Modellazione numerica bidimensionale per la valutazione degli effetti di sito a supporto della progettazione di ristrutturazione e restauro della chiesa di San Giusto di Brancoli (LU)

Ing. Salvatore Santangelo, Dott. Geol. Maggiore Roberto, Dott. Geol. Lando U. Pacini .

Keywords: Risposta sismica locale, modellazione numerica, mezzo elastico e visco-elastico lineare.

Link : http://www.stacec.com/Prodotto/92/lsr-2d

Abstract

Il confronto tra le analisi numeriche per la valutazione della risposta sismica locale

monodimensionale e bidimensionale evidenzia che, per effetto della focalizzazione delle onde

sismiche in corrispondenza dei bordi della valle o a causa della forma più o meno concava del

bacino, il modello monodimensionale può arrivare a sottostimare gli effetti di amplificazione fino a

tre volte rispetto al modello bidimensionale. In questo lavoro vengono messi a confronto i risultati

della risposta sismica locale ottenuti mediante i due approcci sopracitati con riferimento ad

un’applicazione reale;il progetto di ristrutturazione e restauro della chiesa di San Giusto di

Broncoli – Comune di Lucca.

Introduzione

In occasione del progetto di ristrutturazione e restauro della chiesa di San Giusto di Brancoli -

Comune di Lucca, è stato condotto uno studio per la valutazione della risposta sismica locale.

È noto che, laddove le condizioni al contorno lo richiedono, i modelli di risposta sismica

bidimensionali siano da preferire nei confrontidi quelli monodimensionali, in quanto,quest’ultimi

non sono in grado di cogliere fenomeni come la focalizzazione delle onde sismiche, diffrazione ai

bordi con generazione di onde di superficie, “imprigionamento delle onde sismiche” e interferenza

tra onde di volume e di superficie con generazione di un campo d’onda complesso. Trascurare il

contributo di tali fenomeni, può portare a sottostimare, in maniera più o meno significativa,

l’amplificazione sismica locale.

Tuttavia, nel caso in cui i terreni non risultino affetti da problematiche di carattere bidimensionale

(sia sepolte che topografiche) l’analisi numerica monodimensionale risulta un ottimo strumento di

analisi e fornisce risultati molto prossimi a quelli ottenuti dall’analisi bidimensionale.

Nel caso in esame, non risultando le condizioni al contorno tali da consentire un’analisi

monodimensionalesi è decisodi conduredue modellazioni parallele, una monodimensionale ed

una bidimensionale, in modo da rendere possibile un confronto tra i risultati ottenuti e valutare,

nel caso specifico, l’attendibilità del modello di risposta sismica monodimensionale.

Geologia

L'area di studio si trova all’interno del Bacino del fiume Serchio, situata in sponda sinistra

idrografica, in zona collinare alla quota di circa 190 m s.l.m.m.

Figura 1 - Carta geologica

Nell’area (vedi figura 1) si trovano formazioni appartenenti alla Falda toscana, in particolare

nell’area in esame affiora la Formazione del Macigno (MAC), costituita da depositi torbiditici

quarzoso-feldspatici generalmente molto fratturato per fenomeni tettonici e di destress

superficiale. La normale sequenza stratigrafica vede un contatto stratigrafico con la formazione

della Scaglia Toscana (STO), generalmente costituita prevalentemente da litofacies pelitiche

calcaree e locale presenza di un membro calcarenitico-ruditiche (STO3). Come termine di base

della sequenza Toscana, visibile in zona e sempre in contatto stratigrafico, è la formazione della

Maiolica (MAI), calcare bianco finissimo di origine marina con banchi di spessore decimetrico.

Indagini geologiche

La definizione del modello stratigrafico è stato definito mediante una buona campagna

geognostica. In questa sono state svolte:

- prove penetro-metriche dinamiche superpesanti (DPSH);

- sondaggi a carotaggio continuo;

- indagine geofisica di sismica a rifrazione basata su 4 stese sismiche (elaborate con metodo

tomografico);

- un profilo M.A.S.W. (multichannel analysis seismic waves);

- rilievi HVSR (horizzontal to vertical spectral ratio) su 11 postazioni di misura.

Di seguito si riporta la carta delle frequenze ottenuta dai risultati delle indagini HVSR.

Figura 2 - Carta delle frequenze derivata dai rilievi HVSR

Codice di calcolo

Entrambi i modelli di risposta sismica locale sono stati implementati mediante il codice di calcolo

LSR2D. Tale codice, prodotto da Stacec rsl , consente di effettuare un’analisi di risposta sismica

locale di tipo bidimensionale, lineare equivalente, con il metodo agli elementi finiti. Il deposito

viene discretizzato in una mesh di elementi di forma triangolare o, preferibilmente, quadrangolare,

consentendo una efficace modellazione della variazione geometrica del contatto deposito-

basamento, così come delle irregolarità della superficie topografica e dei contatti stratigrafici. La

generazione della mesh è una delle fasi più delicate dell’analisi, dipendendo da essa sia

l’accuratezza della soluzione e sia l’onere computazionale. In generale si può affermare che tanto

più la mesh è fitta tanto più la soluzione è accurata e tanto maggiori sono il tempo e la memoria

richiesta dall’elaborazione. L’utilizzo di una mesh eccessivamente grossolana si traduce in un

filtraggio delle componenti di alta frequenza poiché le piccole lunghezze d’onda non possono

essere adeguatamente modellate da nodi troppo distanti tra loro. Viene perciò generalmente

raccomandato di scegliere l’altezza h di ogni elemento in modo che risulti:

ℎ ≤ (1

8÷

1

5)

𝑉𝑠

𝑓𝑚𝑎𝑥

dove:

- ℎ : passo della mesh;

- 𝑉𝑠 : velocità di propagazione delle onde di taglio nel mezzo discretizzato;

- 𝑓𝑚𝑎𝑥 : frequenza massima considerata nell’analisi (generalmente pari a 20-25 Hz).

Ciò significa che avendo ad esempio a che fare con un terreno avente una 𝑉𝑠 = 350 𝑚/𝑠 il passo

mesh dovrebbe essere risultare ℎ ≤ 1.75 𝑚.

L’equilibrio globale è espresso dal sistema di equazioni:

𝑴�̈� + 𝑪�̇� + 𝑲𝒖 = −𝑴𝒖�̈�

dove:

- 𝒖 è il vettore degli spostamenti nodali;

- 𝑴 la matrice delle masse globale;

- 𝑲 la matrice delle rigidezze globale;

- 𝑪 la matrice di smorzamento globale

- 𝒖�̈� la storia temporale dell’accelerazione di input.

Le equazioni appena descritte vengono risolte tramite integrazione diretta nel dominio del tempo

con il metodo di Newmark ed in modo particolare con il metodo CAA (Constant Average

Acceleration Method) che è incondizionalmente stabile e non introduce alcun damping numerico.

Il moto sismico di input 𝑢�̈� viene applicato simultaneamente a tutti i nodi della base sotto forma di

onde trasversali SV e/o onde di compressione P (in plane motion) con direzione di propagazione

verticale ed ha il significato fisico di un moto registrato su affioramento piano del basamento

(outcropping bedrock).

In ogni problema di propagazione di onde sismiche, parte dell’energia si allontana indefinitamente

dalla regione di interesse verso il semispazio circostante. L’estensione finita della zona

discretizzata comporta necessariamente la presenza di confini che devono modellare il più

accuratamente possibile questa aliquota di energia persa per radiazione. Questo è possibile

attraverso l’applicazione di smorzatori viscosi anche ai lati del modello, simulando dunque le

perdite per radiazione di energia appena evidenziate.

La non linearità del terreno viene tenuta in conto attraverso l’esecuzione di analisi lineari

equivalenti. Il modulo di taglio G e il rapporto di smorzamento D vengono fatti dipendere dal

livello della deformazione tangenziale 𝛾 indotta dalle sollecitazioni sismiche. A partire dai valori

iniziali dei parametri di rigidezza e smorzamento, con una prima analisi si determina, per ciascun

elemento, un primo valore caratteristico (o effettivo) della deformazione tangenziale 𝛾𝑒𝑓𝑓. Dalle

curve 𝐺/𝐺0 − 𝛾 e 𝐷 − 𝛾 (figura 2 e figura 3) si determinano nuovi valori dei parametri dinamici, le

matrici di rigidezza e smorzamento di ciascun elemento vengono aggiornate e si esegue una nuova

analisi determinando un nuovo valore caratteristico. Il procedimento viene ripetuto fino a quando

lo scarto percentuale tra i valori di G, D e 𝛾𝑒𝑓𝑓 viene ritenuto arbitrariamente accettabile. In genere

5-6 iterazioni sono sufficienti per contenere gli scarti in poche unità percentuali, anche nel caso di

comportamenti marcatamente non lineari. Il valore caratteristico 𝛾𝑒𝑓𝑓 è un valore considerato

mediamente rappresentativo della storia temporale 𝛾(𝑡)irregolare cui è soggetto il generico

elemento, ed è espresso come un’aliquota 𝛼 costante del valore massimo di γ(t).

Le proprietà dissipative del terreno sono modellate attraverso la matrice di dissipazione C. Essa

derivadall’assemblaggio delle matrici di dissipazione dei singoli elementi calcolate secondo la

formulazione di Rayleigh completa:

𝐶𝑖 = 𝛼𝑅𝑖𝑀𝑖 + 𝛽𝑅𝑖𝐾𝑖

dove 𝛼𝑅𝑖 e 𝛽𝑅𝑖 sono i coefficienti di Rayleigh ed 𝑀𝑖, 𝐶𝑖 e 𝐾𝑖 le matrici locali del singolo elemento.

L’adozione di una formulazione alla Rayleigh comporta uno smorzamento dipendente dalla

frequenza chepuò condizionare in maniera sensibile i risultati di un’analisi numerica. Per

minimizzare tale variazione per entrambi i codici di calcolo i coefficienti di Rayleigh vengono

calcolati in funzione di due frequenze naturali dell’intero deposito, 𝜔𝑚 e 𝜔𝑚 :

𝛼𝑅𝑖 = 𝜉𝑖

2 𝜔𝑚𝜔𝑛

𝜔𝑚 + 𝜔𝑛

𝛽𝑅𝑖 = 𝜉𝑖

2

𝜔𝑚 + 𝜔𝑛

in cui:

- 𝜉𝑖 è il rapporto di smorzamento viscoso dell’i-esimo elemento finito;

- 𝜔𝑚 = 𝜔1prima frequenza naturale di vibrazione del deposito di terreno;

- 𝜔𝑛 = 𝑛 𝜔1 essendo n l’intero dispari che approssima per eccesso il rapporto tra la

frequenza predominante dell’input sismico 𝜔𝐼𝑁 e la frequenza 𝜔1.

In definitiva il software richiede in input, per ciascun materiale, i seguenti parametri:

- peso dell’unità di volume, modulo di taglio e smorzamento a basse deformazioni,

coefficiente di Poisson dei materiali;

- la curva di attenuazione con il livello di deformazione tangenziale del modulo di rigidezza,

normalizzata rispetto al valore iniziale;

- la curva di variazione del rapporto di smorzamento con il livello di deformazione

tangenziale;

- la costante 𝛼 per il calcolo del valore caratteristico della deformazione tangenziale a partire

dal valore massimo di 𝛾(𝑡) (in genere pari a 0.65).

In uscita il codice fornisce:

- accelerazioni massime in tutti i nodi della mesh;

- sforzi e deformazioni tangenziali massime in ciascun elemento;

- storia temporale dell’accelerazione nei nodi selezionati (componenti verticali e orizzontali).

Elaborazione della risposta sismica locale

In generale, il procedimento di elaborazione vede la selezione dagli elenchi regionali, nazionali od

internazionali, di accelerogrammi registrati di eventi sismici; ogni stazione di registrazione è, per

convenzione, ubicata su substrato roccioso con Vs > 800 m/s. La scelta degli accelerogrammi utili

viene compiuta sulla base dei distretti sismici dell’area d’interesse e, sulla base della posizione in

ciascuno di essi, dalla distanza dall’epicentro, dalle PGA, dalle intensità sismiche previste etc. La

selezione definisce 7 accelerogrammi di input. Nel caso specifico, per l’area toscana, sono proposti

degli archivi di accelerogrammi dedicati e già scalati in intensità; la scelta sulla base della

posizione cartografica viene operata con il programma SCALCONA fornito dalla Regione Toscana.

L’utilizzo di 7 accelerogrammi permette la validazione statistica del procedimento, conferendo una

robustezza di calcolo accettabile.

Figura 3 - Sezione geologica per la stima della risposta sismica locale

Di ogni singolo accelerogramma di input viene prodotta una scalatura alla PGA localmente attesa

e, sulla base della sismo-stratigrafia locale, viene rivalutata l’azione sismica. E’ così calcolato lo

spettrogramma delle accelerazioni trasmesse alla quota di calcolo, soprastante il substrato sismico

al quale si considera applicata la perturbazione sismica.

Di seguito vengono riportati gli accelerogrammi forniti dal codice SCALCONA e successivamente

scalati.

Figura 4 – Accelerogrammi in outcrop

Per la definizione delle proprietà fisiche e delle caratteristiche meccaniche in campo statico e

dinamico (curva didecadimento della rigidezza al taglio e curva di smorzamento) sono stati

assunti dei modelli disponibili in letteratura per sabbie e rocce.

In particolare per descrivere il comportamento del materiale detritico si è assunto il modello di

Idriss (1990) comunemente utilizzato per materiali non coesivie per il substrato un Average Rock.

In figura 5 vengono rappresentate le curve di decadimento assunte nel modello.

Figura 5 - Curve di decadimento modulo di taglio

Figura 6 - Curve di decadimento rapporto di smorzamento viscoso

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

G/G

0

γ [%]

Idriss (1990), sand Average Rock

0

5

10

15

20

25

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

D [

%]

γ [%]

Idriss (1990), sand Average Rock

Con riferimento al caso in esame, risulta evidente dal profilo stratigrafico come non siano

soddisfatte le condizioni di applicabilità dell’analisi di risposta sismica locale 1D.

Infatti si è in prossimità del contorno di una valle alluvionale laddove si manifestano i cosiddetti

effetti di bordo. Per evitare di incorrere in errori grossolani, che come si vedrà spesso tendono a

sottostimare l’amplificazione sismica locale, è stata condotta un’analisi bidimensionale attraverso il

codice di calcolo LSR2D. Tuttavia, volendostimarequalitativamente l’entità di tali effetti, si è deciso

inoltre di effettuare, parallelamente alla modellazione 2D della sezione, anche delle analisi

monodimensionali.Le analisi di risposta sismica locale monodimensionale sono state condotte in

corrispondenza di due colonne (vedi figura 7) poste nella parte posteriore ed anteriore dell’edificio

di culto.

Figura 7 – Modello bidimensionale implementato in LSR2D della sezione geologica

Le caratteristiche meccaniche degli strati della sezione geologica implementata nel modello

numerico (figura 7) e le caratteristiche del substrato sono riportati nella seguente tabella.

Tabella 1 - Caratteristiche meccaniche degli strati

STRATO DESCRIZIONE ρ [kg/m3] [-] Vs [m/s] MODELLO

1 Materiale detritico superficiale e riporto 1800 0.35 200 Idriss (1990), sand

2 Detrito di versante 1800 0.35 400 Idriss (1990), sand

3 Substrato alterato e fratturato 1950 0.39 600 Idriss (1990), sand

SUBSTRATO Substrato arenitico 2300 0.42 900 Average rock

Al fine di cogliere in maniera sufficientemente accurata le modifiche che il segnale sismico subisce

nel suo percorso prima di raggiungere la superficie, il dominio geometrico della sezione è stato

discretizzato con elementi finiti triangolari aventi dimensioni opportune (1 metro). La generazione

della mesh è stata effettuata mediante una triangolazione di Delaunay implementata all’interno del

codice di calcolo LSR2D(vedi figura 8).

Le condizioni al contorno imposte sul modello riguardano delle condizioni di free field imposte ai

lati della sezione mediante vincoli cinematici che impediscono gli spostamenti verticali dei nodi di

bordo e smorzatori viscosi alla base del modello in modo da tenere conto della presenza del

substrato sottostante.

L’input sismico sul modello può essere imposto contemporaneamente lungo la direzione

orizzontale e verticale. In tal caso la componente verticale è stata trascurata e gli accelerogrammi di

figura 4 sono stati utilizzati per definire la componente del moto orizzontale.

La risposta sismica locale è stata monitorata lungo tutto il profilo orografico in termini di storie

temporali di spostamenti velocità ed accelerazioni. Sull’intero dominio geometrico invece il codice

ha fornito per ognuna delle 7 condizioni di carico sismiche i valori massimi dello stato deformativo

e tensionale nonché lo stato di decadimento dei materiali che costituiscono la stratigrafia.

Figura 8 – Mesh generata attraverso il codice di calcolo LSR2D

Nelle immagini che seguono sono riportati alcuni output del software LSR2D. In particolare, nelle

figure 9 si riportano i valori massimi di spostamento, velocità ed accelerazione riscontrati per la

prima condizione di carico sismica. In figura 10 ed in figura 11 , sempre per medesima condizione,

vengono riportati i massimi valori dello stato deformativo e tensionale.

Figura 9.a – Valori massimi dello spostamento per la condizione di caricosismica numero 1.

Figura 9.b – Valori massimi della velocità per la condizione di caricosismica numero 1.

Figura 9.c – Valori massimi dell’accelerazione accelerazione per la condizione di caricosismica numero 1.

Figura 10 – Valori massimi delle deformazioni a taglio per la condizione di caricosismica numero 1.

Figura 11 – Valori massimi delle tensioni tangenziali per la condizione di caricosismica numero 1.

Interpretazione dei risultati ottenuti

In questo paragrafo vengono riportati solo alcuni dei risultati ottenuti dallo studio di risposta

sismica locale condotto per il progetto di ristrutturazione della chiesa di San Giusto di Brancoli.

Per quanto consta l’ausilio dell’analisi geologica dell’area, lo studio della risposta sismica locale 2D

ha permesso una miglior interpretazione dell’insieme dei dati ottenuti dall’indagine geognostica,

permettendo di validare anche i risultati di quanto ottenuto nei rilievi HVSR e meglio

rappresentato nella carta delle frequenze presentata in fig. 2. Ricordando che a minor frequenza è

riferito un approfondimento dell’interfaccia tra materiale superficiale e substrato rigido (o

comunque poco deformabile), si evidenzia come sul fronte valle del corpo di fabbrica della chiesa

si abbia un elevato gradiente di approfondimento non presente sul lato monte. Infatti ciò che in

prima battuta risultava non pienamente comprensibile, in quanto poco ridondate tra le varie

metodologie d’indagine, trova una nuova chiave di interpretazione in stretta chiave sismologica:

infatti l’approfondimento della superficie tra il materiale superficiale ed il substrato arenitico

risulta pressoché lineare è indicato nella sezione geologica (Fig. 3). Così anche nel modello

bidimensionale di input nel software LSR2D (Fig. 7). Tuttavia, confrontando il risultato dei “Valori

massimi dello spostamento per la condizione di carico sismica numero 1”, di cui in Figura 9.a, con

la sezione derivante dalla carta delle frequenze, si osserva la buona rispondenza nel definire la

superficie di interfaccia (Fig. 12) non altrimenti spiegabile.

Figura 12 – Confronto tra sezione da Carta delle frequenze e Spostamento per condizione di carico sismica numero 1.

Quindi la rivisitazione in back-analisys della risposta sismica locale 2D, ha permesso di

individuare al meglio anche le tipologie d’intervento per il recupero strutturale e funzionale della

chiesa.

Peraltro, dall’analisi bidimensionale della sezione oggetto di studio è stato possibile ricavare,

lungo il profilo orografico di interesse, il fattore di picco dell’accelerazione necessario alla stessa

progettazione strutturale in condizioni sismiche.

Il fattore di picco dell’accelerazione è pari al rapporto tra l’accelerazione massima attesa su

affioramento roccioso e l’accelerazione massima ottenuta dallo studio di risposta sismica locale.

𝐹𝑃𝐺𝐴 = 𝑃𝐺𝐴𝑟𝑠𝑙

𝑃𝐺𝐴𝑜𝑢𝑡𝑐𝑟𝑜𝑝

Un parametro per il caso in esame è il rapporto tra le intensità di Housner. Quest’ultimo, di gran

lunga più significativo rispetto al precedente, è rappresentativo della severità del moto sismico ed

è correlato al danno potenziale atteso sulle costruzioni per effetto del terremoto in esame.

Figura 13 – Rapporto tra i valori medi della PGA del segnale di outcrop e della PGA del segnale stimato sul profilo orografico in funzione dello sviluppo longitudinale della sezione; Rapporto medio di Housner in funzione dello

sviluppo longitudinale della sezione.

L’intensità di Housner (o intensità dello spettro di risposta) viene definita come segue:

𝑆𝐼(𝜉) = ∫ 𝑃𝑆𝑉(𝑇, 𝜉) 𝑑𝑇

𝑇2

𝑇1

Dove 𝑃𝑆𝑉 è lo spettro di risposta di pseudo-velocità, 𝑇 è 𝜉 sono rispettivamente il periodo è lo

smorzamento strutturale delle costruzioni interessate dall’evento. Il range di periodi all’interno del

quale calcolare l’integrale dipende dalle caratteristiche delle costruzioni. Nel caso in esame le

intensità di Housner sono state calcolate con uno smorzamento convenzionale 𝜉 = 5% ed un

intervallo di periodi compreso tra 0.1 e 0.5 sec.

L’andamento del rapporto di intensità di Housner (curva blu) nonché il fattore di accelerazione

(curva rossa) in funzione dello sviluppo longitudinale della sezione sono rappresentati in figura

13. Entrambe le curve sono caratterizzate da un picco dovuto alle particolari condizioni

orografiche in corrispondenza dell’opera di sostegno presente edin generale da un andamento

crescente verso la parte sud-ovest del manufatto. Ciò indica che gli effetti bidimensionali della

sezione analizzata sono tali da generare una maggiore amplificazione su una parte specifica

dell’edificio. Tali effetti possono essere tra le cause che hanno provocato una visibile

concentrazione di lesioni nella parte sud-ovest del manufatto (vedi figura 12) a seguito degli eventi

sismici registrati nel 2013.

Spettri di risposta in accelerazione

Tra i parametri ingegneristici necessari per la progettazione dell’intervento di ristrutturazione gli

spettri di risposta in accelerazione giocano un ruolo fondamentale.

Figura 14 – Confronto tra gli spettri di risposta in accelerazione ottenuti con modellazione 1De 2D in corrispondenza della colonna 1.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,01 0,1 1

Sa [

g]

Periodo [sec]

1D

2D

CONFRONTO TRA I MODELLI 1D e 2D (COLONNA 1)

4

Figura 15 – Confronto tra gli spettri di risposta in accelerazione ottenuti con modellazione 1De 2D in corrispondenza della colonna 2.

I grafici rappresentati in figura 14 e figura 15 mettono a confronto le risposte spettrali in

accelerazione ottenute mediante analisi 1D e 2D rispettivamente sulle colonne 1 e 2.

Il lettore noterà che nell’intervallo di periodi che variano tra 0.08 e 0.2 secondi (periodi che

interessano la costruzione) il modello monodimensionale tenda a sottostimare gli effetti di

amplificazione in corrispondenza della colonna 1 ed a fornire valori superiori rispetto al modello

bidimensionale sulla colonna 2.

Questo comportamento è dovuto ai sopracitati effetti di bordo della stratigrafia ed in modo

particolare al fenomeno della focalizzazione delle onde sismiche dettati dal profilo del substrato

che il modello monodimensionale non è in grado di cogliere (figura 16).

Figura 16 – Effetto di focalizzazione delle onde sismiche.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,01 0,1 1

Sa [

g]

Periodo [sec]

1D

2D

CONFRONTO TRA I MODELLI 1D e 2D (COLONNA 2)

4

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