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Odine degli Ingegneri della Provincia di PistoiaCorso sulla Vulnerabilità Sismica
Modelli evolutivi per la verifica del rischio di edifici esistenti
Quaderno 5Modellazione nonlineare
Prof. Enrico SpaconeDipartimento di Ingegneria e Geologia
Università degli Studi “G. D’Annunzio” Chieti-Pescara
31 Maggio 2012
SOMMARIO
Livelli di analisi
Algoritmi per le analisi dinamiche nonlineari
Modelli di telai nonlineari
2
SOMMARIO
Livelli di analisi
Algoritmi per le analisi dinamiche nonlineari
Modelli di telai nonlineari
3
Joint Model
LIVELLI DI ANALISI
4
Bar Pull-Out Beam-Column
Element
Elementi Finiti 3D
Caso + generale
Importante per comprendere i meccanismi di risposta e rottura locali
Oneroso nei tempi di esecuzione, soprattutto in
LIVELLI DI ANALISI
5
Oneroso nei tempi di esecuzione, soprattutto in campo nonlineare
Le analisi nonlineari richiedono molta esperienza
Esistono grossi rischi in analisi nonlineari (problemi di localizzazione, non convergenza)
Elementi Finiti 3D
Scelta della mesh (remesh automatica)
Necessità di definire leggi nonlineari per l’acciaio, il cls, lo sfilamento, etc.
Problemi legati al trattamento continuo di un
LIVELLI DI ANALISI
6
Problemi legati al trattamento continuo di un mezzo discontinuo (a causa della fessurazione del cls, per esempio)
Grosso controllo dei dati di input
Complessità dell’output
Caso dinamico nonlineare troppo lungo e complesso
Elementi Finiti 2D
In molti casi e’ possibile fare delle analisi agli EF con modelli 2D (plane stress o plane strain)
Riduzione drastica dei gdl
Persistono i problemi di definizione delle
LIVELLI DI ANALISI
7
Persistono i problemi di definizione delle nonliearità
Analisi FEM 2D e 3D nonlineari vengono al momento fatte per lo studio di fenomeni locali (nodo trave pilastro, singoli elementi strutturali, etc.)
Analisi con elementi a telaio
Molto + veloci
Diventa + facile analizzare il comportamento intero di una struttura complessa
Alcuni fenomeni locali sono difficili da descrivere
LIVELLI DI ANALISI
8
Alcuni fenomeni locali sono difficili da descrivere (sfilamento, comportamento dei nodi, confinamento, etc.)
Analisi usate dalle normative sismiche
SOMMARIO
Livelli di analisi
Algoritmi per le analisi dinamiche nonlineari
Modelli di telai nonlineari
9
Come funziona, procede un’analisi nonlineare?
Si applica alla struttura una storia di carico
In generale bisogna specificare nella fase di preparazione dei dati che l’analisi è nonlineare
ANALISI NON LINEARI A LIVELLO DI STRUTTURA
10
Sempre nella fase di input si specificano le fonti di nonlinearità
La storia di carico può essere definita in termini di forze, spostamenti, o misti
La storia di carico è espressa in incrementi, più o meno piccoli
Edificio Schema analiticocon carichi e/o spostamenti
BASI DELL’ANALISI STRUTTURALE
11
Importante capire le approx che si fanno nel passaggio da struttura a modello analitico
StrutturaModello
StrutturaleModello Analitico
Approx 1 Approx 2
BASI DELL’ANALISI STRUTTURALE
12
ugx
ugy
ugx
SoluzioneModello Analitico
Approx 3
StrutturaModello
StrutturaleModello Analitico
Anche se è possibile trovare la soluzione esatta del Modello Analitico, bisogna sempre interpretare i risultati in relazione
BASI DELL’ANALISI STRUTTURALE
13
Analitico, bisogna sempre interpretare i risultati in relazione alle approssimazioni fatte per passare dalla Struttura al Modello Strutturale e dal Modello Strutturale al Modello Analitico
COMPONENTI BASE
Nodi Gradi di libertà Elementi
93
BASI DELL’ANALISI STRUTTURALE
14
Materiali Forze Condizioni al contorno
Il comportamento lineare o nonlineare dipende praticamente sempre dagli elementi!!!!!!!!
94
Elemento Telaio
u4
u5u6
u1
u2u3
v(x)
u(x)
ANALISI LINEARE
15
u1
Assunzione campi di spostamento (EF)
u(x) = lineare
v(x) = cubico“esatti” se A(x)=const e I(x)= const
Assemblaggio vettore forze esterne
10
0
020
30
PASSI ANALISI LINEARE
16
20
30
=
0
P
0
0
10
20
Calcolomatrice rigidezza di ogni elemento u4
u5u6
u1
u2u3
0 0 0 0EA EA
L L
−
PASSI ANALISI LINEARE
17
EA(x) = const
EI(x) = const
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 60 0
6 4 6 20 0
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 2 6 40 0
EB beam
L L
EI EI EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L L L L
EA EA
L L
EI EI EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L L L L
−
− − = −
− − −
−
K
Assemblaggio matrice rigidezza struttura
e
e 1ANel
==K K
PASSI ANALISI LINEARE
18
Soluzione equazioni equilibrio P = KU
1−=U K P
Calcolo forze elemento (e forze interne di sezione)
e e e=P K U
uu6uu3 P
P6PP3
PASSI ANALISI LINEARE
19
u4
u5u6
u1
u2u3
P4
P5P6
P1
P2P3
1
e
6
P
P
=
P M
1
e
6
u
u
=
U M
Forze elemento
eP
PASSI ANALISI LINEARE
20
eU
eK
1
Controllo equilibrio forze esterne = forze interne (solo se analisi lineare fatta con un codice di calcolo nonlineare, per controllare la convergenza)
PASSI ANALISI LINEARE
21
R− =P P 0
Forze applicate – Forse resistenti = 0
PASSI ANALISI LINEARE
R− =P P 0
Equilibrio nodo
30 0
0
22
10
20
30
30
0
30
0 0
Il comportamento non-lineare deriva dall’elemento
eP
ANALISI NONLINEARE
23eU
103
ANALISI DINAMICHE
( )tM U + C U + K U = P&& &
Struttura Linearesoluzione a istanti 0,… tn, tn+1, …
Si cerca configurazione equilibrata nella quale
24
Struttura Nonlineare
soluzione a istanti 0,… tn, tn+1, …
senza iterazioni ad ogni istante tn
( ) ( )R , storia tM U + C U + P U = P&& &
soluzione a istanti 0,… tn, tn+1, …
servono iterazioni ad ogni istante tn
( ) =P U PEQUILIBRIO STATICO
GENERICO gdl l
U
tU
spostamento spostamento
spostamentototale relativodel suoloal suolo
U U ut
g= +
ANALISI DINAMICHE
25
( )R l l=P U PEQUILIBRIO STATICO
( )R M Ul
t
l l= −P U &&EQUILIBRIO DINAMICO
( )R
1
K Ul
N
lm m
m=
=∑P U
gu
Caso elastico-lineare
U
Ut
u
u
t
t
g
g
+ =
= +
+ = −
MU KU 0
U U L
MU KU ML
&&
&& &&
STRUTTURA LINEARE
STRUTTURA NONLINEARE
ANALISI DINAMICHE
26
u g
( )R u g+ = −MU P U ML&& &&
STRUTTURA NONLINEARE
1
2 3
4
56
ug
1
0
0
1
0
0
=
L
L = vettore di trascinamento
( )R
u
u
g
g
+ + = −
+ + = −
MU CU KU ML
MU CU P U ML
&& & &&
&& & &&
EQUILIBRIO DINAMICO CON SMORZAMENTO
EQ. LINEARE
EQ. NONLINEARE
Il termine di smorzamento viscoso descrive fenomeni
ANALISI DINAMICHE
27
Il termine di smorzamento viscoso descrive fenomeni dissipativi molto complessi:
tutti i fenomeni dissipativicomportamento plasticoattritoingranamento degli inertiscorrimenticontatto fra elementi strutturali e non-strutturali ……..
L’approssimazione è molto cruda!!!!
COME SCEGLIERE LA MATRICE DI SMORZAMENTO?
SMORZAMENTO CLASSICO (Rayleigh Damping Matrix)
Molto conveniente, perchè in campo elastico permette l’ortogonalizzazione
KMC 10 aa +=
ANALISI DINAMICHE
28
Molto conveniente, perchè in campo elastico permette l’ortogonalizzazione dei modi → analisi modale
Si può dimostrare che attribuendo a due modi generici m ed n (con frequenze ωn e ωm) coefficienti di smorzamento ξm e ξn (solitamente 5% in campo lineare 1
0
1
1
a2
a 1
m
m m
nn
n
−
ω ω ξ =
ξ ω ω
SMORZAMENTO DI RAYLEIGH
( ) 01
1 aa
2
ξ ω = + ω
ω
ANALISI DINAMICHE
29
Smorzamento proporzionale a M
Smorzamento proporzionale a K
= +ω
ξ
SMORZAMENTO DI RAYLEIGH
5
3
4
7
6
1
2
5%
5%
ξ =
ξ =6
8
10
12
14
16
18
20
ξ
ξ
ξ
ξ (
%)
ANALISI DINAMICHE
30
2
1
ωωωω (1/sec) T (sec)
1.35700.45900.28370.21200.17530.15530.1450
4.630013.687722.147229.638835.835040.465043.3265
0
2
4
0 10 20 30 40 50
ωωωω
4
5
5%
5%
ξ =
ξ =
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 10 20 30 40 50
ωωωω
ξξξξ (
%)
ω1 ω2
ω4 ω5
COME SCEGLIERE LA MATRICE DI SMORZAMENTO?
SMORZAMENTO CLASSICO
E’ possibile controllare il coeff. di smorzamento in tutti i modi
JTi i
i i*i 1 i
2
M=
ξ ω=
∑C M MΦΦΦΦΦΦΦΦ
ANALISI DINAMICHE
31
E’ possibile controllare il coeff. di smorzamento in tutti i modiPochi programmi lo includono
Lo smorzamento e il suo uso sono problemi ancora molto aperti. Lo smorzamento ha comunque un effetto importantissimo sull’ampiezza della risposta
COME SCEGLIERE LA MATRICE DI SMORZAMENTOPER ANALISI NONLINEARI?
SMORZAMENTO DI RAYLEIGH CON RIGIDEZZA INIZIALE
00 1a a= +C KM
ANALISI DINAMICHE
32
Visto che la dissipazione di energia dovuta al comportamento nonlineare materiale è considerato esplicitamente nel termine PR, si consiglia di usare coeff. di smorzamento ξ dei primi due modi elastici dell’ordine di 2-3%, altrimenti si tende a sottostimare la risposta della struttura (sovrasmorzando la risposta della struttra)Si può anche aggiornare la matrice di smorzamento ad ogni passo, od ogni tot passi, dopo aver trovato le frequenze modali
1 t n0 aa a= +C KM
( )R u g−M U + C U + P U = ML&& & &&
Il terremoto è dato ad intervalli regolari (per esempio 0,02 sec)
ANALISI DINAMICHE CON TERREMOTO
33
( )gu t&&
t
Analisi al passo
Il tempo viene discretizzato in intervalli non necessariamente uguali a quelli del terremoto
ttn-2 tn-1 tn
ANALISI DINAMICHE CON TERREMOTO
106
34
22∆
[ ] [(1 2 ) ] [ ∆ ] 2
[(1- ) ] [ ∆ ]
n n-1 n-1 n-1 n
n n-1 n-1 n
tt β β t
t t γ γ
= + ∆ + − +
= + ∆ +
U U U U U
U U U U
& && &&
& & && &&
METODO DI NEWMARK
β e γ - parametri che controllano l’accuratezza e la stabilità dell’algoritmo
Analisi al passo con Metodo Newmark
n n n n+ + =M U C U K U P&& &
Al passo n
( ) ( )2 21 0.5t t t t tγ β γ β + ∆ +∆ + + ∆ − + + ∆ +∆ − = M C K U C U U K U U U P&& & && & &&
ANALISI DINAMICHE CON TERREMOTO
35
1
n eq n
− = U K P&& %
LIN
EA
RE
( ) ( )2 2
1 1 1 1 11 0.5n n n n n n nt t t t tγ β γ β− − − − − + ∆ +∆ + + ∆ − + + ∆ +∆ − = M C K U C U U K U U U P&& & && & &&
( ) ( )
2
2
1 1 1 1 11 0.5
eq
n n n n n n n
t t
t t t
γ β
γ β− − − − −
= + ∆ + ∆
= − + ∆ − − + ∆ + ∆ −
K M C K
P P C U U K U U U& && & &&%
Analisi al passo
Il tempo viene discretizzato in intervalli non necessariamente uguali a quelli del terremoto
ttn-2 tn-1 tn
ANALISI DINAMICHE CON TERREMOTO
36
( )( )
( )
( ) ( )( )
1 1 1
1 1 12
1 12
1 1 11
2
n n n n n
n n n n n
tt
t t
γ γ γ
β β β
β β β
− − −
− − −
= ∆ − + − + −
∆
= − − + −
∆ ∆
U U U U U
U U U U U
& && &
&& && &
METODO DI NEWMARK
β e γ - parametri che controllano l’accuratezza e la stabilità dell’algoritmo
Analisi al passo con Metodo Newmark
Al passo n
n n n n+ + =M U C U K U P&& &
ANALISI DINAMICHE CON TERREMOTO
37
LIN
EA
RE
1
n eq n
− = U K P%
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 12
2
1 1 11 1 1
2 2
1
n n n n
eq
tt tt
tt
γ γ γ
β β β β ββ
γ
ββ
− − −
= − + ∆ − − + − + − − ∆ ∆∆
= + +
∆∆
P M C U + M C U M C U
K M C K
&& &%
Analisi al passo con Metodo Newmark
( )Rn n n n+ + ≠M U CU P U P&& &
NO
NLI
NE
AR
E
Servono iterazioni i per trovare equilibrio dinamico
ANALISI DINAMICHE CON TERREMOTO
38
NO
NLI
NE
AR
E
• Equation of motion (in semi-discretized form):
• Residual form of equation of motion at tn = n ∆∆∆∆t:
( )Rn n n n n= − − − =Ψ P MU CU P U 0&& &&
( )R nn n n g nu+ + = −M U CU P U ML = P&& & &&
ANALISI DINAMICHE NONLINEARI
39
• Time stepping method (e.g., Newmark):
( )( )
( )
( ) ( )( )
1 1 1
1 1 12
1 12
1 1 11
2
n n n n n
n n n n n
tt
t t
γ γ γ
β β β
β β β
− − −
− − −
= ∆ − + − + − ∆
= − − + − ∆ ∆
U U U U U
U U U U U
& && &
&& && &
• From previous expressions
where
( ) ( )( )R2
1n n n n n
tt
γ
ββ
= − + + =
∆∆ Ψ P MU CU P U 0%
ANALISI DINAMICHE NONLINEARI
40
( ) ( )
( )( )
1 1 12
1 1 1
1 11
2
1 1t
n n n n n
n n n
tt
t
β ββ
γ γ γ
β β β
− − −
− − −
1= + + − − + ∆∆
− − − ∆ − ∆ 2
P P M U U U
C U U U
& &&%
& &&
( )n n =Ψ U 0 : Nonlinear vector algebraic equation
• Newton-Raphson incremental-iterative procedure:
( )1
1 1
1
ii i inn n ni
n
d−
− −
−
∂= − = − ∂
ΨU Ψ U Ψ
U
( )1
1
dyn
ii i
n nnd
− −= −K U Ψ1
( )0
dyn n− K
0
n =Ψ 0
0
n−Ψ
1
n∆u
2
n∆u
3
n∆u
Ψ
1
n−Ψ 2
n−Ψ
ANALISI DINAMICHE NONLINEARI
41
where
1
1
i i i i
n n n n nd−−= + ∆ = +U U U U U
( )( ) ( )
( )1 1
dyn 2
1i i
nn tt
γ
ββ
− −
= + + ∆∆
K M C K : Dynamic consistent/algorithmic
tangent stiffness matrix
( ) ( )( )1 1 1 1
R2
1
t
i i i i
n n n n nt
γ
ββ
− − − −
= − + + ∆∆
Ψ P MU CU P U : Dynamic residual vector
1n−U1
nU2
nU3
nU
n1
ndU 2
ndU3
ndU1n− =Ψ 0
U
1n −
Analisi al passo con Metodo Newmark
( )1
1
dyn
ii i
n nnd
− −= −K U Ψ
ANALISI DINAMICHE NONLINEARI
42
All’istante tn le operazioni numeriche per raggiungerel’equilibrio sono formalmente molto simili alle iterazioni incampo statico nonlineare
Matrice dirigidezza equivalente
Forze dinamiche Non equilibrate
Spostamenti incrementali
( )
( ) ( )
( )
1 1
unb R
1 11
unb
n ref n ref
i ii
n nn n
ii i
n n n
pseudo tempo
d
λ τ τ
− −
− −−
= = −
= ∆ = −
=
P P
P P P P
U K P
STA
TIC
OGeneralizzazione
ANALISI NONLINEARI
43
( )
( )
( ) ( )
11 1 1
R
1
dyn 2
11
dyn
1
n g n
ii i i
n n n nn
i-1i
nn
i-1i i
n nn
t
t t
d
γ
β β
−− − −
−
−−
= −
= + + −
= + + ∆ ∆
= −
P MLU
M U CU P P
K M C K
U K
&&
&& &ψψψψ
ψψψψ
STA
TIC
OD
INA
MIC
O
solutore unico
1i i i
n n nd−= +U U U
Lineare
Modale• Al passo per ogni modo (N analisi al passo su singolo modo)
Al Passo per sistema a N gdl
ANALISI DINAMICHE
44
Nonlineare
Al Passo + iterazioni all’interno di ogni passo• Da un punto di vista teorico non grosse differenza col caso
statico nonlineare. I termini inerziali danno “maggiore stabilità”
Algoritmi particolari
SOMMARIO
Livelli di analisi
Algoritmi per le analisi dinamiche nonlineari
Modelli di telai nonlineari
45
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica Teoria della plasticità A fibre
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
46
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti Formulazione in forze Integrazione numerica Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica Teoria della plasticità A fibre
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
47
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti Formulazione in forze Integrazione numerica Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
Le cerniere plastiche si formano di solito alle estremita’degli elementi strutturali ed eventualmente vicino alla mezzeria nelle travi
In questi punti vengono specificati speciali elementi (cerniere plastiche) mentre il resto dell’elemento rimane elastico
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
48
cerniereplastiche
Possono essere anche interne
U4
U5U6
U1
U2U3
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
49
cerniereplastiche
elementolineare elastico
Il Concetto di Cerniera Plastica
Lunghezza della Cerniera Plastica Modelli
Legge Costitutiva Cerniera Plastica
130
CERNIERA PLASTICA
50
Legge Costitutiva Cerniera Plastica
Ad hoc (per punti secondo normativa) Fenomenologica Teoria della plasticità A fibre
133
134
135
U4
U5U6
U1
U2U3
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
51
cerniereplastiche
elementolineare elastico
Come ottengo la matrice di rigidezza ?2 approcci: in spostamenti o in forze
e
6 6xK
U4
U5U6
U
U2U3
Formulazione in spostamenti
U7
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
52
U1
Scrivo la matrice di rigidezza riferita a tutti i gdl
Uso la condensazione statica per eliminare i gdl interni. - inversione di una matrice di rigidezza- necessità di avere 4 schemi a seconda del
comportamento delle cerniere
U8
8 8
e
xK
P4
P5P6
P
P2P3
Formulazione in forza
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
53
P4P1
Elemento senza RBM
Q1
Q2
Q3
e e
RBM
T=P QΓΓΓΓ
Formulazione in forza
Q1
Q2
Q3
eQ
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
54
2 2,Q q1 1Q , q 3 3Q ,q
1
1
1 2
3
1
Q 0
0e
TQ
Q
Q
=
T Q 2
1
2 2
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
TQ
Q
Q
=
T
Q
3
1
3 2
3
0
Q 1
0
TQ
Q
Q
=
T
Formulazione in forze (elastico lineare)
Q1
Q2
Q3
eQ
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
55
1 1 2 3 3
1 1 2 3 3
1 1 1 2 3 3 3
1 1 1 2 2 3 3 3
1 1 1 2 2 3 3 3
PFV = Q q Q q
= q q
= f Q f Q
= f f
f f
Te e T T T
e T T T
e e T T T
e e T e T e T e
e T T T
δ δ δ δ
=
Q q Q q
q T T q T
f Q T T f Q T
f Q T T Q T f T Q T T Q
f T T T f T T T
2222
2222
2 22 22 22 2
2222
2222
+ ++ ++ ++ +
+ ++ ++ ++ +
+ ++ ++ ++ +
+ ++ ++ ++ +
+ ++ ++ ++ +
Formulazione in forza (nonlineare)
Q1
Q2
Q3
eQ
e T T Tq T T q T+ ++ ++ ++ +
ELEMENTI A PLASTICITA’ CONCENTRATA
56
1 1 2 3 3
1 331 2 3
1 1 2 331 2 3
1 2 3
1 1 1 2 2 3 3 3
= q q
q q
q Q q Q=
Q Q
F F
e T T T
ee T T T
e e e e
T T T
e e e
T T T
d d d d
d d d d
d d d d d d
d d d d d d
= =
=
q T T q T
q qf T T T
Q Q Q Q
q QT T T
Q Q Q Q
T T T F T T T
2222
2222
2222
2222
+ ++ ++ ++ +
+ ++ ++ ++ +
+ ++ ++ ++ +
+ ++ ++ ++ +
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica Teoria della plasticità A fibre
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
57
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti Formulazione in forze Integrazione numerica Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
Il comportamento è monitorato lungo l’elemento
Esistono due approcci fondamentali: Formulazione in spostamenti
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
58
Formulazione in forze
Le formulazioni generano elementi di telaio che richiedono di conoscere la risposta delle sezioni lungo l’elemento
U4
U5U6
U1
U2U3
P4
P5P6
P1
P2P3
1
e
P
= P M
1
e
U
= U M
v(x)
u(x)
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
59
6P
=
P M
6U
=
U M
( )( )( )
( )( )( )
0s
u xx
v x
xx
x
ε
ϕ
=
=
u
edeformazioni di
sezione
Si lavora qui con un elemento di tipo Eulero-Bernoulli
( )( )( )
sN x
xM x
=
s forzedi sezione
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica Teoria della plasticità A fibre
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
60
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti
Formulazione in forze Integrazione numerica Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
Formulazione in spostamenti
U4
U5U6
U1
U2U3
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
61
Nell’elemento classico a due nodi, si fanno le seguenti ipotesi sui campi di spostamento
u(x) = lineare
v(x) = cubico
( ) ( ) ex x= Uu N U
U4
U5U6
U1
U2U3
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
62
Ciò risulta nelle seguenti deformazioni di sezione
( )( )( )
( )( )
( )
( )
0s
e
2 2
2 2
'
"
0 0
0 0
u x costantex
v x lineare
d d
u xdx dxx
v xd d
dx dx
x
ε
ϕ
= =
= =
U
e
N U
B144424443
La formulazione è approssimata perché le equazioni differenziali della trave:
U4
U5U6
U1
U2U3
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
63
differenziali della trave:
ammettono soluzione
solo nel caso di comportamento elastico lineare e sezione costante (EA = const, EI = const).Nel caso di comportamento nonlineare, la soluzione è tanto più approx quanto maggiore è la nonlinearità
u(x) = lineare v(x) = cubico
2 2
2 20 0
d du d d vEA EI
dx dx dx dx
= =
( )( )( )
0s'
"
u x costantex
v x lineare
ε
ϕ
= =
e
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
64
Le deformazioni di sezione si scrivono nella forma matriciale
( ) ( )s ex x=e B U
B(x) e’ la matrice delle funzioni di forma, che esprimono il fatto che ε0 = costante e ϕ = lineare
Serve il comportamento della sezione.Nel caso elastico lineare
( ) ( ) ( )s s sx x x=s k e
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
65
Nel caso nonlineare
0
s ss
0
0
N EA
M EI
ε
ϕ
=
s ek
14243
( ) ( ) ( )s s s
tand x x d x=s k e
Usando principi energetici si arriva alle seguenti espressioni di equilibrio
( ) ( )e s
L
Tx x dx= ∫P B s
Forze dell’elemento
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti (lineare)
66
Le forze dell’elemento sono l’integrale pesato delle forze di sezione. La matrice di rigidezza dell’elemento è l’integrale pesato delle rigidezze di sezione
0
∫
( ) ( ) ( )e s
0
L
Tx x x dx= ∫K B k B
Matrice di rigidezzadell’elemento
dell’elemento
Equilibrio nella posizione Ue
( ) ( )e s
0
L
Tx x dx= ∫P B s
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti (nonlineare)
67
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
e s s se
tan e e s e
0 0s
tan
e s
tan tan
0
L L
T T
L
T T
d d d dx dx x dx
d d d d
x x x dx
= = =
=
∫ ∫
∫
P s s eK B B
U U e U
Bk
K B k B
ss s e e e s
sec sec sec secs
0
L
e Tdx
∆= = ∆ = ∆ =
∆ ∫s
k k P K U K B k Be
Se ∆Ue è un incremento finito, allora rigidezza secante
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti (nonlineare)
68
0∆e
e
s e
GIVEN
for 1,h m=
=
U
e B U
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
ELEMENT STATE DETERMINATION
69
s e
s s
e s
1
e s
1
SECTION STATE DETERMINATI N ,O
h h
h h
mT
h h h
h
mT
h h h h
h
w L
w L
next
=
=
=
⇒
=
=
∑
∑
e B U
k s
P B s
K B k B
Limiti della formulazione
( ) ( )e s
L
Tx x dx= ∫P B s ( ) ( ) ( )
L
e T sx x x dx= ∫K B k B
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
70
0
∫0
∫
Le B(x) impongono campi costante per le deformazioni assiali ε0 e lineare per le curvature ϕ.
Questo costituisce una approssimazione nel caso di comportamento nonlineare del materiale
↓Formulazione approssimata
Gli elementi sono approssimati nel caso di comportamento materiale nonlineare
Non esistono elementi + sofisticati che funzionino veramente bene
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
71
funzionino veramente bene
Bisogna infittire la mesh, cioè usare + di un elemento / trave o colonna, come si fa di routine con qualunque altra mesh agli EF
Quanti elementi?
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in spostamenti
72
• Si cerca di infittire la mesh nei punti di maggiore nonlinearità
• Alcuni programmi seguono procedure di remesh adattativa
• Possibili problemi di localizzazione delle deformazioni
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica Teoria della plasticità A fibre
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
73
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti Formulazione in forze
Integrazione numerica Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
Elemento senza modi rigidi
Q1Q3
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
74
( )( )( )
( )( )( )
s
0s
N xx
M x
xx
x
ε
κ
=
=
s
e
( )( )( )( )
( )( )( )( )
s
0
s
N x
x M x
V x
x
x x
x
ε
κ
γ
=
=
s
e
TRAVE DI EULERO-BERNOULLI TRAVE DI TIMOSHENKO
TRAVE DI EULERO-BERNOULLI
eQQ1
Q3
Q2
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
75
( )( )( )
( )
( )1
s e
2
3
e
0 0 1
1 0
QN x
x = Q xx xM x
QL L
x
= = − +
Q
Q
s N Q
N Q
1442443
N(x)
M(x) ( ) 1
2
1Qx x
M xQL L
= − +
( ) 31N x Q= ⋅
“Esatto”
TRAVE DI TIMOSHENKO
N(x) ( ) 1N x Q= ⋅
eQQ1
Q3
Q2
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
76
( )( )( )( )
( )
( )1
s e
2
3
e
0 0 1
1 0
1 10
N x Qx x
x M x = Q xL L
V x Q
L L
x
= − + =
Q
Q
s N Q
Q
N144424443
N(x)
M(x)
( ) 31N x Q= ⋅
( ) 1
2
1Qx x
M xQL L
= − +
( ) 1
2
1 1 QdMV x
Qdx L L
= =
“Esatto”
V(x)
Questi campi sono “esatti” indipendentemente dal
( )( )( )
sN x costante
xM x lineare
=
s 140
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
77
Questi campi sono “esatti” indipendentemente dal comportamento materiale delle sezioni per elementi con carichi solo nodali. Le forze di sezione si scrivono nella forma
( ) ( )s ex x= Qs N Q
NQ(x) e’ la matrice delle funzioni di forma in forze, che esprimono il fatto che Ν = costante e Μ = lineare.
Serve il comportamento della sezione.Nel caso elastico lineare
( ) ( ) ( )s s sx x x=e f s
10
1
NEA
M
ε
ϕ
=
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
78
Nel caso nonlineare
( ) ( ) ( )s s sx x x=e f s
s s
s
10
M
EI
ϕ=
e s
f
14243
( ) ( ) ( )s s s
tand x x d x=e f s
Usando principi energetici si arriva alle seguenti espressioni di congruenza
( ) ( )e s
L
Tx x dx= ∫ Qq N e
Deformazioni nodalidell’elemento
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze (caso lineare)
79
Le deformazioni nodali dell’elemento sono l’integrale pesato delle deformazioni di sezione. La matrice di flessibilità dell’elemento è l’integrale pesato delle flessibilità di sezione
0
∫
( ) ( ) ( )e s
0
L
Tx x x dx= ∫ Q Qf N f N
Matrice di flessibilitàdell’elemento
dell’elemento
( ) ( )e s
0
L
Tx x dx= ∫ Qq N e
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze (caso nonlineare)
80
( ) ( )
( ) ( )
e s s se
tan e e s e
0 0s
tan
e s
tan tan
0
L L
T T
L
T
d d d dx dx x dx
d d d d
x x dx
= = =
=
∫ ∫
∫
Q Q
Q
Q Q
q e e sf N N
Q Q s Q
f N
f N f N
( ) ( )e s
0
L
Tx x dx= ∫ Qq N e ( ) ( ) ( )e s
0
L
Tx x x dx= ∫ Q Qf N f N
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
81
Le NQT(x) impongono campi costante per lo sforzo
assiale N e lineare per i momenti M. Queste assunzioni sono sempre esatte nel quadro della
teoria della trave, indipendentemente dal comportamento materiale
↓Elemento “esatto”
Dopo aver calcolato Qe e fe
P5, U5
P6, U6P2 , U2
P3 , U3
e e,P K
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
82
Q1, q1
Q2, q2
Q3, q3
P4, U4P1, U1
,P K
e e,Q k
e e
RBM
e
RBM RBM
T
e T
=
=
P Q
K k
ΓΓΓΓ
Γ ΓΓ ΓΓ ΓΓ Γ
La formulazione è esatta
VANTAGGI principali basta usare un elemento/trave o pilastro
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze
83
basta usare un elemento/trave o pilastro la formulazione permette di trattare anche il
softening (importante per analisi fino allo SL-CO)
SVANTAGGI principali L’implementazione in un programma di calcolo è
piuttosto complicato (richiede iterazioni) Disponibile al momento in pochi programmi
commerciali
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica Teoria della plasticità A fibre
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
84
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti Formulazione in forze Integrazione numerica
Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
( ) ( )e s
0
L
Tx x dx= ∫P B s ( ) ( ) ( )e s
0
L
Tx x x dx= ∫K B k B
Formulazione in spostamenti
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Integrazione Numerica
85
gli integrali elementi sono risolti attraverso integrazione numerica
0 0
( ) ( )e s
0
L
Tx x dx= ∫ Qq N e ( ) ( ) ( )e s
0
L
Tx x x dx= ∫ Q QQ N f N
Formulazione in forze
( ) ( )10
L m
h h
h
f x dx f x w L=
≈ ∑∫
L
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Integrazione Numerica
86
L
x1
x2
m=3
x3
f (x1) f (x2)
f (x3)
f (x1) f (x2)
f (x3)
w1L w2L w3L
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3
0
L
f x dx f x w L f x w L f x w L≈ + +∫
Formulazione in spostamentiMetodo di Gauss (precisione 2m-1): m=3,4
m=2 m=4
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Integrazione Numerica
87
Formulazione in forzeMetodo di Gauss-Lobatto (precisione 2m-3): m=4,5
m=3 m=5
m=2
m=3
m=4
m=5
143
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e
10
e
L mT s T s
h h h
h
L mT s T s
x x dx x x w L
x x x dx x x x w L
=
= ≈
= ≈
∑∫
∑∫
P B s B s
K B k B B k B
Formulazione in spostamenti
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Integrazione Numerica
88
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e
10
T s T s
h h h h
h
x x x dx x x x w L=
= ≈ ∑∫K B k B B k B
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e
10
e
10
L mT s T s
h h h
h
L mT s T s
h h h h
h
x x dx x x w L
x x x dx x x x w L
=
=
= ≈
= ≈
∑∫
∑∫
Q Q
Q Q Q Q
q N e N e
Q N f N N f N
Formulazione in forze
monitoraggio h=1,m sezioni in posizione xh
Un problema legato all’integrazione numerica e/o alla dimensione dell’Elemento Finito (Elemento Telaio nel nostro caso) è quello della localizzazione delle deformazione e della perdita di oggetività della risposta, particolarmente importante in elementi con comportamento
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Integrazione Numerica
89
particolarmente importante in elementi con comportamento con perdita di resistenza (cls a compressione oltre il picco di resistenza)
144
Elementi a Plasticità Concentrata
Cerniera Plastica
Fenomenologica Teoria della plasticità A fibre
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
90
Elementi a Plasticità Distribuita
Formulazione in spostamenti Formulazione in forze Integrazione numerica Modelli di sezione (fenomenologici, teoria della
plasticità, a fibre per entrambe le formulazioni)
Modelli di sezione
Si possono usare gli stessi modelli che si usano per le cerniere plastiche.
Legge Fenomenologica
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
91
Legge Fenomenologica Legge di Sezione basata sulla Teoria della plasticità Sezione a fibre
Grosso sviluppo di software nel futuro prossimo
SOMMARIO
Livelli di analisi
Algoritmi per le analisi dinamiche nonlineari
Modelli di telai nonlineari
92
FINE
U1
U2U3
Nel caso generale:
NODI TELAIO E GDL DA PAGINA 14
93
Solitamente 1 nodo / nodo strutturale
rigid end zones?
Nel caso generale:
- 2D: 3 gld/nodo
- 3D: 6 gdl/nodo
PAGINA 14
Elemento telaio tipo
u4
u5u5
u1
u2u3
DA PAGINA 14ELEMENTI E MATERIALI
94
Formulazioni base
a) Trave di Eulero-Bernoulli(solo deformazioni assiali e flessionali)
b) Trave di Timoshenko(def. assiali, flessionali e a taglio)
y
dv 0 v xbg
Deformed b'
a'
TEORIA TRAVE DI EULERO-BERNOULLI DA PAGINA 14
95
Assunzione base: Sezioni piane rimangono piane e normali all’asse della trave
x
dv
dx
0
a
bu x0bg
v x0bg
Undeformed
κM M+dM
N+dNN
Hp: non ci sono carichi distribuiti
TEORIA TRAVE DI EULERO-BERNOULLI DA PAGINA 14
96
dx
V V+dV
Deformata della sezione a flessione
N+dNN
Equazioni differenziali del problema
( )
( )2 2
0
0
0
d duEA x
dx dx
d d vEI x
=
=
2
2
4
0
0
d u
dx
d v
=
=
EA(x) = const
EI(x) = const
TEORIA TRAVE DI EULERO-BERNOULLI DA PAGINA 14
97
( ) 0
2 20
d d vEI x
dx dx
=
4
0dx
=EI(x) = const
uesatto = polinomio linearevesatto = polinomio cubico
a'
b'Deformed
γ
yα 0 xbg
dv0 v xbgv0 = v0s + v0f
α0 = v’0f
TEORIA TRAVE DI TIMOSHENKO DA PAGINA 14
98
Assunzione base: Sezioni piane rimangono piane ma non normali all’asse della trave
xUndeformed
a
bu x0bg
dv
dx
0 v x0bg α0 = v’0f
γ = v’0s
SHEAR STRESSES IN RECTANGULAR SECTION
h
y
τ xy τ xy
x
TENSIONI TANGENZIALI SU UNA SEZIONE CIRCOLARE
TEORIA TRAVE DI TIMOSHENKO DA PAGINA 14
99
b
22
3
6
4xy
V hy
bhτ
= −
"Exact" Theory Timoshenko Beam Theory
τ xy
s
constV
GA= =
Teoria “Esatta”Teoria della
Trave di Timoshenko
κ κ
TEORIA TRAVE DI TIMOSHENKO DA PAGINA 14
100
γ
deformazione aflessione
deformazionea taglio
+ =
x
v0 (x)
v0 (x) = vf (x) + vs (x)
TEORIA TRAVE DI TIMOSHENKO DA PAGINA 14
101
vf (x)
v0 (x) = vf (x) + vs (x)
vs (x)
Equazioni differenziali del problema
( )
00
0
0s
d duEA x
dx dx
d dvGA
dx dx
dv d d
α
α
=
− =
2
2
2
0 0
2
2
0
0
d u
dx
d v d
dx dx
dv d
α
α
=
− =
EA(x) = const
EI(x) = const
TEORIA TRAVE DI TIMOSHENKO DA PAGINA 14
102
0 00 0s
dv d dGA EI
dx dx dx
αα
− + =
2
0 00 2
0s
dv dGA EI
dx dx
αα
− + =
uesatto = polinomio linearevesatto = ?
αesatto = ?
EI(x) = const
GAs(x) = const
14
La curva viene calcolata solo per punti
eP
DA PAGINA 23ELEMENTO NON LINEARE
103eU
Quale rigidezza per un dato valore di Ue?
eP
11K
ELEMENTO NON LINEARE DA PAGINA 23
104eU
tangente
secante-totale
secante-increment e
1
a3 l
2
=
=
=K
KK
KK
K
1
1
2K
3K
La risposta dipende dalla storia di carico
eP
ELEMENTO NON LINEARE DA PAGINA 23
105
23
eU
POCHI PASSI
P
NUMERO PASSI ANALISI DA PAGINA 34
106
U
POCHI PASSIAnalisi:
VelocePoco precisa
MOLTOI PASSI
P
NUMERO PASSI ANALISI DA PAGINA 34
107
U
MOLTOI PASSIAnalisi:
+ Lenta+ Precisa
0
50
100
150
MO
ME
NT
(k
ip-i
n)
NUMERO PASSI ANALISI DA PAGINA 34
108
-2 -1 -1 0 1 1 2 2
CURVATURE (10-3 rad/in)
-100
-50
0
MO
ME
NT
(k
ip-i
n)
∆φ = 0.1E-3 rad/in
∆φ = 0.3E-3 rad/in
∆φ = 0.6E-3 rad/in
APPLIED CURVATURE INCREMENTS
Esempio Analisi Sezione: Importanza passo analisi
0
Esistono molte maniere per definire una storia di caricoEsempio
Definizione carico di riferimento
STORIA DI CARICO DA PAGINA 34
109
1
2
3
ref
=
0
0
P
0
0
1
2
3
Definizione funzione di carico
λref
Si sceglie un ∆τ che può variare durante la storia di carico
Al passo di carico n il carico applicato è:
STORIA DI CARICO DA PAGINA 34
110τ
τ è uno pseudo-tempo
1n
n
n
ref l
l
n ref ref
λ
λ=
= ∆τ
=
∑
P P
• Tangente (Newton – Raphson)
P2
P3
+ veloce
RIGIDEZZA DA PAGINA 34
111
iterazione conK nuova
U
P2
U1
P1
U2 U3
instabile vicino a massimi
• Modified Newton – Raphson
P2
P3
Compromesso fra i due precedenti
RIGIDEZZA DA PAGINA 34
112
U
P2
U1
P1
U2 U3
iterazione conK nuova
• Rigidezza iniziale
+ lentoP2
P3
RIGIDEZZA DA PAGINA 34
113
+ stabile del NR
U
P2
U1
P1
U2 U3
iterazione conK nuova
• Secante totale
P2
P3
RIGIDEZZA DA PAGINA 34
114
U
P2
U1
P1
U2 U3
iterazione conK nuova
• Secante totale
P2
P3
RIGIDEZZA DA PAGINA 34
115
U
P2
U1
P1
U2 U3
iterazione conK nuova
• Secante “modificato”
P2
P3
RIGIDEZZA DA PAGINA 34
116
U
P2
U1
P1
U2 U3
iterazione conK nuova
for i=1,max_numb_iterations1
*
1* 1
unb
1
1,
i i
n
i i i i i
n n n n n n
eventually compute
d
= + d
−
− −
−−
=
∆ ∆ = + ∆
K
U K P
U U U U U U
VERSIONE 1
ANALISI STATICA NONLINEARE
Riepilogo iterazioni al passo di carico n (Pn=const , iterazioni NR)
DA PAGINA 34
117
for e=1,Nel
end
end
1n n n n n n−
( )
( ) ( )
e
e e,
Ee
ii
nn
i i
n ncompute
=U U
K P
( ) ( ) ( )
( )
R
unb R
unb
A ANel Nel
i iii e e
n nn ne e
ii
n n
iif exit loop and increment n
= =
= −
≈
K K P P
P P P
P 0
for i=1,max_numb_iterations
for e=1, Nel
end
( )
( ) ( ),
Ee
ie i
nn
i ie e
n ncompute
=U U
K P
Riepilogo iterazioni al passo di carico n (Pn=const , iterazioni NR)
VERSIONE 2
ANALISI AL PASSO DA PAGINA 34
118
end
end
( ) ( ) ( )
( )
R
unb R
unb
A ANel Nel
i iii e e
n nn ne e
ii
n n
iif exit loop and increment n
= =
= −
≈
K K P P
P P P
P 01
*
1*
unb
1
1,
i i
n
i i i i i
n n n n n n
eventually compute
d
= + d
−
−
−−
=
∆ ∆ = + ∆
K
U K P
U U U U U U
Cosa vuol dire “eventually compute” ?
• K non è invertita, ma viene effettuata una
triangolarizzazione (operazione che costa molto meno
dell’inversione
• Rimane comunque il passo lento della soluzione del
1*
− K
ANALISI AL PASSO DA PAGINA 34
119
• Rimane comunque il passo lento della soluzione del
problema, quindi a volte si cerca di evitare l’ “inversione”
ad ogni passo (come nel NR)
• Rigidezza iniziale: inversione di K solo al primissimo
passo (EL) dell’analisi
• NR-modificato: inversione di K solo alla prima iterazione
del passo di carico
*
0
i=0
n=1= =K K K
* i=0
n=K K
DIFFERENTI TIPI DI RISPOSTA
No problem con metodi alla Newton
P
ALTRE PROCEDURE ITERATIVE DA PAGINA 34
120
U
P
U
Rottura fragile (pilastri in c.a. con P altro)Controllo in spostamento o metodi avanzati
P
U
Rottura duttile (c.a. o acciaio)Controllo in spostamento o metodi avanzati
DIFFERENTI TIPI DI RISPOSTA
Snap-throughSolo metodi avanzati
P
ALTRE PROCEDURE ITERATIVE DA PAGINA 34
121
U
P
U
Snap-backSolo metodi avanzati
Localizzazione con softening locale
(vedere Diapositive)
ALTRE PROCEDURE ITERATIVE DA PAGINA 34
122McGuire, Gallagher, Ziemian - Matrix Structural Analysis, John Wiley 2000
id tol< UU
idU
oppure
Convergenza in spostamento
ALCUNI CRITERI DI CONVERGENZA DA PAGINA 34
123
non funziona bene per K molto altatroppo restrittivo in altri casiPRINCIPALMENTE TEORICO
1dU
1
id
told
<U
U
U
oppure
id tol< PP
idP
1dP
oppure
Convergenza in forza
ALCUNI CRITERI DI CONVERGENZA DA PAGINA 34
124
non funziona bene per K molto piccolaUSATO
1
id
told
<P
P
P
oppure
i
EE tol<
oppure
Convergenza in energia
Ei
ALCUNI CRITERI DI CONVERGENZA DA PAGINA 34
125
1
i
E
Etol
E<
oppure
E1
MOLTO USATOControllare E0 non troppo piccola
Quante iterazioni all’interno di un passo di carico?
I programmi fissano un limite di default e/o chiedono all’utente di fissarlo (per esempio i≤10)
Se il criterio di convergenza è soddisfatto con i≤10
CONVERGENZA DA PAGINA 34
126
Se il criterio di convergenza è soddisfatto con i≤10 il passo di carico è concluso e si incrementa il carico passando al passo successivo
Se il criterio di convergenza non è soddisfatto a i=10, o il programma si ferma, o avanza segnalando però il problema, o avanza e non dice niente (!)
CONVEGENZA? SI → Avanza al passo dicarico successivo
n=n+1
CONVERGENZA? NO
CONVERGENZA DA PAGINA 34
127
Il programma si ferma. Si ripete l’analisi rinfittendo il passo di carico
Alcuni programmi hanno il comando RESTART che permette di ripartire dall’ultimo punto di convergenza
Il programma continua segnalando o no il problema Divergenza Convergenza ritardata al passo successivo (controllare se
convergenza su un altro ramo di equilibrio
Pn
Pn+1
CONVERGENZA RITARDATA AL PASSO SUCCESSIVO
DA PAGINA 34
128
U
Pn
Pn+1
DIVERGENZA DA PAGINA 34
129
U
34
LUNGHEZZA CERNIERA PLASTICA
Smax
fM
H - Lp
Mu
My=
H
H - Lp
pL
H uMyM
= 1-
DA PAGINA 50CERNIERA PLASTICA
130
(OPCM 3431 Punto 11.A.4)
= M/V = luce di taglio
)(
)(24,017,01,0
MPaf
MPafdhLL
c
ybLVpl ++=
VL
uM
My
Lp
H = Lv
Mu
My
= 0.92Lp = 0.08*Lv
= diametro barre longitudinalibLd
ϕ
M
linea
re
L-Lpl Hp:
MODELLI DI CERNIERA PLASTICA DA PAGINA 50
131
Lpl
θ = ϕ Lpl
θ
M
non
linea
re
L-Lpl Hp: curvatura ϕ
costante su Lpl
50
linea
re
L-Lpl linea
re
L
Modello A Modello B
MODELLI DI CERNIERA PLASTICA DA PAGINA 50
132
M M
50
Lpl
non
linea
re
non
linea
re
0
My
θθy
My
pl yθ = θ − θ
M
My
LEGGE COSTITUTIVA FENOMENOLOGICA DA PAGINA 50
133
θθy
Curva prestabilita o assegnataPer esempio modelli Bouc-Wen e TakedaDifficile introdurre interazione P-M
50
CERNIERA PLASTICA BASATA SULLA TEORIA DELLA PLASTICITA’
DA PAGINA 50
134McGuire, Gallagher, Ziemian - Matrix Structural Analysis, John Wiley 2000
50
Layer Section Fiber Section
fiby
fibz
z
y y
SEZIONE A FIBRE DA PAGINA 50
135
1fib fib fiby z= −l
z
s
s
FIBER STATE DETERMINATIO
GIVEN
for 1,
,N
h
fib fib h
fib fib
fib nfib
E
ε
σ
=
=
⇒
e
l e
SE
CT
ION
STA
TE
DE
TE
RM
INA
TIO
N
for section h
SEZIONE A FIBRE DA PAGINA 50
136
( )
( )
s
s
sec
sec
fib fib
nfibT
h fib fib fib fib
fib
nfibT
h fib fib fib
fib
next
tion stiffness E A
tion forces Aσ
=
=
∑
∑
k l l
s l
SE
CT
ION
STA
TE
DE
TE
RM
INA
TIO
N
Layer Section Fiber Section
CERNIERA PLASTICA CON SEZIONE A FIBRE
DA PAGINA 50
137
• Interazione Automatica P-M (o P-M1-M2 nel caso di pressoflessione deviata)
• Possibilità di introdurre interazione P-M-V (non ancora in programmi commerciali)
• Puo’ creare problemi di convergenza se i materiali non sono ben scelti
• Quante fibre scegliere?
ε
σ
ACCIAIO 1
σ
ε
ACCIAIO 2
ε
ACCIAIO 3
σ
σσ
LEGGI COSTITUTIVE FIBRE DA PAGINA 50
138
ε
ACCIAIO 4
εCLS 1
ε
σ
CLS 2ε
CLS 3
0
5000
10000
MO
ME
NT
(kip
s-f
t) 36 in33 in
18 #241000 kips compressive axial force
SENSIBILITA’ RISPOSTA: SEZIONE A FIBRE DA PAGINA 50
139
-0.0006 -0.0004 -0.0002 0 0.0002 0.0004 0.0006-10000
-5000
0
CURVATURE (rad/in)
MO
ME
NT
(kip
s-f
t)
50
FORMULAZIONE IN FORZE ED ELEMENTO NONLINEARE CON SOFTENING
DA PAGINA 77
5
4
3
2
Sezione No.N (const.)r, r +∆r
140
111
(A) (B) (C)
(D)1
23
45
Muκκκκ
(A) ELEMENTO E CARICHI
(B) DIAGRAMMA MOMENTI
(C) DISTRIBUZIONE CURVATURA
(D) MOMENTO-CURVATURA
κκκκ
Mu
M
Confronto Elementi Telaio in Spostamenti ed in Forze
Elemento in Spostamenti Equilibrio solo in forma integrale Compatibilità delle deformazioni solo all’interno
dell’elemento
r, r +∆rMDISTRIBUZIONE CURVATURE
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI DA PAGINA 77
141
r, r +∆r
κκκκ
MDISTRIBUZIONE CURVATURE
Gli elementi “comunicano” solo attraverso le forze e gli spostamenti nodali:Salto di curvatura e momento fra gli elementi (come negli EF)
1 ELE 2 ELE 3 ELE
ELEMENTI DI TELAIO NONLINEARI
Confronto Elementi Telaio in Spostamenti ed in Forze
Elemento in Forze Compatibilità solo in forma integrale Equilibrio delle forze solo all’interno dell’ele Per travi di Eulero-Bernoulli e Timoshenko ele è “esatto”
DA PAGINA 77
142
r, r +∆r
κκκκ
MDISTRIBUZIONE CURVATURE
Per applicazioni in cui l’elemento è esatto (elemento con scorrimento, per esempio), salto di curvatura fra gli elementi (come negli EF)
BASTA 1 ELE PERCHE’ “ESATTO”
77
50
100
150
200
SH
EA
R V
(kip
s)
55.7
8 ft
V, d 1000 kips compressive axial force
DA PAGINA 87SENSIBILITÀ DELL’ELEMENTO IN FORZE AL NUMERO DI PUNTI DI INTEGRAZIONE
143
-2 -1 0 1 2-200
-150
-100
-50
0
TIP DISPLACEMENT d (ft)
SH
EA
R V
(kip
s)
nGL = 2
nGL = 3
nGL = 4 87
Perdita di Oggettività
incrudimento positivo
incrudimento negativo
perfettamenteplastico
DA PAGINA 89ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
144
In presenza di comportamento perfettamente plastico o con incrudimento negativo si ha localizzazione della risposta e perdita di oggettività
Taglio alla Base
3 IP4 IP
3 IP
4, 5, 6, 7, 8 IP
RISPOSTA OGGETTIVA
Punti di Integrazione IP=3,4,5,6,7,8 (Gauss-Lobatto)
SEZIONE STRUTTURA
RISPOSTA DI COLONNA CON SPOSTAMENTI IMPOSTI δ - 1 ELEMENTO IN FORZE DA PAGINA 89
145
Spostamento Impresso, δδδδCurvatura primo punto integrazione(alla base)
5, 6, 7, 8 IP
δδδδ
3, 4, 5, 6, 7, 8Numero punti di Integrazione = IP
Legge Momento-Curvatura conincrudimento positivo
4, 5, 6, 7, 8 IP
incrudimento positivoM
κ
Taglio alla base
RISPOSTA OGGETTIVARISPOSTA NON OGGETTIVA
Punti di Integrazione IP=3,4,5,6,7,8 (Gauss-Lobatto)
SEZIONE STRUTTURA
RISPOSTA DI COLONNA CON SPOSTAMENTI IMPOSTI δ - 1 ELEMENTO IN FORZE DA PAGINA 89
146Spostamento, δδδδCurvatura primo punto di integrazione(alla base)
3 IPδδδδ
IP = 3, 4, 5, 6, 7, 8
Legge Momento-CurvaturaElastica-Perfettamente Plastica
3, 4, 5, 6, 7, 8 IP
4 IP5 IP6 IP7 IP8 IP
perfettamenteplastico
M
κ
L
H ,δ
MODELLI DI CERNIERA PLASTICA DA PAGINA 89
147
1IPL
( ) ( )3
1 1 13
1
IP y IP IP
LH L L L
EIcontributocontributo
rotazione plasticaelasticopunto integrazione
δ κ κ≈ + − −14444244443123
Taglio alla Base
δδδδ
P (costante)
RISPOSTA NON OGGETTIVARISPOSTA NON OGGETTIVA
Punti di Integrazione IP=3,4,5 (Gauss-Lobatto)
SEZIONE STRUTTURA
RISPOSTA DI COLONNA CON SPOSTAMENTI IMPOSTI δ - 1 ELEMENTO IN FORZE DA PAGINA 89
148Spostamento, δδδδCurvatura primo punto integrazione(alla base)
3 IP
4 IP
5 IP
3 IP
4 IP
5 IP
IP = 3, 4, 5
incrudimento negativo
M
κ
Punto di integrazoineGauss-Lobatto
A parità di spostamento in sommità
PERDITA DI OGGETTIVITA’LOCALIZZAZIONE DELLA DEFORMAZIONE
DA PAGINA 89
149
Curvatura
κp
Momento
Mp κpMp κp
Mp
Gauss-Lobatto
3 Punti di Integrazione 4 Punti di Integrazione 5 Punti di Integrazione
Riepilogo 1/2
In presenza di comportamento elastico-plastico perfetto o incrudente negativo si ha perdita di oggettività nella risposta.
Per elementi in spostamenti la localizzazione avviene a
PERDITA DI OGGETTIVITA’LOCALIZZAZIONE DELLA DEFORMAZIONE
DA PAGINA 89
150
Per elementi in spostamenti la localizzazione avviene a livello dell’elemento, per cui la risposta diventa funzione della dimensione della mesh
Per elementi in forze la localizzazione avviene sul singolo punto di integrazione, per cui la risposta diventa funzione del numero di punti di integrazione
Esistono tecniche di regolarizzazione (non si trovano su molti programmi commerciali)
Riepilogo 2/2
Per elementi in spostamenti la regolarizzazione si basa su teorie ben note nel campo degli Elementi Finiti, ma non ben documentate per quanto riguarda gli elementi telaio
PERDITA DI OGGETTIVITA’LOCALIZZAZIONE DELLA DEFORMAZIONE
DA PAGINA 89
89
151
Per elementi in forze la regolarizzazione comincia ad essere ben studiata Coleman, J, and Spacone, E., (2001) "Localization Issues in Nonlinear Force-Based Frame Elements." ASCE J. of Structural Engineering,127(11), 1257-1265
Scott, MH and Fenves, GL (2006) “Plastic Hinge Integration Methods for Force-Based Beam-Column Elements.” ASCE J. of Structural Engineering, 123(2), 244-252
Adessi D, Ciampi V (2007) “A regularized force-based beam element with a damage-plastic section constitutive law.” Int. J. Numer. Meth. Engngn
END
152
Nonlinear Structural Dynamic Analysis
Element state determination (displacement-based elements):
Stress (or stress resultant) vector at Gauss point (or section) level:
( ) ( )e
i+1 T i+1
n+1 n+1 e
Nel
e=1
dΩ
= ⋅ ⋅ Ω
∫R u B σ εA
Nel
e=1A K = Direct stiffness assembly operatorε = Strain (or strain resultant) vector;
σ = Stress (or stress resultant) vector; B = Strain-displacement transformation matrix
153
Stress (or stress resultant) vector at Gauss point (or section) level:
Static consistent tangent stiffness matrix (at structure level):
i+1 i+1
n+1 n n= + ∆u u u i+1 i+1
n+1 n+1= ⋅B uε
( )i+1 i+1
n+1 n n+1,=σ σ ε ε
[ ]( )( )
i+1
i+1 n+1
T n+1 i+1
n+1
∂ ∆=
∂ ∆D
σ
ε
Constitutive law
integration algorithm
(e.g., return map algorithm)
( ) ( ) [ ]e
Neli+1stat i+1 i+1 i+1 T
T n+1 n+1 n+1 T en+1e=1= = d
Ω
∂ ∂ ⋅ ⋅ ⋅ Ω
∫K u R u u B D BA
Consistent/algorithmic tangent moduli
P
nP
One load step k with Newton Raphson iteration i
Actual behavior
B
1i
n
−K i
nK
D
E
F, G
STRUCTURE PROCEDURE: NR
154
Ui
nU 1i
n
+U
Convergence Point
A
C
i
nR
nU
E
1n−P
1n−U
C
eP
E
G
ELEMENT STATE DETERMINATION: DB
155
A
C
1
e
n−Uie
nU
eU1ie
n
+
U e
nU
ie
nR
1
e
n−R
ss
E
G
ELEMENT STATE DETERMINATION: DB
156
A
C
se
s
is
s
ie
B
REQ
1i
E
−F
Ii
EF
Ii
rU
1−
,i i i i
RE RE E E⇒ ⇒Q Q F K
ELEMENT LEVEL
157
A
C
D
E
F
G
1 1k i
E E
− −U = Ui
EU 1i
E
+U 2i k
E E
+ =U U
1 1k i
RE RE
− −=Q Q
i
REQ
EU
1i i
E r
− F U
RE∆∆∆∆Q
Convergence Point
D
iD
1i
B
−f
I
i
Bf
Ir
idB
1i f b f b i i i
Br BB Bb b E r∆∆∆∆−
= + D N N A F U
,i i i i
r Br B E⇒ ⇒d U f F
i
Br∆∆∆∆d
D F
BEAM SECTION LEVEL
1581 1k i− −d = d id
1i+d d
i
RD
i i
R−D D
A
C
Convergence Point
i
Br∆∆∆∆D
i∆∆∆∆D
2i k+ =d d
DE
F
G
bD
i
bD
1i
b
−f
I
i
bf
Ii
brdB
1i f b f b i i i
br bB bb b E r∆∆∆∆−
= + D N N A F U
i
br∆∆∆∆d
,i i i i
br br b E⇒ ⇒d U f F
D F
BOND INTERFACE LEVEL
1591 1k i
b b
− −d = d1i
b
+d bd
i
RbD
i i
b Rb−D D
A
C
Convergence Point
i
br∆∆∆∆D
i
bd
i
b∆∆∆∆D
D
EF
G
2i k
b b
+ =d d
StructureP
kP
STRUCURAL LEVEL: LOAD STEP k
NEWTON-RAPHSON ITERATIONS i
D’, D
STRUCTURE
B’ C’
STRUCTURAL LEVEL
160
StructureU
iU
Convergence Point
A
B
iP
C
1k −Pk
U1k−U
B
ElementQ
C DkQ
ELEMENT
DISPLACEMENT-BASED FORMULATIONELEMENT STATE DETERMINATION
161
A
BiQ
1k−U
ElementU1k −Q
iU kU
B b
B b
= +
= +
Q Q Q
K K K
BeamD
C
Dk
BD
SECTION: Beam
DISPLACEMENT-BASED FORMULATIONBEAM SECTION STATE DETERMINATION
162
A
Bi
BD
1k
B
−d i
Bd
Beamd
k
Bd
1k
B
−D
( )
( )
D B
B B
B B B
B B B
−=d B U
D = D d
k = k d
B
bondD
iD
C
Dk
bD
SECTION: Bond
DISPLACEMENT-BASED FORMULATIONBOND STATE DETERMINATION
163
A
Bi
bD
1k
b
−d i
bd
bondd
k
bd
1k
b
−D
( )
( )
D B
b b
b b b
b b b
−=d B U
D = D d
k = k d
ElementQ
D
kQ
B*
C*D*
ELEMENT
HELLINGER-REISSNER FORMULATIONELEMENT STATE DETERMINATION
164
A
B
iQ
1k−U
ElementU1k −Q
C
iU kU
( ) ( )10T T
R R b B Rr
−= + + −Q T Q Q Q T F U∆∆∆∆
BeamD
D
k
BDC*
D*
SECTION: Beam
HELLINGER-REISSNER FORMULATIONBEAM SECTION STATE DETERMINATION
165
A
B
i
BD
1k−di
Bd
Beamd
C
k
Bd
1k
B
−D
B*
0 1
0 0 1
H R
B B B F B Rr
H R
B B B B Br B F B Rr
− −
− −
= + −
= + + −
D D D N F U
d d f D d f N F U
∆∆∆∆
∆∆∆∆
ElementQ
D
kQ
B*
C* D*
ELEMENT
FORCE-BASED FORMULATIONELEMENT STATE DETERMINATION
166
A
B
iQ
1k−U
ElementU1k −Q
C
iU kU
0 0
1
r
−
= + −
=
Q Q K U KU
K F
∆∆∆∆
BeamD
C
D
k
BDC*
D*
SECTION: Beam
FORCE-BASED FORMULATIONBEAM SECTION STATE DETERMINATION
167
A
B
i
BD
-1k
Bdi
Bd
Beamd
C
k
Bd
1k
B
−D
B*
0
0 0
+
+B
F B
B B B Br r
F B
B B B B Br rBr
−
−
= ∆ −
∆= + −
D D D N KU
D N KUd d f d f
bondD
C
D
k
bD
B*
C*
D*
SECTION: Bond
FORCE-BASED FORMULATIONBOND STATE DETERMINATION
168
A
B
i
bD
1k
b
−d i
bd
bondd
C
k
bd
1k
b
−D
B*
0
F B
b b b br
F B
b br
r
rb b br b
−
−
= −+
= + −
D D N
D + N
D KU
d d f d f KU∆∆∆∆
∆∆∆∆
Q1
Q2
Q3
v(x)
Formulazione in forze: P-δ
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
169
( )( )( )
( )
1
2 3
3
0 0 1
1 0
s
e
QN x
x = Q Q vx xM x
NQL L
x
= + − +
Q
s
N Q
1442443
Only need v at integration points h=2,…, m-1 (v1=vm=0)
vh δM(x)=Nh
δ1
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
Formulazione in forze: P-δ
170
( ) ( )10
l
L m
h h l l
l
v M x x M w Lδ ϕ ϕ=
= =∑∫
δ1
Dummy load principle
lϕ known from element state determination
Consistent Mass Matrix
Given vh at all integration points, velocity and acceleration
at the same integration point computed using Newmark method
( ) ( )t 1 1v v v v v α α α
= ∆ − + − + −& && &
ELEMENTI A PLASTICITA’ DISTRIBUITA
171
Need to see how mass matrix can be derived,
but it should not be difficult
( )( )
( )
( ) ( )( )2
t 1 12 t
1 1 11
2 t t
n+1 n n n+1 n
n+1 n n n+1 n
v v v v v
v v v v v
α α α= ∆ − + − + − β β β ∆
= − − + − β β ∆ β ∆
& && &
&& && &