CoordonatorDANA HEUBERGER

Dana Heuberger Vasile Pop

MnrrMATrcA DE ExcELENIA

pentru concursuri, olimpiade gi

centre de excelenfi

Clasa a Xll-a

Volumul I: ALGEBRA

CUPRINS

Trsrr TNTTTALE ...............9

Sor-upn u rEsrELoR rNrTrALE..... ....................... l0

l. OnotNul uNUr ELEMENT AL uNUr cRUp (DeNe Heunencen) ...... 14

2. Anlrcelrr ALE TEoREMELoR LUr LAcRANGE $l Ceucuv (DANA HEUBERcER, VAsTLE Pop) ...41

3. CoNollrr suFrcrENTE DE coMurATrvtrArr iN cnupunt (DANA Heunrncen).........................83

4. MonnsN,rs DE cRUpuRI (DeNa HEUBERcER) ...... I I I

5. Nonuxr AVANSATE DETEoRTA GRUrURTLoR (DANA Hrusencen, VAstLE PoP)..................146

6. INer,e (Dnr.re Heusencsn) ................. ..............194

7. Ecueln FUNCTToNALE pE srRucruRr elcrnnrcr (VAsrLE Pop).... .................233

8. PolrNoerr{e (DeNe Hruaencrn) .......................252

Sot uTlrr,s rEsrELoR FrNALE........ .....................296

BtsLrocRArrE ................ .................301

CAPITOLUL 1. ORDINUL UNUI ELEMENT AL UNUI CRUP

Conceptul modem de grup abstract s-a dezvoltat incepdnd cu secolul al XIX-lea,pornind de la cercetlrile matematicianului francez Evariste Galois, care a dat un

criteriu pentru existen{a solutiilor unei anume ecualii polinomiale in termeni de grup

de simetrie al riddcinilor polinomului. Elementele grupului lui Galois corespund unoranumite permutlri ale rldicinilor polinomului, Noliunile legate de grupuri gi de struc-

turile algebrice s-au imbogitit datoritd aplicabilitilii lor in domenii dintre cele maivariate, atdt matematice, cdt gi nematematice (in teoria relativit[tii restranse din frzicd,in fenomene de simetrie din chimia molecular[, in teoria numerelor, in geometria

clasici, in cea hiperbolicd gi in cea proiectiv[, printre altele) qi au ajuns sd ajute la dez-voltarea domeniilor respective. Aceasta, datorit[ faptului cI o organizare coerenti a

proprieti(ilor unor legi de compozilie interne (opera(ii algebrice), ftrd si [inem seama

de caracteristicile specifice ale operatiilor gi de natura concreti a mullimilor pe care

sunt definite, permite utilizarea lor intr-o manierl flexibill gi evidenfierea acelor pro-prietfii general valabile care le valorifici poten(ialul qi particularitdlile.

in teoria grupurilor, un rol important il joaci ordinul unui element al unui grup $iproprietltile pe care acesta le genereazi. Le vom evidentia in continuare pe cele mai

importante.

Considerlm cunoscute no{iunile fundamentale studiate in liceu (grup, subgrup,morfisme de grupuri). in cele ce urmeaz6, G este o mullime nevidi, care are structurd

de grup in raport cu o lege de compoziJie notat6 multiplicativ. Ordinul grupului G,notat cu ord(G) sau cu lCl, este egal cu numdrul elementelor grupului G , dacd G are

un numlr finit de elemente qi este egal cu +o, dacd G are o infinitate de elemente.

1.1. Propozifie. Fie (G,.) un grup qi X o submullime nevidi a sa.

Nottrm (x) = n{nlx c. H, H subgrupal lui G } .

Atunci, ((X),') este un subgrup al lui G (numit subgrupul generat demullimea X ).

l.2.Observafie.a) (X) este cel mai mic subgrup (in raport cu relatia de ordine ,, c ") al lui G , care

confine mulfimea X.b) (X) =

{ o e G | =

n e N{., 3 x1, x2,... x, eG, 1 k1, k2,..,k, eZ, o= *ft . * . ... *1,adici subgrupul generat de X este mullimea tuturor produselor finite de puteri intregiale elementelor mullimii.

c) Dac[ x eG , atunci subgrupul generat de elementul x este (r)= {r* lt.. .Z\.

74 | matematici de excelenttr

l.3.Definifie. Grupul (C,.) se numeqte finit generat dacd existl neFI'qi

o12 o2r..., o, €G, astfel incdt ({ ar, o2t... to, 1)"lt (r,, o2t... t a r) = G'

in acest caz, elementele a1, ct2t ,,.t4,, se numesc generatori ai grupului G '

1.4. Exemplu. Mullimea S, e generatd de mullimea transpoziliilor sale.

Adic6, orice permutare din S, este un produs finit de transpozilii'

Deoarece (i,i)=(t,;)(t,ixl,r) , Y i,i.{1,2,...,n\ cu i#,1, permuttrrile din

mulgimea G, ={(l,Z),(t,f),..., (l,n)} Senereazl Sn. Spunemcimulfimea G, este

un sistem de generatori Pentru S, .

Alte sisteme de generatori pentru ^S, sunt:

G, ={(L 2),(2,3),..., (n-t,n)\ qi c, ={(1,2),(r,2,..',')\'

1.5. Definifie. Grupul (C, . ) se numeqte grup ciclic dacl existl x eG, astfel incdt

(r)= C. in acest caz, elementul x se numegte generator al grupului G .

1.6. Observagie. Daci (G,.) este un grup ciclic de ordinul n, aeG, este un

generator al grupului gi ft e Z, attnci at este un generator al lui G daci gi numai

drcL (n,&)=t.

1.7. Exemplu. Generatorii grupului ciclic (Zu,+) sunt i qi 3 '

1.8. Observafie. Orice grup ciclic este comutativ.

1.9. Exemple de grupuri ciclice: (2,*), (2,,*), (11,,'), unde Un este grupul

ridicinilor de ordinul n ale unit61ii.

1.10. Definifie. Fie grupul (C, ') , cu elementul neutru e e G '

Elementul xeG este deordinfinitdacdexistl meN*,astfelincit x^ =e.

in acest caz,celmai mic exponent &eN', astfel incdt xk =e se nume$te ordirrul

elementului x.Elementul .r e G este de ordin infinit dacl x nu este de ordin finit, adice dactr

Y meN', r'*e.

1.11. Notafie. Ordinul elementului x al grupului (G,') se noteazl cu ord(x).

1.12. Exemplu. 3 ur" ordinul 4 in grupul (2,r,+), i are ordinul 6 in grupul

(r;,.), iar 3 are ordinul infinit in grupul (2,*) .

Alsebrl Clca a XlLa | 15

1.13. Teoremtr. Fie grupul (C,.) li x eG .

a) Dac[ ord(.r) = n e N' , atunci elementele €, x,...,x'-r sunt distincte dou6 cdte dou6

gi Y k eZ, *r - *k(^d") ,

b) ord(x)=f@ () V kt,k2eZ, kr*k, avem ,k, **k, .

1.14. Consecinftr. Fie grupul (C,.).

Dac[ reG gi ord(x)=n €N', atunci ord((,r))=r qi (x) ={",r,...,r'-'}.

1.15. Exemplu. Fie k e{2,..., z} li ciclul de lungime k, c =(i'ir,...,,r).S,.Atunci, ord(c)= t .

1.16. Observatie. Considertrm, formal, ci orice punct fix al unei permuttrri reprezintiun ciclu de lungime I gi c[ acesta are ordinul l. Cu aceasti convenfie, pentru oriceo e E existi , e N' gi ciclurile disjuncte c11c2t...tc, astfel incdt o = ct.c2. ....ct qi

ord(q ) + ord(c, ) +... + ord(c, ) = n .

1.17. observafie. $tim c[ permutarea o €,s, se poate descompune in mod unic(fdcind abstracfie de ordinea factorilor) intr-un produs de cicluri disjuncte. Ordinulpermuttrrii o este cel mai mic multiplu comun al ordinelor ciclurilor componente.

1.r'.Exempru. Fie "=[l : i ; ; : 1 : 1)=t rrlt)(+e)(sos)

ord(tsz)+ord(z)+orO(+l)+ora(soa)=l ei ord(o)=[3,], 2,3)=6.

1.19. Observatie (Cauchy).Pentru k1,k2,...,treN, determinim numlrul permutdrilor din { care se pot

descompune intr-un produs de tipul (kr,kr,...,k,), adicd numirul acelor permutari

care au ( cicluri de lungime l, &, cicluri de lungime 2, ..., kn cicluri de lungime zgi toate aceste cicluri sI fie disjuncte. Procedim astfel:a) Scriemtoate n-uplurile (2, , rn2t...tmr) cu rny,tn2t...,ffireN, z, 3m, 1,,.3frngi m, + m, + ... + m n = n (numite, formal, partiliile lui n).b) Calcultrm kt=frr-frn_', k2=frn_r-fno_2t...t kn_t=fr2-ffir, kn=ffit gi

oblinem n-uplul (k1,k2,...,k,). Deoarece avem n=fr.*,, i, .S, vor existaj=l

permutlri care str aibl tipul de descompunere (kr, kz, . . ., kn) .

Numirul tuturor permutirilor din S, de tipul (kt,kz,..., /c,) este:

nlktl' kzt'...' knllk' . 2k' . .... nk"

16 | matematici de excelen!tr

1.20. Exemplu. Penffu mullimea So, partiliile lui r = 4 sunt:

(0,0,0,4), (0, 0,2,2),(0,0,1, g), (0, 1,1,2),(t, t, t, t) '

De exemplu, pentru (m1, m2, m3, m+)= (0,0, 2, 2) oblinem:

kt-m4 ffit=0, k2=ffi3-ffiz=2' ks=fr2-ffit=0 $i ko=m'=g'

Tipul de descompunere este (0, 2,0,0), deci permutlrile trebuie sE fie produsul a

doui transpozitii disjuncte'

Permutrrile de acest tip sunt: (t, z)(f, +), (t, r)(2, +),(t,+)(z,l) '

1.21. propozifie. Fie grupul (c,.) cu n elemente 9i x e G . Atunci, ord(x) ln.

1.22. Propozifie. Fie gruPul (C,') .

Dacd xeG, ord(x)=*c-N* ;i pentru keZ avem xo =e' atunci mlk '

Demonstralie.. Conform teoremei imp6(irii cu rest, 1lq,rez, 0<r<ord(x),

astfel incdt t =ord(x) 'q+r . Avem x' =e qi rn este minim cu aceasti proprietate'

Atunci, e=xk = x'Q*' =(*^)''x' =x''Cum m este minim, oblinem r =0, deci mlk '

1.23. propozifie. Fie (U,.) un monoid cu elementul neutru e e M gi fie p, q € N*

distincte. aeM esteosolufiecomun[aecua{iilor xP=e qi xq=" o r@'t)-".

Demonstralie" ,,]" rie (r' 'i=a si h'kez' astfelincatt ph+qk=d '

Avem: o@,d - od = aoh .aQk =(o,)o .(r')r =, .

Implicalia ,, g " sste evidenti.

1.24. Observafie. Grupul finit (G,.) de ordinul n e N" este ciclic <, G are un

element ordinul n.

1.25. Propozi$ie. orice dou6 grupuri ciclice de acelagi ordin sunt izomorfe'

Dacd G este un grup ciclic de ordinul r, atunci (C,') = (2,'*) '

l.26.Propozifie.oricesubgrupalunuigrupciclicesteciclic.

Demonstralie.' Fie (G,') un grup ciclic'

L Dac[ ord(G)-+@ Si G=(o), atunci grupul G este izomorf cu (2,+) (un

izomorfismeste/:G-+Z,f(,r)=k,YkeZ).DeoarecesubgrupurileluiZsunt

de forma nZ, -- (nl , crt n eZ , tezultd cI 9i subgrupurile lui G sunt ciclice, pebaza

urmitorului rezultat cunoscut:

Algebri. Clasa a xll-a | 17

Lemtr. Dac[ grupurile (G,.) $i (G',.) sunt izomorfe qi f :G-+G' este unizomorfism, atunci: 11 este subgrup al lui G € "f (H) este subgrup al lui G,.

II. Dacr ord(G)=n eN* $i G=(ol, subgrupurile improprii ale lui G fiind

evident ciclice,alegemun subgrup propriu H al lui G, H ={rot,oor,...,ok,l, "u

H=(ak ), aeci cd yme{1,2,...,t1,oo,.(oo,).

Pentru m=2, au"m okt, ak' e 1/ . cum // este un subgrup al lui G, obtinem

("0)-' .ok, eH, deci okr'kr.H. Din kz*kt<k2 rezultd kz-kr=k2, deci

kz =2.kr gi akz. ("0, ) .

Fie s.{2,...,r}. Presupunem c[ avem &s-r =(s-r)./c, qi demonstrrm ci gi

kr = s'kl .

k, - k1, k, - k2,...,k, - kr-, e{kr, k2,...,kr-l, deci ft, - kr_t = kt.

Folosind ipotezade induclie ob(inem k, =s.kt qi ok" =(okr)" .("0, ), aladar H

este ciclic, generat de akt .

1.27. Propozifie. Daci x, y eG, atunci

a) ord(x) = orA(r-') .

b) ord(.r.y) = ord(y'x) .

Demonslralie:

a)I.Daci ord(x)=r€N', avem xn=e $i(, )"=(r,)-'="-t=".Fie ord(r-')=f . Din Propozitia 1.22. rezuttd kln Cum "=(r-r) =(r*)-',reniltd.cL xk=e.Dar ord(x)=r, deci nlt. Agadar n=k.II. Daci ord(x)=*@, s6 presupunem ci ord(x-')=&.N-. Atunci, din cazul

anterior rezultdce ord(x) = ord(x-') = fr , f"lr. Agadar ord(x-')= *. .

b) I.Dacn ord(r.y)=ft€N*, avem (x.y)r =" o ,.(y.*)r''.y=€ €o (y'r)r'y-y € (y.*)r =e, a$adar ord(r.r)=t'eN* qi k'lk.

It I matematctr de excelen[i

Dar (y..r)* =€ € y.(*.y)r''t.x=e e (*.y)o' =e $icum ord(x'l)=lr, rezultl

Si klk', deci k'=k.II. Dac[ ord(x./) = +oo , presupun6nd cn ord(l 'x)= k e N', rezultl ca mai inainte

c5 ord(.r 'y)= t , fals. Aqadar ord(.rr'r)= +* '

1.28. Propozifie. Dac[ f :G -> G', este un morfism injectiv de grupuri multiplicative

qi a e G, atunci ord(a) = ota(,f (")).

Demonstrolie.' Notim cu e e G Si e'e G' elementele neutre ale celor dou[ grupuri'

I. Dac6 ord(a)=teN", avem "'= f (o*)=(/(r))-, deci 9i ordinul elementului

f (r) .G' este finit. Fie t = ord(f (a)) . ne'utta ce t lk '

Dar f (r)=",=(f (o))' =t(r') qi pentru cI / este o tuncfie injectivl rezultii ctr

at=e. Deoarece ord(a)=ft, obtinemqi tlt, deci k--t '

II. Daci ord(a) = -r@, presupunem ce ord(/(a))= ft. X. '

Atunci f(, )=(t("))o =s'=f (e) qi din injectivitatea lui f renitdcd at =e,

ceea ce este fals. Agadar *a(f ("))= *@.

1.29. Observafie. Afirmalia anterioarl este adevlratd gi in cazul izomorftsmelor de

grupuri, ceea ce intareqie imaginea intuitivi ci elementele asociate printr-un

izomorfi sm,,au aceleaqi proprietS{i".

1.30. propozitie. Fie grupul (C,.) gi elementele a,b eG , ctt ord(a) = r?, € N',

ord(D) =,? € N', astfel incdt a'b = b' a'

Notrm ct d =(*, n)=c.m.m.d'c.(*,n), P =lm,'z]=c'm'm'm'c'(m,n)' Atunci:

a) ord(a.b)lp;

\ fiPra(a't).

Demonstralie.' Se qtie ci dacl a'b = b'a, atunci Y s eZ, ("'6)" = o' 'b'

a)Avem m=d'm1 gi n=d'nt,lu ^r,/?1

€N,(m1,n1)=1 ,iar P=d'ml'nl'

Apoi, (a.b)o =(a.b)d'*t''' =(o^)"(u')^'=e, deci ord(a'il'!teN' 9i ftlp'

o) * = ntt'ttt Demonstrim c[ \'\l& ' Avem:

(o.b)o -e > ak =b-k > ok'' =6'k'n =e, deci mlk'n, adici d'*rlk'd'n1'

Algebri. Clasa a xlLa | 19

' Cum (21, nt)=l,oblinem cd rylft.Analogrezult5 cd nll& gideoarece(m1,rr)=1,

oblinem ry.n1lk.

1.31. Observafie. Fie grupul (C,.) li elementele a,b eG, cu ord(a) = rz € N',ord(6)=n eN', astfel incdt a.b=b.a.a) ord(a.b)lm.n.

b) Daci (*, r) = I , atunci ord(a. b) =l*, n)= *.n .

c) Existd situafii in care ord(a 'b)=@.(*,n)'De exemplu, in grupul (Zrz, +) ave- ora (t) = z, ora (2) = u u, ora (2 + o) = t .

d) Exist[ situalii in care ord(a .b)=lm,n], chiar dacl (m,n)+|.

Deexemplu,ingrupul (Zzc,+) avem ora(o)=+, o.a(O)=2 9i ora(i?+u)=0.

1.32. Propozifie. Fie grupul (C,.) li x eG ,cu ord(x)= n e N'.

Atunci, YkeZ, ord(xt)ln. ttaimutt, ykeZ, ord(.rt)=fou1

Demonstalie.' Pentru k eZ, ur"- (rt )' = r, d""i o.a(r* )1, .

Fie d=(k,n) qi 21, \eZ, astfelincdt (z1,tr)=t 9i z= d.n1, k=d.kr.

Cum (/f' =xn'kt =e, rezulttr ,Yo.a(r*)lr, (l)

Avem *k''=" gicum ord(x)=z,obtinem nlk.s, adici d.n1ld.&1 .s, deci

hlkt.s. Deoarece (n1,f,)=1, rezultdctr n1 ls.

fin6nd cont de (l) oblinem nt = s , adicn ord(xr)= n, =1=@)

1.33. Observafie. Fie grupul (C,.) zeN, n>2 gi x17x2t...,xneG carecomutii

doui cdte dou[. Daci ordinele lor sunt numere naturale dou[ cite doutr prime lntre ele,

atunci ord(xf, . xt, ..... r!,,)=

1.34. Propozifie. Fie (G, .) un grup ciclic de ordinul n, G =(a) 9i k eZ .

Atunci: ar este un generator al grupului <+ (*, n)=1 .

20 | matematici de excelen!tr

Demonstralie.' Reamintim urm6toarea

Lemtr. Fie t,neZ. Atunci: (t,r)=t o 3/,seZ, k't*n's=1.

,,:)" Cum (ro)=G, exist[ teZ, astfelincit ("0)'=a, deci akl-t -e'

oblinem: ord(a) =nl(k't-l) + f s eZ,cu k't-l=s'n QLemd

<+ r.(-s) +k.t=l e (tc,n)=1.Lemd

ue" (k,n)=l <+ 3l,seZ, k't*n's=1'

Atunci o-ok.+n's =(oo)'.(o')" =(oo)', deci o.\oo) ri.r* grupul G este

generat de a,rezulta cdGe(ro). out (r*)=G, deci o=\"0)'

Si observlm cE exist6 e(n ) generatori ai lui G.

1.35. Consecinftr. Dacd p e N este un numdr prim 9i (C,') este un grup ciclic de

ordinul p, atunci:

a) orice element al lui G este generator al grupului;

b) G nu are subgrupuri proPrii.

1.36. propozifie. Fie (C,.) un grup abelian finit 9i S = {ord(x) lr. C} . Fie m cel

mai mare num6r din S. Atunci, pentru orice /r e S , avem klm '

Demonstralie" Fie te^S 9i a,xeG 'cu o"f,(a)=m 9i ord(x)=&' Presupunem ci

avem klm. Atunci existi p e N un num[r prim qi i, n, q eN, astfel inc6t k = p'*' 'n

9i m=pi.Q, cu plq. Avem o.a(r') =p'*t 9i ora(o'')=Q. Deoarece

(p'.' , q)=l , din observalia l.3l.b) rezulti cd oro(or' ' *')= p'*t 'q'* ,

contradic{ie cu maximalitatea lui m . ASadar klm .

1.37. Observafie. Enunful Propoziliei 1.36. nu rimdne adevirat dacd grupul nu este

comutativ.

De exemplu, pentru grupul permutirilor .Sr, avem 5 = {t, 2,3} qi Zl3 '

1.38. propozifie. Dacd (G,.) este un grup abelian finit, atunci produsul elementelor

sale este egal cu produsul elementelor sale de ordin < 2 .

Demonstralie.' Produsul care ne intereseazi este II x' II y 'xeG YeG

ord(x)>2 ord(y)<2

Algebrtr. Clasa a Xll-a | 21

Dar dacd ord(x)> 2, atunci x * x-t qi cum ord(x-l)= ord(r) >2, rezultl cd in

primul produs apar grupe de cdte doi factori de tipul (r.r-'), cu ord( *)> 2.

Aqadar, II x = € t de unde rentltd concluzia.xeG

ord(x)>2

1.39. Propozifie. DacI (G,.) este un grup, iar 11 este un subgrup al s5u, atunci,

pentru orice a eG cu ord(a) = r € N* cu proprietatea cd existi rn e N*, cu

(*,n)=l,pentru care a* eH, rezultdcd aeH.

Demonstralie.' Deoarece (*, n\= l, exist[ p, Q e Z, astfel incdt m. p + n. e = | .

oblinem: a-am'p+n'q =(o')o .(n)' =(o')e eu.

PROBLEME DE ANTRENAMENT

1.A.1. fie (G,.) un grup cu n elemente, p eN, p Z 2 9i mullimea

n =[ynlr.C]cG. Ar6ta{i c[daci (p,n)=1, atunci H =G.(r)Solulie: Presupunem c[ existd x, y eG, x * ! , astfel incdt xP = yP .

Oin (f, n)=l reniltlciexistl h,keZ, astfel inc6,,t p.h+n.k=1.

Atunci, deoarece ,ord(c)=e, obtinem: .r= *Ph+nk =xPh .xnk =xPh =(*o)o .

t thAnalog rezultd y =lr, ) gi cum xP = yP, deducem cd x =y , fals.

Agadar .F/ este o submullime cu n elemente a grupului G. Deoarece G are n ele-mente, oblinem cd, H =G.

Observafie. a) Problema se poate reformula astfel:

Fie (G,') ung-pcu n elemente, pe N, p>2 qifuncfia f :G-+G, f(x)=xn.Dacd (p, n) =l,atunci / este bijectivi.

b) in capitolul urmitor vom demonstra cI are loc Ai implicatia reciprocd.

l.A.2.Fie grupul (C,.) cu2013 elemente qi fie aeG, ord(a)=1.

Rezolvali in grupul G ecua{ia *2015 = o .

Dana Heuberger

22 I matematici de excetenttr

Solulie: Demonstrlm mai intdi cI dac[ (C,') este rm grup cu z elemente ( r € N* )

gi alegem p € N, p>2 , "u

(p,n)=1, atunci

Y aeG, ecuatia xP =a aresolufieunictr- (r)

Fie u={rrlr.o}cG. Deoare"" (p,n)=l,gtimdin l.A.l- d H=G"deunde

rezultd afirmalia (l) .

Fie acum a eG cu ord(a)= 3 . Deoarece (20t1,2015)= l, din (t) oearcem ctr

ecua(ia x20ts - a are solu(ie unic[ in G .

Avem (o')"" - o4o3o - o4o2s 'a = a, aqadar unica solu(ie a ecuafiei este x = 42 '

1.A.3. fie (G, .) un grup gi x e G un element de ordin finit. Dacd exist[ m, n eZ

cu (m, n) =1 , ord(.r') = re 9i ord(x') = m , demonstrafi ce ord(x) = m'n '

$tefan Bdrcdnescu

Solulie: Fie ord(x)=d. Din 1.31.9i 1.32. avem m'n=ord(x'*')lord(x),

agadar m'nld

Din ord(x')=n r"rultd"cd x*''=e, deci dl*'n.Folosind relalia (1), rezultn cd d = m'n .

1.A.4.fie (G,.) *g.up$i geG, cu otd(s) =m'n, unde m,neN', (', n)=l'Demonstrafici existi gi sunt unice a,beG, astfel incdt g=a'b=b'a iiord(a) =m, ord(b)=n.

Solulie: Existenla: Cum (m, n) =l , existr ft, t eZ , astfel ca m' k + n't =l (t)

Fie a=gn'' qi D=g''e. observ[mcd o'=(r''')^=(r^'')' =e$ianalog b'=e.

Deoarece o' = e , din 1.22. rezultd cd ord(a) = p € N' qi plm (Z)

Presupunem cd p+2. Atunci e=aP =(r''')o =rn''' qi cum otd(s) =m'n, din

1.22. rezultd cd m.nln.t . p , deci mlt ' p. Oin (t) rezultl cd (m,/) = t .

(2')

Oblinemcdmlp I m=p Qofi(a)=m.Analog se demonstreazd cd ofi(O)= n .

lJnicitatea: Fie a1,4.G,astfel ct g-ar'br=4'o, qi ord(a,)=m, ord({)=n'

Atunci g'=(ar.bt)"=oi.b(=af .Fie k,teV, dinrelalia (l).

(1)

Algebrtr. Clasa a Xlha | 23