Modelação Lagrangeana

Localização das variáveis no volume de controlo: Fluxos calculados sobre as

faces

* 2/*

2/ xxxx cQucdA * 2/*

2/ xxxx cQucdA

tx

tx

ttx

ttx VolcVolc

*

2/

***

2/xx

xxxxx dA

xcc

*

2/

***

2/xx

xxxxx dA

xcc

Equação

io

xx

xxxxx

xx

xxxxxxxxx

tx

tx

ttx

ttx

xx

xx

xxxxx

xx

xxxxxxxxx

tx

tx

ttx

ttx

SSxcA

xxcuA

tAc

zeroparaoConvergind

dAxcc

dAxcc

ucdAucdAx

AcAc

doSubstituinxuAVol

dAxcc

dAxcc

ucdAucdAVolcVolc

)(:__

1

:*

2/

***

2/

*

2/

***

2/*

2/*

2/

*

2/

***

2/

*

2/

***

2/*

2/*

2/

Subtraindo a equação da continuidade:0)(

xuA

tA

E desenvolvendo as derivadas dos primeiro membro: io SSAx

cAxAx

cutc

11

Formalismo lagrangeano

io SSAx

cAxAdt

dc

11

A velocidade u é a velocidade relativa ao volume de controlo. Se fosse nula teríamos sempre o mesmo fluido dentro do volume de controlo e a equação diria respeito a

um sistema material:

As propriedade deste sistema podem variar por difusão ou devido às fontes e aos poços.

Não temos que calcular a advecção, mas temos que saber onde está o volume em cada momento e temos de calcular

a difusão.Neste formalismo o fluido que queremos estudar é

designado por traçadores emitidos nos pontos de descarga.

Posição dos traçadores

totwzzwdtdz

totvyyvdtdy

totuxxudtdx

ttt

ttt

ttt

Termo de difusão

• Difícil de calcular em lagrangeano porque não conhecemos as propriedades do fluido adjacente de forma a calcular os gradientes.

• Temos que usar a definição de difusividade:

• A velocidade aleatória é estimada a partir da velocidade instantânea ou imposta (e.g. 10% da velocidade). O comprimento de mistura é o passo espacial porque todos os turbilhões menores que o passo espacial são filtrados.

Lu

Parametrização do efeito dos turbilhões

• Turbilhões maiores do que o traçador dão-lhe uma trajectória errática.

• Turbilhões mais pequenos que o traçador fazem aumentar o seu volume:

t1

t2 t3

Equações para a concentração

volmC

volkdtdvol

dtdvolCSS

dtdm

ambio

*

*

Ou, usando a malha do euleriano:

cel

i

Volm

c

Considerações finais

• Evita a advecção mas complica a difusão.• É interessante para simular fontes pontuais,

que originam zonas com gradientes elevados.

• Quando a concentração de um traçador atinge um valor mínimo, é eliminado: “morre”.

• É preciso harmonizar os slides anterioes e os seguintes.

Lagrangeano vs Euleriano

)( kkjj

k PFxc

xdtdc

)( kkjjj

kj

k PFxc

xxcu

tc

)( kkk PF

dtdc

Se não houvesse difusão

Malhas vs traçadores

• Os modelos eulerianos usam malhas e calculam taxas de acumulação em cada célula como a divergência dos fluxos advectivo e difusivo, das fontes e dos poços.

• Nos modelos lagrangeanos seguem-se volumes de fluido, sendo as taxas de acumulação resultantes das trocas de massa com o fluido envolvente e das fontes e poços.

Modelos lagrangeanos• Os modelos lagrangeanos precisam de saber onde está

o volume de controlo, mas não precisam de calcular fluxos difusivos.

• As fontes e os poços são calculadas exactamente como nos modelos eulerianos (conhecendo as concentrações no interior dos volumes).

• Os fluxos difusivos são facilmente calculados num modelo euleriano se conhecermos a difusividade porque o gradiente é fácil de calcular.

• Os fluxos difusivos são difíceis de calcular num modelo lagrangeano porque os gradientes são difíceis de calcular.

Difusão Turbulenta

Vórtices maiores que os traçadores

Deslocamento aleatório . A velocidade aleatória é

proporcional à velocidade média. A trajectória é a dimensão dos

vórtices.

Vórtices menores que os traçadores

Aumento do volume. A taxa de aumento do volume é

proporcional ao próprio volume

V L L 322 LLudtdV

Descrição do Modelo Deslocamento dos

Traçadores As coordenadas espaciais são calculadas a

partir da definição de velocidade:

Para calcular a velocidade em qualquer ponto do domínio, é utilizada uma interpolação linear

x1 x2

Ux Ux+dx

txudtdx

iii ,

21

12

xxxUxUU xxx

médio

Modelo de Dispersão Lagrangeano Tridimensional

• Objectivos• Enquadramento• Descrição do Modelo• Validação do Modelo• Aplicações a Casos

Reais• Conclusões• Trabalho Futuro

Difusão 3D +

Velocidade nula

•400.000 traçadores emitidos

•16h30m depois da emissão

Difusão vertical +

perfil de velocidades linear oscilatório

160.000 segundos depois da emissão

Validação Qualitativapor comparação com os resultados obtidos por Allen,

1982

Modelo

Allen, 1982

Descrição do Modelo Propriedades dum Traçador

• coordenadas espaciais (x,y,z);• velocidade aleatória horizontal/vertical;• Comprimento do deslocamento aleatório;• velocidade de sedimentação (ou de ascenção);• Massa de cada componente;• volume.

Aplicações a Casos Reais

• Atlântico Nordeste• Tejo• Carlingford Lough (Irlanda)• Santos (Brasil)

TEJOTEJOcentro de massa dos traçadorescentro de massa dos traçadores

Animação

TEJOTEJOconcentração de coliformesconcentração de coliformes

Animação

Caudal total 1m3/s Concentração inicial 107 coliformes fecais/ 100 ml

Atlântico NordesteUpwelling ao longo do talude

Animação

Atlântico NordesteUpwelling ao longo do talude

Atlântico NordesteProdutividade Primária

Animação

The warning system

How to use model results for assessing fecal pollution in a

Bathing Water?

Monitoring boxes

Results for Santo Amaro de Oeiras

Relative contribution of each stream

Modelação lagrangeana

• Vantagens:– Permite visualizar o escoamento– Não está sujeita a difusão numérica. É adequada

para manchas pequenas comparadas com a malha.

• Inconvenientes:– Cálculo da difusão. Permite o cálculo da

sobreposição de traçadores. Minimiza-se calculando a concentração na malha euleriana.