Modelagem Mat

7/23/2019 Modelagem Mat.

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BARBOSA, J. C. Modelagem na Educao Matemtica: contribuies para o debate terico. In: REUNIO ANUALDA ANPED, 24., 2001, Caxambu.Anais... Rio Janeiro: ANPED, 2001. 1 CD-ROM.

MODELAGEM NA EDUCAO MATEMTICA: CONTRIBUIES PARA O

DEBATE TERICO

Jonei Cerqueira Barbosa (UNESP)

http://sites.uol.com.br/joneicb

E-mail: [email protected]

1. Introduo

Diversos autores tm argumentado pela plausibilidade de usar Modelagem

Matemtica no ensino de matemtica como alternativa ao chamado mtodo

tradicional1 (Bassenezi, 1990, 1994; Biembengut, 1990, 1999; Blum & Niss, 1991;Borba, Meneghetti & Hermini, 1997, 1999). O movimento de Modelagem Matemtica

internacional e nacional tomou contorno nos ltimos trinta anos, contando com a

contribuio decisiva de matemticos aplicados que migraram para a rea da Educao

Matemtica (Blum & Niss, 1991; Fiorentini, 1996). A partir daqui, deixaremos de usar

o adjetivo Matemtica para o termo Modelagem ficando implcito como um

recurso para evitar repeties.

No Brasil, Modelagem est ligada noo de trabalho de projeto. Trata-se emdividir os alunos em grupos, os quais devem eleger temas de interesse para serem

investigados por meio da matemtica, contando com o acompanhamento do professor

(Bassenezi, 1990, 1994; Biembengut, 1990, 1999; Borba, Meneghetti & Hermini, 1997,

1999). Porm, outras formas de organizao das atividades so apontadas na literatura.

Franchi (1993), por exemplo, utilizou uma situao-problema dirigida para

sistematizar conceitos de Clculo Diferencial e Integral. Jacobini (1999) problematizou

um artigo de jornal com os alunos para abordar contedos programticos de Estatstica.As experincias no Brasil possuem um forte vis antropolgico, poltico e scio-

cultural, j que tm procurado partir do contexto scio-cultural dos alunos e de seus

interesses (Fiorentini, 1996). Esta pode ser considerada uma marca dos trabalhos

1 Silva (1993) caracteriza o ensino tradicional de matemtica em termos:- epistemolgicos: o conhecimento descoberto por aqueles que produzem matemtica;- psicolgicos: o aluno aprende vendo e o professor ensina mostrando;

- didticos: mais fcil aprender a partir da prpria estrutura da matemtica;- pedaggicos: aprova-se quem aprende o que o professor mostrou;- polticos: seleciona os que se adaptam a este sistema.


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brasileiros de Modelagem, ao contrrio do movimento internacional que no apresenta

esta preocupao de forma muito aparente (Kaiser-Messmer, 1991).

As prticas escolares de Modelagem tm tido fortes influncias tericas de

parmetros emprestados da Matemtica Aplicada. A compreenso de Modelagem

apresentada em termos do processo de construo do modelo matemtico, traduzido em

esquemas explicativos. Um modelo matemtico, segundo Bassanezi (1994, p. 31),

quase sempre um sistema de equaes ou inequaes algbricas, diferenciais, integrais,

etc., obtido atravs de relaes estabelecidas entre as variveis consideradas

essenciais ao fenmeno sobre anlise.

H indcios, porm, das limitaes desta transferncia conceitual para

fundamentar a Modelagem na E(e)ducaao M(m)atemtica. A principal dificuldade diz

respeito aos quadros de referncias postos pelo contexto escolar; aqui, os propsitos, a

dinmica do trabalho e a natureza das discusses matemticas diferem dos modeladores

profissionais. Matos e Carreira (1996) concluem que estas diferenas contextuais levam

a distines entre o que os alunos fazem em suas atividades de Modelagem e o que

esperado dos matemticos aplicados.

Esta situao tem levado a algumas incoerncias entre a perspectiva terica e a

prtica de Modelagem na sala de aula. Ilustramos com um caso relatado por

Biembengut (1990), em que os alunos investigaram quanto custa construir uma casa.

Para isto, eles listaram os materiais necessrios, coletaram os preos, efetuaram clculos

e organizaram os resultados, sem construrem um modelo matemtico propriamente

dito.

Outra ilustrao pode ser trazida do relato de pesquisa de Arajo (2000), que

aponta um grupo de alunas que criou uma situao-problema imaginria a

temperatura no decorrer do ano de uma cidade fictcia - para abord-la

matematicamente. Os modeladores profissionais, ao contrrio, investigam situaesconcretas trazidas por outras reas do conhecimento que no a matemtica.

A par disto, argumentamos por uma perspectiva terica que se ancore na prtica

de Modelagem corrente na Educao Matemtica e faa dela seu objeto de crtica a fim

de nutrir a prpria prtica. O termo crtica, que vem do grego kritik, entendido

como a arte de julgar e analisar (Japiassu & Marcondes, 1990). No h a pretenso de

esgotar o assunto neste artigo, nem de colocar suas posies na alteridade dos discursos.

Nossa inteno apontar a necessidade de Modelagem - na perspectiva da Educao


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Matemtica - se envolver no ciclo permanente da teoria-prtica, oferecendo nossa

contribuio inicial.

O presente trabalho, portanto, se constitui numa modalidade de ensaio terico: um

estudo bem desenvolvido, formal, discursivo e concludente, consistindo numa exposio

lgica e reflexiva e numa argumentao rigorosa com alto nvel de interpretao e

julgamento pessoal(Severino, 1996, p. 120). Mas no se trata, frisamos, de um trabalho

terico puro, j que estamos subsidiados nas prticas relatadas na literatura e em nossas

prprias experincias de Modelagem em sala de aula. Apresentamos neste trabalho, de

maneira sistematizada, o esboo de uma perspectiva terica que pretende fundamentar a

prtica de Modelagem, suas limitaes e possibilidades.

Esta alterao de foco pode gerar uma argumentao pela mudana da

terminologia. Entretanto, tentativas de outros nomes comoModelao no vingaram

na Educao Matemtica brasileira (Biembengut, 1990). O termo Modelagem continua

sendo reconhecido pela comunidade, o que garante sua legitimidade.

2. As tendncias em Modelagem e a corrente scio-crtica

Modelagem pode ser definida em termos dos propsitos e interesses subjacentes

sua implementao, conduzindo a implicaes conceituais e curriculares. Kaiser-

Messmer (1991) aponta duas vises gerais que predominam nas discusses

internacionais sobre Modelagem: a pragmtica e a cientfica.

A corrente pragmtica argumenta que o currculo deve ser organizado em torno

das aplicaes, removendo os contedos matemticos que no so aplicveis em reas

no-matemticas. Os tpicos matemticos ensinados na escola devem ser aqueles que

so teis para sociedade (ibid., p. 84). A nfase colocada no processo de resoluo de

problemas aplicados, focalizando o processo de construo de modelos matemticos.A corrente cientfica, por sua vez, busca estabelecer relaes com outras reas a

partir da prpria matemtica. Ela considera a cincia matemtica e sua estrutura como

um guia indispensvel para ensinar matemtica, a qual no pode ser abandonada

(ibid., p. 85). Modelagem, para os cientficos, vista como uma forma de introduzir

novos conceitos.

Em suma, a corrente pragmtica volta-se para aspectos externos da matemtica

enquanto que a cientfica, para os internos. O foco permanece, portanto, na matemticae sua capacidade de resolver problemas de outras reas.


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Skovsmose (1990) distingue trs tipos diferentes de conhecimento que podem ser

relacionados Modelagem Matemtica:

- o conhecimento matemtico em si;

- o conhecimento tecnolgico, que se refere a como construir e usar um modelo

matemtico;

- o conhecimento reflexivo, que se refere natureza dos modelos e os critrios

usados em sua construo, aplicao e avaliao.

A par disto, as correntes pragmtica e cientfica estacionam no conhecimento

matemtico e tecnolgico, mostrando reduzido interesse pelo conhecimento reflexivo.

Porm, h uma parcela significativa da literatura que avana at o domnio do

conhecimento reflexivo, como no caso de muitos estudos brasileiros e internacionais

(Fiorentini, 1996; Julie, 1998; Keitel, 1993; Skovsmose, 1994).

Esta limitao na classificao realizada por Kaiser-Messmer (ibid.) leva-nos a

sugerir uma terceira corrente, a qual chamaremos de scio-crtico. As atividades de

Modelagem so consideradas como oportunidades para explorar os papis que a

matemtica desenvolve na sociedade contempornea. Nem matemtica nem

Modelagem so fins, mas sim meios para questionar a realidade vivida. Isso no

significa que os alunos possam desenvolver complexas anlises sobre a matemtica no

mundo social, mas que Modelagem possui o potencial de gerar algum nvel de crtica.

pertinente sublinhar que necessariamente os alunos no transitam para a dimenso do

conhecimento reflexivo, de modo que o professor possui grande responsabilidade para

tal.

Ilustremos com um exemplo imaginrio. Suponhamos que os alunos estejam com

o seguinte problema: planejar os gastos com publicidade de uma empresa. Tomaram os

preos de vrios publicitrios para produzir propagandas. Tambm obtiveram os preos

que os canais de televiso e rdios cobram para veicul-las. Atravs de programaolinear, acharam uma soluo para o problema posto. At aqui, os alunos estiveram

envolvidos com o conhecimento de matemtica em si e o conhecimento de Modelagem.

Mas poderiam tambm analisar e examinar o que esto fazendo ou o que fizeram: Este

resultado vlido?, Por que?, Como podemos garantir?, Ao traduzirmos a

situao em termos matemticos, o que perdemos?, O que ganhamos?, O que

garante os procedimentos matemticos adotados?, H pressupostos implcitos?, As

manipulaes matemticas podem nos dizer algo sobre a situao?. Mais ainda: seguro tomar a deciso baseada nesta abordagem matemtica do problema?, Por que


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importante a propaganda para a empresa?, Qual o impacto sobre as vendas?, Que

papel a mdia desempenha nos hbitos das pessoas?, Qual a relao com o

consumismo?, Somos autnomos perante a mdia?. Muitas outras questes poderiam

ser formuladas. Todas elas se situam na dimenso do conhecimento reflexivo. O que

chamamos de corrente scio-crtica de Modelagem sublinha que as atividades devem

potencializar a reflexo sobre a matemtica, a prpria Modelagem e seu significado

social.

Nesta viso, no apropriada a separao entre aquilo que til ou no, como se

faz nas correntes pragmtica ou cientfica. O que no tem aplicaes na atualidade,

pode ter posteriormente. Igualmente, aplicaes podem gerar novas idias, novos

procedimentos. Tanto matemtica aplicada como pura fazem parte do que

convencionamos chamar de matemtica, de modo os alunos podem transitar livremente

entre ambas. Borba, Meneghetti e Hermini (1997) citam um caso onde as alunas

utilizaram a situao do problema para justificar procedimentos matemticos. J Arajo

(2000) fala-nos de um episdio em que as alunas se descolaram do problema aplicado e

focaram na discusso acerca do conceito de continuidade. Portanto, no advogamos um

currculo baseado nem somente nas aplicaes nem somente na estrutura da

matemtica. Julgamos que a educao matemtica deve envolver todas as instncias

implicadas no conhecimento matemtico. Modelagem uma delas. necessria, mas

no suficiente.

3. Modelagem como ambiente de aprendizagem

Modelagem pode ser entendida em termos mais especficos. Do nosso ponto de

vista, trata-se de uma oportunidade para os alunos indagarem situaes por meio da

matemtica sem procedimentos fixados previamente e com possibilidades diversas deencaminhamento. Os conceitos e idias matemticas exploradas dependem do

encaminhamento que s se sabe medida que os alunos desenvolvem a atividade.

Porm, alguns casos podem ser mais propcios a alguns conceitos matemticos por

exemplo, situaes que envolvem variao podem levar a idias do Clculo ou Pr-

clculo -, mas nada garante que os alunos se inclinem por eles.

Esta natureza aberta que sustentamos para as atividades de Modelagem nos

impossibilita de garantir a presena de um modelo matemtico propriamente dito naabordagem dos alunos. Somente a anlise dos caminhos seguidos na resoluo pode nos


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falar sobre sua ocorrncia; eles podem desenvolver encaminhamentos que no passem

pela construo de um modelo matemtico.

Skovsmose (2000) apresenta a noo de ambiente de aprendizagem para se referir

s condies nas quais os alunos so estimulados a desenvolverem determinadas

atividades. O termo ambiente diz respeito a um lugar ou espao que cerca, envolve. O

ensino tradicional um ambiente de aprendizagem, pois estimula os alunos a

desenvolverem certas atividades; a histria da matemtica como recurso didtico,

tambm; e assim por diante. Modelagem, como entendemos, estimula os alunos a

investigarem situaes de outras reas que no a matemtica por meio da matemtica.

Podemos, agora, falar no ambiente de aprendizagem de Modelagem. Apesar da

possibilidade de definir uma outra terminologia para qualificar a Modelagem como a

palavra mtodo vindo da Matemtica Aplicada - nos termos que se queira, preferimos

procurar uma que traduza nosso entendimento sobre esta temtica.

Debrucemo-nos sobre o entendimento de Modelagem esboado neste texto.

Formulado de maneira sinttica, assumimos que Modelagem um ambiente de

aprendizagem no qual os alunos so convidados a indagar e/ou investigar, por meio da

matemtica, situaes oriundas de outras reas da realidade.

O ambiente colocado aqui em termos de convite aos alunos, tomando por

referncia a argumentao de Skovsmose (ibid.). Segundo este autor, os alunos podem

no se envolver nas tarefas sugeridas. O ambiente de aprendizagem que o professor

organiza pode apenas colocar o convite. O envolvimento dos alunos ocorre na medida

em que seus interesses se encontram com esse.

Neste caso, o convite faz referncia indagao e investigao. Para Paulo Freire,

a indagao o prprio caminho da educao:

O que o professor deveria ensinar porque ele prprio deveria sab-lo seria,antes de tudo, ensinar a perguntar. Porque o incio do conhecimento, repito,

perguntar. E somente a partir de perguntar que se deve sair em busca de

respostas e no o contrrio (Freire & Faundez, 1998, p. 46).

A indagao no se limita explicitao do problema, mas uma atitude que

permeia o processo de resoluo. Se tomarmos Modelagem de um ponto de vista scio-

crtico, a indagao ultrapassa a formulao ou compreenso de um problema,integrando os conhecimento de matemtica, de modelagem e reflexivo. Mendona


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(1993) apresentou o conceito de problematizao para se referir formulao de um

problema, o qual pode ser parte do processo de indagar.

A investigao o caminho pelo qual a indagao se faz. a busca, seleo,

organizao e manipulao de informaes. uma atividade que no conhece

procedimentos a priori, podendo comportar a intuio e as estratgias informais. Pode-

se dizer que Modelagem uma investigao matemtica, pois ela se d por meio de

conceitos, idias e algoritmos desta disciplina. Porm, deve-se distinguir das

investigaes matemticas que tratam de situaes formuladas em termos da

matemtica pura, sem referncia a outras reas do conhecimento (Abrantes, Ponte,

Fonseca et al., 1999).

Indagao e investigao so tidas como indissociveis, pois uma s ocorre na

mesma medida da outra. Se o aluno no avana no conhecimento das informaes sobre

a situao em estudo, no pode indag-la; e vice-versa.

A situao em estudo diz respeito a um domnio fora da disciplina matemtica, ou

seja, outras disciplinas ou o dia-dia, chamado por alguns autores por mundo real ou vida

real (Blum & Niss, 1991; Skovsmose, 2000). Esta terminologia carrega uma limitao

semntica, pois ope matemtica e mundo real, o que no aceitamos. Matemtica to

real quanto qualquer outro domnio da realidade, j que, sendo idias, interfere nas

aes e prticas sociais (DAmbrsio, 1996; Skovsmose, 1994). Por isto, colocamos o

termo entre aspas e preferimos falar em situaes oriundas de outras reas da

realidade.

O entendimento de Modelagem que estamos apresentando privilegia situaes

com circunstncias que as sustente. O crescimento de uma planta, o fluxo escolar na

escola, a construo de uma quadra de esportes, o custo com propaganda de uma

empresa, a criao comercial de perus, o sistema de distribuio de gua num prdio,

etc. so alguns exemplos possveis.Temos pouco interesse em situaes fictcias elaboradas artificialmente -

chamadas por Skovsmose (2000) de semi-realidade - para atender aos propsitos do

ensino de matemtica. Isto no quer dizer que elas no possam envolver os alunos em

ricas discusses; podem sim e devem integrar o currculo. Apenas, tal como as

investigaes de matemtica pura, no se enquadram confortavelmente na perspectiva

de Modelagem que sustentamos aqui.

4. Modelagem e Currculo


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A discusso sobre a integrao de Modelagem no currculo envolve a questo do

como, a qual no se pode descolar das condies para isso. Entendemos currculo

como o conjunto de todas experincias de conhecimento proporcionadas aos/s

estudantes (Silva, 1995, p. 184).

O ambiente de aprendizagem de Modelagem, baseado na indagao e

investigao, se diferencia da forma que o ensino tradicional visivelmente

hegemnico nas escolas - busca estabelecer relaes com outras reas e o dia-dia. Este

ltimo procura trazer situaes idealizadas que podem ser diretamente abordadas por

idias e algoritmos sugeridos pela exposio anterior do professor. Os alunos, portanto,

j sabem como proceder e o que utilizar na abordagem das situaes.

Existe uma relativa distncia entre a maneira que o ensino tradicional enfoca

problemas de outras reas e a Modelagem. So atividades de natureza diferente, o que

nos leva a pensar que a transio em relao Modelagem no algo to simples.

Envolve o abandono de posturas e conhecimentos oferecidos pela socializao docente

e discente e a adoo de outros. Do ponto de vista curricular, no de se esperar que

esta mudana ocorra instantaneamente a partir da percepo da plausibilidade da

Modelagem no ensino, sob pena de ser abortada no processo.

A par disto, concebemos a integrao curricular de Modelagem de formas

diversas, de tal modo que pavimente o caminho do professor e dos alunos em direo a

este ambiente. Assumimos uma compreenso terica geral nos itens anteriores que

podem se materializar atravs de configuraes curriculares diferentes, conforme as

condies de cada sala de aula, de cada escola e da experincia e confiana de cada

professor.

Com isto, recusamos a idia de associar Modelagem exclusivamente modalidade

de projetos. Outros tipos de atividades de Modelagem que demandam menos tempo eso mais simplificadas tambm podem ser consideradas. Cada configurao curricular

de Modelagem vista em termos de casos, referindo-se s diferentes possibilidades de

organizao curricular da Modelagem.

Analisando os estudos sobre Modelagem, nacional e internacional, podemos

classificar os casos de Modelagem de trs formas diferentes:

1) Caso 1. O professor apresenta a descrio de uma situao-problema, com as

informaes necessrias sua resoluo e o problema formulado, cabendo aos alunos oprocesso de resoluo. Uma experincia de Franchi (1993) pode ilustrar este caso (ver


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seco1). Ela colocou uma situao-problema aos alunos, que realizaram a

investigao. No foi preciso que eles procurassem dados fora da sala de aula; todo o

trabalho se deu a partir da situao e do problema oferecido pelo professor.

2) Caso 2. O professor traz para a sala um problema de outra rea da realidade,

cabendo aos alunos a coleta das informaes necessrias sua resoluo. Ilustremos

com uma experincia de Biembengut (1999). Ela apresentou aos alunos o problema O

que preciso para construir uma casa?. Eles tiveram que buscar dados fora da sala de

aula e fazer algumas simplificaes que ajudassem a resolver o problema.

3) Caso 3. A partir de temas no-matemticos, os alunos formulam e resolvem

problemas. Eles tambm so responsveis pela coleta de informaes e simplificao

das situaes-problema. via do trabalho de projetos. Devido falta de espao,

limitamo-nos a remeter s experincias relatadas em Bassanezi (1990), Borba,

Meneghetti e Hermini (1997), Biembengut (1990, 1999) e Franchi (1993).

Em todos os casos, o professor concebido como co-partcipe na investigao

dos alunos, dialogando com eles acerca de seus processos. Porm, em alguns, ele possui

um papel mais presente na organizao das atividades. No caso 1, por exemplo, a

presena do professor, j que ele fica responsvel pela formulao da situao-

problema, mais forte do que no 3, onde isso compartilhado com os alunos. A figura

1 esquematiza a participao do professor e do aluno em cada caso.

Elaborao da situao-

problema

professor professor professor/aluno

Simplificao professor professor/aluno professor/aluno

Dados qualitativos e

quantitativos

professor professor/aluno professor/aluno

Resoluo professor/aluno professor/aluno professor/aluno

Figura 1. O aluno e o professor nos casos de Modelagem.

Caso 1 Caso 2 Caso 3


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Os casos 1, 2 e 3 no representam configuraes estanques, mas sim regies de

possibilidades. Eles no pretendem engessar a prtica, mas, uma vez que reflexo

sobre a prtica, aliment-la. Esta classificao chama a ateno para o fato de que os

professores e os alunos podem se envolver com diferentes maneiras de implementar a

Modelagem no currculo, re-elaborando de acordo as possibilidades e as limitaes

oferecidas pelo contexto escolar, por seus conhecimentos e preferncias.

5. O desafio da pesquisa

As consideraes tericas traadas at este ponto do texto representam a tentativa

de capturar e elaborar teoricamente, de um ponto de vista scio-crtico, a prtica da

Modelagem tomando como referncia os interesses da rea da Educao Matemtica,

traduzindo nosso momento atual de reflexo. Como nos diz DAmbrsio (1996), um

processo que no tem comeo nem fim, permanente. Nenhuma teoria final, assim

como nenhuma prtica definitiva, e no h teoria e prtica desvinculadas (p. 81).

Este autor destaca o papel da pesquisa como elo entre ambas.

A pesquisa uma atividade sistemtica que vai alm da percepo imediata,

evitando se perder na multiplicidade de fatores que permeiam a sala de aula. Para tal,

preciso dirigir o olhar para alguma problemtica especfica, de onde se espera emergir

com mais claridade. Relatos de experincia e elaborao de propostas pedaggicas no

se constituem em pesquisa (Bicudo, 1993). Esta a atividade sistemtica que visa a

produo de conhecimentos novos a partir de um problema bem delimitado.

Entretanto, o corpo de pesquisas que abordam questes referentes Modelagem

ainda tmido (Fiorentini, 1996; Niss, 2001). A nfase tem sido na argumentao pelo

uso da Modelagem e no relato de experincias, o que muito importante, mas no

basta. Esta situao pode ser explicada pelo fato desta prtica ter surgido antes dequalquer tentativa mais visvel de teorizao. Agora, chegada a sua maioridade, as

demandas de implementao requerem o olhar da pesquisa para prover o

desenvolvimento da rea.

A gerao de conceitos, compreenses e concluses tericas so imprescindveis

para evitar o desarmamento perante a prtica. Do contrrio, os educadores matemticos

ficam sem instrumentos para desempenhar seus papis no ambiente de Modelagem.

Sem teoria, a prtica fica fragilizada pela dinmica do contexto escolar e vice-versa. Por


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isto, a reivindicao por pesquisas na rea de Modelagem (Fiorentini, 1996; Niss,

2001).

A demanda por pesquisas abrange os campos da Epistemologia, do currculo, dos

processos de sala de aula, da cognio dos alunos e do papel e desenvolvimento do

professor. Elas no podem prescindir das contribuies de outras reas correlatas da

Educao Matemtica e Educao. Na rea da cognio, por exemplo, existe um

acalorado debate sobre a questo da transferncia, ou seja, o uso de idias aprendidas

num contexto em outro (Evans, 1999); na formao de professores, novas vises re-

significam os processos de desenvolvimento docente (Fiorentini, Souza Jr. & Mello,

1998; Polettini, 1999); e assim por diante. Isto no significa que as pesquisas devam se

dissolver nestas outras reas, mas dialogar com elas, mantendo a singularidade de suas

problemticas.

Algumas questes so mais primrias, pois suas investigaes podem trazer

implicaes prticas essenciais para o desenvolvimento de ambientes de Modelagem.

Arriscamo-nos a citar algumas:

- Quais as dificuldades decorrentes da implementao de modelagem no

currculo?

- Quais as dificuldades dos alunos nas atividades de Modelagem?

- Como o conhecimento prvio interfere na prtica dos alunos com Modelagem?

- De que maneira os alunos constroem argumentaes matemticas?

- Como os alunos transitam da situao-problema para o conceito matemtico?

- Como os alunos usam e se envolvem com o conhecimento de matemtica, de

Modelagem e reflexivo?

- Qual o impacto das atividades de Modelagem nas concepes de matemtica

dos alunos?

- Como a interveno do professor interfere nas atividades dos alunos?- De que forma os professores conduzem atividades de Modelagem?

- Como os professores iniciantes com Modelagem conduzem atividades de

Modelagem?

- Como os programas de formao em Modelagem influenciam as prticas dos

professores?

- Que saberes os professores produzem no ambiente de Modelagem? Etc.

Por fim, cabe salientar que algumas pesquisas existentes na rea tm focalizadoalgumas destas questes. Borba, Meneghetti e Hermini (1997, 1999) trouxeram


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elementos sobre a argumentao dos alunos e os processos de avaliao; Matos e

Carreira (1996), sobre a cognio; Arajo (2000), sobre a discusso matemtica dos

alunos; Tavares (1998), sobre as dificuldades dos alunos; Barbosa (1999), sobre a

percepo dos professores; e assim por diante. O que estamos assinalando que preciso

potencializar este fluxo de pesquisas em Modelagem, no se limitando ao relato de

experincias, com vista a produzir compreenses tericas, como a perspectiva esboada

neste artigo, que visem prpria experincia.

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16

JONEI CERQUEIRA BARBOSA

Ncleo de Estudos e Pesquisas em Educao Matemtica (NEPEM)Universidade Catlica do Salvador (UCSal)http://sites.uol.com.br/joneicb

http://www.ucsal.br/nepem/index.html

- INDI CAES DE CONSULTAS-

MODELAGEM NA EDUCAOMATEMTICA

1.INTERNET

Modelagem e Aplicaes: um frum virtual de educadores matemticos http://www.angelfire.com/on2/modelagemTraz diversas informaes sobre a comunidade nacional e internacional de educadores matemticos quese interessam por Modelagem na Educao Matemtica, referncias, eventos etc.

Jonei Cerqueira Barbosa Home Page http://sites.uol.com.br/joneicbHome page pessoal que disponibiliza informaes e artigos sobre Modelagem Matemtica.

Grupo de Trabalho Aplicaes de Modelao da APM (Portugual) http://www.apm.ptTraz as atividades e referncias do grupo portugus sobre Modelagem, incluindo publicaes, atividades,etc.

2.BIBLIOGRAFIA EM PORTUGUS

ARTIGOSBARBOSA, J. C. O que pensam os professores sobre Modelagem Matemtica?Zetetik, Campinas, v. 7,

n. 11, p. 67-85, jan./jun. 1999.BARBOSA, J. C. Uma perspectiva para a Modelagem Matemtica. In: Anais do IV Encontro Brasileiro

de Estudantes de Ps-Graduao em Educao Matemtica. Rio Claro: UNESP, 2000. p. 53-59.BARBOSA, J. C. Modelagem Matemtica e os professores: a questo da formao.Bolema Boletim de

Educao Matemtica, n. 15, p. 5-23, 2001.BARBOSA, J. C. Modelagem Matemtica: concepes e experincias de futuros professores. 2001. 253 f. Tese

(Doutorado) - Instituto de Geocincias e Cincias Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2001BARBOSA, J. C. Modelagem na Educao Matemtica: contribuies para o debate terico. In:Anais da

24a. Reunio Anual da ANPED. Rio de Janeiro: ANPED, 2001. 1 CD.BARBOSA, J. C.; OLIVEIRA, A. M. P. Modelagem Matemtica e sala de aula: um zoom em uma

experincia. Artigo aceito para ser publicado na Revista da SBEM-BA, 2001.BASSANEZI, R. Modelagem Matemtica.Dynamis, Blumenau, v. 1, n. 7, abr./jun. 1994. p. 55-83.BIEMBENGUT, M. S., HEIN, N. Uma proposta para o ensino de Clculo. Temas & Debates, Blumenau,

n.6, 1995. p. 44-59.


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BURAK, D. Critrios norteadores para a adoo da Modelagem Matemtica no ensino fundamental esecundrio.Zetetik, Campinas, n. 2, mar. 1994. p. 47-60.

SKOVSMOSE, O. Cenrios para investigao.Bolema Boletim de Educao Matemtica, n. 14, p. 66-

91, 2000.

DISSERTAES, TESES E LIVROSANASTACIO, M. Q. A . Consideraes sobre a Modelagem Matemtica e a Educao Matemtica. Rio

Claro: Universidade Estadual Paulista, 1990. 103p. (Dissertao, Mestrado).BIEMBENGUT, M. S. Modelao Matemtica como mtodo de ensino: aprendizagem de Matemtica

em cursos de 1o. e 2o. Graus. Rio Claro: Universidade Estadual Paulista, 1990. 210p. (Dissertao,Mestrado).

BIEMBENGUT, M. S.Modelagem Matemtica & Implicaes no ensino-aprendizagem de matemtica.Blumenau: Ed. Da FURB, 1999. 134p.

BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N.Modelagem matemtica no ensino. So Paulo: Editora Contexto, 2000.BURAK, D.Modelagem Matemtica: uma metodologia alternativa para o ensino da matemtica na 5a.

srie. Rio Claro: Universidade Estadual Paulista, 1987. 186p. (Dissertao, Mestrado)

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Diferencial e Integral nos Cursos de Engenharia. Rio Claro: Universidade Estadual Paulista, 1993.148p. (Dissertao, Mestrado).

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3.BIBLIOGRAFIA EM LNGUA ESTRANGEIRA

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Horwood, 1985. 155p.


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18

notcias dirias de Feira de Santana

09/06/2001

37 toneladas de gros de feijo e milho estosendo distribudasOs gros de feijo e milho adquiridos pela Prefeitura de Feira de Santana comearam a serdistribudos na tarde desta quinta-feira (7) pela Secretaria de Agricultura, Recursos Hdricos eDesenvolvimento Rural. So 37,5 toneladas 25 t de feijo e 12,5 t de milho destinadas aos

produtores rurais que praticam a agricultura de subsistncia. Aproximadamente oito milagricultores recebero os gros.Segundo o secretrio Mrio Borges, cada agricultor recebe trs quilos de feijo e dois de milho.O primeiro carrega-mento dos gros foi destinado aos agricultores de Maria Quitria. Os

prximos a receberem sero os cadastrados na associao de moradores do distrito de Tiquaruu.

Agora esperar que os terrenos tenham umidade suficiente para garantir que as sementesbrotem e que tenhamos sorte que as chuvas, que neste ano esto escassas, caiam em nossaregio, para que tenhamos uma safra satisfatria, disse o secretrio. Segundo ele, as chuvasesto irregulares. Mas atendemos solicitaes das comunidades rurais, que fizeram insistentes

pedidos, completou o secretrio.Os gros foram adquiridos pela Prefeitura atravs de licitao e permaneceram no depsito daEmpresa Baiana de Desenvolvimento Agrcola (EBDA) por mais de 20 dias. Mrio Borgessalienta que a demora na distribuio dos gros est relacionada irregularidade no perodochuvoso. Ele afirmou que era interesse do prefeito Jos Ronaldo de Carvalho que os produtos jtivessem sido distribudos.O secretrio diz que as chuvas que caram na regio nos ltimos dias podem vir favorecer ao

plantio. Antes, a terra estava muito seca para que as roas fossem iniciadas. Seria um trabalhoperdido.Aliada distribuio dos gros, a Prefeitura subsidiou o beneficiamento da terra, colocando disposio dos micro-produtores equipamentos agrcolas e 22 tratores, uma das maiores frotas jreunidas para atender as necessidades dos produtores rurais.


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- RELATO 1 -

- A CONTA DE LUZ NA SALA DE MATEMTICA2-

Eu ensinava matemtica para uma 5a

. srie com 43 alunos numa escola daperiferia de Rio Claro (SP). A maioria dos alunos era filhos de operrios. Naquele ano, a

CESP agncia eltrica local na poca - estava divulgando nas escolas uma campanha

de economia de energia eltrica. Eles distriburam um folheto informativo a cada

professor e pediram que divulgassem na sala de aula. Ao levar o assunto para a sala de

aula, percebi a empolgao dos alunos e deixei a discusso rolar.

Uma das questes levantada pelos alunos dizia respeito forma que se calcula o

consumo de energia eltrica. Falamos dos diferentes modelos de medidores (por

exemplo, analgico e digital). Especulamos sobre os eletrodomsticos que gastam mais

ou menos. Da surgiu a idia de que cada aluno calculasse o consumo de energia eltrica

em sua casa. A atividade parecia empolgar os alunos.

Assim, nas semanas iniciais do trabalho, os alunos foram pesquisar o tempo em

que os aparelhos eltricos de suas casa ficavam ligados. Enquanto os alunos estavam na

escola, suas mes continuavam a fazer as anotaes, tornando o ambiente de casa um

prolongamento da escola. Enquanto os alunos tomavam dos dados, dava continuidade

aos demais contedos previstos. Mas sempre eu perguntava sobre o andamento do

trabalho e, s vezes, l estvamos discutindo o consumo de energia. Tambm

providenciamos uma palestra de um representante da CESP para fornecer dados e

esclarecer dvidas. Esta visita aguou mais ainda a curiosidade dos alunos.

Aps a coleta dos dados, sugeri que os alunos organizassem os dados numa

tabela. Abaixo a de um aluno.

Segunda Tera Quarta Quinta Sexta Sbado Domingo

Geladeira 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h

Televiso 8 h 9 h 5 h 6 h 8 h 5 h 6 h

Chuveiro 30 min 30 min 30 min 30 min 30 min 40 min 40 minSecador 10 min - - 10 min - - 5 min

Utilizando a frmula fornecida pela CESP, os alunos calcularam o consumo de

cada aparelho eltrico:

2

Este caso foi escrito tendo por base a experincia relatada em: Gustineli, O . A . P. ModelagemMatemtica e Resoluo de Problemas: uma viso global em Educao Matemtica. Rio Claro:Universidade Estadual Paulista, 1990. 126p. (Dissertao, Mestrado)


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20

Consumo (Kwh) = [Potncia (w) x (horas de uso por dia) x (dias de uso no

ms)]/1000

Os alunos ficaram responsveis por procurar a potncia de cada aparelho. Isto no

foi difcil. Alguns apareceram com livros que traziam tabelas referentes potncias deaparelhos eltricos, outros com o material da prpria CESP.

Para explorar as adies do tempo de uso de cada aparelho, sugeri que os alunos

construssem um relgio com um nico ponteiro e doze algarismos compreendidos entre

1 e 12. A inteno era explorar medidas de tempo.

No caso da geladeira, que ficava ligada 24 horas por dia durante os 7 dias da

semanas, procedeu assim: 24 x 7. Foi o momento apropriado para relembrar o conceito

de multiplicao: 24 24 24 7 1687

+ + = =.. .vezes

x h1 24 34

.

Tivemos que expressar o tempo em horas (devido frmula). Em alguns casos

no deu exato, como no caso do chuveiro, que somou 3 h 50 min ligado. O que 50

minutos representam da hora?... E tivemos a oportunidade de explorar a representao

fracionria e a simplificao de fraes:50

60

10

12= . Tambm exploramos este tpico em

outras tabelas dos alunos. Aqui ainda trabalhei o conceito de fraes equivalentes.

Ainda aproveitando-me desta situao, ensinei a diviso de nmeros inteiros, cujo

quociente resulta em nmeros decimais, e a soma de nmeros decimais (Ex.: 10 : 12 e 3

+ 0,8333...).

Agora, j tnhamos condies de calcular o consumo em Kwh para cada aparelho

eltrico e posteriormente calcular o consumo em cruzados (a moeda da poca). Por

exemplo:

Chuveiro : consumo (kwh) =( ) ( , )

,350 3 83 4

10005362

w x h x=

Outra vez, a necessidade do problema criou contexto para que se introduzisse

multiplicao de nmeros decimais e diviso de potncia de 10.

Calculando o consumo (em Kwh) para cada item da tabela, foi possvel achar asoma de todos aparelhos resultando em 206,13 Kwh. Tnhamos agora que calcular o

custo (em cruzados). Para tal, utilizamos a tabela de preo da CESP:

Alm destes preos, havia o

imposto nico (Cz$ 0,15) a ser

cobrado.

Havia trs faixas de preo: Cz$

0,19 para o primeiros 30 Kwh; Cz$

QUANT. DO KWH VALOR DO KWH (CZ$)

0 at 30 0,19

31 at 200 0,38

acima de 200 0,63


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21

0,38 para os 170 Kwh; e o restante, pagava-se Cz$ 0,63/kwh. Fazendo os clculos, cada

aluno pde achar o custo do consumo de energia eltrica de sua casa.

Por fim, orientei para comparar os resultados dos clculos com as respectivas

contas de energia eltrica, o que gerou mais discusso. Em alguns casos, os clculos dos

alunos estavam prximos do consumo mdio de suas residncias; em outros, no.Discutimos as razes das convergncias e divergncias dos resultados.


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- RELATO 2 -

- O CASO DOS TONIS DE GASOLINA -

Eu trabalhava numa escola pblica de Salvador em uma turma de 6a

. srie (cercade 35 alunos). Os alunos tinham dificuldades com o contedo, at mesmo com aqueles

estudados nas sries anteriores. Sempre tentava envolv-los com resoluo de

problemas aplicados. O pra que serve? dos alunos me incomodava, levando-me a

buscar as utilidades da matemtica para ser trabalhado na sala de aula. O que vou relatar

a seguir refere-se a um episdio que tomou algumas aulas e envolveu os alunos na

investigao de uma situao-problema referente arrumao de tambores em um

depsito.

Entrando na sala de aula, alguns alunos vieram me recepcionar. Eu tinha uma

relao prxima deles. Bom dia, 6a. srie! com estas palavras estou pedindo silncio

para anunciar a tarefa do dia. Sentem, por favor. Demora algum tempo para eles se

acomodarem. Parece que toda aula tem este ritual. No sou daqueles professores

fechados. Dou liberdade aos alunos, mas com limites ( claro, se no...).

Distribuo uma ficha de trabalho para todos os alunos com um problema aplicado

(ver abaixo) e peo que todos leiam em silncio.

O que diz o texto?, Qual o problema? etc. estas so algumas questes que

levanto com a turma aps a leitura, a fim de que eles mesmo entendem o que est lendo.

Tenho a impresso que uma das dificuldades dos alunos com os problemas o seu

entendimento. Por isto, utilizo alguns minutos discutindo o texto da situao-problema.

Perguntei tambm: A quem interessaria guardar gasolina?. Ainda aproveitei para

question-los sobre algumas informaes no texto: o que um cilindro? Quem poderia

me dar um exemplo? O que quer dizer perpendicular? Quem poderia explicar? Um

exemplo? Aps alguma discusso, peo que os alunos se organizem em grupo de quatromembro para resolver a questo. Como (quase) sempre, eles no deixam de arrastar as

Uma empresa necessita achar um salo de armazenagem para alguns tonis de

gasolina cilndricos, de modo que se gaste o mnimo possvel. Os tonis so cilindros

com 35 cm de raio e 1 m de altura. Todos 175 tonis devem ser estocados na posio

perpendicular ao cho. necessrio mant-los estocados por 2 meses.

Os sales de armazenagem disponveis possuem as seguintes dimenses: 3,75 m x

3,75 m a R$ 670,00 por ms; 3,75 m x 7,5 m a R$ 1050,00 por ms; 3,75 m x 11,25 m a

R$ 1300,00 por ms. Todos sales possuem 3,4 m de altura.


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carteiras. Alguns aproveitam para ir beber gua. Ainda h aqueles que perguntam se a

atividade mesmo para hoje. Enfim, de novo, todo um ritual.

Nos grupos, os alunos discutiram como podem encaminhar a situao-problema.

Eu fiquei circulando nos grupos, questionando, atendendo s suas questes. Geralmente,

no costumo responder diretamente s dvidas. Quando um aluno me pergunta assim, professor?, eu digo O que voc acha?, Como poderamos saber? etc. Neste

episdio, tambm procedi desta forma, buscando incentivar a discusso entre os alunos.

Uma das equipes disse que haveria duas possibilidades de arrumao dos tonis:

Pedi que eles falassem destas possibilidades para toda a turma. Os demais alunos

concordaram com a equipe. O que devemos fazer para tomar a deciso de qual tipo de

salo deve a empresa alugar? perguntei. U, ver quantos cabem em cada tipo de

salo! exclamou um aluno. Pedi que os alunos continuassem a atividade nos grupos.

Continuei a percorrer as equipes. A maioria dos alunos estava fazendo os clculos de

maneira desorganizada. Sugeri que eles organizassem numa tabela. Por exemplo, para a

1a. possibilidade, poderia-se organizar a seguinte tabela:

Salo Tonis/fila Nmero filas Nmero de

camadas

Capacidade

total

Nmero de

Sales

Preo

3,75 x 3,75 5 5 3 75 3 $ 4020,

3,75 x 7,5 5 10 3 150 2 $ 4200,

3,75 x 11,25 5 16 3 240 1 $ 2500,

Aqui, visivelmente, fiz uma interveno nos procedimentos dos alunos, no que diz

respeito organizao dos dados. Julguei que era necessrio isto para que eles

pudessem ter uma viso global dos dados. A certa altura, a sirene tocou. Pedi aos alunos

que deixasse a atividade para concluir na prxima aula.

Na aula seguinte, ao retomar a atividade, pergunto sobre a atividade, do que se

tratava, o que havamos discutido, que encaminhamentos estava sendo realizados, etc.

Um dos alunos, chamado Marlos, levanta a mo e diz que tentou continuar a tarefa em

casa e que notou que o clculo da 2a. possibilidade era diferente da 1a., porque

quando a gente encaixa um tonel numa fila... a fila toma uma parte do tonel. Sugeri

que ele viesse ao quadro-negro explicar do que se tratava. Quando ele desenhou o

1a. possibilidade 2a. possibilidade


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esquema, eu pude entend-lo. Da, organizei um pouco as palavras de Marlos e coloquei

para toda a turma (ver figura abaixo). Para mim, parecia uma tima oportunidade para

falar do Teorema de Pitgoras.

A partir desta situao, abri a discusso sobre como achar aquela medida

desconhecida, indicada por ?, que foi denotada pela letra x. Os alunos no

conheciam ainda o Teorema de Pitgoras. Suas respostas eram baseadas em

simplificaes: ah, professor, faz de conta que metade (do raio). Ser? Como

podemos verificar isso? Sugeri que eles desenhassem crculos de diversos tamanhos,

dispondo-os com no esquema, tomassem as medidas e verificasse a adequao da

conjectura. Assim fizeram os alunos, no comprovando a afirmao.

Chamei ateno para o tringulo presente no esquema e disse que poderamos

estudar as relaes (mtricas) nesta figura. Pedi que eles desenhassem tringulos

retngulos de vrios tamanhos, tomassem as medidas de seus lados e dos quadradosdeles. O que vocs observam?. No tardou e os alunos perceberam a relao mtrica

expressa pelo Teorema de Pitgoras. Sistematizei este contedo e falei algumas palavras

sobre a histria do Teorema de Pitgoras (ao trmino da atividade, eu iria retomar o

contedo para fazer alguns exerccios).

De posse do conhecimento do Teorema de Pitgoras, os alunos puderam explorar

a 2a. possibilidade na disposio dos tonis na situao-problema inicial. Que salo deve

a empresa alugar? Sugiro que o leitor conclua a investigao sobre os tonis. Ou ainda

que convide seus alunos a investigarem tambm.

0,35

0,7

0,35?


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- RELATO 3 -

- AS OLIMPADAS DE SIDNEY (I) -

Um ms antes do comeo das olimpadas de 2000, que ocorreu em Sidney, na

Austrlia, iniciei o projeto com Modelagem, que teve como tema Olimpadas, numa

escola particular em Salvador BA, na 7a srie do ensino fundamental. Eram trs

turmas com 45 alunos cada. Destinei uma parte das 4 horas/aula semanais para o

trabalho com Modelagem e a outra para abordar os tpicos previstos no programa

(geometria, estatstica). A organizao do trabalho ocorreu assim:

Diviso da turma em grupos de 6 alunos.

Escolha dos sub-temas pelos grupos a partir da curiosidade deles. Os sub-

temas que surgiram foram natao, futebol, doping, nado sincronizado,

basquete, etc. Teve um grupo que pediu para abordar como sub-tema,

fingerboard, fora do proposto, porm aceite o pedido.

Pesquisa dos sub-temas em fontes variadas (livros, revistas, jornais, internet e

especialistas) para se familiarizarem com os sub-temas escolhidos.

Matematizao e/ou formulao de problemas relacionados com o sub-tema e

sua resoluo.

Produo de relatrios preliminares e um relatrio final, e apresentao oral

final.

Durante o projeto estive acompanhando como os alunos estavam abordando a

Matemtica envolvida nos seus sub-temas atravs dos relatrios. A maioria das equipes

explorou geometria e estatstica nos seus sub-temas, contedos abordados em paralelo

com o projeto. Outras trabalharam com contedos da srie como teorema de pitgoras,

nmero irracional, e ainda resgataram medidas, porcentagem, escala, contedos vistos

nas sries anteriores. (ver anexos)

O grupo, que estava trabalhando com ginstica olmpica, interessou-se em calcular

o percurso em diagonal da ginasta no tatame. Aproveitei a colocao do problema do

grupo e sugeri a eles que socializassem com a turma o problema elaborado. Foi um

momento interessante, pois um problema do grupo gerou discusses para toda a turma.

A turma participou na busca de solues, retomando contedos trabalhados e

solicitando outros. Retomo a seguir o episdio do tatame:


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Os grupos estavam reunidos durante a aula na efetivao do trabalho. O grupo da

ginstica olmpica chamou-me para mostrar um problema que estavam pensando em

abordar.

Grupo:Pr, por favor venha aqui. Estamos pensando em um problema.

Professora: Qual ?

Aluna do grupo:Pr, pensamos no seguinte problema: O tatame o espao onde

as ginastas realizam os seus movimentos.

Professora:E da?

Aluna do grupo:Pensamos em calcular o percurso da ginasta quando ela sai de

um canto do tatame a outro canto.

Professora:Explica melhor.

Aluno do grupo: Sabe pr, quando a ginasta d aquela pirueta em diagonal. Ela

sai em p, faz a pirueta e cai em p no canto em frente aonde saiu.

Aluna do grupo:Mas no sabemos como fazer?

Professora: Vocs querem saber a distncia percorrida do momento que sai at o

que chega no outro lado?

Aluna do grupo.Isso mesmo pr.

Aluno do grupo:Podemos medir.

Professora:Medir uma soluo, mas teria outra?

Aluna do grupo:Deve ter pr.

Professora: Quais as medidas do tatame? Qual a forma dele?

O grupo: 12m por 12 m. um quadrado.

Aluna do grupo: Vamos desenhar aqui no caderno. No quadrado, todos os lados

so iguais.

Professora: O percurso em diagonal que vocs querem calcular divide o quadrado

em duas figuras. Quais so essas figuras?Aluna do grupo:Dois tringulos.

Aluno do grupo:Pr, so tringulos retngulos.

Professora:Ento, como calcula o percurso da ginasta?

Aluna do grupo: O percurso a hipotenusa. Vamos usa o teorema de pitgoras.

isso pr?

Professora: Tentem. Posso socializar a questo de vocs com a turma?

O grupo:Pode pr.


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O projeto foi importante pelos seguintes aspectos: proporcionou aos alunos

investigarem atravs da matemtica temas do seu dia-a-dia, possibilitou os alunos a

buscarem o conhecimento em parceria com o professor e favoreceu a capacidade de

trabalhar em grupo. Na fala, dos alunos, a avaliao do projeto: Foi um projeto

interessante onde podemos perceber o qu a Matemtica influncia nos esportes

abordados. E percebemos que o esporte depende da Matemtica. Eu vi mais uma vez

como a Matemtica est presente nas nossas visas.


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- RELATO 4 -

- AS OLIMPADAS DE SIDNEY (II) -

Um ms antes do comeo das olimpadas de 2000, que ocorreu em Sidney, naAustrlia, iniciei o projeto com Modelagem, que teve como tema Olimpadas, numa

escola particular em Salvador BA, na 7a srie do ensino fundamental. Eram trs

turmas com 45 alunos cada. Destinei uma parte das 4 horas/aula semanais para o

trabalho com Modelagem e a outra para abordar os tpicos previstos no programa

(geometria, estatstica). A organizao do trabalho ocorreu assim:

Diviso da turma em grupos de 6 alunos.

Escolha dos sub-temas pelos grupos a partir da curiosidade deles. Os sub-

temas que surgiram foram natao, futebol, doping, nado sincronizado,

basquete, etc. Teve um grupo que pediu para abordar como sub-tema,

fingerboard, fora do proposto, porm aceite o pedido.

Pesquisa dos sub-temas em fontes variadas (livros, revistas, jornais, internet e

especialistas) para se familiarizarem com os sub-temas escolhidos.

Matematizao e/ou formulao de problemas relacionados com o sub-tema e

sua resoluo.

Produo de relatrios preliminares e um relatrio final, e apresentao oral

final.

Quando comearam as olimpadas, os alunos estavam pesquisando e

matematizando os seus sub-temas como tambm formulando os problemas. Tive a idia

de sugerir que cada equipe trouxesse diariamente notcias e fatos sobre os seus

respectivos sub-temas, para que pudssemos estar discutindo e interpretando o que

estava acontecendo no cenrio das olimpadas. Eles montaram um painel onde iam

colocando a cada dia, e muitas vezes at a cada hora, as notcias e fatos dos seus sub-

temas. Foi muito interessante esse momento no projeto, pois os alunos se mobilizaram

bastante, se interessaram mais em ler jornais, hbito que na maioria das vezes no faz

parte do dia-a-dia deles. Alm disso, possibilitou discusses sobre as idias matemticas

presentes nas notcias sobre os seus sub-temas. Vejamos, a seguir, um episdio de aula:

Ao entra na sala, um grupo veio mostrar-me uma reportagem retirada da Internet

sobre o jogo Brasil 1 X 3 frica do Sul. Aproveitei a notcia da equipe e fiz algumas

perguntas para a turma.


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Professora:E a turma ser que o Brasil classifica?

Aluno: Ainda d para classificar sim. Se eles ganharem do Japo classificam

para as semifinais.

Aluna:A pr, o Brasil no merece classificar.

Nesse momento, a turma comea a discutir em torno da pontuao do Brasil.

Alguns alunos ficaram vendo as possibilidades do Brasil, o saldo de gols, a pontuao.

Professora:Dar para saber a mdia de gols at o momento? Como?

Alguns alunos:Lgico que d.

Aluna: Sempre assisto programas de esportes e vejo falarem na mdia de gols.

Alguns alunos:Pega o total de gols marcados e divide pelo nmero de jogos.

Aluno: Pr, muitas vezes quando estamos assistindo os jogos, fala da

matemtica do jogo.

Professora:Pois turma, a matemtica do jogo permite termos uma anlise do

desempenho dos times.

Outro grupo trouxe-me uma notcia sobre o desempenho das ginastas brasileiras.

Aluno:Pr teve um aparelho que estava com alguns centmetros a mais e as

ginastas estavam caindo ao fazer a prova. Ento, os organizadores foram verificar as

medidas.

Professora: Os atletas passam anos treinando em aparelhos com medidas

padronizadas e qualquer alterao influencia os movimentos. Vocs observaram a

questo da preciso para os atletas?

Aluna: pr, nas notas das ginastas so usados os milsimos.

Aluno:Pr, para os nadadores cada segundo importantssimo para eles. Vale

medalha e pode adiar por quatro anos um sonho.

Aluno:Ns no usamos no nosso dia-a-dia quase nada os segundos. Os atletas

utilizam muito. Quando algum nos perguntam as horas, no falamos nos segundos.Aluna: Vemos os segundos, os dcimos, centsimos de segundos nas notcias do

esporte aparecer muito.

Durante o projeto estive acompanhando como os alunos estavam abordando a

matemtica envolvida nos seus sub-temas atravs de relatrios preliminares. A maioria

das equipes exploraram geometria e estatstica nos seus sub-temas, contedos

abordados em paralelo com o projeto. Outras trabalharam com contedos da srie como

teorema de pitgoras, nmero irracional, e ainda resgataram medidas, porcentagem,escala, contedos vistos nas sries anteriores. (ver anexos)


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Documents

Modelagem Mat