PENDAHULUAN

Menurut Kamus Dewan Bahasa dan Pustaka, ekologi ialah kajian tentang hubungan antara organisma hidup dengan persekitarannya. Bidang ekologi ini bukan sahaja terhad kepada populasi manusia sahaja malah bidang ini meliputi semua organisma hidup seperti haiwan, tumbuh-tumbuhan, bakteria dan sebagainya. Bidang ekologi ini juga membantu dalam mengkaji dan memahami proses general yang dikongsikan dengan populasi yang berbeza. Oleh hal yang demikian, menurut Eldra P. Solomon (2002), ahli ekologis telah membina satu model matematik bagi menerangkan dinamika sesuatu populasi. Melalui modul inilah, ahli ekologis membuat penilaian terhadap berubahan yang berlaku pada setiap populasi. Hal ini sangat penting kerana hasil daripada dapatan tersebut, ahli ekologis dapat membuat ramalan tentang pertumbuhan sesuatau populasi dan memkirkan jalan penyelesaian sekiranya timbul masalah seperti kepupusan berlaku di dalam populasi tersebut.

Terdapat banyak model pertumbuhan sesuatu spesis yang telah dijumpai oleh pakar matematik. Namun, pada kali ini saya hanya memilih satu model iaitu model pemangsa-mangsa.

PENGENALAN MODEL

Apakah itu model pemangsa-mangsa? Model pemangsa-masa ialah satu model matematik yang mencari hubungkait interaksi antara pemangsa dan mangsa. Model ini telah dipelopori oleh biophysicist Amerika Alfred James Lotka (1925) dan ahli matematik Itali Vito Volterra (1926). Persamaan Lotka-Volterra, iaitu persamaan pembezaan telah digunakan dalam model matematik ini. Selain itu, model ini juga menggunakan dua pemboleh ubah yang bersandar iaitu pemangsa dan mangsa. Mangsa ialah satu populasi yang mempunyai sumber makanan yang cukup untuk membiak manakala pemangsa iailah spesis yang memakan mangsa.

Konsep model pemangsa-mangsa

Fokus utama model

Pemangsa boleh menghadkan populasi mangsa

Populasi pemangsa dan mangsa, menaik dan berkurang dalam satu kitaran

Terdapat beberapa andaian yang digunakan dalam Lotka-Volterra model :

Andaian 1:- Tanpa kehadiran pemangsa dan sumber makanan yang cukup akan dapat

membantu pertumbuhan mangsa.- Formula pertumbuhan mangsa :

Andaian 2 :- Tanpa kehadiran mangsa, diandaikan bahawa kadar pertumbuhan populasi

pemangsa akan berkurang.- Formula untuk pemangsa :

R = populasi mangsaP = populasi pemangsak = exponential growth rate of preyr = capture efficiency of the predators

Andaian 3 :- Punca kematian mangsa adalah berpunca daripada dimakan oleh pemangsa.- Kadar kelahiran dan kemandirian spesis pemangsa bergantung kepada

sumbermakanan iaitu mangsa.

- The more there are of either population, the more encounters there are likely to be.

- Berikut merupakan dua persamaan pembezaan (Lotka-Volterra model) yang terbentuk dari andaian tersebut.

- Formula untuk mangsa :

- Formula untuk pemangsa :

Rate of change in the prey population

Instrinsic growth rate of

the prey

Removal of prey by

predators

Rate of change in the predator

population

Death rate of predators

Conversion of prey into new

predators

Nota :

* -aRW = penurunan kadar pertumbuhan semulajadi MANGSA

* bRW = peningkatan kadar pertumbuhan semualajadi PEMANGSA

Tahap keseimbangan ( equilibrium ) adalah satu keadaan dimana kedua-dua pemangsa dan mangsa mencapai tahap yang seimbang.

- Mangsa dikatakan seimbang apabila :

- Pemangsa pula dikatakan seimbang apabila :

Populasi mangsa distabilkan oleh saiz populasi pemangsa

Populasi pemangsa distabilkan oleh saiz populasi mangsa

APLIKASI LOTKA-VOLTERRA MODEL DALAM EKOSISTEM ARNAB DAN MUSANG

Berikut merupakan data populasi musang (pemangsa) dan arnab (mangsa ) yang diambil daripada sebuah taman negara selama 12 bulan.

Jadual 1 : Menunjukkan jadual perkembangan Arnab dan Musang di Taman Negara selama 12 bulan

Langkah penyelesaian :

a) Cari penyelesaian yang konstant ( penyelesaian equilibrium ) dan tafsir data.

b) Guna sistem persamaan pembezaan untuk mencari persamaan .

c) Lukis satu arah lapangan untuk keputusan persamaan pembezaan dalam RW-plane.

d) Kemudian, lukis lekungan dan gunakannya untuk menyatakan perubahan pada tahap kedua-dua populasi.

e) Menganalisis data.

Pengiraan :

a) Diberi k = 0.05, a = 0.001, r = 0.02 , dan b = 0.00002 , maka persamaan Lotka-Volterra yang terhasil ialah :

Kedua – dua R dan F akan menjadi konstant jika kedua-dua terbitan adalah 0, pengiraan adalah seperti berikut :

R’ = R( 0.08 – 0.001F ) = 0F’ = F( -0.02 + 0.00002R ) = 0

Satu penyelesaian yang diberi ialah R = 0 dan F = 0 ( jika tiada arnab atau musang, maka kadar populasi tidak akan meningkat ). Cara penyelesaian konstant yang lain ialah :

Oleh itu, populasi yang seimbang ( equilibrium ), terdiri daripada 1000 ekor arnab dan 50 ekor musang. Hal ini bermaksud, bilangan 1000 ekor arnab sudah mencukupi untuk memberi menampung keperluan 100 ekor musang.

b) Menggunakan peraturan lantai ( Chain Rule ) untuk menyingkirkan ‘t’ :

c) Jika F dikatakan sebagai fungsi kepada R, persamaan pembezaan ialah :

Lukis ‘direction field’ untuk persamaan pembezaan pada rajah 1. Gunakan lukisan tersebut untuk melakar lengkungan ‘solution curve’ seperti rajah 2. Jika kita bergerak sepanjang ‘solution curve’, kita akan melihat bagaimana hubungan di antara R dan F berubah mengikut masa. Lengkungan kelihatan seolah – olah semakin merapat apabila kita bergerak mengelilingi lengkungan, kita akan kembali ke titik yang sama. Titik ( 1000, 50 ) berada dalam lingkungan ‘solution curves’. Titik ini dipanggil titik equilibrium (equilibrium point) kerana titik ini sejajar dengan penyelesaian equilibrium ( equilibrium solution ) R = 1000 dan F = 50.

Gambarajah 1 : ‘Direction field’ untuk model pemangsa-mangsa

Gambarajah 2 menunjukkan ‘ phase trajectories’ bagi persamaan pembezaan. ‘Phase trajectories’ adalah satu laluan yang dihasilkan oleh penyelesaian ( R,F) sejajar dengan masa. Satu ‘ phase potrait’ mengandungi titik keseimbangan dan ‘typical phase trajectories’.

d) Menganalisis Data

Ba gi menganalisis data, satu jadual telah dicipta bagi memudahkan manusia untuk membuat penilaian.

Analisis dibuat berdasarkan ‘Phase trajectory’ yang telah dibina.

Gambarajah 2 : Phase potrait of the system

Gambarajah 3 : Phase trajectory

I

IVV

III

II

Bagi menentukan pergerakkan mengelilingi ‘phase projectory’, masukkan R = 1000 dan F = 100 dalam persamaan pembezaan yang pertama.

Disebabkan oleh dR/dt > 0, menunjukkan bahawa R meningkat pada Pₒ , maka pergerakkan kita mengelilingi ‘phase trejectory’ adalah secara lawan jam.

Hasil analisis

- Kuadrant I

o Pada kuadarant ini, bilangan mangsa banyak berbanding dengan

bilangan pemangsa. Hal ini dikuatkan dengan titik (1000,50) menunjukkan bilangan mangsa (arnab) lebih banyak berbanding dengan pemangsa (musang). Hal ini mungkin kerana populasi musang baru berhijrah ke penempatan tersebut. Bilangan pemangsa tidak mencukupi untuk mengekalkan keseimbangan di antara populasi.

- Kuadrant 2

o Kuadrant ini menunjukkan bilangan populasi mangsa dan pemangsa

meningkat secara selari. Hal ini di buktikan dengan titik yang di tunjukkan pada P (1500,100). Titik tersebut telah menunjukkan peningkatan dari segi bilangan populasi mangsa dan pemangsa. Hal ini mungkin kerana bilangan pemangsa yang sikit pada mulanya telah membolehkan mangsa membiak dan hidup dengan selamat. Bilangan populasi mangsa dikatakan meningkat sehingga berada pada tahap maksimum. Apabila pemangsa menyedari kewujudan populasi mangsa yang banyak , semakin banyak bilangan pemangsa yang datang ke penempatan tersebut dan mengakibatkan bilangan pemangsa bertambah.

- Kuadrant 3

o Bilangan mangsa berkurang, dan bilangan pemangsa bertambah pada

kuadrant ini. Seperti yang di tunjukkan pada titik P (1000,150), bilangan pemangsa meningkat lebih banyak, makala bilangan mangsa pula semakin berkurang. Hal ini kerana, apabila bilangan pemangsa banyak, pemangsa akan makan mangsa yang ada. Pertumbuhan pemangsa juga menjadi lebih cepat disebabkan oleh sumber makanan yang mencukupi seperti andaian yang telah di buat dalam Lotka-Volterra model.

- Kuadrant 4

o Pada kuadrant ini pula, bilangan pamangsa dan mangsa menurun

secara sejajar. Titik P (500,100) menunjukkan penurun dari segi bilangan populasi mangsa dan pemangsa. Hal ini terjadi kerana apabila bilangan pemangsa banyak berlakunya persaingan untuk hidup dari segi makanan. Sumber makanan ( mangsa) yang ada tidak mencukupi untuk menampung keperluan makanan pemangsa. Hal ini menyebabkan pemangsa terpaksa bergaduh untuk mendapatkan makanan dan akhirnya terdapat juga pemangsa yang mati. Selain itu, penurunan pemangsa juga di sebabkan oleh sesetengah pemangsa yang berhijrah ke tempat lain untuk mendapatkan bekalan manakanan yang mencukupi.

Rajah 1 : Bilangan populasi pemangsa ( Musang)

Rajah 2 : Bilangan populasi mangsa ( Arnab)

Rajah 3 : Perbezaan Bilangan populasi mangsa dan pemangsa

MEMBANDINGKAN MASALAH DENGAN REALITI

Sebagai mana yang kita tahu, terdapat pelbagai model yang telah di hasilkan oleh pakar-pakar matematik bagi tujuan untuk melakukan pengiraan tentang interaksi yang berlaku terhadap sesuatu populasi dan apakah kesannya kepada pertumbuhan spesis di sesuatu habitat. Antara model matematik yang telah dipelajari ialah model perkembangan logistik dan model pemangsa-manga. Kedua-dua model ini mempunyai fungsi dan kelebihan serta kekurangnya tersendiri. Namun begitu, tidak kesemua pengiraan yang dihasilkan dapat memberikan satu gambaran sebenar tentang interaksi yang berlaku anatara populasi. Oleh hal yang demikian, saya disini ingin menyangkal beberapa andaian yang telah ditetapkan oleh Amerika Alfred James Lotka (1925) dan ahli matematik Itali Vito Volterra (1926).

Andaian pertama :

- Tanpa kehadiran pemangsa dan sumber makanan yang cukup akan dapat membantu meningkatkan bilangan populasi mangsa.

Realiti kehidupan :

- Saya menyangkal andaian ini kerana pada pandangan saya, pertambahan bilangan mangsa bukan sahaja tertumpu kepada kurangnya bilangan pemangsa dan sumber makanan yang cukup, malah hal ini juga boleh terjadi sekiranya berlakunya migrasi mangsa yang sama (arnab) dari tempat yang lain. Apabila kehadiran mangsa yang sama dari tempat lain semakin ramai, maka bilangan mangsa akan bertambah.

- Selain itu, setelah saya mengkaji kadar pembiakan arnab dengan musang, saya mendapati arnab lebih cepat membiak berbanding dengan musang. Hal ini dapat di buktikan oleh jadual yang di petik dari laman sesawang.

Jadual 1 : Perkembangan populasi arnab dan musang mengikut tahun

- Hal ini jelas menunjukkan bahawa, arnab membiak lebih cepat dan banyak berbanding dengan musang. Pada awal tahun pembiakan, bilangan populasi arnab telah mencapai kepada 300 ekor berbanding dengan bilangan musang yang hanya 57 ekor. Perbezaan pertambahan bilangan arnab dari tahun permulaan dan tahun pertama ialah sebanyak 176 ekor berbanding dengan perbezaan bilangan musang yang hanya bertambah sebanyak 7 ekor sahaja. Keputusan ini jelas membuktikan bahawa, kadar pertumbuhan arnab yang cepat menjadi faktor kepada pertambahan populasi arnab.

- Bukti di atas jelas menunjukkan bahawa pertambahan populasi arnab tidak hanya bergantung kepada ketidakhadiran musang dan sumber makanan yang mencukupi.

Andaian kedua :

- Tanpa kehadiran mangsa, diandaikan bahawa kadar pertumbuhan populasi pemangsa akan berkurang

- Andaian ini menyatakan bahawa pengurangan bilangan populasi pemangsa berkurang adalah disebabkan oleh ketiadaan mangsa iaitu arnab.

Realiti kehidupan :

- Pada pandangan saya, sesuatu habit mempunyai ekosistemnya yang tersendiri dimana setiap ekosistem mempunyai pelbagai mahkluk hidup yang saling bergantung antara satu sama lain. Mustahil saya katakan jika di dalam satu habitat hanya ada satu spesis haiwan yang menjadi sumber makanan kepada musang. Menurut pembacaan saya melalui edaran yang diedarkan oleh Nottinghamshire Wildlife Trust Club, musang merupakan haiwan omnivor dimana musang boleh makan apa sahaja termasuklah ayam, tikus, siput, buah beri, bangkai haiwan dan sebagainya. Malah musang juga akan makan kerepek dan pizza jika mereka berada dibandar. Hal ini jelas menunjukkan bahawa pengurangan populasi musang tidak bergantung kepada pengurangan populasi arnab semata-mata.

Andaian ketiga :

- Punca kematian mangsa adalah berpunca daripada dimakan oleh pemangsa.- Kadar kelahiran dan kemandirian spesis pemangsa bergantung kepada

sumbermakanan iaitu mangsa.

- Kedua-dua andaian di atas menyimpulkan bahawa kadar pertumbuhan dan pengurangan populasi disebabkan oleh kematian kedua – dua populasi adalah saling bergantungan. Segala punca di letakkan atas tindakan mangsa dan pemangsa semata-mata.

Realiti kehidupan :

- Saya sangat tidak bersetuju dengan andaian ini. Secara formula dan statistiknya jelas menunjukkan bahawa kedua-dua mangsa dan pemangsa saling bergantungan antara satu sama lain, namun secara logiknya, setiap perkara yang berlaku itu bukannya hadir dan berpunca dari satu sebab sahaja. Banyak perkara yang berlaku di luar sana yang menjadi faktor kepada perkembangan dan kematian mangsa dan pemangsa.

- Faktor yang menggugat perkembangan pemangsa yang pertama ialah pemangsa mendapat ganguan daripada pemangsa yang lain. Seperti yang saya nyatakan sebentar tadi, di dalam satu ekosistem terdapat pelbagai spesis haiwan yang tinggal bersama. Walaupun musang dikatakan sebagai seekor haiwan yang kuat jika hendak dibandingkan dengan arnab, namun masih lagi terdapat haiwan lain yang lebih kuat seperti harimau.

- Selain itu, musang atau pemangsa juga akan mendapat gangguan daripada pemangsa lain dari segi sumber makanan. Musang terpaksa bersaing dengan beberapa pemangsa yang lain seperti helang, harimau, singa dan sebagainya. Apabila bilangan populasi pemangsa yang berlainan spesis bertambah dalam satu habitat, maka sumber makanan yang berada di habitat itu juga akan berkurang. Hal ini akhirnya boleh menjadi faktor kepada kematian dan pengurangan populasi pemangsa.

- Seterusnya, pengurangan kadar perkembangan populasi mangsa dan pemangsa juga adalah di sebabkan oleh pemburuan haram secara terbuka yang dilakukan oleh manusia. Manusia membunuh musang dan arnab bagi mendapatkan isi mereka serta bulu mereka untuk di jadikan pakaian. hal ini membuktikan bahawa pemburuan secara haram juga telah menyebabkan bilangan populasi arnab dan musang semakin berkurang.

- Jangkitan penyakit juga menyebabkan berlakunya pengurangan bilangan populasi mangsa dan pemangsa. Arnab sebagai contoh merupakan antara haiwan yang sensitif terhadap persekitiran. Kebanyakkan arnab akan mengalami penyakit seperti pasteurella (hingusan), hama telinga, strok haba dan bermacam – macam lagi, dipetik daripada artikel yang bertajuk 5 Rabbit Illnesses to Know yang ditulis oleh Samantha Johnson. Oleh hal demikian, terbuktilah bahawa penurunan bilangan populasi mangsa dan pemangsa tidak bersandaran antara satu sama lain.

- Akhir sekali ialah perubahan iklim dan cuaca di sesuatu habitat menjadi salah satu faktor kepada pengurangan bilangan populasi mangsa dan pemangsa. Hal ini terjadi apabila sesuatu habitat sudah tidak sesuai untuk di diami, pemangsa dan mangsa akan mencari dan meneroka tempat baru yang sesuai dengan mereka. Sehubungan dengan itu, bilangan populasi mangsa dan pemangsa di tempat asal akan berubah. Sebagai contoh musang merupakan haiwan yang tinggal di kawasan yang lembap seperti hutan hujan tropika, jika habitat tersebut berubah menjadi sangat panas dan kering, musang akan bermigrasi untuk mencari habitat yang sesuai. Hal ini akan menyebabkan bilangan populasi musang di kawasan itu berkurang. Perkara yang sama juga akan berlaku terhadap arnab. Bukti ini jelas menunjukkan bahawa kadar pengurangan bilangan populasi mangsa dan pemangsa tidak bergantungan antara satu sama lain.

PENUTUP

Model matematik seperti model pemangsa-mangsa ini di wujudkan oleh pakar matematik adalah untuk membantu pakar-pakar ekologis untuk membuat pengiraan terhadap perubahan kadar perkembangan sesuatu populasi. Setiap model mempunyai fokusnya tersendiri yang perlu di capai. Sebagai contoh model pemangsa-mangsa di gunakan untuk melihat interaksi yang berlaku diantara dua populasi, manakala model

perkembangan logistik pula ingin meramal dan melihat sejauh mana perkembangan sesuatu populasi pada tahap atau masa yang tertentu. Oleh itu, sebagai pengguna model matematik ini, kita hendaklah membuat pilihan model matematik yang tepat supaya objektif dapat dicapai.

Senarai rujukan

1. Eldra P. Solomon & Friends ( 2002). Biology. United States of America:Thomson Learning, Inc. Thomson Learning.

2. http://www.hobbyfarms.com/farm-pets/pet-rabbit-information/5-rabbit-illnesses-to know.aspx

3. http://www.nottinghamshirewildlife.org/animal-facts/fox

4. http://www.illustrativemathematics.org/illustrations/713

-