Capítulo v cointegración

CURSO: INTRODUCCIÓN A

LA ECONOMETRÍA

APLICADA A LAS FINANZAS

COINTEGRACIÓN

23 de junio de 2016

OBJETIVOS Y ESQUEMA

Objetivos.

Proveer herramientas básicas de econometría y su aplicación directa a las

finanzas.

Capítulo 4:

Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración.

CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración

Razones por las cuales los test de no estacionariedad son

necesarios.

Existen ciertas razones de importancia de que la data de

estacionariedad debe tratarse diferente de aquellas no estacionarias.

Como sabemos las series estacionarias presentan una media, varianza

y covarianza constante para cada rezago dado.

.- La estacionariedad de las series pueden influenciar fuertemente su

comportamiento y propiedades. Para series estacionarias un shock

(cambio inesperado en una variable o en el valor del término de error

durante un particular período de tiempo) declina gradualmente en t+1,

t+2, etc. Esto se puede contrastar con data no estacionaria, la cual la

persistencia del shock de mantiene infinitamente.

.- Data no estacionaria genera regresiones espúreas. Si dos variables

estacionarias son generadas como series aleatorias independientes,

cuando una de esas variables es regresada respecto a la otra, el ratio t

del coeficiente beta (pendiente) debería esperarse no ser significativa-


mente diferente de cero. (t ratio cae dentro de la región de aceptación

de la Ho), el R2 debería ser alto y las variables no se relacionan unas

con las otras (DW=0 No ACR). Si las variables tienen tendencia en el

tiempo habrán R2 elevados a pesar de que las variables son totalmente

no relacionadas.

Ejemplo de una regresion espúrea: Dos set de datos independientes (no

estacionarios) y y x son generados con muestras de 500 datos. Se

calculan 1.000 veces el R2 con diferentes muestras de 500 datos y se

obtiene una distribución de R2 donde la mayor frecuencia de datos está

cercana a cero. Si la data es no estacionaria, las pruebas de

significancia no son posibles para validar si la regresión es buena.


La figura infra muestra que a pesar de que uno debería esperar valores

R2 de cada regresión cercanas a cero ya que las series son

independientes, en realidad, para un set de datos, el R2 es mayor que

0,9 mientras que mayor a 0,5 se ubican más del 16% del tiempo (ver

ilustración).

200

160

120

80

40

R2

Fre

cu

en

cia


Asimismo, si una variable es regresada sobre otra no relacionada, (95%

del tiempo el t-ratio se ubicará entre ± 2). Como lo muestra en el

ejemplo ilustrativo del gráfico siguiente, el t-ratio de una regresión de

variables no estacionarias puede tomar valores enormes (alrededor del

98% de los casos puede tomar valores por encima de 2 cuando debería

ser mayor que 2 en aproximadamente 5% del tiempo). Así, no es posible

validar pruebas de hipótesis sobre parámetros de la regresión si la data

no es estacionaria.


Datos financieros son característicamente no estacionarios por lo cual

es necesario diferenciarlos. (tendencias a largo plazo o cercanos a raiz

unitaria). Si datos estacionarios presentan diferentes órdenes de

integración (para llevarlos a ser estacionarios) y son combinados, esta

combinación tendrá un orden de integración igual al mayor orden de

integración de los datos. Luego, los residuales tendrán un orden de

integración en niveles y estacionario. Así las variables son cointegradas

(tienen relación de largo plazo).

Si una serie no estacionaria yt debe ser diferenciada d veces para lograr

ser estacionaria entonces se dice que la data es integrada en orden d.

yt ̴ I(d), así que si yt ̴ I(d), entonces Δd yt ̴ I(0) terminología de

aplicación de diferencias (difference operator), Δ, d veces lidera un

proceso I(0) estacionario, proceso que no posee raíces unitarias. En

realidad, aplicando el operador de diferencias mas de d veces en un

proceso I(d) deberá todavía resultar en una serie estacionaria (pero con

una estructura MA (promedios móviles) en los términos de error).


Una serie I(0) es una serie estacionaria, mientras una serie I(1) contiene

una raíz unitaria. Una Serie I(2) contiene dos raíces unitarias y así debería

requerir dos diferenciaciones para inducir estacionariedad. La mayoría de

las series de tiempo de datos financieros y económicos contienen una raíz

unitaria sola. Algunos casos de datos financieros que posiblemente

contienen dos raíces unitarias son los salarios nominales y los índices de

precios al consumidor.

Cointegración: Ecuación el cual relaciona 2 o más procesos con raíces unitarias no espúreas, pero que

correctamente describe la data. Es, integrar la dinámica de corto plazo con el equilibrio de largo plazo. Un

importante tema en econometría es la necesidad de integrar la dinámica del corto plazo con el equilibrio de

largo plazo y la teoría de cointegración desarrollada por Granger (1981) y elaborada por Engle y Granger

(1987) maneja este tema de integración.

En la mayoría de los casos, si dos variables que son I(1) están linealmente

combinadas, entonces la combinación será también I(1). Y más

generalmente, si las variables con diferentes órdenes de integración están

combinadas, la combinación tendrá un orden de integración igual al más

largo. Ilustración: Modelo de regresión que contiene todas las variables

I(1): Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + ut


Cointegración:

Despejando Ut = Yt - β1 - β2 X2t - β3 X3t

Los residuales pueden ser expresados en esta manera como una

combinación lineal de las variables. Típicamente esta combinación lineal

de variables I(1) serán también I(1), pero debería ser obviamente

deseable obtener residuales que sean I(0). La respuesta es que la

combinación de variables I(1) serán I(0). En otras palabras

estacionarias, si las variables están cointegradas.


Engle-Granger.

Una relación cointegrada podría ser vista como un fenómeno de

equilibrio a largo plazo, desde que es posible que las variables

cointegradas podrían desviarse de su relación en el corto plazo, pero

esta asociación debería retornar a su equilibrio en el largo plazo.

Un set de variables se dicen cointegradas, si la combinación lineal de

ellas es estacionaria. Muchas series de tiempo son no estacionarias

pero se “mueven juntas” en el tiempo, esto es, que existe algunas

influencias en las series (por ejemplo fuerzas del mercado), el cual

implica que las dos series rebotan por alguna relación en el largo plazo.


Test de raices unitarias

Yt = 2Yt-1 – Yt-2 + ut tiene dos raices unitarias. Es necesario diferenciar la

data dos veces. Uso Augmented Dickey Fuller Test (ADF).

Número Óptimo de rezagos: La frecuencia de la data ayuda a decidir. Si

la data es mensual rezagos=12, trimestral=4 (pero si data es por hora,

dias?). Segunda opción: Criterios de información Akaike, Schwarz,

Hannan-Quinn, etc.

Si se usan pocos rezagos no se removerá ACR pero si hay demasiados se

incrementará lo errores estándares y se incrementa el uso de los grados de

libertad.


Ejemplos de relaciones de largo plazo (cointegración) entre

variables Financieras.

.- Precios Spot y Futuro de un commodity o activo determinado.

.- Ratio de precios relativos y tipo de cambio.

.- Precio de las acciones y sus dividendos.

.- Cointegración entre los mercados de bonos internacionales.

.- PPP equilibrio en el tipo de cambio de largo plazo entre dos países es

igual al ratio de los niveles de precios relativos.

Cointegración es definir el equilibrio de largo plazo entre las

variables, pero la diferencia entre ellas (término de error) es

estacionaria.


Modelos de corrección de errores

Consideremos dos series yt y xt las cuales son I(1). El modelo que uno

puede considerar estimar es:

Δyt = βΔxt + ut

Una definición de relación a largo plazo empleada en econometría

implica que las variables convergen sobre los valores a largo plazo y

que no cambian más, así yt = yt-1 = y y xt = xt-1 = x.

En consecuencia, todos los términos diferenciados serán cero en la

fórmula anterior, es decir, Δyt = 0; Δxt = 0 y así todo en la ecuación se

cancela. Así la regresión anterior no tiene solución a largo plazo y como

consecuencia no tiene nada que decir de que x y y tienen una relación

de equilibrio.


Modelos de corrección de errores

Por ejemplo consideremos la siguiente ecuación:

Δyt = β1Δxt + β2 (yt-1 - ∂ xt-1 ) + ut

Coeficiente de Cointegración

Este modelo es denominado Modelo de Corrección de Errores o modelo

de Corrección de Equilibrio. yt-1 - ∂ xt-1 es denominado como el Término

de Corrección de Errores, ya que yt y xt está cointegrada con coeficiente

de cointegración ∂, entonces yt-1 - ∂ xt-1 será I(0) a pesar de que los

constituyentes son I(1) entonces así es válido el uso de MCO y

procedimientos estándares de inferencia estadística en dicha regresión.

Relación a

Corto plazoVelocidad de ajuste

al equilibrio.

Término de corrección de errores.

(o término de corrección de equilibrio )


Métodos de estimación de parámetros en sistemas cointegrados

I.- Método de 2 pasos de Engle Granger:

Paso 1:

Asegurémonos que las variables individuales son I(1), luego estimamos la

regresión de Cointegración utilizando MCO (OLS). No se puede hacer

alguna inferencia sobre los estimados de los coeficientes en esta regresión

(solo la estimación de parámetros). Salvemos los residuales de la regresión

cointegrada, ut. Luego probemos que estos residuales sean I(0). Si es así,

vamos al Paso 2. Si no, (es decir, son I(1)) estimemos el modelo

conteniendo sólo las primeras diferencias.

Paso 2:

Usemos los residuales del paso 1 como una variable en el modelo de

corrección de errores:

Δyt = β1Δxt + β2 (ut-1 ) + vt donde ut-1 = yt-1 – Ώ xt-1 La combinación de

variables no estacionarias las cual es estacionaria es también conocida se

denomina vector de cointegración.



I.- Método de 2 pasos de Engle Granger:

En este caso el vector de cointegración debería ser (1- Ώ).

Este método (Engle-Granger) sufre de algunos problemas:

1.- Pérdida de poder en pruebas de raíces unitarias y pruebas de

cointegración (finite sample problem).

2.- Sesgo de ecuaciones simultáneas causalidad entre y y x corre en ambas

direcciones, lo cual requiere al investigador normalizar una variable

(especificar una variable como dependiente y las otras como

independientes), forzando el tratamiento de y y x asimétricamente pese a

que no hay razones teóricas de realizar esto.

3.- Se puede estimar hasta una sola relación de cointegración entre las

variables cada vez. Pero si se tienen 3 variables pueden haber más

relaciones linealmente independientes de cointegración.



II.- Técnica de Johansen

Supongamos un set de variables (g>=2) las cuales son I(1) en la cual

pensemos que existe cointegración. Un VAR con k rezagos conteniendo

estas variables podrían ser:

Y1t= β10 + β11 y1t-1 + α11 y2t-1 + .… + α1k y1t-k + u1t

Y2t= β20 + β21 y2t-1 + α21 y1t-1 + …. + α2k y1t-k + u2t

o, similarmente:

Yt = β1 yt-1 + β2 yt-2 + …+ βk yt-k + ut

(gx1) (gxg)(gx1) (gxg)(gx1) (gxg)(gx1) (gx1)



II.- Técnica de Johansen (cont.)

Para usar las pruebas de Johansen el VAR anterior necesita ser cambiado

hacia un modelo de Vector de Corrección de Errores (VECM) de la forma:

Δyt = ЛΔyt-k + Γ1 Δyt-1 + Γ2 Δyt-2 + ….. + Γk-1 Δyt-(k-1) + ut

donde: Л = (∑βi ) – Ig (Matriz de coeficientes a largo plazo, donde se centra

la técnica de Johansen, se llama Long Run Coefficient Matrix ya que desde

el equilibrio todos los Δyt-i serán ceros y definiendo el término de error ut

hacia su valor esperado dejará Лyt-k = 0.

las pruebas de Cointegración entre las y´s es calculada viendo el Rank de la

matriz Л vía sus Eigen valores (Eigenvalues). El Rank de una matriz es igual

al número de raíces características (Eigenvalores) que son diferentes a

cero. Los valores Eigen se denotan como λi y son puestos en orden

ascendente:

λ1 >= λ2 >= … >= λn si λi son las raíces en este contexto ellas deben ser




menores que 1 en valor absoluto y positivo y λ1 deberá ser el mayor

(cercano a uno) mientras λg será el más pequeño (más cercano a cero). SI

LAS VARIABLES NO ESTÁN INTEGRADAS, el rank de Л no será

significativamente diferente de cero, así que λi ≈ 0 para todo i. La prueba

estadística realmente incorpora ln (1- λi ) en lugar de λi pero todavía cuando

λi =0, ln(1- λi ) = 0.

Test de Cointegración:

λtrace (r) = - T ∑ ln(1- λi) y λmax (r, r+1) = - T ln(1- λr+1)

Donde r es el número de vectores de Cointegración bajo la hipótesis nula y

λi es el valor estimado del ith eigen valor de la matriz Л.

A medida que más grande sea λi más largo y negativo será ln (1- λi ) y como

consecuencia más largo será el test estadístico. Un valor significantemente

diferente de cero indica una cointegración más significativa.




λtrace es una prueba global donde Ho es que el número de vectores de

cointegración es menor o igual que r, contra una alternativa general no

especificada de que exista mas de r. Comienza con p eigen valores y

sucesivamente el más largo es removido. λtrace = 0 cuando todos los λi = 0

para i =1, ….g

λmax = conduce tests separados en cada valor eigen y tiene como Ho que el

número de vectores de Cointegración es r contra una alternativa de r+1.

Johanse y Juselius (1990) provee valores críticos para las dos estadísticas.

La distribución de los test estadísticos no es estándar y los valores críticos

dependen del valor de g-r, el número de componentes no estacionarios así

como constantes incluidos en cada ecuación.



II.- Técnica de Johansen

Ho: r=0 versus H1: 0 <r <= g Ho: No Cointegración.

Ho: r=1 versus H1: 1 <r <= g

Ho: r=2 versus H1: 2 <r <= g

…….

Ho: r= g-1 versus H1: r = g

P-Value o Prob. debe ser cercano a cero o menos de 0,05 0% probabilidad

de caer en Ho de no Cointegración, es decir hay Cointegración.

Si el t stat es mayor que el valor crítico de la tablas de Johansen…..Se

rechaza la Ho de no Cointegración.

La primera prueba envuelve Ho de no existencia de vectores de

Cointegración.


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Análisis cointegración con E-views

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