Modeli zivotnog osiguranja na bazi uplate jednokratne premije-P.pdf

EKONOMSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Dr.Milivoje Krmar MODELI IVOTNOG OSIGURANJA NA BAZI UPLATE JEDNOKRATNE PREMIJE

Drugo izdanje

Sarajevo, 1988.

2

UVOD Modeli ivotnog osiguranja mogu se podijeliti u dvije osnovne grupe, i to:

a.) modeli u kojma se osigurava renta b.) modeli u kojima se osigurava kapital

Ako se osigurani iznos isplauje u toku vie godina u godinjim ili ispodgodinjim iznosima, onda se govori o osiguranju rente, a ako se osigurani iznos isplauje odjedanput, onda se govori o osiguranju kapitala (glavnice). I osiguranje rente i osiguranje kapitala moe biti u fiksnom i varijabilnom iznosu. Zato e se u ovom radu poseno obraditi osiguranje rente i kapitala u fiksnom, a posebno u varijabilnom iznosu. Varijabilnost osiguranog iznosa moe se zasnivati na bezbroj predpostavki, to daje veliku mogunost za konstrukciju takvih modela ivotnog osiguranja, koji e biti prilagoeni konkretnim uslovima u kojima funkcionie i sam sistem ivotnog osiguranja. Meutim, ovdje emo se ograniiti samo na dvije grupe varijabilnih osiguranih iznosa. Prvo e se posmatrati osigurani iznosi koji se konstantno poveavaju (smanjuju) za istu veliinu, a potom osigurani iznosi koji se konstantno poveavaju (smanjuju) za isti procenat. Naravno, da se mogu posmatrati i drugi tipovi varijabilnosti osiguranih iznosa, ali bi njihova razrada po svome obimu prevazilazila ovieovog raa. Sv modeli ivotnog osiguranja raeni su na bazi uplate jednokratne neto premije. Za izraunavanje konkretnih veliina koritene su Finansijske i mortalitetne tablice od dr. Branka Trklje u izdanju Savremena administracija Beograd, 1980.1 1 1/ komutativni brojevi su izraunati na bazi kamatne stope 5 %.

3

1. Osiguranje rente Ako se osigurani iznos u ivotnom osiguranju isplauje u toku vie godina u godinjim ili ispodgodinjim iznosima, onda se govori o osiguranju rente. Pod pojmom rente podrazumijevaju se jednake ili promjenjive isplate (koje se mijenjaju po nekom matematskom zakonu), koje se isplauju u jednakim vremenskim intervalima na bazi jedne ili vie uplata. U aktuarskoj matematici ovo osnovno znaenje rente mora se malo proiriti. Naime, isplata rente u ivotnom isiguranju vezana je za odreeno lice, odnosno za ivot odreenog lica. Zbog toga je isplata rente zavisna i o ostvarenju odreenog dogaaja u budunosti (za sluaj doivljenja, odnosno za sluaj smrti osiguranog lica). Prema vremenu trajanja rente se dijele doivotne i privremene line rente, a prema vremenu poetka primanja, renta se dijele na neposredne i odgoene line revte. To znai da se line rente mogu svesti u etiri modaliteta i to:

a.) neposredna doivotna lina renta b.) odgodjena doivotna lina renta c.) neposredna privremena lina renta d.) odgoena privremena lina renta

Rente mogu biti osigurane u fiksnom i varijabilnom iznosu. Prvo e se prezentirati osiguranje rente u fiksnom iznosu. 1.1. Osiguranje godinje jednake rente Ako se osigurana renta u toku cijelog perioda ivotnog osiguranja ne mijenja, onda se govori o osiguranju jednake rente. Osiguranje jednake rente razmotrie se za sve navedene sluajeve ivotnog osiguranja. 1.1.1. Neposredna doivotna lina renta Pod neposrednom doivotnom linom rentom podrazumijeva se takve isplate koje osiguranik prima od poetka osiguranja do kraja ivota. Ona se moe primati na poetku i na kraju svake godine. Ako se renta prima na poetku godine, govori se o anticipativnoj renti, a a ko se prima na kraju godine, govori se o dekurzivnoj renti. Prvo e se posmatrati anticipativna renta. Postavlja se pitanje koliko treba da uplati neko lice osiguravajuem drutvu da bi se obezbijedina isplata osigurane rente sve dotle dok je to lice ivo. Budui da svaki ovjek ima razliit ivotni vijek, to se ne moe problem rijeiti pojedinano. Meutim ako se poe od pretpostavke da se eli osigurati vei broj lica, onda se moe izvesti matematski zakon koji vai za sve osiguranike zajedno na osnovu zakona velikih brojeva. To znai da osiguravajue drutvo ne moe osigurati samo jendo lice, odnosno moe ga osigurati jedino pod pretpostavkom da postoji veliki broj lica koji se eli osigurati. Taj veliki broj lica platie osiguravau toliko novanih sredstava (premiju), koja su dovoljna da on moe isplatiti sve preuzete obaveze po zakljuenom osiguranju.

4

Osnovni princip u osiguranju je da ono to osiguranice zajedno uplate bude jednako preuzetoj obavezi za te osiguranike. To je, ustvari, poznati princip ekvivalencije. Sada se moe pokazati kako se taj princip primjenjuje na izraunavanje jednokratne premije za sluaj osiguranja doivotne line anticipativne rente. Polazi se od pretpostavke da e se osigurati vei broji lica starih x godina- taj broj oznaava se sa xl , a to je upravo onoliko lica koliko je u mortalitetnim tablicama predvieno da ima lica starosti x godina. Ako svaki osiguranik uplati osiguravau jednokratni iznos koji se oznaava sa x , onda e xl osiguranika uplatiti xl x novanih jedinica. Na bazi ove uplate osigurava se obavezuje da e isplaivati svakom osiguraniku rentu na poetku svake godine sve dok je osiguranik iv. Ako se poe od pretpostavke da isplate iznose po jednu novanu jedinicu , onda e isplata na poetku prve godine biti xl 1= xl novanih jedinica. Na poetku druge godine osigurava je obavezan opet da isplati rente od jedne novane jedinice. Meutim na poetku druge godine vie ne isplauje rentu za xl osiguranika, jer je u toku prve godine izvjestan broj osiguranika umro. Polazi se od pretpostavke da je umrlo onoliko lica koliko je to predvieno u mortalitetnim tablicama. To znai da na poetku druge godine ima 1+xl ivih lica i da e osigurava isplatiti na poetku druge

godine 1+xl novanih jedinica.

Analogno tome, osigurava e isplatiti na poetku tree godine 2+xl novanih jedinica, na

poetku etvrte godine 3+xl novanih jedinica itd.

Po principu ekvivalencije isplate moraju biti jednake uplati. Isplate se ne mogu sabirati u ovom obliku, jer su razliitog roka dospjelosti. Zato se isplate moraju svesti na isti trenutak u kojem je izvrena uplata jednokratne premije, odnosno, u ovom sluaju, na dana kada poinje isplata prve rente. To e se matematski prezentirati na slijedei nain: Godina Isplate Diskontovana vrijednost isplata 1. xl xl 2. 1+xl 1+xl v

3. 2+xl 2+xl2v

4. 3+xl 3+xl3v

....................................................................................................... Diskontovana vrijednost svih isplata mora biti jednaka uplati, a to se moe napisati u obliku sljedee jednaine: xl x = xl + 1+xl v + 2+xl

2v + 3+xl3v + ........

5

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv , dobija se: xl

xv x = xlxv + 1+xl

1+xv + 2+xl2+xv + 3+xl

3+xv + ........

Uvoenjem komutativnih brojeva, dobie se da je:

xD x = xD + 1+xD + 2+xD + 3+xD +.........

To e, konano, biti:

x =x

x

DN

(1)

Formula pod (1) pokazuje da ako se osigura xl lica starosti x godina, onda e svaki

osiguranik uplatiti jednokratnu premiju od x

x

DN novanih jedinica, pod pretpostavkom da

se svakom osiguraniku isplauje doivotna godinja anticipativna renta od jedne novane jedinice.

Drugim rijeima, x

x

DN

predstavlja sadanju vrijednost doivotne line godinje

anticipativne rente od jedne novane jedinice. Do formule pod (1) dolo se polazei od pretpostavke da se xl lica osigurava za doivotnu linu rentu. Meutim, sasvim je sigurno da ta formula vai i onda kada se osigurava neki drugi broj lica, svakako, pod pretpostavkom da je tak broj dovoljno velik da vai zakon velikih brojeva, to se moe jednostavno dokazati ako se poe od pretpostavke da se osigurava neki drugi broj lica. Bitno je jo naglasiti da doivotna lina renta tee do smrti osiguranika. Kada on umre, prestaje isplata rente, kao i sve druge obaveze koje proistiu iz zakljuenog osiguranja. Primjer: lice staro 30 godina eli da osigura anticipativnu doivotnu godinju linu rentu u iznosu od 200 000 d. kolika je jednokratna neto premija (koliko to lice treba da uplati osiguravajuem drutvu)? Prvo e se izraunati sadanja vrijdnost godinje anticipativne doivotne line rente od jedne novane jedninice za lice staro 30 g. To e biti:

x =x

x

DN

; 30 =30

30

DN

=058,22379222,388462

30 =17,358291 Ovaj broj znai da bi lice staro 30 godina osiguralo godinju anticipativnu linu rentu od jedne novane jedinice trebalo na dan zakljuenja ugovora o osiguranju uplatiti osiguravajuem drutvu 17,358291 novanih jedinica.

6

Meutim, ako se eli osigurati renta od 200 000 d, onda jednokratna premija (uplata) iznosi: A= 200 000 30 A= 200 000 17,358291 A= 3 471 658,20 Iznos od 3 471 658,20 d treba uplatiti da bi se obezbijedila isplata godinje anticipativne line renet od 200 000 d. Meutim, ova premija (uplata) se mora poveati i za iznos trokova osiguravaa. Naime, sve ono to bi osiguranici uplatili, to se izraunava na bazi formule pod (1), njima e se isplatiti u vidu rente. Zbog toga je nuno da se ovaj iznos povea i za iznos trokova osiguravaa. U ovom radu e se ove premije posmatrati bez dodatnih trokova. Zbog toga se ove premije i zovu iste ili neto premije. Sada e se posmatrati sluaj godinje dekurzivne doivotne line rente. Bitna razlika izmeu anticipativne i dekurzivne rente je u tome da isplata dekurzivne rente poinje godinu dana kasnije. To znai da e lice koje se osigurava na dekurzivnu rentu dobiti jednu i to prvu rentu manje. Otuda je diskontovana vrijednost te rente za jednu jedinicu manja od diskontovane vrijednosti anticipativne rente (pod pretpostavkom da rente iznose po jednu jedinicu). Ako se diskontovana vrijednost dekurzivne rente oznai sa xa , onda je:

xa = x -1 (2) Do nove formule moe se doi, ako se primjeni isti postupak kao i za izvoenje formule za anticipativne rente. Polazi se, takoe, od pretpostavke da isplata iznosi po jednu novanu jedinicu i da se osigurava xl lica. Godina Isplate Diskontovana vrijednost isplata (kraj godine) 1. 1+xl 1+xl v

2. 2+xl 2+xl2v

3. 3+xl 3+xl3v

4. 4+xl 4+xl4v

..................................................................................................... Po principu ekvivalencije diskontovana vrijednost isplata mora biti jednaka uplati. To e biti: xl xa = 1+xl v + 2+xl

2v + 3+xl3v + 4+xl

4v + ........

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i uvede se uobiajena zamjena dobivenih izraza, dobija se:

xD xa = 1+xD + 2+xD + 3+xD + 4+xD + .........

7

To e, konano, biti:

xa =x

x

DN 1+ (2a)

Do iste formule moe se doi, ako se poe od formule pod (2).

xa = x -1

xa =x

x

DN

- 1

xa =x

xx

DDN

,

A poznato je da je xD = 1+ xx NN . Ako se to uvrsti u prethodni izraz, dobija se:

xa =x

xxx

D

NNN 1++

To e, konano, biti:

xa =x

x

DN 1+

Primjer: lice staro 30 godina eli da osigura godinju dekurzivnu doivotnu linu rentu u iznosu od 200 000 d. Kolika je jednokratna premija?

30a =30

31

DN

=058,22379164,366083

30a = 16,358291 A= 200 000 16,358291 A= 3 271 658,20 1.1.2. Odgoena doivotna lina renta Ako se poetak primanja rente odgaa za izvjesno vrijeme, onda se govori o odgoenoj renti. Kada se radi o godinjim rentama, onda je poetak isplate odgoen za najmanje 2 godine. U ovom modelu osiguranja rente isplata poinje po proteku izvjesnog broja godina, taj broj oznaava se sa k, od dana poetka osiguranja i tee do smrti osiguranika. Problem osiguranja ove rente moe se postaviti na sljedei nain: Lice staro x godina eli da osigura godinju doivotnu linu rentu pod uslovom da se prva renta isplati po isteku k godina od dana uplate premije. Kolika je jednokratna neti premija?

8

I ovdje se polazi od pretpostavke da se osigurava xl lica starosti x godina i da svako lice uplati osiguravajuem drutvu jednokratnu neto premiju koja se oznaava sa k/ x . Otuda e xl osiguranika uplatiti xl k/ x novanih jedinica. Na bazi ove uplate osigurava je obavezan da vri odgovarajue isplate. Prva renta dospijeva nakon k godina od dana zakljuenja osiguranja. Tada e od xl osiguranika biti ivih samo kx+1 . Zbog toga e osiguravajue drutvo na poetku k+1

godine isplatiti samo kxl + 1 = kxl + novanih jedinica (polazi se od pretpostavke da isplate iznose po jednu novanu jedinicu). Na poetku k+2 godine isplatit e rentu onim osiguranicima koji e tada biti u ivotu, a to je 1++kxl osiguranika, to iznosi isto toliko novanih jedinica, itd.

Sve ove isplate mogu se matematski prikazati na sljedei nain: Godina Isplate Diskontovana vrijednost isplata (poetak) k+1 kxl + kxl +

kv

k+2 1++kxl 1++kxl1+kv



.......................................................................................................................... Po principu ekvivalencije, bie: xl k/ x = kxl +

kv + 1++kxl1+kv + 2++kxl

2+kv + 3++kxl3+kv +.............

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i izvre odgovarajua matematska sreivanja (kao i u prethodnim sluajevima), dobija se:

k/ x =x

kx

DN + (3)

Osiguranik koji osigurava odgoenu linu rentu stie pravo na tu rentu samo ako doivi trenutak kada dospijeva prva renta. Ako umre prije toga roka, nasljednici nemaju nikakvo pravo po osnovu zakljuenog osiguranja. Primjer: Lice staro 30 godina eli da osigura od svoje pedesete godine doivotnu linu rentu u iznosu od 500 000 d. Koliku jednokratnu neto premiju treba da uplati?

20/ 30 =30

50

DN =

058,22379265,103824

20/ 30 = 4,6393489

9

Ako uplati 4,6393489 novanih jedinica, dobit e lice staro 30 godina od svoje 50 godine pa do kraja ivota, godinju rentu od jedne novane jedinice. No, ako renta iznosi po 500 000 d, onda e jednokratna neto uplata biti: A= 500 000 4,6393489 A= 2 319 674,40 1.1.3. Neposredna privremena lina renta Za ovaj model isplate rente karakteristino je da renta poinje tei odmah, ali tee samo kroz unaprijed odreeno vrijeme, odnosno najdue do smrti osiguranika, ako ova prije nastupi. Problem za ovaj model isplate moe se postaviti na sljedei nain: Lice staro x godina eli da osigura anticipativnu (dekurzivnu) godinju linu rentu koja se isplauje do smrti osiguranika, odnosno najdue u toku n godina od dana zakljuivanja osiguranja. Kolika je jednokratna neto premija? Polazi se od pretpostavke da se osigurava xl lica starosti x godina i da isplate iznose po jednu novanu jedinicu. Ako se uplata jednog osiguranika oznai sa ]xna , onda e uplata za xl osiguranja biti xl ]xna novanih jedinica. Na bazi ove uplate osiguravajue drutvo je obavezno da isplauje rente u toku n godina. Ovaj model isplate za anticipativne rente prikazuje se na sljedei nain. Godina Isplate Diskontovana vrijednost isplata 1. xl xl 2. 1+xl 1+xl v

3. 2+xl 2+xl2v

..................................................................................................... n-ta 1+nxl 1+nxl

1nv kako uplata mora biti jednaka diskontovanoj vrijendosti svih isplata, to e biti: xl ]xn = xl + 1+xl v + 2+xl 2v +......+ 1+nxl 1nv

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i izvri zamjena dobivenih izraza, dobija se:

xD ]xn = xD + 1+xD + 2+xD +...........+ 1+nxD

Poznato je da je: xN = xD + 1+xD + 2+xD +........

nxN + = ..........21 +++ +++++ nxnxnx DDD

10

Otuda je i xN - nxN + = xD + 1+xD + 2+xD +...........+ 1+nxD

To e, konano, biti:

]xn = x

nxx

DNN + (4)

Do iste formule se moe doi i na bazi injenice da privremena renta nije nita drugo nego razlika izmeu neposredne line rente i odgoene doivotne line rente. Ako se poe od pretpostavke da je vrijeme za koje je odgoeno primanje rente k=n, onda se na bazi te pretpostavke i prethodne injenice moe direktno doi do traene formule. ]xn = x - k/ x

]xn = x

x

DN -

x

nx

DN +

]xn = x

nxx

DNN +

Primjer: lice staro 30 godina eli da osigura godinju anticipativnu linu rentu od 200 000 d. do svoje smrti, odnosno najdue u toku 20 godina. Kolika je jednokratna neto premija?

]30

50302030 D

NN =

]2030 = 058,22379265,103824222,388462

]2030 =12,718942 A= 200 000 12,718942 A= 2 543 788,40 Ova renta tee maksimalno u toku 20 godina, ali se moe i ranije prekinuti, ako smrt osiguranika nastupi prije isteka 20 godina. No, ako bi se problem postavio tako da se renta isplauje na poetku svake godine u toku 20 godina, bez obzira da li je osiguranik iv ili ne, onda bi se jednokratna neto premija raunala na sljedei nain: 20 = 1 +

195IV

20 = 13,08532086 A= 200 000 13,08532086 A= 2 617 064,17 Da bi se ovaj problem jo bolje razjasnio, analizirae se jo jedan primjer. Primjer: lice staro 60 god uplatilo je 1 000 000 d. na ime jednokratne neto premije. Koliko anticipativnu godinju linu rentu moe primati do svoje smrti, odnosno u toku 5 godina.

11

60 ]5 = 60

6560

DNN

60 ]5 = 066,413441,26263359,44284

60 ]5 = 4,3591343 1 000 000 = R 4,3591343 R= 229 403,34 To znai da se za jednokratnu premiju od 1 000 000 d. isplauje privremena lina renta od 229 403,34 d. koja je plativa najvie u toku 5 godina. Ovaj se problem moe shvatiti i tako da se iznos od 1 000 000 d. moe amortizovati u toku 5 godina godinjim anticipativnim anuitetima od 229 403,34 d. uz kamatnu stopu 5% (d). Budui da je ovaj anuitet vezan za odreeno lice, to se dug smatra otplaenim i ako dunik umre prije isteka 5 godina. Meutim, ako se iznos anuiteta ne bi vezao za ivot odreenog lica, onda bi se anuitet izraunavao na sljedei nain: 1 000 000=a (1+ 45IV ) a=219 976 Na ovaj nain izraunati anuitet je manji od prethodno izraunatog anuiteta, to je sasvim logino. Naime, ako plaanje anuiteta prestaje smru odreenog lica, onda je potrebno plaati vee anuitete zbog rizika ranije smrti, da bi se pokrila razlika koja bi mogla nastati za sluaj ranije smrti. To se moe ilustrovati na bazi pretpostavke da 60l lica pozajmi zajedno 1 000 000 d. taj dug preuzima 77 221 lice. Poto oni svi zajedno plaaju na ime anuiteta godinje 229 403,34 d. to na jedno lice otpada po 2,9707377 d. Na poetku prve godine e 77 221 lice platiti anuitet od 229 403,34 d. koji e u cijelosti ii na otplatu duga (kamata se obraunava dekurzivno). To e biti: Iznos duga din. 1 000 000,00 - otplata din. 229 403,34 Ostatak duga na po.1.g. din. 770 596,66 Na poetku druge godine u ivotu je 61l =75 662 lica. Ako svako lice treba da plati 2,9707377 d. onda e 61l lica platiti 224 771,95 d. U sastavu ovog iznosa nalazi se i iznos kamate za prolu godinu. anuitet din. 224 771,95

- kamata din. 38 529,83 otplata din. 186 242,12

12

iznos duga din. 770 596,66 - otplata din. 186 242,12 Ostatak duga na po.2.g.din.584 354,54 Na poetku tree godine ima ivih 62l =73 993 lica. Oni e platiti ukupno 219 813,79 d. u ovom iznosu nalazi se i kamata za prolu godinu.

anuitet din. 219 813,79 - kamata din. 29 217,73

otplata din. 190 596,06

iznos duga din. 584 354,54 - otplata din. 190 596,06

Ostatak duga na po.3.g.din.393 758,48 Na poetku 4 godine ima ivih 63l =72 211 lica. Oni e platiti ukupno 214 519,94 d. U ovom iznosu nalazi se i kamata za prolu godinu. anuitet din. 214 519,94


iznos duga din. 393 758,48 - otplata din. 194 832,02

Ostatak duga na po.4.g.din.198 926,46 Na poetku 5 godine ima ivih 64l =70 310 lica. Oni e platiti ukupno 208 872,56 d. Ovaj iznos treba rasporediti na otplatu i kamatu za prolu godinu. anuitet din. 208 872,56


Prema tome, oigledno je da se na taj nain primljeni iznos u cijelosti amortizuje. Ovim primjerom je ilustrovano kako izgleda otplata uloene glavnice (jednokratne neto premije) pomou privremene anticipativne line rente. Cilj ove ilustracije je da pokae da line rente nisu zaista nita drugo nego anuiteti kojima se odplauju uloena sredstva i to sasvim analogno kao i u finansijskoj matematici, vodei rauna o broju ivih lica koja mogu plaati dospjele anuitete. Sada e se razmatrati sluaj dekurzivne line rente. Polazi se od pretpostavke da se osigurava xl lica starosti x godina i da isplate iznose po 1 novanu jedinicu. Ako se uplata jednog lica oznai sa ]xna , onda uplata xl lica iznosi xl ]xna novanih jednica. To se moe matematski prikazati na sljedei nain:

13

Godina Isplate Diskontovana vrijednost isplata (na kraju) 1. 1+xl 1+xl v

2. 2+xl 2+xl2v

3. 3+xl 3+xl3v

................................................................................................ n-ta nxl + nxl +

nv po principu ekvivalencije, bie: xl ]xna = 1+xl v + 2+xl 2v + 3+xl 3v +.....+ nxl + nv

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i zvri uobiajno matematsko sreivanje, kao i u prethodnom sluaju, dobija se:

]xna =x

nxx

DNN 11 +++

Do iste formule moe se doi i na bazi injenice da je diskontovana vrijednost ovih renti jednaka razlici neposredne doivotne dekurzivne i odloene dekurzivne line rente.

]xna =x

nx

x

x

DN

DN 11 +++

]xna =x

nxx

DNN 11 +++

Primjer: lice staro 30 godina eli da osigura dekurzivnu godinju linu rentu od 200 000 d. do svoje smrti, odnosno najdue u toku 20 godina. Koliko je jednokratna neto premija?

30a ]20 =30

5131

DNN

30a ]20 = 058,22379587,96146164,366083

30a ]20 = 12,062017 A= 200 000 12,062017 A= 2 412 403,40 1.1.4. Odgoena privremena lina renta U ovom modelu osiguranja isplata rente poinje tei po proteku k godina od dana zakljuenja osiguranja, a renta se prima do kraja ivota osiguranika, odnosno, najdue u toku n godina.

14

Problem se moe formulisati na sljedei nain: lice staro x godina eli da osigura godinju linu rentu koja poinje da se isplauje po proteku k godina i isplauje se u toku n godina, odnosno najdue do smrti osiguranika, ako ova ranije nastupi. Kolika je jednokratna neto premija? Ako se uplata jednog osiguranika za isplate od jedne novane jedinice oznai sa k/ ]xn , onda e osiguravajue drutvo primiti xl osiguranika xl k/ ]xn novanih jedinica. Ovaj model isplate rente moe se matematski prezentirati na

sljedei nain: Godina Isplate Diskontovana vrijednost isplata (poetak) k+1 kxl + kxl +

kv



....................................................................................................... k+n-ta 1++ nkxl 1++ nkxl

1+nkv Diskontovana vrijednost svih isplata mora biti jednaka jednokratnoj neto uplati. To e biti: xl k/ ]xn = kxl + kv + 1++kxl 1+kv + 2++kxl 2+kv +.....+ 1++ nkxl 1+nkv

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i izvri odgovarajue matematsko sreivanje, dobija se:

xD k/ ]xn = 121 ... +++++++ ++++ nkxkxkxkx DDDD Poznato je da je:

kxkxkxkxkx NDDDD ++++++++ =++++ ...321 , a nkxnkxnkxnkx NDDD ++++++++++ =+++ ....21

Otuda je i

nkxkxnkxkxkxkx NNDDDD ++++++++++ =++++ 121 .... Na bazi ovoga bie:

k/ ]xn =x

nkxkx

DNN +++

Primjer: lice staro 40 godina eli da osigura godinju linu rentu od 100 000 d. i da je prima u toku 10 godina, s tim da se prva renta isplati 5 godina po uplati jdnokratne neto premije. Kolika je jednokratna neto premija?

15

5/ 40 ]10 =40

5545

DNN

5/ 40 ]10 = 390,13285025,69547237,149404

5/ 40 ]10 =6,0109044 A=100 000 6,0109044 A=601 090,44 1.2. Osiguranje ispodgodinje jednake rente U ovom modelu isplate polazi se od pretpostavke da se renta isplauje vie puta u toku godine (mjeseno, tromjeseno, polugodinje itd.). Naime, sasvim je normalno poi od pretpostavke da se rente ne isplauju samo u godinjim intervalima ve i u nekim drugim vremenskim intervalima. I u ovom modelu isplate bie prezentirani svi uobiajeni modelaliteti isplate rente. 1.2.1. Neposredna doivotna lina renta

Problem ove rente moe se formulisati na sljedei nain: lice staro x godina eli da osigura anticipativnu (dekurzivnu) doivotnu linu rentu koja e se u toku godine isplaivti vie puta (m puta). Koliko treba da uplati na ime jednokratne neto premije? Osiguravajue drutvo e u trenutku zakljuivanja osiguranja, pod pretpostavkom da se osigurava xl lica i da isplate iznose po jednu novanu jedinicu, primiti od xl osiguranika po )(mx novanih jedinica, tj. ukupno e primiti xl

)(mx novanih jedinica. Na bazi ove

uplate osiguravajue drutvo je obavezno da isplauje na poetku (kraju) svakog m-tog dijela u godini i svim ivim osiguranim licima rente koje iznose po jednu novanu jedinicu. Ovo se moe ilustrovati za sluaj anticipativne isplate na sljedei nain: Godina Period Isplate Diskontovana u godini vrijednost isplata 1. 1. xl xl

2. m

xl 1+

mxl 1+

mv1

3. m

xl 2+

mxl 2+

mv2

4. m

xl 3+

mxl 3+

mv3

..................................................................................................................................

16

m-ti mmx

l 1+ mmx

l 1+mm

v1

2. 1. 1+xl 1+xl v

2. m

xl 1

1+

mxl 1

1+mv11

3. m

xl 21+

mxl 21+

mv21

4. m

xl 31+ m

xl 31+ mv31

......................................................................................................................................

m-ti mmx

l 11 + mmx

l 11 +mm

v11

3. 1. 2+xl 2+xl

2v

2. m

xl 12+

mxl 12+

mv1

2

3. m

xl 22+

mxl 22+

mv22

4. m

xl 32+

mxl 32+

mv32

.......................................................................................................................................

m-ti mmx

l 12 + mmx

l 12 +mm

v12

........................................................................................................................................... Po pricipu ekvivalencije uplata mora biti jednaka diskontovanoj vrijednosti svih isplata. To e biti:

17

xl )(m

x = xl + 1+xl v + 2+xl2v + ..............

.....

...................................................................

...........

............

............

12

12

11

11

1

1

32

32

31

31

3

3

22

22

21

21

2

2

12

12

11

11

1

1

+++

+++

+++

+++

+

+

+

+++

+++

+++

mm

mmx

mm

mmx

mm

mmx

m

mx

m

mx

m

mx

m

mx

m

mx

m

mx

m

mx

m

mx

m

mx

vlvlvl

vlvlvl

vlvlvl

vlvlvl

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i izvri odgovarajue matematsko sreivanje, dobija se:

xD )(m

x = xD + 1+xD + 2+xD +........

.......................................................

..........

..........

..........

12111

32313

22212

12111

+++

+++++++++

+++

+++

+++

+++

mmx

mmx

mmx

mx

mx

mx

mx

mx

mx

mx

mx

mx

DDD

DDD

DDD

DDD

Od ranije je poznato da je:

=xN xD + 1+xD + 2+xD +........ Analogno tome, bie:

mx

N 1+ = .....12111 +++ +++m

xm

xm

xDDD

mmx

mmx

mmx

mmx

mx

mx

mx

mx

mx

mx

mx

mx

DDDN

DDDN

DDDN

121111

323133

222122

...........................................................

......

......

++++

++++

++++

++=

+++=+++=

18

Na bazi toga dobija se da je:

)(mx =x

mmx

mx

mx

mxx

D

NNNNN 1321 ..... ++++ +++++

Kako je 11 =+x

x

x

x

DN

DN

to je i mD

ND

N

x

x

x

mx 11 =+ ,

mDN

D

N

x

x

x

mx 22 =+ , itd.

Konano e biti:

)(mx =mx

x

DN

- (m

mmmm

1...321 ++++ )

)(mx =mx

x

DN

- 2

1m Primjer: lice staro 60 godina eli da osigura anticipativno doivotnu linu rentu od 400 000 d. koja e se isplaivati na poetku svakog mjeseca. Kolika je jednokratna neto premija?

)12(60 = 21112

60

60 DN

)12(60 = 211

066,4134359,4428412

)12(60 =123,0447 A= 123,0447 400 000 A= 49 217 880 Sada e se prikazati sluaj kada se renta isplauje dekurzivno. Godina Period Isplate Diskontovana u godini vrijednost isplata

1. 1. m

xl 1+

mxl 1+

mv1

2. m

xl 2+

mxl 2+

mv2

3. m

xl 3+

mxl 3+

mv3

...................................................................................................................................

19

m-1 mmx

l 1+ mmx

l 1+mm

v1

m-ta 1+xl 1+xl v

2. 1. m

xl 1

1+

mxl 1

1+mv11

2. m

xl 21+

mxl 21+

mv21

3. m

xl 31+ m

xl 31+ mv31

......................................................................................................................................

m-1 mmx

l 11 + mmx

l 11 +mm

v11

m-ta 2+xl 2+xl

2v

3. 1. m

xl 12+

mxl 12+

mv1

2

2. m

xl 22+

mxl 22+

mv22

3. m

xl 32+

mxl 32+

mv32

.......................................................................................................................................

m-1 mmx

l 12 + mmx

l 12 +mm

v12

m-ta 3+xl 3+xl3v

................................................................................................................................ Diskontovana vrijednost svih isplata mora biti jednaka jenokratnoj uplati. To e biti: xl

)(mxa = 1+xl v + 2+xl

2v + 3+xl3v + .............

m

xl 1+

mv1

+ m

xl 11+

mv11

+ m

xl 12+

mv1

2 + .......

m

xl 2+

mv2

+ m

xl 21+

mv21

+ m

xl 22+

mv22

+ .......

20

m

xl 3+

mv3

+ m

xl 31+ mv31

+ m

xl 32+

mv32

+ .......

........................................................................................................................................

mmx

l 1+mm

v1 +

mmx

l 11 +mm

v11 +

mmx

l 12 +mm

v12 + ........................

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i izvre odgovarajua matematska sreivanja, kao i u prethodnom sluaju, dobija se:

)(mxa =

x

mmx

mx

mx

mxx

D

NNNNN 13211 ..... +++++ +++++

Poslije konanog sreivanja daje:

)(mxa = m

x

x

DN

-2

1+m Primjer: lice staro 60 godina eli da osigura dekurzivnu doivotnu linu rentu od 400 000 d. koja e se isplaivati svakog mjeseca. Kolika je jednokratna neto premija?

=)12(60a 21312

60

60 DN

=)12(60a 213

066,4134359,4428412

=)12(60a 122,0447

A= 122,0447 400 000 A= 48 817 880 1.2.2. Odgoena doivotna lina renta U ovom modelu osiguranja rente prva renta se isplauje po proteku k godina od dana poetka osiguranja. Problem se moe postaviti na sljedei nain: Lice staro k godina eli da osigura doivotnu linu rentu koja e se isplaivati u toku godine m puta, pod uslovom da se prva renta isplati k godina poslije uplate jednokratne neto premije. Kolika je jednokratna neto premija? To e se matematski prezentirati na sljedei nain:

21

Godina Period Isplate Diskontovana (poetak) u godini vrijednost isplata 1. 2. ...... k-ta k+1 1. kxl + kxl +

kv

2. m

kxl 1++

mkx

l 1++m

kv

1+

3. m

kxl 2++

mkx

l 2++m

kv

2+

...............................................................................................................

m-ti mmkx

l 1++ mmkx

l 1++mmk

v1+

k+2 1. 1++kxl 1++kxl

1+kv

2. m

kxl 11++

mkx

l 11++m

kv

11+

3. m

kxl 21++

mkx

l 21++ m

kv

21+

..............................................................................................................

m-ti mmkx

l 11 ++ mmkx

l 11 ++mmk

v11 +

k+3 1. 2++kxl 2++kxl

2+kv

2. m

kxl 12++

mkx

l 12++m

kv

12+

3. m

kxl 22++

mkx

l 22++m

kv

22+

...........................................................................................................

m-ti mmkx

l 12 ++ mmkx

l 12 ++mmk

v12 +

................................................................................................................................................

22

Diskontovana vrijednost svih uplata mora biti jednaka jednokratnoj neto uplati: xl k/

)(mx = kxl +


2+kv + ........................

m

kxl 1++

mk

v1+

+ m

kxl 11++

mk

v11+

+ m

kxl 12++

mk

v12+

+ .................

m

kxl 2++

mk

v2+

+ m

kxl 21++

mk

v21+

+ m

kxl 22++

mk

v22+

+ ..................

................................................................................................

mmkx

l 1++mmk

v1+ +

mmkx

l 11 ++mmk

v11 + +

mmkx

l 12 ++mmk

v12 + + ..................

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i izvi uobiajeno matematsko sreivanje, dobija se:

xD k/)(m

x = mmkx

mkx

mkxkx

NNNN 121 ..... +++++++ ++++

Ako je x

kx

x

kx

x

kx

DD

DN

DN ++++ =1 , to je i

x

kx

x

kx

x

mkx

x

kx

x

kx

x

mkx

DD

mDN

D

NDD

mDN

D

N

++++

++++

=

=

2

1

2

1

itd. Na bazi svih relacija, moe se konano napisati da je:

k/ )(mx =x

kx

x

kx

DDm

DmN ++

21 (9)

Primjer: lice staro 45 godina eli da osigura mjesenu anticipativnu doivotnu linu rentu od 300 000 d. pod uslovom da se prva renta isplati po proteku 10 godina od dana zakljuivanja osiguranja. Kolika je jednokratna neto premija?

10/ )12(45 = 45

55

45

55

21112

DD

DN

10/ )12(45 = 689,10151584,5710

211

689,10151025,1269547

10/ )12(45 =79,115513 A= 79,115513 300 000 A= 23 734 653

23

Meutim, ako bi se isplata vrila na kraju svakog m-tog dijela u godini, onda bi se problem mogao postaviti na slijedei nain: Lice staro x godina eli da osigura dekurzivnu doivotnu linu renti koja se isplauje u

toku godine n puta pod uslovom da isplata rente poinje k godina i m1 perioda godine

poslije uplate jednokratne neto premije. Kolika je jednokratna neto premija? To se matematski moe prezentirati na slijedei nain: Godina Period Isplate Diskontovana (poetak) u godini vrijednost isplata 1. 2. ..... k-ta k+1

1. m

kxl 1++

mkx

l 1++m

kv

1+

2. m

kxl 2++

mkx

l 2++m

kv

2+

...............................................................................................................

m-1 mmkx

l 1++ mmkx

l 1++mmk

v1+

m-ta 1++kxl 1++kxl1+kv

k+2 1. m

kxl 11++

mkx

l 11++m

kv

11+

2. m

kxl 21++

mkx

l 21++ m

kv

21+

..............................................................................................................

m-1 mmkx

l 11 ++ mmkx 11

1 ++mmk

v11 +


k+3 1. m

kxl 12++

mkx

l 12++m

kv

12+

2. m

kxl 22++

mkx

l 22++m

kv

22+

...........................................................................................................

24

m-1 mmkx

l 12 ++ mmkx

l 12 ++mmk

v12 +


............................................................................................................................................ Po principu ekvivalencije diskontovana vrijednost isplata mora biti jednaka uplati. To e biti: xl k/

)(mxa = 1++kxl

1+kv + 2++kxl2+kv + 3++kxl

3+kv + ...................

m

kxl 1++

mk

v1+

+ m

kxl 11++

mk

v11+

+ m

kxl 12++

mk

v12+

+ ............

m

kxl 2++

mk

v2+

+ m

kxl 21++

mk

v21+

+ m

kxl 22++

mk

v22+

+ ...............

............................................................................................

mmkx

l 1++mmk

v1+ +

mmkx

l 11 ++mmk

v11 + +

mmkx

l 12 ++mmk

v12 + + ...........


k/ )(mxa =x

kx

x

kx

DDm

DmN ++ +

21 (10)

Primjer: Lice starno 45 godina eli da osigura mjesnu dekurzivnu doivotnu linu rentu od 300 000 d, pod uslovom da se prva renta isplati po proteku 10 godina i 1 mjesec od dana zakljuenja osiguranja. Kolika je jednokratna neto premija?

10/ a )12(45 =45

55

45

55

21312

DD

DN

10/ a )12(45 =78,552987 A= 78,552987 300 000 A= 23 565 896 1.2.3. Neposredna privremena lina renta Za ovaj model isplate rente znaajno je da osiguranik prima rente najvie u toku odreenog broja godina. Ovaj model osiguranja rente moe se postaviti na slijedei nain:

25

Lice staro x godina eli da osigura anticipativnu (dekurzivnu) rentu koja e se isplaivati m puta u toku godine, s tim da se renta isplauje do kraja ivota osiguranika, ali najdue u toku n godina od dana zakljuenja osiguranja. Kolika je jednokratna neto premija? Prvo e se prikazivati sluaj anticipativne rente. Godina Period Isplate Diskontovana u godini vrijednost isplata ... 1. xl xl

2. m

xl 1+

mxl 1+

mv1

3. m

xl 2+

mxl 2+

mv2

..............................................................................................

m-ti mmx

l 1+ mmx

l 1+mm

v1

2. 1. 1+xl 1+xl v

2. m

xl 11+

mxl 11+

mv11

3. m

xl 21+

mxl 21+

mv21

.........................................................................................................

m-ti mmx

l 11 + mmx

l 11 +mm

v11

3. 1. 2+xl 2+xl

2v

2. m

xl 12+

mxl 12+

mv1

2

3. m

xl 22+

mxl 22+

mv22

......................................................................................................

m-ti mmx

l 12 + mmx

l 12 +mm

v12

26

n-ta 1. 1+nxl 1+nxl1nv

2. mmnx

l 1+ mmnx

l 1+mmn

v1

3. m

mnxl 2+

mmnx

l 2+m

mnv

2

......................................................................................................

m-ti m

nxl 1+

mnx

l 1+m

nv

1

diskontovana vrijednost svih isplata mora biti jednaka jednokratnoj neto uplati. To e biti: xl ])(mxn = xl + 1+xl v + 2+xl 2v + ..............+ 1+nxl 1nv

m

xl 1+

mv1

+ m

xl 11+

mv11

+ m

xl 12+

mv1

2 + .........+ mmnx

l 1+mmn

v1

m

xl 2+

mv2

+ m

xl 21+

mv21

+ m

xl 22+

mv22

+ ..........+ m

nxl 1+

mn

v1

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i izvri uobiajeno matematsko sreivanje dobie se: xl ])(mxn = xD + 1+xD + 2+xD +...........+ 1+nxD

mnx

mmx

mmx

mmx

mmnx

mx

mx

mx

mmnx

mx

mx

mx

DDDD

DDDD

DDDD

112111

222212

112111

.....................................................................

....

....

++++

++++

++++

++++

++++++++

To e dalje biti:

xD ])(mxn = nxx NN +

mnx

mx

NN 11 +++

+m

xN 2

mnx

N 2++

...................................

27

mmnx

mmx

NN 11 +++

Kako je x

nx

x

nx

x

nx

DD

DN

DN ++++ 1 , to je i

x

nx

x

nx

x

mnx

DD

mDN

D

N++++ = 1

1

Na bazi prethodnih relacija, dobija se:

])(mxn =x

nx

x

x

DN

DN +

x

nx

x

nx

x

x

DD

mDN

mDN ++ + 11

x

nx

x

nx

x

x

DD

mDN

mDN ++ + 22

..................................................

x

nx

x

nx

x

x

DD

mm

DN

mm

DN ++ + 11

Poslije neophodnog matematskog sreivanja dobija se:

])(mxn = 212

1)( + ++ m

D

DmNNm

x

nxnxx

Primjer: Lice staro 50 godina eli da osigura mjesenu anticipativnu rentu od 60 000 d. koja e se isplaivati do kraja ivota osiguranika, ali najdue u toku narednih 20 godina. Kolika je jednokratna neto premija?

]20)12(50 = 2112

11)(12

50

707050 +

D

DNN

]20)12(50 = 211

678,7677

393,18482

11)280,14068265,103824(12

+

]20)12(50 =136,11023 A= 136,11023 60 000 A= 8 166 613,80

28

Sada e se prikazati sluaj dekurzivne rente. Godina Period Isplate Diskontovana u godini vrijednost isplata

1. 1. m

xl 1+

mxl 1+

mv1

2. m

xl 2+

mxl 2+

mv2

.......................................................................................

m-1 mmx

l 1+ mmx

l 1+mm

v1

m-ti 1+xl 1+xl v

2. 1. m

xl 11+

mxl 11+

mv11

2. m

xl 2

1+

mxl 2

1+mv21

.........................................................................................................

m-1 mmx

l 11 + mmx

l 11 +mm

v11

m-ti 2+xl 2+xl2v

3. 1 . m

xl 12+

mxl 12+

mv1

2

2. m

xl 2

2+

mxl 2

2+mv22

....................................................................................................

m-1 mmx

l 12 + mmx

l 12 +mm

v12

m-ti 3+xl 3+xl3v

...................................................................................................

n-ta 1. mmnx

l 1+ mmnx

l 1+mmn

v1

2. m

mnxl 2+

mmnx

l 2+m

mnv

2

.....................................................................................................

29

m-1 m

nxl 1+

mnx

l 1+m

nv

1

m-ti nxl + nxl +nv

Po principu ekvivalencije bie: xl ]nmxa )( = 1+xl v + 2+xl 2v + 3+xl 3v + ......+ nxl + nv

m

xl 1+

mv1

+ m

xl 11+

mv11

+ + m

xl 12+

mv1

2 + .....+ mmnx

l 1+mmn

v1

m

xl 2+

mv2

+ m

xl 21+

mv21

+ m

xl 22+

mv22

+ ........... + m

mnxl 2+

mmn

v2

...............................................................................................................

mmx

l 1+mm

v1 +

mmx

l 11 +mm

v11 +

mmx

l 12 +mm

v12 + .........+

mnx

l 1+m

nv

1

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i izvre odgovarajua matematska sreivanja, kao i u prethodnom sluaju, dobie se:

]nmxa )( = 21

1( ) +++ ++ m

D

Dm

mNNm

x

nxnxx (12)

Primjer: lice staro 50 godina eli da osigura mjesenu dekurzivnu linu rentu od 60 000 d. koja e se isplaivati do kraja ivota osiguranika, ali najdue u toku narednih 20 godina. Kolika je jednokratna neto premija?

]20)12(50a = 2132

13)(12

50

707050 +

D

DNN

]20)12(50a = 213

678,7677

393,18482

13)280,14068265,103824(12

+

]20)12(50a =135,35098 A= 135,35098 60 000 A= 8 121 058,80

30

1.2.4. Odgoena privremena lina renta U ovom modelu osiguranja rente problem se moe postaviti na slijedei nain: lice staro x godina eli da osigura anticipativnu (dekurzivnu) rentu koja e se isplaivati m puta u toku godine, s tim da se renta isplauje do kraja ivota osiguranika, ali najdue u toku n godina, kao i da se prva renta isplauje po proteku k godina (k godina i 1/m-ti dio godine) nakon zakljuenja ugovora o osiguranju. Kolika je jednokratna neto premija? Ako se uplata jednog osiguranika oznai sa k/ ]nmx )( za anticipativne isplate, odnosno sa k/ ]nmxa )( za dekurzivne isplate, onda e xl osiguranika uplatiti xl k/ ]nmx )( , odnosno xl k/ ]nmxa )( , novanih jedinica. Na bazi ove uplate osiguravajue drutvo je obavezno da vri isplate na slijedei nain: Prvo e se prikazati sluaj anticipativnih isplata. Godina Period Isplate Diskontovana (poetak) u godini vrijednost isplata 1. 2. ...... k-ta k+1 1. kxl + kxl +

kv

2. m

kxl 1++

mkx

l 1++m

kv

1+

3. m

kxl 2++

mkx

l 2++m

kv

2+

.........................................................................................................

m-ti mmkx

l 1++ mmkx

l 1++mm

v1

k+2 1. 1++kxl 1++kxl1+kv

2. m

kxl 11++

mkx

l 11++m

kv

11+

3. m

kxl 21++

mkx

l 21++m

kv

21+

..............................................................................................................

m-ti mmkx

l 11 ++ mmkx

l 11 ++mmk

v11 +

31

k+3 1. 2++kxl 2++kxl2+kv

2. m

kxl 12++

mkx

l 12++m

kv

12+

3. m

kxl 22++

mkx

l 22++m

kv

22+

................................................................................................................

m-ti mmkx

l 12 ++ mmkx

l 12 ++mmk

v12 +

k+n-ta 1. 1++ nkxl 1++ nkxl1+nkv

2. mmnkx

l 1++ mmnkx

l 1++mmnk

v1+

3. m

mnkxl 2++

mmnkx

l 2++m

mnkv

2+

..................................................................................................................

m-ti m

nkxl 1++

mnkx

l 1++m

nkv

1+

Diskontovana vrijednost isplata mora biti jednaka jednokratnoj neto uplati. k/ ]nmx )( = kxl + kv + 1++kxl 1+kv + 2++kxl 2+kv + ........ + 1++ nkxl 1+nkv

m

kxl 1++

mk

v1+

+ m

kxl 11++

mk

v11+

+ m

kxl 12++

mk

v12+

+ ...... + mmnkx

l 1++mmnk

v1+

m

kxl 2++

mk

v2+

+ m

kxl 21++

mk

v2

1+ +

mkx

l 22++m

kv

22+

+ ...... + m

mnkxl 2++

mmnk

v2+

..........................................................................................................................

mmkx

l 1++mm

v1 +

mmkx

l 11 ++mmk

v1

1+

+ mmkx

l 12 ++mmk

v1

2+

+ ........ + m

nkxl 1++

mnk

v1+

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i izvri uobiajena zamjena simbola, dobija se:

xD k/ ]nmx )( = kxD + + 1++kxD + 2++kxD + ........ + 1++ nkxD

32

m

kxD 1++ +

mkx

D 11++ + m

kxD 12++ + ...... +

mmnkx

D 1++

m

kxD 2++ +

mkx

D 21++ + m

kxD 22++ + ...... +

mmnkx

D 2++

.....................................................................................................

mmkx

D 1++ + mmkx

D 11 ++ + mmkx

D 12 ++ + ........ + m

nkxD 1++

To e, dalje, biti:

k/ ]nmx )( =x

nkx

x

kx

DN

DN +++

++x

mkx

D

N 1

x

mnkx

D

N 1+++

x

mnkx

x

mkx

D

N

D

N 22 +++++ ....................................... Budui da je:

.....21 +++= ++++++++++ nkxnkxnkxnkx DDDN To je:

x

nkx

DN 1+++ = ++

x

nkx

DN

x

nkx

DD ++

Analogno tome, bie:

x

mnkx

D

N 1+++= ++

x

nkx

DN

x

nkx

DD

m++1

x

mnkx

D

N 2+++= ++

x

nkx

DN

x

nkx

DD

m++2 itd.

Na bazi ovih relacija, bie:

k/ ]nmx )( = x

nkx

x

kx

DN

DN +++

+x

kx

DN ++

x

nkx

DD

m1 +++

x

nkx

DN

x

nkx

DD

m++1

33

+x

kx

DN

x

nkx

x

nkx

DD

mDN

m++++ + 22

....................................................................

+x

kx

DN

mm 1

x

nkx

x

kx

DN

DN +++ +

mm 1

x

nkx

DN ++

Poslije neophodnog matematskog sreivnaj ovog izraza, dobie se:

k/ ]nmx )( = x

kxnkxnkxkx

D

DDmNNm )(2

1)( ++++++ + (13)

Primjer: Lice staro 50 godina eli da osigura mjesenu anticipativnu linu rentu od 50 000 d, do kraja svog ivota, ali najdue u toku 15 godina, s tim da se prva renta prima po proteku 10 godina od dana zakljuenja ugovora o osiguranju. Kolika je jednokratna neto premija?

10/ ]15)12(50 =50

60757560 211)(12

D

DDNN +

10/ ]15)12(50 = 678,7677)066,4134764,1062(

211)510,6488358,44284(12 +

10/ ]15)12(50 =56,873708 A=56,873708 50 000 A=2 843 685,40 Ako se renta isplauje na kraju svakog m-tog dijela u godini, onda se to moe prezentirati na slijedei nain: Godina Period Isplate Diskontovana (poetak) u godini vrijednost isplata 1. 2. ...... k-ta

k+1 1. m

kxl 1++

mkx

l 1++m

kv

1+

2. m

kxl 2++

mkx

l 2++m

kv

2+

.........................................................................................................

34

m-1 mmkx

l 1++ mmkx

l 1++mmk

v1+

m-ti 1++kxl 1++kxl1+kv

k+2 1. m

kxl 11++

mkx

l 11++m

kv

11+

2. m

kxl 21++

mkx

l 21++m

kv

21+

..............................................................................................................

m-1 mmkx

l 11 ++ mmkx

l 11 ++mmk

v11 +


k+3 1. m

kxl 12++

mkx

l 12++m

kv

12+

2. m

kxl 22++

mkx

l 22++m

kv

22+

................................................................................................................

m-1 mmkx

l 12 ++ mmkx

l 12 ++mmk

v12 +


...................................................................................................................

+n-ta 1. mmnkx

l 1++ mmnkx

l 1++mmnk

v1+

2. m

mnkxl 2++

mmnkx

l 2++m

mnkv

2+

..................................................................................................................

m-1 m

nkxl 1++

mnkx

l 1++m

nkv

1+

m-ti nkxl ++ nkxl ++nkv +

Po principu ekvivalencije suma diskontovanih isplata mora biti jednaka jednokratnoj neto uplati.

35

k/ a ]nmx )( = 1++kxl 1+kv + 2++kxl 2+kv + 3++kxl 3+kv + ...... + nkxl ++ nkv +

m

kxl 1++

mk

v1+

+ m

kxl 11++

mk

v11+

+ m

kxl 12++

mk

v12+

+ ...... + mmnkx

l 1++mmnk

v1+

m

kxl 2++

mk

v2+

+ m

kxl 21++

mk

v21+

+ m

kxl 22++

mk

v22+

+ ...... + m

mnkxl 2++

mmnk

v2+

............................................................................................................................

mmkx

l 1++mm

v1 +

mmkx

l 11 ++mmk

v11 + +

mmkx

l 12 ++mmk

v12 + + ........ +

mnkx

l 1++m

nkv

1+


k/ a ]nmx )( = x

nkxkxnkxkx

D

DDmNNm )(2

1)( ++++++ + (14)

Primjer: lice staro 50 godina eli da osiguran mjesenu dekurzivnu linu rentu od 50 000 dinara do kraja svog ivota, ali najdue u toku 15 godina, pod uslovom da se prva renta primi po proteku 10 godina i 1 mjesec od dana zakljuenja ugovora o osiguranju. Kolika je jednokratna neto premija?

10/ a ]15)12(50 =50

75607560 )(213)(12

D

DDNN

10/ a ]15)12(50 =56,734172 A= 56,734172 50 000 A= 2 836 708,60 1.3. Osiguranje godinje varijabilne line rente U ovom modelu ivotnog osiguranja polazi se od pretpostavke da se renta konstantno mijenja, tj. da renta iz godine u godinu raste (opada) za isti iznos ili isti procenat. 1.3.1. Rente se mijenjaju po zakonitostima aritmetike progresije Za ovaj model isplate rente karakteristino je da se konstantno poveava (smanjuje) za istu veliinu. Ovaj model isplate rente moe se primjeniti na sve modalitete ivotnog osiguranja.

36

1.3.1.1. neposredna doivotna lina renta Problem isplate rente za ovaj model osiguranja moe se postaviti na slijedei nain: Lice staro x godina eli da osigura anticipativnu (dekurzivnu) godinju doivotnu linu rentu koja e se iz godine u godinu poveavati (smanjivati) za konstantan iznos, koji se oznaava sa d koliko treba da uplati na ime jednokratne neto premije. Osiguravajue drutvo e u trenutku zakljuenja ugovora o osiguranju primiti od xl osiguranika (polazi se od pretpostavke da se osigurava xl lica starosti x godina) po x za anticipativnu, odnosno, po xa novanih jedinica za dekurzivne isplate. Na ove uplate osiguravajue drutvo je obavezno da isplauje na poetku (na kraju) svake godine svim ivim osiguranim licima rente, koje prve godine iznose po 1R , druge po

)( 1 dR , tree po )2( 1 dR , itd. novanih jedinica. Ovo se moe atematski prezentiati za sluaj anticipativne isplate na slijedei nain: Godina Isplate Diskontovana vrijednost isplata 1. xlR1 xlR1 2. 11 )( + xldR 11 )( + xldR v 3. 21 )2( + xldR 21 )2( + xldR 2v 4. 31 )3( + xldR 31 )3( + xldR 3v ................................................................................................................... Po principu ekvivalencije uplata mora biti jednaka isplatama svedenim na isti rok. Zato e se uplata izjednaiti sa diskontovanom vrijednou svih isplata. To e biti: xl x = xlR1 + 11 )( + xldR v + 21 )2( + xldR 2v + 31 )3( + xldR 3v + .........

Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i izvre odreena matematska sreivanja, dobija se: xl

xv x = 1R ( xlxv + 1+xl

1+xv + 2+xl2+xv + 3+xl

3+xv + .....+ d( 1+xl 1+xv + 2 2+xl 2+xv + 3 3+xl 3+xv + .......) Kako je xl

xv = xD , to e prethodna jednaina biti:

xD x = 1R ( .....)321 ++++ +++ xxxx DDDD (d .....)32 321 +++ +++ xxx DDD Izraz: ( .....)32 321 +++ +++ xxx DDD moe se pisati kao: 1321 ................. ++++ =+++ xxxx NDDD 232 ................. +++ =++ xxx NDD 33 ..................... ++ =+ xx ND ................................................. Poznato je da je ........21 +++= ++ xxxx NNNS , a ........211 ++= +++ xxx NNS

37

To e sada biti:

xD x = 1R xN 1+ xdS Iz ove jednaine dobija se formula za direktno izraunavanje jednokratne neto premije:

x =x

xx

DdSNR 11 +

Primjer:Lice staro 30 godina eli da osigura anticipativnu godinju doivotnu linu rentu koja e u prvoj godini iznositi 100000 d , a svake slijedee godine renta je vea u odnosu na prethodnu godinu za 5000 d. kolika je jednokratna neto premija?

30 =30

3130 5000100000D

SN +

30 = 058,22379718,52982015000222,388462100000 +

30 =2 919 570 Meutim, ako se renta isplauje na kraju svake godine, onda e prvu isplatu primiti 1+xl lice, drugu 2+xl lice, itd. To se matematski moe prezentirati na slijedei nain: Godina Isplate Diskontovana vrijednost isplata 1. 11 +xlR 11 +xlR v 2. 21 )( + xldR 21 )( + xldR 2v 3. 31 )2( + xldR 31 )2( + xldR 3v 4. 41 )3( + xldR 41 )3( + xldR 4v ..................................................................................................................... Do konane formule dolazi se na isti nain kao i u prethodnom sluaju. To e biti:

xa = x

xx

DdSNR 211 ++ (16)

Primjer: Lice staro 30 godina eli da osigura dekurzivnu godinju doivotnu linu rentu koja se konstantno poveava za 5 000 d. Kolika je jednokratna neto premija ako renta u prvoj godini iznosi 100 000 d?

38

30a =30

3231 5000100000D

SN +

30a = 058,22379554,49321185000164,366083100000 +

30a = 2 737 778,60 1.3.1.2. Odgoena doivotna lina renta Problem isplate rente moe se formulisati ovdje na slijedei nain: lice staro x godina eli da osigura doivotnu godinju linu rentu koja e se stalno poveavati (smanjivati) za istu veliinu d, pod uslovom da se prva renta isplati po isteku k godina od dana uplate jednokratne premije. Kolika je jednokratna neto premija? Ako se uplata nekog lica oznai sa k/ x , onda e osiguravajue drutvo u trenutku zakljuenja ugovora o osiguranju primiti ukupno xl k/ x novanih jedninica. Na bazi ove uplate osiguravajue drutvo je obavezno da isplauje rente onim osiguranicima, koji budu u ivotu poslije x+k godina, to se matematski moe prikazati na slijedei nain: Godina Isplate Diskontovana vrijednost isplata 1. kxlR +1 kxlR +1

kv 2. 11 )( ++ kxldR 11 )( ++ kxldR 1+kv 3. 21 )2( ++ kxldR 21 )2( ++ kxldR 2+kv 4. 31 )3( ++ kxldR 31 )3( ++ kxldR 3+kv ............................................................................................................................. Po principu ekvivalencije uplata mora biti jednaka diskontovanoj vrijednosti svih isplata svedenim na dan uplate to e u ovom sluaju, biti: xl k/ x = kxlR +(1


2+kv + 3++kxl3+kv + .....)

d ( 1++kxl 1+kv + 2 2++kxl 2+kv + 3 3++kxl 3+kv + .....) Ako se ova jednaina pomoi sa xv i izvre odgovarajua matematska sreivanja, dobija se:

k/ x = x

kxkx

DdSNR 11 +++ (17)

Primjer: lice staro 30 godina eli da osigura godinju doivotnu linu rentu koja e se konstantno poveavati za 5 000 d, pod uslovom da se prva renta isplati po proteku 10 godina od dana uplate jednokratne premije. Kolika je jednokratna neto premija ako je renta u prvoj godini 100 000 d?

39

10/ 30 =30

4140 5000100000D

SN +

10/ 30 = 058,22379956,24757245000107,209264100000 +

10/ 30 =1 488 223 1.3.1.3. Neposredna privremena lina renta Ovaj model osiguranja rente moe da se formulie na slijedei nain: lice starno x goidna eli da osigura anticipativnu (dekurzivnu) godinju linu rentu koja e se konstantno poveavati (smanjivati) za d novanih jedinica. Renta poinje tei odmah i isplaije se najdue u toku n godina pod uslovom da je osiguranik iv za sve vrijeme primanja rente. Kolika je jednokratna neto premij? Ako se uplata nekog osiguranika oznai sa ]xn onda e se uplata za xl osiguranika biti xl ]xn novanih jedinica. Na bazi ove uplate osiguravajue drutvo je obavezno da

isplauje rente u toku narednih n godina za sve osiguranike koji tada budu u ivotu. Ovaj model za anticipativne isplate moe se matematski prikazati na slijedei nain. Godina Isplate Diskontovana vrijednost isplata 1. xlR1 xlR1 2. 11 )( + xldR 11 )( + xldR v 3. 21 )2( + xldR 21 )2( + xldR 2v 4. 31 )3( + xldR 31 )3( + xldR 3v ................................................................................................................... n-ta [ ] 11 )1( + nxldnR [ ] 11 )1( + nxldnR 1nv Kako uplata mora biti jednaka diskontovanoj vrijednosti svih isplata, to e biti: xl ]xn = +xlR (1 1+xl v + 2+xl 2v + ......+ 1+nxl 1nv )

d ( 1+xl v + 2 2+xl 2v + 33 +xl 3v + ......+ (n-1) 1+nxl 1nv ) Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i izvri uobiajena zamjena dobivenih izraza, dobija se:

xD ]xn = 1R ( )..... 1321 ++++ +++++ nxxxxx DDDDD [ ]1321 )1.....(32 ++++ +++ nxxxx DnDDDd Izraz 1321 )1(.....32 ++++ ++++ nxxxx DnDDD moe se pisati kao:

40

1321 )1(........ ++++ ++++ nxxxx DnDDD nxx NN ++ = 1 nxxnxxx NNDnDD +++++ =+++ 2132 )1(........ nxxnxx NNDnD ++++ =++ 313 )1(........ .......................................................... nxnxnx NND +++ = 11 Izraz =++++ ++++ 1321 ..... nxxxx NNNN nxx SS ++ 1 , a nxN + pojavljuje se n-1 puta. Poslije uvoenja ovih izraza u prethodnu jednainu i neohodnog matematskog sreivanja, dobija se:

]xn =[ ]

x

nxnxxnxx

DNnSSdNNR ++++ )1()( 11 (18)

Primjer: lice staro 60 godina eli da osigura anticipativnu godinju linu rentu u toku narednih 10 godina, koja e se konstantno poveavati za 10 000 d, pod uslovom da osiguranik bude iv za sve vrijeme primanja renet. Kolika jednokrtana neto premija ako je renta u prvoj godini 200 000 d?

60 ]10 =60

7070617060 )9(10000)(200000D

NSSNN +

60 ]10 = 066,413428,140689686,85824617,32175(10000)28,14068359,44284(200000 +

60 ]10 =1 744 838,60 Ako se poe od pretpostavke da se renta isplauje na kraju svake godine u toku n godina, onda ese to matematski predstaviti na slijedei nain: Godina Isplate Diskontovana vrijednost isplata 1. 11 +xlR 11 +xlR v 2. 21 )( + xldR 21 )( + xldR 2v 3. 31 )2( + xldR 31 )2( + xldR 3v 4. 41 )3( + xldR 41 )3( + xldR 4v ..................................................................................................................... n-ta [ ] nxldnR + )1(1 [ ] nxldnR + )1(1 nv Po principu ekvivalencije bit e: xl a ]xn = (1R 1+xl v + 2+xl 2v + ......+ nxl + nv ) d ( 2+xl 2v + 32 +xl 3v + 43 +xl 4v +......+ (n-1) nxl + nv )

41

Poslije mnoenja ove jednaine sa xv i uobiajene zamjene dobivenih izraza, dobija se:

xD a ]xn = 1R ( ).....321 nxxxx DDDD ++++ ++++ [ ]nxxxx DnDDDd ++++ +++ )1.....(32 432 Izraz nxxxx DnDDD ++++ +++ )1.....(32 432 moe se sintetizovati postupak je isti kao i u prethodnom sluaju, u slijedeem obliku:

112 )1( +++++ nxnxx NnSS Poslje uvoenja ovih izraza u prethodnu jednainu i neophodnog matematskog sreivanja, dobija se:

a ]xn =[ ]

x

nxnxxnxx

DNnSSdNNR 112111 )1()( ++++++++ (19)

Primjer: lice staro 60 godina eli da osigura dekurzivnu godinju linu rentu u toku narednih 10 godina pod uslovom da je osiguranik iv za sve vrijeme primanja rente. Kolika je jednokratna neto premija, ako se renta konstantno poveava za 10 000 d, i ako je renta u prvoj godini 200 000 d?

60a ]10 = 60

7171627161 )9(10000)(200000D

NSSNN +

60a ]10 =

066,4134887,122199646,91856324,289025(10000)887,12219293,40150(200000 +

60a ]10 = 1 610 757,70 1.3.1.4. Odgoena privremena lina renta U ovom sluaju problem se moe posataviti na slijedei nain: lice staro x godina eli da osigura godinju linu rentu koja e se konstantno poveavati (smanjivati) za d novanih jednica. Renta poinje da se isplauje po proteku k godina od dana poetka osiguranja i isplauje se u toku n godina pod uslovom da je osiguranik iv za sve vrijeme primanja rente. Kolika je jednokratna neto premija? I ovdje se polazi od pretpostavke da e se osigurati xl lica i da e svako lice uplatiti po k/ x ]n novanih jednica. To znai da e ukupna uplata biti xl k/ x ]n novanih jedinica. Ova uplata mora biti jednaka svim isplatama svedenim na isti trenutak. Te isplate mogu se matematski prezentirati na slijedei nain.

42

Godina Isplate Diskontovana vrijednost isplata 1. kxlR +1 kxlR +1

kv 2. 11 )( ++ kxldR 11 )( ++ kxldR 1+kv 3. 21 )2( ++ kxldR 21 )2( ++ kxldR 2+kv 4. 31 )3( ++ kxldR 31 )3( ++ kxldR 3+kv ............................................................................................................................. n-ta [ ] 11 )1( ++ nkxldnR [ ] 11 )1( ++ nkxldnR 1+nkv Ako se ovo napie u obliku jednaine, bie: xl k/ ]xn = (1R kxl + kv + 1++kxl 1+kv + 2++kxl 2+kv + 3++kxl 3+kv + .....+ 1++ nkxl 1+nkv d [ 1++kxl 1+kv + 2 2++kxl 2+kv + 3 3++kxl 3+kv + .....+(n-1) 1++ nkxl 1+nkv ] Ako se ova jednaina pomnoi sa xv i izvre uobiajeno matematsko sreivanje, dobija se:

xD k/ ]xn = (1R kxD + + 1++kxD + 2++kxD + 3++kxD + .....+ 1++ nkxD ) d [ 1++kxD + 2 2++kxD + 3 3++kxD + .....+ (n-1) 1++ nkxD ] Poslije sreivanja ove jednaine dobija se:

k/ ]xn =[ ]

x

nkxnkxkxnkxkx

DNnSSdNNR +++++++++ )1()( 11 (20)

Primjer: lice staro 60 godina eli da osigura godinju linu rentu koja e se konstantno poveavati za 2 000 d. Renta poinje da tee po proteku 5 godina od dana poetka osiguranja i isplauje se u toku 10 godina pod uslovom da je osiguranik iv za vrijeme primanja rente. Kolika je jednokratna neto premija ako je renta u prvoj godini 100 000 d?

5/ 60 ]10 = 60

7575667565 )9(2000)(100000D

NSSNN +

5/ 60 ]10 = 066,413451,6428975,3225961,164409(2000)51,648841,26263(100000 +

5/ 60 ]10 =514 020,94 1.3.2. Rente se mijenjaju po zakonitostima geometrijske progresije Za ovaj model osiguranja rente karakteristino je da se renta konstantno poveava (smanjuje) za odreeni procenat, odnosno da je svaka slijedea vea (manja) od

prethodne rente za q puta (100

'1 pq = ) , gdje p' predstavlja stopu promjene rente. I ovdje

43

e se posmatrati oni sluajevi ivotnog isguranja rente koji se posmatrani u prethodnom poglavlju. 1.3.2.1. Neposredna doivotna lina renta Problem za ovaj model isplate moe se postaviti na slijedei nain: lice staro x godina eli da osigura anticipativnu (dekurzivnu) godinju doivotnu linu rentu koja e se iz godine u godinu poveavati (smanjivati) za odreeni procenat. Kolika je jednokratna neto premija? Ako se poe od pretpostavke da se osigurava xl i da svako lice uplauje po x (za anticipativne rente), odnosno po xa (za dekurzivne rente), onda e ukupna uplata biti:

xl x , odnosno xl xa novanih jedinica. Na bazi ove uplate osiguravajue drutvo je obavezno da isplauje rente, koje se prve godine oznaavaju sa 1R , druge sa 1R q , tree sa

1R2q itd. Za anticipativne rente to

Documents

Modeli zivotnog osiguranja na bazi uplate jednokratne premije-P.pdf