MODEL REGRESI ROBUST DENGAN PEMBOBOT WELSCH DAN …/Model... · Untuk model regresi linear sederhana adalah dengan adalah nilai variabel dependen pada pengamatan ke-i, adalah

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

MODEL REGRESI ROBUST DENGAN PEMBOBOT WELSCH DAN

PEMBOBOT RAMSAY

oleh

KISHARTYA PRATIWI

M0106076

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana

Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012


commit to user

ii

SKRIPSI

MODEL REGRESI ROBUST DENGAN PEMBOBOT WELSCH DAN

PEMBOBOT RAMSAY

yang disiapkan dan disusun oleh

KISHARTYA PRATIWI

NIM. M0106076

dibimbing oleh

Pembimbing I, Pembimbing II,

Dra. Yuliana Susanti, M.Si Drs. Sutrima, M.Si

NIP. 19611219 198703 2 001 NIP. 19661007 199302 1 001

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji

pada hari senin, tanggal 9 januari 2012

dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

Anggota Tim Penguji Tanda Tangan

1. Irwan Susanto, DEA 1. .....................

NIP. 19710511 199512 1 001

2. Drs. Pangadi, M. Si 2. ......................

NIP. 19571012 199103 1 001

Disahkan oleh

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dekan, Ketua Jurusan Matematika,

Ir. Ari Handono Ramelan, M. Sc,(Hons), Ph.D. Irwan Susanto, DEA

NIP. 19610223 198601 1 001 NIP. 19710511 199512 1 001


commit to user

iii

ABSTRAK

Kishartya Pratiwi, 2012. MODEL REGRESI ROBUST DENGAN

PEMBOBOT WELSCH DAN PEMBOBOT RAMSAY. Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Dalam analisis regresi, adanya data pencilan dapat mengakibatkan estimasi

koefisien regresi yang diperoleh tidak tepat. Metode regresi robust dengan pembobot

Welsch dan Ramsay merupakan metode yang dapat mengatasi data pencilan.

Perhitungan regresi robust dengan pembobot Welsch dan pembobot Ramsay

berlangsung secara iteratif sampai diperoleh estimasi parameter yang sama dengan

sebelumnya.

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan model prediksi produksi padi di

Indonesia tahun 2009 menggunakan metode regresi robust dengan pembobot Welsch

dan pembobot Ramsay. Dalam penelitian ini akan diaplikasikan pada kasus produksi

padi di Indonesia tahun 2009 yang dipengaruhi oleh luas lahan, produktivitas padi,

dan produksi benih padi.

Pada kasus produksi padi di Indonesia tahun 2009 akan dilakukan estimasi

regresi dengan metode kuadrat terkecil. Karena terdapat pencilan sehingga dilakukan

estimasi regresi robust dengan pembobot Welsch dan pembobot Ramsay. Setelah

diperoleh estimasi model regresi linear, dilakukan pengujian model terbaik untuk

mengetahui apakah model robust dengan pembobot Welsch atau pembobot Ramsay

yang terbaik. Hal tersebut dikarenakan jumlah iterasi lebih sedikit dan nilai standar

deviasi yang terkecil

Hasil penelitian menunjukkan bahwa model produksi padi di Indonesia tahun

2009 menggunakan pembobot Ramsay lebih baik daripada menggunakan pembobot

Welsch. Model produksi padi dengan pembobot Ramsay diperoleh nilai koefisien

untuk luas lahan, produktivitas padi dan produksi benih padi masing-masing sebesar

5.52, 14391, dan 3.22. Model tersebut dapat diinterprestasikan bahwa peningkatan

setiap satu hektar luas lahan padi, akan meningkatkan produksi padi sebesar 5.52 ton.

Kemudian peningkatan setiap satu kuintal/ha produktivitas padi akan meningkatkan

produksi padi sebesar 14391 ton, dan peningkatan setiap satu ton produksi benih padi

akan meningkatkan produksi padi sebesar 3.32 ton.

Kata kunci: pencilan, regresi robust, pembobot Welsch, pembobot Ramsay.


commit to user

iv

ABSTRACT

Kishartya Pratiwi, 2012. REGRESSION ROBUST MODEL WITH

WEIGHTED WELSCH AND WEIGHTED RAMSAY. Faculty Of Mathematics

And Natural Sciences, Sebelas Maret University.

The existence of data outliers in regression analysis may lead regression

coefficients estimation are not exact. Data outliers can be solved by Robust

regression methods with the weighted Welsch and weighted Ramsay. Calculation of

weighted regression with robust weighting Welsch and Ramsay took place iteratively

until the parameter estimates obtained are the same as before.

The purpose of this study was to determine the predictive model of Indonesian

rice production in 2009 using robust regression methods with the weighted Welsch

and weighted Ramsay. This study will be applied to the case of Indonesian rice

production in 2009 that influenced by land area, the productivity of rice and rice seed

production.

In the case of Indonesian rice production in 2009 would be estimated by the

method of least squares regression. Since there are outliers so the computation would

be done by robust regression estimation with weighted Welsch and weighted Ramsay.

Having obtained estimates of the linear regression model, the best model testing

conducted to determine whether the robust model with weighted Welsch or weighted

Ramsay best. That is because the fewer number of iterations and the value of the

smallest standard deviation.

The results showed that the model of Indonesian rice production in 2009 using

a weighting Ramsay is better than using a weighted Welsch. Rice production model

with weighted Ramsay coefficient values obtained for rice land area variable, the

variable productivity of rice and rice seed production variables, each for 5.52, 14391,

and 3.22. The model can be interpreted that an increase in any one hectare of rice

land area, will increase rice production by 5.52 tons. Then increased every one

quintal / ha will increase the productivity of paddy rice production amount 14391

tons, and an increase in any one ton of rice seed production will increase rice

production amount 3.32 tons.

Key word: outliers, robust regressions, weighted Welsch, and weighted Ramsay.


commit to user

v

MOTO

Jangan jadikan masalah menjadi suatu beban, tetapi jadikanlah masalah menjadi

sesuatu yang kita akan merasa senang

SEMANGAT adalah kata untuk mengawali hari-hari yang indah ini

Kegagalan adalan keberhasilan yang tertunda, maka dari itu kita harus tetap

semangat, berusaha dan berdoa

Keberhasilan yang dicapai dengan jerih payah serta perjuangan menghasilkan

kesuksesan yang luar biasa dibanding dengan kesuksesan yang sesaat saja


commit to user

vi

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

Mama papaku tercinta yang telah membimbingku dari kecil hingga saat ini

Adikku tersayang yang telah memberi semangat dan doa

Keluargaku yang aku banggakan

Sahabat-sahabatku Anis, Ella, Linda, dan Hayu yang selalu bersama dalam

perjuangan ini

Teman-teman seperjuangan yang telah membantu dengan ikhlas


commit to user

vii

KATA PENGANTAR

Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

memberikan banyak kenikmatan kepada penulis sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini dengan judul “ MODEL REGRESI ROBUST DENGAN

PEMBOBOT WELSCH DAN PEMBOBOT RAMSAY ”. Sholawat serta salam

semoga tercurah limpahkan kepada suriteladan umat manusia yaitu Beliau rasulullah

Muhammad SAW, keluarganya, sahabatnya dan umatnya yang senantiasa istiqomah

dijalan-Nya.

Skripsi ini merupakan syarat untuk memenuhi sebagian persyaratan untuk

memperoleh gelar sarjana sains Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Surakarta. Oleh karena itu atas semua

bimbingan dan bantuan yang telah diberikan kepada penulis dalam penyusunan

skripsi ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada

1. Ibu Dra. Yuliana Susanti, M.Si sebagai dosen Pembimbing I yang telah

memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis selama menyelesaikan

skripsi ini.

2. Bapak Sutrima, M.Si sebagai dosen Pembimbing II yang telah memberikan

bimbingan dan arahan kepada penulis selama menyelesaikan skripsi ini.

3. Bapak Sutanto DEA selaku Pembimbing Akademis yang telah memberikan

bimbingan, pengarahan, dan nasehat bagi perkembangan akademis penulis.

4. Semua keluarga yang telah memberi semangat dan dorongan.

5. Anis, Ela, Hayu, Linda, Anita („08) dan teman-teman yang telah

memberikan dukungan dalam menyelesaikan skripsi ini.

6. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah

membantu dalam penyelesaian skripsi ini.

Semoga Allah SWT membalas semua kebaikan yang telah mereka berikan

selama ini dan semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat.

Surakarta, Januari 2012

Penulis


commit to user

11

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Di Indonesia, padi adalah tanaman dengan akar serabut, daun berbentuk lanset

(sempit memanjang), urat daun sejajar, buah dan biji sulit dibedakan karena

merupakan bulir. Setelah padi dipanen, bulir padi atau gabah dipisahkan dari jerami.

Gabah yang terlepas lalu dikumpulkan dan dijemur. Gabah yang telah kering

disimpan atau langsung ditumbuk/digiling, sehingga beras terpisah dari sekam (kulit

gabah). Beras merupakan bentuk olahan yang dijual pada tingkat konsumen. Beras

inilah yang merupakan makanan pokok bagi hampir seluruh rakyat. Komoditas ini

memiliki sifat strategis dan politis. Ini artinya pemerintah akan goncang jika harga

padi tinggi dan tidak stabil. Oleh karena itu keberadaan dan kecukupan komoditas

harus senantiasa diperhatikan (Dewi dan Idris, 2006; Husni, et.al., 2004).

Dari sisi konsumen beras, khususnya masyarakat kelas menengah ke bawah,

kehadiran beras impor secara melimpah mendatangkan keuntungan, mengingat

harganya yang relatif lebih murah daripada beras produksi dalam negeri. Namun dari

sisi lain, kehadiran beras impor yang melimpah justru menjadi ancaman bagi

kesinambungan produksi petani. Oleh karena itu, cukup tepat jika pemerintah

mengambil kebijakan yang menyangkut pengadaan beras. Karena impor dibuka saat

paceklik atau stok kosong akibat produksi kurang mencapai target, namun karena

impor ditutup atau impor beras dilarang pada saat kemampuan produksi padi dalam

negeri sedang normal. Kebijakan ini diperlukan guna melindungi kepentigan petani

produsen agar harga jual beras hasil panen tidak menurun, sekaligus tetap menjaga

stok sumber pangan.

Sudah saatnya pemerintah mencari kebijakan yang lebih serius menyangkut

perberasan nasional untuk jangka panjang, karena terlalu riskan jika terus menerus

menggantungkan pemenuhan kebutuhan pangan hanya dari beras nasional bisa

dipenuhi oleh petani dalam negeri. Untuk itu, penulis tertarik meneliti apakah luas

panen, produktivitas padi, dan produksi benih padi mempunyai pengaruh yang


commit to user

2

signifikan terhadap produksi padi di Indonesia. Ketiga faktor tersebut dipilih

berdasarkan data-data yang diperoleh dari Badan Pusat Statistika (BPS) Indonesia.

Untuk mengetahui hubungan luas panen, produktivitas padi, dan produksi

benih padi digunakan analisis regresi. Analisis regresi merupakan suatu analisis

statistik yang memanfaatkan hubungan antara variabel dependen dengan variabel

independen. Hubungan antara variabel-variabel tersebut dapat dinyatakan dalam

model matematika. Pada suatu regresi, hubungan yang sebenarnya biasanya jarang

diketahui secara pasti, tetapi model hubungan tersebut dapat diestimasi berdasarkan

data pengamatan. Untuk model regresi linear sederhana adalah

dengan adalah nilai variabel dependen pada pengamatan ke-i, adalah nilai

variabel independen pada pengamatan ke-i dan adalah parameter yang tidak

diketahui nilainya dan akan dicari nilai estimasinya.

Dalam menentukan estimasi terbaik sangat dipengaruhi oleh penggunaan

metode. Metode yang biasa digunakan untuk mengestimasi parameter regresi antara

lain Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Pada umumnya MKT bisa dilakukan apabila

semua asumsi dari analisis regresi terpenuhi. Asumsi tersebut adalah asumsi

normalitas, homogenitas variansi, nonautokorelasi, dan nonmultikolinearitas. Adanya

heteroskedastisitas dalam model regresi kadangkala diikuti munculnya pengamatan

pencilan dalam data. Menurut Sembiring (1995), adanya pencilan dalam data dapat

mengakibatkan estimasi koefisien regresi yang diperoleh tidak tepat. Namun

demikian tindakan membuang begitu saja suatu pencilan bukanlah tindakan yang

bijaksana, karena adakalanya pencilan memberikan informasi yang cukup berarti.

Oleh karena itu, diperlukan suatu metode regresi yang robust terhadap pencilan.

Metode estimasi parameter yang bersifat robust yang nilai estimasinya tidak

banyak dipengaruhi oleh perubahan kecil dalam data. Robust diartikan sebagai

ketidaksensitifan terhadap penyimpangan-penyimpangan asumsi tersebut. Metode

tersebut yang dikenal dengan metode regresi robust.

Beberapa metode dalam regresi robust yaitu estimasi-M, Least Trimmed

Square (LTS), estimasi-S, estimasi-MM, Least Mean Square (LMS) (Chen, 2002).


commit to user

3

Estimasi-M merupakan suatu teknik robust yang terkenal dan merupakan perluasan

dari maximum likelihood estimator (MLE). Estimasi dengan metode MLE akan

menghasilkan estimator yang bersifat sama seperti MKT, artinya MLE juga tidak

Robust terhadap pengaruh pencilan. Estimasi M memiliki beberapa pembobot antara

lain pembobot Ramsay dan pembobot Welsch. Metode regresi robust dengan

pembobot Welsch dan pembobot Ramsay merupakan metode yang dapat mengatasi

data pencilan, namun belum diketahui berapa banyaknya pencilan dalam berbagai

ukuran sampel yang dapat diatasi oleh metode tersebut, sehingga masih menghasilkan

model regresi yang baik. Selain itu, ukuran sampel dan banyaknya pencilan

merupakan hal yang dapat dijadikan pertimbangan dalam menggunakan metode

regresi robust dengan pembobot Welsch dan pembobot Ramsay (Cahyawati, 2009).

Metode regresi robust dengan pembobot Welsch dan pembobot Ramsay akan

diaplikasikan pada kasus produksi padi di Indonesia tahun 2009 yang dipengaruhi

oleh luas panen, produktivitas padi, dan produksi benih padi.

Berdasarkan hal tersebut, penulis tertarik untuk membahas tentang estimasi

regresi robust dengan regresi robust dengan pembobot Welsch dan pembobot Ramsay

pada produksi padi di Indonesia tahun 2009.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, rumusan masalahnya adalah bagaimana model

prediksi produksi padi di Indonesia menggunakan metode regresi robust dengan

pembobot Welsch dan pembobot Ramsay ?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah maka tujuan dari penelitian ini adalah dapat

menentukan model prediksi produksi padi di Indonesia menggunakan metode regresi

robust dengan pembobot Welsch dan pembobot Ramsay.


commit to user

4

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah agar memahami

lebih dalam tentang model regresi robust dengan pembobot Welsch dan pembobot

Ramsay serta dapat mengaplikasikan dalam bidang pertanian.


commit to user

5

5

BAB II

LANDASAN TEORI

Ada dua subbab yang akan dibahas pada landasan teori ini, yaitu tinjauan

pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berupa pengertian-pengertian

yang berhubungan dengan pembahasan model estimasi regresi robust dengan

pembobot Welsch dan pembobot Ramsay. Melalui kerangka pemikiran akan

digambarkan langkah dan arah penulisan untuk mencapai tujuan penelitian.

2.1 Tinjauan Pustaka

Penelitian ini memerlukan beberapa pengertian dasar antara lain pengertian

mengenai analisis regresi, asumsi klasik, identifikasi pencilan, estimasi-M, pembobot

ukuran Robust.

2.1.1 Analisis Regresi

Menurut Montgomery dan Peck (1991), regresi linear sederhana hanya terdiri

dari satu variabel dependen dan satu variabel independen sehingga memiliki bentuk

umum sebagai berikut

. (2.1)

Sedangkan regresi linear berganda merupakan regresi linear dengan satu

variabel dependen dan beberapa variabel independen sehingga memiliki bentuk

umum (Montgomery dan Peck, 1991) sebagai berikut

. (2.2)

Suatu data dalam analisis regresi kadang terdapat suatu data pencilan yang

akan mempengaruhi modelnya. Oleh karena itu harus ada perlakuan atau cara untuk

menghilangkan atau mengatasi masalah tersebut antara lain adalah dengan

menghilangkan data pencilan tersebut. Akan tetapi dalam suatu kasus, data yang

merupakan data pencilan justru memberikan informasi penting sehingga cara tersebut

akan memberikan solusi yang kurang baik. Cara lain adalah menggunakan suatu

estimasi yang nilai estimasinya tidak banyak dipengaruhi oleh perubahan kecil dalam

data. Salah satu contohnya adalah estimasi-M karena estimasi ini tidak peka terhadap


commit to user

6

pencilan sehingga akan memberikan hasil yang cukup baik tanpa menghilangkan

suatu data pencilan.

2.1.2 Asumsi Klasik

Pada model regresi, perlu dilakukan uji untuk mengetahui apakah model

regresi memenuhi asumsi regresi atau tidak. Uji asumsi yang dilakukan pada model

regresi adalah uji asumsi normalitas, uji asumsi nonmultikolinearitas, uji asumsi

homoskedastisitas, dan uji asumsi nonautokorelasi.

1. Uji Asumsi Normalitas

Menurut Gujarati (1978:66) regresi linear mengasumsikan bahwa tiap residu

didistribusikan normal,

.

Salah satu cara untuk menguji asumsi kenormalan adalah dengan uji

Kolmogorov-Smirnov. Uji ini didasarkan pada nilai D dengan,

dengan adalah fungsi distribusi frekuensi kumulatif relatif dari distribusi

teoritis dibawah dan adalah distribusi frekuensi kumulatif pengamatan

sebanyak sampel. adalah residu berdistribusi normal. Nilai ini selanjutnya

dibandingkan dengan nilai kritis dengan signifikansi (tabel kolmogorof-

smirnov). Apabila nilai > atau − < maka asumsi kenormalan tidak

dipenuhi.

2. Uji Asumsi Nonmultikolinearitas

Multikolinearitas adalah adanya hubungan linear di antara variabel-variabel

independen dalam suatu model regresi ( Gujarati, 1978:157). Menurut Montgomery

dan Peck (1991), multikolinearitas dalam model dapat dideteksi dengan

menggunakan 2 cara yaitu

a. Variance Inflation Factors (VIF)

Variance Inflation Factors ( ) adalah faktor perubahan variansi dalam

variabel independen ke-j. Matriks dengan merupakan elemen

diagonal matriks dan X adalah variabel independen yang dapat ditulis


commit to user

7

(2.3)

dengan adalah nilai koefisien determinasi atau ketika yang diregresikan

dengan variabel independen selain . Jika nilai VIF > 10 maka menunjukkan

multikolinearitas yang kuat.

b. Nilai toleransi

(2.4)

Jika nilai toleransi < 0,1 maka menunjukkan multikolinearitas yang kuat.

3. Uji Asumsi Heteroskedastisitas

Menurut Gujarati (1978: 177) salah satu dari asumsi penting model regresi

linear klasik adalah variansi pada setiap residu ( ) tergantung pada nilai yang dipilih

dari variabel yang menjelaskan yaitu suatu angka yang konstan yang sebanding

dengan , jika tidak sama maka disebut sebagai heteroskedastisitas.

Montgomery dan Peck (1992: 74) menggambarkan beberapa plot sisa

terhadap sebagai berikut

Gambar 2.1 Plot yang Memenuhi Asumsi Homoskesdastisitas


commit to user

8

(a) (b) (c)

Gambar 2.2 Pola-Pola Heteroskedastisitas

Jika hasil plot mirip pola pada gambar 2.1 maka berarti asumsi homogenitas

variansi dipenuhi karena titik tersebar rata. Pada gambar 2.2 (a) sampai (c)

menunjukkan bahwa titik tersebar dengan variansi tidak konstan (heteroskedastisitas).

Untuk lebih tepatnya, menurut Gujarati (1978), salah satu cara untuk mendeteksi

heteroskedastisitas adalah dengan pengujian rank korelasi dari Spearman yang

didefenisikan sebagai berikut

(2.5)

dengan di = perbedaan dalam rank yang ditepatkan pada dua karakteristik yang

berbeda dari individual atau fenomena ke-i dan N = banyaknya individual yang di

rank. Koefisien rank korelasi dapat digunakan untuk mendeteksi heterokedastisitas

sebagai berikut yaitu asumsikan

Langkah I Cocokkan regresi terhadap data mengenai Y dan X dan dapatkan residu ( )

Langkah II Dengan mengabaikan tanda dari , yaitu dengan mengambil nilai

mutlaknya , meranking baik harga mutlak dan sesuai dengan urutan yang

meningkat atau menurun dan menghitung koefisien rank korelasi Spearman yang

telah diberikan sebelumnya.

Langkah III Dengan mengasumsikan bahwa koefisien rank korelasi populasi ρs

adalah nol dan N > 8, signifikan dari rs yang disampel dapat diuji dengan pengujian t

sebagai berikut

(2.6)


commit to user

9

dengan derajat kebebasan = N – 2.

Jika nilai t yang dihitung melebihi nilai t kritis, kita bisa menerima hipotesis

adanya heteroskedastisitas, demikian juga sebaliknya. Jika model regresi meliputi

lebih dari satu variabel X, rs dapat dihitung antara dan tiap-tiap variabel X secara

terpisah dan dapat diuji untuk tingkat penting secara statistik dengan pengujian t yang

diberikan di atas.

a. Uji Asumsi Nonautokorelasi

Autokorelasi adalah suatu keadaan kesalahan gangguan dari periode tertentu

berkorelasi dengan kesalahan gangguan dari periode sebelumnya. Jika kesalahan

gangguan periode dengan berkorelasi maka terjadi korelasi tingkat pertama.

Autokorelasi dapat dideteksi dengan berbagai cara antara lain dengan uji Durbin

Watson. Langkah-langkah pengujian autokorelasi dengan Durbin Watson adalah

sebagai berikut (Gujarati, 1978: 217)

1. Melakukan regresi kuadrat terkecil biasa dan memperoleh residu.

2. Menghitung nilai .

3. Mencari nilai dan untuk ukuran sampel dan banyaknya variabel independen

tertentu.

4. Jika adalah tidak terdapat autokorelasi positif, maka

untuk berarti menolak

untuk berarti tidak menolak

untuk berarti pengujian tidak meyakinkan.

5. Jika adalah tidak terdapat autokorelasi negatif, maka jika




6. Jika adalah tidak terdapat autokorelasi baik positif atau negatif, maka jika





commit to user

10

untuk berarti pengujian tidak meyakinkan


4- 4-

Gambar 2.3 Daerah Penolakan atau Penerimaan

2.1.3 Identifikasi Pencilan

Dalam statistik ruang, data pencilan harus dilihat terhadap posisi dan sebaran

data yang lainnya sehingga akan dievaluasi apakah data pencilan tersebut perlu

dihilangkan atau tidak. Terdapat 2 metode untuk menentukan batasan pencilan adalah

metode grafis dan boxplot.

1. Metode grafis

Untuk melihat apakah terdapat pencilan pada data, dapat dilakukan dengan

memplot antara data dengan observasi

Jika sudah didapatkan model regresi maka dapat dilakukan dengan cara

memplot antara residu ( ) dengan nilai prediksi . Jika terdapat satu atau

beberapa data yang terletak jauh dari pola kumpulan data keseluruhan maka hal

ini mengindikasikan adanya pencilan.

2. Boxplot

Metode ini merupakan yang paling umum yakni dengan mempergunakan

nilai kuartil dan jangkauan. Kuartil 1, 2 dan 3 akan membagi sebuah urutan data

menjadi empat bagian. Jangkauan Interquartile Range (IQR) didefinisikan

sebagai selisih kuartil 1 terhadap kuartil 3, atau .

H0 ditolak

tidak dapat disimpulkan

H0 diterima


commit to user

11

Data-data pencilan dapat ditentukan yaitu nilai yang kurang dari

terhadap kuartil 1 dan nilai yang lebih dari terhadap kuartil 3.

Dari kedua metode tersebut akan digunakan salah satu metode tersebut yang

sesuai dengan data yang diamati. Metode grafis mampu memberikan suatu

gambaran visual melalui grafik sedangkan boxplot dapat menunjukkan data yang

berpencilan.

2.1.4 Estimasi - M

Menurut Montgomery dan Peck (1992), permasalahan dalam Estimasi-M

merupakan masalah meminimumkan suatu fungsi dari residu

.

Dengan meminimumkan fungsi dari residu diperoleh hasil estimasinya sebagai

berikut

(2.1)

Dalam notasi matriks, persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi

(2. 2)

Berdasarkan persamaan (2.2) akan memberikan taksiran untuk yaitu

yWXXWX qqq ''ˆ 1

1 .

2.1.5 Pembobot Ukuran Robust

Tabel 2.1. Fungsi obyektif , fungsi pembobot, turunan parsial dari fungsi obyektif,

dan nilai konstanta untuk pembobot Ramsay dan Welsch

Metode u

uu

c

Ramsay

c = 0,3

Welsch

2

exp12 c

uc

2

expc

u u

2

expc

u c = 2,9846


commit to user

12

Untuk mengestimasi parameter dengan estimasi M pada regresi linear

robust sebagai berikut. Dari persamaan (2.13) akan didapat nilai awal yang

diperlukan adalah dan . Untuk ditentukan dengan MKT.

Menurut Lalmonhan Bar (2010), fungsi Ramsay dan Welsch adalah

Ramsay : (2.14)

Welsch :

.

(2.15)

Untuk menentukan nilai 0

W harus dicari terlebih dahulu nilai u. Nilai u

merupakan pembagian dari residu dengan s. Vektor residu dicari dengan

mengurangkan dengan . Sedangkan s ditentukan oleh pembagian Median

Absolut Deviation (MAD) dengan 0.6745. Nilai MAD merupakan nilai median absolut

pengurangan residu dengan median residunya. Nilai MAD dapat ditulis sebagai

berikut

| |i iMAD median median

MADs

kdengan nilai k = 0.6745 diperoleh dari perhitungan aljabar.

Turunan parsial terhadap u dari persamaan (2.14) dan persamaan (2.15) adalah

Ramsay :

Welsch :

,

sehingga diperoleh fungsi bobot

Ramsay :

Welsch :

.


commit to user

13

Adapun algoritma untuk mengestimasi parameter untuk estimasi M pada

regresi linear robust sebagai berikut (Norman RD dan Harry Smith, 1998)

1. Menentukan parameter dengan metode kuadrat terkecil

10ˆ T TX X X Y.

2. Menentukan vektor residu

3. Menentukan fungsi bobot u(0)

0 i Y Xu

s s dengan

.

4. Menentukan matriks pembobotan 0

W

dengan turunan parsial dari fungsi pembobot

Pembobot untuk Welsch :

Pembobot untuk Ramsay :

1

0 2

0 0

0 0

0 0 n

w

wW

w

.

5. Menghitung estimasi dengan metode Weighted Least Squares

(WLS) dengan pembobot

YWXXWX qqq ''ˆ 1

1 .


commit to user

14

6. Mengulangi langkah 2 sampai langkah 5 agar diperoleh nilai 1ˆ

q yang

konvergen dengan didapat suatu deret.

7. Setelah mendapatkan nilai 1ˆ

q yang konvergen akan di uji signifikansi

apakah model tersebut sesuai.

Dari langkah-langkah di atas iterasi berhenti jika nilai 1

ˆq

dan W sudah

konvergen. Konvergensi 1

ˆq

dan W ditentukan oleh selisih absolut

dengan dan selisih absolut dengan kurang dari batas konvergen. Jika

proses iterasi selesai maka secara otomatis diperoleh output berupa 1

ˆq

, W, dan .

Selanjutnya menentukan nilai dan nilai deviasi standar (s).

2.2 KERANGKA PEMIKIRAN

Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat dibuat kerangka pemikiran bahwa dalam

analisis regresi hubungan yang sebenarnya biasanya jarang diketahui secara pasti,

tetapi model hubungan tersebut dapat diestimasi berdasarkan data pengamatan. Data

pengamatan tersebut adalah produksi padi di Indonesia tahun 2009 yang dipengaruhi

oleh luas lahan padi, produktivitas padi, dan produksi benih padi. Adanya pencilan

dalam data mengakibatkan estimasi keofisien regresi yang diperoleh tidak tepat. Oleh

karena itu, diperlukan suatu metode regresi yang robust terhadap pencilan yang

disebut regresi robust dengan estimasi-M. Estimasi M memiliki pembobot antara lain

pembobot Welsch dan pembobot Ramsay. Langkah selanjutnya akan dicari model

terbaiknya dengan membandingkan nilai dan nilai deviasi standar (s) antara

pembobot Welsch dan pembobot Ramsay.


commit to user

15

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi

kasus, yaitu melakukan estimasi regresi robust pada model produksi padi di Indonesia

tahun 2009. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang

diambil dari Badan Pusat Statistik (BPS).

Tahap-tahap analisis pada penelitian ini adalah

1. Melakukan estimasi regresi dengan metode kuadrat terkecil.

2. Melakukan uji asumsi klasik terhadap data tersebut.

3. Mendeteksi pencilan dengan menggunakan metode grafis dan boxplot.

4. Melakukan estimasi regresi dengan regresi robust menggunakan pembobot Welsch

dan pembobot Ramsay.

a. Menentukan parameter dengan metode kuadrat terkecil.

b. Menentukan vektor sesatan.

c. Menentukan fungsi bobot u(0)

dari Welsch dan Ramsay.

d. Menentukan pembobotan 0

W dari Welsch dan Ramsay.

e. Menghitung estimasi 1

ˆq

dengan metode weighted least squares (WLS)

dengan pembobot Welsch dan Ramsay.

f. Mengulangi langkah 2 sampai langkah 5 agar diperoleh nilai 1ˆ

q yang

konvergen dengan didapat suatu deret.

g. Setelah mendapatkan nilai 1ˆ

q yang konvergen akan diuji signifikansi

apakah model tersebut sesuai.

5. Mencari model terbaik dengan membandingkan nilai dan nilai

deviasi standar (s).


commit to user

16

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Regresi Robust

Pada saat observasi-observasi y dalam model regresi linear

terdistribusi normal dan mempunyai estimasi terbaik. Dalam menentukan estimasi

terbaik sangat dipengaruhi oleh penggunaan metode. Metode yang biasa digunakan

untuk mengestimasi parameter regresi antara lain metode kuadrat terkecil (MKT).

Pada umumnya MKT bisa dilakukan apabila semua asumsi dari analisis regresi

terpenuhi. Asumsi tersebut adalah asumsi kenormalan (normalitas), homogenitas

variansi, nonautokorelasi, dan nonmultikolinearitas. Adanya asumsi

homoskedastisitas yang tidak dipenuhi dikarenakan munculnya pencilan dalam data.

Pencilan ini dapat memiliki pengaruh yang kuat pada MKT (Montgomery dan Peck,

1992). Oleh karena itu penting untuk mencari alternatif lain untuk mengestimasi

parameter-parameter dalam model regresi linear yang lebih stabil atau resisten

terhadap pencilan Menurut Sembiring (1995), adanya pencilan dalam data dapat

mengakibatkan estimasi koefisien regresi yang diperoleh tidak tepat. Tetapi dengan

membuang begitu saja suatu pencilan bukanlah tindakan yang bijaksana, karena

adakalanya pencilan memberikan informasi yang cukup berarti. Oleh karena itu,

diperlukan suatu metode regresi yang robust terhadap pencilan.

Regresi robust adalah salah satu metode untuk mengestimasi parameter-

parameter dalam model regresi linear. Regresi robust digunakan untuk mengurangi

pengaruh dari observasi-observasi yang memuat pencilan.

4.2 Pencilan

Menurut Ferguson (1961) definisi dari pencilan adalah suatu data yang

menyimpang dari sekumpulan data yang lain. Demikian pula menurut Barnett (1981)

definisi dari pencilan adalah pengamatan yang tidak mengikuti sebagian besar pola

dan terletak jauh dari pusat data (kutipan dari Soemartini, 2007). Pencilan dapat


commit to user

17

muncul dikarenakan kesalahan dalam memasukkan data, kesalahan pengukuran,

analisis dan kesalahan-kesalahan lain.

Pencilan dapat memiliki pengaruh “tidak semestinya” pada keseluruhan

pencocokan model dan dapat menampakkan ketidaksesuaian model yang paling

umum. Cara yang paling sederhana untuk mendeteksi adanya pencilan dalam

observasi adalah dengan membuat plot residu dengan plot nilai pencocokan (fitted

values) setelah melakukan analisis regresi. Bermacam macam tes statistik sudah

dikemukakan untuk mendeteksi pencilan diantaranya metode grafis dan boxplot.

4.3 Estimasi - M

Salah satu metode estimasi regresi robust paling luas digunakan adalah

Estimasi M, singkatan untuk estimasi tipe maksimum likelihood, yang dikenalkan

oleh Huber. Estimasi M meminimumkan suatu fungsi dari residu,

(4.1)

Misalkan ρ( ) adalah fungsi dari , adalah residu dan s adalah suatu

estimator skala, maka diperoleh salah satu estimator robust yang meminimumkan

fungsi

(4.2)

Pada umumnya suatu estimasi skala robust (s) perlu diestimasi. Pilihan

estimasi populasi untuk s adalah

.

Dipilih konstan 0,6745 dan residu berdistribusi normal (Montgomery dan

Peck, 1982).

4.4 Penyelesaian untuk

Untuk meminimumkan persamaan (4.2), turunan parsial dari terhadap

disamadengankan nol, sehingga menghasilkan sistem persamaan

nonlinear

(4.3)


commit to user

18

dengan xij adalah barisan ke-j dari x = (1,xi1, xi2,... ,xik).

Didefinisikan suatu fungsi pembobot

. (4.4)

Misalkan maka persamaan (4.3) dapat ditulis sebagai berikut

Estimasi koefisien regresi dengan estimasi-M dilakukan dengan estimasi

kuadrat terkecil dengan pembobot iteratif. Prosedur estimasi ini membutuhkan proses

iteratif yang mana akan berubah pada tiap iterasinya sehingga diperoleh

. Anggap bahwa suatu estimasi awal, ada dan suatu estimasi skala.

Dengan p adalah jumlah parameter yang akan diestimasi, persamaan (4.5)

menjadi

. (4.6)

Dalam notasi matriks, persamaan (4.6) menjadi

(4.7)

dengan adalah matriks diagonal dari “bobot” dengan elemen-elemen

diagonal diberikan oleh persamaan (4.4). Persamaan (4.7) dikenal

sebagai persamaan normal kuadrat terkecil terbobot biasa. Maka dari itu estimator

satu langkah yaitu

1̂


commit to user

19

Pada langkah selanjutnya, dihitung kembali bobot dari tetap

menggunakan sebagai pengganti . Pada umumnya, untuk bobot yang

diberikan dapat menyelesaikan

yWXXWX qqq ''ˆ 1

1

Biasanya membutuhkan beberapa iterasi sampai mencapai konvergen, yaitu

selisih nilai dengan lebih kecil dari 0.01%. Metode Kuadrat Terkecil dapat

digunakan sebagai nilai permulaan .

4.5. Pembobot Ukuran Robust

Berdasarkan tabel (2.1), untuk mengestimasi parameter dalam estimasi M

pada regresi linear robust diperoleh dari persamaan (4.7) akan didapat nilai awal

adalah dan . Estimasi ditentukan dengan MKT.

Menurut Lalmonhan Bar (2010) fungsi Ramsay dan Welsch adalah

Fungsi Ramsay :

Fungsi Welsch :

2

exp12 c

uc

,

untuk menentukan nilai harus dicari terlebih dahulu nilai u. Nilai merupakan

pembagian dari vektor residu dengan . Vektor residu dicari dengan mengurangkan

dengan . Sedangkan s ditentukan oleh pembagian Median Absolut Deviation

(MAD) dengan 0.6745. Nilai MAD merupakan median absolut pengurangan residu

dengan median residunya. Nilai MAD dapat ditulis sebagai berikut

| |i iMAD median median .

Pembuktian jika MAD

sk

maka nilai k = 0.6745 diperoleh dari perhitungan berikut,


commit to user

20

Fungsi Ramsay

turunan parsial terhadap u fungsi tersebut adalah

Pembobot dari Ramsay

Fungsi Welsch

turunan parsial terhadap u fungsi tersebut adalah

2

exp12 c

uc

2

exp1c

u


commit to user

21

2

expc

u

2

expc

u

Pembobot dari Welsch

4.6 Studi Kasus

Pada bab ini akan disajikan hasil analisis dari data yang diperoleh dari BPS

(Badan Pusat Statistik). Data tersebut meliputi produksi padi di Indonesia sebagai

variabel dependen sedangkan luas lahan padi, produktifitas padi, produksi benih padi

sebagai variabel independen. Regresi robust dengan pembobot Welsch dan pembobot

Ramsay dapat diterapkan dalam berbagai kasus. Kasus ini yang sesuai kerena

mengandung adanya pencilan tetapi pencilan tersebut dianggap masih perlu

digunakan dalam analisis. Adapun kasus tersebut adalah kasus produksi padi yang

dipengaruhi oleh luas lahan padi, produktifitas padi, produksi benih padi yang

terdapat pada lampiran 1.

4.6.1 Metode Kuadrat Terkecil

Untuk mendapatkan model regresi antara variabel independen dan variabel

dependen, digunakan data sekunder yang berasal dari Badan Pusat Statistik (BPS),

yaitu data produksi padi di Indonesia tahun 2009. Data diolah dengan menggunakan

bantuan software MINITAB 16.0 diperoleh model prediksi dengan kuadrat terkecil

sebagai berikut

dengan


commit to user

22

: Produksi Padi (ton)

: Luas Lahan Padi (ha)

: Produktivitas Padi (kuintal/ha)

: Produksi Benih padi (ton) .

Selanjutnya dilakukan pengujian asumsi untuk melihat apakah model yang

diteliti memenuhi asumsi atau tidak.

4.6.1.1 Uji Normalitas

Pengujian kenormalan digunakan untuk mengetahui apakah residu

berdistribusi normal atau tidak. Grafik kenormalan untuk residu dari model produksi

padi disajikan sebagai berikut

8000006000004000002000000-200000-400000-600000-800000

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

e1

Pe

rce

nt

Mean -8.99573E-11

StDev 321516

N 33

KS 0.110

P-Value >0.150

Probability Plot of e1Normal

Gambar 4.1 Plot probabilitas dari residu

Gambar 4.1 memperoleh bahwa pola penyebaran residu mengikuti garis lurus,

ini berarti asumsi kenormalan pada residu dipenuhi. Untuk menguji kenormalan dapat

juga digunakan uji kolmogorof-smirnov sebagai berikut

a. residu berdistribusi normal

residu tidak berdistribusi normal

b. Pilih

c. Daerah kritis: ditolak jika p-value <

d. Statistik uji


commit to user

23

Berdasarkan software MINITAB 16.0, diperoleh hasil output pada Gambar

4.1 dengan p-value = 0,150.

e. Kesimpulan

Karena p-value = 0,150 > , maka tidak ditolak artinya residu

berdistribusi normal.

Dengan demikian asumsi kenormalan tidak dilanggar.

4.6.1.2 Uji nonautokorelasi

Autokorelasi diartikan sebagai korelasi antara anggota serangkaian observasi

yang diurutkan menurut waktu. Uji non autokorelasi dapat dideteksi dengan rumus

Durbin Watson.

Uji Dubin Watson (Uji DW)

a. artinya tidak ada autokorelasi

artinya ada autokorelasi

b. Pilih

c. Daerah kritis

Pada k=3 dan n=33 serta diperoleh nilai =1,26 dan =1,65

sehingga =2,74 dan = 2,35

H0 diterima

1,26 1,65 2,35 2,74

Gambar 4.2. Daerah Penolakan atau Penerimaan

d. Statistik uji

Dari perhitungan dengan bantuan software MINITAB 16.0 pada lampiran 2

diperoleh nilai = 1.80354.

tidak dapat disimpulkan

H0 ditolak


commit to user

24

e. Kesimpulan

Berdasarkan hasil regresi dapat diperoleh bahwa = 1.80354 berada

pada posisi d > du =1,65 maka tidak ditolak artinya asumsi non autokorelasi

pada model produksi padi di Indonesia tahun 2009 dipenuhi.

4.6.1.3 Uji Heterokedastisitas

Untuk mengetahui apakah terjadi heteroskedastisitas pada residu dapat

dilakukan dengan metode plot. Plot kesamaan variansi untuk data residu pada model

produsi padi di Jawa Tengah adalah sebagai berikut

120000001000000080000006000000400000020000000

800000

600000

400000

200000

0

-200000

-400000

-600000

-800000

Fitted Value

Re

sid

ua

l

Versus Fits(response is y(produksi padi))

Gambar 4.3. Plot residu dengan

Pada Gambar 4.3 tampak bahwa variansi residu dari satu pengamatan ke

pengamatan yang lain tidak acak, yang terlihat membentuk pola yang

mengindikasikan bahwa variansi residunya tidak konstan sehingga dapat

diindikasikan terdapat heteroskedastisitas. Untuk lebih tepatnya, dapat dilakukan

salah satu uji untuk mendeteksi adanya heteroskedastisitas yaitu dengan pengujian

rank korelasi dari Spearman. Jika nilai thitung melebihi nilai ttabel, maka dalam

penelitian tersebut terdapat masalah heteroskedastisitas, sebaliknya jika thitung lebih

kecil dari ttabel maka tidak terdapat masalah heteroskedastisitas. Dalam penelitian ini

dilakukan pengujian secara terpisah antara | | dan tiap variabel independen yaitu luas


commit to user

25

lahan ( ), produktivitas padi ( ), dan produksi benih padi ) dapat dilihat pada

tabel 4.1.

Tabel 4.1 Uji rank korelasi spearman

| | R| | R( ) R( ) R( ) d1**

d2**

d3**

208677.5 19 21 17 24 2 -2 5 4 4 25

566465 30 29 19 26 -1 -11 -4 1 121 16

178500.8 18 25 23 25 7 5 7 49 25 49

61111.26 8 15 8 9 7 0 1 49 0 1

442522.4 27 1 3 15 -26 -24 -12 676 576 144

10738.39 2 17 13 27 15 11 25 225 121 625

752345.8 33 28 15 20 -5 -18 -13 25 324 169

463577.9 28 3 1 28 -25 -27 0 625 729 0

88271.98 11 12 11 3.5 1 0 -7.5 1 0 56.25

301727.6 22 27 20 3.5 5 -2 -18.5 25 4 342.25

41798.7 4 2 29 7 -2 25 3 4 625 9

356780.3 24 33 31 33 9 7 9 81 49 81

139681.9 17 22 26 31 5 9 14 25 81 196

95900.73 12 31 28 11 19 16 -1 361 256 1

42378.18 5 13 30 32 8 25 27 64 625 729

697962.1 32 32 33 22 0 1 -10 0 1 100

40173.08 3 16 32 21 13 29 18 169 841 324

115577.4 13 23 24 29 10 11 16 100 121 256

45853.26 6 18 5 13 12 -1 7 144 1 49

593089.4 31 24 4 14 -7 -27 -17 49 729 289

120544.3 15 20 2 18 5 -13 3 25 169 9

477016.9 29 26 12 23 -3 -17 -6 9 289 36

61053.11 7 14 10 19 7 3 12 49 9 144

75891.93 10 11 22 16 1 12 6 1 144 36

64883.02 9 8 27 17 -1 18 8 1 324 64

10482.17 1 19 18 12 18 17 11 324 289 121

397550.5 26 30 25 30 4 -1 4 16 1 16

117537.6 14 9 21 3.5 -5 7 -10.5 25 49 110.25

129265.2 16 10 14 3.5 -6 -2 -12.5 36 4 156.25

224730.1 20 6 16 8 -14 -4 -12 196 16 144

356833.3 25 5 6 3.5 -20 -19 -21.5 400 361 462.25

281748.4 21 7 9 3.5 -13 -12 -17.5 169 144 306.25

339111.3 23 4 7 10 -19 -16 -13 361 256 169

Jumlah 4289 7288 5235.5


commit to user

26

dengan

1. R| | = rangking dari absolute

2. R( ) = rangking dari



5. = R( ) - R| |

6. = R( ) - R| |

7. = R( ) - R| |

8.

9.

10.

Dengan menggunakan persamaan 2.5 dan persamaan 2.6 untuk masing-

masing variabel independen sehingga diperoleh hasil output.

Tabel 4.2 Hasil uji heteroskedastisitas

Variabel rs thitung ttabel Kesimpulan

X1 (luas lahan padi ) 0,3993 2,42491 > 1,697 Ada heteroskedatisitas

X2 (produktivitas padi) 0,0207 -0,11544 < 1,697 Tidak ada heteroskedastisitas

X3 (produksi benih padi) 0,2627 1,540957 < 1,697 Tidak ada heteroskedastisitas

4.6.1.4 Uji nonmultikolinearitas

Pengujian multikolinearitas bertujuan untuk mengetahui ada tidaknya

hubungan linear antara variabel independen. Untuk mendeteksi adanya

mutikolinearitas dapat dilakukan dengan berbagai uji. Salah satu deteksi ada tidaknya

multikolinearitas adalah dengan melihat pada nilai VIF. Nilai VIF diperoleh dengan

melakukan regresi secara parsial dan kemudian menghitung nilai VIF. Dengan

bantuan software MINITAB 16.0 pada lampiran 2, diperoleh hasil output sebagai

berikut


commit to user

27

Tabel 4.3 Hasil output uji multikolinearitas

Variabel independen VIF Keterangan

(Luas lahan padi) 1.495 < 10 Tidak terdapat multikolinearitas

(Produktivitas padi) 1.387 < 10 Tidak terdapat multikolinearitas

(Produksi benih padi) 1.319 < 10 Tidak terdapat multikolinearitas

Berdasarkan hasil output di atas, dapat dilihat bahwa nilai VIF untuk semua

variabel independen, baik variabel luas lahan padi ( ), produktivitas padi ( ), dan

produksi benih padi ), adalah lebih kecil dari 10, sehingga dapat disimpulkan

bahwa asumsi non multikolinearitas dipenuhi.

4.6.2. Mendeteksi Pencilan

Data pencilan dapat dilihat terhadap posisi dan sebaran data yang lainnya

sehingga akan dievaluasi apakah data pencilan tersebut perlu dihilangkan atau tidak.

Terdapat 2 metode untuk menentukan batasan pencilan adalah metode grafis dan

boxplot.

1. Metode Grafis

Melalui metode grafis dapat dilihat pencilan yang terdapat pada masing-masing

data diperoleh gambar sebagai berikut :

35302520151050

12000000

10000000

8000000

6000000

4000000

2000000

0

obs

y(p

ro

du

ksi p

ad

i)

333231302928

27

26

252423

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

98

7

6

54

3

2

1

Scatterplot of y(produksi padi) vs obs

a. Plot data y


commit to user

28

35302520151050

2000000

1500000

1000000

500000

0

obsx1

(lua

s la

han)

333231302928

27

26

252423

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Scatterplot of x1(luas panen padi) vs obs

b. Plot data

35302520151050

60

50

40

30

20

obs

x2(p

rodu

ktifi

tas

padi

)

33

32

31

3029

28

27

26

25

24

23

22

21

2019

18

171615

14

13

12

11

10

9

8

76

5

4

3

2

1

Scatterplot of x2(produktifitas padi) vs obs

c. Plot data

35302520151050

50000

40000

30000

20000

10000

0

obs

pro

du

ksi b

en

ih p

ad

i(x3

)

333231302928

27

2625242322

212019

18

1716

15

14

13

12

11109

8

7

6

54

3

2

1

Scatterplot of produksi benih padi(x3) vs obs

d. Plot data

Gambar 4.4 Plot data dan


commit to user

29

Berdasarkan gambar 4.4 terdapat beberapa pencilan pada masing-emasing

variabel, yaitu :

a. Data ke 12, 14, dan 16 pada variabel produksi padi ( )

b. Data ke 12, 14, dan 16 pada variabel luas lahan padi ( )

c. Tidak ada data yang menyimpan jauh dari data yang lainnya, maka data ini

menyebar berarti tidak ada pencilan untuk variabel produktivitas padi ( )

d. Data ke 12 pada variabel produksi benih padi ( )

2. Melalui boxplot dapat dilihat pencilan yang terdapat pada masing-masing data

diperoleh gambar sebagai berikut :

12000000

10000000

8000000

6000000

4000000

2000000

0

y(p

rod

uks

i pa

di)

16

14

12

Boxplot of y(produksi padi)

a. Boxplot data y

2000000

1500000

1000000

500000

0

x1

(lu

as p

an

en

pa

di)

16

14

12

Boxplot of x1(luas panen padi)

b. Boxplot data


commit to user

30

60

50

40

30

20

x2(p

rod

ukt

ifit

as

pa

di)

Boxplot of x2(produktifitas padi)

c. Boxplot data

50000

40000

30000

20000

10000

0

pro

du

ksi b

en

ih p

ad

i(x3

)

271513

12

Boxplot of produksi benih padi(x3)

d. Boxplot data

Gambar 4.5 Boxplot data dan

Berdasarkan gambar 4.5 terdapat beberapa pencilan pada masing-masing

variabel, yaitu :

a. Data ke 12, 14, dan 16 pada variabel produksi padi ( )

b. Data ke 12, 14, dan 16 pada variabel luas lahan padi ( )

c. Tidak ada data yang menyimpan jauh dari data yang lainnya, maka data ini

menyebar berarti tidak ada pencilan untuk variabel produktivitas padi ( )

d. Data ke 12, 13, 15, dan 27 pada variabel produksi benih padi ( ).


commit to user

31

4.6.3 Model Regresi Robust Pembobot Ramsay

Karena asumsi homogenitas dilanggar, akan dilakukan estimasi model regresi

linier dengan estimasi M dengan pembobot Ramsay. Proses perhitungan estimasi M

dengan pembobot Ramsay dimulai dengan menentukan estimasi awal koefisien

regresi, yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil yaitu

= (-913278; 5.53; 15619; 3.63)

Dengan menggunakan algoritma akan didapat nilai dan nilai residunya,

Kemudian diolah menggunakan software minitab 16.0 sehingga diperoleh

pada iterasi pertama dari data tersebut dapat dilihat pada tabel 4.4.


commit to user

32

Tabel 4.4. Nilai pada Pembobot Ramsay.

1556858 1765535.52 -208677.52 -0.77558 0.792411

3527899 4094364.05 -566465.05 -2.10535 0.531737

2105790 2284290.84 -178500.84 -0.66343 0.819527

531429 470317.742 61111.2583 0.227129 0.934131

430 -442092.42 442522.42 1.644701 0.610541

644947 634208.613 10738.387 0.039911 0.988098

3125236 3877581.85 -752345.85 -2.79621 0.432202

19864 -443713.93 463577.934 1.722957 0.596374

510160 421888.025 88271.9751 0.328076 0.906266

2673844 2975571.63 -301727.63 -1.12142 0.71432

11013 -30785.704 41798.7037 0.155351 0.954464

11322681 10965900.7 356780.253 1.326028 0.671791

1849007 1988688.87 -139681.87 -0.51915 0.855778

9600415 9504514.27 95900.7287 0.35643 0.89859

837930 880308.176 -42378.176 -0.1575 0.953848

11259085 10561122.9 697962.106 2.594082 0.459221

878764 838590.925 40173.0752 0.149309 0.956196

1870775 1986352.36 -115577.36 -0.42956 0.87909

607359 653212.255 -45853.255 -0.17042 0.950159

1300798 1893887.45 -593089.45 -2.20431 0.516184

578761 699305.296 -120544.3 -0.44802 0.874235

1956993 2434009.9 -477016.9 -1.77291 0.587504

555560 494506.894 61053.1059 0.226913 0.934191

549087 473195.073 75891.9275 0.282064 0.918862

256934 192050.979 64883.0213 0.241148 0.930211

953396 963878.165 -10482.165 -0.03896 0.98838

4324178 4721728.47 -397550.47 -1.47756 0.641936

310706 193168.377 117537.623 0.436846 0.87717

407367 278101.763 129265.237 0.480434 0.865775

89875 -134855.09 224730.089 0.835243 0.778355

46253 -310580.28 356833.279 1.326225 0.671751

98511 -183237.36 281748.363 1.04716 0.730411

36985 -302126.34 339111.344 1.260359 0.685157

Kemudian mengolah nilai dan pembobot Ramsay tersebut dengan software minitab

16.0 sehingga diperoleh pada iterasi kedua dari data tersebut yang

dapat dilihat pada tabel 4.5.


commit to user

33

Tabel 4.5. Nilai pada Pembobot Ramsay.

1556858 1776571.79 -219713.79 -0.8334 0.778785

3527899 4097783.58 -569884.58 -2.16164 0.522834

2105790 2290743.11 -184953.11 -0.70155 0.810208

531429 490271.678 41157.3216 0.156114 0.954245

430 -416569.4 416999.4 1.581726 0.622185

644947 646531.36 -1584.3598 -0.00601 0.998199

3125236 3886942.65 -761706.65 -2.88924 0.420306

19864 -417042.252 436906.252 1.657235 0.608249

510160 439878.882 70281.1182 0.266584 0.923139

2673844 2983028.69 -309184.69 -1.17277 0.703398

11013 -25337.7298 36350.7298 0.137882 0.959479

11322681 10938053.8 384627.249 1.458935 0.645532

1849007 1988151.99 -139144.99 -0.52779 0.853561

9600415 9494727.77 105687.228 0.400884 0.886685

837930 875976.803 -38046.803 -0.14432 0.957629

11259085 10546430.4 712654.625 2.703179 0.444434

878764 840086.707 38677.2932 0.146707 0.956942

1870775 1989287.19 -118512.19 -0.44953 0.873839

607359 675976.49 -68617.49 -0.26027 0.924888

1300798 1914799.71 -614001.71 -2.32898 0.497235

578761 725182.399 -146421.4 -0.55539 0.846523

1956993 2446703.89 -489710.89 -1.85753 0.572777

555560 512250.46 43309.5405 0.164278 0.951911

549087 483572.211 65514.7889 0.248505 0.92816

256934 198589.811 58344.1887 0.221306 0.935764

953396 975609.333 -22213.333 -0.08426 0.975039

4324178 4717556.87 -393378.87 -1.49213 0.639135

310706 204336.461 106369.539 0.403472 0.885997

407367 293933.411 113433.589 0.430266 0.878904

89875 -118982.975 208857.975 0.792222 0.788466

46253 -287895.652 334148.652 1.267464 0.683698

98511 -163553.885 262064.885 0.994042 0.742144

36985 -280802.205 317787.205 1.205403 0.696546

Iterasi berlanjut hingga memperoleh yang konvergen atau sama dengan

iterasi sebelumnya. Hasil perhitungan tiap-tiap iterasi disajikan dalam Tabel 4.6.


commit to user

34

Proses berhenti pada iterasi ke-14 karena nilai yang baru, sama dengan

sebelumnya.

Tabel 4.6. Hasil estimasi parameter pada tiap iterasi

Iterasi Ramsay

MKT -913278 5.53 15619 3.63

iterasi 1 -863984 5.53 14833 3.34

iterasi 2 -847673 5.52 14544 3.27

iterasi 3 -841911 5.52 14442 3.24

iterasi 4 -840024 5.52 14408 3.23

iterasi 5 -839390 5.52 14397 3.22

iterasi 6 -839165 5.52 14394 3.22

iterasi 7 -839079 5.52 14392 3.22

iterasi 8 -839044 5.52 14392 3.22

iterasi 9 -839029 5.52 14391 3.22

iterasi 10 -839022 5.52 14391 3.22

iterasi 11 -839019 5.52 14391 3.22

iterasi 12 -839017 5.52 14391 3.22

iterasi 13 -839016 5.52 14391 3.22

iterasi 14 -839016 5.52 14391 3.22

Proses berhenti pada iterasi ke 14 karena nilai yang baru sama dengan

sebelumnya. Jadi, model regresi linearnya adalah

(4.8)

Model regresi persamaan (4.8) menunjukkan bahwa untuk peningkatan setiap

satu hektar luas lahan padi, maka produksinya meningkat sebesar 5.52 ton, untuk

peningkatan produktivitas padi setiap satu kuintal/ha akan mengakibatkan

peningkatan produksi padi sebesar 14391 ton, dan peningkatan produksi benih padi

setiap satu ton akan mengakibatkan peningkatan produksi padi sebesar 3.32 ton.

Berdasarkan lampiran 3, terlihat pada model regresi dengan pembobot

Ramsay sebesar 98.9%. hal ini menujukkan bahwa sebesar 98.9% dari total variansi

produksi padi dapat diterangkan oleh luas lahan lahan padi, produktivitas padi, dan

produksi benih padi, sedangkan sisanya sebesar 1.1% disebabkan oleh faktor lain.


commit to user

35

Selanjutnya, dilakukan uji hipotesis untuk mengetahui apakah luas lahan padi

( ), produktivitas padi ( ), dan produksi benih padi ), mempunyai pengaruh

terhadap produksi padi di Indonesia tahun 2009.

Uji model regresi linear pada regresi robust dengan pembobot Ramsay.

1. H0 : = 0, i = 1,2,3

(luas lahan padi ( ), produktivitas padi ( ), dan produksi benih padi ),

tidak berpengaruh secara signifikan terhadap produksi padi di Indonesia tahun

2009)

H1 : ≠ 0, i = 1,2,3

(paling tidak ada salah satu luas lahan padi ( ), produktivitas padi ( ),

atau produksi benih padi ) yang berpengaruh secara signifikan terhadap

produksi padi di Indonesia tahun 2009)

2. Pilih α = 0,05

3. Daerah kritis: H0 ditolak jika p-value < α = 0,05

4. Statistik uji

Berdasarkan software MINITAB 16.0, diperoleh hasil output pada

lampiran 3 dengan p-value = 0,000

5. Kesimpulan

p-value = 0,000 < 0,05 maka H0 ditolak artinya paling tidak ada salah

satu luas lahan padi ( ), produktivitas padi ( ), atau produksi benih padi )

yang berpengaruh secara signifikan terhadap produksi padi di Indonesia tahun

2009.

Uji t masing-masing variabel independen pada regresi robust dengan pembobot

Ramsay.

Tabel 4.7 Hasil uji t pada regresi robust dengan pembobot Ramsay.

No Variabel p-value Kesimpulan

1 Luas panen padi 0.000 < 0.05 Signifikan

2 Produktivitas padi 0.024 < 0.05 Signifikan

3 Produksi benih padi 0.575 > 0.05 Tidak signifikan


commit to user

36

Dari Tabel 4.7 dapat disimpulkan bahwa luas panen padi, dan produktivitas

padi berpengaruh signifikan terhadap produksi padi, sedangkan produksi benih padi

tidak signifikan terhadap produksi padi.

4.6.4 Model Regresi Robust dengan Pembobot Welsch

Proses perhitungan estimasi M dengan pembobot Welsch dimulai dengan

menentukan estimasi awal koefisien regresi, yang diperoleh dari metode kuadrat

terkecil yaitu

= (-913278; 5.53; 15619; 3.63).

Dengan menggunakan algoritma akan didapat nilai dan nilai residunya,

Kemudian diolah menggunakan software minitab 16.0 sehingga diperoleh

pada iterasi pertama dari data tersebut dapat dilihat pada tabel 4.8.


commit to user

37

Tabel 4.8. Nilai pada Pembobot Welsch.

1556858 1765535.524 -208677.524 -0.77558 0.934702

3527899 4094364.048 -566465.048 -2.10535 0.60799

2105790 2284290.839 -178500.839 -0.66343 0.951791

531429 470317.7417 61111.2583 0.227129 0.994225

430 -442092.4199 442522.42 1.644701 0.738104

644947 634208.613 10738.387 0.039911 0.999821

3125236 3877581.846 -752345.846 -2.79621 0.415721

19864 -443713.9335 463577.934 1.722957 0.716587

510160 421888.0249 88271.9751 0.328076 0.98799

2673844 2975571.634 -301727.634 -1.12142 0.868336

11013 -30785.70374 41798.7037 0.155351 0.997294

11322681 10965900.75 356780.253 1.326028 0.820868

1849007 1988688.874 -139681.874 -0.51915 0.970197

9600415 9504514.271 95900.7287 0.35643 0.985839

837930 880308.1759 -42378.1759 -0.1575 0.997219

11259085 10561122.89 697962.106 2.594082 0.469808

878764 838590.9248 40173.0752 0.149309 0.9975

1870775 1986352.357 -115577.357 -0.42956 0.979498

607359 653212.255 -45853.255 -0.17042 0.996745

1300798 1893887.449 -593089.449 -2.20431 0.579569

578761 699305.2956 -120544.296 -0.44802 0.977719

1956993 2434009.903 -477016.903 -1.77291 0.702678

555560 494506.8941 61053.1059 0.226913 0.994236

549087 473195.0725 75891.9275 0.282064 0.991108

256934 192050.9787 64883.0213 0.241148 0.993493

953396 963878.1654 -10482.1654 -0.03896 0.99983

4324178 4721728.466 -397550.466 -1.47756 0.782638

310706 193168.3769 117537.623 0.436846 0.978805

407367 278101.7625 129265.237 0.480434 0.974421

89875 -134855.0893 224730.089 0.835243 0.924672

46253 -310580.2787 356833.279 1.326225 0.820819

98511 -183237.3634 281748.363 1.04716 0.884176

36985 -302126.3443 339111.344 1.260359 0.836669

Kemudian mengolah nilai dan pembobot Welsch tersebut dengan software

minitab 16.0 sehingga diperoleh pada iterasi kedua dari data

tersebut yang dapat dilihat pada tabel 4.9.


commit to user

38

Tabel 4.9. Nilai pada Pembobot Welsch.

1556858 1777923.099 -221065 -0.81019 0.9289601

3527899 4098419.202 -570520 -2.09093 0.6121346

2105790 2288386.817 -182597 -0.66921 0.9509679

531429 497305.3857 34123.61 0.125062 0.9982457

430 -403458.936 403888.9 1.480235 0.7819426

644947 654808.328 -9861.33 -0.03614 0.9998534

3125236 3885821.342 -760585 -2.78751 0.417993

19864 -393902.835 413766.8 1.516437 0.7724773

510160 444545.5756 65614.42 0.240474 0.9935292

2673844 2977961.931 -304118 -1.11458 0.8698279

11013 -34040.2924 45053.29 0.165118 0.996944

11322681 10944099.36 378581.6 1.387485 0.8056429

1849007 1995449.88 -146443 -0.53671 0.9681801

9600415 9475545.588 124869.4 0.457641 0.9767629

837930 879154.1963 -41224.2 -0.15108 0.9974407

11259085 10524501.58 734583.4 2.692216 0.4432291

878764 829345.6032 49418.4 0.181116 0.9963243

1870775 1990631.522 -119857 -0.43927 0.9785714

607359 686586.5904 -79227.6 -0.29037 0.9905797

1300798 1924255.646 -623458 -2.28494 0.5564878

578761 739326.047 -160565 -0.58846 0.9618712

1956993 2449699.961 -492707 -1.80575 0.6934668

555560 517962.4674 37597.53 0.137793 0.9978708

549087 481273.4493 67813.55 0.248534 0.9930898

256934 192123.095 64810.91 0.237529 0.9936863

953396 974759.9808 -21364 -0.0783 0.999312

4324178 4721045.939 -396868 -1.4545 0.7885996

310706 201714.0686 108991.9 0.399451 0.9822471

407367 296255.9763 111111 0.407217 0.9815565

89875 -116761.275 206636.3 0.757313 0.9376448

46253 -278679.773 324932.8 1.190864 0.8528229

98511 -157425.051 255936.1 0.937994 0.9059504

36985 -272461.933 309446.9 1.134109 0.86555

Iterasi berlanjut hingga memperoleh yang konvergen atau sama dengan

iterasi sebelumnya. Hasil perhitungan tiap-tiap iterasi disajikan dalam Tabel 4.10.


commit to user

39

Proses berhenti pada iterasi ke-22 karena nilai yang baru, sama dengan

sebelumnya.

Tabel 4.10. Hasil estimasi parameter pada tiap iterasi

Iterasi Welsch

MKT -913278 5.53 15619 3.63

iterasi 1 -827121 5.52 13466 3.93

iterasi 2 -799628 5.51 13466 4.14

iterasi 3 -787458 5.51 13228 4.27

iterasi 4 -782108 5.50 13125 4.34

iterasi 5 -779865 5.50 13082 4.39

iterasi 6 -779010 5.50 13067 4.42

iterasi 7 -778749 5.50 13062 4.44

iterasi 8 -778721 5.50 13062 4.45

iterasi 9 -778771 5.50 13064 4.45

iterasi 10 -778836 5.50 13065 4.46

iterasi 11 -778892 5.50 13066 4.46

iterasi 12 -778934 5.50 13067 4.46

iterasi 13 -778964 5.50 13068 4.46

iterasi 14 -778984 5.50 13068 4.46

iterasi 15 -778997 5.50 13069 4.46

iterasi 16 -779006 5.50 13069 4.46

iterasi 17 -779011 5.50 13069 4.46

iterasi 18 -779014 5.50 13069 4.46

iterasi 19 -779016 5.50 13069 4.46

iterasi 20 -779017 5.50 13069 4.46

iterasi 21 -779018 5.50 13069 4.46

iterasi 22 -779018 5.50 13069 4.46

Proses berhenti pada iterasi ke 22 karena nilai yang baru sama dengan

sebelumnya. Jadi, model regresi linearnya adalah

(4.9)

Model regresi persamaan (4.9) menunjukkan bahwa untuk peningkatan setiap

satu hektar luas lahan lahan padi, maka produksinya meningkat sebesar 5.50 ton,


commit to user

40

untuk peningkatan produktivitas setiap satu kuintal/ha akan mengakibatkan

peningkatan produksi padi sebesar 13069 ton, dan peningkatan produksi benih padi

setiap satu ton akan mengakibatkan peningkatan produksi padi sebesar 4.46 ton.

Berdasarkan lampiran 4, terlihat pada model regresi dengan pembobot

Welsch sebesar 98.9%. hal ini menujukkan bahwa sebesar 98.9% dari total variansi

produksi padi dapat dijelaskan oleh luas lahan, produktivitas padi, dan produksi benih

padi dan sisanya sebesar 1.1% dijelaskan oleh faktor lain.

Selanjutnya, dilakukan uji hipotesis untuk mengetahui apakah luas lahan padi

( ), produktivitas padi ( ), dan produksi benih padi ), mempunyai pengaruh

terhadap produksi padi di Indonesia tahun 2009.

Uji model regresi linear pada regresi robust dengan pembobot Welsch.

1. H0 : = 0, i = 1,2,3

(luas lahan padi ( ), produktivitas padi ( ), dan produksi benih padi ),

tidak berpengaruh secara signifikan terhadap produksi padi di Indonesia tahun

2009)

H1 : ≠ 0, i = 1,2,3

(paling tidak ada salah satu luas lahan padi ( ), produktivitas padi ( ),

atau produksi benih padi ) yang berpengaruh secara signifikan terhadap

produksi padi di Indonesia tahun 2009)

2. Pilih α = 0,05

3. Daerah kritis: H0 ditolak jika p-value < α = 0,05

4. Statistik uji

Berdasarkan software MINITAB 16.0, diperoleh hasil output pada

lampiran 4 dengan p-value = 0,000.

5. Kesimpulan

p-value = 0.000 < 0.05 maka H0 ditolak artinya paling tidak ada salah

satu luas lahan padi ( ), produktivitas padi ( ), atau produksi benih padi )

yang berpengaruh secara signifikan terhadap produksi padi di Indonesia tahun

2009.


commit to user

41

Uji t masing-masing variabel independen pada regresi robust dengan pembobot

Welsch.

Tabel 4.11 Hasil uji t pada regresi robust dengan pembobot Welsch.

No Variabel p-value Kesimpulan

1 Luas panen padi 0.000 < 0.05 Signifikan

2 Produktivitas padi 0.041 < 0.05 Signifikan

3 Produksi benih padi 0.439 > 0.05 Tidak signifikan

Dari Tabel 4.11 dapat disimpulkan bahwa luas panen padi, dan produktivitas

padi berpengaruh signifikan terhadap produksi padi, sedangkan produksi benih padi

tidak signifikan terhadap produksi padi.

4.6.5 Model terbaik

Kriteria yang dapat digunakan untuk menentukan model regresi terbaik, yaitu

R2

adjusted (karena terdapat lebih dari satu variabel bebas) dan deviasi standar (s).

Model terbaik akan mempunyai R2

adjusted terbesar atau nilai s terkecil. Dari Tabel

4.12 terlihat bahwa model regresi linier robust dengan fungsi Ramsay memberikan

nilai s yang paling kecil.

Tabel 4.12. Perbandingan R2

adjusted dan s

Model regresi R2

adjusted

s

Regresi Robust dengan pembobot Welsch 98.9 261167

Regresi Robust dengan pembobot Ramsay 98.9 250365

Dari tabel 4.12 dapat disimpulkan bahwa model terbaiknya adalah model

regresi robust dengan pembobot Ramsay yang mempunyai nilai s terkecil daripada

model regresi robust dengan pembobot Welsch.


commit to user

42

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil dari pembahasan, dapat disimpulkan bahwa

1. Hasil estimasi parameter pada produksi padi di Indonesia tahun 2009 untuk

model regresi robust dengan pembobot Welsch adalah

, sedangkan model regresi robust dengan

pembobot Ramsay adalah

.

2. Model produksi padi di Indonesia tahun 2009 yang terbaik adalah model

regresi robust dengan pembobot Ramsay, karena memiliki nilai standar deviasi

(s) yang lebih kecil daripada model regresi robust dengan pembobot Welsch.

Selain itu, model regresi robust dengan pembobot Ramsay lebih sedikit

iterasinya daripada model regresi robust dengan pembobot Welsch.

3. Berdasarkan uji signifikansi parameter regresi, dapat disimpulkan bahwa luas

lahan padi dan produktivitas padi mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap produksi padi, sedangkan produksi benih padi tidak signifikan

terhadap produksi padi.

5.2 Saran

Hasil estimasi dengan menggunakan pembobot Welsch dan pembobot

Ramsay pada kasus ini terlalu banyak iterasi maka disaran untuk pembaca dapat

mencoba menggunakan pembobot yang lain dalam mencari model regresi yang

tepat.

Documents

MODEL REGRESI ROBUST DENGAN PEMBOBOT WELSCH DAN …/Model... · Untuk model regresi linear sederhana adalah dengan adalah nilai variabel dependen pada pengamatan ke-i, adalah