Modelo de Vector de Corrección de Error (VEC) y Modelo de Vector Autorregresivo (VAR)

Hemos estudiado las propiedades de los datos de series de tiempo y las relaciones de

cointegración entre pares de series no estacionarias. En dichos ejemplos, se asumió que una de las

variables es la dependiente (digamos ty ) y que la otra es la variable independiente (digamos tx ) y

tratamos la relación entre ty y tx como un modelo de regresión. Sin embargo, a priori, a menos

que no tengamos buenas razones para ello, podemos asumir que tx es la variable dependiente y

ty es la variable independiente. Denotemos tt yx , a las dos variables y los dos posibles modelos

de regresión que las relacionan

𝑦𝑡 = 𝛽10 + 𝛽11𝑥𝑡 + 𝑒𝑡𝑦

, 𝑒𝑡𝑦

~𝑁(0, 𝜎𝑦2) (13.1a)

𝑥𝑡 = 𝛽20 + 𝛽21𝑦𝑡 + 𝑒𝑡

𝑥, 𝑒𝑡𝑥~𝑁(0, 𝜎𝑥

2) (13.1b) Despejando 𝑥𝑡 de (13.1a)

𝑥𝑡 = −𝛽10

𝛽11+

1

𝛽11𝑦𝑡−

1

𝛽11𝑒𝑡

𝑦

por lo que la relación que se detecta con (13.1b) es

𝛽21 =1

𝛽11 y 𝛽20 = −

𝛽10

𝛽11

Despejando 𝑦𝑡 de (13.1b)

𝑦𝑡 = −𝛽20

𝛽21+

1

𝛽21𝑥𝑡−

1

𝛽21𝑒𝑡

𝑥

por lo que la relación que se detecta con (13.1a) es

𝛽10 = −𝛽20

𝛽21 y 𝛽11 =

1

𝛽21

Por lo que en el sistema bivariado (dos series) expresado en (13.1a) y (13.1b) sólo hay una única

relación entre tx y ty , la cual se da en los casos en que

𝛽21 =1

𝛽11 y 𝛽20 = −

𝛽10

𝛽11= −𝛽10𝛽21

Un poco de terminología: para (13.1a) decimos que normalizamos en ty al hacer el coeficiente de

ty igual a 1 y en (13.1b) normalizamos en tx al hacer el coeficiente de tx igual a 1.

Es mejor escribir la relación como en (13.1a) o (13.1b) o es mejor reconocer que en muchas

relaciones, ¿las variables como ty y tx son simultáneamente determinadas? El objetivo de este

capítulo es explorar la relación causal entre pares de variables de series de tiempo. Para ello,

haremos extensivo nuestro estudio de los datos de series de tiempo para tomar en cuenta sus

propiedades dinámicas e interacciones. En particular, se desarrollarán los modelos de Vector de

Corrección de Error (VEC) y Vector Autorregresivo (VAR). Si las variables I(1) cointegran, se

estimará un modelo VEC. Si las variables I(1) no cointegran, se estimará un modelo VAR. Esto no es

más que una extensión a lo visto con modelos uniecuacionales del capítulo anterior.

Algunos aspectos importantes que recordar son:

i) El análisis univariado examina datos de una serie de tiempo.

ii) El análisis bivariado examina datos de un par de series de tiempo.

iii) El término vector indica que estamos considerando dos, tres o más series de tiempo.

Vector es una generalización de los casos univariado y bivariado.

Modelos VEC y VAR

Comencemos con dos variables de series de tiempo ty y tx , y facilitemos el análisis de la relación

dinámica mediante el siguiente sistema de ecuaciones expresado en forma matricial:

[𝑦𝑡

𝑥𝑡] = [

𝛽10

𝛽20] + [

𝛽11

𝛽21

𝛽12

𝛽22] [

𝑦𝑡−1

𝑥𝑡−1] + [

𝑣𝑡𝑦

𝑣𝑡𝑥]

Ahora, el sistema de ecuaciones en forma desarrollada:

𝑦𝑡 = 𝛽10 + 𝛽11𝑦𝑡−1 + 𝛽12𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑦

(13.2)

𝑥𝑡 = 𝛽20 + 𝛽21𝑦𝑡−1 + 𝛽22𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑥

Las ecuaciones en (13.2) describen un sistema en el cual cada variable es una función de su propio rezago y el rezago de la otra variable en el sistema. En este caso, el sistema contiene dos variables

ty y tx . En la primera ecuación ty es una función de su propio rezago 1ty y del rezago de la otra

variable en el sistema 1tx . En la segunda ecuación tx es una función de su propio rezago 1tx y

del rezago de la otra variable en el sistema 1ty . Las dos ecuaciones constituyen un sistema

conocido como vector de autorregresión (VAR). En este ejemplo, a partir de que el rezago máximo es de orden 1, se tiene un VAR(1).

Si ty y tx son variables estacionarias I(0), el sistema arriba indicado puede estimarse usando

mínimos cuadrados para cada ecuación. Si ty y tx son no estacionarias I(1) y no cointegradas,

entonces se trabajará con las series en primeras diferencias, cómo se vio en el capítulo anterior. En este caso, el modelo VAR es:

𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1 = 𝛽11(𝑦𝑡−1 − 𝑦𝑡−2) + 𝛽12(𝑥𝑡−1 − 𝑥𝑡−2) + 𝑣𝑡∆𝑦

𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1 = 𝛽21(𝑦𝑡−1 − 𝑦𝑡−2) + 𝛽22(𝑥𝑡−1 − 𝑥𝑡−2) + 𝑣𝑡∆𝑥

es decir

∆𝑦𝑡 = 𝛽11∆𝑦𝑡−1 + 𝛽12∆𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡∆𝑦

(13.3)

∆𝑥𝑡 = 𝛽21∆𝑦𝑡−1 + 𝛽22∆𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡∆𝑥

en forma matricial

[𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1

𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1] = [

𝛽11

𝛽21

𝛽12

𝛽22] [

𝑦𝑡−1 − 𝑦𝑡−2

𝑥𝑡−1 − 𝑥𝑡−2] + [

𝑣𝑡∆𝑦

𝑣𝑡∆𝑥

]

[∆𝑦𝑡

∆𝑥𝑡] = [

𝛽11

𝛽21

𝛽12

𝛽22] [

∆𝑦𝑡−1

∆𝑥𝑡−1] + [

𝑣𝑡∆𝑦

𝑣𝑡∆𝑥

]

Ahora ∆𝑦 y ∆𝑥 son variables estacionarias 𝐼(0), se estima cada ecuación del sistema (13.3) por MCO. Recapitulando: El modelo VAR es un marco general para describir la interrelación dinámica

entre variables estacionarias. Así, si ty y tx son variables estacionarias I(0), el sistema en (13.2) es

el que aplica. En otro caso, si ty y tx son variables I(1) pero no cointegradas, se examina la

interrelación entre ellas empleando el marco general de VAR en primeras diferencias (13.3).

Si ty y tx son variables I(1) cointegradas, entonces el sistema de ecuaciones se modifica de tal

manera que capte la relación de cointegración entre dichas variables I(1). Se debe hacer esto por dos razones:

i) Como economistas, gustamos de retener y emplear la información valiosa acerca de la relación de cointegración.

ii) Como econometristas, gustamos de asegurar que se esté empleando la mejor técnica que tome en cuenta las propiedades de los datos de series de tiempo.

La ecuación de cointegración es una forma de introducir interacciones simultáneas sin requerir que los datos sean estacionarios. Mediante la introducción de esta relación de cointegración, se obtiene el modelo VEC, que se desarrolla a continuación:

Consideremos dos variables ty y tx no estacionarias que son integradas de orden 1, además

)1(~Iyt y )1(~Ixt están cointegradas mediante la ecuación

𝑦𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑡 + 𝑒𝑡 (13.4) donde los residuales estimados son

�̂�𝑡 = 𝑦𝑡 − �̂�0 − �̂�1𝑥𝑡 tales que

�̂�𝑡~𝐼(0)

Podemos elegir normalizar en tx . La normalización en ty o en tx es casi siempre determinada

por la teoría económica; el punto crítico es que siempre es posible encontrar a lo más una relación fundamental entre las dos variables. El modelo VEC es una forma especial del modelo VAR para variables 𝐼(1) que están cointegradas. Así, el modelo VEC es

𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1 = 𝛼10 + 𝛼11𝑒𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑦

𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1 = 𝛼20 + 𝛼21𝑒𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑥

es decir

𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1 = 𝛼10 + 𝛼11(𝑦𝑡−1 − 𝛽0 − 𝛽1𝑥𝑡−1) + 𝑣𝑡𝑦

(13.5a)

𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1 = 𝛼20 + 𝛼21(𝑦𝑡−1 − 𝛽0 − 𝛽1𝑥𝑡−1) + 𝑣𝑡𝑥

expandiendo y reordenando términos

𝑦𝑡 = 𝛼10 + (𝛼11 + 1)𝑦𝑡−1 − 𝛼11𝛽0 − 𝛼11𝛽1𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑦

(13.5b)

𝑥𝑡 = 𝛼20 + 𝛼21𝑦𝑡−1 − 𝛼21𝛽0 − (𝛼21𝛽1 − 1)𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑥

Comparando (13.5b) con (13.2) se observa que el VEC es un VAR donde la variable ty , que es I(1),

está relacionada con las otras variables rezagadas ( 1ty y 1tx ) y donde la variable tx , que es I(1),

está también relacionada con las otras variables rezagadas ( 1ty y 1tx ). Notar, sin embargo, que

las dos ecuaciones contienen la relación común de cointegración. Los coeficientes 𝛼11, 𝛼21 son conocidos como coeficientes de corrección de error, nombrados así porque ellos muestran qué tanto ∆𝑦𝑡 y ∆𝑥𝑡 responden al error de cointegración 𝑦𝑡−1 − 𝛽0 −𝛽1𝑥𝑡−1 = 𝑒𝑡−1 . La idea de que el error conduce a una corrección proviene de las condiciones sobre 𝛼11, 𝛼21 para asegurar estabilidad

−1 < 𝛼11 ≤ 0 y 0 < 𝛼21 ≤ 1 Para apreciar esta idea, consideremos un error positivo

𝑒𝑡−1 > 0 que ocurrió debido a que

𝑦𝑡−1 > 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑡−1 Un coeficiente de corrección de error negativo en la primera ecuación (𝛼11) asegura que ∆𝑦𝑡 disminuye, mientras que un coeficiente de corrección de error positivo en la segunda ecuación (𝛼21) asegura que ∆𝑥𝑡 aumenta, corrigiéndose así el error. Si los coeficientes de corrección de error son menores que 1 en valor absoluto, se asegura que el sistema es no explosivo. Nótese que

el VEC es una generalización del modelo de corrección de error (uniecuacional) discutido en el

Capítulo 12. En el modelo VEC (sistema de ecuaciones), ambos ty y tx son correctoras del error.

El modelo de corrección de error se ha vuelto muy popular porque su interpretación es intuitivamente atractiva. Pensando en dos variables no estacionarias, por decir el consumo

(denotado como ty ) y el ingreso (denotado como tx ) que esperamos se encuentren relacionadas

(cointegradas). Ahora, pensando en un cambio en el ingreso, ∆𝑥𝑡, digamos por un aumento de sueldo. El consumo probablemente aumente, pero tomará un tiempo, mientras cambie el patrón de consumo en respuesta a un cambio en el salario. El modelo VEC nos permite examinar qué tanto el consumo cambiará en respuesta a un cambio en la variable explicativa (la parte de cointegración 𝑦𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑡 + 𝑒𝑡) como también de la velocidad de cambio (la parte del error de

corrección ∆𝑦𝑡 = 𝛼10 + 𝛼11(𝑒𝑡−1) + 𝑣𝑡𝑦

) donde 𝑒𝑡−1 es el error de cointegración). Un punto final por discutir: el rol de los términos de intercepto. Hasta ahora, hemos visto el término de intercepto tanto en la ecuación de cointegración (𝛽0) como en el VEC (𝛼10 y 𝛼20). Sin embargo, esto puede crear un problema. Para ver por qué, agrupemos todos los términos de intercepto y reescribamos (13.5b) como

𝑦𝑡 = (𝛼10 − 𝛼11𝛽0) + (𝛼11 + 1)𝑦𝑡−1 − 𝛼11𝛽1𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑦

(13.5c)

𝑥𝑡 = (𝛼20 + 𝛼21𝛽0) + 𝛼21𝑦𝑡−1 − (𝛼21𝛽1 − 1)𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑥

En forma matricial

[∆𝑦𝑡

∆𝑥𝑡] = [

𝛼10

𝛼20] + [

𝛼11

00

𝛼21] [

𝑒𝑡−1

𝑒𝑡−1] + [

𝑣𝑡𝑦

𝑣𝑡𝑥]

o

[∆𝑦𝑡

∆𝑥𝑡] = [

𝛼10

𝛼20] + [

𝛼11

𝛼21] 𝑒𝑡−1 + [

𝑣𝑡𝑦

𝑣𝑡𝑥]

es decir

[𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1

𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1] = [

𝛼10

𝛼20] + [

𝛼11

00

𝛼21] [

𝑦𝑡−1 − 𝛽0 − 𝛽1𝑥𝑡−1

𝑦𝑡−1 − 𝛽0 − 𝛽1𝑥𝑡−1] + [

𝑣𝑡𝑦

𝑣𝑡𝑥]

o

[𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1

𝑥𝑡 − 𝑥𝑡−1] = [

𝛼10

𝛼20] + [

𝛼11

𝛼21] (𝑦𝑡−1 − 𝛽0 − 𝛽1𝑥𝑡−1) + [

𝑣𝑡𝑦

𝑣𝑡𝑥]

donde [𝛼11

𝛼21] es el vector de coeficientes de corrección de error;

expandiendo y reordenando términos

[𝑦𝑡

𝑥𝑡] = [

𝛼10

𝛼20] + [

−𝛼11𝛽0

−𝛼21𝛽0] + [

𝛼11 + 1𝛼21

−𝛼11𝛽1

−𝛼21𝛽1 + 1] [

𝑦𝑡−1

𝑥𝑡−1] + [

𝑣𝑡𝑦

𝑣𝑡𝑥]

agrupando a los vectores constantes

[𝑦𝑡

𝑥𝑡] = [

𝛼10 − 𝛼11𝛽0

𝛼20 − 𝛼21𝛽0] + [

𝛼11 + 1𝛼21

−𝛼11𝛽1

−𝛼21𝛽1 + 1] [

𝑦𝑡−1

𝑥𝑡−1] + [

𝑣𝑡𝑦

𝑣𝑡𝑥]

Si estimamos cada ecuación por mínimos cuadrados ordinarios, obtenemos estimadores de los términos compuestos (𝛼10 − 𝛼11𝛽0) y (𝛼20 − 𝛼21𝛽0) y no seremos capaces de distinguir los efectos por separado de 𝛽0, 𝛼10 y 𝛼20. En la siguiente sección, se discute un procedimiento sencillo de estimación de un VEC por mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) que nos permitirá resolver el problema de separar los efectos de 𝛽0, 𝛼10 y 𝛼20. Sin embargo, la lección aquí es evaluar y ver dónde un término de intercepto es necesario.

Estimación de un modelo VEC Hay muchos métodos econométricos para estimar un modelo de corrección de error. Un sistema de mínimos cuadrados no lineales es un método, pero el método más directo es el procedimiento de mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E): Etapa 1, Emplear MCO para estimar la relación de cointegración

𝑦𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑡 + 𝑒𝑡 (13.4) para las variables no estacionarias 𝑦𝑡~𝐼(1) y 𝑥𝑡~𝐼(1). Generar los residuales rezagados

�̂�𝑡−1 = 𝑦𝑡−1 − �̂�0 − �̂�1𝑥𝑡−1 Etapa 2, Estimar por MCO las ecuaciones (13.5a)

∆𝑦𝑡 = 𝛼10 + 𝛼11�̂�𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑦

(13.6a)

∆𝑥𝑡 = 𝛼20 + 𝛼21�̂�𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑥 (13.6b)

en forma matricial

[∆𝑦𝑡

∆𝑥𝑡] = [

𝛼10

𝛼20] + [

𝛼11

00

𝛼21] [

�̂�𝑡−1

�̂�𝑡−1] + [

𝑣𝑡𝑦

𝑣𝑡𝑥]

o

[∆𝑦𝑡

∆𝑥𝑡] = [

𝛼10

𝛼20] + [

𝛼11

𝛼21] �̂�𝑡−1 + [

𝑣𝑡𝑦

𝑣𝑡𝑥]

donde [𝛼11

𝛼21] es el vector de coeficientes de corrección de error.

Es importante notar que todas las variables en (13.6) (∆𝑦 , ∆𝑥, �̂�) son estacionarias, es decir la serie de residuales �̂�𝑡 debe ser estacionaria para que 𝑦 y 𝑥 que estén cointegradas. Así, el análisis de regresión lineal estudiado en capítulos anteriores puede ser utilizado para probar la significancia de los parámetros. El diagnóstico usual de las pruebas para los residuales debe ser aplicado. Es necesario tener cuidado sobre cómo combinar variables estacionarias y no estacionarias en un modelo de regresión. La cointegración es sobre la relación entre variables 𝐼(1). La ecuación de cointegración no contiene variables 𝐼(0). El correspondiente modelo VEC, sin embargo, relaciona el cambio en una variable 𝐼(1) (es decir, las variables ∆𝑦 y ∆𝑥 que son 𝐼(0)) a otras variables 𝐼(0) (en este caso, el error estimado o residuales de cointegración �̂�); si así se requiere, pueden agregarse otras variables estacionarias. En otras palabras, no deben mezclarse variables estacionarias y variables no estacionarias: una variable dependiente 𝐼(0) debe ser explicada por otras variables 𝐼(0) y una variable dependiente 𝐼(1) debe ser explicada por otras variables 𝐼(1).

Ejemplo Dadas las series del PIB real (base 2000) trimestral de una economía pequeña (Australia) y una economía grande (Estados Unidos de América) para el periodo muestral 1970:1 a 2000:4. Cada serie está indizada de tal forma que en ambas economías se muestre un valor de 100 en el año 2000. Esta información se encuentra en la base de datos gdp.dta En Stata: use "C:\POE4\gdp.dta", clear

generate date = q(1970q1) + _n-1

format date %tq

tsset date

label var usa "real GDP USA"

label var aus "real GDP Australia"

tsline usa aus, name(gdp, replace) ylabel(30(10)110,angle(horizontal))

tsline d.usa d.aus, name(dgdp, replace)

graph combine gdp dgdp, saving("C:\POE4\series_gdp.gph",replace)

30

40

50

60

70

80

90

100

110

1970q1 1980q1 1990q1 2000q1date

real GDP USA real GDP Australia

-10

12

1970q1 1980q1 1990q1 2000q1date

real GDP USA, D real GDP Australia, D

Los gráficos sugieren que las series son no estacionarias en niveles, pero sí en primeras diferencias y, parecen mostrar una tendencia común, lo que es indicativo de que puedan estar cointegradas. Prueba de estacionariedad de la serie del PIB de EEUU regress usa l.usa

predict ehat,residuals

regress ehat L(1/2).ehat

dfuller usa, regress trend lags(1)

Prueba de estacionariedad de la serie del PIB de Australia drop ehat

regress aus l.aus

predict ehat,residuals

regress ehat L.ehat

dfuller aus, regress trend

Por lo tanto, las pruebas formales de raíces unitarias confirman que las series son no estacionarias. Regresión de cointegración y prueba Engle-Granger. Series del PIB real de EEUU y Australia Al plantear una relación en el sentido de que una economía pequeña responde a una economía grande y estimar la relación de cointegración, omitiendo el intercepto, que no tiene sentido económico, se obtiene

�̂�𝑡 = 0.985𝑈𝑡 (13.7) donde 𝐴 denota el PIB real de Australia y 𝑈 denota el PIB real de Estados Unidos. Nótese que se ha normalizado sobre 𝐴 porque tiene mejor sentido pensar que una economía pequeña responde a una economía grande. Los residuales que se derivan de la ecuación de cointegración son

�̂�𝑡 = 𝐴𝑡 − 0.985𝑈𝑡 La autocorrelación de primer orden para la serie de �̂�𝑡 es 𝑟1 = 0.8702 y una inspección visual de la serie sugiere que los residuales pueden ser estacionarios.

Se efectúa la prueba formal de raíz unitaria, cuya ecuación estimada es

∆𝑒�̂� = −0.128�̂�𝑡−1 (13.8) (𝑡𝑎𝑢) (−2.889)

a partir de

-3-2

-10

12

Re

sid

ua

ls

1970q1 1980q1 1990q1 2000q1date

En efecto, los residuales son estacionarios. A partir de que la relación de cointegración no contiene un intercepto, el valor crítico para la prueba al 5% es -2.76, tomado de la siguiente tabla

El valor calculado -2.889 es menor que el valor crítico de -2.76, por lo que se rechaza la hipótesis nula de no cointegración y se concluye que las series del PIB real de EEUU y del PIB real de Australia cointegran. Este resultado implica que la actividad económica en la economía pequeña (Australia, 𝐴𝑡) está vinculada a la actividad económica en la economía grande (Estados Unidos, 𝑈𝑡). Si 𝑈𝑡 se incrementara en una unidad, 𝐴𝑡 podría incrementarse en 0.985. Pero la economía australiana no podría responder totalmente por esta cantidad durante el trimestre. Para estar ciertos de en cuánto la economía responderá durante el trimestre, se estima un modelo de corrección de error por mínimos cuadrados ordinarios. El modelo VEC estimado para {𝐴𝑡, 𝑈𝑡} es

∆𝐴�̂� = 0.492 − 0.099�̂�𝑡−1 (𝜏) (−2.077)

(13.9)

∆𝑈�̂� = 0.510 + 0.030�̂�𝑡−1 (𝜏) (2.789)

en forma matricial

[∆𝐴�̂�

∆𝑈�̂�

] = [0.4920.510

] + [−0.099

00

0.030] [

�̂�𝑡−1

�̂�𝑡−1]

o

[∆𝐴�̂�

∆𝑈�̂�

] = [0.4920.510

] + [−0.0990.030

] �̂�𝑡−1

donde [𝛼11

𝛼21] = [

−0.0990.030

] es el vector de coeficientes estimados de corrección de error.

En Stata use "C:\POE4\gdp.dta", clear

generate date = q(1970q1) + _n-1

format date %tq

tsset date

regress aus usa, noconstant

predict ehat, residuals

corrgram ehat, lags(5)

tsline ehat

dfuller ehat, regress noconstant

regress D.aus L.ehat

regress D.usa L.ehat

drop ehat

Los resultados muestran que ambos coeficientes de corrección de error tienen el signo apropiado. El coeficiente de corrección de error que tiene signo negativo en la primera ecuación (-0.099) indica que ∆𝐴 disminuye (esto es, 𝐴𝑡 disminuye o ∆𝐴𝑡 es negativo) mientras que el coeficiente de corrección de error que tiene signo positivo en la segunda ecuación (0.030) indica que ∆𝑈 aumenta (esto es, 𝑈𝑡 aumenta o ∆𝑈𝑡 es positivo) cuando hay un error positivo de cointegración

(�̂�𝑡−1 > 0 o �̂�𝑡−1 > 0.985𝑈𝑡−1). Este comportamiento (cambio negativo en 𝐴 y cambio positivo en 𝑈) “corrige” el error de cointegración. El coeficiente de corrección de error (-0.099) es significativo al nivel de 5%; este indica que el ajuste trimestral de 𝐴𝑡 estará desviado en cerca de un 10% de 𝐴𝑡−1 de su valor de cointegración 0.985𝑈𝑡−1. Esta es una tasa de ajuste lenta. Sin embargo, el coeficiente de corrección de error en la segunda ecuación (0.030) es no significativo; esto sugiere que ∆𝑈 no reacciona al error de cointegración. Este resultado es consistente con la premisa de que la economía pequeña reacciona con mayor probabilidad a las condiciones económicas que prevalecen en la economía grande, pero no viceversa. Estimación de un modelo VAR El modelo VEC es un modelo dinámico multivariado que incorpora una ecuación de cointegración. Este es relevante cuando, para el caso bivariado, tenemos dos variables, digamos 𝑥 y 𝑦, siendo ambas 𝐼(1) y cointegradas. Ahora nos preguntamos: ¿qué debemos hacer si estamos interesados en las interdependencias entre 𝑦 y 𝑥, pero estas variables no cointegran?. En este caso, se estimará un modelo de vectores autorregresivos (VAR) como el que se muestra en (13.3). Como ejemplo, consideremos la gráfica siguiente, que muestra el logaritmo del ingreso real disponible (denotado como 𝑌) y el logaritmo del gasto en consumo real personal (denotado como 𝐶) para la economía norteamericana durante el periodo del primer trimestre de 1960 al cuarto trimestre del 2009.

Ambas series parecen ser no estacionarias, pero ¿están cointegradas? Los datos están en el

archivo fred.dta En Stata use "C:\POE4\fred.dta", clear

generate date = q(1960q1) + _n-1

format date %tq

tsset date tsline c y

* Prueba ADF

* Serie del Consumo

regress c l.c

predict ehat,residuals

regress ehat L(1/3).ehat

dfuller c, regress lags(3)

* Serie del Ingreso

drop ehat

regress y l.y

predict ehat,residuals

regress ehat L.ehat

dfuller y, regress

* Prueba de cointegración

drop ehat

regress c y

predict ehat, residuals

regress ehat L.ehat, noconstant

regress ehat L.ehat L2.ehat, noconstant

regress ehat L.ehat L2.ehat L3.ehat, noconstant

dfuller ehat, regress noconstant lags(1)

dfuller ehat, regress noconstant lags(2)

7.5

88.5

99.5

1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1date

log of real consumption expenditure log of real disposable income

Las pruebas DFA de raíces unitarias para 𝐶 y 𝑌 (para el caso de sólo un intercepto) dados los valores -1.995 y -2.741, respectivamente. Dado un valor crítico de -2.876 al nivel del 5% de significancia, podemos concluir que las series son no estacionarias. La prueba de cointegración para el caso normalizado sobre 𝐶 se muestra a continuación:

�̂�𝑡 = 𝐶𝑡 + 0.404 − 1.035𝑌𝑡

∆�̂�𝑡 = −0.088�̂�𝑡−1 − 0.299∆�̂�𝑡−1 (𝑡𝑎𝑢) (−2.873) (13.10)

En este ejemplo, se consideró el Caso 2, a partir de que la relación de cointegración tiene un término de intercepto:

𝐶𝑡 = −0.404 + 1.035𝑌𝑡 Nótese que un término de intercepto ha sido incluido para capturar el componente de logaritmo del consumo que es independiente del ingreso disponible, es decir, el componente fijo del logaritmo del consumo. El valor crítico al 5% de la prueba de estacionariedad en los residuales de cointegración es −3.37. A partir de que tau (el valor t de raíz unitaria) de −2.873 es mayor que −3.37, los errores no son estacionarios, por lo tanto la relación entre 𝐶𝑡 que es el log(RPCE (real personal consumption expenditure)) y 𝑌𝑡 que es el log(RPDI (real personal disposable income)) es espuria, esto es, no hay evidencia de cointegración. Así, no podemos aplicar un modelo VEC para examinar la dinámica de la relación entre los agregados de consumo 𝐶𝑡 e ingreso 𝑌𝑡. En su lugar,

se estimará un modelo VAR para el conjunto de variables tt YC , que son I(0).

Para propósitos ilustrativos, el orden del rezago en este ejemplo ha sido restringido a uno. En general, deberíamos probar la significancia de los términos de rezago mayores a uno. En Stata use "C:\POE4\fred.dta", clear

generate date = q(1960q1) + _n-1

format date %tq

tsset date

reg D.c D.L.c D.L.y

reg D.y D.L.c D.L.y

equivalentemente

varbasic D.c D.y, lags(1/1) step(12) nograph

Los resultados son:

∆�̂�𝑡 = 0.005 + 0.215∆𝐶𝑡−1 + 0.149∆𝑌𝑡−1 (𝑡) (6.969) (2.884) (2.587)

(13.11a)

∆�̂�𝑡 = 0.006 + 0.475∆𝐶𝑡−1 − 0.217∆𝑌𝑡−1 (𝑡) (6.122) (4.885) (2.889)

(13.11b) en forma matricial, bajo la estructura de (13.3)

[∆�̂�𝑡

∆�̂�𝑡

] = [�̂�10

�̂�20

] + [�̂�11

�̂�21

�̂�12

�̂�22

] [∆𝐶𝑡−1

∆𝑌𝑡−1]

es decir

[∆�̂�𝑡

∆�̂�𝑡

] = [0.0050.006

] + [0.215 0.475

0.149−0.217

] [∆𝐶𝑡−1

∆𝑌𝑡−1]

La primera ecuación (13.11a) muestra que el crecimiento trimestral en el consumo (∆𝐶𝑡) está significativamente relacionado con su propio valor pasado (∆𝐶𝑡−1) y también está significativamente relacionado con el crecimiento del ingreso del periodo pasado (∆𝑌𝑡−1). La segunda ecuación (13.11b) muestra que el crecimiento trimestral en el ingreso (∆𝑌𝑡) está significativamente y negativamente relacionado con su propio valor pasado (∆𝑌𝑡−1) y también está significativamente relacionado con el crecimiento del consumo del periodo pasado (∆𝐶𝑡−1). Los términos constantes 𝛽10 y 𝛽20 capturan los componentes fijos del cambio en el logaritmo del consumo y del cambio en el logaritmo del ingreso, respectivamente. Una vez estimados estos modelos, ¿podemos hacer más inferencia? Si el sistema estuviera sujeto a un shock de ingresos, ¿cuál es el efecto del shock sobre dinámica de las trayectorias del crecimiento trimestral del consumo y del ingreso? ¿crecerán? y, sí es así, ¿qué tanto?. Si el sistema estuviera también sujeto a un shock de consumo, ¿cuál es la contribución de shock de ingreso versus un shock de consumo sobre la variación del ingreso? Ahora nos enfocamos hacia un marco de análisis encaminado a dar respuesta a estas cuestiones.

Respuestas de impulso y descomposición de varianza Las funciones de impulso respuesta y la descomposición de varianza son técnicas empleadas por los macroeconometristas para analizar problemas tales como el efecto que un choque en los

precios de la gasolina tiene sobre la inflación y el crecimiento del PIB, y el efecto que un cambio en la política monetaria tiene sobre la economía.

Funciones de respuesta de impulso Las funciones de impulso respuesta muestran los efectos de los choques sobre la trayectoria de ajuste de las variables. Para ayudarnos a entender esto, consideraremos primero una serie univariada.

El caso univariado Consideremos una serie univariada

𝑦𝑡 = 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 y sujeta a un choque de tamaño 𝑣 en el periodo 1. Suponga un valor arbitrario inicial de 𝑦 en el periodo cero: 𝑦0 = 0. (Dado que estamos interesados en la dinámica de la trayectoria, el punto inicial resulta irrelevante.) En el periodo 𝑡 = 1 , posterior al choque, el valor de 𝑦 será:

𝑦1 = 𝜌𝑦0 + 𝑣1 = 𝑣 Suponga que no hay choques subsecuentes en los periodos de tiempo posteriores, es decir,

𝑣2 = 𝑣3 = ⋯ = 0 en el periodo 𝑡 = 2

𝑦2 = 𝜌𝑦1 + 𝑣2 = 𝜌𝑣 + 0 = 𝜌𝑣 en el periodo 𝑡 = 3

𝑦3 = 𝜌𝑦2 + 𝑣3 = 𝜌𝜌𝑣 + 0 = 𝜌2𝑣 y así, sucesivamente.

Así, la trayectoria en el tiempo de 𝑦 enseguida del choque es

,...,, 2vvv

Los valores de los coeficientes

,...,,1 2

son conocidos como multiplicadores y la trayectoria de tiempo de 𝑦 es conocida como función de impulso respuesta.

Como ejemplo, suponga que 9.0 y un choque de una unidad, 1v . Con base en el análisis

teórico, la función de impulso respuesta es

,...9.0,9.0,1 2

tendiendo a cero en el tiempo. La gráfica de esta función se puede presentar en Stata mediante clear

set obs 31

gen t=_n-1

tsset t

gen y=.

for num 1/31: replace y=0.9^(X-1)*1 in X

line y t, xlabel(0(2)32) ylabel(0(0.1)1)

Se muestra lo que ocurre con 𝑦 después del choque. Si el choque es positivo, 𝑦 aumentará y luego regresará a su nivel inicial o previo al choque.

El caso bivariado El análisis de una función de impulso respuesta, con dos series de tiempo, a partir de un sistema VAR de variables estacionarias como el expresado en (13.2)

𝑦𝑡 = 𝛿10 + 𝛿11𝑦𝑡−1 + 𝛿12𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑦

(13.12)

𝑥𝑡 = 𝛿20 + 𝛿21𝑦𝑡−1 + 𝛿22𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑥

en forma matricial

0.1

.2.3

.4.5

.6.7

.8.9

1y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32t

[𝑦𝑡

𝑥𝑡] = [

𝛿10

𝛿20] + [

𝛿11

𝛿21

𝛿12

𝛿22] [

𝑦𝑡−1

𝑥𝑡−1] + [

𝑣𝑡𝑦

𝑣𝑡𝑥]

En este caso, hay dos posibilidades de choque en el sistema: uno hacia 𝑦 y/u otro hacia 𝑥 . Así, estaremos interesados en el análisis de 4 funciones de impulso respuesta, el efecto de un choque en 𝑦 sobre la dinámica de las trayectorias de 𝑦 y 𝑥, y el efecto de un choque en 𝑥 sobre la dinámica de las trayectorias de 𝑦 y 𝑥 . El procedimiento para generar estas funciones parece complicado debido a

i) la dinámica interdependiente (generar multiplicadores en el caso multivariado) ii) la identificación correcta del choque a partir de datos no observables.

lo que conduce al problema de identificación. Sin embargo, existe un caso especial en el que no se presenta el problema de identificación, cuando el sistema (13.12) es una representación verdadera del sistema dinámico. Propiamente, 𝑦 está relacionado sólo con los rezagos de 𝑦 y 𝑥 y 𝑥 está relacionado sólo con los rezagos de 𝑦 y 𝑥. En otras palabras, 𝑦 y 𝑥 están relacionadas dinámicamente, más no contemporáneamente. El valor contemporáneo de 𝑥𝑡 no aparace en la ecuación de 𝑦𝑡 y el valor contemporáneo de 𝑦𝑡 no

aparace en la ecuación de 𝑥𝑡. También es necesario suponer que los errores 𝑣𝑡𝑥 y 𝑣𝑡

𝑦 son

independientes uno del otro (contemporáneamente no correlacionados). Adicionalmente, suponemos 𝑣𝑥~𝑁(0, 𝜎𝑥

2) y 𝑣𝑦~𝑁(0, 𝜎𝑦2).

Sea un choque de una desviación estándar (o innovación) sobre 𝑦 de tal forma que en 𝑡 = 1

𝑣1𝑦

= 𝜎𝑦

y posteriormente

𝑣𝑡𝑦

= 0 además, supongamos que para todo 𝑡

𝑣𝑡𝑥 = 0

Los valores iniciales de 𝑦 y 𝑥 son

𝑦0 = 𝑥0 = 0 A partir de que estamos interesados en el impacto de un choque sobre los cambios en la trayectoria de 𝑦 y , podemos ignorar los interceptos. Entonces,

1. Cuando 𝑡 = 1, el efecto de un shock de tamaño 𝜎𝑦 en 𝑦 es

𝑦1 = 𝑣1𝑦

= 𝜎𝑦

y el efecto en 𝑥 es

𝑥1 = 𝑣1

𝑥 = 0

2. Cuando 𝑡 = 2, el efecto del shock en 𝑦 es

𝑦2 = 𝛿11𝑦1 + 𝛿12𝑥1 = 𝛿11𝜎𝑦 + 𝛿120 = 𝛿11𝜎𝑦

y el efecto en 𝑥 es

𝑥2 = 𝛿21𝑦1 + 𝛿22𝑥1 = 𝛿21𝜎𝑦 + 𝛿220 = 𝛿21𝜎𝑦

3. Cuando 𝑡 = 3, el efecto del shock en 𝑦 es

𝑦3 = 𝛿11𝑦2 + 𝛿12𝑥2 = 𝛿11𝛿11𝜎𝑦 + 𝛿12𝛿21𝜎𝑦

y el efecto en 𝑥 es

𝑥3 = 𝛿21𝑦21 + 𝛿22𝑥2 = 𝛿21𝛿11𝜎𝑦 + 𝛿22𝛿21𝜎𝑦

Al repetir las sustituciones para 𝑡 = 4,5, …, se obtienen más expresiones. El impulso respuesta del shock (o innovación) en 𝑦 sobre 𝑦 es

𝜎𝑦{1, 𝛿11, (𝛿11𝛿11 + 𝛿12𝛿21), … }

y el impulso respuesta de un shock en 𝑦 sobre 𝑥 es

𝜎𝑦{0, 𝛿21, (𝛿21𝛿11 + 𝛿22𝛿21), … }.

Ahora, veamos qué pasa cuando hay un choque de una desviación estándar en 𝑥 de manera que

𝑣1𝑥 = 𝜎𝑥

y posteriormente

𝑣𝑡𝑥 = 0

además, supongamos que para todo 𝑡

𝑣𝑡𝑦

= 0 Los valores iniciales de 𝑦 y 𝑥 son

𝑦0 = 𝑥0 = 0 A partir de que estamos interesados en el impacto de un choque sobre los cambios en la trayectoria de 𝑦 y , podemos ignorar los interceptos. Entonces,

1. Cuando 𝑡 = 1, el efecto de un shock de tamaño 𝜎𝑥 en 𝑥 es

𝑥1 = 𝑣1𝑥 = 𝜎𝑥

y el efecto en 𝑦 es

𝑦1 = 𝑣1𝑦

= 0

2. Cuando 𝑡 = 2, el efecto del shock en 𝑦 es

𝑦2 = 𝛿11𝑦1 + 𝛿12𝑥1 = 𝛿110 + 𝛿12𝜎𝑥 = 𝛿12𝜎𝑥 y el efecto en 𝑥 es

𝑥2 = 𝛿21𝑦1 + 𝛿22𝑥1 = 𝛿210 + 𝛿22𝜎𝑥 = 𝛿22𝜎𝑥

Al repetir las sustituciones para 𝑡 = 3,4, …, se obtienen más expresiones. El impulso respuesta del shock (o innovación) en 𝑥 sobre 𝑦 es

𝜎𝑥{0, 𝛿12, (𝛿11𝛿12 + 𝛿12𝛿22), … } y el impulso respuesta de un shock en 𝑥 sobre 𝑥 es

𝜎𝑥{1, 𝛿22, (𝛿21𝛿12 + 𝛿22𝛿22), … }. La siguiente figura muestra las 4 funciones de impulso respuesta para valores numéricos de

𝜎𝑦 = 1, 𝜎𝑥 = 2, 𝛿11 = 0.7, 𝛿12 = 0.2, 𝛿21 = 0.3 y 𝛿22 = 0.6.

0.2

.4.6

.81

yy

0 5 10 15 20 25 30t

IRF of y to y

0.1

.2.3

.4yx

0 5 10 15 20 25 30t

IRF of y to x

Shock on y

0.1

.2.3

.4.5

xy

0 5 10 15 20 25 30t

IRF of x to y

0.5

11

.52

xx

0 5 10 15 20 25 30t

IRF of x to x

Shock on x

IRF's

En Stata

* Shock en y

clear

graph drop _all

program drop _all

set obs 31

gen t=_n-1

tsset t

* Shock de y sobre y

gen yy=.

* Shock de y sobre x

gen yx=.

replace yy=0 if t==0

replace yx=0 if t==0

gen nuyx=0

gen nuyy=0

replace nuyy=1 if t==1

program define loopy

replace yy=0.7*yy[`1'-1]+0.2*yx[`1'-1]+nuyy[`1'] in `1'

replace yx=0.3*yy[`1'-1]+0.6*yx[`1'-1]+nuyx[`1'] in `1'

end

for num 2/31: loopy X

line yy t, xlabel(0(5)30) title("y,y") name(yy)

line yx t, xlabel(0(5)30) title("y,x") name(yx)

graph combine yy yx, title("Shock on y") name(shocky)

* Shock en x

* Shock de x sobre y

gen xy=.

* Shock de x sobre x

gen xx=.

replace xy=0 if t==0

replace xx=0 if t==0

gen nuxx=0

gen nuxy=0

replace nuxx=2 if t==1

program define loopx

replace xy=0.7*xy[`1'-1]+0.2*xx[`1'-1]+nuxy[`1'] in `1'

replace xx=0.3*xy[`1'-1]+0.6*xx[`1'-1]+nuxx[`1'] in `1'

end

for num 2/31: loopx X

line xy t, xlabel(0(5)30) title("x,y") name(xy)

line xx t, xlabel(0(5)30) title("x,x") name(xx)

graph combine xy xx, title("Shock on x") name(shockx)

graph combine shocky shockx, title("Funciones impulso,respuesta")

name(irf) rows(2)

La ventaja de examinar funciones de impulso respuesta (y no precisamente los coeficientes VAR) es que ellas muestran el tamaño del impacto del shock más la tasa a la cual el shock se disipa, permitiendo las interdependiencias.

𝑦𝑡+1𝐹 = 𝐸𝑡[𝜌𝑦𝑡 + 𝑣𝑡+1]

𝑦𝑡+1 − 𝐸𝑡[𝑦𝑡+1] = 𝑦𝑡+1 − 𝜌𝑦𝑡 = 𝑣𝑡+1 𝑦𝑡+2

𝐹 = 𝐸𝑡[𝜌𝑦𝑡 + 𝑣𝑡+2] = 𝐸𝑡[𝜌(𝜌𝑦𝑡 + 𝑣𝑡+1) + 𝑣𝑡+2] = 𝜌2𝑦𝑡 𝑦𝑡+2 − 𝐸𝑡[𝑦𝑡+2] = 𝑦𝑡+2 − 𝜌2𝑦𝑡 = 𝜌𝑣𝑡+1 + 𝑣𝑡+2

𝑦𝑡+1𝐹 = 𝐸𝑡[𝛿11𝑦𝑡 + 𝛿12𝑥𝑡 + 𝑣𝑡+1

𝑦] = 𝛿11𝑦𝑡 + 𝛿12𝑥𝑡

𝑥𝑡+1𝐹 = 𝐸𝑡[𝛿21𝑦𝑡 + 𝛿22𝑥𝑡 + 𝑣𝑡+1

𝑥 ] = 𝛿21𝑦𝑡 + 𝛿22𝑥𝑡

𝐹𝐸1𝑦

= 𝑦𝑡+1 + 𝐸𝑡[𝑦𝑡+1] = 𝑣𝑡+1𝑦

𝑣𝑎𝑟(𝐹𝐸1𝑦

) = 𝜎𝑦2

𝐹𝐸1𝑥 = 𝑥𝑡+1 + 𝐸𝑡[𝑥𝑡+1] = 𝑣𝑡+1

𝑥 𝑣𝑎𝑟(𝐹𝐸1𝑥) = 𝜎𝑥

2

𝑦𝑡+2𝐹 = 𝐸𝑡[𝛿11𝑦𝑡+1 + 𝛿12𝑥𝑡+1 + 𝑣𝑡+2

𝑦]

= 𝐸𝑡[𝛿11(𝛿11𝑦𝑡 + 𝛿12𝑥𝑡 + 𝑣𝑡+1𝑦

) + 𝛿12(𝛿21𝑦𝑡 + 𝛿22𝑥𝑡 + 𝑣𝑡+1𝑥 ) + 𝑣𝑡+2

𝑦]

= 𝛿11(𝛿11𝑦𝑡 + 𝛿12𝑥𝑡) + 𝛿12(𝛿21𝑦𝑡 + 𝛿22𝑥𝑡) 𝑥𝑡+2

𝐹 = 𝐸𝑡[𝛿21𝑦𝑡+1 + 𝛿22𝑥𝑡+1 + 𝑣𝑡+2𝑥 ]

= 𝐸𝑡[𝛿21(𝛿11𝑦𝑡 + 𝛿12𝑥𝑡 + 𝑣𝑡+1𝑦

) + 𝛿22(𝛿21𝑦𝑡 + 𝛿22𝑥𝑡 + 𝑣𝑡+1𝑥 ) + 𝑣𝑡+2

𝑥 ]

−𝛿21(𝛿11𝑦𝑡 + 𝛿12𝑥𝑡) + 𝛿22(𝛿21𝑦𝑡 + 𝛿22𝑥𝑡) 𝐹𝐸2

𝑦= 𝑦𝑡+2 + 𝐸𝑡[𝑦𝑡+2] = [𝛿11𝑣𝑡+1

𝑦+ 𝛿12𝑣𝑡+1

𝑥 + 𝑣𝑡+2𝑦

]

𝑣𝑎𝑟(𝐹𝐸2𝑦

) = 𝛿112 𝜎𝑦

2 + 𝛿122 𝜎𝑥

2 + 𝜎𝑦2

𝐹𝐸2𝑥 = 𝑥𝑡+2 + 𝐸𝑡[𝑥𝑡+2] = [𝛿21𝑣𝑡+1

𝑦+ 𝛿22𝑣𝑡+1

𝑥 + 𝑣𝑡+2𝑥 ]

𝑣𝑎𝑟(𝐹𝐸2𝑥) = 𝛿21

2 𝜎𝑦2 + 𝛿22

2 𝜎𝑥2 + 𝜎𝑥

2

(𝛿112 𝜎𝑦

2 + 𝜎𝑦2) (⁄ 𝛿11

2 𝜎𝑦2 + 𝛿12

2 𝜎𝑥2 + 𝜎𝑦

2)

(𝛿122 𝜎𝑥

2) (⁄ 𝛿112 𝜎𝑦

2 + 𝛿122 𝜎𝑥

2 + 𝜎𝑦2)

(𝛿222 𝜎𝑥

2 + 𝜎𝑥2) (⁄ 𝛿21

2 𝜎𝑦2 + 𝛿22

2 𝜎𝑥2 + 𝜎𝑥

2)

(𝛿212 𝜎𝑥𝑦

2 ) (⁄ 𝛿212 𝜎𝑦

2 + 𝛿222 𝜎𝑥

2 + 𝜎𝑥2)

𝑦𝑡 = 𝛿11𝑦𝑡−1 + 𝛿12𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑦

𝑥𝑡 = 𝛿21𝑦𝑡−1 + 𝛿22𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡

𝑥 (E13.1)

∆𝑦𝑡 = 𝛼10 + 𝛼11(𝑦𝑡−1 − 𝛽0 − 𝛽1𝑥𝑡−1) + 𝑣𝑡𝑦

∆𝑥𝑡 = 𝛼20 + 𝛼21(𝑦𝑡−1 − 𝛽0 − 𝛽1𝑥𝑡−1) + 𝑣𝑡

𝑥 𝑦𝑡 = 𝛼10 + (𝛼11 + 1)𝑦𝑡−1 − 𝛼11𝛽0 − 𝛼11𝛽1𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡

𝑦

𝑥𝑡 = 𝛼20 + 𝛼21𝑦𝑡−1 − 𝛼21𝛽0 − (𝛼21𝛽1 − 1)𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑥

∆𝑦�̂� = 2 − 0.5(𝑦𝑡−1 − 1 − 0.7𝑥𝑡−1) ∆𝑥�̂� = 3 + 0.3(𝑦𝑡−1 − 1 − 0.7𝑥𝑡−1) �̂�𝑡 = 0.7𝑦𝑡−1 + 0.3 + 0.24𝑥𝑡−1 𝑥𝑡 = 0.6𝑦𝑡−1 − −0.6 + 0.52𝑥𝑡−1 (E13.3)

𝑦𝑡 = 𝛿11𝑦𝑡−1 + 𝛿12𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑦

𝑥𝑡 = 𝛿21𝑦𝑡−1 + 𝛿22𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑥

∆𝑦𝑡 = �̂�11(𝑦𝑡−1 − �̂�1𝑥𝑡−1) + 𝑣1𝑡𝑦

∆𝑥𝑡 = �̂�21(𝑦𝑡−1 − �̂�1𝑥𝑡−1) + 𝑣2𝑡𝑥 (E13.4)

∆𝑦�̂� = −0.576(�̂�𝑡−1) (𝑡) (−6.158) ∆𝑥�̂� = 0.450(�̂�𝑡−1) (𝑡) (−4.448) (E13.7)

∆𝑤𝑡̂ = 0.743∆𝑤𝑡−1 + 0.214∆𝑧𝑡−1

(𝑡) (11.403) (2.893) ∆𝑧�̂� = −0.155∆𝑤𝑡−1 + 0.641∆𝑧𝑡−1 (𝑡) (−2.293) (8.338) (E13.8)

∆𝑃�̂� = −0.016(𝑃𝑡−1 − 1.004𝑀𝑡−1 + 0.039) + 0.514∆𝑃𝑡−1 − 0.005∆𝑀𝑡−1

(𝑡) (2.127) (3.696) (1.714) (7.999) (0.215) ∆𝑀𝑡̂ = 0.067(𝑃𝑡−1 − 1.004𝑀𝑡−1 + 0.039) − 0.336∆𝑃𝑡−1 − 0.340∆𝑀𝑡−1

(𝑡) (3.017) (3.696) (1.714) (1.796) (4.802) (E13.9) ∆𝐷𝑈𝑡 = 0.180𝐷𝑈𝑡−1 − 0.046𝐷𝑃𝑡−1 (𝑡) (3.905) (0.909) ∆𝐷𝑃𝑡 = −0.098𝐷𝑈𝑡−1 − 0.373𝐷𝑃𝑡−1 (𝑡) (−2.522) (8.711) (E13.10) 𝐷𝑉𝑡 = 100ln (𝐷𝑁𝑡 𝐷𝑁𝑡−1), 𝑆𝑃𝑡 = 100ln (𝑃𝑁𝑡 𝑃𝑁𝑡−1)⁄⁄ 𝑆𝑃𝑡 = 𝛽10 + 𝛽11𝑆𝑃𝑡−1 + 𝛽12𝐷𝑉𝑡−1 + 𝑣𝑡

𝑠 𝐷𝑉𝑡 = 𝛽20 + 𝛽21𝑆𝑃𝑡−1 + 𝛽22𝐷𝑉𝑡−1 + 𝑣𝑡

𝑑 𝑆𝑃𝑡 = 𝛼10 + 𝛼11𝑆𝑃𝑡−1 + 𝛼12𝐷𝑉𝑡−1 + 𝛼13𝐷𝑉𝑡 + 𝑒𝑡

𝑠 𝐷𝑉𝑡 = 𝛼20 + 𝛼21𝑆𝑃𝑡−1 + 𝛼22𝐷𝑉𝑡−1 + 𝛼23𝐷𝑉𝑡 + 𝑒𝑡

𝑑 (E13.12)

𝑦𝑡 + 𝛽1𝑥𝑡 = 𝛼1𝑦𝑡−1 + 𝛼2𝑥𝑡−1 + 𝑒𝑡𝑦

𝑥𝑡 + 𝛽2𝑦𝑡 = 𝛼3𝑦𝑡−1 + 𝛼4𝑥𝑡−1 + 𝑒𝑡

𝑥 (13A.1)

𝑌 = [𝑦𝑡

𝑥𝑡] 𝐵 = [

1 𝛽1

𝛽2 1] 𝐴 = [

𝛼1 𝛼2

𝛼3 𝛼4] 𝐸𝑡 = [

𝑒𝑡𝑦

𝑒𝑡𝑥]

𝑦𝑡 = 𝛿1𝑦𝑡−1 + 𝛿2𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡𝑦

𝑥𝑡 = 𝛿3𝑦𝑡−1 + 𝛿4𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡

𝑥 (13A.2)

𝐶 = [𝛿1 𝛿2

𝛿3 𝛿4] 𝑉𝑡 = [

𝑣𝑡𝑦

𝑣𝑡𝑥]