ĐÁP ÁN THI KSTN MÔN TOÁN TỪ NĂM 2010 ĐẾN 2013 www.facebook.com/onthikstn

Tài liệu dành riêng cho lớp Ôn thi KSTN 2014 – Vedu.edu.vn Lương Văn Thiện – KSTN ĐTVT K55

ĐÁP ÁN TOÁN KSTN 2012

Câu 1.

Khi ta có:

Theo BĐT Cô-si ta có:

Dễ thấy:

Tóm lại

2) Theo giả thiết:

Đặt .

Do

Do nên là dãy tăng

Ta cần chứng minh:

Theo BĐT cô-si:

Dấu bằng xảy ra

Vậy (3) đúng. Bài toán được chứng minh.

Câu 2.

1)

Điều kiện:

1 + 1 + ⋯ + 1 ⏟ 2011 − ( k − 1 ) s ố 1

+ q 2011 + q 2011 + ⋯ + q 2011 ⏟

( k − 1 ) s ố q 2011 ≥ 2011 √ ( q 2011 ) k − 1 2011

= 2011 q k − 1

⇔ q 2011 = 1 ⇔ q = 1 ( mâu thu ẫ n v ớ i q > 1 )

ĐÁP ÁN THI KSTN MÔN TOÁN TỪ NĂM 2010 ĐẾN 2013 www.facebook.com/onthikstn

Tài liệu dành riêng cho lớp Ôn thi KSTN 2014 – Vedu.edu.vn Lương Văn Thiện – KSTN ĐTVT K55

Thử lại 2 nghiệm trên thấy thỏa mãn.

Kết luận: Phương trình có nghiệm .

2)

• Câu trả lời: Hàm số không tuần hoàn.

• Giải thích: Phản chứng.

Nếu hàm số tuần hoàn thì hàm số

cũng tuần hoàn.

Khi x chạy trên thì chạy trên một đoạn có độ dài lớn hơn ên hàm

nhận mọi giá trị trên [-1;1].

Dễ thấy khi k thay đổi thì cũng thay đổi nhưng :

Như vậy ta thấy điều mâu thuẫn. Vậy hàm không tuần hoàn. Lưu

ý :

• Bài toán này từ (1) có thể giải theo cách khác như giải phương trình lượng giác. Song hơi phức tạp

trong tính toán. Đồng thời cách giải này có thể giải tổng quát cho mọi bài dạng .

• Bước nhận xét từ sang mục tiêu chỉ làm đơn giản trong cách

viết.

3) Xét hàm số:

ĐÁP ÁN THI KSTN MÔN TOÁN TỪ NĂM 2010 ĐẾN 2013 www.facebook.com/onthikstn

Tài liệu dành riêng cho lớp Ôn thi KSTN 2014 – Vedu.edu.vn Lương Văn Thiện – KSTN ĐTVT K55

* Nếu đồng biến mà là đa thức bậc 3 nên có đúng

1 nghiệm.

* Nếu , ta có:

Bảng biến thiên (bạn đọc tự vẽ):

Tóm lại có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Câu 3.

Áp dụng BĐT:

Ta có:

Vậy (*) được chứng minh. Áp dụng vào (1) ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đều.

Nhận xét: bài toán có thể được giải bằng cách sử dụng BĐT Jensen với hàm .

Câu 4.

Giả sử thí sinh đó trả lời đúng k câu. .

Biến cố:

Chọn k câu trong 10 câu làm câu trả lời đúng có : cách.

Trong câu còn lại, mỗi câu được chọn một trong hai đáp án sai nên có : cách.

Vậy biến cố :

Không gian mẫu :

ĐÁP ÁN THI KSTN MÔN TOÁN TỪ NĂM 2010 ĐẾN 2013 www.facebook.com/onthikstn

Tài liệu dành riêng cho lớp Ôn thi KSTN 2014 – Vedu.edu.vn Lương Văn Thiện – KSTN ĐTVT K55

Hay chính là : lớn nhất.

Ta có :

Từ hai điều trên suy ra: Xác suất sinh viên đạt điểm 3 là cao nhất.