Sujeto a

Tema: Programacin Lineal

El modelo de transporte:

Todos los modelos de programacin lineal pueden resolverse por el mtodo simplex, no obstante algunas clases de ellos en virtud de su estructura especial son susceptibles de resolverse con mtodos ms eficientes que el mtodo simplex desde el punto de vista de los clculos, entre ellos se encuentra el modelo de transporte.

Una caracterstica del modelo clsico de transporte es que incluye el envo de un producto homogneo desde un conjunto de orgenes hacia un conjunto de destino. Cada origen representa una fuente de abastecimiento para el producto; y cada destino constituye un punto de demanda del mismo.

Una representacin grfica del modelo de transporte es como sigue:

La formulacin del modelo es la siguiente:

Minimice Z = C11 X11 + C12 X12++ C1n X1n + + CmnXmn (o Max)

Restricciones de oferta

X11 + X12 ++ X1n = f1 X21 + X22 ++ X2n = f2 . . . . . . Xm1 + Xm2 ++ Xmn = fm

Restricciones de demanda

X11 + X12 ++ Xm1 = d1 X21 + X22 ++ Xm2 = d2 . . . . . . X1n + X2n ++ Xmn = dm

Restriccin de no negatividad Xij 0

n destinos (dj)

m orgenes (fi)

Cada flecha indica la cantidad que se puede enviar desde un origen hacia un destino

n m

3

2 2

1 1

Xij: Nmero de unidades distribuidas del origen i al destino j.

Cij: Contribucin a la FO al distribuir una unidad de su origen i al destino j.

f1: Unidades disponibles en el origen i.

dj: Unidades de demanda en el destino j.

m = Nmero de orgenes n = Nmero de destinos

Supuestos del modelo:

1: El modelo general supone la existencia de un producto homogneo.

2: Las ofertas y las demandas totales son iguales, es decir:

=1

= =1

Solucin a los problemas por el mtodo de transporte:

El primer paso es construir una matriz de transporte que permita hallar una solucin inicial.

Origen D1 D2 Destinos

Dn Disponibilidades

F1 C11 C12 C1n f1

F2 C21 C22 C2n f2

.

.

.

. . .

Fm Cm1 Cm2 Cmn fm

Demanda total d1 d2 dn

Condiciones de fronteras

Cuando la oferta total sea mayor que la demanda total se debe agregar una columna en la matriz. Si la demanda es mayor que la oferta se agrega una fila.

El segundo paso consiste en asignar valores en las casillas de la matriz utilizando el criterio del costo mnimo que consiste en:

a) De acuerdo a la oferta y la demanda asignar una cantidad a la casilla con el menor costo unitario, (si el problema es de maximizar o asignar la cantidad a la casilla con la mayor ganancia).

b) Tachar las casillas de las filas o columnas que han sido satisfecha. c) De las casillas que van quedando vacas seleccionar la de menor costo (o

la de mayor ganancia) y asignarle una cantidad tanto como sea posible. d) Repetir este proceso y finalmente hacer los ajustes necesarios.

Solucin ptima a los problemas de transporte

La solucin inicial puede ser ptima o no, la forma de saberlo es realizando la prueba de optimalidad que consiste en los siguientes pasos:

a) Calcular los coeficientes de cada rengln y de cada columna de la matriz de transporte. Este procedimiento se inicia asignando el cero como coeficiente al primer rengln (si es posible). Seguidamente se busca una casilla que tenga un valor asignado y se emplea para encontrar otro coeficiente empleando la siguiente frmula:

Coeficiente desconocido = (Costo en la celda coeficiente conocido de columna o de rengln o columna rengln)

Calcular el costo marginal de las celdas vacas, aplicando la siguiente frmula:

Costo marginal = Costo en la celda (Coeficiente de rengln + coeficiente de columna)

La solucin ser ptima si todos los costos marginales son no negativos. Para problemas maximizacin la solucin es ptima si todas las ganancias marginales son no positivas.

Mejoramiento de la solucin:

Si la solucin no es ptima se procede de la siguiente manera:

a) Identificar la casilla con el costo marginal ms negativo (o con la ganancia marginal ms positiva). A partir de esta trazar una trayectoria cerrada con ngulos rectos en las casillas llenas.

b) Determinar la cantidad a reasignar, seleccionando la menor de las cantidades correspondientes a las casillas con signo negativo.

c) El proceso es iterativo hasta obtener una solucin ptima.

Ejemplo de diferentes trayectorias que se pueden trazar:

Ejemplo 1. Aplique el modelo de transporte al siguiente problema.

La siguiente tabla muestra las capacidades de tres fbricas y sus costos de produccin. Tambin refleja diferentes costos de transporte de las diversas fbricas a los diversos mayoristas y la demanda mensual de cada uno de estos. Encuentre un programa de produccin que cubra todas las necesidades a un costo mnimo total.

Fbrica Costo de produccin Costo de transporte Capacidad

uni/mens I II III IV A $ 110 11 13 9 19 7500 B 95 12 16 10 14 10000 C 130 14 13 12 15 8000

Demanda uni/mens 4200 8300 6300 2700

Modelo de programacin lineal para el problema:

Xij: Cantidad de unidades que deben enviarse de la fbrica i al mayorista j. Con i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2,3, 4

Minimizar Z = 121X11 + 123X12 + 119X13 + 129X14 + 107X21 + 111X22 + 105X23 + 109X24 + 144X31 + 143X32 + 142X33 + 145X34

Sujeto a: X11 + X12 + X13 + X14 = 7500 X21 + X22 + X23 + X24 = 10000 Restricciones de oferta X31 + X32 + X33 + X34 = 8000

X11 + X21 + X31 = 4200 X12 + X22 + X32 = 8300 X13 + X23 + X33 = 6300 Restricciones de demanda X14 + X24 + X34 = 2700 Xij 0 para i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3, 4

- VB

+ VB

VB -

VNB +

- VB

+ VB

VB -

VB +

VB - VNB

+ - VB

VB -

VNB +

+ VB

- VB

VB +

Problemas de transporte:

1) La siguiente tabla muestra tres fbricas con diferentes capacidades y costos de produccin. Tambin refleja diferentes costos de transporte de las diversas fbricas a cuatro almacenes regionales. El precio de venta vara de acuerdo con el almacn. Encuentre el programa ptimo para maximizar las utilidades.

Planta Costo de

produccin (Crdobas)

Costo de transporte Almacn Capacidad (Unidades) #1 #2 #3 #4

1 38 23 18 21 24 650 2 27 21 24 23 18 630 3 30 18 21 27 25 620

Precio de venta (Centavo)

64 63 64 64

Demanda 300 450 500 850

2) En tres fbricas A, B, C se dispone de ciertas cantidades de un producto, estas cantidades son respectivamente 100, 120 y 120. El producto se entrega a 5 almacenes D, E, F, G y H que deben recibir respectivamente 40, 50, 70, 90 y 100 toneladas. El costo de transporte de una unidad del producto desde cada fbrica a cada almacn se da en la tabla. Determine el plan de transporte inicial y una solucin mejorada, de tal manera que el costo sea mnimo.

Almacenes Fbricas D E F G H

A 0.4 0.1 0.2 0.6 0.9 B 0.6 0.5 0.2 0.5 0.7 C 0.5 0.2 0.6 0.4 0.8

3) Una compaa panificadora puede producir un pan especial en cualquiera de sus dos plantas en la siguiente forma:

Planta Capacidad de produccin (Barras) Costo de produccin

Crdobas/Barra A 2500 23 B 2100 25

Cuatro cadenas de restaurantes desean adquirir este pan, sus demandas y los precios que desean pagar son los siguientes:

Cadena Demanda mxima (Barras) Precio ofrecido

(Centavos/Barra) 1 1800 39 2 2300 37 3 550 40 4 1750 36

El costo en centavos de embarcar una barra de pan de una planta a un restaurante se da en la siguiente tabla:

Cadena 1 Cadena 2 Cadena 3 Cadena 4 Planta A 6 8 11 9 Planta B 12 6 8 5

4) La cadena BURT BURGER tiene tres restaurantes en el pas. Los restaurantes utilizan vasos desechables estndares. Se ha invitado a tres proveedores para competir por la concesin de surtir estos vasos, sus propuestas son:

Proveedor Precio por C/1000 Capacidad anual A $ 0.90 30,000 B $ 1.00 75,000 C $ 1.10 135,000

El costo de transporte en $ por cada 1000 vasos vara desde cada proveedor a cada BURT BURGER.

A la BURT BURGER De N.1 N.2 N.3 A 0.80 0.10 0.30 B 0.50 0.20 0.50 C 0.20 0.40 0.20

Las necesidades anuales para las tres BURT BURGER son 30,000, 60,000 y 120,000 respectivamente. Cuntos vasos deben comprarse de cada proveedor para cada restaurante?

5) Una compaa usa tres componentes A, B, C y requiere 60, 100 y 80 unidades de cada una de ellas respectivamente. Los componentes se pueden producir en cada una de las tres mquinas o se pueden comprar a los costos que se muestran en la siguiente tabla. Las capacidades de las mquinas se muestran entre parntesis.

Componente I (50) II (80) III (75) Compra A $ 15 $ 7 $ 10 $ 15 B $ 12 $ 8 $ 13 $ 14 C $ 10 $ 11 $ 4 $ 12