Modelação Lagrangeana
Localização das variáveis no volume de controlo: Fluxos calculados sobre as
faces
* 2/*
2/ xxxx cQucdA * 2/*
2/ xxxx cQucdA
tx
tx
ttx
ttx VolcVolc
*
2/
***
2/xx
xxxxx dA
xcc
*
2/
***
2/xx
xxxxx dA
xcc
Equação
io
xx
xxxxx
xx
xxxxxxxxx
tx
tx
ttx
ttx
xx
xx
xxxxx
xx
xxxxxxxxx
tx
tx
ttx
ttx
SSxcA
xxcuA
tAc
zeroparaoConvergind
dAxcc
dAxcc
ucdAucdAx
AcAc
doSubstituinxuAVol
dAxcc
dAxcc
ucdAucdAVolcVolc
)(:__
1
:*
2/
***
2/
*
2/
***
2/*
2/*
2/
*
2/
***
2/
*
2/
***
2/*
2/*
2/
Subtraindo a equação da continuidade:0)(
xuA
tA
E desenvolvendo as derivadas dos primeiro membro: io SSAx
cAxAx
cutc
11
Formalismo lagrangeano
io SSAx
cAxAdt
dc
11
A velocidade u é a velocidade relativa ao volume de controlo. Se fosse nula teríamos sempre o mesmo fluido dentro do volume de controlo e a equação diria respeito a
um sistema material:
As propriedade deste sistema podem variar por difusão ou devido às fontes e aos poços.
Não temos que calcular a advecção, mas temos que saber onde está o volume em cada momento e temos de calcular
a difusão.Neste formalismo o fluido que queremos estudar é
designado por traçadores emitidos nos pontos de descarga.
Posição dos traçadores
totwzzwdtdz
totvyyvdtdy
totuxxudtdx
ttt
ttt
ttt
Termo de difusão
• Difícil de calcular em lagrangeano porque não conhecemos as propriedades do fluido adjacente de forma a calcular os gradientes.
• Temos que usar a definição de difusividade:
• A velocidade aleatória é estimada a partir da velocidade instantânea ou imposta (e.g. 10% da velocidade). O comprimento de mistura é o passo espacial porque todos os turbilhões menores que o passo espacial são filtrados.
Lu
Parametrização do efeito dos turbilhões
• Turbilhões maiores do que o traçador dão-lhe uma trajectória errática.
• Turbilhões mais pequenos que o traçador fazem aumentar o seu volume:
t1
t2 t3
Equações para a concentração
volmC
volkdtdvol
dtdvolCSS
dtdm
ambio
*
*
Ou, usando a malha do euleriano:
cel
i
Volm
c
Considerações finais
• Evita a advecção mas complica a difusão.• É interessante para simular fontes pontuais,
que originam zonas com gradientes elevados.
• Quando a concentração de um traçador atinge um valor mínimo, é eliminado: “morre”.
• É preciso harmonizar os slides anterioes e os seguintes.
Lagrangeano vs Euleriano
)( kkjj
k PFxc
xdtdc
)( kkjjj
kj
k PFxc
xxcu
tc
)( kkk PF
dtdc
Se não houvesse difusão
Malhas vs traçadores
• Os modelos eulerianos usam malhas e calculam taxas de acumulação em cada célula como a divergência dos fluxos advectivo e difusivo, das fontes e dos poços.
• Nos modelos lagrangeanos seguem-se volumes de fluido, sendo as taxas de acumulação resultantes das trocas de massa com o fluido envolvente e das fontes e poços.
Modelos lagrangeanos• Os modelos lagrangeanos precisam de saber onde está
o volume de controlo, mas não precisam de calcular fluxos difusivos.
• As fontes e os poços são calculadas exactamente como nos modelos eulerianos (conhecendo as concentrações no interior dos volumes).
• Os fluxos difusivos são facilmente calculados num modelo euleriano se conhecermos a difusividade porque o gradiente é fácil de calcular.
• Os fluxos difusivos são difíceis de calcular num modelo lagrangeano porque os gradientes são difíceis de calcular.
Difusão Turbulenta
Vórtices maiores que os traçadores
Deslocamento aleatório . A velocidade aleatória é
proporcional à velocidade média. A trajectória é a dimensão dos
vórtices.
Vórtices menores que os traçadores
Aumento do volume. A taxa de aumento do volume é
proporcional ao próprio volume
V L L 322 LLudtdV
Descrição do Modelo Deslocamento dos
Traçadores As coordenadas espaciais são calculadas a
partir da definição de velocidade:
Para calcular a velocidade em qualquer ponto do domínio, é utilizada uma interpolação linear
x1 x2
Ux Ux+dx
txudtdx
iii ,
21
12
xxxUxUU xxx
médio
Modelo de Dispersão Lagrangeano Tridimensional
• Objectivos• Enquadramento• Descrição do Modelo• Validação do Modelo• Aplicações a Casos
Reais• Conclusões• Trabalho Futuro
Difusão 3D +
Velocidade nula
•400.000 traçadores emitidos
•16h30m depois da emissão
Difusão vertical +
perfil de velocidades linear oscilatório
160.000 segundos depois da emissão
Validação Qualitativapor comparação com os resultados obtidos por Allen,
1982
Modelo
Allen, 1982
Descrição do Modelo Propriedades dum Traçador
• coordenadas espaciais (x,y,z);• velocidade aleatória horizontal/vertical;• Comprimento do deslocamento aleatório;• velocidade de sedimentação (ou de ascenção);• Massa de cada componente;• volume.
Aplicações a Casos Reais
• Atlântico Nordeste• Tejo• Carlingford Lough (Irlanda)• Santos (Brasil)
TEJOTEJOcentro de massa dos traçadorescentro de massa dos traçadores
Animação
TEJOTEJOconcentração de coliformesconcentração de coliformes
Animação
Caudal total 1m3/s Concentração inicial 107 coliformes fecais/ 100 ml
Atlântico NordesteUpwelling ao longo do talude
Animação
Atlântico NordesteUpwelling ao longo do talude
Atlântico NordesteProdutividade Primária
Animação
The warning system
How to use model results for assessing fecal pollution in a
Bathing Water?
Monitoring boxes
Results for Santo Amaro de Oeiras
Relative contribution of each stream
Modelação lagrangeana
• Vantagens:– Permite visualizar o escoamento– Não está sujeita a difusão numérica. É adequada
para manchas pequenas comparadas com a malha.
• Inconvenientes:– Cálculo da difusão. Permite o cálculo da
sobreposição de traçadores. Minimiza-se calculando a concentração na malha euleriana.