MODELI TLA ILI KONSTITUTIVNE JEDNADBEProf. dr. sc. Tanja Roje-Bonacci, redoviti profesor, Graevinsko-arhitektonski fakultet Sveuilita u Splitu, ul. Matice hrvatske 15, 21000 Split Ana Lasi dipl. in. gra., Conex, Mostar, BiH Zlatan Tali, dipl. in. gra., Graevinski fakultet, Sarajevo, BiH

1

MODELI TLA I KONSTITUTIVNE JEDNADBE 1.1 Definicija modela

Model je pokuaj da se prirodna pojava, fizikalni proces i drugi dogaaji u prirodi, prikau na nain da bi se moglo predvidjeti njihovo ponaajne. Najjednostavnije prikazivanje je ravna crta. Kada se ona smjesti u pravokutni koordinatni sustav moe ju se opisati jednadbom pravca. To je numeriki model ravne crte ma to ona znaila. Primjer u mehanici je linearno elastino ponaanje materijala. I ravna crta i jednadba pravca te crte u koordinatnom sustavu su MODELI. U mehanici tla se pokazuje velika potreba za izradom modela koji e opisati ponaanje tla pri promjeni stanja naprezanja. Proraun deformacija u tlu, koje nastaju pod utjecajem vanjskog optereenja ili djelovanjem unutarnjih sila, znaajan je zadatak koji treba rijeiti, jer sigurnost graevine ovisi od deformacijama koje se javljaju tijekom njene izgradnje i trajanja. Fizikalno je jasno da promjena stanja naprezanja izaziva deformaciju, ali dokuiti koliku, malo je vea potekoa. Iz tog su razloga u posljednjim godinama geotehniari veliku panju posvetili izradi modela kako fizikalnih (ispitivanja u centrifugama, potresnim platformama i sl.) tako numerikim, koji su znatno jeftiniji. Velike mogunosti prorauna na raunalima dale su snaan poticaj analitikim metodama za rjeavanje geotehnikih zadaa i utrle put novim istraivanjima i modeliranjima. Tu se pojavljuju konstitutivne jednadbe tj. matematiki izrazi koji opisuju ponaanje tla pri promjenama stanjima naprezanja. Klasina mehanika tla razlikuju dva odvojena stanja ponaanja tla pod optereenjem: stanje malih deformacija, koje ne izazivaju slom tla, izuava se pomou teorije elastinosti; stanje velikih deformacija, koje izazivaju slom tla, pri emu su naprezanja u tlu takva da njihovo malo poveanje izaziva velike deformacije pri stalnoj brzini, izuava se metodom graninog stanja plastine ravnotee.

1

Teorija elastinosti koristi se kod izuavanja naprezanja i deformacija tla na razini radnih optereenja, gdje nije dosegnuta vrijednost sloma tla. Rjeenja se dobivaju teorijama linearne elastinosti. Pri izuavanju zemljanog pritiska na potporne graevine, nosivost i stabilnost kosina, prouavaju se granina stanja plastine ravnotee tj. uvjeti sloma u tlu. Za rjeenja ovih stanja dugo su se koristile grafostatike metode, kao uostalom i u statici uope u doba njezinog naglog procvata. Sve tada koritene grafostatike metode temeljile su se na odabranim MODELIMA od geometrijskih do proraunskih, samo to ih nitko nije nazivao tim imenom. Sve su te metode pokuavale opisati stanja u graevini pri odreenim optereenjima i predvidjeti njihovo ponaanje pri promjeni optereenja, U mehanici tla zaetnik ove metode je Coulomb, (1776.). Rankine je 1857. istraivao granino stanje ravnotee beskonanog tijela, te razvio teoriju zemljanog pritiska u mehanici tla. Kasnije su Fellenius 1926. i Terzaghi 1943. razvili metodu granine ravnotee na nain, kojim su se uspjeno koristili u praksi kao inenjeri. 1.2 Poeci

Stanja progresivnog sloma ine sredinu izmeu elastinog ponaanja i graninog stanja. Teorija progresivnog sloma izuava elasto-plastini prijelaz iz poetnog, linearno-elastinog stanja u granino stanje sloma s plastinim deformacijama. Osnova za dobivanje rjeenja pri progresivnom slomu je odnos naprezanje deformacija tj. konstitutivni izraz za tlo.

idealno elastino

idealno plastino

elasto-plastino

Slika 1 Osnovni modeli idealnog ponaanja tla Kod praktine primjene, unutar veliina optereenja, tlo nije linearno elastino ni potpuno plastino. Stvarno ponaanje tla je nelinearno, vrlo sloeno i promjenjivo ovisno o uvjetima kojima je izloeno, a to ima veliki utjecaj pri odabiru parametara tla za geotehnike proraune (Atkinson, 2000.) Zadnjih dvadesetak godina razvija se znanstveni pristup konstitutivnom modeliranju tla. Koncept kritinog stanja tla nastao je na sveuilitu u Cambridgeu pedesetih godina po idejama Roscoe i sur. (1958., 1968.). Daljnjem razvoju pridonijeli su Schofield, Wroth i Palmer (prema Chen 1975.). U razvoju ovog koncepta polazi se od stava, da u analizi ponaanja tla za odnos naprezanje deformacija, treba koristiti princip kakav se nekoliko 2

desetljea ranije poeo primjenjivati u modeliranju elasto-plastinog ponaanja metala. Naravno, postoji znatna razlika u ponaanju tla i metala. Iako je model ponaanja prvobitno razvijen za normalno konsolidirane gline i malo prekonsolidirane gline, vjeruje se da uz izvjesne prilagodbe, moe posluiti za opisivanje mehanikog ponaanja svih vrsta tla. Idealizacija je potrebna da bi se dobili matematiki jednostavni konstitutivni modeli za praktinu primjenu. Izbacuje se imbenik vremena da bi se mogla primijeniti teorija elastinosti i plastinosti. Zbog mnogobrojnih varijacija i kombinacija ponaanja tla i optereenja, ne moe se u potpunosti opisati stanje tla jednim matematikim modelom, te se odreeni modeli prilagoavaju tako, da se sa zadovoljavajuom tonou primjenjuju za odreena rjeenja u mehanici tla. Pri proraunu se koriste odreeni programski paketi koji rade na principu metode konanih elemenata. Nove metode prorauna na raunalima imaju mogunost ukljuivanja realnije slike tla. Za slom se primjenjuje plastini model, a za stanja daleko ispod razine sloma, elastini model (Maksimovi, 2001.). Uz pomo najnovijih metoda prorauna teorije mehanike kontinuuma, kao to su hiper ili hipo-elastina, teorija plastinosti, razvile su se, za primjenu u mehanici tla, kod sloenog ponaanja tla ukljuujui pojavu neelastinosti, interakciju vodatlo, vremensku ovisnost, uvijete dinamikog i ciklikog optereenja, visko-elastina i visko-plastina teorija (Chen i Saleeb, 1982.). Tu moe doi do mimoilaenj izmeu teorije i praktine primjene teoretskih znanja, zbog sloenosti teorije, ime se gubi smisao modeliranja. Kriterij vrednovanja modela treba razmatrati ravnoteu zahtijeva s gledita mehanike kontinuuma, teoretski, zahtijeva stvarnog prikazivanja ponaanja tla na osnovu terenskih i laboratorijskih ispitivanja, eksperimentalno i zahtijeva za jednostavnou primjene modela, numeriki. To su tri osnovna kriterija vrednovanja modela u mehanici tla. Konstitutivne jednadbe su neophodne kod svih metoda mehanike tla: planiranja i vrednovanja laboratorijskih i terenskih ispitivanja, analitikog i numerikog predvianja ili povratne analize naprezanja i deformacija unutar samog tla. U zadnjih 20-30 godina razvojem ureaja za ispitivanje materijala te raunalnom revolucijom, poveanjem kapaciteta raunala, mogunou unosa veeg broja podataka pri numerikoj analizi, omogueno je bre i jednostavnije modelirati tee i zahtjevnije modele nego to su linearno elastini i idealno plastini model. Svi materijali ukljuujui i tlo imaju ogranienu vrstou koja ograniava podruje moguih stanja naprezanja. Unutar tog podruja, zavisnost izmeu naprezanja i deformacija, koju treba opisati odgovarajuim konstitutivnim jednadbama za element tla mnogo je sloenija od konstitutivnih jednadbi za beton ili elik. Odnos naprezanje deformacija za ponaanje tla je izrazito nelinearno, neelastino, zavisi od prethodne povijesti naprezanja i 3

deformacija, ima hereditirani karakter, zavisi od brzine deformiranja, graninih uvjeta i drugih faktora (Ishihara i sur. 1975.). Znaajni napori su napravljeni koristei i primjenjujui nove eksperimentalno-istraivake pristupe pogotovo u troosnom ureaju, matematiki oblikujui razliite konstitutivne izraze, prilagoavajui ih metodi konanih elemenata i metodi konanih razlika. Predvianje deformacija tla izazvanih graevinskim zahvatima jedna je od znaajnijih zadaa u geotehnici. Potreba za takvim predvianjima javlja se pri procjeni slijeganja temeljnog tla i meusobnog utjecaja graevinatemeljtlo. Postupci predvianja deformacija tla temelje se na mehanici kontinuuma, praktino to se suava na primjenu teorije elastinosti koja zahtijeva poznavanje parametara stiljivost tla u okolini mjesta djelovanja optereenja. Parametri stiljivosti se odreuju laboratorijskim i terenskim postupcima u okviru geotehnikih istranih radova (Szavits-Nossan, Kovaevi, 1994.). Dugo se smatralo da se krute i prekonsolidirane gline ponaaju kao linearno elastini materijali, odnosno da se dodatna naprezanja u takvim materijalima ponaaju po pravilima teorije elastinosti. Teza je bila podravana istraivanjima ponaanja prekonsolidiranih glina u laboratorijskim ureajima, (troosni ureaj). Druga je teza podravana pokazateljima da uspravna dodatna naprezanja malo ovise o odnosu naprezanja i deformacija (Jardine i sur., 1986.). Tonost predvianja slijeganja temeljnog tla ovisi o izboru rezultata dobivenih terenskim i laboratorijskim ispitivanjima i predvienih pretpostavki. Ovaj problem je prisutan kod plitkih temelja, graevnih jama i savitljivih potpornih konstrukcija. Premala krutost laboratorijskih uzoraka krutih glina pripisivala se njihovoj raspucanosti, poremeaju pri uzimanju uzorka iz tla te ugradnji u laboratorijski ureaj. Krajem sedamdesetih i poetkom osamdesetih godina razvija se ureaj za mjerenje malih deformacija na povrini uzorka tla, prvenstveno pri troosnim pokusima (Burland i sur., 1982., Jardin i sur., 1984. i Goto i sur., 1991.) s mogunou mjerenja relativnih deformacija do 0,01%. Rezultati pokusa pokazali su da teza o ponaanju krutih glina kao linearno elastinih materijala nije tona. Nameu se dva zakljuaka. Prvo, u podruju malih deformacija ponaanje tla i krutih glina izrazito je nelinearno, a ne linearno kako se pretpostavljalo. Posmina krutost tla u podruju posminih deformacija od 0,01% do 1% pada s porastom deformacija i preko deset puta. Drugo, posmina krutost tla pri malim deformacijama izrazito je vea od one mjerene klasinim laboratorijskim ureajima. Razlog tome je znaajna razlika u mjerenju deformacijama klasinim nainom preko kape i podnoja uzorka u odnosu na mjerenje deformacija izravno na povrini uzorka tla. Slini su rezultati dobiveni i za tla vee krutosti. 4

Razvoj tehnologije mjerenja malih i vrlo malih deformacija na povrini uzoraka tla, doveo je do novih saznanja o ponaanju tla pri smicanju. Paralelna istraivanja opaenih mjerenja deformacija tla pri raznim geotehnikim zahvatima na terenu potvrdila su ova laboratorijska istraivanja (Burland, 1989.). Mnogi pokazatelji ukazuju na ovisnosti posmine krutosti o relativnoj posminoj deformaciji, kao to je dobiveno opisanom tehnologijom za monotona statika optereenja, to se podudara sa ve ranije poznatim ovisnostima dobivenim pri dinamikim laboratorijskim pokusima npr. pokus rezonantnog stupca (Atkinson i Sallfors, 1991.) Ovo takoer pokazuje da su dinamiki pokusi primjereni za analize sa statikim optereenjem. Tako se novom tehnologijom mjerenja malih deformacija u laboratoriju smanjuje razlika pri poimanju statike i dinamike posmine krutosti tla. 2 DEFINICIJE NAPREZANJA I DEFORMACIJA I NJIHOVA VEZA 2.1 Naprezanje

Model materijala moe se opisati skupinom jednadbi koje opisuju odnose izmeu naprezanja i deformacija. Model se moe izraziti tako da se infinitezimalne promjene naprezanja povezuju s infinitezimalnim promjenama deformacija. Naprezanje se prikazuje tenzorom opisanim matricom u Cartesievom koordinatnom sustavu (Chen, Baldi, 1985.): xx = yx zx xy yy zy xz yz zz

( 1)

Kako je tenzor naprezanja u standardnoj teoriji deformacije simetrian proizlazi da je: xy=yx, yz=zy i zx=xz, pa izraz za naprezanje u vektorskom obliku sadri est komponenti i glasi: = xx yy zz xy yz zx

(

)T

( 2)

ili u ravninskom stanju: yz=zy=0. Usvoji li se Terzaghi-jev princip efektivnih naprezanja, totalna se naprezanja , prikazana u vektorskom obliku, sastoje od vektora efektivnih naprezanja i vektora pornog pritiska u : = + u .

( 3)

U takvom se modelu moe pokazati da su posmina naprezanja invarijanta, tj. ako je prema Mohr-ovom zakonu naprezanja u ravnini, posmino naprezanje:

=

1 3 2

( 4)5

onda je to isto naprezanje izraeno u efektvnim naprezanjima: = iz ega proizlazi da je: '= . ( 6) 1 ( 1 u ) ( 3 u ) 1 3 3 = = 2 2 2 ( 5)

Modeli materijala za tlo i stijenu se openito prikazuju kao odnos izmeu infinitezimalnih promjena efektivnih naprezanja i infinitezimalnih promjena deformacija. U ovom odnosu infinitezimalne promjene efektivnih naprezanja su prikazane kao vrijednosti naprezanja na slici 2:

Slika 2 Uobiajeni trodimenzionalni koordinatni sustav i konvencija za predznake za naprezanje (Timoenko, Gudier, 1962) Pri oblikovanju modela materijala, ee se koriste glavna naprezanja umjesto pravokutnih komponenti naprezanja (Cartesieve komponente naprezanja). Glavna naprezanja su naprezanja u pravcu onog koordinatnog sustava, kod kojeg su sva posmina naprezanja jednaka nuli. Glavna naprezanja su, u stvari, karakteristian broj tenzora napona. Glavna efektivna naprezanja se mogu prikazati na sljedei nain:

det( ' ' I )

( 7)

gdje je I identitetska matrica. Ova jednadba daje tri rjeenja za , npr. glavna efektivni naprezanja (1, 2, 3).

6

2.2

Deformacija

Deformacija je tenzor koji se moe prikazati matricom u pravokutnim koordinatama kao (Chen, Baladi, 1985): xx = yx zx

xy xz yy yz zy zz

( 8)

Prema teoriji malih deformacija, samo suma komplementnih pravokutnih komponenti posminih deformacija ij i ji daje deformaciju smicanjem. Ova vrijednost je prikazana kao deformacija smicanja . Stoga se umjesto xy, yx. yz, zy, zx i xz mogu respektivno koristiti komponente deformacije smicanja xy, yz i zx (Chen, Baladi, 1985). U skladu s gore danim uvjetima, deformacije se esto piu u obliku vektora koji ukljuuje est razliitih komponenti:

= ( xx yy zz xy yz zx ) Tdok je za ravninsko stanje deformacija (Chen, Baladi, 1985): zz = xz = yz = 0.

( 9)

( 10)

Za elastoplastine modele, koji se koriste u praksi, deformacije su podijeljene na elastine i plastine komponente (Hill, 1950): = e+ p ( 11)

U ovom radu, indeks e e se koristiti kao oznaka za elastine deformacije, a indeks p e se koristiti za odreivanje plastinih deformacija.2.3 Veza naprezanja i deformacije

Veza naprezanja i deformacije predstavlja MODEL materijala ili njegovu konstitutivnu jednadbu. Modeli materijala za tlo i stijenu se generalno prikazuju kao odnos izmeu infinitezimalne promjene vrijednosti efektivnog naprezanja i infinitezimalne promjene vrijednosti deformacije. Ovaj odnos se moe prikazati u obliku (Timoenko, Gudier, 1962):

'= M

( 12)

gdje je M matrica krutosti materijala. Treba uoiti da su pri ovakvom pristupu porni pritisci eksplicitno iskljueni iz odnosa naprezanje-deformacija (toka iznad simbola odnosi se na infinitezimalne vrijednosti).

7

3

MODELI TLA PRI STATIKIM UVJETIMA ISPITIVANJA 3.1 Elastini, plastini i elastoplastini modeli

3.1.1 Openito o mogunosti modeliranja u statikim uvjetima

Elastini model predstavlja pogodan mentalni okvir za odreivanje konstitutivnih (naprezanja-deformacija) odnosa za tlo, jer kvalitativno dobro opisuje glavne oblike ponaanja (elastinost plastinost). Elastoplastini model daje stvarniju sliku o deformacijama nastalim prije konanog plastinog sloma, slika 3. 1 2

v rsto a

3 re z id u a ln a v rs to a

rad n o n ap re z a n je

1 - i d e a l n o e l a s t i n o 2 - i d e a l n o p l a s t i n o 3 - re a ln o tlo 4 - l i n ij a r a s t e r e e n j a

4

- r e la tiv n a d e fo rm a c ija

Slika 3: Krivulje odnosa naprezanja i deformacija Realno tlo priblino odgovara modelu idealno elastinih materijala, samo za ogranieno podruje primjene glavnih naprezanja. Za dosada razmatrane probleme, zadovoljavajua su rjeenja dala teorija elastinosti i rjeenja pomou edometarskog modela tla. Kada odnos glavnih naprezanja prekorai odreeni raspon, deformacije poinju rasti znatno bre od prirasta naprezanja i na kraju postaju vrlo velike. To je granino stanje plastine ravnotee, pri kojem poinje plastino teenje sa znatnijim deformacijama. Laboratorijskim i terenskim pokusima mogu se dobiti krivulje odnosa naprezanje deformacija prikazane na slici 4.1 - hidrostatski model 2 - edometarski model 3 - troosni model 4 - probna ploa 5 - pritisak sa slobodnim bonim irenjem 0.5(13)

1

2 SLOM 5 3 4

Slika 4 Krivulje naprezanje-deformacija iz laboratorijskih i terenskih ispitivanja 8

Iz slike 4 se dade zakljuiti da ponaanje tla ovisi o odnosima naprezanja i deformacija u zadanim uvjetima. Najee koriteni, edometarski model, je model s ovravanjem kao i troosni modeli sa bonim pritiskom. Pri pokusima smicanja sa velikim deformacijama javljaju se modeli s omekavanjem do sloma. Slino se mogu ponaati i rezultati terenskih ispitivanja probnom ploom. Edometarski pokus je pokus u kojem se javlja troosnostanje naprezanja i jednoosno stanje deformacija, koje je jednostavno pratiti. Kako je bono irenje sprijeeno to porastom naprezanja dolazi do smanjenja zapremine do trenutka dok daljnja deformacije vie nije mogua. Iz tog se razloga javlja ovravanje. U svom izvornom radu Duncan i Chang (1970) objanjavaju osnovnu moguu vezu naprezanja i deformacija za nelinearne elastine modele. Objanjenje je prikazano na slici 5.(13)/2 2 1 3 (13)/2 2 1 iterativno tangentno 3

Slika 5 Mogui naini priblinog odreivanja nelinearnih odnosa naprezanje-deformacija (Duncan i Chang 1970) Najee koriteni laboratorijski pokus za dobivanje veze izmeu naprezanja i deformacije je edometarski pokus. Iz rezultata tog pokusa moe se odrediti sekantni i tangentni modul za po volji odabranu razinu naprezanja, odreenu intervalom z. Za to se odabere odreeni odsjeak naponsko-deformacijske krivulje kako je to prikazano na slici 6. z z z

z Mk

z

Slika 6 Rezultati ispitivanja stiljivosti sa sprijeenim bonim irenjem (edometarski pokus); gore relativna deformacija, dolje modul stiljivosti u funkciji naprezanja 9

Za svaki po volji odabrani odsjeak krivulje moe se odrediti takav modul prema jednadbi:Mk = 'z z ( 13)

Pri ovakvom postupku odreivanja modula stiljivosti Mk, odsjeak relativne deformacije z odreuje se za svaki porast optereenja z na nain : z = h i h i1 h 0 h i 1

( 14)

pri emu je: h0, poetna visina uzorka u edometru; hi, smanjenje visine pri promatranom optereenju; hi-1, smanjenje visine pri prethodnom stupnju optereenja, prikazano na slici 7.zi hi1 pore h0 vrste estice hi

Slika 7 Skica promjene visine uzorka u edometru pri promjeni optereenja na uzorku Ako se pri izuavanju sekantnog modula bira sve manji odsjeak na deformacijskoj krivulji, tj. ako odsjeak naprezanja z tei nuli, dobije se tangentni modul stiljivosti u obliku:M k (tan gentno ) = dz d z

( 15)

Veliina prirasta deformacije, z , uslijed prirasta naprezanja, z , za poetno naprezanje, p0, je: z =p 0 + z p0

dz M k (z )

( 16)

Rjeenje integrala ovisi o obliku funkcionalne veze izmeu modula stiljivosti Mk i naprezanja z . Jednostavno se rjeenje dobije za linearnu vezu tipa:

10

Mk( z )=M0+k z

( 17)

Kada je k=0, modul stiljivosti je konstanta pa je naprezanje i deformacija linearno z . zavisno, jednostavnog oblika = Mk Jambu (1967) je pokazao da se u edometarskom modelu tangentni modul stiljivosti moe dobro opisati empirijskim izrazom: M k = m pa z p a (1 a )

( 18)

gdje je: m, modulni broj pa, referentni pritisak (100 kPa) a, eksponent naprezanja. Oblik ove jednadbe je zanimljiv jer se pojavljuje u daljnjim analizama nelinearno elastinih modela. Postoji velik broj pokuaja da se koncept modela pobolja, ali sve promjene i pored djelomino uspjenih rezultata, naalost, ne doprinose jednostavnosti i kvare eleganciju osnovnog modela. Teko je i nabrojati modele koji su do sada predlagani, broj parametara raste na vie desetina, od kojih se neki mogu mjeriti a neki se pretpostavljaju kako bi se dobila dobra suglasnost izmeu matematiki odreenog modela i pokusom dobivenih podataka. I kada model dobro imitira pokus, to predstavlja nuan uvjet za njegovu prihvatljivost, ostaje i niz drugih testova koji trebaju pokazati da e se on zadovoljavajue ponaati i po proizvoljnim putanjama naprezanja koje se mogu pojaviti pri rjeavanju praktinih zadataka. Konstitutivne jednadbe u mehanici kontinuuma predstavljaju analitiki izraz veze izmeu trenutanog stanja naprezanja u nekoj materijalnoj toki kontiniuuma i povijest deformacijskih stanja kroz koja je bliska okolina te toke prola. Te jednadbe predstavljaju vezu izmeu gradijenta polja pomaka materijalnih toaka deformiranog tijela i pola naprezanja u tom tijelu. Preko njih ulaze mehanika svojstva pojedinog materijala u jednadbe gibanja deformiranog tijela. Dosada je u literaturi predloen niz razliitih konstitutivnih jednadbi za tla, o emu postoje opirni pregledi (ISSMFE 1977, ISSMFE 1985). Za sada ne postoji ni jedna konstitutivna jednadba koja bi opisala svu sloenost mehanikog ponaanja tla u razliitim uvjetima u kojima se tlo moe nai.

11

3.2

Elastini modeli

U ove modele spadaju: 1) Linearno-elastini model; 2) Duncan-Chang model (nelinearni hiperbolini elastini modeli); 3) Anizotropno elastini model (model ispucale stijene).3.2.1 Linearno-elastini model

Jedan od najjednostavnijih modela tla je linearno elastini model u kojem su naprezanja izravno proporcionalna deformacijama, prema jednadbi 17 za vrijednost k=0. Ovaj se model najee koristi u proraunima slijeganja u mehanici tla jer odgovara pretpostavci da se tlo pri malim deformacijama ponaa linearno elastino. Tumaenje se moe nai u literaturi (Roje-Bonacci, 2003.), a prikazano je i na slici 8.q=0,5(1-3) LINEARNO ELASTIAN MODEL

VRSTOA TLA q f qf 2 qf 5 PODRUJE RADNIH NAPREZANJA

UZORAK TLA

Slika 8 Objanjenje pretpostavke o linearnom ponaanju tla Linearno elastini model je temeljen na Hooke-ovom zakonu. Postoje etiri parametra materijala za jedan elastini model: Youngov modul elastinosti E, Poissonov koeficijent , koeficijent zapreminske deformacije K i modul smicanja G, a samo dvije se trae za puni opis materijala. Konstante proporcionalnosti su Youngov modul elastinosti E i efektivni Poissonov koeficijent '.Young-ov modul (E), modul elastinosti

Young-ov modul se koristi kao osnovni modul krutosti u elastinom modelu tla. Ima dimenzije naprezanja. Vrijednosti parametra krutosti usvojenih u proraunu trebaju posebnu panju jer se pokazalo da pretpostavka o linearnom ponaanju tla kod malih deformacija esto nije ispravna. Naime, materijali pokazuju nelinearno ponaanje ve pri samom poetku optereenja. Uobiajeno je da se poetni nagib deformacijske krivulje oznai kao E0, a vrijednost sekantnog modula pri 50% vrstoe je oznaen kao E50 (vidi sliku 9). Za materijale sa veim opsegom linearne elastinosti realno je koristiti E0, ali za optereenje tla 12

se openito koristi E50. Razmatrajui probleme rastereenja, kao to je to sluaj kod tunela i iskopavanja, potrebno je koristiti parametar koji se moe utvrditi pri povratnim deformaciojama tj rastereenju (vidi sliku 3, linija 4), Eur umjesto E50.

Slika 9 Definicija modula E0 i E50 za standardni drenirani troosni pokus (Yong, Townsend, 1980) Za tla, i modul rastereenja Eur i modul optereenja E50 imaju tendenciju da rastu s poveanjem pritiska. Stog se u dubokmi slojevima tla moe oekivati vea krutost u odnosu na plitke slojeve. Takva krutost zavisi od traga naprezanja koji slijedi. Krutost je dosta vea za rastereenje i ponovno optereenje nego za primarno optereenje. Kada se koristi model s konstantnim modulom elastinosti (stiljivosti) za predstavljanje ponaanja tla mora se izabrati vrijednost koja odgovara razini naprezanja i odgovarajuem tragu naprezanjaPoisson-ov koeficijent (v)

Poisson-ov koeficijent je po definiciji omjer uzdune i poprene deformacije: = popreop uzduno ( 19)

U tlu ovaj omjer nije ni priblino jednostavan kao kod na pr. elinog tapa ili betonske kocke. Prilikom razmatranja Poisson-ovog koeficijenta u tlu, valja uvijek imati na umu da se u tlu deformiraju iskljuivo pore, dok vrste estice, prema temeljnoj pretpostavci, ne mijenjaju svoj oblik za razinu radnih naprezanja. Deformacije nastaje meusobnim klizanjem i kotrljanjem estica na raun smanjenja pora. Kako je u edometarskom pokusu sprijeeno bono irenje to je bona deformacija b = 0 pa preostaje iskljuivo uspravna deformacija z iz jednadbe 14. Proizlazi da je za takav model Poissonov koeficijent =0.

13

U dreniranom troosnom pokusu mogue je Poissonov koeficijent odrediti za svaku napose odabranu razinu naprezanja odnosno inkrement naprezanja z kao i sekantni i tangentni modul, prema izrazu:

=

z v 2 z

( 20)

gdje je z uspravna, osna deformacija a v zapreminska deformacija. Obje ove vrijednosti mogu se u spomenutom pokusu izmjeriti. Pri ispitivanju uzoraka tla moe se primijetiti da standardni drenirani troosni pokusi mogu rezultirati sa znaajnim koeficijentom smanjenja zapremine pri samom poetku osnog optereenja i vezano s tim, imaju nisku poetnu vrijednost Poisson-ovog koeficijenta. Za sluajeve rastereenja, moe biti realno koristiti tako nisku poetna vrijednost, ali generalno kada se koristi Mohr-Coulomb-ov model tla preporuuje se upotreba veih vrijednosti. Izbor vrijednosti Poisson-ovog koeficijenta je jednostavan kada se koristi elastini model ili Mohr-Coulomb-ov model tla. U drugim sluajevima to je mnogo sloenije.Veza s ostalim deformacijskim karakteristikama

Odnos izmeu Young-ovog modula E i drugih modula krutosti kao to su moduli smicanja G, modul kompresije K, i edometerski modul Eoed, je dat u jednadbama koje slijede (Hill, 1950):

G=

E 2(1 + v) E K= 3(1 2v) (1 v) E E oed = (1 2v)(1 + v)

( 21)

Pri proraunu parametara materijala za linearno elastini model ili Mohr-Coulomb-ov model, vrijednosti G i Eoed su dane kao dodatni parametri, izraunati iz jednadbe (21).

14

Veza naprezanja i deformacije u linearno-elastinom modelu

Naprezanja i deformacije povezani su slijedeim izrazom (Timoenko, Gudier, 1962).v' v' 1 v' ' xx v' 1 v' ' v' yy v' ' zz v' 1 v' E = 0 0 ' xy (1 2v' )(1 + v' ) 0 0 ' yz 0 0 0 0 ' zx 0 0 xx 0 0 0 yy 0 0 0 zz 1 0 0 xy 2 v' 1 0 0 yz 2 v' 1 0 0 2 v ' zx 0 0

( 22)

Moe se uoiti da je veza uspostavljena koritenjem samo dva parametra koji su prethodno pojanjeni U pojednostavnjenom obliku izraz (22) se moe pisati kao: x 0 1 1 y 0 E = 1 0 z (1 + )(1 2) 1 2 0 0 0 2 xy x y z xy

( 23)

U dvodimenzionalnoj analizi ravninskog stanja deformacija, z jednak je nuli. Vano je uoiti da kada se pribliava vrijednosti 0.5, lan (1-2)/2 se pribliava nuli, a lan (1-) se pribliava . Iz toga se vidi da su naprezanja i deformacije izravno povezane konstantom koja opisuje zapreminsku deformaciju. Nadalje, lan E/[(1+)(1-2] tei prema beskonanosti kada se (1-2) pribliava nuli. To znai da zapreminska deformacija tei nuli kada se Poissonov koeficijent pribliava vrijednosti 0.5. Primjenjuje se kod prorauna deformacija u tlu.3.2.2 DuncanChang model

Nelinearni elastini model tla predloili su Duncan i Chang 1970., analizirajui deformacije nasipa i brana. Parametri modela mogu se dobiti iz rezultata troosnog pokusa. Naponsko - deformacijska krivulja je hiperbola, koja povezuje devijatorsko naprezanje (13) i osnu deformaciju prema izrazu (Konder, 1963., Konder i sur. 1963., 1965):

= a b (1 3 )

( 24)

Ovisno o stanju naprezanja i tragu deformacije, model sadri tri modula tla: poetni modul Ei , tangentni modul Et i modul optereenje - rastereenje Eur.

15

Slika 10: Nelinearna ovisnost naprezanja i deformacijaPoetni modul Ei

Kada je tlo u hidrostatskom stanju naprezanja tj. kada je 1-3 =0, krivulja odnosa naprezanje deformacija se modelira koristei poetni, tangentni modul Ei prema Jambuovom izrazu iz jed. (18) i ovisi o naprezanju 3 . E i = K L pa 3 p an

( 25)

gdje je: Ei, poetni tangentni modul; KL, modulski broj optereenja; pa, atmosferski pritisak (pa = 100 kPa; koristi se kao referentni parametar); 3, manje glavno naprezanje n, eksponent kojim se odreuje utjecaj bonog pritiska na poetni modul. Pri tom su n i K brojevi (konstante) koje se dobiju iz rezultata dreniranih troosnih pokusa u laboratoriju. Kada je n=0, Ei je neovisan o bonom naprezanju, kada je n=1 Ei je izravno proporcionalan bonom naprezanju. Da bi se model mogao oblikovati, tj. odrediti konstante n i K, potrebno je iz troosnih pokusa odrediti poetni tangentni modul Ei. Na slici 11 prikazan je nain odreivanja poetnog tangentnog modula koji je potreban za odreivanje konstanti u jednadbi 24.

16

asimptota=(13)loma =(13)Ei = 1 a

/( 13)

1 b

1

1 a

b

Slika 11 Grafiki prikazi rezultata laboratorijskih troosnih pokusa i konstrukcija vrijednosti poetnog modula elastinosti Ei (Duncan i Chang 1970.) Zatim se iz rezultata niza pokusa prikazanih krivuljama odnosa 3 - Ei, na log log dijagramu odreuju konstante K i n. Na ovako nacrtanim dijagramima krivulje 3 - Ei, mogu biti dobro opisane pravcima. Na slici 12 prikazani su dijagrami 3 Ei iz kojih je mogue odrediti konstante n i K.1000,0 Poetni tangentni modul Ei [MPa] K=200; n=0,54

100,0

K=29,5; n=0,65

zbijeni pijesak rahli pijesak

10,0 0,01

0,1 Pritisak u eliji 3 [MPa]

1

Slika 12 Poetni modul kao funkcija pritiska u eliji pri dreniranom troosnom pokusu pijeska (Duncan i Chang 1970.) U literaturi (Maksimovi, 2001.) se mogu nai vrijednosti za koeficijente a i m za Jambuov model, koje su dane u tebeli 1.

17

Tabela 1 Vrijednosti eksponenta, a, i modulskog broja, m, za Jambu-ov izraz (jednadba 18) za poetni tangentni modul Ei Vrsta tla ljunak Pijesak zbijen srednje zbijen rahli Prah vrst teko gnjeiv lako do teko gnjeiv Glina prainasta, kruta prainasta vrsta prainasta teko gnjeiva organske i morski mulj TresetTangentni modul Et

stanje tla

eksponent a 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

modulski broj m 400 i vie 400-250 250-150 150-100 200-80 80-60 60-40 60-20 20-10 10-5 20-5 5-1

Tlo e slijediti putanju optereenja kada je izloeno posminom naprezanju veem od onog kojem je bilo ranije izloeno, od toke O do toke A sa slike 10. Na toj putanji optereenja, ponaanje tla se modelira tangentnim modulom Et. Tangentni modul u Duncan Chang modelu definiran je kao funkcija (1-3) i bonog naprezanja 3 preko izraza: R ( 3 )(1 sin ) E t = 1 f 1 Ei 2c cos + 2 3 sin gdje je: - kut unutarnjeg trenja; c - kohezija; Rf - omjer asimptote hiperbole i posmine vrstoe (od 0.75 do 1.0), ali se moe odrediti i iz rezultata dreniranog troosnog pokusa; 1 - najvee glavno naprezanje; 3 - najmanje glavno naprezanje.2

( 26)

18

Modul optereenje - rastereenje Eur

Kada se tlo rastereti iz stanja najveih posminih naprezanja, od toke B do toke C sa slike 10, nelinearni model tla koristi modul optereenje - rastereenje Eur. Oblik jednadbe je slian kao za poetni modul Ei. Modulski broj optereenja KL u jednadbi 25 zamijenjen modulskim brojem optereenja-rastereenja Kur. Tako se je modul optereenja rastereenja Eur dobije iz izraza: E ur = K ur p a 3 p an

( 27)

Za razliku od tangentnog modula, modul optereenja rastereenja nije ovisan o stanju posminih naprezanja. Ovaj se modul moe izraunati izravno iz krivulja rezultata dreniranog troosnog pokusa, na kraku rastereenje- ponovno optereenje (pravac 4 na slici 3).Poissonov koeficijent

Poissonov koeficijent nelinearnog elastinog modela tla moe biti uzet kao konstanta neovisna o stanju naprezanja; iz jednadbe (20) ili moe biti izraunat iz modula promjene zapremine, koji ovisi o bonom naprezanju. Modul promjene zapremine dan je izrazom: Bm = K m p a 3 p am

( 28)

gdje je: Bm, modul promjene zapremine; Km, modulski broj; m, eksponent zapreminskog modula. Ovaj modul jednak je svojim oblikom poetnom modulu Ei, odnosno Jambu-ovom izrazu (jed. 18). Svi ovi izrazi ovise o bonom naprezanju 3, i sadre u sebi normalizirajui parametar ili referentno naprezanje . Veza izmeu zapreminskog modula i Poissonovog koeficijenta moe se odrediti preko teorije elastinosti tako da je:= E 1 1 t 3B 2 m

( 29)

Ovakav se modul moe dobiti ispitivanjem u hidrostatskom stanju naprezanja.

19

3.2.3 Anizotropno elastini model

Elastina anizotropnost se odnosi na upotrebu razliitih svojstava elastine krutosti u razliitim smjerovima. Ovakvim modelima mogue je opisati ponaanje ispucale stijenske mase te se stoga u literaturi (Newmark, 1977. ) ovi modeli nazivaju i modeli ispucale stijene. Anizotropni elastini model je model prilagoen za materijale razliite krutosti i naprezanja u razliitim smjerovima. To je model kod kojeg je smjer posmika odreen kutom nagiba slojeva (slika 12). Pri tom je otpor na smicanje na ravnini izmeu slojeva razliit od ostalih otpora na smicanje u bilo kojem drugom smjeru. Kao posljedica toga materijali mogu reagirati razliito kada se stave u odreene uvjete u jednom ili drugom pravcu, to je tipino za anizotropiju. Model ispucale stijene je anizotropni elastino-idealno plastini model, pogodan za opis ponaanja uslojenih i ispucalih stijenskih masa. Ovdje e biti obraen samo onaj dio modela koji se odnosi na elastino ponaanje dok sam model ima i idealno-plastini dio. Smatra se da se neporemeena stijena ponaa kao popreno anizotropni elastini materijal, definiran s pet parametara i pravcem vrstoe na smicanje. Anizotropnost moe biti posljedica uslojenosti ili drugog fenomena. U glavnim pravcima pukotina, pretpostavlja se da su naprezanja na smicanje ograniena u skladu sa Coulomb-ovim kriterijem vrstoe na smicanje. Pri dostizanju maksimalnog naprezanja na smicanje u tom pravcu e se pojaviti plastino klizanje. Mogu se odrediti najvie tri ravnine klizanja, pri emu se uzima da se prva ravnina podudara s pravcem elastine anizotropnosti. Svaka ravnina moe imati razliite vrijednosti posminog naprezanja. Vlana naprezanja ograniena su vlanom vrstoom koja je unaprijed odreena. Primjena modela ispucale stijene je opravdana kada su prisutne familije pukotina ili skupovi usporednih pukotina. Skupovi pukotina ne smiju biti ispresjecani rasjedima, a veliina pukotina treba biti mala u odnosu na dimenziju stijenske mase. U mnogim sluajevima se raspolae s dovoljno dobrim podacima o dominantnim slojevima tla. Bez sumnje se rijetko raspolae s rezultatima i troosnih i edometarskih pokusa. Meutim dobri podaci bar jednog od ova dva pokusa mogu biti dopunjeni podacima in situ ispitivanja i s njima korelirani. Tipian primjer za upotrebu ovakvog modela su glinoviti kriljci i tanko uslojeni lapori flinih serija, koji imaju slabiji otpor na ravnini uslojenosti nego u drugim smjerovima preko ravnine. Model je u osnovi elastian model, s razliitim modulom elastinosti u okomitom i tangencijalnom smjeru na meuslojnoj ravnini. Model ima graninu vrstou na toj ravni koja je odreena Mohr-Coulombovim kriterijem sloma tla (GeoSlope). 20

Na slici 13 se vidi uslojeni tlo koje je anizotropno u lokalnim okomitim smjerovima x' i y', a os x' s globalnom x osi zatvara kut .G xy; yx

E yy

y E x;x

Slika 13: Anizotropni elastini model Anizotropni elastini parametri u lokalnom sustavu su odreeni sljedeim vrijednostima: - u x' smjeru: Ex' i x' - u y' smjeru: Ey' - veza izmeu x' i y' : Gxy xy Parametar xy je Poissonov koeficijent vodoravnih x' i uspravnih y' deformacija (u lokalnom koordinatnom sustavu x' i y') uzrokovanih naprezanjem u y' smjeru. Ovi parametri moraju zadovoljiti sljedea ogranienja (Pickering, 1970): Ex', Ey' i Gxy > 0, 1 < x < 1, (1 x') > 2(Ex'/Ey')xy' Ostala svojstva ovog modela tla su sljedea: Kriterij loma je u skladu sa Coulombomvim zakonom u tri pravca i: parametri ci, i i i; Ograniena vlana vrstoa u tri pravca i: parametri t,i. Ponaanje elastinog materijala u modelu ispucale stijene je opisano pomou matrice krutosti elastinog materijala, D*. Suprotno od Hukovog zakona, D*matrica, kao to je koritena u ovom modelu tla je popreno anizotropna. Razliite krutosti se mogu koristiti okomito na i u prethodno odreenom pravcu (Ravnina 1). Ovaj pravac moe odgovarati pravcu uslojenosti ili bilo kojem drugom pravcu sa znaajno razliitim osobinama elastine krutosti.

21

Ako se uzme, npr, vodoravna uslojenost, gdje je krutost u vodoravnom smjeru E1, razliita od krutosti u uspravnom smjeru E2, tada je pravac Ravnine 1 paralelan s x-z ravninom i postoje sljedei konstitutivni odnosi (Zeinkiewcz, Taylor, 1989):

xx =

xxE1

v 2 yy E2

v1 zz E1

yy = zz = xy = yz = zx =

v 2 xx yy v 2 zz + E2 E2 E2 v1 xx v 2 yy zz + E1 E2 E1

xyG2

( 30)

yzG2 2(1 + v1 ) zx E1

Inverzna matrica krutosti anizotropnog elastinog materijala (D*)-1, proizlazi iz gornjih jednadbi. Ovo je simetrina matrica. Regularna matrica krutosti materijala D* se jedino moe dobiti numerikom inverzijom. Openito, ravnina uslojenosti nee biti paralelna sa globalnom x-z ravninom, ali gornje jednadbe e, generalno, biti odrve za lokalni (n,s,t) koordinatni sustav, gdje je ravnina uslojenosti paralelna sa s-t ravninom. Orijentacija ove ravnine je odreena pomou kuta nagiba i pravca pruanja (vidi jed. 31). Kao posljedica matrica krutosti lokalnog materijala treba da se transformira s lokalnog na globalni koordinatni sistem. Stoga prvo razmatramo transformaciju napona i deformacija:

nst = R xyz nst = R xyzgdje su: R = nx s x nx 2 nx 2 ny

xyz = R 1 nst xyz = R 1 nst

( 31)

nz2 s t s y + ny sx t y + sy tx t y + ny t x2 z 2 z

2 nx n y 2sx s y 2t xt y s z + nz s y t z + sz t y t z + nz t y

2 n y nz 2s y sz 2t y t z nz s x + nx sx t z + sz n z t x + nx

s t sx ny tx sy t x ny

2 x 2 x

sy ty ty

s t nz s z sz t z nz t z

2 y 2 y

nx sx nx

ny sy ny

2 nx nz 2sx sz 2t xt z ( 32) sz tx tz

i

22

n2 x s2 x 2 tx R = 2 n x s x 2 n y 2 sx t x 2 sy 2 n x t x 2 n y

n2 n2 2n x n y 2n y n z 2n x n z y z 2 2 sy sz 2s x s y 2s ys z 2s x s z 2 2 ty tz 2t x t y 2t y t z 2t x t z ( 33) s y 2 n z sz n x s y + n y s x n y sz + n z s y n z s x + n x sz t y 2 sz t z s x t y + s y t x s y t z + sz t y s x t z + sz t x t y 2 nz t z nx t y + ny t x ny t z + nz t y nz t x + nx t z

a nx, ny, nz, sx, sy, sz, tx, ty, i tz su komponente normaliziranih n, s i t-vektora u globalne (x,y,z)-koordinate. Za ravninsko stanje vrijedi: nz = sz = tz = 0. Dalje vrijedi da je: R = RT 1

R = R

T

1

( 34)

Lokalni odnos naprezanje-deformacija u (n,s,t)-koordinatama se moe transformirati u globalne odnose u (x,y,z)-koordinatama na slijedei nain:

nst = D* nst nst nst = R xyz R xyz = D* R xyz nst nst = R xyz

( 35)

3.3

Plastini modeli

Koncept teorije plastinosti sastoji se od tri osnovne veze: uvjet poputanja, zakon poputanja i ovrivanja i uvjet sloma. Plastini konstitutivni modeli se razlikuju po pretpostavljenoj funkciji poputanja. Odnos naprezanja i deformacija pretpostavlja, da se materijal prije poputanja ponaa linearno elastino po elastinim parametrima E i odreenim u modelu i savreno plastino nakon poputanja. Ukupna deformacija ili odnos deformacijskih komponenti je:

d = d e + d p pri emu je: d ukupna deformacija; de elastina deformacija; dp plastina deformacija.

( 36)

Generalno, veliina plastine deformacije (u infinitezimalnom obliku) se moe pisati kao (Hill, 1950):p = g '

( 37)23

gdje je: - plastini multiplikator; - g funkcija lokalnog plastinog potencijala: Za isto elastino ponaanje je nula, dok je u sluaju plastinog ponaanja pozitivna (Hill, 1950): = 0 za f < 0 ili > 0 zaf=0 i

f T D 0 ' e f T D >0 ' e

(elastinost) (plastinost)

( 38) ( 39)

gdje je f funkcija vezana s funkcijom plastinog potencijala g. Ove jednadbe se mogu koristiti za uspostavljanje odnosa izmeu stupnjeva efektivne deformacije za elastoplastinost (Smith, Griffin, 1982; Vermeer, de Borst, 1984):

T D D g f D = e d e ' ' e

( 40)

gdje je:

d=

f T g De ' '

( 41)

Ukoliko je ponaanje materijala elastino, kao to je definirano u jednadbi 38, vrijednost je jednaka nuli, dok za plastinost, prema definiciji jednadbe 39, parametar ima odreenu vrijednost veu od nule (Smith, Griffin, 1982; Vermeer, de Borst, 1984). Gornja teorija plastinosti je ograniena na glatke povrine iskoritenja i ne obuhvaa iskoritene povrine s mnogobrojnim konturama kao to je prikazano u Mohr-Coulombovom modelu (Smith, Griffin, 1982; Vermeer, de Borst, 1984). U nastavku su opisani osnovni plastini modeli: 1) MohrCoulombov model; 2) Drucker Pragerov model; 3) Von Misesov model; 4) Tresca model, od kojih je najjednostavniji i najveu primjenu u geotehnici ima Mohr Coulombov model. Na slici 14 dani su grafiki prikazi glavnih naprezanja u prostoru za klasine teorije sloma.

24

1 D ru ck er Pr age r

Vo n M ises

M o hrC o u lom b

1

Tr esca

2 3 3

2

Slika 14 Klasine teorije sloma u prostoru glavnih naprezanja3.3.1 Mohr Coulombov model

Mohr Coulombov slom ili kriterij vrstoe je u irokoj primjeni u geotehnici. Veliki broj prorauna pri projektiranju koristi ovaj kriterij sloma materijala. Teorija se zasniva na tome da je slom kontroliran najveim posminim naprezanjima, a posmino naprezanje ovisi o normalnom naprezanju. To se najbolje moe prikazati pomou Mohrove krunice za stanje naprezanja pri slomu pri najveem i najmanjem glavnom naprezanju. (,)q= 1 3 2

c 3

3

1

1

p=

1 + 3 2

Slika 15 Mohr - Coulombov kriterij sloma za ravninsko stanje naprezanja Kad linija vrstoe tangira Mohrovu krunicu Mohr - Coulombov kriterij glasi: = c + tg gdje je: posmino naprezanje; normalno naprezanje; c kohezija materijala; kut trenja. ( 42)

25

S Mohrovog kruga se oitaju odnosi: = q cos i = p q sin

( 43)

Uvrtenjem i iz jednadbe 43 u Mohr Coulombov kriterij se moe napisati u obliku: q p sin c cos = 0 gdje je: 1 q = ( 1 3 ) , 2 a p= 1 ( 1 + 3 ) . 2 ( 46) ( 45) ( 44)

Mohr-Coulombov kriterij pretpostavlja da slom ovisi o vrijednosti srednjeg glavnog naprezanja. Iako slom geotehnikih materijala ukljuuje mnogo manje ovisnosti od srednjeg glavnog naprezanja, Mohr-Culombov model je jednostavan i koncipiran da bude dovoljno toan za veinu primjena u praksi. Ovaj model sloma ima vrhove u devijatorskoj naponskoj ravnini kako je to prikazano naslici 16.S2 Drucker-Prager (Mises) Mohr - Coulomb

S1

S3

Slika 16 Mohr-Coulombov model u devijatorskoj ravnini u usporedbi s Druker-Prager modelom Konstitutivni model opisuje produetak klasinog Mohr-Coulombovog kriterija sloma. To je elastoplastian model koji koristi funkciju poputanja Mohr-Coulombovog oblika. Ova funkcija ukljuuje izotropnu kompresiju ovrivanja/omekavanja. Model koristi potencijalni tok, koji ima hiperbolini oblik u meridionalnoj ravnini i nema kutova u devijatorskom naponskom stanju. Potencijalni tok je tada u cjelini gladak i omoguava jednaku definiciju pravca plastinog toka (ABAQUS). Mohr-Coulombov kriterij napisan u obliku najveeg i najmanjeg glavnog naprezanja, moe biti napisan za ope naponsko stanje u obliku tri naponske invarijante. Ove invarijante su ekvivalentne naprezanju pritiska:26

1 p = trace( ) 3 Von Misesovo odgovarajue naprezanje:= 3 (S : S) 2

( 47)

( 48)

gdje je S = + pI devijator naprezanja. Trea invarijanta devijatorskog naprezanja glasi: 9 r = S S : S 2 Mohr-Coulombova funkciju poputanja tada je: F = R mc p tan c = 0 a f, =1,2 prije definirane vrijednosti,c = ( p , , f ) razvoj kohezije materijala u obliku izotropnog ovravanja ili1/ 3

( 49)

( 50)

gdje su: ( , f ) kut trenja materijala u meridijanskoj naponskoj ravnini, je temperatura

omekavanja, p plastina deformacija,

Rmc Mohr-Coulombovo devijatorsko naprezanje:R mc ( , ) = 1 sin + + cos + tan 3 3 3 3 cos 1

( 51)

devijatorski polarni kut (Chen i Han, 1988) odreen kao: r cos (3) = 3

( 52)

3

1=2=3

2 1Slika 17 Mohr - Coulombova ploha poputanja Kut trenja materijala kontrolira oblik plohe poputanja u devijatorskoj ravnini kao na slici 18. Vrijednost kut trenja moe biti izmeu 00 900. U sluaju da je =00 MohrCoulombov model se smanjuje od Treskinog modela sa heksagonalnim presjekom; u sluaju 27

da je =900 smanjuje se do Rankinovog modela sa trokutnim devijatorskim presjekom i Rmc=. Ovo ogranienje nije doputeno unutar Mohr - Coulombovog modela opisanog ovdje (Mihanovi i sur., 1993.). Potencijalni tok je pretpostavljen u obliku:d p = d p g

( 53) ( 54)

1 G = : c

gdje je G potencijalni tok, izabran kao hiperbolina funkcija u meridijalnoj naponskoj ravnini i glatka eliptina funkcija u devijatorskoj ravnini.=0 Rmcq c p Drucker-Prager (Mises) Mohr-Coulomb (=20) =2/3 Tresca (=0)

Rankine (=90) =4/3

Slika 18 Mohr-Coulombov ploha poputanja u meridijalnoj i devijatorskoj ravnini i usporedba s ostalim modelima3.3.2 Drucker Pragerov model (pridrueno i nepridrueno pravilo toka)

Drucker Pragerov model zadan kao funkcija poputanja je:f = 3 m sin + J 2 c = 0

( 55)

gdje su: m glavno naprezanje J2 druga invarijanta naprezanja c, maksimalna ili vrna kohezija i kut trenja materijala3 1=2=3

2 1

Slika 19 Drucker - Pragerova ploha poputanja 28

Ako se koristi pridrueno pravilo toka, plastini potencijal je jednak funkciji poputanja. Za nepridrueni tok, plastini potencijal poslije poputanja je dat kao (P.I.S.A.):g = 3I1 sin + J 2

( 56)

gdje je: - kut dilatacije I1 prva invarijanta naprezanja3.3.3 Von Misesov model

Von Misesov kriterij sloma se moe izraziti kao:

f =qk =0gdje je: f funkcija poputanja q druga invarijanta naprezanja k najvea ili vrna jednoosna tlana vrstoa poputanja materijala.

( 57)

Ovaj kriterij je najee u upotrebi u dvoparametarskim modelima. Najbolje se podudara s eksperimentalnim rezultatima. Jednostavno se zadaje kao:f (J 2 ) = 3J 2 o = 0

( 58)

gdje je: o ekvivalentno jednoosno naprezanje uzeto iz pokusa, J2 druga devijatorska invarijanta naprezanja. Uvrtavajui komponente naprezanja u prethodni izraz dobiva se funkcija poputanja: f (J 2 ) = 2 + 2 x y + 3 2 0 = 0 x y xy3 1=2=3

( 59)

2 1

Slika 20 Von Misesova ploha poputanja

29

3.3.4 Tresca model (pridrueno pravilo toka)

Funkcija poputanja u Tresca modelu je zadana kao: f = 2q cos k = 0 gdje su: f funkcija poputanja q- druga invarijanta naprezanja k najvea ili vrna jednoosna tlana vrstoa poputanja materijala ( 60)

3

1=2=3 2

1Slika 21 Tresca ploha poputanja

3.3.5 Plastino ponaanje u tri pravca

Kod anizotropnih modela osim elastinog podruja mogue je i potrebno izuavati plastino ponaanje u tri pravca. Ova se tri pravca odnose na tri ravnine klizanja koje se mogu pojaviti u modelima ispucale stijene. Prva ravnina klizanja odgovara pravcu elastine anizotropnosti. Pored toga se mogu definirati jo dva druga pravca klizanja. Meutim, forumulacija plastinosti na svim ravninama je slina. Na svakoj ravnini su primijenjeni lokalni Coulomb-ovi uvjeti za ogranienje naprezanja na smicanje ||. Pored toga, je koriten kriterij lomne vrstoe da se ogranii vrno naprezanje na ravnini. Svaka ravnina, i, ima svoju vrijednost parametara ci, i, i, i t,i. Ovo su parametri identini onima za anizotropni elastini model tj.: Kriterij loma je u skladu sa Coulombomvim zakonom u tri pravca i: parametri ci, i i i; Ograniena vlana vrstoa u tri pravca i: parametri t,i. U cilju provjere uvjeta plastinosti za ravninu sa lokalnim (n,s,t) koordinatama, neophodno je izraunati lokalna naprezanja za Cartesian-ova naprezanja. Lokalna naprezanja ukljuuju tri komponente, npr. komponente normalnog naprezanja, n i dvije nezavisne komponente naprezanja na smicanje, s i t.

30

T i = T i

( 61)

gdje su:

i = ( n s t )TT

= ( xx yy zz xy yz zx )T

( 62)

T i = transformacijska matrica (3x6) za ravninu i.

U praksi su vlana naprezanja odreena kao pozitivna dok je pritisak odreen kao negativno naprezanje. Uzme li se u obzir stanje deformacije ravnine, kao to je prikazano na slici 22, vidi se da je klizna ravnina uzeta pod nagibom 1 (kut nagiba) u odnosu na x-os.

Slika 22 Situacija deformacije ravnine s jednom kliznom ravninom i vektorima n,s (uzeto iz Atkinson, Bransby, 1978) U ovom sluaju transformacija matrice TT postaje: s 2 c 2 0 2 sc T T = sc sc 0 s 2 + c 2 0 0 0 0 gdje su: s = sin 1 c = cos 1 U opem trodimenzionalnom sluaju transformacija matrice je sloenija jer ukljuuje i kut nagiba i smjer pruanja (vidi jed. 32): 0 0 0 c s 0 ( 63)

31

2 nx T T = nx sx nx t x

2 ny

nz2 sz tz nx s y + n y ny t x + nx

2nx n y s x nz s y + n y t y n y t z + nz sz ty

2n y nz nz nz s x + nx t x + nx

ny s y nz ny t y nz

2nz nx sz ( 64) tz

Moe se uoiti da opa transformacijska matrica TT za proraun lokalnih naprezanja odgovara prvom, etvrtom i estom redu matrice R (vidi jed. 32). Nakon odreivanja komponenti lokalnog naprezanja, plastini uvjeti se mogu provjeriti na osnovu funkcija poputanja. Funkcije poputanja za ravninu i su definirane kao:f i = s + n tan i c i (Coulomb)

( 65) (65a)

f it = n t , i ; ( t , i c i cot i ) (naprezanje pri slomu)

Slika 23 prikazuje potpune kriterije poputanja na jednoj ravnini.

Slika 23 Kriterij poputanja za pojedinu ravninu (uzeto iz Yong, Warkentin, 1966) Lokalne plastine deformacije su definirane sa:

j = jp

g j j

( 66)

gdje je gj funkcija lokalnog plastinog potencijala za ravninu j: g j = j + n tan j c j (Coulomb)g tj = n t , j (naprezanje pri slomu)

( 67) ( 68)

Transformacijska matrica T se takoer koristi za transformiranje poveanja deformacije lokalne plastinosti ravnine j, j , u globalna poveanja plastine deformacije, :p

p

p = T j p j

( 69) 32

Uvjet konzistentnosti zahtjeva da vrijednost funkcije poputanja pri poputanju stijenske mase mora biti nula za sve aktivne funkcije poputanja. Za sve ravnine zajedno, postoji najvie 6 funkcija poputanja, tako da se mora nai do 6 plastinih mnoilaca, tako da je veina funkcija poputanja jednaka nuli, a da plastini mnoioci nisu negativni.f ci = f cie < cj >j =1 np np

f cT T g j np f T g j Ti DT j c < tj > c Ti T DT j t j =1

ft = fti

ie

f t T T g cj np f t T T g tj j < > < t > Ti DT j Ti DT j j =1 j =1j c

( 70)

Ovo znai iznalaenje do 6 vrijednosti i0 takvih da su svi fi 0 i ifi=0 Kada se koriste maksimalno 3 ravnine, postoji 26=64 mogunosti poputanja. U procesu prorauna, sve ove mogunosti se uzimaju u obzir u cilju pruanja tonog prorauna naprezanja.

3.4

Elasto plastini modeli

U ovu grupu modela spadaju: 1)Idealno elastini idealno plastini model; 2) Cam Clay i modificirani Cam Clay model; 3) Deformacijsko omekavajui model3.4.1 Idealno elastini idealno plastini model

Karakteristina naponsko-deformacijska krivulja linearno elastinogidealno plastinog modela prikazana je na slici 24. Naprezanja su izravno proporcionalna deformacijama sve dok se ne dosegne toka poputanja, iza toke poputanja naponsko deformacijska krivulja je vodoravna.

elastino naprezanje

plastino toka poputanja E

1 deformacijaSlika 24 Elastini idealno plastini model

Teorija elastoplastinosti, elemenata:

koja opisuje ponaanje sa slike 24 sastoji se od sljedeih

33

Relativna deformacija se rastavlja, kako je ve reeno u poglavlju 3.3, na elastinu i plastinu komponentu:

{ d} = { d e } + { d p }.

( 71)

Elastina komponenta deformacija moe uzrokovati promjene naprezanja. Elastina konstitivna jednadba ima oblik:

{ d} = [ Ce ]{ d e }Funkcija poputanja odreena je oblikom:f = f ( x , y , z , xy )

( 72)

( 73)

ili u matrinom obliku: df =

f {d} .

( 74)

Ako je f