Modeliranje turbulencije u cilju primene numeričkih simulacija u hidrotehnici

Nenad Jaćimović

Maj, 2013.

Univerzitet u Beogradu

Građevinski fakultet

- Kurs Mehanike fluida na doktorskim studijama -

CFD – Computational Fluid Mechanics Računska mehanika fluida

Primena metoda numeričke analize za rešavanje jednačina održanja:

Jednačina kontinuiteta Dinamička jednačina Jednačine transporta

Zašto je potrebno „modeliranje“ turbulencije ?

Primer: Modeliranje dvofaznog strujanja voda/vazduh:

• Mass conservation equations: αW - water phase content αg – oxygen phase content

( )w

gw

i

wiwwG

xV

t ραα

=∂

∂+

∂∂

( ) ( )gw

j

gjgggg Gx

Vt

−=∂

∂+

∂

∂ αραρ

1=+ gw αα

( )gw

wj

ijw

wiw

i

w

w

w

j

wiwjw

wiw F

xg

xp

xVV

tV

ρτα

ρα

ρα

αα 11+

∂

∂++

∂∂

−=∂∂

+∂

∂

• Momentum equations:

( ) ( )gwigg

i

gg

j

gjgigggigg Fgxp

xVV

tV

−+∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂ραα

ραρα

- water phase:

- gas phase: Momentum exchange

gwG - Mass transfer of oxygen from the gas to the water phase

TRMp gg

g =ρ

airinjection

50 cm8 cm

50 c

m

Bubble plumes

Qair=1.0 L/min

Modeliranje dvofaznog strujanja voda/vazduh:

Poređenje sa merenjima:

Poređenje strujne slike tečne faze

Poređenje oblika vazdušne struje

3D simulacija eksperimenta: Osmotreni raspored mehurića vazduha:

Qair=1 L/min

Poređenje rezultata simulacije sa merenjima

Rejnoldsove jednačine:

Modeliranje Rejnoldsovih napona predstavlja ključni element zatvaranja sistema jednačina, koje se potom rešavaju metodama numeričke analize.

Dva su osnovna efekta turbulencije na glavni tok:

Oduzima energiju glavnog toka; Doprinosi transportu mase, količine kretanja ili energije

upravno na glavni tok. Dakle, efekti su isti kao i u slučaju molekularne viskoznosti (npr. kod laminarnog strujanja).

( ) ''2

jijjj

ii

i

w

j

jii uuxxx

Ugxp

xUU

tU ρµρρρ

∂∂

−∂∂

∂++

∂∂

−=∂

∂+

∂∂

0=∂∂

i

i

xU '

iii uUu +=

Na osnovu toga, prirodno je pretpostaviti da se efekti turubulencije na glavni tok, predstavljeni Rejnoldsovim naponima u osrednjenim jednačinama, mogu „modelirati“ analogno viskoznim naponima (koncept turbulentne viskoznosti – Boussinesq/1877.).

Na osnovu dimenzionalne analize može se zaključiti:

''

21

ii uuk =

TTT LCυν =

kx

UxUuu ij

i

j

j

iTji δν

32'' −

∂

∂+

∂∂

=−

Na ovaj način se problem modeliranja turbulencije sveo na problem ocene karakteristične brzine i dužine turbulencije u svakoj tački toka.

Osrednjena jednačina „transporta“

'φφ +Φ=

jTj x

Du∂

Φ∂=− '' φ

Na sličan način se može modelirati i transport rastvorene materije usled turbulentnih fluktuacija

Turbulentna difuzija se može modelirati analogno molekularnoj difuziji:

gde se DT obično daje u funkciji turbulentne viskoznosti:

σνT

TD =

( ) ( )'' φjjjjj

j uxx

Dxx

Ut

−∂∂

+

∂Φ∂

∂∂

=∂

Φ∂+

∂Φ∂

Malo istorije

• Prandtl (1925) – koncept dužine mešanja (algebarski izraz za Rejnoldsov napon);

• Prandtl (1945) – modeliranje turbulencije rešavanjem jedne dodatne dif. jednačine koja opisuje transport i promenu kinetičke energije turbulencije u toku;

• Kolmogorov (1942) – modeliranje turbulencije rešavanjem dve dodatne dif. jednačine koje opisuju transport i promenu kinetičke energije turbulencije i disipacije energije u toku (k-ω model);

2/1

ωkLT ≈

k-ε model (Harlow & Nakayama, 1968) (Launder & Spalding, 1972)

Jednačina kinetičke energije fluktuacija (k jednačina)

lokalna i konv. promena k

produkcija k

disipacija k (ρε)

( )

−−

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

−=∂

∂+

∂∂ '''''

''''

21

jjiijjk

i

k

i

j

iji

j

j upuuuxk

xxu

xu

xUuu

xkU

tk ρµµρρρ

difuzija k

transport k usled

fluktuacija brzine i pritiska

kxU

xUuu ij

i

j

j

iTji ρδµρ

32'' −

∂

∂+

∂∂

=−

TT LkC 2/1ρµ µ=T

D LkC

2/3

=ε

−−=

∂∂ '''''

21

jjiijk

T upuuuxk ρ

σµ

ε jednačina

lokalna i konv. promena ε

produkcija ε (Pε)

Uvodi se pretpostavka o lokalnoj ravnoteži :

difuzija ε transport ε usled fluktuacija brzine i

pritiska

+∂∂

∂∂∂

∂−

∂

∂

∂∂

∂∂

−kj

i

kj

i

k

j

k

i

j

i

xxu

xxu

xu

xu

xu '2'2'''

22 µνµ

( )−

∂∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−=∂

∂+

∂∂

jk

i

j

ik

j

i

i

k

i

k

k

i

k

i

j

j

xxU

xuu

xU

xu

xu

xu

xu

xU

t

2''

''''

22 µµε

ρερ

∂

∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

+k

j

kk

i

k

ij

jj xu

xp

xu

xuu

xx

''''' 2νµεµ

ε≈kPT

k

TPP ≈ε

disipacija ε

εkTT ≈

kjk

i

j

ik

j

i

i

k

i

k

k

i

k

i PkCxx

Uxuu

xU

xu

xu

xu

xuP

εµµ εε 1

2''

''''

22 =∂∂

∂∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−=

Tkj

i

kj

i

k

j

k

i

j

i

Txxu

xxu

xu

xu

xuD εµνµε ≈

∂∂∂

∂∂∂

−∂

∂

∂∂

∂∂

−='2'2'''

22k

CD2

2ε

εε =

∂∂

+∂∂

∂∂

=

∂

∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

j

T

jjk

j

kk

i

k

ij

jj xxxxu

xp

xu

xuu

xxε

σµεµνµεµ

ε

''''' 2

produkcija ε (Pε)

disipacija ε

disperzija ε

k jednačina:

Rezime (k-ε model)

( )

∂∂

+∂∂

∂∂

+−=∂

∂+

∂∂

jk

T

jjk

j

j

xk

xk

xP

xkU

tk

σµµρερρ

ε jednačina:

( )

∂∂

+∂∂

∂∂

+−=∂

∂+

∂∂

j

T

jjk

j

j

xxxkCP

kC

xU

tε

σµεµερεε

ρερε

εε

2

21

ερµ µ

2kCT =

44.11 =εC 92.12 =εC 09.0=µC 0.1=kσ 3.1=εσ

Sada, kada znamo kako „modelirati“ turbulenciju, preostaje numeričko rešavanje osnovnih jednačina

( )Tijij

ji

ij

jii

xg

xp

xUU

tU ττ

ρρµ +

∂∂

++∂∂

−=∂

∂+

∂∂ 11

0=∂∂

i

i

xU

i-1/2

i+1/2

j-1/2

j+1/2

k-1/2

k+1/2

ijkUpy

Upx

Upz

αp p, p

y

x

z

HSMAC shema za proračun nepoznatih brzina i pritisaka u strujnom polju

Iterativna shema se sastoji iz tri koraka:

1. korak:

2. korak:

3. korak:

nnnnn

ii tturbtviscoustpressuretinertiat

UU .)(.)(.)(.)()()( 1*

+++=∆− +

i

i

xUD∂

∂=

∗

∆

+∆

+∆

∆−=

∂∂

−=+

++++

23

22

21

1,1,11,1

1112/

xxxt

DppDDpp

rrnrnrn ωω

Problem konvektivnih članova u jednačinama (ili kako umanjiti numeričku difuziju, a pri tome izbeći oscilacije rešenja)

Sheme višeg reda tačnosti sa tzv. TVD limiterima:

SaiLi 2

12/1 +=+α

max=S ( ) ( )[ ]11 ,2min −+ −− iiii αααα

( ) ( )[ ]11 2,min −+ −− iiii αααα

0

2/1+iα

L

R “Superbee” limiter:

Granični uslov uz čvrstu granicu

y

µCUk

2∗=

κε

yU 3

∗=

5.5ln1)(+

= ∗

∗ νκyU

UyU

gladak zid:

hrapav zid: 5.8ln1)(+

=

∗ sky

UyU

κ

Problem praćenja slobodnog nivoa vode:

VOF metod (Hirt & Nichols, 1981.):

F – cell saturation

(i+ ,j)12

(i,j)

(i,j)

Real free surface

Approximation

[ ] 0=∂∂

+∂∂

ii

FUxt

F

[ ]{ }xFxFtUFMAXtUFMINq jijijjijijiji δδδδ ,,,2/11,1,2/1,1,2/1 ,)0.1()0.1(,0.0 −−−+= +++++

Density function method (Asai & Tsubogo, 2005)

MAC (Welch et al., 1965.)

Ukoliko se “nema vremena” za programiranje, postoje i besplatna rešenja • iRIC software : http://i-ric.org/en/