Mémoire présenté le : 09 décembre 2013 SRXUO ......Résumé Mots-clés:mortalitétransversale,mortalitélongitudinale,modèleLee-Carter, modèleLog-Poissonbilinéaire,tariﬁcationprospective,provisionnement,fonctions

Mémoire présenté le : 09 décembre 2013

pour l’obtention du Diplôme Universitaire d’actuariat de l’ISFA

et l’admission à l’Institut des Actuaires

Par : M. Duy-An NGUYEN

Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans)

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Membre présents du jury de l’Institut des Actuaires :

Entreprise : AXA France Vie

M. Alain MOEGLIN

Mme. Florence PICARD

Nom : Mme Valérie GABOT

Signature :

Membres présents du jury de l’ISFA :

Directrice de mémoire en entreprise :

Nom : Mme. Valérie GABOT

Mme Ying JIAO

Signature :

M. Stéphane LOISEL

Invité :

Mme Esterina MASIELLO

Nom :

Signature :

Autorisation de publication et de mise en ligne

sur un site de diffusion de documents actuariels

(après expiration de l’éventuel délai de

confidentialité)

Signature du responsable entreprise

Secrétariat : Mme Marie-Claude MOUCHON Signature du candidat

Bibliothèque : Mme Patricia MARTOLO

Tarification Prospectiveen Assurance Obsèques

Mémoire d’actuariat

2012-2013

Duy An Nguyen

Institut de Science Financière et d’AssurancesAXA France

Résumé

Mots-clés : mortalité transversale, mortalité longitudinale, modèle Lee-Carter,modèle Log-Poisson bilinéaire, tarification prospective, provisionnement, fonctionsde commutation

Les normes comptables IFRS et la réforme Solvabilité 2 encouragent les as-sureurs à formuler des hypothèses réalistes et prudentes lors de l’évaluation desengagements ou de la tarification. La mortalité y constitue un paramètre détermi-nant. En conséquence, les assureurs sont invités à utiliser les tables de mortalitéd’expérience à la place des tables réglementaires, moins adaptées au profil de risquepropre à chaque assureur.

Les assureurs, pour les activités de tarification et provisionnement utilisentactuellement les tables d’expérience dites de moment construites sur la base duportefeuille de contrats d’assurés qui ont une durée de validité de 5 ans. Ces tabless’appuient sur l’approche transversale de mortalité et ne peuvent donc pas cap-turer l’évolution de la mortalité au cours du temps. Avec l’aide des modèles demortalité prospective, on peut donc s’interroger sur la possibilité d’intégrer un as-pect dynamique de la mortalité à la tarification en assurance vie. Les tarifs établisà partir des taux prospectifs peuvent rendre les produits plus attractifs sur le plancommercial tout en conservant l’aspect prudentiel sur le plan actuariel.

Le mémoire est composé de trois parties. Dans un premier temps, sont ex-posés les éléments techniques utilisés en études de mortalité prospective, notam-ment le modèle de Lee-Carter et le modèle Log-Poisson bilinéaire. Ces derniersont fait preuves d’efficacité lors des études de mortalité à l’échelle nationale. Dansun deuxième temps, nous examinerons la possibilité d’adapter ces dernières à unéchantillon de taille plus réduite tel qu’un portefeuille de contrats prévoyance. Fi-nalement, nous incorporerons les taux prospectifs de mortalité à la tarification etprovisionnement en assurance obsèques afin d’augmenter l’attractivité du produitsur le marché et de réduire les frais d’infrastructure.

2

Abstract

Keywords : static life table, prospective life table, Lee-Carter model, Log-Poissonmodel, prospective pricing, reserves, commutation functions

The International Financial Reporting Standards and Solvency II Directiveencourage insurers to better asses and measure their risk when evaluating theirreserves and pricing insurance products. Mortality is an essential factor in theseprocesses. To this end, insurers are asked to use their own life tables rather thanregulatory ones, less fit to insurers’ own risk profiles.

For pricing and reserving in life insurance, insurers often use static life tables.Since these tables don’t distinguish different cohorts, they don’t capture the evo-lution of the mortality over time. With modern models in demography, there is apossibly for integrating a dimension of mortality dynamic, capable of taking intoaccount of lengthening in human life expectancy. Hence, life insurance premiumsset on a prospective approach in life insurance become more attractive on themarket and still stay prudent.

The thesis will first present some actuarial and demographic instruments, par-ticularly Lee-Carter model and Log-Poisson model. These latter have been success-fully applied to build up prospective life tables for national-scale samples. We shallnext examine the possibility of their application on smaller-scale sample such asa protection insurance portfolio. Finally, the prospective mortality rates obtainedwill be used for pricing and reserving of AXA’s pre-need insurance product to beable to increase its commercial appeal and to reduce infrastructure costs as well.

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Remerciements

Le présent mémoire d’actuaire portant sur la tarification prospective en assu-rance obsèques a été effectué à la fin de la formation en actuariat de l’UniversitéClaude Bernard - Lyon sous la supervision du M. Frédéric Planchet, Professeurdes Universités à l’Institut de Science Financière et d’Assurances.

La tarification en assurance obsèques est étroitement liée à mes activités deChargé des études actuarielles de la Direction technique en Prévoyance & Dépen-dance Individuelle chez AXA France. En effet, en 2012 et 2013, l’entreprise a misl’accent sur la protection des seniors en introduisant sur le marché des produitsinnovants, en particulier le produit Obsèques. En conséquence, cela a été un grandplaisir pour moi de pouvoir réaliser mon mémoire d’actuaire sur le sujet.

Je souhaite remercier mon tuteur d’école, M. Frédéric Planchet pour sa dispo-nibilité et ses conseils en science actuarielles.

Je souhaite remercier ma responsable en entreprise, Mme. Valérie Gabot dem’avoir confié la tarification des produits vie-entière.

Je remercie également l’ensemble des collègues de m’avoir accueilli au sein del’équipe.

Je souhaite remercier mon épouse, Anna Kulich pour son soutien tout au longde la période de réalisation du mémoire.

Je tiens à remercier Mlle Claire De Bouvier pour la relecture du mémoire.

6

Sommaire

Résumé 2

Abstract 4

Remerciements 6

Introduction 10

1 Contexte du mémoire 111.1 Assurance Obsèques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Contexte règlementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Les différents types de tables de mortalité . . . . . . . . . . 131.2.2 Les tables réglementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Les tables d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Intérêt des tables d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Mortalité prospective en démographie 172.1 Histoire de l’étude de la mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Notions techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Durée de vie restante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Fonction de survie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3 Temps vécu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.4 Temps résiduel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.5 Taux de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.6 Taux instantané de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.7 Diagramme Lexis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.8 Mortalité longitudinale et mortalité transversale . . . . . . 262.2.9 Espérance de vie résiduelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.10 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.11 Répartition des décès dans l’année . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Modèle Lee-Carter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7

Sommaire

2.3.1 Estimation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2 Fermeture de la table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.3 L’effet de cohorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Mortalité prospective d’un portefeuille Prévoyance 383.1 Première modélisation de la mortalité par une loi de Poisson . . . . 383.2 La mortalité prospective à partir de la loi de Poisson . . . . . . . . 413.3 Simulation d’un portefeuille Prévoyance . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.1 Modèle Gaussien bivarié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.2 Modèle Gamma bivarié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 La méthode Log-Poisson appliquée au portefeuille . . . . . . . . . . 483.5 Régression logistique à une référence externe . . . . . . . . . . . . . 503.6 Qualité d’ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Application au produit Obsèques 544.1 Fonctions de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Tarification du produit Obsèques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Provisionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.1 Option prime viagère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3.2 Option prime périodique de n années . . . . . . . . . . . . . 62

Conclusion 65

A Résultats de régressions logistiques à référence externe 71

B SMR du portefeuille 73

8

Introduction

L’assurance obsèques a pour vocation de répondre au besoin des seniors quisouhaitent financer leurs propres obsèques et s’assurer que leurs proches serontaccompagnés dans l’organisation de leurs funérailles. Avec le vieillissement démo-graphique en France, il est naturel d’observer une demande croissante pour ce typed’assurance. AXA France n’est présent dans ce secteur que depuis l’été 2012. Entant que nouvel acteur, l’entreprise est consciente que l’innovation est essentiellepour se développer dans un marché fortement dominé par les bancassureurs. Dansle contexte d’allongement de l’espérance de vie de la population française, une pos-sibilité sera de proposer une tarification basée sur les taux prospectifs. L’objectifdu présent mémoire est d’adapter les méthodes prospectives en démographie auportefeuille prévoyance de l’entreprise afin de construire une tarification prospec-tive.Le mémoire est organisé en quatre parties :

— La partie Contexte du mémoire fournit une synthèse du marché d’assuranceobsèques et les aspects réglementaires liés au secteur.

— La partie Mortalité prospective en démographie présente l’évolution théo-rique et technique en démographie.

— La partie Mortalité prospective d’un portefeuille prévoyance décrit l’adap-tation des méthodes utilisées en démographie à un échantillon de taille plusréduite.

— La partie finale, Application au produit Obsèques décrit l’implémentationdes taux prospectifs d’expérience obtenus à partir de la tarification et duprovisionnement du produit Obsèques d’AXA France.

10

Chapitre 1

Contexte du mémoire

1.1 Assurance ObsèquesL’assurance Obsèques appartient à l’assurance vie-entière. Elle garantit un ca-

pital décès quel que soit le moment où survient ce dernier. La particularité del’assurance vie entière réside dans l’engagement de l’assureur à verser au(x) bé-néficiaire(s) le montant prévu quelle que soit la date de disparition de l’assuré-souscripteur. Elle est en conséquence différente d’un contrat temporaire décès quiconditionne l’application de la garantie à une date ou un âge avant lequel le dé-cès doit nécessairement survenir. Contrairement au contrat temporaire décès, lecontrat d’assurance vie entière peut être racheté par l’assuré. Il peut ainsi deman-der le versement en sa faveur d’une partie ou de la totalité du capital avant lafin du contrat. Le souscripteur ne cotise donc pas à fonds perdus. Cependant de-puis le 18 décembre 2007, si le contrat a été accepté par le(s) bénéficiaire(s), il estobligatoire d’obtenir l’accord de ces derniers avant de procéder au rachat. Si sonacceptation a eu lieu avant cette date son autorisation n’est pas nécessaire.

Le marché de l’assurance obsèques représente 2,9 millions de contrats à la fin2011. Au cours de l’année 2011, le nombre d’affaires nouvelles s’élève à 397 100contrats. Le marché est concentré car la moitié des contrats est détenue par cinqacteurs, souvent les bancassureurs. Le marché a un fort potentiel de développementcar la clientèle est l’ensemble des seniors dont le nombre est estimé à 22.5 millionsen France. Les enquêtes menées par Ipsos 1 montrent que 87% des Français estimentjudicieux de préparer leurs obsèques, cependant seuls 5% détiennent un contratobsèques. Les enquêtes montrent également que les seniors de 60 à 75 ans sontparticulièrement concernés par la volonté de financer leurs obsèques et de s’assurerque leurs proches seront accompagnés dans l’organisation de leurs funérailles. On

1. Institut de sondage français et société internationale de marketing d’opinion - Paris

11

1.1. Assurance Obsèques

Figure 1.1 – Coûts moyens des obsèques en France

note également que les femmes sont plus sensibilisées et donc plus prescriptricesque les hommes. Les attentes des clients sont d’une part une formule d’assurancepermettant de soulager financièrement et émotionnellement leurs proches, d’autrepart un financement ajustable sur mesure et adapté à leur budget, enfin un capitaldécès garanti revalorisé pour faire face à l’inflation qui fait augmenter les frais desservices funérailles.

Figure 1.2 – Coûts moyens du rapatriement du corps

Avec le lancement en 2012 de son produit Essen’Ciel, AXA est rentré dans lemarché de l’Assurance Obsèques.

12

1.2. Contexte règlementaire

Figure 1.3 – Contrat Obsèques AXA

1.2 Contexte règlementaireLes tables de mortalité utilisées par les assureurs pour leurs tarifs et leurs pro-

visions sont encadrées par la réglementation. Ce contexte est défini par les articlesA335-1 du Code des assurances.Les tarifs pratiqués par les entreprises d’assurance sur la vie et de capitalisationcomprennent la rémunération de l’entreprise et sont établis d’après un taux d’in-térêt technique fixé par le Code des assurances. Ils sont établis sur la base d’unedes tables suivantes :

— Tables établies sur la base de données publiées par l’Institut National dela Statistique et des Études Économiques, et homologuées par arrêté duministre de l’économie et des finances ;

— Tables établies par l’entreprise d’assurance et certifiées par un actuaire in-dépendant de cette entreprise, agréé à cet effet par l’une des associationsd’actuaires reconnues par la commission de contrôle des assurances.

1.2.1 Les différents types de tables de mortalitéLa table de mortalité est un modèle qui permet de rendre compte de la mor-

talité observée chez une cohorte d’individus nés tous la même année, depuis lanaissance jusqu’à l’extinction complète de la génération suivie. La cohorte est sup-posée fermée à la migration.La première table de mortalité a été construite au XV IIème siècle par John Graunt

13


et publiée dans Natural & Political Observations upon the Bills of Mortality en1662 [10]. Il relevait et analysait les décès dans la ville de Londres à un rythmehebdomadaire.La table de mortalité donne à chaque âge le nombre moyen de décès, de survivants,les probabilités de décès et de survie pour une génération fictive correspondantconventionnellement à 100 000 ou 1 000 000 de naissances. Le recours à cette gé-nération fictive s’explique par le fait que les nombres de décès par âge observés sontrelatifs à différentes générations, dont les nombres de survivants en début d’annéesont les conséquences de circonstances du passé :

— la mortalité du passé— les fluctuations du nombre de naissances— les fluctuations de l’effectif des générations par migrations.

C’est pourquoi on calcule le nombre de survivants et de décès par âge dans unegénération fictive dont l’effectif initial et les variations d’effectifs sont connus.

Du point de vue de l’assureur, on peut distinguer les tables réglementaires,qui jouent un rôle particulier dans la détermination du tarif et des provisions,et les tables d’expérience ; d’un point de vue technique, on distingue les tablestransversales, ou "tables du moment" et les tables prospectives, intégrant l’aspectdynamique de la mortalité.

1.2.2 Les tables réglementaires— Les tables TH et TF 00-02 pour les assurances en cas de décès ;— Les tables ci-dessus utilisées avec des décalages d’âges pour les assurances

en cas de vie (à l’exclusion des rentes).Homologuées par l’arrêté du 20 décembre 2005, les tables TH et TF 00-02 ont

été établies à partir des données de l’INSEE issues d’observations réalisées entre2000 et 2002 et sont applicables aux contrats d’assurance vie souscrits depuis le 1erjuillet 1993. La table TF décrit la mortalité féminine. La table TH est construiteà partir de la population masculine. Ces tables peuvent êtres appliquées pour latarification des garanties de versement de capital en cas de décès de l’assuré commepour les contrats temporaires décès.

Pour les garanties de versement de rentes jusqu’au décès de l’assuré, il estnécessaire de prendre en compte l’augmentation de l’espérance de vie pour la tari-fication et le provisionnement. D’où la nécessité d’utiliser des tables de mortalitéprospectives pour les rentes viagères. Le sujet a été pris en compte par le législateuret des tables de générations (TGH et TGF 05) ont été homologuées par un arrêtédu 1er août 2006. Celles-ci ont été obtenues sur base de la mortalité de la popu-lation des bénéficiaires de contrats de rentes observée sur la période 1993-2005 et

14


de données sur la population générale (INSEE) de 1962 à 2000. Ces tables serventdepuis le 1er janvier 2007 à la tarification et au provisionnement des contrats derentes viagères immédiates ou différées.

1.2.3 Les tables d’expérienceLe contexte général

Dans le cadre du suivi technique de ses produits et au regard de l’article A.335-1 du Code des assurances, un assureur peut souhaiter utiliser des tables demortalité d’expérience en lieu et place des tables officiellement en vigueur pourjustifier du niveau de la prime pure dans les contrats qu’il couvre. Dans ce cadre,il est approprié de cerner au mieux tout comportement de la population assuréequi serait significativement différent des tables réglementaires.

La certification de la table de mortalité

La procédure d’agrément des actuaires indépendants habilités à certifier et àsuivre les tables de mortalité (et les lois de maintien en incapacité de travail eten invalidité) est définie par l’Institut des Actuaires, après avis de la Commissionde Contrôle des assurances et de la Commission de Contrôle des mutuelles et desinstitutions de prévoyance [15] :

— Dans le cadre des arrêtés du 19 mars 1993 (entreprises d’assurances), du 13octobre 1993 (mutuelles), du 21 décembre 1993 (institutions de prévoyance)concernant les lois de mortalité.

— Dans le cadre de l’arrêté du 28 mars 1996 (entreprises d’assurances, mu-tuelles et institutions de prévoyance), concernant les lois de maintien enincapacité de travail et en invalidité.

Cette procédure comprend la mise en place d’une Commission d’Agrémentindépendante et souveraine dans ses missions d’habilitation des Actuaires à certifieret à suivre les tables de mortalité et les lois de maintien en incapacité de travail eten invalidité. Elle a été approuvée par les membres de la Commission d’Agrément le3 décembre 2002. Elle a été ratifiée par le Conseil d’administration de l’Institut desActuaires le 11 décembre 2002 et transmise aux autorités de tutelle le 18 décembre2002.

En pratique la mise en place et l’autorisation d’utilisation d’une table d’expé-rience comporte 3 étapes :

— La construction de la table sur les données propres de l’assureur— La première certification suite à la construction— Le suivi annuel

15


Le rapport final de certification doit s’assurer que la table permet à l’assureurde constituer des provisions suffisantes et prudentes. D’après l’article A335-1 duCode des assurances, ce document doit en particulier :

— valider les données utilisées et leurs sources, qu’elles soient internes ou ex-ternes à l’entreprise

— vérifier les hypothèses de travail et les modalités utilisées pour construireles tables de mortalité ou les lois de maintien en incapacité de travail ou eninvalidité

— s’assurer que les principes de prudence communément admis ont été res-pectés, eu égard aux risques induits (en particulier stabilité des tables oudes lois de maintien).

— définir précisément les conditions d’application et de validité des élémentscertifiés, les statistiques ou tableaux de bord à préparer périodiquement parl’entreprise pour permettre le suivi des résultats d’expérience.

Le suivi doit être annuel. En l’absence de suivi, la validité des tables cessedeux ans après leur certification. Avec un suivi régulier, la validité des tables demortalité est limitée à cinq ans.

1.2.4 Intérêt des tables d’expérienceEn général, les normes comptables IFRS conduisent à privilégier le choix d’hy-

pothèses réalistes au travers d’une approche économique de la valorisation de l’en-treprise. Dans le cas particulier de la mortalité, les tables d’expériences, construitessur les données propres à l’assureur décrivent mieux les risques réellement subispar ce dernier que les tables réglementaires.

16

Chapitre 2

Mortalité prospective endémographie

2.1 Histoire de l’étude de la mortalitéLe XXème siècle témoigne de progrès médicaux considérables qui ont contribué

à diminuer la mortalité de l’homme. L’amélioration des conditions d’hygiène ainsique l’utilisation des vaccins et antibiotiques ont fait fortement baisser la mortalitéinfantile. En France, si le nombre de décès avoisine 170 pour 1000 enfants nés en1901, ce taux n’est que 4,5 en 2000.

0

50

100

150

1920 1950 1980 2010

Figure 2.1 – Taux de mortalité infantile en France

17

2.1. Histoire de l’étude de la mortalité

L’augmentation du niveau de vie et les progrès en médecine ont égalementcontribué à diminuer la mortalité des adultes suite à des maladies infectieuses etdes accidents de la vie.

0

25

50

75

100

1920 1950 1980 2010Homme

20

30

40

50

60Age

0

10

20

30

1920 1950 1980 2010Femme

20

30

40

50

60Age

Figure 2.2 – Taux de mortalité des adultes en France

La médecine régénérative, rendue possible par les technique IPS 1 offre de nou-velles possibilité dans les traitements de maladies jusqu’à présent incurables oudifficiles à guérir. Depuis peu, elle permet de corriger les anomalies génétiquespour guérir des maladies génétiques telles que la trisomie. Les avancées dans ledomaine de la médecine régénérative, en particulier les progrès obtenus à partir decellules souches nous laissent croire que l’espérance de vie continuera à croître dansles années à venir. L’évolution de la mortalité humaine n’a pas été techniquementétudiée jusqu’en 1991. Lee & Carter ont mis en place un modèle paramétrique enfaisant figurer un composant de mortalité dépendant de la génération.

1. Induced pluripotent stem cells : procédure de réversion in-vitro pour transformer une celluledifférenciée en cellule souche

18

2.2. Notions techniques

2.2 Notions techniquesAvant de passer aux modèles actuariels, il est utile de rappeler des notions

techniques importantes en modèle de durée.

2.2.1 Durée de vie restanteLa variable aléatoire positive T représente la durée de vie d’un individu de

la population de référence. On définit une suite de variables aléatoires {Tx, x =0, 1, 2, ...} où Tx est la durée de vie résiduelle d’un individu ayant atteint l’âge x

Tx =d [T − x|T > x]

où =d se lit "a la même loi que".Ainsi, la personne vivante à l’âge x décède à l’âge x+ Tx

Probabilité de survie & Quotient de mortalitéLa probabilité de survie entre x et x + t peut s’écrire

tpx = P (Tx > t) = P (T > x+ t|T > x)

Il s’agit de la probabilité qu’un individu vivant à l’âge x survive jusqu’à l’âge x+ t.Nous pouvons également définir tqx la probabilité qu’un individu ayant atteintl’âge x décède avant l’âge x+t .

tqx = 1−t px = P (Tx ≤ t) = P (T ≤ x+ t|T > x)

2.2.2 Fonction de survieLa fonction de survie x → lx

2 décrit le nombre moyen de survivants d’unecohorte de l0 individus tous nés à une même date. Logiquement, la fonction desurvie est décroissante. En théorie, elle est supposée continûment différentiable .

lx = l0 xp0

La différencedx = lx − lx+1 = lx qx

représente le nombre moyen de décès observés parmi les lx individus âgés de xannées. Nous remarquons que

tqx = 1−t px = 1− lx+t

lx

2. x→ S(x)

19


ettqx = tdx

lx

Ici, nous comprenons pourquoi la quantité tqx est appelée quotient de mortalité.En effet, elle est le rapport entre le nombre de décès sur (x, x + t) et le nombred’individus vivants au début de la période.

2.2.3 Temps vécuLe temps vécu d’un groupe d’individus est le nombre moyen d’années vécues

par ses membres entre l’âge x et l’âge x+ t

tLx =∫ t

u=0lx+udu

Si t = 1, on écrit simplement Lx, soit le nombre d’années vécues en moyenne parles individus entre les âges x et x+ 1

2.2.4 Temps résiduelA partir de la quantité tLx, nous définissons la durée de vie résiduelle, qui est

un indicateur caractéristique de la table de mortalité :

Ex =∫ +∞

0lx+udu =

∞∑i=x

Lx

2.2.5 Taux de mortalitéLe taux de mortalité sur (x, x+ t) diffère du quotient de mortalité dans le sens

où le nombre de décès est ramené à un effectif moyen au lieu de l’effectif initial.

tmx = tdx

tLx

Le taux tmx s’exprime en nombre de décès par individu et par an. Il est égalementappelé taux central de mortalité. Nous constatons que si le quotient de mortalitéest une probabilité, i.e quantité sans dimension comprise dans l’intervalle [0, 1], letaux de mortalité est mesuré dans l’unité inverse du temps, et compte des décèspar personne exposée au risque et par unité de temps. Le taux de mortalité estpositif mais n’est pas nécessairement inférieur à 1.

20


2.2.6 Taux instantané de mortalitéLe taux instantané de mortalité 3 noté µx+t est défini par

µx+t = limh→0

P (t < Tx ≤ t+ h|Tx > t)h

= 1tpx

∂

∂ttqx (2.1)

carP (t < Tx ≤ t+ h|Tx > t)

h= t+hqx −t qx

htpx

Grâce à 2.1, un développement de Taylor limité au premier ordre donne :

∆tqx =0 qx + [tpxµx+t]t=0∆t+ o(∆t) = µx∆t+ o(∆t)

et∆tpx =0 px − [tpxµx+t]t=0∆t+ o(∆t) = 1− µx∆t+ o(∆t)

Le lien entre µx et mx

Le taux instantané de mortalité peut être obtenu à partir des taux de mortalité.Nous avons :

∆tmx = ∆tdx∆tLx

= lx − lx+∆t∫∆tu=0 lx+udu

En passant à la limite,lim

∆t→0∆tmx = − 1

lx

dlxdx

carlim

∆t→0

1∆t

∫ ∆t

u=0lx+udu = lx

Nous avons

dlxdx

= lim∆x→0

lx+∆x − lx∆x

= lx lim∆x→0

xp∆x − 1∆x

= lx lim∆x→0

1− µx∆x− 1∆x

= −lxµx

Finalement, nous obtenonslim

∆t→0∆tmx = µx

3. mortality’s force en anglais

21


Le lien entre µx et la probabilité de survie pxSi nous considérons que la variable aléatoire Tx est continue, sa densité de

probabilité s’écrit∂

∂t tqx =t pxµx+t

Cette équation différentielle est à résoudre avec la condition initiale 0qx = 0, onobtient l’expression de tqx

tqx =∫ t

u=0upxµx+udu

Grâce à 2.1, nous obtenons également

∂

∂tlnt px = −µx+t

Cette équation est une équation différentielle de la fonction t →t px. Grâce à lacondition initiale 0px = 1, la solution est

tpx = exp(−∫ t

u=0µx+udu)

2.2.7 Diagramme LexisNous retenons trois variables pour l’analyse de la mortalité : l’âge la génération

ou la date de naissance et la date d’observation. Il suffit de connaître deux variablespour retrouver la troisième. [15]

— L’âge : la variable influence directement et positivement le risque de décès— La date d’observation : le risque de décès peut varier en fonction de circons-

tances telles que catastrophes naturelles et guerres...— La génération : Les différents phénomènes tels que l’amélioration des condi-

tions de vie et les progrès de la médecine peuvent modifier le risque demortalité à un âge donné au cours du temps. De plus, l’historique d’une gé-nération peut influencer la mortalité. Supposons une épidémie intervenantà une date t et décimant des individus à l’âge x, elle peut diminuer le tauxde décès à cette génération via la mécanique de sélection naturelle.

Le diagramme de Lexis peut retracer la vie d’un individu en figurant les troisvariables âge, génération et moment d’observation :

— L’abscisse représente le moment d’observation— L’ordonnée représente l’âge de l’individu— L’axe diagonale représente la génération de l’individu

22


1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

●●

●

● ●●

●

●

Figure 2.3 – Diagramme Lexis d’un extrait du portefeuille

Dans le graphique 2.3, chaque segment diagonal bleu représente la vie d’un in-dividu. Il commence au moment où l’individu rentre dans le portefeuille, et devientdonc observable, et il termine quand l’individu sort du portefeuille, soit suite à undécès soit à une résiliation. Si l’individu en sort suite à un décès, le moment desortie est marqué par un point mortuaire, coloré en rouge ici.

Effectifs à un instant donné L’effectif Sx pour l’âge x de l’année calendaire tobtiennent en faisant l’intersection entre la verticale correspondant à l’année t etle couloir horizontal correspondant à l’âge x.

Sxx

x+1

t

Année calendaire

Age

Effectif de l’âge x de l’année t

23


Effectifs atteignant un âge donné Nous pouvons également déterminer lenombre de Sx individus ayant fêté leur xième anniversaire. Il s’agit du nombrede lignes de vie traversant le segment à l’intersection entre l’horizontale corres-pondant à l’âge x et le couloir vertical correspondant à l’année t. Ces individusappartiennent à la génération t− x.

Sx

x

t+1t

Année calendaire

Age

Effectif à l’âge x au sein d’une même génération

Nombre de décès à un âge donné au cours d’une année considérée Aucours de l’année calendaire t en comptabilisant le nombre des points mortuairesdans le parallélogramme, intersection entre le couloir horizontal de l’âge x et lecouloir vertical de l’année t.

Sxx

t+1t

Année calendaire

Age

Nombre de décès à l’âge x en année t

24


Nombre de décès à un âge donnée d’une même génération Nous détermi-nons le nombre de décès à l’âge x d’une même génération t−x en comptabilisant lenombre de points mortuaires dans le parallélogramme, intersection entre le couloirdiagonal de génération t− x et le couloir vertical de l’année t.

x

x+1

t+1t t+2

Année calendaire

Age

Nombre de décès à l’âge x de la génération t− x

Nombre de décès au cours de l’année considéré d’une même générationNous déterminons le nombre de décès survenus au cours de l’année t des individusd’une même génération t − x en comptabilisant le nombre des points mortuairesdans le parallélogramme, intersection entre le couloir diagonal de génération t− xet le couloir horizontal de l’âge x.

x

x+1

t+1t

Année calendaire

Age

Nombre de décès au cours de l’année t de la génération t− x

25


Nombre de décès au cours de l’année considérée à l’âge considéré et demême génération Il s’agit du nombre de points mortuaires dans le parallélo-gramme, intersection entre le couloir horizontal de l’âge x, le couloir vertical del’année t et celui diagonal de la génération t− x

x

x+1

t+1t

Année calendaire

Age

Nombre de décès à l’âge x au cours de l’année t de la génération t− x

2.2.8 Mortalité longitudinale et mortalité transversaleMortalité transversale Il s’agit de comptabiliser les décès survenus au coursd’une période donnée et ensuite de calculer les taux de décès par âge en rapportantce nombre de décès à l’effectif sous risque. Elle revient à faire une lecture verticaledu diagramme de Lexis. Cette méthode considère des individus de générationsdifférentes pour calculer les taux de mortalité, la table obtenue ne représente lamortalité d’aucune génération réelle. En conséquence, cette méthode d’estimationbiaise la mesure de mortalité si cette dernière évolue au cours du temps. Si nousnous plaçons dans l’hypothèse d’une baisse de mortalité en fonction des généra-tions, la méthode surestime la mortalité réelle.

Mortalité longitudinale La méthode permet de dégager la mortalité d’unegénération donnée en comptabilisant le nombre de décès à l’âge x pour la générationg lors de l’année t :

q1xt = Dxt(t− x)

lx,t+1 +Dxt(t− x)où lx,t+1 représente le nombre de personnes d’âge x au 01 janvier de l’an t+ 1. Lequotient exprime en conséquence la probabilité qu’un individu de la génération t−x

26


décède à l’âge x l’année t. De plus, la probabilité qu’un individu de la générationt− x− 1 décède à l’âge x à l’année t est :

q2xt = Dxt(t− x− 1)

lx,t

Afin de survivre entre le xème et le x + 1ème anniversaire, il faut survire de sonxème anniversaire à la fin de l’année civile et ensuite de la fin de l’année civile àson x+ 1ème anniversaire. En conséquence, le quotient de mortalité s’écrit :

1− qxt = (1− q1xt)(1− q2

xt)

Le taux de mortalité à l’âge x pour l’année t est exprimé de la manière suivante :

mx = Dxt12(lx,t + lx,t+1)

2.2.9 Espérance de vie résiduellePar définition, l’espérance de vie résiduelle est définie de la manière suivante :

ex = E(Tx)

= Exlx

= 1lx

∫ +∞

0lx+udu

Ordexdx

= 1l2x

(−l2x − ( d

dxlx)∫ +∞

xludu

)et

µx = − d

dxln(lx)

On en déduitdexdx

= −1 + µxex

La version discrète de la formule est

ex = 1Lx

∑h>0

Lx+h

Cela signifie que quand le taux de mortalité est faible, l’espérance de vie résiduellediminue d’environ un an chaque année ; en revanche, quand le taux de mortalitéest grand, on peut observer une augmentation de l’espérance de vie résiduelle.Graphiquement, le graphe de l’espérance de vie résiduelle ex suit une pente -1jusqu’à l’âge de 75 ans pour ensuite s’incurver. A partir de cet âge, le graphe suitbien une courbe polynomiale d’ordre 2.

27


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120Age

Femme Homme

Figure 2.4 – Espérance de vie résiduelle en fonction de l’âge

28


2.2.10 EntropieLa baisse de mortalité moyenne affecte peu l’âge ultime de vie, ce qui crée

un phénomène d’orthogonalisation des taux de mortalité au cours du temps. Lephénomène est traduit par des décès à un âge de plus en plus élevé.

0

25000

50000

75000

100000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120Age

Figure 2.5 – Orthogonalisation des taux de mortalité masculine en France

Pour mesurer ce dernier, on utilise la notion de l’entropie

H =∫+∞

0 lxln(lx)dx∫+∞0 lxdx

Comme µx = − ddxln(lx), l’expression de l’entropie devient

H =∫+∞

0 lxµxexdx∫+∞0 l0e0

avec ex l’espérance de vie résiduelle à l’âge x. L’entropie peut être discrétisée

H =∑h>0 lx+hln(lx+h)∫

h>0 lx+h

L’entropie est donc le rapport entre le nombre moyen d’années perdues par décèsà la somme d’années possibles de la population à la date initiale. Numériquement,

29


l’entropie est nulle si et seulement si tous les décès se produisent au même âge.Quand l’entropie atteint sa valeur extrême, H = 1 , le taux instantané de mortalitéest constant. L’entropie est de l’ordre de 0,5 à la fin du XIX ième siècle et de 0,15aujourd’hui.

2.2.11 Répartition des décès dans l’annéeL’unité de temps dans les données en démographie est l’année. Cela nécessite

en conséquence une hypothèse de mortalité au cours de l’année. Nous trouvonsdans la littérature trois hypothèses [17] :

— Hypothèse exponentielle : les taux instantanés de décès entre deux âges nonentiers sont constants

— Hypothèse de la répartition linéaire des décès au cours de l’année— Hypothèse de Balducci : 1−tqx+t = (1− t)qx

Dans notre cas d’étude, l’hypothèse de Balducci peut être immédiatement écartéecar elle suppose que les taux instantanés de mortalité sont décroissants entre deuxâges entiers :

µx+t = − ∂

∂t tpx

= qxpx + tqx

Il reste alors à choisir entre deux premières hypothèses. Notons T cx et T lx les duréesde vie résiduelles respectivement dans la première hypothèse et la deuxième, nousobtenons l’inégalité

Scx(x) ≤ Slx(x)

En effet, soit t un moment donnée, il peut être écrit comme t = [t] + r avec0 ≤ r < 1.

Scx(x) = P(T cx > t)= P(T lx > [t] + r)=k px.p

rx+k

et

Slx(x) = P(T lx > t)= P(T lx > [t] + r)=k px(1− rqx+k)

30

2.3. Modèle Lee-Carter

Soit 0 ≤ r < 1, nous avons l’inégalité suivante :

(1 + x)r ≤ 1 + rx

1− r(1− px+k) ≥ prx+k

Nous pouvons donc obtenir l’inégalité Scx(x) ≤ Slx(x)Nous en déduisons que

ecx(x) ≤ elx(x)Dans le cadre d’une tarification de la garantie décès, il est en conséquence plusprudent de retenir l’hypothèse exponentielle car elle fournit une espérance de vieinférieure.

tqx = 1− (1− qx)t

2.3 Modèle Lee-CarterLa méthode de Lee & Carter [18] consiste à décomposer la mortalité en deux

composantes, la première est due à l’âge x et la deuxième est due à la générationt. Les deux composantes peuvent être ensuite extrapolées. Soit µx(t) le taux ins-tantané de mortalité relatif à l’âge x et à la génération. Le modèle de Lee-Carterannonce que

lnµx(t) = lnµx(t) + εxt (2.2)Avec

µx(t) = exp(αx + βxκt) (2.3)où les erreurs εxt sont supposés gaussiennes centrées réduites N(0, σ2

ε ).L’idée du modèle est d’ajuster à la série indicée par âge et année des logarithmesdes taux instantanés de décès une structure paramétrique à laquelle s’ajoute unphénomène aléatoire. Le critère d’optimisation retenu va consister à minimiser lavariance des erreurs.Le paramètre αx représente la valeur moyenne des lnµxt, logarithmes de tauxinstantanés de mortalité au cours des années.Le coefficient κt représente la tendance globale de la mortalité en année t.La dérivée de l’expression 2.3 par rapport à l’année donne

lnµxtdt

= βxdκtdt

Le coefficient βx représente en conséquence la sensibilité de la mortalité instantanéeà l’âge x par rapport à l’évolution de κt

dlnµxtdκt

= βx

31


Le modèle suppose donc que cette sensibilité est constante au cours du temps pourchaque âge. Or il est improbable que cette sensibilité reste identique, par exemplepour l’âge de 50 ans entre 2012 et 1972.

Finalement, une structure gaussienne centrée réduite des bruits εxt impliquel’homoscédasticité des taux instantanés de mortalité, ce qui néglige le phénomènede fluctuation d’échantillonnage. En effet, nous avons bien moins d’observationsconcernant les âges élevés et donc une plus grand incertitude en estimation.

2.3.1 Estimation des paramètresLe modèle n’est pas identifiable puisqu’il est invariable par les transformations

(αx, βx, κt)→ (αx,βxc, κtc)

(αx, βx, κt)→ (αx − cβx, βx, κt + c)

avec c une constante. Pour le rendre identifiable, nous ajoutons les contraintes :tmax∑t=tmin

κt = 0 etxmax∑x=xmin

βx = 1

Nous obtenons les paramètres par un critère de moindres carrés non linéaire :

(αx, βx, κt) = argmin∑x,t

(lnµ∗xt − αx − βxκt)2

Le programme d’optimisation comprend 2(xM−xm+1) + (tM−tm−1) estimations.En dérivant ∑x,t (lnµ∗xt − αx − βxκt)2 par rapport à αx

∂

∂αx

∑x,t

(lnµ∗xt − αx − βxκt)2 = 2(tM − tm + 1)αx − 2tM∑t=tm

(lnµ∗xt − βxκt))

Or ∑tmaxt=tmin κt = 0, on obtient un estimateur du coefficient αx :

αx = 1tM − tm + 1

tM∑t=tm

ln(µx,t)

Lee et Carter utilisent ensuite le procédé d’algèbre linéaire de décomposition envaleurs singulières 4 de la matrice Zx,t = [ln(mx,t)−αx] pour obtenir les estimationsde βx et κt :

SV D(Zx,t) =r∑i=1

√ρiUi

tVi

4. SVD : Singular Value Decomposition

32


Décomposition en valeurs singulières [20] Soit la matrice A ∈ Mp×q, ellepeut être écrite sous la forme :

A = L

[∆ 00 0

]M ′ (2.4)

où L et M sont orthogonales et ∆2 est la matrice diagonale dont les coefficientscorrespondent aux valeurs propres strictement positives de AtA et de tAA.

Nous en déduisons

L′AA′L =[∆2 00 0

]et M ′A′AM =

[∆2 00 0

](2.5)

Nous remarquons que :1. Les matrices AtA et tAA sont définies non-négatives. Elles ont les mêmes

valeurs propres non nulles, qui sont d’ailleurs positives.2. Nous retenons que L ∈Mptimesp, M ∈Mqtimesq et ∆2 ∈Mr×r

3. Les matrices L et M existent toujours et ne sont pas uniques.

En effet, les matrices AA′ et A′A sont symétriques, et L et M existent et sontorthogonales. ∆2 est une matrice diagonale dont les r valeurs propres réelles po-sitives sont celles de AA′ et de A′A. Ecrivons L sous la forme

[L1 L2

]avec L1

ayant r colonnes. L est orthogonale, nous avons donc

L′1L1 = Ir et L1L′1 + L2L

′2 = Ip

A partir de 2.5, nous avons

L′1AA′L1 = ∆2 L′1AA

′L2 = 0 ; L′2AA′L2 = 0

Définissons la matriceM1 = A′L1∆−1 de l’ordre (q×r) et choisissonsM2 de l’ordreq × (q − r) pour que M =

[M1 M2

]car M1 est orthogonale. En effet

M ′1M1 = ∆−1L′1AA

′L1∆−1 = ∆−1∆2∆−1 = Ir

et les colonnes de M2 peuvent être calculées comme solutions orthogonales deM ′

1x = 0. Nous avons finalement

L

[∆ 00 0

]M ′ = L1∆M ′

1 = L1∆∆−1L′1A = L1L′1A = A

Les coefficients de la matrice ∆ sont appelés les valeurs singulières de A. Ils sontégaux aux racines carrées positives des valeurs propres positives de AA′ ou de A′A.

33


Concrètement, nous posons {ρ1 ≥ ρ2 ≥ ... ≥ ρr} , valeurs propres de la matrice Yx,tavec r = rank(Yx,t). Ui est le vecteur propre normé de tZZ associé à ρi et Vi est levecteur propre associé à la même valeur propre pour tZZ. En effet, nous avons larelation tZZ(ZUi) = ρiZUi car tZZUi = ρiUi. Les deux matrices transposées ontles mêmes valeurs propres avec des ordres de multiplicités identiques. En posantVi = 1√

ρiZUi, nous avons ZUi tU = √ρiVi tUi . Finalement, nous obtenons une

approximation de ZZ ' √ρiV1

tU1

La qualité de cette approximation est mesurée par la part d’inertie expliquée, ρ1∑iρi.

Nous en déduisons les estimateurs de βx et κt :

βx = V1∑j V1j

etκt = √ρ1

∑j

V1jU1

−8

−6

−4

−2

0 25 50 75 100Age

Ax

−7.5

−5.0

−2.5

0 25 50 75 100Age

Ax

0.01

0.02

0 25 50 75 100Age

Bx

0.005

0.010

0.015

0.020

0 25 50 75 100Age

Bx

−60

−30

0

30

1960 1980 2000Année

Kt

−40

0

40

1960 1980 2000Année

Kt

Figure 2.6 – Lee-Carter appliqué à la population française

34


L’objectif est d’utiliser les résultats de cet ajustement pour extrapoler les tauxde mortalité pour t > tM : l’idée est d’analyser la série des κt, qui capture l’infor-mation sur l’évolution temporelle de ces taux pour lui ajuster un modèle de typeARIMA. Cependant, une modélisation plus simple par une régression linéaire peutêtre envisagée [15].

k∗t = at+ b+ εt

avec εt un bruit blanc gaussien.

Homme

Kt

1960 1980 2000 2020

−10

0−

500

50

Femme

Kt

1960 1980 2000 2020

−10

0−

500

50

Figure 2.7 – Extrapolation de la tendance temporelle

2.3.2 Fermeture de la tableLa décomposition en valeurs singulières nécessite que nous disposions d’une

matrice rectangulaire de taux instantanés de décès. Par conséquence, la méthodeLee-Carter ne peut pas être appliquée aux grands âges dont l’effectif disponibleest faible. Nous devons alors compléter la table après ajustement. La procédures’appelle la fermeture de table. Les auteurs Denuit et Quashie ont proposé plusieursméthodes pour fermer les tables [11]. Toutefois, l’ancienne méthode de fermeturede table proposée par Coale et Kiske [2], plus simple à mettre en œuvre, produitdes résultats très proches pour les âges qui ne sont pas très élevés [15]. La méthode

35


consiste à extrapoler les taux de mortalité aux grands âges en utilisant :

µx = µ65exp (gx(x− 65))

Avec gx le taux moyen de croissance de µx entre 65 et l’âge x. Nous calculons enconséquence la série gx jusqu’à un certain âge pour ensuite l’extrapoler aux âgesplus élevés. La démarche est justifiée par le fait que les courbes des gx atteignentun pic au voisinage de 80 ans pour ensuite décroître linéairement. En conséquence

gx = g80 + s(x− 80) , x ≥ 80

La valeur de s est calibrée de manière suivante

s = − ln(µ79 + 31g80)465

etg80 = 1

15 lnµ80

µ65

Nous en déduisons les taux instantanés de mortalité µx extrapolés

µx = µx−1exp (g80 + s(x− 80))

= µx−1exp

(115 ln

µ80

µ65− ln(µ79 + 31g80)

465 (x− 80))

36


2.3.3 L’effet de cohorte

Homme

Age

−0.3

−0.3 −0.3

−0.2

−0.

2

−0.2

−0.2

−0.1

−0.1

−0.

1

−0.

1

−0.1

−0.1

−0.

1

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0 0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

020

4060

8010

0

Femme

Age

−0.2

−0.2

−0.2

−0.2

−0.

2

−0.1

−0.1

−0.

1

−0.1

−0.1

−0.

1

−0.1 −0.

1

−0.1

−0.1

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.3

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

020

4060

8010

0

Figure 2.8 – Surface de résidus du modèle Lee-Carter (vue du zénith)

Les résidus du modèle de Lee-Carter contiennent l’effet de cohorte. Le proposest justifié par une lemme annonçant que les effets qui sont liés uniquement àl’année de naissance ne peuvent pas être décomposés sous le forme βxκt [22]. Nousconcluons que l’effet de cohorte est concentré dans les résidus du modèle.Considérons la matrice R = βxκt une matrice de Mn,T avec n ≥ T satisfaisant cesconditions :

(1) βx ≥ 0 ∀x(2) ∑ βx = 1(3) ∑κt = 0(4) βiκj = βi+1κj + 1 ∀(i, j)

Alors R est une matrice nulleNous voulons mettre en évidence la structure de cohorte persistante dans les résidusdu modèle de Lee-Carter. Pour cela, nous commençons par classer les termes derésidus par ordre d’année de naissance, notée T.

cT (x) = εx,T+x

37

Chapitre 3

Mortalité prospective d’unportefeuille Prévoyance

Le modèle Lee-Carter est fondé sur l’hypothèse d’homoscédasticité des erreursrequises pour l’estimation par moindres carrés ordinaires, ce qui est son principaldéfaut. En effet, le logarithme du taux instantané de mortalité observé est géné-ralement bien plus variable aux grands âges que chez les plus jeunes à cause dufaible nombre d’observations. Par ailleurs, l’article d’Alho en 2000 montre que lecritère des moindres carrés menant à la décomposition aux valeurs singulières estcertes raisonnable mais n’est pas optimal. Dans ce contexte, Brouhns, Denuit &Vermunt ont proposé une méthode alternative à celle de Lee-Carter. L’idée consisteà modéliser la mortalité conditionnelle par une loi de Poisson.

3.1 Première modélisation de la mortalité parune loi de Poisson

La loi de Poisson a été développée par Siméon Denis Poisson pour modéliserles décisions de jurys. Elle s’est fait connaître par son utilisation pour modéliserle nombre de décès[5]. En 1898, l’économiste et statisticien russo-polonais Ladis-laus Bortkiewics l’a utilisée pour modéliser les décès des officiers prussiens suiteaux accidents de cheval pendant 20 ans. Les nombres d’accidents sont disposés enfonction de l’année de survenance et de l’unité où ont lieu les accidents dans letableau ci-dessous : [12]

A B C D E F G H I J K M N O1875 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 01876 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1

38

3.1. Première modélisation de la mortalité par une loi de Poisson

1877 2 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 01878 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 01879 0 0 0 1 1 2 2 0 1 0 0 2 1 01880 0 3 2 1 1 1 0 0 0 2 1 4 3 01881 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 01882 1 2 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 4 11883 0 0 1 2 0 1 2 1 0 1 0 3 0 01884 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 11885 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 11886 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 3 01887 1 1 2 1 0 0 3 2 1 1 0 1 2 01888 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 01889 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 21890 1 2 0 2 0 1 1 2 0 2 1 1 2 21891 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 3 3 1 01892 1 3 2 0 1 1 3 0 1 1 0 1 1 01893 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 3 0 01894 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0

On peut alors s’intéresser à la loi du nombre d’accidents

# décès 0 1 2 3 4 >5Fréquence 144 91 32 11 2 0

Bortkiewics réalise une modélisation du nombre de décès D par une loi dePoisson. La fonction de densité d’une distribution Poisson de paramètre λ s’écrit :

p(x;λ) = e−λλx

x!

Puisque E(D) = V(D) = λ, l’espérance et la variance peuvent être estimées parun seul estimateur par maximum de vraisemblance, la moyenne empirique.

λ = 1n

n∑i=1

Di

Pour les données accidents de cheval, nous obtenons λ = 0.7 . A partir de cetteestimation, nous pouvons estimer les fréquences des nombres de décès par annéeet par corps d’armée.

39

3.1. Première modélisation de la mortalité par une loi de Poisson

0

50

100

150

0 1 2 3 4Nombre de décès

Fré

quen

ce

Observes

Estimes

Figure 3.1 – Décès par accident de cheval observés et estimés

En vertue du théorème central limite, la moyenne empirique est asymptotique-ment gaussienne pour un grand nombre d’observations.

Z ∼ D − λ√λ/n

En conséquence, nous pouvons construire une intervalle de confiance de 1− α :

P(−zα2< Z < zα

2) = 1− α

D’après l’intervalle de confiance de Agresti-Coull, qui est une approximationde l’intervalle de confiance binomiale [1], nous obtenons l’inégalité suivante

X +z2α/2

2n − zα/2

√X

n+z2α/2

4n2 ≤ λ ≤ X +z2α/2

2n + zα/2

√X

n+z2α/2

4n2

Numériquement, l’intervalle de confiance de 95% est [0.61, 0.81]

40

3.2. La mortalité prospective à partir de la loi de Poisson

3.2 La mortalité prospective à partir de la loi dePoisson

Plutôt que de modéliser directement le nombre de décès du portefeuille D, nousformulons le problème sur la base de la mortalité conditionnelle [14]

(D|Θ) ∼ Poi(λ|Θ)

Avec Θ dépendant de l’âge x de l’assuré et l’année t d’observation. Le paramètreλ est formalisé de la façon suivante :

λx,t = Ex,t exp(αx + βxκt)

Avec Ex,t l’exposition au risque de décèsNous remarquons que

E(D|Θ) = Ee,t exp(αx + βxκt)E(D|Θ)Ex,t

) = exp(αx + βxκt)

ln(µx,t) = αx + βxκt

En considérant la fonction lien logarithmique, nous nous plaçons dans le cadre d’unmodèle linéaire généralisé par rapport à un modèle linéaire simple de Lee-Carter.La structure du taux de mortalité proposée par Lee-Carter n’est pas mise en causemais la structure des bruits l’est. C’est pourquoi la composante temporelle κt peutêtre extrapolée de la même manière que dans le modèle Lee-Carter.

Brouhns et al. démontre que l’hypothèse de constance de mortalité justifie lamodélisation de nombre de décès par la loi Poisson[13]. Considérant un couple(x,t) particulier. Nous comptons Dxt décès parmi Nxt individus d’âge x au débutde la période d’observation annuelle. Nous pouvons supposer dans ce contexteque les durées de vie des individus sont des variables aléatoires indépendantes etidentiquement distribuées. Pour chaque individu des Nxt, on associe une variablebinaire δi indiquant s’il est décédé ou non, i.e

δi =

1, si l’individu i est décédé à l’âge x0, sinon

(3.1)

avec i = 1, 2, .., Nxt. Nous définissons également τi comme le temps vécu parl’individu i. Ainsi τi = 1 si l’individu i atteint l’âge x+1 et τi représente la fractiond’année vécue par l’individu i s’il décède à l’âge x. Nous supposons disposer pourchacun des Nxt individus des observations (δi, τi). Grâce à l’hypothèse de constantede taux instantané de mortalité dans chaque carré du diagramme de Lexis, i.e

µx+ε(t+ τ) = µx(t) ∀(ε, τ) ∈ [0, 1]2

41


Nous déduisons que

px(t) = 1− qx(t) = exp(−µx(t))

En conséquence, la contribution du ième individu à la vraisemblance est

px(t) = exp(−µx(t))

si l’individu i survit ou

τipx(t)µx+τi(t+ τi) = exp(−τiµx(t))µx(t)

si l’individu i décède. Nous simplément écrivons la contribution du ième individusous la forme

exp(−τiµx(t))µx(t)δi

Or les variables aléatoires sont supposées indépendantes, la vraisemblance associéeaux Nxt individus se met sous la forme

V (µx(t) =Nx,t∏i=1

exp(−τiµx(t))µx(t)δi

= exp(−µx(t)τ•)µx(t)δ•

avec τ• = ∑Nxti=1 τi le temps total vécu par les Nxt individus au cours de l’année t

et δ• = ∑Nxti=1 δi le nombre de décès observés à l’âge x au cours de l’année t. La

vraisemblance ci-dessous diffère à un facteur constant près de la vraisemblance dela loi de Poisson (D|Θ) ∼ Poi(λ|Θ), ce qui justifie l’utilisation de la loi Poisson.Nous notons que la

(D|Θ) ∼ Poi(λ|Θ)est une approximation du modèle naturel

Dxt ∼ Binomiale(Nxt, qx(t))

Brillinger [4] a montré également que sous des hypothèses raisonnables formulées àpropos des processus gouvernant les naissances et les décès, la loi Poisson apparaîtnaturellement pour modéliser le nombre de décès aux différents âges.

Le modèle peut être estimé par la méthode de maximum de vraisemblance etnon plus par la décomposition aux valeurs singulières. En conséquence, les matricesde décès et d’expositions n’ont plus besoin d’être pleines, ce qui est plus adaptéaux échantillons de taille relativement réduite. Puisque Dx,t ≈ Poisson(Ex,tµx,t),nous avons

P (Dx,t = d) = (Ex,tµx,t)dd! exp(−Ex,tµx,t)

42


Soit dx,t la valeur observée de la variable aléatoire Dx,t, nous en déduison l’ex-pression de la log-vraisemblance du modèle :

lnL(α, β, κ) =∑t

∑x

(dx,t ln(Ex,tµx,t)− Ex,tµx,t − ln(dx,t!))

=∑t

∑x

(dx,t ln(Ex,t) + dx,t(αx + βxκt)− Ex,t exp(αx + βxκt)− ln(dx,t!))

=∑t

∑x

(dx,t(αx + βxκt)− Ex,t exp(αx + βxκt)− ln(dx,t!)) + cte.

avec µx(t) = exp(αx +βxκt) Etant donnée la présence du terme non linéaire βxκt,nous ne pouvons pas obtenir une solution analytique de l’équation de vraisem-blance. Les trois paramètres peuvent en revanche être obtenus par une résolutionnumérique par l’algorithme itératif utilisant la méthode de Newton-Raphson pro-posée par Goodman[9]. A chaque itération, chaque ensemble de paramètres est misà jour en fixant les autres à leurs valeurs courantes. A partir des valeurs initialesα0x, β0

x et κ0t , les jeux de trois paramètres sont mis à jour de la manière suivante

αi+1x = αix −

∑t

(dxt − Ext exp(αix + βixκ

it))

−∑t

(Ext exp(αix + βixκ

it))

κi+1x = κix −

∑t

(dxt − Ext exp(αix + βixκ

it))βix

−∑t

(Ext exp(αi+1

x + βixκit))

(βix)2

βi+1x = βix −

∑t

(dxt − Ext exp(αi+1

x + βixκi+1t )

)κix

−∑t

(Ext exp(αi+1

x + βi+1x κi+1

t ))

(κi+1x )2

Concernant les valeurs initiales pour amorcer l’algorithme, il est important d’éviterde prendre β0

x = 0 qui produit une division par zéro dans le calcul de κ1t . Il

reste à définir un critère d’arrêt pour l’algorithme : l’augmentation relative delog-vraisemblance n’excède plus une borne inférieure fixée, 10−4 par exemple.

Finalement, il est nécessaire de transformer les valeurs obtenues afin de res-pecter les contraintes d’identifiabilité de la même manière que dans le modèle deLee-Carter, i.e :

tmax∑t=tmin

κt = 0 etxmax∑x=xmin

βx = 1

Nous pouvons transformer βx et κt de manière suivante :

β?x = βx∑xβx

43


etκ?t =

(κt − ¯κ

)M

avec ¯κ la moyenne arithmétique des κt et M une constante.

Nous remarquons que

αx + βxκt = α?x + β?xκ?t

= α?x + βx∑xβx

(κt − ¯κ

)M

En choisissant M = ∑xβx , nous simplifions l’expression de α?x

α?x = αx + ¯κ

Comme dans le modèle de Lee-Carter, la tendance temporelle κt peut êtreextrapolée soit par un modèle de type ARIMA ou soit par une régression linaire :

k∗t = at+ b+ εt

avec εt un bruit blanc gaussien.La qualité d’ajustement peut être mesurée par la déviance qui est définie comme

−2 fois la différence entre la log-vraisemblance lnL(α, β, κ) du modèle et celle dumodèle saturé 1

D = 2t=tmax∑t=tmin

t=tmax∑t=tmin

(dxtln

dxt

λxt− (dxt − λxt)

)

Également, dans le but de comparer la qualité d’ajustement à celle du modèleLee-Carter, nous utilisons la mesure basée sur la part de la variance temporelle àun âge x fixé expliquée par le modèle [13]

1−1

tmax−tmin∑t(∆x(t))2 − ( 1

tmax−tmin∑t ∆x(t))2

1tmax−tmin

∑t(µx(t))2 − ( 1

tmax−tmin∑t µx(t))2

avec µx(t) l’estimation brute de µx(t) et ∆x(t) = µx(t) − exp(α∗x + β∗xκ∗t ) Pour

les grandes populations, les taux donnés par la méthode Log-Poisson sont prochesdes taux donnés par Lee-Carter.

Le modèle Log-Poisson présente un avantage crucial par rapport au Lee-Cartergrâce à l’estimation de maximum de vraisemblance qui n’exige pas que les matrices

1. Modèle saturé : modèle contenant autant de paramètres que d’observations

44

3.3. Simulation d’un portefeuille Prévoyance

de décès par âge et par années soient pleines. En conséquence, il est logiquementpréféré dans les cas de petits échantillons tels que le portefeuille d’une sociétéd’assurance vie. Afin d’illustrer ce propos, nous allons d’abord générer un porte-feuille de polices d’assurances ayant des caractéristiques proches du portefeuillePrévoyance d’AXA France.

3.3 Simulation d’un portefeuille PrévoyanceNous considérons un portefeuille de contrats prévoyances ayant 18 ans d’histo-

risque. Nous allons simuler les âges à la souscription, les dates d’entrée, et les datesde sortie du portefeuille. En effet, un contrat peut sortir du portefeuille soit suiteà une demande de l’assuré souscripteur (résiliation ou rachat) soit suite au décèsde ce dernier. La simulation nécessite la loi marginale de l’âge des assurés, celle dumoment d’entrée en portefeuille et finalement une expression de dépendance entredeux lois marginales.

Nous commençons dans un premier temps à simuler l’âge à la souscription etle moment de souscription.

3.3.1 Modèle Gaussien bivariéNous adoptons d’abord un modèle où les deux lois marginales sont gaussiennes.

Notons X l’âge à la souscription de l’assuré et T la date de la souscription. A partirde deux vecteurs gaussiens centrés réduits, nous pouvons simuler aisément les deuxvariables aléatoires X et T sachant une corrélation r

X =√

1− r2σXN1(0, 1) + rσxN2(0, 1) + µX

etT = σTN2(0, 1) + µT

L’avantage du modèle réside dans sa simplicité d’application. En effet, il suffit decalibrer la moyenne et l’écart type de l’âge et le moment de souscription par rapportau portefeuille cible. Le facteur de dépendance r a facilement été inséré dans lesexpressions analytiques ci-dessus. Nous remarquons que le forme de cloche de lavariable âge à la souscription illustre une situation courante d’un portefeuille decontrats d’assurance, i.e la faible volumétrie des petits et grands âges. Cependant,le modèle gaussien bivarié ne reflète pas fidèlement un portefeuille réel. En effet, lesdonnées réelles sont souvent non-négatives et asymétriques. Dans le cas de notreportefeuille cible, l’âge à la souscription et l’année de naissance de l’assuré suiventune loi de Gamma.

45


3.3.2 Modèle Gamma bivariéL’usage des lois marginales non gaussiennes demande l’intervention d’une co-

pule pour exprimer la dépendance entre variables aléatoires. En effet, d’après lethéorème de Sklar 2 [21] : soit C une copule bi-variée, et FX et FT deux fonctionsde répartitions alors C(FX(x), FT (t)) est une fonction de répartition de marginalesFX et FT

F(X,T ) = C(FX(x), FT (t))

Le choix de la copule dépend de la structure de dépendance du portefeuille cible[8].Le choix d’une copule gaussienne est retenu pour exprimer la dépendance entredeux variables âge à la souscription et la date de naissance de l’assuré qui suiventdeux distributions de Gamma. La copule gaussienne fait partie de la famille de co-pules elliptiques. Elle exprime la dépendance symétrique. L’enjeu est que la copulegaussienne est sous-jacente à la distribution normale multivariée. La modélisationde la structure de dépendance d’un portefeuille par une copule gaussienne est co-hérente avec la mesure de la dépendance par le coefficient de corrélation linéairede Pearson[16] ρ = cov(X,Y )

σX .σC. Nous pouvons effectuer un test statistique d’adéqua-

tion de la structure de dépendance de notre échantillon à une copule gaussienneen s’appuyant sur la statistique de Cramér-von Mises[6]. L’expression de la copulegaussienne bidimensionnelle est la suivante :

CΣ(x, y) = ΦΣ(Φ−1(x),Φ−1(y)

)Avec Φ−1 l’inverse de la distribution gaussienne centrée réduite univariée et ΦΣla fonction de répartition de la loi gaussienne centrée réduite bidimensionnelle dematrice de variance covariance Σ

ΦΣ(x) =exp(−1

2xΣ−1x′)2π√det(Σ)

La fonction de densité de la copule peut en être déduite :

cΣ(x, y) = 1√det(Σ)

exp

−12

(Φ−1(x)Φ−1(y)

)T(Σ−1 − I2)

(Φ−1(x)Φ−1(y)

)Avec I2 la matrice unité de dimension 2.

2. Abe Sklar, professeur en mathématiques appliquées de l’Institut de Technologie - Illinois,Etat-Unis

46


xis

yis

zmat

xis

yis

zmat

Figure 3.2 – Distribution gamma bivariée - Densité de probabilité et fonction derépartition

L’implémentation informatique est réalisé en R avec l’aide du package copulas[23]. Nous pouvons comparer le portefeuille simulé et le portefeuille réel graphi-quement et ou en utilisant le test de Kolmogorov-Smirnov.

20

40

60

80

1940 1960 1980Date de naissance

Age

200

400

600

800

Nombre

Figure 3.3 – Portefeuille simulé avec le modèle Gamma bivarié

Nous simulons ensuite la vie de chaque contrat en utilisant la loi de sortie

47

3.4. La méthode Log-Poisson appliquée au portefeuille

suite aux rachats, réductions et décès. Elle est fixée à 10.0% dans cette simulation.Finalement, nous obtenons un portefeuille simulé dont les variables disponibles sontla date de naissance, la date de souscription et la date de sortie. Nous pouvonsalors calculer les expositions au risque du portefeuille.

20

30

40

50

60

70

80

1990 1995 2000 2005 2010Hommes

Age

500

1000

1500

2000

2500Expositions

20

30

40

50

60

70

80

1990 1995 2000 2005 2010Femmes

Age

500

1000

1500

2000

2500Expositions

Figure 3.4 – Expositions au risque de décès (en année)

3.4 La méthode Log-Poisson appliquée au por-tefeuille

Nous ventilons les nombres de décès et expositions en fonction de l’âge et del’année d’observation pour pouvoir ensuite estimer les coefficients αx,βx et κt dumodèle Log-Poisson

48

3.4. La méthode Log-Poisson appliquée au portefeuille

−6.4

−6.0

−5.6

45 50 55 60 65Age

ax

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

45 50 55 60 65Age

bx

−2.5

0.0

2.5

5.0

2001 2003 2005 2007 2009 2011Année

kt

−6.75

−6.50

−6.25

50 55 60Age

ax

0.00

0.05

0.10

50 55 60Age

bx

−4

0

4

2003 2005 2007 2009 2011Année

kt

Figure 3.5 – Les coefficients αx,βx et κt des hommes(à g.) & des femmes (à d.)

Nous en déduisons par conséquence les taux instantanés de mortalité µxt. Grâceau choix de l’hypothèse exponentielle de la répartition de mortalité, nous obtenonsl’estimation du quotient de mortalité via l’approximation

qxt = 1− exp(−µxt)

49

3.5. Régression logistique à une référence externe

Age

45

50

5560

65

Année

20022004

20062008

20102012

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

Age

50

55

60

Année

20042006

20082010

2012

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

Figure 3.6 – Les quotients de mortalité des hommes(à g.) & des femmes (à d.)

De la même manière que dans le modèle Lee-Carter, nous pouvons effectuerune extrapolation du coefficient κt,

3.5 Régression logistique à une référence externeNous ne disposons pas d’assez de données pour structurer directement la mor-

talité prospective de notre portefeuille. Il s’avère nécessaire de positionner les tauxbruts de mortalité du portefeuille par rapport à la table de référence TGH05/TGF05afin d’étudier la mortalité d’expérience à travers cette référence. En conséquence,nous commençons par positionner les quotients de mortalité par rapport à la tablegénérationnelle règlementaire TGH05/TGF05 par une régression logistique propo-sée par [3]

ln qxt1− qxt

= alnqTG05xt

1− qTG05xt

+ b+ εxt

La régression logistique part du constat que sur un large intervalle d’âge, ici[30, 90] (cf. graph 3.7(b)), le logit des quotients de mortalité a une tendance linéaire.Un autre avantage de la fonction logistique réside dans son support ] −∞,+∞[,ce qui simplifie la mise en œuvre de modèles de régression. Appliqué au quotientde mortalité qxt, le logit prend la forme suivante

50

3.6. Qualité d’ajustement

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

(a)

−7.5

−5.0

−2.5

0 25 50 75 100Age

lg(x

)

Femme

Homme

(b)

Figure 3.7 – Fonction logistique & Logit de mortalité

Nous retenons ici le critère de type moindres carrés pour juger la qualité de larégression, ce qui est justifié par le fait que la régression logistique reste un modèlelinéaire ordinaire. Le modèle permet également une extrapolation des taux dansles plages d’âge pour lesquelles les données d’expérience sont insuffisantes.Nous remarquons que le logit du quotient de mortalité des tables TGH05 & TGF05peut être décrit par un modèle de type Lee-Carter [15], i.e

lnqTG05xt

1− qTG05xt

= αx + βxκt

En conséquence, nous déduisons l’expression du logit du quotient de mortalité duportefeuille qui suit aussi un modèle de type Lee-Carter

lnqTG05xt

1− qTG05xt

= a(αx + βxκt) + b+ εxt

= (aαx + b) + (aβx)κt + εxt

La tendance temporelle κt de la référence externe est ici reprise pour les donnéesd’expérience.

3.6 Qualité d’ajustementNous calculons le nombre de décès estimé ou théorique à partir des taux de

mortalité obtenus, ce qui permet de calculer le SMR 3 du portefeuille.

3. Standardized mortality ratio

51


SMR = Nombre de décès observésNombre de décès estimés

Nous donnons une importance aux âges supérieurs à 50 ans car il s’agit de laplage d’âge de souscription du produit Obsèques. Le SMR des hommes reste endessous du seuil 1 pour les âges supérieurs à 50 ans à l’exception de l’intervalle[50, 53] et aux âges 60, 62 et 66 où les taux de décès ont été légèrement sous-estimés. Le SMR des femmes est plus volatile au voisinage du seuil 1 ; les taux demortalité sont sous-estimés pour les âges 55 et [60, 66]. La volatilité du SMR desfemmes peut être expliquée par la taille réduite de l’échantillon.

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25Homme

Age

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

0.0 0.3 0.6 0.9 1.2Femme

Age

Figure 3.8 – SMR par âge

Le SMR global par année est naturellement plus robuste, montrant une esti-mation de qualité relativement bonne de la mortalité du portefeuille au cours desannées d’observation.

52


2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00Homme

Ann

ée

2007

2008

2009

2010

2011

2012

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00Femme

Ann

ée

Figure 3.9 – SMR par année d’observation

53

Chapitre 4

Application au produit Obsèques

Puisqu’il est dédié à une clientèle senior ayant un revenu souvent modeste, leproduit Obsèques doit être abordable. Une première solution réside dans sa sim-plicité. En effet, le produit contient une garantie capital décès et une garantied’assistance obsèques. En souscription, la sélection médicale classique est rempla-cée par une année de carence afin de réduire les coûts de gestion importants liésà la sélection médicale. En cas de décès au cours du délai de carence, l’assureurprévoit une mesure de contre-assurance qui est traduite par un remboursementdu cumul des cotisations nettes de frais au bénéficiaire. Toutefois en cas de décèssuite à un accident, les garanties sont acquises dès la souscription. Nous verronsensuite si l’implémentation des taux de mortalité prospectifs dans la mécaniquede tarification contribue à rendre le produit plus abordable.

4.1 Fonctions de commutationAvant que les ordinateurs ne soient inventés pour exécuter les taches répétitives,

les actuaires utilisaient une collection de fonctions, dites fonctions de commuta-tions pour faciliter les calculs des valeurs actualisées probables (VAP). L’arrivéedes ordinateurs accompagnés par les logiciels de calcul semble réduire l’importanceprimordiale que bénéficiaient les fonctions de commutation autrefois. Cependant,lors de la conception d’un nouveau produit assurance, les fonctions de commuta-tion sont encore des outils précieux dans l’implémentation des outils de tarificationet de provisionnement dans le système informatique au sein de la compagnie d’as-surance. L’intérêt des fonctions de commutations est d’autant plus important quele langage utilisé par le plate-forme est bas. Chez AXA France, la plate-forme estessentiellement composée de COBOL 1.

1. COmmon Business Oriented Language : langage de programmation créé en 1953 et encoretrès utilisé dans certaines grandes entreprises, notamment les institutions financières

54

4.2. Tarification du produit Obsèques

Notons lx le nombre de survivants à l’âge x, dx le nombre de décès à l’âge x et vle facteur d’actualisation.

dx = lx − lx+1

On définit les commutations de la manière suivante [19]

Cx = υx+ 12dx

Dx = υxlx

Mx =∞∑k=0

Cx+k

Nx =∞∑k=0

Dx+k

Rx =∞∑k=0

Mx+k

Sx =∞∑k=0

Nx+k

En conséquence, les qualités actuarielles peuvent être simplifiées, par exemple :

ax =+∞∑k=0

υkkpx

=+∞∑k=0

Dx+k

Dx

= Nx

Dx

et

Ax =+∞∑k=0

υk+1kpx.qx+k

=+∞∑k=0

Cx+k

Dx

= Mx

Dx

4.2 Tarification du produit ObsèquesDepuis le 21 décembre 2012, la loi impose une tarification unisexe. On peut

agréger les taux de dècès des hommes et ceux des femmes par un rapport de poids

55


de 50% & 50%.En définissant :

CA Montant de capital décès souscritx l’âge de l’assuré à la souscriptionε la part de décès Accident dans l’ensemble de décès du portefeuille AXAn la durée de paiement des primes en années pour les primes périodiques avecp ∈ {10, 15, 20, 25}

ti le taux de revalorisation contractuelle, 1.00 %Nous obtenons

Engagement de l’assureur Le capital garanti en cas de décès est le capitalchoisi lors de l’adhésion qui est précisé dans le certificat d’adhésion. Il est majoréchaque année d’une revalorisation contractuelle garantie de 1.00 %. En cas de décèssuite à un accident, il n’y a pas de délai d’attente et la garantie est acquise dèsla prise d’effet de l’adhésion. En cas de décès non accidentel ou par suicide, lagarantie est acquise 1 an après la date de prise d’effet de l’adhésion.

CA.Ax = CA.

(ευ.(1 + ti).qx +

+∞∑k=1

υk+1(1 + ti)kpx.qx+k

)

= CA.

(εCindexx

Dindexx

++∞∑k=1

Cindexx+k

Dindexx

)

= CA.

(ε.Cind

x +M indx+1

Dindx

)

Contre-assurance de primes pures Toutefois, si le décès non accidentel oule décès par suicide survient au cours de la première année, l’assureur rembourseà la succession de l’adhérent le montant des cotisations versées nettes de frais [7].

1IAx = (1− ε)υ.(1 + ti).qxωx

= (1− ε)Cindx

Dindx

ωx

Engagement de l’assuré en cas de prime viagère L’assuré est engagé àpayer viagèrement les cotisations définies à la souscription. L’assuré a la possibilitéde choisir le fractionnement désiré (mensuel/trimestriel/semestriel/annuel) sans

56


frais supplémentaires

ωxax = ωx+∞∑k=0

υkkpx

= ωx+∞∑k=0

Dx+k

Dx

= ωxNx

Dx

Par le principe de neutralité actuarielle, nous en déduisons la prime viagèrepure

ωx = CA.Axax − 1IAx

50 55 60 65 70 75 80 85Age

Prim

e vi

agèr

e

2013

2016

2019

2022

2025

Figure 4.1 – Prime viagère en fonction de l’âge et de l’année de souscription

L’utilisation des taux prospectifs permet de réduire la prime viagère de l’ordrede 0,50 % par année calendaire.

57


Souscr. ∆% ∆% cum.2013 0.00 0.002014 -0.49 -0.492015 -0.49 -0.982016 -0.49 -1.472017 -0.49 -1.962018 -0.49 -2.452019 -0.48 -2.932020 -0.48 -3.412021 -0.48 -3.892022 -0.48 -4.372023 -0.48 -4.852024 -0.47 -5.322025 -0.47 -5.79

À 65 ans

Souscr. ∆% ∆% cum.2013 0.00 0.002014 -0.55 -0.552015 -0.55 -1.102016 -0.55 -1.652017 -0.55 -2.202018 -0.54 -2.742019 -0.54 -3.282020 -0.54 -3.822021 -0.54 -4.362022 -0.54 -4.902023 -0.53 -5.432024 -0.53 -5.962025 -0.53 -6.49

À 70 ans

Figure 4.2 – Variation de la Prime viagère

Engagement de l’assuré en cas de prime périodique de n années L’assuréest engagé à payer pendant n années les cotisations définies à la souscription. Il a lapossibilité de choisir le fractionnement désiré (mensuel/trimestriel/semestriel/annuel)sans frais supplémentaires

ωx:n.ax:n = ωx:n

n−1∑k=0

υkkpx

= ωx:n

n−1∑k=0

Dx+k

Dx

= ωx:nNx − Nx+n

Dx

De la même manière, par le principe de neutralité actuarielle, nous obtenons laprime périodique de n années

ωx:n = CA.Axax:n − 1IAx

58


50 55 60 65 70 75 80 85Age

Prim

e pé

riodi

que

de 2

5 an

s

2013

2016

2019

2022

2025

Figure 4.3 – Prime périodique en fonction de l’âge et de l’année de souscription

L’utilisation des taux prospectifs permet de réduire la prime périodique de 25ans de l’ordre de 0,35 % par année calendaire.

59

4.3. Provisionnement

Souscr. ∆% ∆% cum.2013 0.00 0.002014 -0.29 -0.292015 -0.29 -0.582016 -0.29 -0.872017 -0.29 -1.162018 -0.28 -1.442019 -0.28 -1.722020 -0.28 -2.002021 -0.27 -2.272022 -0.27 -2.542023 -0.27 -2.812024 -0.27 -3.082025 -0.26 -3.34

À 65 ans

Souscr. ∆% ∆% cum.2013 0.00 0.002014 -0.41 -0.412015 -0.41 -0.822016 -0.40 -1.222017 -0.40 -1.622018 -0.40 -2.022019 -0.39 -2.412020 -0.39 -2.802021 -0.39 -3.192022 -0.38 -3.572023 -0.38 -3.952024 -0.38 -4.332025 -0.37 -4.70

À 70 ans

Figure 4.4 – Variation de la Prime périodique de 25 ans

Nous ajoutons les frais de gestion par année de vie de contrat et les fraisd’encaissement des primes, notés α1 et α2 pour obtenir les primes d’inventaires.

ωinvx = ωx + (α1 + α2).CA

Finalement, sachant le taux de chargement commercial, la prime commerciales’écrit :

ωcomx = ω′x1− τ comx

4.3 ProvisionnementNotons

CAk Capital décès assuré après k années d’anciennetéα1 Frais de gestion par année de vie du contratα2 Frais d’encaissement des primes

4.3.1 Option prime viagèreDans le cas d’une souscription en option prime viagère, nous souhaitons déter-

miner les provisions mathématiques au cours de la vie de contrat. Soit k l’ancien-neté du contrat, nous commençons alors par déterminer l’engagement de l’assureur

60


de payer le capital décès et de financer les frais de gestion et d’encaissement deprimes jusqu’à la survenance du sinistre.

Ex+k = Ax+k.CAk + (α1 + α2).CA.ax+k

Également, nous déterminons l’engagement de l’assuré d’honorer les primes d’unemanière viagère.

ex+k = ω′xax+k

Nous en déduisons les provisions mathématiques d’inventaire comme la différencede ces engagements

V ′k = Ex+kk − ex+k

1 3 5 7 9 11 13 15Ancienneté de contrat

Pro

visi

ons

2013

2016

2019

2022

2025

Figure 4.5 – Provisions mathématiques en fonction de l’ancienneté de contrat etde l’année de souscription - Prime viagère souscrite à 65 ans

Pour le cas d’un contrat souscrit à 65 ans en prime viagère depuis plus de 10ans, nous observons une baisse des provisions mathématiques de l’ordre de 0,06 %par année calendaire .

61


Souscr. ∆% ∆% cum.2013 0.00 0.002014 -0.06 -0.062015 -0.06 -0.122016 -0.06 -0.182017 -0.06 -0.242018 -0.06 -0.302019 -0.06 -0.362020 -0.05 -0.412021 -0.05 -0.462022 -0.05 -0.512023 -0.05 -0.562024 -0.05 -0.612025 -0.05 -0.66

À la 10e année

Souscr. ∆% ∆% cum.2013 0.00 0.002014 -0.06 -0.062015 -0.06 -0.122016 -0.06 -0.182017 -0.06 -0.242018 -0.06 -0.302019 -0.06 -0.362020 -0.05 -0.412021 -0.05 -0.462022 -0.05 -0.512023 -0.05 -0.562024 -0.05 -0.612025 -0.05 -0.66

À la 15e année

Figure 4.6 – Variation des provisions mathématiques - Prime viagère souscrite à65 ans

4.3.2 Option prime périodique de n annéesDans le cas d’une souscription en option prime périodique de n années, l’ex-

pression de l’engagement de l’assureur dépend en plus de la relation d’ordre entrek et n.Si k ≤ n

Ex+k = Ax+kCAk + α1.CA.ax+k + α2.CA.ax+k:n−k

Si k > nEx+k = Ax+k.CAkα1.CA.ax+k

L’engagement de l’assuré dépend également de la relation d’ordre entre k et n.Si k ≤ n

ex+k = ω′x:pax+k:n−k

Si k > nex+k = 0

Nous retrouvons les provisions mathématiques d’inventaire de la même manière

V ′k = Ex+k − ex+k]

62


1 3 5 7 9 11 13 15Ancienneté de contrat

Pro

visi

ons

2013

2016

2019

2022

2025

Figure 4.7 – Provisions mathématiques en fonction de l’ancienneté de contrat etde l’année de souscription - Prime périodique de 25 ans souscrite à 65 ans

Pour le cas d’un contrat souscrit à 65 ans en prime périodique de 25 ans, nousobservons une hausse des provisions mathématiques de l’ordre de 0,08 % par annéecalendaire quelque soit l’ancienneté du contrat.

63


Souscr. ∆% ∆% cum.2013 0.00 0.002014 0.08 0.082015 0.08 0.162016 0.08 0.242017 0.08 0.322018 0.08 0.402019 0.08 0.482020 0.08 0.562021 0.08 0.642022 0.09 0.732023 0.09 0.822024 0.09 0.912025 0.09 1.00

À la 10e année

Souscr. ∆% ∆% cum.2013 0.00 0.002014 0.08 0.082015 0.08 0.162016 0.08 0.242017 0.08 0.322018 0.08 0.402019 0.08 0.482020 0.08 0.562021 0.08 0.642022 0.09 0.732023 0.09 0.822024 0.09 0.912025 0.09 1.00

À la 15e année

Figure 4.8 – Variation des provisions mathématiques - Prime périodique de 25ans souscrite à 65 ans

64

Conclusion

Au cours du mémoire, nous avons étudié le modèle de Lee-Carter et Log-Poissonbilinéaire permettant de capturer la tendance temporelle de la mortalité. Le modèlede Lee-Carter commence par décrire la mortalité à travers trois coefficients dontcelui de la tendance temporelle de la mortalité. Les trois coefficients sont estimésgrâce à la décomposition en valeurs singulières. Le modèle souffre cependant deplusieurs points faibles. Sur le plan théorique, le modèle suppose l’homoscédasticitédes résidus et ne reconnaît pas que la variabilité est plus importante aux grandsâges à cause des effectifs réduits. Sur le plan pratique, la décomposition en valeurssingulières demande nécessairement que la matrice de taux instantané de morta-lité soit rectangulaire. En revanche, le modèle Log-Poisson bilinéaire contourne cesobstacles en remplaçant le modèle linéaire simple du modèle Lee-Carter par un mo-dèle linéaire généralisé. En conséquence, cette flexibilité nous a permis d’appliquerle modèle Log-Poisson bilinéaire à un échantillon de type portefeuille d’assurance.Le modèle a qualitativement mis en évidence une tendance décroissante de la mor-talité de l’échantillon. La quantification des paramètres présente cependant unevolatilité importante à cause de la taille réduite de l’échantillon. La solution envi-sagée a été d’utiliser une régression logistique par rapport à la table réglementaireTGH05/TGF05, ce qui nous a permis de rendre l’estimation des taux d’expérienceplus robuste.

Les taux prospectifs de mortalité obtenus appliqués à la tarification ont aug-menté la compétitivité du produit obsèques en estimant au juste prix le risque dedécès propre à chaque génération d’assurés. Il s’agit d’un facteur important dansle contexte actuel où AXA est un nouvel acteur sur le marché de l’assurance ob-sèques et a une forte volonté de s’y développer.

Nous avons accordé une attention particulière à l’implémentation des calculsde tarifs et de provisionnements dans le système informatique d’AXA France.L’utilisation de fonctions de commutation s’avère efficace lors de la traductiondes différentes caractéristiques du produit telles que le délai de carence, la contre-assurance et l’indexation du capital garanti en langage COBOL. Cela contribue

65


à optimiser le budget de la phase de production et à faciliter la maintenance dusystème à l’avenir en limitant la complexité des programmes.

66

Table des figures

1.1 Coûts moyens des obsèques en France . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Coûts moyens du rapatriement du corps . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Contrat Obsèques AXA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Taux de mortalité infantile en France . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Taux de mortalité des adultes en France . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Diagramme Lexis d’un extrait du portefeuille . . . . . . . . . . . . . 232.4 Espérance de vie résiduelle en fonction de l’âge . . . . . . . . . . . . 282.5 Orthogonalisation des taux de mortalité masculine en France . . . . 292.6 Lee-Carter appliqué à la population française . . . . . . . . . . . . . 342.7 Extrapolation de la tendance temporelle . . . . . . . . . . . . . . . 352.8 Surface de résidus du modèle Lee-Carter (vue du zénith) . . . . . . 37

3.1 Décès par accident de cheval observés et estimés . . . . . . . . . . . 403.2 Distribution gamma bivariée - Densité de probabilité et fonction de

répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Portefeuille simulé avec le modèle Gamma bivarié . . . . . . . . . . 473.4 Expositions au risque de décès (en année) . . . . . . . . . . . . . . 483.5 Les coefficients αx,βx et κt des hommes(à g.) & des femmes (à d.) . 493.6 Les quotients de mortalité des hommes(à g.) & des femmes (à d.) . 503.7 Fonction logistique & Logit de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . 513.8 SMR par âge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.9 SMR par année d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1 Prime viagère en fonction de l’âge et de l’année de souscription . . . 574.2 Variation de la Prime viagère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Prime périodique en fonction de l’âge et de l’année de souscription . 594.4 Variation de la Prime périodique de 25 ans . . . . . . . . . . . . . . 604.5 Provisions mathématiques en fonction de l’ancienneté de contrat et

de l’année de souscription - Prime viagère souscrite à 65 ans . . . . 61

67

Table des figures

4.6 Variation des provisions mathématiques - Prime viagère souscrite à65 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.7 Provisions mathématiques en fonction de l’ancienneté de contrat etde l’année de souscription - Prime périodique de 25 ans souscrite à65 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.8 Variation des provisions mathématiques - Prime périodique de 25ans souscrite à 65 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

B.1 SMR par année d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73B.2 SMR par âge à la souscription . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

68

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69

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[23] J. Yan. Enjoy the joy of copulas. Journal of Statiscical Software, 2007.

70

Annexe A

Résultats de régressionslogistiques à référence externe

Résultat de la régression linéaire par rapport à la table de référence TG05

Table A.1 – Hommes

Dependent variable :lgqx

lgqx_tg 0.796∗∗∗(0.010)

Constant −0.352∗∗∗(0.064)

Observations 300R2 0.952Adjusted R2 0.952Residual Std. Error 0.150F Statistic 5,930.181

Note : ∗p<0.1 ; ∗∗p<0.05 ; ∗∗∗p<0.01

71

Table A.2 – Femmes

Dependent variable :lgqx

lgqx_tg 0.887∗∗∗(0.028)

Constant −0.488∗∗∗(0.171)

Observations 150R2 0.875Adjusted R2 0.874Residual Std. Error 0.177F Statistic 1,038.266

Note : ∗p<0.1 ; ∗∗p<0.05 ; ∗∗∗p<0.01

72

Annexe B

SMR du portefeuille

Y SMR2003 1.042004 0.992005 1.032006 1.012007 0.992008 0.982009 0.992010 1.002011 0.992012 1.00

Hommes

Y SMR2007 0.992008 1.032009 1.032010 0.992011 0.992012 0.98

Femmes

Figure B.1 – SMR par année d’observation

73

A SMR38 1.2039 0.9340 0.9641 0.9542 0.9043 0.9844 1.0645 1.0246 1.0747 1.0248 1.0449 1.0650 1.1051 1.1052 1.0753 1.0254 0.9455 0.9156 0.9457 0.9258 0.9059 0.9760 1.0261 0.9962 1.0563 0.9964 1.0065 1.0066 1.0567 1.00

Hommes

A SMR43 1.1444 1.0045 0.9546 1.1547 1.0848 1.0249 0.9650 0.9651 0.9152 0.9653 0.9154 0.9955 1.0556 1.0157 0.8958 0.9759 0.9060 1.0461 1.0362 1.1863 1.0864 0.9765 1.0966 1.0967 0.98

Femmes

Figure B.2 – SMR par âge à la souscription

74

Documents

Mémoire présenté le : 09 décembre 2013 SRXUO ......Résumé Mots-clés:mortalitétransversale,mortalitélongitudinale,modèleLee-Carter, modèleLog-Poissonbilinéaire,tariﬁcationprospective,provisionnement,fonctions