2 13 14 4 8 6 3 7 11 12 10 9 5 1 2

3 13 6 1 4 5 11 3 2 9 10 7 8 12

4 2 5 6 12 7 4 11 10 8 1 9 3

5 1 2 9 8 6 11 10 3 7 4 5

6 3 7 1 5 2 4 9 10 6 8

7 9 5 4 3 6 8 1 7 2

8 4 8 1 5 3 2 7 6

9 6 3 5 2 1 4 7

10 2 6 1 4 5 3

11 4 3 2 1 5

12 4 2 3 1

13 1 3 2

14 1 2

15 1

k Tk

1 0,027

2 0,053 -

3 0,245 -

4 0,448

5 0,218 -

6 0,073 -

7 0,275 -

8 0,179

9 0,036

10 0,400

11 0,050 -

12 0,100 -

13 1,000

14 -

T = 0,004


- Hypothèse 2 : Fk et médianes mk

Fig. 60 : Test de saisonnalité : 𝐹𝑘 et 𝑚𝑘

Calcul des coefficients : Mk et Nk

Fig. 61 : Test de saisonnalité : 𝑀𝑘 et 𝑁𝑘

Résultats :

Fig. 62 : Test de saisonnalité : résultats

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Mk

0 1,373 2,103 3,996 1,064 1,109 0,968 1,192 1,262 1,277 1,169 1,570 1,450 1,400 1,580 0,853 1,158 1,269

1 1,110 2,811 0,872 0,948 0,926 0,870 0,931 1,052 1,075 0,970 0,970 0,912 0,819 0,840 0,956 0,948

2 4,195 0,950 0,884 0,935 0,948 0,986 0,903 0,890 0,980 0,983 0,957 0,958 1,022 0,978 0,957

3 0,956 0,981 0,988 1,020 0,990 0,967 1,007 1,004 0,994 0,954 0,998 0,961 0,994 0,990

4 0,949 0,977 0,996 0,991 0,987 1,003 1,000 0,983 0,988 0,985 0,985 0,939 0,986

5 0,977 0,997 0,975 0,986 0,976 0,985 1,000 1,003 0,989 0,999 0,991 0,989

6 1,032 0,991 0,986 0,986 0,995 1,029 0,966 0,998 0,976 0,980 0,989

7 0,988 0,994 0,970 0,989 0,984 0,975 0,993 0,990 1,000 0,989

8 1,002 0,983 0,996 0,969 0,963 0,988 1,015 0,992 0,990

9 0,990 1,005 0,988 0,996 0,997 0,990 1,000 0,996

10 1,001 0,996 0,987 0,959 1,011 0,999 0,998

11 0,997 0,987 0,990 0,984 0,973 0,987

12 0,997 1,000 0,999 1,001 0,999

13 0,999 1,000 1,000 1,000

14 1,000 0,987 0,994

15 1,000 1,000

Mk et Nk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1

1 2 2 1 - 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2

2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2

3 1 1 1 2 - 1 2 2 2 1 2 1 2

4 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1

5 1 2 1 1 1 1 2 2 - 2 2

6 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1

7 1 2 1 - 1 1 2 2 2

8 2 1 2 1 1 1 2 2

9 1 2 1 - 2 1 2

10 2 1 1 1 2 2

11 2 - 2 1 1

12 1 2 1 2

13 1 2 -

14 2 1

15 -

Diagonale Mj Nj Lj p s E(Lj) Var(Lj)

2 0 2 0 2 1 0,5000 0,2500

3 0 3 0 3 1 0,7500 0,1875

4 4 0 0 4 2 1,2500 0,4375

5 4 0 0 4 2 1,2500 0,4375

6 6 0 0 6 3 2,0625 0,6211

7 3 4 3 7 3 2,4063 0,5537

8 4 3 3 7 3 2,4063 0,5537

9 4 5 4 9 4 3,2695 0,7359

10 7 3 3 10 5 3,7695 0,9859

11 1 9 1 10 5 3,7695 0,9859

12 5 7 5 12 6 4,6465 1,1680

13 8 3 3 11 5 4,1465 0,9180

14 5 8 5 13 6 5,0337 1,0999

15 8 7 7 15 7 5,9290 1,2818

16 5 9 5 14 7 5,5337 1,3499

L E(L) Var(L)

39 46,7229 11,5665


Fig. 63 : Test de saisonnalité : appartenance à l’intervalle

On a bien L appartenant à l’intervalle désiré. On en déduit que dans ce cas, l’hypothèse 2

est vérifiée.

- Hypothèse 3 :

Fig. 64 : Modèle de Mack - Validation de l’hypothèse 3 (Dommages, affaires directes)

[ 23,59 69,86 ]

Intervalle [ E(L) - 2Var(L) ; E(L) + 2 Var(L)]

-6 000,00

-5 000,00

-4 000,00

-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

1 000,00

2 000,00

3 000,00

0 2 4 6 8 10 12

(Ci1 - Di1)

-7 000,00

-6 000,00

-5 000,00

-4 000,00

-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

1 000,00

0 2 4 6 8 10 12

(Ci2 - Di2)

-7 000,00

-6 000,00

-5 000,00

-4 000,00

-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(Ci3 - Di3)

-3 000,00

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(Ci4 - Di4)

-3 000,00

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(Ci5 - Di5)

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

0 1 2 3 4 5 6 7

(Ci6 - Di6)


Résultats de la méthode de Mack :

Pour obtenir ces résultats, un simple fichier Excel a été utilisé en décomposant étape par

étape la formule :

𝑀𝑆𝐸𝑃(𝑅) = ∑ [𝑀𝑆𝐸𝑃 (𝑅𝑖) + 𝐶𝑖,𝑛 (∑ 𝐶𝑗,𝑛𝑛𝑗=𝑖+1 )∑

2𝜎𝑘²

��𝑘²

∑ 𝐶𝑚,𝑘 𝑛−𝑘−1𝑚=0

𝑛−1𝑘=𝑛−𝑖 ]𝑛

𝑖=1

établie par Thomas Mack. Les calculs, bien que comprenant de nombreux résultats

intermédiaires, donnent, même sur un historique important de 17 années, des résultats

immédiats, ce qui témoignent encore une fois de la simplicité de la mise en œuvre et de

l’exécution du modèle.

Classiquement, on utilise le COV, pour « Coefficient de Variation », défini comme le rapport

entre l’erreur standard et le Best Estimate des provisions.

Dans le cas de notre premier exemple sur la branche Dommage, Affaires directes, on obtient

un COV de 23%.

f) Intervalles de confiance

Le modèle de Mack permet également de déterminer des intervalles de confiance pour

les provisions de sinistres estimées. En effet, le théorème central limite, en s’appuyant sur un

historique de données conséquent nous donne le résultat suivant.

Si l’on considère comme c’est le cas classiquement que la distribution des réserves obéit à

une loi log-normale de paramètres (μ – l’espérance, σ² - la variance) alors on a :

μ = ln [ E(��) ] - 𝜎2

2 et 𝜎2 = ln (1 + (

𝑆𝑒(��)

𝐸(��))² )

avec 𝐸(��), le Best Estimate de la réserve donnée par la méthode Chain Ladder et la volatilité de

la réserve 𝑆𝑒(��) donnée par le modèle de Mack.

Fig. 65 : Loi log-normale, densité de probabilité et fonction de répartition, avec μ =0


L’intervalle de confiance à IC95% par exemple, est alors donné par :

IC95% = [ exp(μ – 2 σ), exp(μ + 2 σ)] = [E(��) exp (- 𝜎2

2 - 2 σ ), E(��) exp (-

𝜎2

2 + 2 σ ) ]


3.3) Modèle de Schnieper

a) Erreurs de prédiction

En 2009, dans leur article, Predictive Distributions for Reserves which Separate True

IBNR and IBNER Claims, Huijuan Liu et Richard Verrall ont repris et développé le travail de

Schnieper publié en 1991 pour expliciter une formule permettant de calculer les erreurs de

prédiction sur les estimations des réserves totales de sinistres établies avec la méthode de

Schnieper.

On introduit les nouveaux paramètres suivants :

𝜎𝑗² =1

𝑛 − 𝑗 ∑

1

𝐸𝑖

𝑛+1−𝑗

𝑖=1

(𝑁𝑖,𝑗 − 𝜆��𝐸𝑖)2, 𝑝𝑜𝑢𝑟 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1

𝜏𝑗² =1

𝑛 − 𝑗 ∑

1

𝑋𝑖

𝑛+1−𝑗

𝑖=1

(𝐷𝑖,𝑗 − 𝛿��𝑋𝑖,𝑗−1)2, 𝑝𝑜𝑢𝑟 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1

On a alors :

𝑉𝑎𝑟 (𝜆��) =𝜎²𝑗

∑ 𝐸𝑖𝑛+1−𝑗𝑖=1

, 𝑝𝑜𝑢𝑟 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

𝑉𝑎𝑟 (𝛿��) =𝜏²𝑗

∑ 𝑋𝑖,𝑗−1𝑛+1−𝑗𝑖=1

, 𝑝𝑜𝑢𝑟 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

En combinant les sous-résultats suivants :

𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑘+𝑡|𝑋𝑖,𝑘] = (1 − 𝛿𝑛)²𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑘+𝑡−1 |𝑋𝑖,𝑘] + 𝜏 𝑛+𝑡2 𝐸 [𝑋𝑖,𝑘+𝑡−1|𝑋𝑖,𝑘] + 𝐸𝑖 𝜎 𝑘+𝑡

2

𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑘+𝑡] =

𝑋𝑖,𝑘+𝑡−12 𝑉𝑎𝑟 [𝛿𝑘+��] + (1 − 𝛿 𝑘+𝑡

2 )𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑘+𝑡−1 ]+ 𝑉𝑎𝑟 [𝛿𝑘+��]𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑘+𝑡−1 ]+

𝐸𝑖 2𝑉𝑎𝑟 [𝜆𝑘+��]

𝐶𝑜𝑣 [𝑋𝑡𝑗, 𝑋𝑠𝑗] = 𝑉𝑎𝑟 [𝛿��](𝐶𝑜𝑣[𝑋𝑡,𝑗−1 ,𝑋𝑠,𝑗−1 ])+ 𝑋𝑡,𝑗−1𝑋𝑠,𝑗−1 +

(𝐸[(1 − 𝛿��)])2𝐶𝑜𝑣[𝑋𝑡,𝑗−1, 𝑋𝑠,𝑗−1 ]+𝐸𝑡𝐸𝑠𝑉𝑎𝑟 [𝜆��]


et la formule :

𝑀𝐸𝑆𝑃(��) ≈ 𝑉𝑎𝑟 (𝑅|𝐻𝑛) + 𝑉𝑎𝑟(��|𝐻𝑛)

= 𝑉𝑎𝑟 (∑ 𝑋𝑖,𝑛𝑛𝑖=1 |𝑋𝑖,𝑘) + 𝑉𝑎𝑟(∑ 𝑋𝑖,��

𝑛𝑖=1 )

= ∑ 𝑉𝑎𝑟 (𝑋𝑖,𝑘|𝑋𝑖,𝑘)𝑛𝑖=1 + ∑ 𝑉𝑎𝑟 (𝑋𝑖,��)

𝑛𝑖=1 + 2∑ ∑ 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡,��, 𝑋𝑠,��)

𝑛𝑠=𝑡

𝑛−1𝑡=1

on aboutit à la formule :

𝑀𝐸𝑆𝑃 (��) = ∑{ (1 − 𝛿𝑛)²𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑛−1 |𝑋𝑖,𝑘] + 𝜏 𝑛2 𝐸 [𝑋𝑖,𝑛−1|𝑋𝑖,𝑘] + 𝐸𝑖 𝜎 𝑛

2

𝑛

𝑖=1

}

+ ∑{ 𝑋𝑖,𝑛−12 𝑉𝑎𝑟 [𝛿��] + (1 − 𝛿 𝑛

2 )𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑛−1] + 𝑉𝑎𝑟 [𝛿��]𝑉𝑎𝑟 [𝑋𝑖,𝑛−1] + 𝐸𝑖 2𝑉𝑎𝑟 [𝜆��]

𝑛

𝑖=1

}

+2 ∑ ∑ {𝑉𝑎𝑟 [𝛿��][𝐶𝑜𝑣[𝑋𝑡,𝑛−1, 𝑋𝑠,𝑛−1 |𝑋𝑡,𝑛−𝑡+1, 𝑋𝑠,𝑛−𝑠+1] + (𝑋𝑡,𝑛−1𝑋𝑠,𝑛−1)]

𝑛

𝑠=𝑡+1

𝑛−1

𝑡=1

+ (𝐸[(1 − 𝛿��)])2𝐶𝑜𝑣[𝑋𝑡,𝑛−1, 𝑋𝑠,𝑛−1 ]+𝐸𝑡𝐸𝑠𝑉𝑎𝑟 [𝜆��]]}

L’expression globale est assez longue et complexe et s’étend sur plusieurs lignes.

Cependant, en utilisant un fichier Excel et en procédant étape par étape, il est possible de

calculer l’erreur souhaitée relativement rapidement.

b) Exemple

Dans le cas de notre premier exemple sur la branche Dommages, Affaires directes, on

obtient un de 32%.


Le tableau suivant présente la comparaison des écarts-types obtenus pour sept branches

d’activité avec les méthodes Chain Ladder et de Schnieper.

Fig. 66 : Comparaison des volatilités des méthodes Chain Ladder et de Schnieper

Le constat immédiat fait à partir de ce tableau est que pour certaines branches (les affaires

acceptées), la volatilité de la méthode de Schnieper est bien supérieure à celle de Chain Ladder ;

pour le reste, elles sont comparables. On retrouve, comme remarqué précédemment, des

volatilités proches quand le triangle des IBNyR est presque vide dans le cas du périmètre de la

Décennale.

Périmètres Branches Chain Ladder Schnieper

1 Dommages Affaires directes 9 767 718 9 029 052

2 Dommages Affaires acceptées 7 755 750 11 999 060

3 Construction Affaires directes 8 510 080 9 597 587

4 Construction Affaires acceptées 8 549 569 47 929 741

5 Automobile Affaires directes 8 716 624 7 782 700

6 RC Construction Affaire directes 4 194 140 5 555 848

7 Décennale Affaires directes 4 921 106 4 970 814


4) Problématique d’additivité des triangles

4.1) Estimation du SCR de réserves

a) Risque de réserve

Le pilier I de la réforme réglementaire européenne Solvabilité II a pour objectif de définir

des normes quantitatives de calcul des provisions techniques et des fonds propres. Au sein de

ces niveaux réglementaires, le SCR, Solvency Capital Requirement, représente le capital cible

nécessaire pour absorber le choc provoqué par un risque majeur.

Ce SCR est calculé par agrégation de plusieurs « briques » correspondant à l’activité de

chaque compagnie d’assurance (SCR de marché, SCR opérationnel…).

Parmi celles-ci, est calculé annuellement chez AXA Corporates Solutions, le SCR de

réserve.

Dans le cadre du calcul de capital économique AXA CS modélise la volatilité des

réserves autour de provisions justes ou Best Estimate. Ces provisions doivent être suffisantes

pour faire face aux engagements contractés par AXA CS, en moyenne. Le Best Estimate est

enregistré au bilan économique Solvabilité II.

Le risque de réserve représente la déviation des réserves Best Estimate, clôturées au

bilan Solvabilité II entre l’année n et l’année n+1. L’horizon est donc un an.

Le modèle définit une distribution de probabilité de cette déviation, ainsi que le quantile à

99.5% de cette distribution, qui représente le scénario de déviation impactant les réserves avec

une probabilité de survenance de 1 sur 200. En l’absence d’autres risques, ce montant de

déviation correspond au capital à immobiliser dans le cadre de Solvabilité II.

Pour le calcul du SCR de réserves chez AXA CS, afin d’estimer la volatilité des réserves

à un an, la méthode principalement utilisée pour une majorité de branches d’activité est celle de

Merz et Wüthrich. Cette méthode utilise entre autres comme base des triangles de

développement de charges sinistres avec la méthode Chain Ladder.

b) Méthode de Merz et Wüthrich

Merz et Wüthrich ont explicité leur modèle en 2008, en se basant notamment sur les travaux de

Thomas Mack.


Modèle :

Le montant cumulé ultime de sinistres est donné par 𝐶𝑖,𝑛, 𝑖 ∈ {1,… , 𝑛}.

On définit l’ensemble des données disponibles pour une année de survenance n par :

𝐷𝑛 = {Ci,j; i + j ≤ n + 1, i ≤ n}

Ainsi que l’ensemble des données disponibles pour l’année de survenance suivante, n+1 par :

𝐷𝑛+1 = {Ci,j; i + j ≤ n + 2, i ≤ n} =𝐷𝑛 ∪ {Ci,n−i+2; i + j ≤ n + 2, i ≤ n}

Pour l’année n, les facteurs de développement 𝑓𝑗 sont estimés par :

𝑓𝑗�� =

∑ 𝐶𝑖,𝑗+1 𝑛−𝑗𝑖=1

𝑆𝑗𝑛 avec 𝑆𝑗

𝑛 = ∑ 𝐶𝑖,𝑗𝑛−𝑗𝑖=1

À l’année n+1, les facteurs de développement 𝑓𝑗 sont estimés par :

𝑓𝑗𝑛+1 =

∑ 𝐶𝑖,𝑗+1 𝑛−𝑗+1𝑖=1

𝑆𝑗𝑛+1 avec 𝑆𝑗

𝑛+1 = ∑ 𝐶𝑖,𝑗𝑛−𝑗+1𝑖=1

Les estimateurs des montants cumulés de sinistres sont alors :

{

𝐶𝑖,j

𝑛 = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1 ∏ 𝑓𝑘��

𝑛−1

𝑘=𝑛−𝑖+1

𝐶𝑖,j𝑛+1 = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+2 ∏ 𝑓𝑘

𝑛+1

𝑛−1

𝑘=𝑛−𝑖+2

Mesure de la volatilité de l’estimation :

On définit le CDR (Claims Development Result) par la différence entre :

l’estimation de la charge ultime à l’année n

la ré-estimation de la charge ultime faite l’année suivante (n+1)

Le but du calcul du risque de réserve est d’estimer la volatilité de ce CDR.


En réalité, il y a deux types de CDR : le « réel » et l’ « observable ». Le vrai CDR n’est

pas observable à la fin de l’année n car les véritables facteurs de Chain Ladder sont inconnus. Le

CDR qui est basé sur une estimation des sinistres ultimes attendus par la méthode de Chain

Ladder est appelé « CDR observable ». Il représente la position observée à l’année n+1.

Les deux CDR sont définis de la manière suivante :

1) CDR réel

Pour 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛},

𝐶𝐷𝑅𝑖 (n + 1) = E[Ci,n |𝐷𝑛] − 𝐸[𝐶𝑖,𝑛|𝐷𝑛+1]

= E[Rin |𝐷𝑛] − [𝑋𝑖,𝑛−𝑖+1 + 𝐸[𝑅

𝑛+1𝑖|𝐷𝑛+1]]

Avec : 𝑋𝑖,𝑛−𝑖+1 = Ci,n−i+1 − Ci,n−i

𝑅𝑖𝑛 = Ci,n − Ci,n−i

et 𝑅𝑖𝑛+1 = Ci,n − Ci,n−i+1

2) CDR observable

Pour 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛},

𝐶𝐷𝑅�� (n + 1) = Ci,nn − Ci,n

n+1

= RiDn − (𝑋𝑖,𝑛−𝑖+1 + 𝑅𝑖

𝐷𝑛+1)

Avec :

𝑅𝑖𝐷�� = Ci,n

n − Ci,n−i

𝑅𝑖𝐷𝑛+1 = Ci,n

n+1 − Ci,n−i+1

Le CDR réel est donc approximé par le CDR observable.


Volatilité à un an : Mean Square Error of Prediction (MESP)

Deux quantités sont estimées pour chaque année de survenance :

𝑚𝑠𝑒𝑝𝐶𝐷𝑅��(𝑛+1)|𝐷𝑛(0) = 𝐸 [ (𝐶𝐷𝑅𝑖(𝑛 + 1) − 0)2|𝐷𝑛]

𝑚𝑠𝑒𝑝𝐶𝐷𝑅��(𝑛+1)|𝐷𝑛(𝐶𝐷𝑅𝑖(𝑛 + 1)) = 𝐸 [ (𝐶𝐷𝑅𝑖(𝑛 + 1) − 𝐶𝐷𝑅𝑖(𝑛 + 1))2|𝐷𝑛]

La première MSEP conditionnelle donne un point de vue prospectif de solvabilité. Elle

quantifie l’incertitude de prédiction pour le CDR à la fin de l’année comptable.

La seconde MSEP conditionnelle offre un point de vue rétrospectif. Elle analyse la

distance entre le CDR réel et le CDR observable.

Merz et Wüthrich ont donné des estimateurs pour ces deux quantités.

On définit d’abord :

∆𝑖,𝑛�� =

𝜎𝑛−𝑖2

(𝑓𝑛−𝑖𝑛)²

𝑆𝑛−𝑖𝑛 + ∑ (

𝐶𝑛−𝑗,𝑗

𝑆𝑗𝑛+1 )

𝑛−1𝑗=𝑛−𝑖+1

2

∗

𝜎𝑗2

(𝑓𝑗 ��)²

𝑆 𝑗𝑛

𝛷𝑖,𝑛�� = ∑ (


𝑆𝑗𝑛+1 )

𝑛−1𝑗=𝑛−𝑖+1

2

∗

𝜎𝑗2

(𝑓𝑗 ��)²


𝛹𝑖�� =

𝜎𝑛−𝑖2

(𝑓𝑛−𝑖 𝑛)²

𝐶𝑖,𝑛−𝑖

𝛤𝑖,𝑛�� = 𝛷𝑖,𝑛

�� +𝛹𝑖��

Alors les estimateurs définis par Merz et Wüthrich sont :

𝑚𝑠𝑒𝑝𝐶𝐷𝑅��(𝑛+1)|𝐷𝑛(0) = (Ci,nn ) ² (𝛤𝑖,𝑛

�� + ∆𝑖,𝑛�� )

𝑚𝑠𝑒𝑝𝐶𝐷𝑅��(𝑛+1)|𝐷𝑛(𝐶𝐷𝑅𝑖(𝑛 + 1)) = (Ci,nn ) ² (𝛷𝑖,𝑛

�� + ∆𝑖,𝑛�� )


On en déduit ensuite la formule suivante pour calculer la MSEP du risque à un an :

𝑚𝑠𝑒𝑝𝐶𝐷𝑅��(𝑛+1)|𝐷𝑛(0) = (Ci,nn ) ² (

𝜎𝑛−𝑖+12

(𝑓𝑛−𝑖+1 𝑛 )2

𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1+

𝜎𝑛−𝑖+12

(𝑓𝑛−𝑖+1𝑛 )2

𝑆𝑛−𝑖+1𝑛 + ∑ (

𝐶𝑛−𝑗+1,𝑗

𝑆𝑗𝑛+1

)

𝑛−1

𝑗=𝑛−𝑖+2

2

∗

𝜎𝑗2

(𝑓𝑗 ��)2

𝑆𝑗 𝑛 )

c) Additivité des triangles

Dans le but de justifier la cohérence du modèle utilisé pour le SCR de réserves, on

calcule le rapport entre les réserves (réserves dossier/dossier + réserves IBNR) calculées au

niveau monde par branche, et l’ensemble des réserves calculés par chaque entité, à la maille la

plus fine.

Les résultats pour 2014 et 2015 sont les suivants :

Fig. 67 : Rapport des montants de réserves globaux et individuels par branche d’activité

On constate que les résultats sont assez loin de 100%, pour certaines branches. Cela

pose donc un problème vis-à-vis de la justification de la pertinence du modèle recherchée

puisqu’on a un écart très net entre les réserves calculées lors des arrêtés comptables dont on

veut estimer la volatilité et celles dont le montant est utilisé pour le calcul du risque de réserve.

Afin d’expliquer d’où venaient ces écarts, plusieurs hypothèses explicatives ont été

considérées : des différences de profondeur d’historique, des paramètres tels que les taux de

change utilisés pour les triangles mais surtout la différence au niveau de la granularité des

triangles pris en compte pour les estimations. Cette dernière hypothèse a été étudiée en détail et

explique une importante partie des écarts.

Construction 108% 93%

Dommage 58% 63%

Responsabilité Civile Construction 59% 65%

Automobile 64% 64%

% Best Estimate

Branche d'activité 2014 2015


Compte tenu de la complexité du processus pour l’estimation du SCR de réserve, des

branches et des différentes entités de la compagnie, les calculs sont faits au niveau global

monde (toutes entités), pour chacune de la dizaine des branches. Cependant, le calcul des

provisions de sinistres, lors des arrêtés comptables trimestriels sont faits à une maille beaucoup

plus fine.

En effet, chaque entité réalise ses propres estimations en subdivisant par ailleurs les

lignes d’activité en sous-branches. De plus, lors des arrêtés trimestriels, les estimations des

réserves sont faites en séparant les sinistres graves des sinistres attritionnels.

4.2) Critères d’additivité des triangles

Dans son article de 1994, Additivity of Chain Ladder projections, Björn Ajne a précisé

quelles étaient les règles d’additivité pour un portefeuille regroupant plusieurs sous-portefeuilles.

Elles sont les suivantes : les conditions nécessaires et suffisantes d’additivité des

projections obtenues par la méthode Chain Ladder pour un portefeuille A, composé des sous-

portefeuilles B et C, tels que pour toute année de survenance i, on ait :

𝐴𝑖 = 𝐵𝑖 + 𝐶𝑖

sont que pour tout i, une des conditions au moins suivantes soit vérifiée :

1

(𝜆𝑛−𝑗+1𝐵 ∗…∗𝜆𝑛

𝐵 )=

1

(𝜆𝑛−𝑗+1𝐶 ∗…∗𝜆𝑛

𝐶 ), pour tout j, 𝜆𝑖

𝐾étant le coefficient de

développement de Chain Ladder de l’année j, du triangle K.

𝐵𝑖,𝑛

𝐵1,𝑛+⋯+𝐵𝑖−1,𝑛 =

𝐶𝑖,𝑛

𝐶1,𝑛+⋯+𝐶𝑖−1,𝑛 , pour tout i.

Ces conditions peuvent également s’énoncer plus simplement :

- Le première est équivalente à :

𝜆𝑖𝐵 = 𝜆𝑖

𝐶, pour tout i.

- Le seconde est équivalente à :

𝐵𝑖,𝑛

𝐶𝑖,𝑛 =

𝐵1,𝑛+⋯+ 𝐵𝑖−1,𝑛

𝐶1,𝑛+⋯+ 𝐶𝑖−1,𝑛 , pour tout i.


On constate que ces conditions sont des conditions très fortes et limitatives et qui

entraînent par conséquent le fait que des sous-portefeuilles comportant des sinistres ayant des

comportements très différents (au niveau de leurs montants moyens, mais aussi de leur cadence)

ne peuvent vérifier les conditions d’additivité énoncées ci-dessus.

C’est notamment le cas dans les portefeuilles d’AXA Corporate Solutions puisqu’ils sont

pour la plupart des regroupements de sous-portefeuilles dont les cadences de paiement et leurs

règles de gestion diffèrent (différence entre les activités directes ou acceptées par exemple).

4.3) Tests d’additivité sur les différentes méthodes présentées

Sans chercher à déterminer des critères d’additivité des triangles comme a pu le faire Björn

Ajne pour la méthode Chain Ladder, nous avons tout de même procédé à des tests sur les

différentes méthodes présentées afin de voir si elles donnaient de meilleurs résultats dans le cas

des branches présentes chez AXA Corporate Solutions.

L’étude a porté sur cinq branches en utilisant les données des filiales France, Royaume-Uni

et Allemagne (qui représentent près de 90% du chiffre d’affaires d’AXA CS). La comparaison se

faisant uniquement sur les sinistres attritionnels alors que les chiffres du tableau précédent

incluaient également les sinistres graves.

Fig. 68 : Synthèse des résultats des tests d’additivité des triangles par branche d’activité et par méthode

On constate, au vu de ces résultats, qu’aucune des trois méthodes testées ne semble donner

de résultats significativement meilleurs ou moins bons que les deux autres.


5% 5% 2%

-4% 4% 3%

-10% -8% -15%

26% 66% 30%

1% 1% -8%

Dommages Affaires directes

Dommages Affaires acceptées

Construction Affaires directes

Construction Affaires acceptées

RC Construction Affaires directes


5) Granularité des calculs

La question de la maille à laquelle sont effectués les calculs présente plusieurs enjeux.

En effet :

- Il s’agit dans un premier temps de regrouper des données cohérentes qui vérifieront tout

ou partie des hypothèses nécessaires à l’application des méthodes d’estimations

choisies,

- Une granularité très fine peut permettre de garantir cette cohérence des données, en

segmentant les périmètres qui semblent incompatibles. Cependant, ce découpage peut

rapidement aboutir à des triangles agrégés avec une faible matérialité et une volatilité

importante ; sachant par ailleurs que les systèmes de gestion ne permettent pas toujours

de fournir une segmentation fine.

- De plus, une granularité fine entraîne mécaniquement un nombre de calculs important,

qui dans une cadre opérationnel où le temps est limité (lors des arrêtés trimestriels

comptables, par exemple) pose rapidement un problème. Sans compter que cette

multiplicité des calculs engendre aussi un nombre de ressources et de contrôles plus

conséquent.

- Et de manière générale, pour chaque choix de granularité se pose la question de la

pertinence de l’exactitude du Best Estimate des résultats vis-à-vis de la charge de travail

supplémentaire induite par une granularité plus fine.

Pour étudier cette question, dans le cadre qui nous intéresse, nous avons comparé pour les

branches Dommages et Construction Tous Risques Chantier, deux sous-branches principales qui

sont traitées séparément pour 3 filiales, les affaires directes et les affaires acceptées, en

appliquant les diverses méthodes pour les sous-branches, chacune séparément et en les

regroupant.

Les tableaux suivants regroupent les résultats :

Fig. 69 : Synthèse des résultats des tests de granularité pour la branche Dommages

Individuel Somme Individuel Somme Individuel Somme

Dommages Directes 23 939 - 26 681 - 26 088 -

Dommages Acceptées 17 881 - 22 327 - 26 260 -


Dommages Acceptées 12 536 9 490 12 702


Dommages Acceptées 1 023 - 1 278 - 609

Réserves IBNR

Royaume-Uni 3 986 - 4 766 - 3 041 -

France 39 728 - 45 732 - 44 580 -

Allemagne 8 106 6 954 3 562



Fig. 70 : Synthèse des résultats des tests de granularité pour la branche Construction Tous Risques Chantier

Ci-dessous sont résumés les écarts relatifs constatés pour chacune des branches pour

chaque méthode, entre les colonnes « somme » et « individuel ».

Fig. 71 : Synthèse des écarts relatifs des tests de granularité

On constate, en ce qui concerne les différences entre méthodes, que la méthode de

Schnieper, plus que les deux autres, a tendance à donner des résultats les plus différents quand

les calculs sont effectués en regroupant les périmètres par rapport aux calculs individuels. Le

tableau ci-dessous présente les coefficients de développement pour chacun des triangles

considérés plus haut.

Fig. 72 : Coefficients de développement des triangles individuels et totaux

Individuel Somme Individuel Somme Individuel Somme

Construction Directes 11 617 6 279 7 877

Construction Acceptées 9 711 5 103 1 117

Construction Directes 573 - 3 745 - 4 100 -

Construction Acceptées 19 271 11 468 9 687

Construction Directes 1 023 - 1 278 - 609

Construction Acceptées 824 - 17 258 - 847 -

Réserves IBNR


France 22 788 11 997 13 531

Allemagne 9 817 4 271 2 693

Royaume-Uni 1 203 - 1 662 - 1 303 -

France Dommages

Chain Ladder Bornhuetter - Ferguson Schnieper Chain Ladder Bornhuetter - Ferguson Schnieper

Construction Tous Risques Chantier

France

Allemagne

Royaume-Uni

Dommages

91% -447%35%

15%

53%

-10%

5%

14%

21%

7%

-14%

18%

-7% -5% -50%

47% 45% 52%

Directes Acceptées Total Directes Acceptées Total Directes Acceptées Total Directes Acceptées Total Directes Acceptées Total Directes Acceptées Total

1 1,22 1,47 1,30 1,09 1,51 1,23 1,40 1,23 1,39 1,62 2,58 1,81 1,70 2,23 1,79 1,53 1,63 1,53

2 0,94 0,92 0,93 0,98 1,05 1,01 1,04 0,82 1,03 1,08 1,28 1,13 1,02 1,23 1,06 1,10 1,01 1,10

3 0,96 0,96 0,96 0,96 1,01 0,98 1,03 0,91 1,02 1,08 1,00 1,06 1,00 1,16 1,03 0,92 0,64 0,91

4 0,99 0,97 0,98 0,98 0,97 0,98 0,96 1,04 0,96 1,08 0,93 1,06 0,99 1,05 1,00 0,93 0,06 0,93

5 0,98 0,96 0,98 0,99 0,99 0,99 0,98 0,99 0,98 0,97 0,88 0,96 0,97 1,09 0,99 0,95 1,00 0,95

6 0,99 0,99 0,99 0,99 1,04 1,01 0,97 1,00 0,97 0,98 1,00 0,98 0,98 1,10 0,99 0,97 - 0,97

7 0,99 0,97 0,99 1,00 1,04 1,01 0,96 1,00 0,96 1,03 1,05 1,03 0,98 1,10 1,00 1,11 - 1,11

8 0,99 0,99 0,99 1,00 1,09 1,03 0,99 1,00 0,99 0,98 1,10 0,98 0,99 1,05 1,00 0,99 - 0,99

9 0,99 1,00 0,99 1,00 1,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,04 - 1,04

10 1,00 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 1,00 0,99 1,00 0,98 1,00 0,97 - 0,97

11 1,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 - 1,00 0,99 1,00 0,99 1,00 0,98 1,00 0,92 - 0,92

12 0,97 0,99 0,98 1,00 1,00 1,00 1,00 - 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,94 0,99 1,00 - 1,00

France Allemagne Royaume-Uni

Dommages Construction Tous Risques Chantier

France Allemagne Royaume-Uni

Coefficients de développement


On remarque que lorsque la chronique des coefficients de développement diffère

nettement entre les triangles des affaires directes et acceptées (comme c’est le cas au Royaume-

Uni en Construction), les écarts des Best Estimate des différentes mailles de calcul sont les

importants. Cependant, comme constaté précédemment, les résultats peuvent varier de manière

significative, d’une méthode à l’autre et donc les coefficients de développement ne suffisent pas

seuls, à expliquer les écarts entre les résultats obtenus en segmentant les périmètres et en les

regroupant.

Fig. 73 : Chronique des coefficients de développent

Cependant, lorsque des sous-périmètres ne présentent pas une matérialité suffisante et

que la plupart des hypothèses des méthodes d’estimation ne sont pas vérifiées, et bien que

présentant des chroniques de coefficients de passage très volatiles et différentes, il est possible

de regrouper ces périmètres pour avoir une estimation globale car peu d’alternatives se

présentent alors.

La question délicate portera plutôt sur la règle de subdivision des réserves IBNR une fois

les calculs effectués au global, et donc sur la clé de répartition la plus pertinente à utiliser en

fonction de la qualité des données dont on dispose. Classiquement, on pourra prendre la charge

de sinistres ou bien les primes acquises.

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

France Dommages

Directes Acceptées Total

0,90

1,10

1,30

1,50

1,70

1,90

2,10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Allemagne Construction Tous Risques Chantier


-

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Royaume-Uni Construction Tous Risques Chantier



6) Robustesse des méthodes face à des changements de sinistralité

importants

Un autre critère qui nous est apparu important pour la sélection d’une méthode de

provisionnement est sa capacité à absorber en quelque sorte des changements majeurs de

sinistralité. En effet, les méthodes que nous avons présentées supposent entre autres, une

certaine stabilité des coefficients de développement. Mais il arrive qu’un événement vienne

perturber l’allure générale d’un triangle de charge.

Nous avons sélectionné deux cas de figure s’appuyant sur des cas réels assez fréquents.

Le premier cas de figure est lié à un changement dans la gestion des sinistres : des sinistres

en retard qui s’accumulaient qui seraient traités subitement pendant une campagne de

« nettoyage », ou des modifications dans la politique d’acceptation des sinistres, peuvent

conduire à une forte augmentation (ou une forte baisse) des coefficients de passage sur une

diagonale du triangle de charge.

Un second cas de figure est un changement significatif sur une ou deux années de

survenance de la sinistralité, se traduisant par un écart important sur les coefficients de passage

des colonnes correspondantes dans le triangle de charge. Ces situations peuvent se produire

dans le cas d’un changement de la législation ayant un impact sur les sinistres à prendre en

compte ou plus simplement sur un changement exceptionnel de la sinistralité sans explication

particulièrement visible.

Pour simuler ces deux cas, nous sommes partis du triangle des coefficients de passage réels

du premier périmètre étudié et nous avons modifié dans un premier temps une diagonale de ce

triangle en augmentant sensiblement les coefficients par rapport aux autres. Dans un second

temps, nous avons fait de même, mais sur deux années de survenance, pendant trois années de

développement.

La figure ci-dessous illustre ces cas simulés en indiquant en rouge les coefficients de

passage choqués.

Fig. 74 : Chocs sur les coefficients de passage

Nous avons également exhibé les tests de validation de la première hypothèse de Chain

Ladder et nous constatons que les chocs simulés font, que de manière très nette, cette

hypothèse n’est vérifiée dans aucun des deux cas étudiés comme l’attestent les figures

suivantes.

Années de survenance Années de survenance

An

née

s d

e d

ével

op

pem

ent

An

née

s d

e d

ével

op

pem

ent


Fig. 75 : Validation de l’hypothèse 1 de Chain Ladder : choc sur la diagonale

Fig. 76 : Validation de l’hypothèse 1 de Chain Ladder : choc sur deux années de survenance



y = 1,183xR² = -0,446

0

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000

(Ci1 - Ci2)

y = 1,0265xR² = 0,6447

0

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

80 000

0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000

(Ci2 - Ci3)

y = 0,9904xR² = 0,8006

0

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000

(Ci3 - Ci4)

y = 0,981xR² = 0,9965

0

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

30 000

35 000

40 000

45 000

0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000

(Ci4 - Ci5)



y = 1,2101xR² = -0,57

0

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000

(Ci1 - Ci2)

y = 1,2034xR² = 0,5345

0

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

80 000

90 000

100 000

0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000

(Ci2 - Ci3)

y = 1,272xR² = 0,8341

0

20 000

40 000

60 000

80 000

100 000

120 000

140 000

160 000

0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000

(Ci3 - Ci4)

y = 0,981xR² = 0,9965

0

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

30 000

35 000

40 000

45 000

0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000

(Ci4 - Ci5)


Pour la méthode de Schnieper, afin que le test ait un réel intérêt par rapport à la méthode

de Chain Ladder, le triangle N a été créé en prenant comme base le triangle d’IBNyR le plus

« matériel » des sept périmètres principaux étudiés (rapport pour chaque année de

développement des lignes du triangle N sur les lignes du triangle C). Si bien que les premières

lignes du triangle N utilisé représentent 100% (respectivement 30%, 7% et 1%) de la première

(respectivement deuxième, troisième et quatrième ligne) du triangle de charge C. Le triangle D

est déduit par différence.

Un back-testing en utilisant la méthode de Denuit-Charpentier a alors été effectué sur les

triangles comme au paragraphe III 2). Les résultats par méthode sont présentés par les tableaux

et courbes normés suivants.

Fig. 77 : Résultats normés des tests de Denuit-Charpentier sur les chocs de sinistralité simulés : SSE

Fig. 78 : Résultats des tests de Denuit-Charpentier sur les chocs de sinistralité simulés.

On constate que les méthodes de Chain Ladder et de Schnieper « résistent » quasiment

aussi bien aux chocs alors que la méthode de Bornhuetter – Ferguson semble donner de moins

bons résultats.

Chain Ladder Bornhuetter-Ferguson Schnieper

Choc sur la diagonale 100 147 99

Choc sur 2 années de survenance 100 154 102

SSE

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Chain Ladder BF Schnieper

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Chain Ladder BF Schnieper


Conclusion

Le calcul des provisions de sinistres est un exercice délicat et complexe. Comme on l’a

vu dans la première partie, son importance est primordiale pour tout assureur, pour pouvoir

respecter ses engagements vis-à-vis des assurés, des actionnaires et des autorités de contrôle.

Dans la seconde partie, nous avons présenté quatre méthodes de provisionnement, en

partant de la plus classique et sûrement une des plus simples, puis en tentant d’en exposer des

variantes possibles en cherchant à les complexifier, à introduire plus de paramètres, en

agrégeant moins les données et en donnant plus de latitudes dans le cadre de son application.

Cependant, il convient de veiller également à ne pas multiplier les méthodes ou les choix

possibles en s’éparpillant et en perdant de vue l’objectif initial de déterminer le Best Estimate des

réserves recherché. Il faut pouvoir apprécier l’utilisation d’une méthode plutôt qu’une autre et être

en mesure de justifier chaque choix effectué.

Nous avons étudié la méthode de Schnieper qui est une méthode peu utilisée dans le

monde professionnel, en la comparant avec les deux méthodes très classiques largement

adoptées : Chain Ladder et Bornhuetter-Ferguson. Il est apparu que la méthode de Schnieper

pouvait donner de bons résultats dans certains cas de figures intéressants de la sinistralité

attritionnelle tout en remarquant que les résultats donnés pouvaient « tendre » vers ceux fournis

par la méthode Chain Ladder quand le triangle des IBNyR était peu fourni.

Le découpage IBNeR/IBNyR nous est apparu comme une idée pertinente pour essayer

de mieux entrevoir comment se comportaient les triangles de charges cumulées. La méthode de

Denuit-Charpentier a permis de montrer que pour certains périmètres, le Best Estimate fourni par

la méthode de Schnieper passait mieux, en moyenne, le back-testing que les deux autres

méthodes.

Cependant, si cette méthode assez simple semble intéressante pour affiner les

estimations des IBNR attritionnels pour certaines périmètres, on ne peut affirmer qu’elle pourrait

remplacer la méthode Chain Ladder dans tous les cas et par ailleurs, on a vu que la volatilité à

l’ultime des réserves estimées avec la méthode de Schnieper était significativement supérieure

dans tous les cas étudiés à celle donnée par la méthode de Mack, ce qui pourrait être avoir un

impact sur le SCR.

Ainsi, l’utilisation de critères pertinents adaptés aux lignes d’activités pour pouvoir

sélectionner une méthode plutôt qu’une autre nous est apparue indispensable. Nous en avons

explicité plusieurs qui permettent d’apporter des éléments de réponse quant au choix à prendre.

On pourrait les résumer avec le graphique suivant. Le degré d’importance à accorder à chacune

des parts du diagramme dépendra bien sûr du contexte (La question de l’additivité des

périmètres se pose-t-elle ? Les chocs de sinistralité sont-ils fréquents ?) mais il nous a semblé

que la méthode de Denuit-Charpentier était appropriée dans l’ensemble des cas. Par ailleurs, la

problématique de la vérification des hypothèses nécessaires à l’application d’une méthode est

primordiale. Elle a tendance à être oubliée ou mise de côté dans des environnements

opérationnels complexes où le temps fait parfois défaut. Ces hypothèses doivent toutefois être

contrôlées afin de légitimer l’utilisation des méthodes choisies. De plus, ces hypothèses peuvent

s’avérer discriminantes pour une méthode qui serait écartée si on constatait que peu de cas de


figure permettaient de les vérifier.

Fig. 79 : Critères de sélection des méthodes de provisionnement de sinistres attritionnels

Dans le but de complexifier peu à peu les méthodes étudiées, nous nous sommes

intéressés à l’utilisation, pour les sinistres attritionnels, d’une méthode développée

spécifiquement pour les sinistres atypiques. Reprenant la séparation des IBNeR et des IBNyR

comme la méthode de Schnieper, elle semble toutefois ne pas donner de résultats aussi

satisfaisants. En revanche, elle offre des perspectives intéressantes dans l’optique de traiter,

pour certains types de portefeuilles, dans le même temps, les sinistres de fréquence et les

sinistres graves.

Une telle étude pourrait faire l’objet d’un mémoire à part entière et constituer un axe

d’amélioration certain. Enfin, s’il est à noter que les périmètres de données utilisés dans le cadre

de ce mémoire ont été choisis pour tenter de balayer un grand nombre de cas de figure, il serait

toutefois opportun d’effectuer, notamment dans la perspective d’utilisation de manière plus

systématique et opérationnelle de la méthode de Schnieper, plus de tests et de simulations, sur

des historiques de données différents et sur éventuellement d’autres types de branche d’activité.


Bibliographie

Mémoire :

- Modèle de provisionnement des sinistres graves et son allocation économique aux différentes

succursales d’AXA Corporate Solutions, Duc Hien Vu, 2015.

Publications :

- Distribution-free calculation of the standard error of Chain Ladder reserves estimates,

Thomas Mack, 1993.

- Measuring the variability of Chain Ladder Reserve Estimates, Thomas Mack, 1994.

- Predicting IBNYR events and delays, William S. Jewell, 1990.

- Separating True IBNR and IBNER claims, R. Schnieper, 1991.

- Predictive Distributions for Reserves which Separate True IBNR and IBNER Claims, Huijuan

Liu, Richard J. Verrall, 2009.

- The Actuary and the IBNR, Ronald L. Bornhuetter, Ronald E. Ferguson, 1972.

- Additivity of Chain Ladder projections, Björn Ajne, 1994.

- A Robustification of the Chain Ladder Method, Tim Verdonck, Martine Van Wouwe, Jan

Dhaene, 2009.

- Les réserves techniques des sociétés d'assurances contre les accidents automobiles, E.

Astesan, 1938.

- Nearest-Neighbour Methods for Reserving with respect to Individual Losses, Jens M. Dittmer

2006.

- Incremental Claim Development, Bas Lodder, 2015.

- Uncertainty of the Claims Development Result in the Chain Ladder Method, Mario V.

Wüthrich, Michael Merz, Natalya Lysenko, 2007.

- Mesurer le risqué lors du calcul des provisions de sinistres à payer, Arthur Charpentier,

Laurent Devineau, Jean-Marie Nessi, 2010.

- Stochastic claims reserving in general insurance, Richard J. Verrall, Peter D. England 2002

- A Stochastic Model Underlying the Chain Ladder Technique, Richard J. Verrall, A.E.


Renshaw, 1998.

- Modelling Small and Large Claims in a Chain Ladder Framework, Daniel H. Alai, Mario V.

Wüthrich, 2009.

Ouvrages :

- Stochastic Claims Reserving Methods in Insurance, Mario V. Wüthrich, Michael Merz, 2008.

- Mathématiques de l’assurance non-vie, Michel Denuit et Arthur Charpentier, 2005.

Revue :

- L’actuariel #21, juin 2016.


Lexique

- TRC : Tous Risques Chantier

- TRME : Tous Risques Montage Essai

- CAR : Construction All Risks

- EAR : Erection All Risks

- IARD : Incendie, Accidents et Risques Divers

- P&C : Property and Casualty

- IBNR : Incurred But Not Reported

- IBNeR : Incurred But Not Enough Reported

- IBNyR : Incurred But Not Yet Reported

- RBNS : Reported But Not Settled

- D/D : Dossier / Dossier

- F/F : File / File

- PSAP : Provisions Pour Sinistres À Payer

- ACPR : Autorité de Contrôle Prudentiel et de Résolution

- MCR : Minimum Capital Requirement

- SCR : Solvency Capital Requirement

- CDR : Claims Development Result

- MSEP : Mean Square Error of Prediction

- COV : Coefficient Of Variation


Annexes


Annexe 1

Principaux triangles de données utilisés : toutes les données sont brutes de réassurance, en k€,

données France.

1) Branche Dommages, Affaires directes :

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 876 41 422 21 554 39 859

1999 12 901 26 515 71 129 69 089 49 074 33 617 29 672 33 195 35 991 33 930 47 629 38 770 31 629 37 721 35 322 24 961

2000 14 318 74 525 62 057 65 495 45 423 29 235 27 626 34 912 38 696 32 924 46 210 35 347 25 894 31 695 33 768

2001 60 061 70 783 54 855 61 265 43 080 28 815 24 958 31 061 37 907 32 378 44 229 33 851 26 470 30 994

2002 57 444 69 462 54 219 62 514 42 663 27 872 25 137 31 170 37 677 30 892 44 144 32 546 26 308

2003 54 510 67 899 53 996 61 969 42 093 27 947 25 147 30 638 37 210 30 425 43 502 30 550

2004 53 256 67 696 52 663 61 128 41 087 27 524 25 141 30 744 36 800 30 395 43 097

2005 54 961 67 099 51 928 60 249 40 901 28 332 24 279 30 676 35 901 29 801

2006 54 315 66 714 50 388 59 564 40 238 27 613 24 112 30 382 35 889

2007 54 407 65 561 50 163 57 724 38 769 27 273 24 471 30 144

2008 53 870 65 872 49 562 57 467 38 655 27 005 24 470

2009 53 899 65 629 48 918 55 119 39 071 26 985

2010 53 722 64 797 48 443 54 258 38 034

2011 53 554 64 770 48 375 54 308

2012 53 503 64 772 48 375

2013 53 503 63 947

2014 53 502

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 9 394 12 609 17 799 64 964 44 270 34 726 24 886 26 313 28 184 29 015 30 335 26 736 22 586 23 870 41 414 21 751 39 859

1999 774 3 761 10 669 9 231 8 066 1 775 5 048 3 755 1 808 5 364 12 635 4 343 6 214 5 493 2 219 6 797

2000 90 869 1 219 2 342 33 461 2 34 4 469 85 233 716 526 1 393 353

2001 37 265 117 313 572 1 9 6 33 376 85 550 229 158

2002 118 112 37 466 4 - - - 0 101 0 138 15

2003 8 110 74 321 68 - - - 3 1 2 1

2004 5 35 8 17 0 - - - 1 - 0

2005 444 3 9 34 - 575 - - - -

2006 1 2 - 1 - - - - -

2007 - 60 - - - - - -

2008 - 11 - - - - -

2009 - 0 - - - -

2010 - - - - -

2011 - - - -

2012 - - -

2013 - -

2014 -

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998

1999 2 733 - 10 145 - 42 661 - 5 106 3 262 2 884 262 3 126 - 6 000 - 449 4 659 - 7 691 - 2 829 - 8 353 - 8 319 3 390

2000 1 327 - 47 140 - 10 291 5 936 3 683 4 843 2 047 1 683 - 1 764 1 091 1 651 4 139 6 260 7 419 1 908

2001 45 706 - 4 007 7 319 4 543 2 916 422 2 677 3 858 821 921 2 067 2 046 347 - 860

2002 2 735 1 433 673 783 - 421 942 179 - 110 - 231 1 587 85 1 443 177

2003 2 942 1 674 297 866 639 75 - 10 - 532 469 468 644 1 998

2004 1 259 238 1 340 858 1 006 423 6 105 - 411 30 406

2005 1 261 - 600 745 912 185 233 - 862 67 899 594

2006 646 387 1 540 686 663 720 167 294 13

2007 92 - 1 213 225 1 840 1 470 340 360 - 238

2008 537 300 - 601 258 114 268 2

2009 30 - 244 645 2 347 416 - 20

2010 177 832 475 861 1 037

2011 168 27 68 50 -

2012 52 2 - 0

2013 0 - 825

2014 0

Triangle

CT

riangle

NT

riangle

D


2) Branche Dommages, Affaires acceptées :

3) Branche Construction, Affaires directes :

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 - - 155 5 453 16 042 4 686 3 195 6 580 9 237 14 365 14 511 15 069 16 585 20 893 21 232 14 487 23 671

1999 - 28 19 912 22 576 15 357 4 066 4 841 9 772 15 557 20 478 29 020 22 733 20 869 28 759 28 200 31 279

2000 1 565 38 386 21 997 21 988 16 184 4 842 5 823 10 324 4 597 - 21 142 27 264 22 966 23 024 29 757 27 387

2001 20 598 39 746 22 589 23 206 15 837 4 444 6 216 11 021 6 060 - 21 259 25 998 22 402 19 406 29 380

2002 20 607 38 036 23 415 23 747 15 725 4 391 7 295 10 765 7 118 - 20 265 24 232 22 543 18 294

2003 20 301 37 904 22 523 23 807 15 757 4 252 7 237 10 649 7 413 - 18 252 24 075 21 587

2004 20 975 87 211 22 785 22 937 16 299 4 270 7 232 10 532 7 414 - 18 163 23 332

2005 20 677 87 110 22 286 23 121 15 837 4 226 7 230 10 538 7 416 - 17 380

2006 20 777 87 006 22 216 23 187 15 737 4 208 7 229 10 088 7 275 -

2007 21 053 86 178 22 138 24 190 15 729 4 209 7 238 10 004

2008 20 768 86 158 22 159 24 177 15 729 4 190 7 101

2009 20 748 86 152 22 148 24 177 15 731 4 184

2010 20 674 85 837 22 148 24 173 15 554

2011 20 672 85 837 22 044 24 130

2012 20 672 85 837 21 645

2013 20 672 85 810

2014 20 583

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 - - 155 3 293 7 515 2 820 1 903 6 547 9 237 14 365 14 511 15 069 16 585 20 816 21 101 14 354 23 671

1999 28 2 571 8 562 13 099 2 582 531 1 162 3 552 4 252 5 587 13 912 5 371 7 120 5 916 10 006 13 261

2000 3 912 8 626 3 477 1 414 622 674 886 1 448 901 1 982 978 1 880 2 378 2 827 1 093

2001 1 282 2 195 1 477 760 166 12 92 202 56 13 125 157 120 1 953

2002 881 1 555 883 353 190 13 1 373 10 120 84 23 272 57

2003 341 279 230 41 99 31 4 - 11 30 458 147

2004 39 131 198 734 10 - 0 - - - 78

2005 26 23 20 124 - 3 - - 3 0

2006 23 0 33 - 12 - - - 9

2007 10 26 - 574 - - 9 -

2008 4 1 50 - - - -

2009 1 5 - - - -

2010 - - - - -

2011 - - - -

2012 - - -

2013 - -

2014 -

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998

1999 28 2 542 11 195 - 4 024 - 3 267 1 151 484 - 360 2 068 - 526 - 597 - 2 293 - 2 837 1 951 - 3 038 3 532 -

2000 2 347 29 732 - 1 392 2 002 205 - 102 - 95 - 896 21 055 1 318 2 735 1 647 223 1 829 1 906

2001 17 751 - 836 885 459 - 512 410 301 - 495 - 1 519 105 - 1 390 721 3 739 2 330

2002 871 3 264 58 188 - 303 66 293 266 1 179 1 078 1 790 131 1 168

2003 647 411 1 122 20 - 67 169 63 116 306 2 043 616 1 102

2004 635 - 49 176 - 64 - 1 604 532 - 18 - 5 117 2 89 821

2005 324 124 519 59 - 462 47 2 5 - 4 784

2006 76 - 104 103 66 - 112 18 1 450 132 -

2007 266 - 854 78 429 - 8 1 - 0 83

2008 289 22 29 13 - 19 137

2009 22 11 11 1 - 2 - 6

2010 75 315 - 4 177

2011 2 - 104 43

2012 - - 399

2013 - 26

2014 88

Triangle

CT

riangle

NT

riangle

D

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 608 486 223 6 758 4 326 4 098 5 073 1 799 2 193 5 053 5 255 4 324 3 148 6 398 6 008 10 015 10 795

1999 4 919 1 767 10 290 7 368 7 078 5 354 6 704 2 291 3 161 11 735 8 219 5 100 9 229 8 637 14 095 12 081

2000 4 406 15 979 10 483 7 467 7 719 5 474 6 998 2 850 3 281 11 156 9 209 8 140 11 912 8 155 13 497

2001 15 868 15 060 8 052 7 210 8 239 5 298 6 645 3 044 3 788 10 716 8 825 10 813 13 727 9 466

2002 16 422 14 070 10 737 7 162 9 036 4 691 6 363 5 766 4 064 10 664 9 254 12 259 14 795

2003 17 720 13 938 11 218 6 852 9 047 4 483 5 732 5 736 4 309 10 639 9 296 11 243

2004 18 013 13 811 11 124 6 897 8 589 4 240 5 927 5 713 4 061 9 952 9 640

2005 17 466 13 628 10 956 6 249 9 164 5 011 5 906 5 560 3 985 9 906

2006 17 672 12 848 9 657 6 332 9 147 4 994 5 916 5 566 3 344

2007 17 704 13 097 9 679 6 366 9 230 4 981 5 920 5 560

2008 17 312 13 083 9 763 6 330 9 084 4 981 5 868

2009 17 827 13 162 9 716 6 280 8 953 4 981

2010 17 717 13 121 9 660 6 280 8 950

2011 17 744 13 121 9 339 6 192

2012 17 651 13 121 9 339

2013 17 410 13 121

2014 17 132

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 608 486 223 6 746 4 326 4 098 5 073 1 799 2 193 5 053 5 255 4 324 3 148 6 398 6 008 10 015 10 795

1999 618 - - 2 - - - - - - - 1 480 3 163 2 201 3 231 2 528

2000 - - - - - - - - - - 274 184 393 758 27

2001 - - - - - - - - - 210 - 421 294 143

2002 - - - - - - - - 402 111 0 2 305 308

2003 - - - - - - - - 240 15 43 2

2004 - - - - - - - - - - 0

2005 - - - - - - - - - 4

2006 - - - - - - - - -

2007 - - - - - 0 - -

2008 - - - - - - -

2009 - - - - - -

2010 - - - - -

2011 - - - -

2012 - - -

2013 - -

2014 -

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998

1999 3 693 - 1 281 - 10 067 - 608 - 2 752 - 1 256 - 1 631 - 492 - 968 - 6 683 - 2 964 - 704 2 917 - 39 - 4 856 - 462

2000 513 14 212 - 194 - 99 - 641 - 120 - 294 - 559 - 120 - 579 716 - 2 856 - 2 289 - 1 240 625

2001 11 462 - 919 2 432 257 521 - 176 353 194 - 507 - 649 385 2 252 - 1 521 - 1 168 -

2002 554 - 989 2 685 - 49 796 - 607 282 2 721 - 125 162 429 - 859 760 -

2003 1 298 - 132 481 - 309 11 - 208 631 29 4 - 41 1 1 017

2004 293 - 127 93 44 - 458 243 195 - 23 248 687 344 -

2005 547 183 169 648 575 - 770 - 20 153 76 50

2006 205 - 780 1 299 83 - 17 16 10 - 6 - 640

2007 33 - 249 - 22 - 34 - 83 - 13 5 - 6

2008 393 15 84 - 36 146 0 53

2009 516 - 80 - 47 50 131 0

2010 110 41 56 - 3

2011 27 - - 321 88

2012 93 - 0

2013 241 -

2014 278

Triangle

CT

riangle

NT

riangle

D


4) Branche Construction, Affaires acceptées :

5) Branche Automobile, Affaires directes :

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 - - - 18 - 28 10 - 106 231 1 021 1 258 964 2 230 5 188 2 831 4 883

1999 - - 1 695 181 3 140 25 - 134 413 934 2 338 2 445 4 301 13 360 11 651

2000 510 432 1 507 202 1 842 158 25 - 226 2 379 1 335 3 705 2 310 3 823 15 047

2001 1 317 622 1 922 260 1 186 398 37 - 240 3 103 1 490 2 766 2 359 4 280

2002 1 625 624 2 081 712 1 188 411 32 - 240 3 270 1 523 2 011 2 058

2003 1 629 625 2 122 716 1 192 - 51 - 134 3 427 1 004 1 846

2004 1 468 623 2 178 717 1 192 - 51 - 134 3 434 1 004

2005 1 464 563 2 242 707 1 192 294 51 - 134 3 397

2006 1 159 - 2 102 729 1 354 294 52 - 134

2007 1 111 554 2 157 663 1 354 294 52 -

2008 1 106 - 2 157 669 1 354 294 52

2009 1 102 552 2 157 675 1 354 294

2010 1 047 500 2 157 675 1 354

2011 1 047 500 2 157 675

2012 1 047 500 2 156

2013 1 047 500

2014 1 047

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 - - - - - - 0 - 106 231 1 021 1 258 964 2 230 5 187 2 831 4 883

1999 - 1 601 50 3 1 - - - - - 2 1 540 1 774 2 209 6 594 5 221

2000 - 21 - - 18 - - - - - - 586 225 117 186 600

2001 - - 4 12 - - - - - 581 89 1 29 380

2002 - - - - - - - - - 268 0 44 10

2003 - - - - - - - - 0 - 10 103

2004 - - - - - - - - - 0 -

2005 - - - - - - - - - -

2006 - - - - - - - - -

2007 - - - - - - - -

2008 - - - - - - -

2009 - - - - - -

2010 - - - - -

2011 - - - -

2012 - - -

2013 - -

2014 -

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998

1999 - 1 601 1 645 - 160 - 2 - 112 - 15 - - 28 - 183 - 89 460 292 138 1 578 - 3 599 -

2000 510 - 452 - 188 3 - 1 840 - 19 - - - 92 - 1 965 - 185 1 142 - 253 664 1 087 -

2001 808 - 190 - 411 - 46 - 657 240 - 12 - - 14 - 143 - 66 - 940 20 - 77 -

2002 308 - 2 - 159 - 451 - 2 - 13 - 5 - 0 - 101 33 - 799 311

2003 4 - 1 - 41 - 4 - 4 - 411 19 - - 106 157 - 528 269

2004 161 1 56 - 1 - 0 - - 0 - - - 6 - 0

2005 4 61 64 - 10 - 294 - 0 - - - 37

2006 304 563 140 22 - 162 - - 1 - - -

2007 48 554 - 54 - 66 - - - -

2008 5 554 0 7 - - - -

2009 4 552 - - 6 - - 0

2010 55 52 - - -

2011 - - - -

2012 - - 1

2013 - -

2014 -

Triangle

CT

riangle

NT

riangle

D

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 11 612 5 930 14 327 23 092 21 062 19 790 21 677 22 335 23 397 26 245 19 771 19 445 20 355 16 663 20 062 18 766 15 307

1999 19 204 13 041 42 122 31 605 27 202 23 759 30 923 29 741 30 545 29 430 25 977 24 501 27 899 24 753 29 064 28 544

2000 21 612 32 831 37 677 29 474 25 709 18 759 27 768 26 460 29 063 28 048 27 297 23 810 29 182 27 012 32 726

2001 43 590 32 486 39 902 26 477 22 149 17 558 26 192 23 665 29 372 27 789 26 474 23 183 29 388 28 076

2002 43 653 32 805 41 034 24 758 20 373 18 019 24 570 22 059 29 980 27 679 25 843 22 111 29 164

2003 45 243 32 558 38 383 24 143 19 347 18 021 24 096 22 422 29 921 28 026 25 534 21 538

2004 45 537 29 239 36 591 23 525 18 955 17 783 22 912 21 821 28 890 27 517 24 679

2005 45 270 27 817 34 939 22 646 19 019 18 162 22 726 21 113 28 816 27 305

2006 43 084 27 368 34 645 22 998 19 001 18 739 22 050 21 087 28 265

2007 42 447 27 406 34 412 22 838 19 088 19 044 21 355 21 060

2008 42 114 27 809 34 158 23 166 19 258 18 940 21 554

2009 41 887 27 700 34 939 22 791 19 591 18 737

2010 42 113 27 358 34 923 22 989 19 594

2011 41 618 29 256 34 990 23 045

2012 41 498 29 265 35 036

2013 41 318 29 295

2014 40 725

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 11 611 5 919 14 312 23 092 20 991 19 790 21 677 22 335 23 397 26 245 19 771 19 445 20 355 16 663 20 062 18 766 15 307

1999 1 392 1 833 6 051 2 849 2 163 1 822 2 121 2 572 3 111 2 681 2 169 1 385 1 843 2 517 1 305 1 744

2000 444 745 183 154 69 49 72 440 53 12 46 191 116 48 182

2001 212 69 203 133 14 267 48 0 154 45 30 106 16 30

2002 10 89 38 100 5 34 599 - 289 0 19 - 7

2003 333 93 30 480 - 0 - 21 - - 1 3

2004 - - - - 5 - - 17 11 32 0

2005 1 - 2 - - - 1 11 - 7

2006 9 - 5 329 - - - - -

2007 46 - - - - - - -

2008 - 3 - 12 - - -

2009 - - 64 - - -

2010 - 27 - - -

2011 - 3 - -

2012 - - -

2013 - -

2014 -

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998

1999 6 200 - 5 278 - 21 743 - 5 664 - 3 976 - 2 147 - 7 124 - 4 834 - 4 036 - 504 - 4 038 - 3 671 - 5 701 - 5 573 - 7 697 - 8 034 -

2000 1 964 - 19 045 - 4 628 2 284 1 561 5 049 3 226 3 721 1 535 1 394 1 275 - 882 1 167 - 2 211 - 3 480 -

2001 21 766 - 414 2 022 - 3 131 3 575 1 469 1 624 2 796 155 - 304 853 733 191 - 1 034 -

2002 53 - 231 - 1 093 - 1 820 1 781 428 - 2 221 1 606 320 - 110 650 1 072 231

2003 1 257 - 340 2 682 1 095 1 026 2 - 474 342 - 59 347 - 311 576

2004 294 - 3 319 1 792 618 397 239 1 184 617 1 042 541 855

2005 268 1 422 1 654 879 63 - 380 - 187 719 74 219

2006 2 195 449 298 23 - 17 576 - 676 25 551

2007 682 38 - 234 160 87 - 305 - 696 28

2008 333 399 - 253 316 - 170 - 103 199 -

2009 228 109 717 - 374 333 - 204

2010 227 - 368 17 197 - 3 -

2011 496 1 895 - 67 - 57 -

2012 120 9 - 47 -

2013 180 30 -

2014 593

Triangle

CT

riangle

NT

riangle

D


6) Branche Construction Responsabilité civile, Affaires directes :

7) Branche Décennale, Affaires directes:

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 962 520 1 281 9 774 8 204 2 865 2 438 1 175 4 819 6 208 2 280 2 778 1 168 1 020 1 144 2 218 1 512

1999 1 981 1 583 14 872 14 745 10 718 3 825 2 754 1 505 5 832 8 394 5 017 8 108 2 499 1 326 4 440 3 957

2000 1 884 16 822 16 070 15 973 12 705 4 915 3 013 1 700 5 883 8 453 5 595 9 833 3 537 1 910 5 040

2001 17 875 18 963 18 729 15 731 12 665 5 359 3 485 1 753 4 083 8 462 5 632 10 014 3 121 2 030

2002 18 301 18 724 16 031 15 055 13 032 5 045 4 981 2 083 4 142 7 793 6 094 9 953 3 000

2003 16 507 22 093 15 157 14 897 11 702 6 249 5 360 2 042 4 325 9 056 7 533 9 698

2004 17 916 22 185 15 322 13 878 12 529 6 601 5 039 2 112 4 495 9 059 7 602

2005 17 850 21 600 17 103 13 342 12 741 7 464 4 892 2 053 4 425 8 951

2006 19 272 21 835 17 671 15 252 12 357 6 625 4 899 2 354 4 473

2007 18 311 20 660 17 325 15 491 11 358 6 273 4 941 2 421

2008 17 861 20 365 17 696 13 912 10 925 7 300 4 892

2009 17 644 19 254 16 418 13 779 10 538 7 323

2010 17 762 18 612 16 758 13 125 10 455

2011 16 606 17 846 16 485 11 140

2012 16 379 16 919 16 420

2013 16 094 16 986

2014 16 498

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 962 520 1 281 9 773 8 204 2 865 2 438 1 175 4 819 6 208 2 280 2 778 1 168 1 020 1 144 2 218 1 512

1999 - - - 2 0 - - - - - - 934 364 212 2 315 624

2000 - - - - - - - - - - 3 66 202 96 882

2001 - - - - - - - - - 59 116 - - -

2002 - - - - - - - - - 13 38 110 1

2003 - - - - - - - - 3 - 0 180

2004 - - - - - - 1 30 100 - -

2005 - - - - - - - - - 1

2006 - - - - 244 115 - - -

2007 - - - 195 - - - -

2008 - - 2 1 - - -

2009 - - 25 21 - -

2010 - - - - -

2011 111 - 30 -

2012 - - 17

2013 - -

2014 -

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998

1999 1 019 - 1 063 - 13 591 - 4 969 - 2 513 - 960 - 316 - 331 - 1 014 - 2 186 - 2 736 - 4 396 - 966 - 94 - 981 - 1 115 -

2000 96 15 239 - 1 199 - 1 228 - 1 987 - 1 090 - 259 - 194 - 51 - 59 - 576 - 1 658 - 837 - 488 - 282

2001 15 991 - 2 141 - 2 658 - 242 40 444 - 472 - 53 - 1 800 50 79 181 - 416 120 -

2002 425 - 239 2 697 676 368 - 315 1 496 - 330 - 60 - 682 424 - 172 122

2003 1 794 3 369 - 874 157 1 331 1 205 - 379 - 41 180 - 1 263 - 1 439 - 434

2004 1 409 - 91 - 165 - 1 019 828 - 352 - 322 40 - 70 - 3 - 69 -

2005 66 585 1 781 - 536 212 - 863 - 147 59 70 109

2006 1 422 - 235 - 568 - 1 910 - 628 953 7 - 302 - 48 -

2007 961 1 175 346 45 - 999 352 42 - 67 -

2008 450 295 370 - 1 580 433 1 027 - 48

2009 218 1 111 1 304 155 387 23 -

2010 119 - 642 341 - 654 83

2011 1 267 765 303 1 985

2012 227 927 82

2013 285 67 -

2014 404 -

Triangle

CT

riangle

NT

riangle

D

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 9 140 4 364 3 504 5 802 6 954 6 556 5 649 4 207 5 125 4 358 4 119 3 781 4 571 3 894 2 736 2 511 3 047

1999 7 083 8 622 7 513 8 645 8 654 9 712 6 792 4 679 5 849 4 937 3 651 4 970 4 584 4 337 3 238 3 328

2000 7 527 8 961 7 002 7 887 8 976 8 848 5 879 5 124 5 536 3 817 4 881 5 341 5 689 4 451 3 518

2001 7 447 8 152 5 292 7 088 8 185 8 509 4 964 4 630 5 022 5 530 4 981 5 945 5 640 4 271

2002 7 421 7 609 4 857 7 663 7 652 8 028 5 319 4 554 5 705 5 679 5 605 8 658 5 944

2003 6 692 7 310 4 671 6 208 7 138 7 910 4 871 4 937 5 441 5 850 5 828 11 152

2004 6 280 7 433 4 741 6 326 6 816 7 437 5 411 4 615 5 705 5 790 6 197

2005 5 990 7 571 4 369 5 511 7 219 6 694 5 835 4 490 5 622 5 616

2006 5 365 7 536 4 207 4 950 7 274 6 222 5 827 4 374 5 530

2007 4 665 7 530 4 049 5 293 7 427 6 181 6 318 4 454

2008 4 665 7 135 4 020 5 290 7 280 6 126 5 521

2009 4 623 6 677 4 376 5 388 7 575 5 995

2010 4 557 6 540 4 156 5 443 6 928

2011 4 463 6 604 4 164 5 367

2012 4 607 6 375 4 240

2013 5 003 6 359

2014 5 028

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998 9 - 1 19 6 5 3 5 1 3 15 - 3 1 - 1 133

1999 44 389 346 67 46 119 147 54 - 28 98 - 17 - 25 - 6 - 11 13 - 686

2000 677 - 196 - 211 335 - 76 445 227 - 0 - 88 80 - 114 25 - 11 - 0 5

2001 292 - 347 329 152 - 55 - 204 - 642 62 - 144 - 95 59 - 1 1 -

2002 43 - 13 - 44 12 18 15 9 5 59 2 1 - 1

2003 78 - 66 - 48 8 44 - 22 181 110 9 3 1 -

2004 286 - 67 102 65 41 - - 14 12 8 4 5

2005 0 42 - 57 - - - 35 2 2 25 3

2006 2 - - - - 4 3 2 9 3

2007 - - - 19 1 0 3 4

2008 - 3 24 6 1 5 16

2009 1 39 336 6 5 3

2010 15 18 1 1 2

2011 10 1 - -

2012 - - 1

2013 - 31

2014 -

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1998

1999 2 101 3 870 - 3 663 - 2 776 - 1 654 - 3 037 - 997 - 525 - 695 - 677 - 450 1 214 - 19 - 432 - 515 - 130 -

2000 1 121 - 535 - 722 423 246 - 1 309 687 445 - 401 1 039 1 116 - 396 - 1 116 - 114 - 275 -

2001 211 - 1 156 2 038 647 736 135 1 556 432 369 1 618 - 159 - 603 - 49 180

2002 18 - 530 480 563 - 551 495 346 - 80 624 - 147 - 623 - 2 713 - 304 -

2003 651 233 234 1 463 471 140 629 273 - 274 168 - 222 - 2 494 -

2004 127 56 - 31 52 - 281 473 526 - 334 257 - 64 364 -

2005 290 179 - 315 815 403 - 778 421 - 127 109 176

2006 624 35 162 561 51 - 475 9 125 95

2007 700 6 158 324 - 153 - 42 487 - 76 -

2008 0 - 398 53 9 148 60 812

2009 43 497 20 - 93 - 290 - 134

2010 82 155 221 54 - 650

2011 103 63 - 8 - 76

2012 144 - 229 76 -

2013 397 - 47

2014 25 -

Triangle

CT

riangle

NT

riangle

D


Annexe 2

Résultats test hypothèse de Mack n°1 :

1) Branche Dommage, Affaires directes :

- Partie 1 :

- Partie 2 :

T = 0,004

Intervalle : [-0.065, 0.065] : hypothèse vérifiée.



y = 1,2194xR² = 0,0409

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

90 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000

(Ci1 - Ci2)

y = 0,9796xR² = 0,3233

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000

(Ci2 - Ci3)

y = 0,9669xR² = 0,2247

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000

(Ci3 - Ci4)

y = 0,9663xR² = 0,9871

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000

(Ci4 - Ci5)

y = 0,9872xR² = 0,9991

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000

(Ci5 - Ci6)

y = 0,9949xR² = 0,9967

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000

(Ci6 - Ci7)



- Partie 1 :

- Partie 2 :


Existence d'ununique facteur de développement


y = 1,4901xR² = 0,4805

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

30 000 000

35 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000

(Ci1 - Ci2)

y = 0,9553xR² = 0,049

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

30 000 000

35 000 000

40 000 000

45 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000

(Ci2 - Ci3)

y = 0,9985xR² = 0,7749

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

30 000 000

35 000 000

40 000 000

45 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000

(Ci3 - Ci4)

y = 0,963xR² = 0,9911

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

30 000 000

35 000 000

40 000 000

45 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000

(Ci4 - Ci5)

y = 1,4293xR² = 0,7183

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

90 000 000

100 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000

(Ci5 - Ci6)

y = 0,9956xR² = 0,9998

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

90 000 000

100 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000 70 000 000 80 000 000 90 000 000100 000 000

(Ci6 - Ci7)

T = 0,021



- Partie 1 :

- Partie 2 :




y = 1,5162xR² = -0,049

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

16 000 000

0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000

(Ci1 - Ci2)

y = 1,0689xR² = -0,124

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

16 000 000

18 000 000

0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000

(Ci2 - Ci3)

y = 1,0525xR² = 0,255

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

16 000 000

18 000 000

0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000

(Ci3 - Ci4)

y = 1,0466xR² = 0,8752

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

16 000 000

18 000 000

20 000 000

0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000

(Ci4 - Ci5)

y = 0,9937xR² = 0,9943

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

16 000 000

18 000 000

20 000 000

0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000 20 000 000

(Ci5 - Ci6)

y = 0,9872xR² = 0,9906

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

16 000 000

18 000 000

20 000 000

0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000 20 000 000

(Ci6 - Ci7)

T = 0,048



- Partie 1 :

- Partie 2 :




y = 2,7171xR² = 0,8966

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

16 000 000

0 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000

(Ci1 - Ci2)

y = 1,1141xR² = 0,9493

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

16 000 000

0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000

(Ci2 - Ci3)

y = 1,0058xR² = 0,8662

0

500 000

1 000 000

1 500 000

2 000 000

2 500 000

3 000 000

3 500 000

4 000 000

4 500 000

0 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 2 500 000 3 000 000 3 500 000 4 000 000 4 500 000

(Ci3 - Ci4)

y = 0,9436xR² = 0,8666

0

500 000

1 000 000

1 500 000

2 000 000

2 500 000

3 000 000

3 500 000

4 000 000

0 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 2 500 000 3 000 000 3 500 000

(Ci4 - Ci5)

y = 0,9946xR² = 0,9975

0

500 000

1 000 000

1 500 000

2 000 000

2 500 000

3 000 000

3 500 000

4 000 000

0 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 2 500 000 3 000 000 3 500 000 4 000 000

(Ci5 - Ci6)

y = 0,9982xR² = 0,9913

0

500 000

1 000 000

1 500 000

2 000 000

2 500 000

3 000 000

3 500 000

4 000 000

0 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 2 500 000 3 000 000 3 500 000 4 000 000

(Ci6 - Ci7)

T = 0,061



- Partie 1 :

- Partie 2 :

Intervalle : [-0.065, 0.065] : hypothèse non vérifiée.



y = 1,3931xR² = -0,077

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

30 000 000

35 000 000

40 000 000

45 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000

(Ci1 - Ci2)

y = 0,9851xR² = -0,665

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

30 000 000

35 000 000

40 000 000

45 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000

(Ci2 - Ci3)

y = 1,0209xR² = 0,1355

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

30 000 000

35 000 000

40 000 000

45 000 000

50 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000

(Ci3 - Ci4)

y = 0,9777xR² = 0,967

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

30 000 000

35 000 000

40 000 000

45 000 000

50 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000 50 000 000

(Ci4 - Ci5)

y = 0,9677xR² = 0,9862

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

30 000 000

35 000 000

40 000 000

45 000 000

50 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000 50 000 000

(Ci5 - Ci6)

y = 0,9809xR² = 0,9945

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

30 000 000

35 000 000

40 000 000

45 000 000

50 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000 50 000 000

(Ci6 - Ci7)

T = 0,101



- Partie 1 :

- Partie 2 :




y = 1,5332xR² = 0,3273

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

16 000 000

0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000

(Ci1 - Ci2)

y = 1,1363xR² = 0,4469

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

16 000 000

18 000 000

0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000

(Ci2 - Ci3)

y = 1,0789xR² = 0,5185

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

16 000 000

18 000 000

20 000 000

0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000

(Ci3 - Ci4)

y = 0,9812xR² = 0,9103

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000 14 000 000 16 000 000 18 000 000 20 000 000

(Ci4 - Ci5)

y = 1,0153xR² = 0,9907

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000

(Ci5 - Ci6)

y = 1,0075xR² = 0,9881

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

0 5 000 000 10 000 000 15 000 000 20 000 000 25 000 000

(Ci6 - Ci7)

T = 0,044



- Partie 1 :

- Partie 2 :




y = 1,2051xR² = 0,3063

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

0 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 7 000 000 8 000 000 9 000 000 10 000 000

(Ci1 - Ci2)

y = 0,9865xR² = 0,8493

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

0 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000 10 000 000 12 000 000

(Ci2 - Ci3)

y = 0,9388xR² = 0,7339

0

1 000 000

2 000 000

3 000 000

4 000 000

5 000 000

6 000 000

7 000 000

8 000 000

9 000 000

0 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 7 000 000 8 000 000 9 000 000 10 000 000

(Ci3 - Ci4)

y = 1,0086xR² = 0,0905

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

0 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 7 000 000 8 000 000 9 000 000

(Ci4 - Ci5)

y = 0,9939xR² = 0,8746

0

1 000 000

2 000 000

3 000 000

4 000 000

5 000 000

6 000 000

7 000 000

8 000 000

9 000 000

0 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 7 000 000 8 000 000 9 000 000

(Ci5 - Ci6)

y = 0,9727xR² = 0,8399

0

1 000 000

2 000 000

3 000 000

4 000 000

5 000 000

6 000 000

7 000 000

8 000 000

0 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 7 000 000 8 000 000

(Ci6 - Ci7)

T = 0,047


Annexe 3


Résultats test hypothèse de Schnieper n°3 :

Triangles N :

Triangles D :

L E(L) Var(L)

Dommages Affaires directes 36 46,7229 11,5665 [ 23,59 69,86 ] OK

Dommages Affaires acceptées 37 46,0251 11,0002 [ 24,02 68,03 ] OK

Construction Affaires directes 47 46,4124 10,9322 [ 24,55 68,28 ] OK

Construction Affaires acceptées 35 34,8477 8,9493 [ 16,95 52,75 ] OK

Automobile Affaires directes 42 46,6401 11,5683 [ 23,50 69,78 ] OK

RC Construction Affaires directes 49 46,6641 11,5680 [ 23,53 69,80 ] OK

Décennales Affaires directes 36 46,5171 11,2503 [ 24,02 69,02 ] OK


N L E(L) Var(L)



Construction Affaires directes 0 6,1250 1,8672 [ 2,39 9,86 ] KO

Construction Affaires acceptées 0 6,1250 1,8672 [ 2,39 9,86 ] KO


RC Construction Affaires directes 0 4,0000 1,2500 [ 1,50 6,50 ] KO



D L E(L) Var(L)



Construction Affaires directes 22 22,6230 5,8645 [ 10,89 34,35 ] OK

Construction Affaires acceptées 14 12,0000 3,4219 [ 5,16 18,84 ] OK


RC Construction Affaires directes 27 24,5293 6,1682 [ 12,19 36,87 ] OK




Annexe 4


1) Branche Dommages, Affaires directes :

-6 000,00

-5 000,00

-4 000,00

-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

1 000,00

2 000,00

3 000,00

0 2 4 6 8 10 12

(Ci1 - Di1)

-7 000,00

-6 000,00

-5 000,00

-4 000,00

-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

1 000,00

0 2 4 6 8 10 12

(Ci2 - Di2)

-7 000,00

-6 000,00

-5 000,00

-4 000,00

-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(Ci3 - Di3)

-3 000,00

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(Ci4 - Di4)

-3 000,00

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(Ci5 - Di5)

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

0 1 2 3 4 5 6 7

(Ci6 - Di6)



-8 000,00

-6 000,00

-4 000,00

-2 000,00

0,00

2 000,00

4 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

(Ci1 - Di1)

-10 000,00

-8 000,00

-6 000,00

-4 000,00

-2 000,00

0,00

2 000,00

4 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(Ci2 - Di2)

-6 000,00

-5 000,00

-4 000,00

-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

1 000,00

2 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(Ci3 - Di3)

-6 000,00

-5 000,00

-4 000,00

-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

1 000,00

2 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14

(Ci4 - Di4)

-6 000,00

-5 000,00

-4 000,00

-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

1 000,00

2 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14

(Ci5 - Di5)

-6 000,00

-5 000,00

-4 000,00

-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

1 000,00

2 000,00

0 2 4 6 8 10 12

(Ci6 - Di6)



-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

1 000,00

2 000,00

3 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

(Ci1 - Di1)

-3 500,00

-3 000,00

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

500,00

1 000,00

1 500,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(Ci2 - Di2)

-3 500,00

-3 000,00

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

500,00

1 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(Ci3 - Di3)

-1 400,00

-1 200,00

-1 000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14

(Ci4 - Di4)

-900,00

-800,00

-700,00

-600,00

-500,00

-400,00

-300,00

-200,00

-100,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14

(Ci5 - Di5)

-900,00

-800,00

-700,00

-600,00

-500,00

-400,00

-300,00

-200,00

-100,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12

(Ci6 - Di6)



-1 200,00

-1 000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

(Ci1 - Di1)

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

500,00

1 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(Ci2 - Di2)

-1 000,00

-900,00

-800,00

-700,00

-600,00

-500,00

-400,00

-300,00

-200,00

-100,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(Ci3 - Di3)

-800,00

-700,00

-600,00

-500,00

-400,00

-300,00

-200,00

-100,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14

(Ci4 - Di4)

-1 200,00

-1 000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14

(Ci5 - Di5)

-700,00

-600,00

-500,00

-400,00

-300,00

-200,00

-100,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12

(Ci6 - Di6)



-5 000,00

-4 000,00

-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

1 000,00

2 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

(Ci1 - Di1)

-4 500,00

-4 000,00

-3 500,00

-3 000,00

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(Ci2 - Di2)

-4 500,00

-4 000,00

-3 500,00

-3 000,00

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(Ci3 - Di3)

-1 800,00

-1 600,00

-1 400,00

-1 200,00

-1 000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14

(Ci4 - Di4)

-2 000,00

-1 800,00

-1 600,00

-1 400,00

-1 200,00

-1 000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14

(Ci5 - Di5)

-2 000,00

-1 800,00

-1 600,00

-1 400,00

-1 200,00

-1 000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12

(Ci6 - Di6)



-3 000,00

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

500,00

1 000,00

1 500,00

2 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

(Ci1 - Di1)

-4 000,00

-3 000,00

-2 000,00

-1 000,00

0,00

1 000,00

2 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(Ci2 - Di2)

-4 000,00

-3 500,00

-3 000,00

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

500,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(Ci3 - Di3)

-1 200,00

-1 000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14

(Ci4 - Di4)

-1 200,00

-1 000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14

(Ci5 - Di5)

-1 400,00

-1 200,00

-1 000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12

(Ci6 - Di6)



-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

500,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

(Ci1 - Di1)

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(Ci2 - Di2)

-2 500,00

-2 000,00

-1 500,00

-1 000,00

-500,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(Ci3 - Di3)

-2 000,00

-1 800,00

-1 600,00

-1 400,00

-1 200,00

-1 000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14

(Ci4 - Di4)

-1 400,00

-1 200,00

-1 000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12 14

(Ci5 - Di5)

-1 400,00

-1 200,00

-1 000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0 2 4 6 8 10 12

(Ci6 - Di6)


Annexe 5


Branche Dommages, Affaires directes :

Triangle N, j= 1 et 2

Triangle D, j= 1 et 2

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

0 50 000 000 100 000 000 150 000 000 200 000 000

-10 000 000

-8 000 000

-6 000 000

-4 000 000

-2 000 000

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000

-4 000 000

-2 000 000

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

0 10 000 000 20 000 000 30 000 000 40 000 000 50 000 000 60 000 000



Branche Dommages, Affaires acceptées :

Triangle N, j= 1 et 2

Triangle D, j= 1 et 2

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

0 20 000 000 40 000 000 60 000 000 80 000 000 100 000 000120 000 000

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

16 000 000

0 20 000 000 40 000 000 60 000 000 80 000 000 100 000 000

-5 000 000

0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

0 20 000 000 40 000 000


Documents

Mémoire présenté devant le Centre d’Études Actuarielles