MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL · Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah model pertumbuhan kontinu. Model ini bertujuan mengadakan pendugaan untuk memperbaiki keadaan pada

i

MODEL PERTUMBUHAN POPULASI

TUNGGAL

Makalah

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Maria Etik Damayanti

NIM: 093114005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2014

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

MAKALAH

MODEL PERTUMBUHAN POPULASI

TUNGGAL

Oleh:


NIM: 093114005

Telah disetujui oleh:

Pembimbing

Hartono, Ph.D . Tanggal 18 Juli 2014


iii

Makalah

Model Pertumbuhan Populasi Tunggal

Dipersiapkan dan ditulis oleh:


NIM: 093114005

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji

pada tanggal 24 Juli 2014

dan dinyatakan telah memenuhi syarat

Susunan Panitia penguji

Nama Lengkap TandaTangan

Ketua Lusia Krismiyati Budiasih, M.Si.

Sekretaris Sudi Mungkasi, Ph.D.

Anggota Hartono, Ph.D.

Yogyakarta, 24 Juli 2014

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas sanata Dharma

Dekan,

(P.H. Prima Rosa,S.Si.,M.Sc)


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan Yesus dan Bunda Maria

dalam hidupku.

“Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang

apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam segala hal

keinginanmu kepada Allah dalam doa dan

permohonan dengan ucapan syukur.”

(Filipi 4:6)

Karya ini aku persembahkan untuk:

Orang-orang terkasih: Bapak, Ibu, Fiyan

Orang-orang terhebat: sahabat-sahabat matematika 2009

Orang-orang terbaik: mas Diko dan keluarganya

Orang-orang termanis: sahabat-sahabat kos Banana


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.


Penulis



vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :

Nama : Maria Etik Damayanti

Nomor Mahasiswa : 093114005

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :

MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada

Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, me-ngalihkan dalam

bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara

terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan

akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya

selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 28 Agustus 2014

Yang menyatakan

( Maria Etik Damayanti )


vii

ABSTRAK

Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah model pertumbuhan

kontinu. Model ini bertujuan mengadakan pendugaan untuk memperbaiki keadaan

pada suatu populasi (disebut model pendugaan). Pertama-tama akan dimodelkan

dengan pertumbuhan eksponensial. Kemudian akan diperluas dengan

menggunakan pertumbuhan logistik. Pada pertumbuhan logistik, memasukkan

batas untuk populasinya sehingga tidak akan tumbuh secara tak berhingga. Maka,

jumlah populasinya akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Dalam makalah

ini, model pertumbuhan populasi yang dibahas hanya dibatasi untuk model

pertumbuhan populasi tunggal.

Dalam penerapannya terdapat tiga model pertumbuhan yang akan dibahas,

yaitu model pertumbuhan eksponensial, model pertumbuhan logistik dan model

pertumbuhan terbatas dengan pemanenan. Model pertumbuhan eksponensial

dihasilkan solusi yang berbentuk fungsi monoton (naik atau turun). Model

pertumbuhan logistik dikembangkan dengan memperhatikan parameter daya

dukung yang bergantung pada waktu. Selanjutnya akan dikaji model pemanenan

dengan menentukan fungsi panen yang seimbang. Persamaan model ini dianalisis

untuk mengetahui kestabilan sistem.


viii

ABSTRACT

Topics covered in this paper is a continuous model of population growth.

This model aims to predict the state in a population (called the prediction model).

First we will describe the exponential growth model. Then it is expanded to a

logistic growth model. In logistic growth model, we put a limit to the population

so it will not grow infinitely. Thus, the amount of the population will always be

limited to a certain value. In this paper, the population growth model discussed is

only limited to a single.

In practice there are three models of population growth that will be

discussed, namely the model of exponential growth, logistic growth model and

limited growth model with harvesting. The Exponential growth model produce a

solution in the form of monotone functions (up or down). The Logistic growth

model was developed by taking into account the carrying capacity parameters that

depend on time. Furthermore, the model will be assessed by determining the

balance of the crop harvesting function. Then, the model equations are analyzed to

determine the stability of the system.


ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu

menyertai dan membimbing penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan

makalah ini dengan lancar. Makalah ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu

syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1) dan memperoleh gelar

Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa proses penulisan makalah ini melibatkan banyak

pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya

mengucapkan terima kasih kepada:

1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi

Matematika atas dukungannya.

2. Hartono, Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah sabar dalam

membimbing, memberi pengetahuan dan memberi saran-saran kepada

penulis selama penulisan makalah ini.

3. Romo, Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan pengetahuan kepada

penulis selama proses perkuliahan ini.

4. Kedua orang tuaku dan adikku yang senantiasa selalu memberikan doa dan

dukungan.

5. Teman-teman Matematika 2009: Yohana, Idut, Ochie, Jojo, Sekar, Erlika,

Dimas dan Doweek, terima kasih untuk kebersamaan selama proses

kuliah, saling berbagi dalam suka maupun dalam duka dan semangat yang

selalu diberikan kepada penulis. Kalian hebat.

6. Mas diko yang selalu memberikan semangat dan sebagai tempat curahan

hati.

7. Romo-romo Sarikat Jesus Kolsani: Romo Bayu, Romo Tomy dan Romo

Marko yang selalu memberikan keteguhan hati dalam proses

menyelesaikan penulisan makalah ini.


x

8. Teman-teman Flater Sarikat Jesus Kolsani: Flater Tama, Flater Heri, Flater

Suryadi, Flater Dimas, Flater Eko yang selalu memberikan dukungan

beserta doa-doanya.

9. Teman-teman kos Banana: Rosa, Yustin, Rina, Deta, Yani, Nanik dan

mbak Icot yang selalu menjadi tempat curahan hati dalam proses penulisan

makalah ini

10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang terlibat dalam

proses penulisan makalah ini.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan

makalah ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik demi

penyempurnaan makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini

dapat berguna bagi para pembaca.


Penulis


xi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ……………………………………………………………… i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………………………….. ii

HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………………….. iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………..…………………….…… iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………….……. v

ABSTRAK ………………………………………………………………………… vi

ABSTRACT ……………………………………………………………………..… vii

KATA PENGANTAR ………………………………………………………….…. viii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH….…….....… x

DAFTAR ISI ………………………………………….………………………….... xi

DAFTAR GAMBAR …………………………………………………….…….….. xiii

BAB 1 PENDAHULUAN……………………………………………………….... 1

A. LATAR BELAKANG ………………………………………...………………. 1

B. RUMUSAN MASALAH ………………………………………………….…... 5

C. BATASAN MASALAH …………………………………………………….… 6

D. TUJUAN PENULISAN ………………………………………….………….… 6

E. MANFAAT PENULISAN ……………………………………………………. 6

F. METODE PENULISAN ………………………………………………….…… 7

G. SISTEMATIKA PENULISAN ………………………………….………….…. 7

BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL .….….. 9

2.1 PENGERTIAN, TUJUAN DAN JENIS MODEL ……………...…………… 9

2.2 LIMIT ………………………………………………………………………… 11

2.3 KONTINUITAS ……………………………………………………………… 13

2.4 TURUNAN …………………………………………………………………… 14

2.5 INTEGRAL ………………………………………………………………...… 37

2.6 PERSAMAAN DIFERENSIAL …………………………………...………… 40


xii

BAB III MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL ……………….… 55

3.1 PENDAHULUAN ………………………………………………………….… 55

3.2 MODEL PERTUMBUHAN EKSPONENSIAL …………………………...… 56

3.3 MODEL PERTUMBUHAN LOGISTIK …………………………………..… 62

3.4 MODEL PERTUMBUHAN TERBATAS DENGAN PEMANENAN ……… 70

BAB IV APLIKASI MODEL …………………………………………………...… 80

4.1 PENDAHULUAN………………………………………………………….….. 80

4.2 MEMODELKAN PERKEMBANGAN TEKNOLOGI ……………………… 80

4.3 KEPADATAN BERGANTUNG PADA KELAHIRAN …………………….. 84

4.4 MODEL PANENAN ………………………………………………………….. 86

4.5 MEMANCING DENGAN BATASAN ………………………………………. 88

BAB V PENUTUP …………………………………………………………………. 92

A. KESIMPULAN ………………………………………………………………… 92

B. SARAN ………………………………………………………………………… 94

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………… 95


xiii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1 Diagram masuk-keluar populasi ……………………………………… 2

Gambar 2.1 Grafik nilai-nilai ekstrim yang terjadi pada titik-titik kritis ………….. 21

Gambar 2.2 Grafik naik dan turun ………………………………………………… 27

Gambar 2.3 Grafik kemiringan ……………………………………………………. 28

Gambar 2.4 Grafik kecekungan …………………………………………………… 30

Gambar 2.5 Grafik nilai maksimum, minimum dan ekstrim lokal ………………... 33

Gambar 3.1 Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin bertambah ……. 59

Gambar 3.2 Grafik yang menyatakan laju perubahannya stabil …………………... 60

Gambar 3.3 Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin berkurang …….. 60

Gambar 3.4 Grafik populasi laju pertumbuhan per-kapita ………………………… 68

Gambar 3.5 Grafik yang menunjukkan solusi kesetimbangan …………………….. 69

Gambar 3.6 Grafik untuk model pertumbuhan logistik …………………………… 70


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Setiap makhluk hidup selalu mengalami perubahan dari waktu ke waktu,

dimulai dari kelahiran, pertumbuhan, hingga kematian. Untuk menggambarkan

pertumbuhan suatu populasi, diperkenalkan suatu model pertumbuhan yang

disebut model pertumbuhan eksponensial. Dalam model pertumbuhan

eksponensial ini diasumsikan tidak ada penundaan waktu pada proses

pertumbuhan populasi. Selain itu pada model ini dihasilkan solusi yang berbentuk

fungsi monoton (naik atau turun), dimana dapat ditafsirkan bahwa jumlah

populasi akan terus bertambah (tidak pernah berkurang) atau akan terus berkurang

(tidak pernah bertambah).

Dalam kenyataannya, sepanjang waktu lingkungan atau daya dukung

lingkungan dapat berubah. Populasi tidak dapat terus bertambah secara

exponensial dari waktu ke waktu karena adanya keterbatasan sumber daya

dan/atau adanya persaingan dengan spesies lainnya. Dalam makalah ini,

permasalahan tersebut akan diselesaikan dengan model populasi tunggal dengan

memperhitungkan persaingan atau sumber daya terbatas yang diamati dalam

populasi. Pada populasi tunggal terdapat beberapa macam model pertumbuhan

diantaranya: model pertumbuhan eksponensial, model pertumbuhan logistik dan

model pertumbuhan terbatas dengan panenan.


2

Model pertumbuhan eksponensial merupakan model pertumbuhan yang

sangat sederhana. Pada model ini individu berkembang dengan tidak dibatasi oleh

lingkungan seperti kompetisi dan keterbatasan suplai makanan. Laju perubahan

populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran, kematian dan migrasi diketahui.

Dinamika populasi dapat dihampiri dengan model ini hanya untuk periode waktu

yang pendek saja.

Secara umum model populasi dapat digambarkan sebagai berikut:

kelahiran kematian

Gambar 1.1: Diagram masuk-keluar populasi.

Bagan tersebut mengarah ke dalam persamaan yang menggambarkan perubahan

populasi,

{

} = ,

- - ,

-.

Persamaan tersebut akan dikembangkan dengan beberapa asumsi dan

kemudian proses kelahiran dan kematian dinyatakan ke dalam simbol.

Asumsi dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Populasi cukup besar sehingga perbedaan antara individu dapat diabaikan.

2. Kelahiran dan kematian kontinu dalam waktu.

3. Laju kelahiran per-kapita dan laju kematian per-kapita konstan dalam

waktu.

4. Dalam pengembangan model, pada mulanya imigrasi dan emigrasi

diabaikan, selanjutnya akan dimasukkan kemudian.

dunia


3

Dimisalkan jumlah populasi pada saat t adalah X(t) dan populasi awal

bernilai , dengan laju kelahiran per-kapita adalah dan laju kematian

perkapita adalah . Tujuannya adalah untuk menemukan ukuran populasi pada

waktu t. Langkah pertama adalah menentukan persamaan populasi. Diasumsikan

bahwa penduduk hanya dapat berubah karena kelahiran atau kematian, imigrasi

atau emigrasi diabaikan. Juga, diasumsikan bahwa perubahan populasi setiap saat

sebanding dengan jumlah penduduk waktu itu. Karena laju kelahiran per-kapita

diasumsikan konstan, maka laju kelahiran adalah laju kelahiran per-kapita

dikalikan besarnya populasi saat itu. Demikian juga, untuk laju kematian adalah

laju kematian perkapita dikalikan besarnya populasi saat itu. Ini dapat ditulis,

,

- = X( t ),

,

- = X( t ).

Dari kedua persamaan di atas dapat diperoleh

dt

dX X - X.

Selanjutnya akan dibahas secara umum mengenai model pertumbuhan

logistik, yang menggunakan kaidah logistik (logistic law) yaitu bahwa persediaan

logistik ada batasnya. Model ini mengasumsikan bahwa pada masa tertentu

jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Pada titik ini

besarnya laju kelahiran per-kapita dan besarnya laju kematian per-kapita dianggap

sama, sehingga grafiknya akan mendekati konstan (zero growth). Model ini akan

diperluas untuk memasukkan laju kematian tambahan karena pembatasan sumber

daya, dan dengan demikian pertumbuhan dibatasi.


4

Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita adalah tidak konstan,

maka laju kematian per-kapita akan meningkat seiring dengan peningkatan

populasi. Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita bergantung linear pada

suatu populasi, maka dapat dinyatakan sebagai berikut:

{

} ( )

Dimana adalah laju kematian per-kapita dan adalah laju kematian per-

kapita yang bergantung pada suatu populasi. Perhatikan bahwa untuk , laju

kematian per-kapita mendekati , sedangkan dengan meningkatnya besarnya

populasi maka laju kematian per-kapita akan meningkat. Bentuk linear ini

merupakan bentuk yang paling sederhana untuk laju kematian per-kapita yang

bergantung pada peningkatan besarnya populasi. Laju kematian adalah laju

kematian perkapita dikalikan besarnya populasi saat itu yang dinyatakan sebagai

berikut:

,

-

Sehingga diperoleh

Dengan menyatakan laju reproduksi populasi, maka diperoleh

model pertumbuhan yang bergantung pada kepadatan suatu populasi yang

dinyatakan sebagai berikut:

Dengan

maka

, sehingga persamaan tersebut menjadi


5

Maka secara umum laju pertumbuhan yang bergantung pada suatu populasi

dinyatakan sebagai berikut:

K

XrX

dt

dX1

Selanjutnya akan dibahas model pertumbuhan populasi terbatas dengan

panenan. Pengaruh pemungutan panenan pada suatu populasi secara teratur atau

konstan sangatlah penting bagi banyak industri. Salah satu contohnya adalah

industri perikanan. Persamaan akan dirumuskan dalam laju panenan yang konstan

pada model logistik sehingga dapat ditulis,

{

} = ,

- - ,

- –

{

} - {

}.

Dengan asumsi laju panenan adalah konstan, maka model di atas dapat dinyatakan

ke dalam persamaan diferensial,

hK

XrX

dt

dX

1

Di mana h adalah laju panenan yang dianggap konstan (banyaknya tangkapan per

satuan waktu, atau kematian akibat panenan per satuan waktu).

B. RUMUSAN MASALAH

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu:

1. Bagaimana model pertumbuhan eksponensial dari suatu populasi tunggal ?


6

2. Bagaimana model pertumbuhan logistik dari suatu populasi tunggal?

3. Bagaimana model pertumbuhan terbatas dengan panenan dari suatu

populasi tunggal?

C. BATASAN MASALAH

Model pertumbuhan populasi yang dibahas dalam tulisan ini yaitu model

populasinya tunggal.

D. TUJUAN PENULISAN

Tujuan penulisan ini adalah untuk memperoleh penyelesaian pertumbuhan

populasi tunggal dengan beberapa macam model pertumbuhan yaitu: model

pertumbuhan eksponensial, model pertumbuhan logistik dan model

pertumbuhan terbatas dengan panenan.

E. MANFAAT PENULISAN

Memperoleh pengetahuan tentang penyelesaian pertumbuhan populasi

tunggal.


7

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan

mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan model matematika untuk

menyelesaikan masalah pertumbuhan populasi tunggal.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL

A. Pengertian, Tujuan dan Jenis Model

B. Limit

C. Kontinuitas

D. Turunan

E. Integral

F. Persamaan Diferensial


8

BAB III MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL

A. Pendahuluan

B. Model Pertumbuhan Eksponensial

C. Model Pertumbuhan Logistik

D. Model Pertumbuhan Terbatas dengan Panenan

BAB IV APLIKASI MODEL

A. Pendahuluan

B. Memodelkan Perkembangan Teknologi

C. Kepadatan Bergantung pada Kelahiran

D. Model Panenan

E. Memancing dengan Batasan

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA


9

BAB II

MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Pada Bab sebelumnya telah dibahas gambaran secara umum mengenai

pertumbuhan populasi tunggal. Pertumbuhan tersebut berkaitan dengan model

matematika untuk menyelesaikan masalah pertumbuhan populasi tunggal.

Penyelesaian tersebut antara lain: limit, turunan, integral dan persamaan

diferensial biasa. Untuk Subbab 1 pada Bab II ini akan dibahas mengenai

pengertian, tujuan dan jenis model.

2.1 Pengertian, Tujuan dan Jenis Model

Definisi 2.1.1

Model adalah gambaran (tiruan, perwakilan) suatu obyek yang disusun

berdasarkan tujuan tertentu.

Obyek di sini dapat berupa suatu sistem, suatu perilaku sistem, atau suatu

proses tertentu. Dalam pembahasan ini yang dimaksud dengan sistem adalah suatu

himpunan beserta relasi antar unsur-unsurnya yang disusun dengan tujuan

tertentu. Model hanya menirukan sebagian dari segi obyek sesuai dengan tujuan

penyusunan model dengan maksud supaya lebih mudah dikenali, dipelajari dan

dimanipulasi lebih lanjut.


10

Tujuan penyusunan model dapat dibedakan atas 3 kategori sebagai berikut:

1. Guna mengenali keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan cara mencari

keterkaitan antara unsur-unsurnya. Model ini disebut dengan model

keterkaitan.

2. Guna mengadakan pendugaan untuk dapat memperbaiki keadaan obyek.

Model hasilnya disebut model pendugaan.

3. Guna mengadakan optimisasi bagi obyek. Modelnya disebut model

optimisasi.

Pada umumnya penyusunan model kategori kedua dan ketiga harus

melalui kategori pertama dulu. Jadi dengan salah satu tujuan di atas sebagai

pedoman, model yang disusun akan berfungsi untuk menirukan atau

menggambarkan keadaan atau perilaku sistem yang diamati semirip mungkin.

Model dapat dibagi menurut jenisnya yaitu sebagai berikut:

1. Model fisis yaitu model yang biasanya cukup mirip dengan obyek dari segi

fisis, misalnya bentuknya, atau polanya.

Model fisis dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu:

a) Model ikonik yaitu model yang biasanya menekankan keadaan statis

obyek atau keadaan dinamis sesaat.

Contoh model ikonik: peta timbul, patung dsb.

b) Model analog yaitu model yang biasanya meminjam sistem lain yang

mempunyai kesamaan sifat dengan obyek.


11

Contoh model analog: pola baju, denah rumah dsb.

2. Model simbolik (model matematika) yaitu model yang menggunakan

lambang-lambang (simbol) matematika atau logika untuk menyajikan perilaku

obyek, maka ini disebut model matematika. Model ini dapat dianggap

sebagai usaha abstraksi terhadap obyek lewat cara analisis atau numeris dalam

bentuk persamaan-persamaan matematika. Bila penyelesaian ditemukan maka

hasil ini dapat digunakan sebagai alat prediksi atau kontrol terhadap obyek.

Untuk kerja yang besar proses matematika dapat dibantu oleh perangkat

komputer. Model matematika yang dituliskan dalam bahasa komputer disebut

model komputer.

Subbab selanjutnya akan dibahas mengenai limit. Dalam subbab ini akan

dibahas mengenai pengertian limit secara intuisi dan limit sepihak yang akan

digunakan untuk membahas pada subbab kontinuitas dan turunan.

2.2 Limit

Definisi 2.2.1 (Pengertian Limit Secara Intuisi)

Mengatakan bahwa ( ) berarti bahwa bilamana dekat dengan ,

tetapi tidak sama dengan , maka ( ) dekat ke .

Contoh 2.2.1

Carilah ( ).

Penyelesaian

Bilamana dekat , maka dekat terhadap . Dapat dituliskan


12

( )

Definisi 2.2.2 (Definisi Limit secara Formal)

Mengatakan bahwa ( ) berarti bahwa untuk tiap yang

diberikan, terdapat yang berpadanan sedemikian sehingga | ( ) |

asalkan bahwa | | ; yaitu

| | | ( ) |

Contoh 2.2.2

Buktikan bahwa

Bukti

Andaikan diberikan . Pilih

. Maka | | mengimplikasikan

|

| |

( )( )

| | | | ( )| | |

●

Limit-limit Sepihak. Bila suatu fungsi mempunyai lompatan, maka limit

tidak ada pada setiap titik lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian berlaku

limit-limit sepihak. Anggaplah lambang berarti bahwa mendekati

dari kanan atau , dan sebaliknya jika berarti bahwa mendekati

dari kiri atau . Berikut adalah definisi mengenai limit kanan dan limit kiri.


13

Definisi 2.2.3 (Definisi Limit Kanan dan Limit Kiri)

Mengatakan bahwa ( ) berarti bahwa bilamana dekat tetapi pada

sebelah kanan , maka ( ) dekat ke . Hal yang serupa, mengatakan bahwa

( ) berarti bahwa bilamana dekat tetapi pada sebelah kiri , maka

( ) adalah dekat ke .

Subbab selanjutnya akan dibahas mengenai kekontinuan pada suatu

interval. Pada subbab ini mencakup mengenai kekontinuan itu sendiri.

2.3 Kontinuitas

Definisi 2.3.1

Andaikan terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung . Dinyatakan

bahwa kontinu di jika

( ) ( )

Contoh 2.3.1

Andaikan ( )

. Definisikan di agar kontinu di titik itu!

Penyelesaian:

( )( )

( )

Karena itu, akan didefinisikan ( ). ●

Jika tidak kontinu di , dapat dikatakan bahwa diskontinu di atau

punya satu diskontinuitas di . Dari definisi 2.3.1 mensyaratkan tiga hal yang

harus dipenuhi agar fungsi yang didefinisikan kontinu pada c, yaitu:


14

i. ( ) terdefinisi (yaitu berada di daerah asal );

ii. ( ) ada (sehingga haruslah terdefinisi pada suatu selang terbuka

yang memuat );

iii. ( ) ( )

Selanjutnya akan dibahas mengenai turunan. Pada subbab ini akan

membahas mengenai turunan itu sendiri dan penerapannya seperti, kemonotonan,

kecekungan, nilai maksimum, nilai minimum, dan nilai ekstrim.

2.4 Turunan

Definisi 2.4.1

Turunan fungsi adalah fungsi lain ’ (dibaca “ aksen”) yang nilainya

pada sebarang bilangan adalah

( )

( ) ( )

jika limitnya ada.

Contoh 2.4.1

Carilah ( ) jika ( ) √

Penyelesaian

( )

( ) ( )

√ √

Dengan merasionalkan pembilangnya,


15

( )

0√ √

√ √

√ √ 1

(√ √ )

(√ √ )

(√ √ )

√ √

√

Jadi, turunan dari diberikan oleh ( ) ( ⁄ √ ). Daerah asalnya adalah

( ). ●

Definisi 2.4.2

Jika , maka definisi di atas ekivalen dengan

( )

( ) ( )

Teorema 2.4.1 (Keterdiferensialan Mengimplikasikan Kekontinuan)

Jika ( ) ada, maka kontinu di .

Bukti

Perlu diperlihatkan bahwa ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( )

( )


16

maka,

( )

0 ( ) ( ) ( )

( )1

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan yakni

dengan menyusun hasil bagi dengan selisih

( ) ( )

dan menghitung limitnya dapat memakan waktu yang banyak. Oleh karena itu,

akan dikembangkan cara-cara untuk memperpendek proses dan untuk mencari

turunan semua fungsi yang tampaknya rumit dengan cepat.

Mengingat kembali bahwa turunan suatu fungsi adalah fungsi lain .

Ketika menurunkan , artinya mendiferensialkan . Biasanya menggunakan

simbol untuk menandakan operasi diferensial. Simbol menyatakan

mengambil turunan (terhadap peubah ). Maka, dapat dituliskan ( ) ( ).

Teorema 2.4.2 (Aturan Fungsi Konstanta)

Jika ( ) dengan suatu konstanta, maka untuk sebarang ( ) ;

yakni

( )

Bukti


17

( )

( ) ( )

Teorema 2.4.3 (Aturan Fungsi Identitas)

Jika ( ) , maka ( ) ; yakni

( )

Bukti

( )

( ) ( )

Teorema 2.4.4 (Aturan Pangkat)

Jika ( ) , dengan bilangan bulat positif, maka ( ) ; yakni

( ) )

Bukti

( )

( ) ( )

( )

( )

[ ( )

]

Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertaa mempunyai sebagai faktor,

sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila mendekati nol. Jadi

( )


18

adalah Operator Linear.

Teorema 2.4.5 (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika suatu konstanta dan suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka ( ) ( )

( ); yakni,

( ) ( )

jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta dapat dikeluarkan dari

operator .

Bukti

Andaikan F(x)=k∙f(x), maka

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Teorema 2.4.6 (Aturan Jumlah)

Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialan, maka ( ) ( )

( ) ( ); yakni,

( ) ( ) ( ) ( )

Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari

turunan-turunan.

Bukti

Andaikan ( ) ( ) ( ) maka

( )

( ) ( ) ( ) ( )


19

0 ( ) ( )

( ) ( )

1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Sebarang operator disebut linear jika untuk semua fungsi dan :

a. ( ) ( ), untuk setiap konstanta ;

b. ( ) ( ) ( )

Teorema 2.4.7 (Aturan Selisih)

Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka ( ) ( )

( ) ( ); yakni,

( ) ( ) ( ) ( )

Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu selisih adalah selisih dari

turunan-turunan.

Bukti

( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 ( ) ( )

( ) ( )

1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )


20

Contoh 2.4.2

Tentukan turunan dari .

Penyelesaian

( ) ( ) ( ) (Teorema 2.4.7)

( ) ( ) ( ) (Teorema 2.4.6)

( ) ( ) ( ) (Teorema 2.4.5)

(Teorema 2.4.4, 2.4.3, dan 2.4.2) ●

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dihadapkan masalah untuk

mendapatkan cara terbaik dalam melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang

petani ingin memilih kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan

besar. Seringkali dari masalah tersebut dapat dirumuskan sehingga melibatkan

pemaksimuman atau peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan. Metode-

metode kalkulus menyediakan sarana untuk memecahkan permasalahan tersebut.

Dengan demikian, akan ditentukan nilai maksimum dan minimumnya.

Definisi 2.4.3 (Maksimum dan Minimum)

Misalkan , daerah asal , mengandung titik . Dapat dikatakan bahwa

i. ( ) adalah nilai maksimum pada jika ( ) ( ) untuk semua di

;

ii. ( ) adalah nilai minimum pada jika ( ) ( ) untuk semua di ;

iii. ( ) adalah nilai ekstrim pada jika ia adalah nilai maksimum atau nilai

minimum;


21

iv. Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau diminimumkan adalah fungsi

obyektif.

Teorema 2.4.8 (Teorema Keberadaan Maks-Min)

Jika kontinu pada interval tertutup , maka mencapai nilai maksimum dan

nilai minimum.

Nilai-nilai ekstrim dari fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup seringkali

terjadi pada titik-titik kritis, seperti pada gambar di bawah ini.

Gambar 2.1: Grafik nilai-nilai ekstrim yang terjadi pada titik-titik kritis

Namun, walaupun Teorema di atas secara intuitif sangat masuk akal, namun sukar

dibuktikan sehingga pembuktiannya diabaikan.

Contoh 2.4.3

Carilah titik-titik kritis dari ( ) pada *

+.


22

Penyelesaian

Titik-titik ujung adalah

dan 2. Untuk mencari titik stasioner dengan

menyelesaikan ( ) untuk , diperoleh dan . Tidak ada

titik singular. Jadi, titik-titik kritisnya adalah

●

Teorema 2.4.9 (Teorema Titik Kritis)

Misalkan didefinisikan pada interval yang memuat titik . Jika ( ) adalah

nilai ekstrim, maka haruslah berupa suatu titik kritis; dengan kata lain, adalah

salah satu dari

i. titik ujung dari ;

ii. titik stasioner dari ; yakni titik di mana ( ) ; atau

iii. titik singular dari ; yakni titik di mana ( ) tidak ada.

Bukti untuk kasus maksimum

Lihatlah kasus maksimum di mana ( ) adalah nilai maksimum pada

dan misalkan bahwa bukan titik ujung atau pun titik singular. Maka harus

dibuktikan bahwa adalah titik stasioner.

Karena ( ) adalah nilai maksimum, maka ( ) ( ) untuk semua dalam ;

yaitu

( ) ( )

Jadi jika , sehingga , maka

( ) ( ) ( )


23

sedangkan jika , maka

( ) ( ) ( )

Tetapi ( ) ada, karena bukan titik singular. Sehingga, diperoleh ( ) dan

( ) . Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) .

Bukti untuk kasus minimum

Pada kasus minimum di mana ( ) adalah nilai minimum pada dan

misalkan bahwa bukan titik ujung atau pun titik singular. Maka harus dibuktikan

bahwa adalah titik stasioner.

Karena ( ) adalah nilai minimum, maka ( ) ( ) untuk semua dalam ;

yaitu

( ) ( )

Jadi jika , sehingga , maka

( ) ( ) ( )

sedangkan jika , maka

( ) ( ) ( )

Tetapi ( ) ada, karena bukan titik singular. Sehingga, diperoleh masing-

masing ( ) dan ( ) . Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) .

Contoh 2.4.4

Mencari nilai-nilai maksimum dan minimum dari

( )


24

pada *

+.

Penyelesaian:

1. Langkah pertama mencari tititk-titik kritis yaitu dengan cara mencari turunan

dari fungsi tersebut.

( )

( )

( )

( )

Dari perhitungan tersebut, diperoleh titik kritisnya, yaitu

.

2. Kemudian dicari nilai fungsi saat

sebagai berikut

Saat

(

)

Saat ( )

Saat ( )

Saat ( )

Maka, diperoleh nilai maksimumnya, yaitu (dicapai pada

dan

) dan nilai minimumnya yaitu (dicapai pada ). ●

Dalam Subbab 2.4 ini, terdapat pembuktian Teorema Kemonotonan (Teorema

2.4.12) yang menggunakan Teorema Nilai Rata-rata (Teorema 2.4.10).


25

Teorema 2.4.10 (Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan)

Jika kontinu pada selang tertutup dan terdiferensialan pada titik-titik dari

( ), maka terdapat paling sedikit satu bilangan dalam ( ) dengan

( ) ( )

( )

Bukti

Pembuktian bersandar pada analisis dari fungsi ( ) ( ) ( ). Di sini

( ) adalah persamaan garis yang melalui ( ( )) dan ( ( )). Karena

garis ini mempunyai kemiringan ( ) ( ) ( ) dan melalui titik

( ( )), bentuk kemiringan titik untuk persamaannya adalah

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Ini kemudian menghasilkan rumus untuk ( ), yaitu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Perhatikan bahwa ( ) ( ) dan bahwa untuk dalam ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan dalam ( ) yang memenuhi

( ) , pembuktian akan selesai. Karena persamaan yang terakhir mengatakan

( ) ( ) ( )

yang setara dengan kesimpulan teorema tersebut.

Untuk melihat bahwa ( ) untuk suatu dalam ( ), alasannya

sebagai berikut. Jelas kontinu pada , karena merupakan selisih dua fungsi


26

kontinu. Jadi, menurut Teorema Keberadaan Maks-Min, harus mencapai baik

nilai maksimum ataupun nilai minimum pada . Jika kedua nilai ini kebetulan

adalah , maka ( ) secara identik adalah pada , akibatnya ( )

untuk semua dalam ( ), jauh lebih banyak daripada yang kita perlukan.

Jika satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan , maka

nilai tersebut dicapai pada sebuah titik-dalam , karena ( ) ( ) .

Sekarang mempunyai turunan di setiap titik dari ( ), sehingga dengan

Teorema Titik Kritis, ( ) .

Contoh 2.4.5

Andaikan ( ) pada . Carilah semua bilangan yang

memenuhi kesimpulan Teorema nilai Rata-rata.

Penyelesaian

Dengan menurunkan persamaan, diperoleh ( ) dan

( ) ( )

( )

.

Kemudian diselesaikan dengan atau, secara ekuivalen,

dari persamaan kuadrat. Terdapat dua penyelesaian (

√ ) yang berpadanan dengan dan . kedua bilangan

tersebut dalam selang ( ). ●

Banyak orang yang masih bingung dalam memutuskan di mana suatu

fungsi itu naik atau turun. Mungkin ada yang menyarankan dengan menggambar

grafiknya dan memperhatikannya. Tetapi sebuah grafik biasanya digambar dengan


27

membuat beberapa titik dan menghubungkan titik-titik tersebut dengan kurva

mulus. Tetapi cara tersebut masih kurang meyakinkan, karena titik-titik tersebut

mungkin akan bergoyang di antara titik-titik yang dibuat.

Definisi 2.4.4 (Kemonotonan)

Misalkan terdefinisi pada interval (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dapat

dikatakan bahwa:

i. naik pada jika, untuk setiap pasang bilangan dan dalam ,

( ) ( )

ii. turun pada jika, untuk setiap pasang bilangan dan dalam ,

( ) ( )

iii. monoton murni pada jika naik pada atau turun pada .

Definisi di atas diperlihatkan dalam grafik di bawah ini:

Gambar 2.2: Grafik naik dan turun

Ingat kembali bahwa turunan pertama ( ) memberi kemiringan dari garis

singgung pada grafik di titik . Kemudian, jika ( ) maka garis singgung


28

naik ke kanan. Demikian juga, jika ( ) , maka garis singgung menurun ke

kanan. Dapat dilihat pada gambar di bawah ini,

Gambar 2.3: Grafik kemiringan

Teorema 2.4.11 (Teorema Kemonotonan)

Misalkan kontinu pada interval dan terdiferensialkan pada setiap titik-dalam

dari .

i. Jika ( ) untuk semua titik di dalam , maka naik pada .

ii. Jika ( ) untuk semua titik di dalam , maka turun pada .

Bukti (i)

Andaikan bahwa kontinu pada dan bahwa ( ) di setiap titik di bagian

dalam . Tinjaulah dua titik sebarang dan dari dengan . Menurut

Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang , terdapat sebuah

bilangan dalam ( ) yang memenuhi

( ) ( ) ( )( )


29

Karena ( ) , dapat dilihat bahwa ( ) ( ) yakni, ( ) ( ).

Ini yang dimaksud bahwa naik pada .

Bukti (ii)

Andaikan bahwa kontinu pada dan bahwa ( ) di setiap titik di bagian

dalam . Tinjaulah dua titik sebarang dan dari dengan . Menurut

Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang , terdapat sebuah

bilangan dalam ( ) yang memenuhi

( ) ( ) ( )( )

Karena ( ) , dapat dilihat bahwa ( ) ( ) yakni, ( ) ( ).

Ini yang dimaksud bahwa turun pada .

Contoh 2.4.6

Tentukanlah di mana ( ) ( )⁄ naik dan di mana turun.

Penyelesaian

Dengan menurunkan persamaan di atas diperoleh

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( )

( )

Karena penyebut selalu positif, ( ) mempunyai tanda sama dengan pembilang

( )( ). Titik-titik pemisah, dan , menentukan tiga selang

( ) ( ) ( ). Bilamana ditemukan bahwa ( ) pada selang

yang pertama dan yang ketiga dan bahwa ( ) pada selang tengah. Dapat

disimpulkan dari Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.11) bahwa turun pada

( dan ), naik pada . ●


30

Definisi 2.4.5

Misalkan terdiferensialkan pada interval terbuka . Dapat dikatakan bahwa (dan

grafiknya) cekung ke atas pada jika naik pada dan dikatakan bahwa cekung

ke bawah pada jika turun pada .

Definisi di atas diperlihatkan dalam gambar di bawah ini:

Gambar 2.4: Grafik kecekungan

Teorema 2.4.12 (Teorema Kecekungan)

Misalkan terdiferensial dua kali pada interval terbuka I.

i. Jika ( ) untuk semua dalam , maka f cekung ke atas pada .

ii. Jika ( ) untuk semua dalam , maka cekung ke bawah pada

Bukti (i)

Andaikan bahwa terdiferensialkan dua kali pada dan bahwa ( ) , naik

dalam beberapa interval terbuka yang memuat . Tinjaulah dua titik sebarang

dan dari dengan . Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan

pada selang , terdapat sebuah bilangan c dalam ( ) yang memenuhi

( ) ( ) ( )( )


31

Karena naik, ( ) ( ), maka ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ). Tetapi, ( ) ( )( ) ( ) adalah persamaan

garis singgung di . Jadi kurva yang terbentang di atas garis singgung adalah

cekung ke atas.

Bukti (ii)

Andaikan bahwa terdiferensialkan dua kali pada dan bahwa ( ) , turun

dalam beberapa interval terbuka yang memuat . Tinjaulah dua titik sebarang

dan dari dengan . Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan

pada selang , terdapat sebuah bilangan dalam (a,b) yang memenuhi

( ) ( ) ( )( )

Karena naik, ( ) ( ), maka ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ). Tetapi, ( ) ( )( ) ( ) adalah persamaan garis

singgung di . Jadi kurva yang terbentang di bawah garis singgung adalah cekung

ke bawah.

Contoh 2.4.7

Di mana ( ) ⁄ (( )) cekung ke atas dan di mana cekung ke bawah?

Penyelesaian

Contoh ini sama seperti contoh 2.4.6, bahwa turun pada ( dan )

dan naik pada . Untuk menganalisa kecekungan perlu dihitung .

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( )


32

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

Karena penyebut selalu positif, maka harus diselesaikan ( ) dan

( ) . Titik-titik pemisah √ dan √ . Tiga titik pemisah itu

menentukan empat selang. Dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Dapat disimpulkan bahwa cekung ke atas pada ( √ ) dan bahwa cekung ke

bawah pada ( √ ) dan ( √ ).

Definisi 2.4.6

Andaikan , daerah asal , memuat titik . Dapat dikatakan bahwa:

i. ( ) nilai maksimum lokal jika terdapat selang ( ) yang memuat

sedemikian sehingga ( ) adalah nilai maksimum pada ( ) ;

ii. ( ) nilai minimum lokal jika terdapat selang ( ) yang memuat

sedemikian sehingga ( ) adalah nilai minimum pada ( ) ;

iii. ( ) nilai ekstrim lokal jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai

minimum lokal.

Definisi di atas diperlihatkan dalam grafik di bawah ini:


33

Gambar 2.5: Grafik maksimum, minimum dan ekstrim lokal

Teorema 2.4.13 (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)

Andaikan kontinu pada selang terbuka ( ) yang memuat titik kritis .

i. Jika ( ) untuk semua dalam ( ) dan ( ) untuk semua

dalam ( ) maka ( ) adalah nilai maksimum lokal .

ii. Jika ( ) untuk semua dalam ( ) dan ( ) untuk semua

dalam ( ) maka ( ) adalah nilai minimum lokal .

iii. Jika ( ) bertanda sama pada kedua pihak , maka ( ) bukan nilai

ekstrim lokal .

Bukti (i)

Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema

kemonotonan (Teorema 2.4.11) naik pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum

di ( ). Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema


34

Kemonotonan (Teorema 2.4.11) turun pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum

di ( ). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah maksimum lokal.

Bukti (ii)


kemonotonan (Teorema 2.4.11) turun pada ( ). Berarti ( ) nilai minimum


Kemonotonan (Teorema 2.4.11) naik pada ( ). Berarti ( ) nilai minimum di

( ). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah minimum lokal.

Bukti (iii)


Kemonotonan (Teorema 2.4.11) naik pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum


kemonotonan (Teorema 2.4.11) naik pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum

di ( ). Sebaliknya, karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka

menurut Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.11) turun pada ( ). Berarti

( ) nilai minimum di ( ). Karena ( ) untuk semua dalam ( )

maka menurut Teorema kemonotonan (Teorema 2.4.11) turun pada ( ).

Berarti ( ) nilai minimum di ( ). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) bukan

nilai ekstrim lokal .

Contoh 2.4.8

Carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi ( ) pada ( ).


35

Penyelesaian

Fungsi polinomial kontinu di mana-mana, dan turunannya, ( ) ada

untuk semua . Jadi satu-satunya titik kritis untuk adalah penyelesaian tunggal

dari ( ) , yakni . Karena ( ) ( ) untuk , turun

pada ( dan karena ( ) untuk , naik pada ). Karena

itu, menurut Teorema Uji Turunan Pertama (Teorema 2.4.13), ( ) adalah

nilai minimum lokal . Karena 3 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak

terdapat nilai ekstrim lain. ●

Teorema 2.4.14 (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal)

Andaikan dan ada pada setiap titik selang terbuka ( ) yang memuat , dan

andaikan ( ) .

i. Jika ( ) , ( ) adalah nilai maksimum lokal .

ii. Jika ( ) , ( ) adalah nilai minimum lokal .

Bukti (i)

Menurut definisi dan hipotesis,

( )

( ) ( )

( )

dapat disimpulkan bahwa terdapat interval ( ) (mungkin pendek) di sekitar

dengan

( )


36

Tetapi pertaksamaan ini mengimplikasikan bahwa ( ) untuk

dan ( ) untuk . Jadi, menurut Uji Turunan Pertama, ( ) adalah

nilai maksimum lokal.

Bukti (ii)

Menurut definisi dan hipotesis,

( )

( ) ( )

( )

sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat interval ( ) (mungkin pendek) di

sekitar dengan

( )

Tetapi pertidaksamaan ini mengimplikasikan bahwa ( ) untuk

dan ( ) untuk . Jadi, menurut Uji Turunan Pertama, ( ) adalah

nilai minimum lokal.

Contoh 2.4.9

Untuk ( ) , gunakanlah Teorema Uji Turunan Kedua untuk

mengenali ekstrim lokal.

Penyelesaian

Perhatikanlah bahwa

( ) ( )

( )

Jadi ( ) dan ( ) .


37

Karena itu, menurut Teorema Uji Turunan Kedua, ( ) adalah nilai minimum

lokal. ●

Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai turunan. Dalam tiap kasus,

operasi kedua melepaskan operasi pertama, dan sebaliknya. Oleh karena itu,

kasus-kasus pada turunan mempunyai kasus-kasus kebalikannya, balikannya

tersebut disebut antiturunan atau integrasi.

2.5 Integral

Definisi 2.5.1

Kita sebut suatu antiturunan pada selang jika ( ) ( ) pada yakni,

jika ( ) ( ) untuk semua dalam . (Jika suatu titik ujung , ( ) hanya

perlu berupa turunan sepihak).

Teorema 2.5.1 (Aturan Pangkat)

Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali , maka

∫

dengan adalah sebarang konstanta.

Bukti

Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk

∫ ( ) ( )

cukup dengan menunjukkan


38

( ) ( )

Dalam kasus ini

0

1

( )

Contoh 2.5.1

Carilah antiturunan yang umum dari ( ) ⁄ .

Penyelesaian

∫ ⁄ ⁄

⁄

Integral Tak-tentu adalah Linear. Ingatlah kembali dari Subbab Turunan bahwa

adalah suatu operator linear, yaitu

a. ( ) ( )

b. ( ) ( ) ( ) ( )

c. ( ) ( ) ( ) ( )

Ternyata bahwa ∫ juga memiliki sifat operator linear.

Teorema 2.5.2 (Integral Tak-Tentu adalah Operator Linear)

Andaikan dan mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan

suatu konstanta. Maka:

i. ∫ ( ) ∫ ( ) ;

ii. ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ;


39

iii. ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) .

Bukti (i)

Cukup mendiferensialkan ruas kanan, maka akan diperoleh integran dari ruas kiri

[ ∫ ( ) ] ∫ ( ) ( )

Bukti (ii)

Sama seperti cara bukti (i), cukup dengan mendiferensialkan ruas kanan, maka

akan diperoleh integran dari ruas kiri

[∫ ( ) ∫ ( ) ] ∫ ( ) ∫ ( )

( ) ( )

Bukti (iii)

Sama seperti cara bukti (i) dan (ii), cukup dengan mendiferensialkan ruas kanan,

maka akan diperoleh integran dari ruas kiri

[∫ ( ) ∫ ( ) ] ∫ ( ) ∫ ( )

( ) ( )

Contoh 2.5.2

Hitunglah dengan menggunakan kelinearan integral!

∫( ⁄ )

Penyelesaian

∫( ⁄ ) ∫ ⁄ ∫ ∫

⁄

●


40

Dalam subbab selanjutnya akan dibahas mengenai persamaan diferensial.

Persamaan ini mengembangkan metode pemisahan peubah untuk mencari suatu

solusi.

2.6 Persamaan Diferensial

Definisi 2.6.1

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif atau

diferensial dari satu atau lebih fungsi.

Persamaan diferensial bermula dari penyelidikan hukum-hukum yang

mengatur dunia fisika. Istilah persamaan “diferensial” diperkenalkan oleh

Gottfried Leibniz (1646-1716) yang bersama-sama Newton dikenal sebagai

penemu kalkulus. Banyak teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang

dikenal para matematikawan dalam abad ke tujuh belas. Tidak sampai abad ke

sembilan belas, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) mengembangkan teori

umum persamaan diferensial yang bebas dari gejala-gejala fisika.

Seperti yang telah dijelaskan di atas, persamaan diferensial adalah suatu

persamaan yang memuat derivatif atau diferensial dari satu atau lebih fungsi.

Contoh 2.6.1

Beberapa contoh persamaan diferensial:

1.

2. ( )

3. ( )


41

4. ( )

5.

6.

7.

8.

●

Persamaan diferensial dapat diklasifikasikan dalam banyak cara. Jika

fungsi yang belum diketahui dalam persamaan diferensial bergantung pada hanya

satu variabel bebas maka persamaan itu disebut persamaan diferensial biasa.

Persamaan 1 sampai 6 adalah contoh persamaan diferensial biasa di mana

menyatakan fungsi yang belum diketahui (variabel tak bebas) dan menyatakan

variabel bebas. Jika fungsi yang belum diketahui bergantung pada dua atau lebih

variabel bebas maka persamaan disebut persamaan diferensial parsial. Persamaan

7 dan 8 adalah contoh persamaan diferensial parsial.

Selanjutnya persamaan diferensial dapat juga diklasifikasikan sesuai

dengan tingkat derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan itu.

Definisi 2.6.2

Tingkat persamaan diferensial adalah tingkat derivatif tertinggi yang

muncul dalam persamaan.

Persamaan diferensial berdasarkan tingkatnya dapat diklasifikasikan menjadi tiga

tingkatan, yaitu:

a. Persamaan diferensial tingkat pertama


42

Bentuk umum:

( )

b. Persamaan diferensial tingkat kedua

Bentuk umum:

( )

c. Persamaan diferensial tingkat ke-

Bentuk umum:

( ( ))

Catatan: ( )

.

Di mana adalah suatu fungsi real dengan argumen-argumen ( )

Definisi 2.6.3

Persamaan diferensial biasa tingkat ke- disebut linear dalam jika

persamaan diferensial itu dapat ditulis dalam bentuk:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

di mana dan adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval yang

memuat dan ( ) pada interval itu. Fungsi ( ) disebut fungsi-fungsi

koefisien.


43

Definisi itu menyatakan bahwa persamaan diferensial biasa adalah linear jika

syarat-syarat berikut dipenuhi:

1. Fungsi yang belum diketahui dan derivatif-derivatifnya secara aljabar

hanya berderajat satu.

2. Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui

dan derivatif-derivatifnya atau dua atau lebih derivatif.

3. Tidak ada fungsi transendental dari dan seterusnya.

Persamaan diferensial yang tidak linear disebut nonlinear.

Contoh 2.5.6

a. Persamaan diferensial linear:

,

.

b. Persamaan diferensial biasa tingkat pertama

( ) adalah nonlinear karena derivatif pertama fungsi yang belum

diketahui berderajat tiga.

adalah nonlinear karena berkaitan dengan hasil kali fungsi yang

belum diketahui derivatifnya.

adalah nonlinear dalam fungsi , tetapi persamaan ini

menjadi linear jika kita mempertukarkan peranan dan dan sebagai fungsi


44

variabel . Persamaan yang diketahui dapat dinyatakan dalam bentuk

yang linear dalam .

c. Persamaan diferensial biasa tingkat kedua

adalah nonlinear karena adalah fungsi transendental dari

fungsi yang belum diketahui. ●

Definisi 2.6.4

Penyelesaian persamaan diferensial tingkat kepada interval

adalah suatu fungsi yang mempunyai semua turunan yang diperlukan, yang jika

menggantikan ( ) menjadikan persamaan diferensial itu suatu identitas.

Contoh 2.6.2

Buktikan bahwa adalah penyelesaian dari dan

tunjukkan batas-batas penyelesaiannya!

Penyelesaian:

Dari diperoleh . Dengan memasukkan dan ke dalam

, diperoleh ( ) . Karena ruas kiri sama

dengan nol untuk semua maka fungsi adalah penyelesaian dari

pada interval ( ). ●


45

Definisi 2.6.5

Suatu fungsi real ( ) disebut penyelesaian eksplisit persamaan

diferensial ( ( ) pada , jika

( ( ) ( ) ( ) ( )( )) pada .

Definisi 2.6.6

Suatu relasi ( ) disebut penyelesaian implisit dari persamaan

diferensial ( ( ) pada , jika ( ) menentukan

sekurang-kurangnya satu fungsi f pada sedemikian rupa sehingga ( )

adalah penyelesaian eksplisit pada interval ini.

Dalam makalah ini diperlukan beberapa cara dalam menyelesaikan persamaan

diferensial, yaitu

1. Persamaan Diferensial Dengan Bentuk ( )

Dalam kalkulus, persamaan diferensial dengan bentuk ( ) dapat

diselesaikan dengan ∫ ( ) Jadi penyelesaian ( ) diperoleh

dengan mengintegralkannya, meskipun pengintegralannya belum tentu sederhana.

Contoh 2.6.5

Tentukan penyelesaian umum dari

( )( )


46

Penyelesaian:

Penyelesaian dapat ditulis sebagai

∫

( )( )

Integral dapat dihitung dengan memecah integran menjadi jumlah dua pecahan

parsial yang berbentuk

( )( )

Kedua ruas dikalikan dengan ( )( ) dihasilkan ( )

( )

Untuk menentukan , ambil , sehingga atau

Untuk menentukan , ambil , sehingga atau

Pecahan parsial yang dimaksud adalah

( )( )

Jadi,

∫(

*

| | | |

Karena ada suku-suku logaritma, maka konstanta dapat diganti dengan bentuk

Jadi, penyelesaiannya menjadi


47

( )

| | ●

2. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

Perhatikan persamaan diferensial tingkat pertama yang dapat ditulis dalam

bentuk derivatif sebagai

( )

Jika ( ) dapat ditulis sebagai

( ) ( )

( )

maka persamaan diferensial di atas mempunyai bentuk diferensial

( ) ( )

Karena kedua bentuk umum ini dapat dipertukar.

Suatu persamaan diferensial yang dapat dibawa ke dalam bentuk

( )

( )

atau ekuivalen dengan

( ) ( )

disebut persamaan diferensial yang dapat dipisahkan.


48

Dapat dilihat bahwa pada persamaan di atas variabel-variabel dan

“dipisahkan” dan bersesuaian dengan diferensial-diferensialnya. Proses

penyesuaian ( ) dengan dan ( ) dengan , disebut pemisahan variabel

(separasi variabel). Setelah variabel-variabel dipisahkan, penyelesaian umum

persamaan tersebut dapat disajikan dalam bentuk implisit oleh

∫ ( ) ∫ ( )

Contoh 2.6.3

Selesaikan persamaan ( ) .

Penyelesaian:

Persamaan di atas belum dalam bentuk terpisah, tetapi, variabel-variabel dapat

dipisahkan dengan membagi masing-masing suku dengan ( )

Persamaan tersebut menjadi

Dengan mengintegralkan masing-masing suku diperoleh penyelesaian implisit

| | ( )

Penyelesaian tersebut dapat disederhanakan menggunakan sifat logaritma.

Diperoleh

| | ( )


49

adalah bentuk lain penyelesaian. Penyelesaian di atas dapat disederhanakan lagi

dengan mengambil konstanta sebarang dalam bentuk | | sehingga

| | ( ) | |

dan diperoleh penyelesaian implisit yang lebih sederhana, yaitu

( )

3. Persamaan Diferensial Linear Tingkat Pertama

Persamaan diferensial linear tingkat pertama yang didefiniskan pada

mempunyai bentuk

( ) ( ) ( ) ( ) (1)

untuk semua dalam .

Dengan membagi persamaan ini dengan ( ) maka diperoleh

( ) ( ) (2)

yang disebut bentuk baku persamaan diferensial linear tingkat pertama.

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear tingkat pertama, pertama-tama

kalikan kedua sisi dengan faktor integrasi, yaitu

∫ ( )

Persamaan diferensial menjadi

∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

Sisi kiri adalah turunan hasil kali ∫ ( ) , maka persamaannya mengambil

bentuk


50

( ∫ ( ) ) ∫ ( ) ( )

Integrasi kedua sisi menghasilkan

∫ ( ) ∫( ( ) ∫ ( ) )

Penyelesaian umumnya menjadi

∫ ( ) ∫( ( ) ∫ ( ) )

Contoh 2.6.4

Selesaikan persamaan linear

Penyelesaian:

Ubahlah persamaan dalam bentuk baku maka diperoleh

Dalam persamaan ini ( ) sehingga faktor pengintegral

( ) ∫

Kalikan persamaan diferensial baku dengan maka diperoleh

atau dalam bentuk diferensial

Ruas kiri persamaan ini adalah diferensial dari hasil kali

sehingga persamaan dapat ditulis

( )

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh


51

atau

●

4. Persamaan Diferensial Bernouli

Persamaan diferensial nonlinear yang dapat diubah menjadi persamaan

diferensial linear tingkat pertama dengan menggunakan substitusi yang cocok

adalah persamaan diferensial Bernoulli.

Definisi 2.6.7

Suatu persamaan yang berbentuk

( ) ( ) disebut persamaan

diferensial Bernoulli.

Jika atau , persamaan diferensial adalah linear. Jika dan ,

persamaan Bernoulli dapat dibawa ke dalam persamaan diferensial linear dengan

menggunakan teorema berikut.

Teorema 2.6.1

Jika dan maka persamaan diferensial ( ) ( ) dapat

diubah menjadi persamaan diferensia linear dengan transformasi .

Bukti

Mula-mula kalikan persamaan diferensial dengan , diperoleh

( ) ( )


52

Misalkan , maka

( )

atau

Masukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan diferensial yang diketahui maka

diperoleh

( ) ( )

yang merupakan persamaan diferensial linear dalam dan .

Contoh 2.6.6

Selesaikan persamaan diferensial Bernoulli

Penyelesaian:

Dalam persamaan ini sehingga persamaan dikalikan dengan dan

diperoleh

Misalkan maka

atau


53

Dengan memasukkan nilai-nilai ke dalam persamaan diperoleh

Kemudian semua ruas dikalikan dengan dan diperoleh

yang merupakan bentuk baku persamaan diferensial linear dalam x dan v.

Faktor pengintegral persamaan ini adalah

∫

Setelah persamaan linear dikalikan dengan , maka diperoleh

atau

atau

( )

Kedua ruas diintegralkan menjadi

∫ ( ) ∫

Kemudian diganti dengan sehingga diperoleh

Persamaan di atas dapat ditulis dengan


54

√ ●


55

BAB III

MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL

3.1 Pendahuluan

Dalam bab ini, akan dikembangkan model yang menggambarkan

pertumbuhan dan penurunan populasi tunggal. Dalam penerapan pemodelan

matematika terdapat beberapa model pertumbuhan, namun yang akan dibahas

adalah model pertumbuhan kontinu. Model pertumbuhan kontinu meliputi model

eksponensial dan model logistik yang masing-masing mempunyai kelemahan dan

kelebihan.

Awalnya akan dimodelkan pertumbuhan eksponensial. Pada pertumbuhan

eksponensial laju perubahan populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran,

kematian dan migrasi diketahui. Kemudian model pertumbuhan akan diperluas

untuk memperhitungkan pertumbuhan bergantung pada kepadatan (pertumbuhan

logistik). Model ini memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah

populasi dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak berhingga. Laju

pertumbuhan populasi terbatas akan ketersediaan makanan, tempat tinggal, dan

sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut, jumlah populasi dengan model ini

akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu.

Selanjutnya akan dibahas mengenai pertumbuhan terbatas dengan

pemanenan. Laju pertumbuhan populasi dengan pemanenan adalah laju

pertumbuhan populasi dengan daya dukung lingkungan yang bergantung waktu.


56

3.2 Model Pertumbuhan Eksponensial

3.2.1 Model Umum

Secara umum model populasi dapat digambarkan seperti pada persamaan di

bawah ini,

{

} = ,

- - ,

-. (3.1)

Persamaan tersebut akan dikembangkan dengan beberapa asumsi dan kemudian

proses kelahiran dan kematian dinyatakan ke dalam simbol.

3.2.2 Model asumsi

Ketika dihadapkan pada populasi yang besar, diasumsikan bahwa setiap

individu dalam populasi mempunyai kemungkinan yang sama untuk lahir dan

menganggap bahwa setiap individu memiliki kemungkinan yang sama untuk mati

dalam interval waktu tertentu. Dengan demikian masuk akal untuk membahas

tentang laju kelahiran per-kapita per satuan waktu dan laju kematian per-kapita

per satuan waktu.

Asumsi tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Populasi cukup besar sehingga perbedaan acak antara individu dapat

diabaikan.

2. Kelahiran dan kematian kontinu sepanjang waktu.

3. Laju kelahiran per-kapita dan laju kematian per-kapita konstan sepanjang

waktu.

4. Dalam pengembangan model, mula-mula imigrasi dan emigrasi diabaikan

tetapi akan dimasukkan dikemudian.


57

3.2.3 Merumuskan persamaan diferensial

Dimisalkan jumlah populasi pada saat t adalah X(t) dan populasi awal

bernilai , dengan laju kelahiran per-kapita adalah dan laju kematian perkapita

adalah . Tujuannya adalah untuk menemukan ukuran populasi pada waktu t.

Langkah pertama adalah menentukan persamaan populasi. Diasumsikan bahwa

penduduk hanya dapat berubah karena kelahiran atau kematian, imigrasi atau

emigrasi diabaikan. Juga, diasumsikan bahwa perubahan populasi setiap saat

sebanding dengan jumlah penduduk waktu itu.

Karena laju kelahiran perkapita diasumsikan konstan, maka laju

kelahiran keseluruhan setiap waktu adalah laju kelahiran per-kapita dikalikan

besarnya populasi saat itu. Demikian juga, untuk laju kematian keseluruhan

adalah laju kematian perkapita dikalikan besarnya populasi saat itu. Ini dapat

ditulis,

,

- = X( t ),

,

- = X( t ). (3.2)

Dari kedua persamaan di atas diperoleh

( ) (3.3)

(Dengan catatan bahwa ( ) dapat ditulis sebagai , karena jelas bahwa adalah

fungsi dari .)


58

Sekarang sudah diperoleh persamaan diferensial yang menyatakan laju

perubahan populasi ( ) Maka diperlukan suatu kondisi awal untuk mendapatan

penyelesaian tunggal.

3.2.4 Penyelesian persamaan diferensial

Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan (3.3) untuk pertumbuhan

populasi yang kontinu. Dimisalkan , maka

Kita menyatakan bahwa adalah laju pertumbuhan atau laju reproduksi populasi.

∫

∫

( )

( )

dengan , maka

( )

Misal , maka

( )

( )

Dengan menerapkan kondisi awal ( ) untuk memperoleh nilai

konstan , maka diperoleh penyelesaian persamaan diferensial yaitu


59

( )

(3.4)

Dari persamaan di atas terdapat tiga kasus, yaitu:

1. Untuk

Jika mendekati tak hingga, maka ( ) mendekati tak hingga.

Untuk dan , maka gambarnya sebagai berikut:

Gambar 3.1: Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin

bertambah.

2. Untuk ( )

Jika mendekati tak hingga, maka ( ) adalah konstan.

Untuk , maka gambarnya sebagai berikut:


60

Gambar 3.2: Grafik yang menyatakan laju perubahannya stabil.

3. Untuk

Jika mendekati tak hingga, maka ( ) mendekati .

Untuk dan , maka gambarnya sebagai berikut:

Gambar 3.3: Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin

berkurang.

Jelas bahwa hal ini menggambarkan pertumbuhan atau peluruhan eksponensial

yang bergantung pada .


61

3.2.5 Interpretasi dari parameter

Dari laju kematian, dapat dibuat pendekatan angka kematian dengan

mengalikan laju kematian dengan panjang interval waktu. Pendekatan ini biasanya

lebih baik jika interval waktunya pendek. Maka dapat ditulis

{

} ( )

Dimisalkan bahwa individu akan meninggal setelah waktu , dengan

adalah harapan hidup rata-rata. Kemudian, dimisalkan ( ) dan

sedemikian sehingga diperoleh

Oleh karena itu diperoleh

yang memberikan pendekatan untuk sebagai kebalikan pada harapan hidup rata-

rata.

3.2.6 Contoh model pertumbuhan eksponensial

Tentukan waktu populasi mempunyai ukuran berganda!

Penyelesaian:

( ) ( )

di mana T adalah waktu yang diperlukan untuk ukuran berganda. Maka,

digunakan penyelesaian (3.4),

( )

( )

( )


62

di mana

Maka, waktu yang diperlukan populasi berganda adalah ⁄

3.3 Model Pertumbuhan Logistik

3.3.1 Merumuskan persamaan differensial

{

} = ,

- - ,

- (3.5)

Diasumsikan laju kelahiran per-kapita konstan pada , maka

,

- X( t ).

Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita adalah tidak konstan,

maka laju kematian per-kapita akan meningkat seiring dengan peningkatan

populasi. Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita bergantung linear pada

suatu populasi, maka dapat dinyatakan sebagai berikut:

{

} ( ).

Laju kematian adalah laju kematian perkapita dikalikan besarnya populasi

saat itu yang dinyatakan sebagai berikut:

,

- (3.6)

Jadi,


63

Dengan menyatakan laju reproduksi, maka diperoleh model

pertumbuhan yang bergantung pada kepadatan suatu populasi yang dinyatakan

sebagai berikut:

( ) (3.7)

( )

Penyelesaian dapat ditulis

∫

( )

Integral dapat ditulis dengan memecah integran menjadi jumlah dua pecahan


( )

Kedua ruas dikalikan ( ) maka dihasilkan

( )

( )

Untuk menentukan A, ambil , sehingga diperoleh

.

Untuk menentukan B, ambil – , substitusikan dengan

, sehingga

diperoleh

.



64

( )

( )

Kemudian semua ruas diintegralkan

∫

( ) ∫

∫

∫

Terlebih dahulu akan dihitung

∫

∫

Dengan cara substitusi:

Misal :

,

,

Maka:

∫

∫

∫

Jadi, dapat diintegralkan untuk memperoleh

| |

| |

( | | | |)

.

| |

| |/

Dengan , maka


65

.| |

| |/

| |

| |

Dengan , maka

| |

| |

| |

| |

| | | |

( )

( )

[ (

*]

Dengan

, di mana , maka

( ) ( )

Jika , maka diperoleh

( )

Dengan keadaan awal ( ) diperoleh bahwa ( ) dan

( ) ⁄

Cara lain untuk mengartikan persamaan ini yaitu dengan memisahkan laju

kematian menjadi laju kematian normal dan laju kematian ekstra karena anggota-

anggota dari populasi bersaing satu sama lain untuk sumber daya yang terbatas.


66

Maka dapat ditulis

{

} = ,

- - {

} - {

}

Untuk laju kelahiran dan laju kematian normal per-kapita, diasumsikan

konstan yaitu dan . Jika diberikan ( di mana adalah konstan positif ),

maka laju kematian ekstra adalah tlaju kematian ekstra per-kapita dikalikan

dengan jumlah populasi pada saat itu. Maka diperoleh

{

}

dengan adalah konstan positif.

3.3.2 Persamaan Logistik

Dengan

, persamaan diferensial (3.7) menjadi

yang dapat ditulis menjadi

(

) (3.8)


67

Model ini termasuk ke dalam persamaan diferensial nonlinear. Ini adalah

persamaan logistik dan juga sebagai model pertumbuhan terbatas atau model

bergantung kepadatan. Untuk dan maka diperoleh nilai populasi

yang positif.

3.3.3 Interpretasi dari parameter

Dengan melihat kembali pada bab 3.1 untuk pertumbuhan populasi yang kontinu

Bentuk umum persamaan diferensial untuk pertumbuhan dapat ditulis

( )

dengan ( ) merepresentasikan laju pertumbuhan per-kapita bergantung

populasi. Ini adalah persamaan logistik dari laju pertumbuhan per-kapita

bergantung populasi, dan dari persamaan (3.8) dapat diidentifikasikan ( )

sebagai

( ) (

)

Dapat dilihat bahwa ( ) suatu fungsi linear dari , dan akan mendekati

nol jika populasi mendekati kapasitas tampung . ( ) mendekati saat jumlah

populasi mendekati nol. Bentuk ini dapat disamakan sebagai garis lurus, yang

melewati titik- titik saat dan saat . Jika maka

kita mempunyai dan populasi ( ) menurun mendekati kapasitasnya.


68

Gambar 3.4: Grafik untuk populasi tingkat pertumbuhan per-kapita dinyatakan

sebagai garis lurus.

3.3.4 Penyelesaian Equilibrium dan Kestabilan

Dengan melihat persamaan (3.2) sangat tepat untuk memodelkan

pertumbuhan populasi dalam kondisi ideal. Namun juga harus dikenali bahwa,

sebuah lingkungan memiliki sumber daya yang terbatas. Banyak populasi dimulai

dengan bertambah secara eksponensial, tetapi grafik populasi tersebut akan

mendatar pada saat populasi tersebut mendekati (kapasitas tampung) atau

menurun menuju jika populasi tersebut melampaui .

(

*

Ingat bahwa apabila nilai jauh lebih kecil dibandingkan , maka ⁄

mendekati 0 sehingga ⁄ . Jika maka ⁄ bernilai negatif

sehingga ⁄ .

Ada dua kemungkinan penyelesaian equilibrium yang memenuhi

persamaan di atas yaitu dan , karena pada kedua kasus tersebut,


69

salah satu faktor pada bagian sebelah kanan adalah nol. Jika populasi tersebut

adalah 0 atau besarnya sama dengan (kapasitas tampung), maka populasinya

akan tetap sama. Dua solusi konstanta ini disebut dengan solusi keseimbangan

(ekuilibrium). Jika populasi awal ( ) berada antara dan maka ruas kanan

persamaan di atas bernilai positif, sehingga ⁄ dan populasinya

meningkat. Akan tetapi jika populasi tersebut melampaui kapasitas tampungnya

( ), maka ⁄ bernilai negatif, sehingga ⁄ dan populasinya

menurun. Ingat bahwa pada kedua kasus ini, jika populasinya mendekati kapasitas

tampung ( ), maka ⁄ , sehingga populasinya cenderung tidak akan

berubah. Jadi, diperkirakan bahwa solusi persamaan diferensial logistik tersebut

memiliki grafik seperti di bawah ini:

Gambar 3.5: Grafik yang menunjukkan solusi kesetimbangan.

Tampak bahwa pada gambar 3.5, untuk grafik bergerak menjauh dari

solusi kesetimbangan dan bergerak ke arah solusi kesetimbangan .

Untuk mengetahui kecekungan pada grafik fungsi di atas maka diperlukan analisis

turunan kedua dari , yaitu

X=K

X=0


70

(

* (

* (

*

Dengan menggunakan Teorema Kecekungan (Teorema 2.4.12) pada kalkulus,

maka diperoleh hasil bahwa

1. Jika , maka

dan cekung ke atas.

2. Jika , maka dan

cekung ke bawah.

Sebagai contoh untuk dan , maka grafiknya menjadi:

Gambar 3.6: Grafik untuk model petumbuhan logistik.

3.4 Model Pertumbuhan Terbatas dengan Pemanenan

Pada perindustrian pengaruh pemanenan pada suatu populasi secara teratur

sangatlah penting. Salah satu contohnya adalah industri perikanan. Dengan adanya

model matematika, industri dapat memperhitungkan waktu yang tepat untuk

memanen ikan. Dengan demikian keuntungan yang diperoleh juga akan maksimal.


71

3.4.1 Merumuskan persamaan

Model logistik untuk laju panenan yang konstan

{

} ,

- {

}

{

} {

} (3.9)

Jika ( ) adalah laju pertumbuhan dengan daya dukung lingkungan yang

bergantung waktu, dan adalah laju panenan yang konstan (banyaknya tangkapan

per satuan waktu atau kematian akibat panen per satuan waktu). Sehingga

diperoleh persamaan model pemanenan sebagai berikut:

( )

di mana ( ) (

) sehingga persamaan differensialnya menjadi:

(

) (3.10)

3.4.2 Penyelesaian persamaan diferensial

Pertama – tama persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk pemfaktoran

(

*

dengan dan konstan positif.

(

)


72

Untuk menghasilkan real, maka hanya akan dibahas dua kasus:

a. Jika ( ) ⁄ maka ( ) ⁄ . Diperoleh

⁄ .

Sehingga

mempunyai 2 akar real, yaitu :

√

√

dan

√

Penyelesaian dapat ditulis sebagai

∫

(

)

∫

Integral dapat dihitung dengan memecah integran menjadi jumlah dua pecahan


( ) ( )

( )( )

Maka diperoleh

( ) ( )


73

( ) ( )

Ambil maka

Ambil ( ) maka ( ) , sehingga diperoleh

(

√

)

(

√

)

Karena , maka

(

√

)

(

√

)

( ( √

) ( √

))

( √

√

)

√

√

√

dan


74

√


√

√

( )√

( )√


∫

∫

( )√

∫

( )√

∫

√

∫

( )

√

∫

( )

Misal :

maka,

∫

√

∫

√

∫

∫

√

√


75

∫

( )

√

( )

√

∫

( ) ( )

√

Jadi diperoleh

∫

( )( )

√

maka,

∫

(

)

∫

∫

( )

∫

| || |

√

| |

| |

√

√

| |

| |

dengan √

| |

| |


76

dengam .

| | ( | | )

( )

( )

Jadi, diperoleh persamaan

( ) (3.11)

b. Jika ( ) ⁄ maka ( ) ⁄ .

Diperoleh ⁄

Sehingga,

mempunyai akar kembar, yaitu :

Untuk

, maka

√

Karena mempunyai akar kembar, maka penyelesaiannya adalah

∫

∫

( )


77

Misal:

∫

∫

∫

(

*

∫

(

)

Sehingga

∫

(

)

∫

∫

∫

(

)

(

) (

) (

)

Sehingga diperoleh persamaan:

( )

(3.12)


78

3.4.3 Contoh untuk pertumbuhan terbatas pada pemanenan

Misal:

, ⁄ , ( )

Selesaikan persamaan diferensial berikut ini!

(

*

Penyelesaian:

( )

( )( )

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut:

∫

( )( ) ∫

Integral dapat ditulis dengan memecah integran menjadi jumlah dua pecahan


( )( )

( )

( )

Kedua ruas dikalikan ( )( ) maka dihasilkan

( ) ( )

( ) ( )

Untuk menentukan A, ambil ( ) maka , sehingga diperoleh

⁄ .

Untuk menentukan B, ambil ( ) , substitusikan dengan maka

, sehingga diperoleh ⁄ .


79


( )( )

( )

( )

( )( )

(

( )

( )*


∫

( )( )

∫(

( )

( )* ∫

∫(

( )* ∫(

( )*

∫

( ( ) ( ))

|

| ⁄

Di mana c adalah konstan. Dimisalkan , maka

|

| ⁄

Sekarang disubstitusikan untuk kondisi awal

|

|

maka penyelesaiannya adalah

( ) ⁄

⁄

Sehingga persamaannya menjadi

( ) |

| ⁄

| | ⁄

●


80

BAB IV

APLIKASI MODEL

4.1 Pendahuluan

Dalam menjelaskan proses pemodelan pada bab 3, dijelaskan tentang

bagaimana merumuskan suatu model matematika dari masalah yang terjadi pada

bidang biologi berdasarkan data-data yang didapat. Model matematika seringkali

berbentuk persamaan diferensial, yakni, sebuah persamaan yang mengandung

suatu fungsi yang tak diketahui dan beberapa turunannya.

Di dalam dunia nyata sering dijumpai bahwa perubahan-perubahan telah

terjadi dan ingin meramalkan perilaku pada waktu yang akan datang berdasarkan

pada berubahnya nilai-nilai sekarang. Sekarang akan dimulai dengan mempelajari

beberapa contoh tentang bagaimana persamaan diferensial muncul ketika

memodelkan fenomena biologi. Beberapa contoh yang akan dibahas dalam

makalah ini diantaranya adalah model penyebaran teknologi, model kepadatan

bergantung pada kelahiran, model panenan, model memancing dengan kuota

tertentu.

4.2 Memodelkan Perkembangan Teknologi

Model untuk perkembangan teknologi sangat mirip dengan model

pertumbuhan populasi logistik. Misalkan ( ) merupakan jumlah orang yang

mengikuti perkembangan teknologi. Maka ( ) memenuhi persamaan diferensial


81

(

*

di mana adalah total populasi orang. Ini diasumsikan bahwa laju penerimaan

perkembangan teknologi sebanding dengan jumlah orang yang mengikuti

perkembangan teknologi dan jumlah populasi orang yang tidak mengikuti

perkembangan teknologi.

a. Akan dicari bentuk yang berhubungan dengan populasi yang tidak mengikuti

perkembangan teknologi, yaitu

(

*

Dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa populasi yang tidak mengikuti

perkembangan teknologi adalah ⁄ .

b. Misal , , . Akan dicari berapa lama waktu

yang dibutuhkan agar perkembangan teknologi itu menyebar ke dari

populasi, yaitu

Persamaan di atas sesuai dengan bentuk umum persamaan diferensial Bernouli

( ) ( )

Misal:

( )


82

( )

Persamaan di atas diubah ke

(turunan rantai)

Kedua ruas dikalikan

Langkah selanjutnya menggunakan persamaan diferensial linear tingkat 1

( ) , sehingga faktor pengintegral menjadi ( ) ∫ .

Kedua ruas dikalikan , maka persamaan menjadi:

Ruas kiri dari persamaan di atas menghasilkan diferensial hasil kali:

( )

Sehingga persamaan menjadi

( )

Kedua ruas diintegralkan


83

∫ ( )

∫

(

*

Maka rumusnya menjadi

Pada saat maka persamaan menjadi

( )

Sehingga, lamanya waktu yang diperoleh yaitu


84

( )

( )

Jadi, lamanya waktu yang dibutuhkan agar perkembangan teknologi itu menyebar

ke 80% dari populasi adalah tahun.

4.3 Kepadatan bergantung pada kelahiran.

Banyak populasi berkurang tingkat kelahiran per-kapitanya ketika

kepadatan populasinya bertambah, sedemikian sehingga akan bertambahnya

tingkat kematian per-kapita.

Misal:

Kepadatan bergantung pada tingkat kelahiran ( )

Kepadatan bergantung pada tingkat kematian ( )


85

Diberikan dengan

( ) ( )

dan

( ) ( )( )

dengan adalah kapasitas dari populasi, adalah tingkat kelahiran per-kapita,

adalah tingkat kematian per-kapita dan , di mana adalah parameter

yang menyatakan derajat kepadatan bergantung kelahiran atau kematian.

Akan ditunjukkan bahwa bentuk tersebut ekuivalen dengan persamaan diferensial

logistik

(

*

Persamaan diferensial yang didapat untuk model ini adalah

( ) ( )

.( ( )

* ( ( )( )

*/

.

( ( )

*/

.

(

*/

(

*


86

(

*

( ( ) ( )

*

( ) (

*

( ) (

*

Misal: ( ) , maka

(

*

Jadi terbukti bahwa ( ) dan ( ) ekuivalen dengan persamaan diferensial

logistik.

4.4 Model Panenan

Diberikan model pemanenan dari subbab 3.3,

(

*

a. Akan ditunjukkan bahwa terdapat kesetimbangan tak nol, dengan nilai yang

lebih besar diberikan oleh

( √

)


87

Maka penyelesaiannya yaitu

Kesetimbangan terjadi di mana ⁄

(

*

(

*

Kemudian dicari nilai dengan rumus ABC.

√

√

√

√

√


88

( √

)

Diperoleh hasil

. √

/ dan

. √

/

Kemudian akan dihitung nilai dari populasi kesetimbangan dengan ,

dan ⁄ .

Untuk

( √

)

( √

⁄

)

Untuk

( √

)

( √

⁄

)

b. Jika laju pemanenan lebih besar dari suatu nilai kritis ⁄ , maka

nilai kesetimbangan tak nol tidak ada dan populasi cenderung punah.

4.5 Memancing dengan batasan.

Bencana yang disebabkan oleh pemancingan yang berlebihan akan

menyebabkan punahnya populasi, pemerintah mengenakan batasan yang


89

bervariasi bergantung pada perkiraan populasi pada suatu waktu tertentu. Jika

fungsi ( ) adalah fungsi linear dari ukuran populasi ( ) ( ) modelnya

yaitu

( )

(

)

Jenis panenan ini disebut sebanding atau upaya panenan yang konstans. Ini

muncul dalam model perikanan, di mana ini sering diasumsikan bahwa , jumlah

dari tangkapan ikan per satuan waktu, adalah sebanding dengan , upaya dalam

menangkap ikan. Upaya menangkap ikan ini mungkin terukur, sebagai contoh,

jumlah dari sampan untuk menangkap ikan pada waktu yang diberikan.

Asumsinya bahwa tangkapannya sebanding dengan upaya yang mungkin

ditanyakan berdasarkan bahwa upaya lebih keras per tangkapan ikan mungkin

diperlukan jika populasi ikan sangat kecil, tetapi ini menimbulkan hipotesis yang

masuk akal untuk kebanyakan perikanan yang nyata.

Jika populasinya diatur oleh model logistik model panenannya adalah

(

)

a. Akan ditunjukkan bahwa satu-satunya kesetimbangan tak nol, yaitu

(

*


90

Maka penyelesaiannya adalah

(

)

( )

.

( )/

Sehingga diperoleh dua kesetimbangan yaitu

( )

( )

( )

( )

(

*


91

Jadi, terbukti bahwa satu-satunya kesetimbangan tak nol adalah

(

*

b. Laju pemanenan dapat menjadi punah jika

dengan

(

)

maka

(

)

atau

(

( ))

Sehingga laju pemanenan dapat menjadi punah jika (

).


92

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Pertumbuhan populasi tunggal dapat diselesaikan dengan beberapa

macam model pertumbuhan yaitu model pertumbuhan eksponensial, model

pertumbuhan logistik dan model pertumbuhan terbatas dengan panenan.

1. Model Pertumbuhan Eksponensial

Pada model pertumbuhan eksponensial, individu berkembang dengan

tidak dibatasi oleh lingkungan seperti persaingan antar individu dan

keterbatasan suplai makanan. Seperti yang sudah dijelaskan dalam bab III

subbab 3.2, model populasinya dapat digambarkan ke dalam persamaan

seperti di bawah ini

Dengan ( ) adalah jumlah populasi pada saat dan populasi awal bernilai

. adalah tingkat kelahiran per-kapita dan adalah tingkat kematian per-

kapita. Dalam model pertumbuhan eksponensial ini dihasilkan solusi yang

berbentuk fungsi monoton (naik atau turun), di mana dapat ditafsirkan bahwa

jumlah populasi akan terus bertambah (tidak pernah berkurang) atau akan

terus berkurang (tidak pernah bertambah).


93

2. Model Pertumbuhan Logistik

Model pertumbuhan logistik adalah pengembangan dari model

eksponensial. Model populasinya dapat digambarkan dalam persamaan di

bawah ini

(

*

Persamaan di atas adalah persamaan logistik yang memperhitungkan

pertumbuhan bergantung pada kepadatan. Model ini memasukkan batas untuk

populasinya sehingga jumlah populasinya tidak akan tumbuh secara tak

berhingga. Laju pertumbuhan populasinya terbatas pada lingkungan yang

meliputi ketersediaan makanan, tempat tinggal dan sumber hidup lainnya.

Dengan demikian, jumlah populasinya akan selalu terbatas pada suatu nilai

tertentu.

3. Model Pertumbuhan Terbatas dengan Pemanenan.

Laju pertumbuhan pada model logistik dengan daya dukung

lingkungan merupakan fungsi dari waktu, dan memberikan hasil yang berbeda

dengan tingkat pertumbuhan pada model logistik dengan daya dukung

konstan. Perbedaan tingkat pertumbuhan ini akan mempengaruhi perbedaan

besarnya populasi pada saat yang sama sehingga akan mempengaruhi

besarnya hasil panen. Model populasinya dapat digambarkan dalam

persamaan di bawah ini


94

( )

Dengan ( ) (

) adalah laju pertumbuhan dengan daya dukung

lingkungan yang bergantung waktu dan adalah laju panenan yang konstan.

B. Saran

Berdasarkan hasil pembahasan dan proses penulisan Tugas Akhir ini,

terdapat beberapa saran yang akan dikemukakan, yaitu:

1. Pada model pertumbuhan logistik, pertumbuhan tidak hanya secara

kontinu saja, tetapi juga bisa secara diskret.

2. Model pertumbuhan tidak hanya bisa diselesaikan dengan ketiga cara

seperti di atas, tetapi juga bisa dengan model pertumbuhan dengan waktu

tunda.


95

DAFTAR PUSTAKA

1. Barnes, B. & G. Robert-Fulford. 2009. Mathematical Modelling With Case

Studies. Cambridge: Cambridge University Press.

2. Brauer, F. & C. Castillooo-Chaves. 2001. Mathematical Models in Population

Biology and Epidemology. NY: Springer-Verlag.

3. Murray, J.D. 1993. Mathematical Biology. SpringerVerlag, Heidelberg Berlin.

4. Purcell, E.J., Dale Varberg & Steven E.Rigdon. 2003. Kalkulus.

Edisi ke-Delapan. Jakarta: Penerbit Erlangga.

5. Stewart, James. 2011. Kalkulus. Edisi ke-Lima. Jakarta: Penerbit Salemba

Teknika.

6. Wrede, R. & Murray R.Spiegel. 2007. Kalkulus Lanjut. Edisi ke-Dua.

Jakarta: Penerbit Erlangga.


Documents

MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL · Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah model pertumbuhan kontinu. Model ini bertujuan mengadakan pendugaan untuk memperbaiki keadaan pada