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Modelo de flujo de cargas aplicado al SIMSEE-------------------------Proyecto: SimSEEArchivo: Modelo de flujo de cargas aplicado al SIMSEEAutor: Enzo Coppes y Marcelo ForetsFecha creación: 06/03/2012Fecha última revisión: 07/03/2012 10:24:00 a.m.Institución: IIE – Montevideo – Uruguay.
Objetivo
Desarrollo de un modelo de la red eléctrica aplicable a la simulación del despacho energético de la
generación distribuida.
Resumen
Actualmente SimSEE permite la definición de nodos y arcos que posibilitan en forma rústica tener una primera aproximación al problema reflejando en forma aproximada los límites de potencia por las líneas detransmisión y las pérdidas en las mismas, pero ignorando por completo posibles problemas de tensión de las barras. Al pensarse en una expansión en base a energía eólica y/o centrales de biomasa distribuidas geográficamente e interconectadas al sistema por líneas radiales es claro que será necesario considerar las afectaciones que sobre la tensión tendrán estas instalaciones. Debido al porte de la generación distribuida que va a ser incorporada al SIN es necesario tener en cuenta las limitaciones que imponen las líneas y transformadores en cuanto a su capacidad de transporte. Por esta razón se propone incorporar al SimSEE un modelado más fino del sistema de red que permita incluir las restricciones sobre las tensiones de los nodos y los limites de capacidad de las canalizaciones
Introducción
Se considero conveniente utilizar para cumplir con este objetivo, un programa de flujo de cargas desarrollado en el IIE-FING llamado FLUCAR y que esta implementado en lenguaje Pascal, el mismo con el que esta desarrollado SIMSEE. Este punto permite integrar la capacidad de hacer las ecuaciones de flujo de carga directamente sobre SimSEE, evitando de esta forma afectaciones en los tiempos de cálculo e integrando todas las funcionalidades en un solo entorno para facilidad del usuario final.
Un punto a considerar es la lectura de los datos de RED. Para ello se evaluaron los programas de flujo de carga conocidos y se decidió que por su facilidad y amplitud de uso el formato de flujo de cargas de PSSE (Power System Simulator for Engineering tool) de la empresa SIEMENS, proporciona una forma de entrada de los datos cuasi estandarizada y ampliamente usada tanto en Uruguay como en el MERCOSUR.
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Otro aspecto considerado fue la incorporación del flujo de cargas en el algoritmo de optimización. Para ello se analizaron las diferentes alternativas usadas en la literatura especializada. Se capacito a los integrantes del equipo SIMSEE en los temas básicos de teoría de flujo de cargas y su implementación mediante el método de Newton-Raphson.
Consideraciones generales sobre flujo de cargas
Hace unos 40 años se utilizaban modelos a escala para poder estudiar el comportamiento de una red eléctrica de potencia. Con el advenimiento de las computadoras PC, la reducción en dimensiones y en costos de las mismas, y las mejoras en los tiempos de ejecución y facilidad de desarrollo, estos analizadoresde red se han sustituido por simulaciones en computadoras. El estudio del flujo de carga, también llamado flujo de potencia, distribución de carga, etc., consiste en la determinación de voltajes, intensidades, potencias activas y reactivas en distintos puntos de una red eléctrica. Se consideran sistemas en régimen, equilibrados, sinusoidales, sin anomalías y se trabaja entre fase y neutro. Los resultados que se obtienen son, generalmente, el módulo y la fase de la tensión en cada barra, así como las potencias activas y reactivas entrantes en cada una de ellas.Los resultados del flujo de cargas se usan para:
• Evaluar el comportamiento del sistema existente en condiciones estacionarias normales o anormales.
• Estudiar alternativas para la planificación de nuevos sistemas o ampliación de los ya existentes. • Estudiar la estabilidad transitoria y permanente de sistemas de potencia • Elaborar plan de contingencias ante fallo de un elemento de la red.
A diferencia de los problemas considerados en la Teoría General de Circuitos, cuya solución consistía, utilizando el método de nudos y mallas, en la resolución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, en una red de potencia, las ecuaciones que ligan las incógnitas son no lineales, por lo cual deberemos valernos de los métodos matemáticos más recientes del cálculo numérico. Estos métodos, en general iterativos, permiten una rápida resolución al problema.
Formulación del problema Condiciones iniciales y tipos de barras
Se tienen 4 variables reales asociadas a cada una de las barras:
Variable Descripción
P Potencia Activa
Q Potencia Reactiva
V Módulo de la tensión respecto al neutro N del sistema
θ Ángulo de fase de la tensión
En cada una de las barras, 2 de estas magnitudes se supondrán inicialmente conocidas y las 2 restantes serán incógnitas del problema. Las distintas combinaciones de incógnitas y datos nos permiten definir los siguientes 4 tipos de barras:
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Tipo de barra Variables conocidas e incógnitas
Barra de carga Se conocen la potencia activa y reactiva entrantes
Barra de generación y voltaje controlado Se conoce la potencia activa y el módulo de la tensión
Barra flotante Se conocen el módulo y la fase de la tensión
Barra de referencia Se consideran nulas las 4 variables reales asociadas a ella
Existe una única barra de referencia por sistema que es el neutro N del sistema.
Numeración de las barras
A los efectos de organizar el desarrollo del cómputo, se asignará la siguiente numeración de las barras:
• 0 Barra de referencia (neutro del sistema) • 1..l Barras de Carga • l +1..n-1 Barras de Generación y Voltaje controlado • n Barra Flotante
Estudio del problema para un nodo k genérico
Y entonces:
La potencia entrante en el nodo k será: (balance en el nodo k entre lo aportado por un generador y lo absorbido por una carga)
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Formulación de las ecuaciones de comportamiento de la red
Como se dedujo en el punto anterior, las ecuaciones para el nodo k son:
(1)
(2)Donde:
• V i es el fasor voltaje de nodo medido con respecto al nodo de referencia
• I k es el fasor corriente equivalente inyectado al nodo k • n es el número total de nodos, excluido el de referencia • Pk>0 : es la potencia activa efectivamente inyectada a la red en el nodo k
• Pk<0 : �P k es la potencia activa que efectivamente sale de la red por el nodo k
• Qk>0 : es la potencia reactiva efectivamente inyectada a la red en el nodo k • Qk<0 :�Q k es la potencia reactiva que efectivamente sale de la red en el nodo k
La numeración de las barras definida anteriormente puede esquematizarse de la siguiente forma:
Remplazando (1) en (2):
(3)
Separando parte real y parte imaginaria:
(4)
(5)
Como la potencia activa es dato en las l barras de carga y en las n-1- l barras de generación (excluída la flotante), se pueden plantear las siguientes ecuaciones:
(6)La potencia reactiva es dato en las l barras de carga, entonces:
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(7)
El conjunto de las n-1 ecuaciones (6) y de las l ecuaciones (7), constituyen un sistema de n-1+ l ecuaciones
no lineales en las incógnitas fasoriales V⃗ k . De estas incógnitas fasoriales son conocidos los módulos de
voltaje de las n- l barras de generación (incluída la flotante) y el ángulo de fase en la barra flotante.Entonces las incógnitas son los módulos de voltaje en las l barras de carga y los ángulos de fase en todas lasbarras, excepto la flotante. Estas n-1 incógnitas de ángulo de fase, con las l incógnitas de módulos de voltaje, suman un total de n-1+ l incógnitas. El estudio del flujo de carga consiste, entonces, en resolver el sistema de ecuaciones precedente en las incógnitas señaladas. Una vez conocidos los voltajes en todas las barras, se obtienen en forma directa las potencias reactivas y activas incógnitas, inyectadas en barras, así como pueden calcularse los flujos de potencia activa y reactiva y las corrientes en las líneas. La naturaleza del sistema de ecuaciones establecido no permite obtener una solución directa, debiéndose recurrir a métodos iterativos como es el método de Newton-Raphson.
METODO DE NEWTON RAPHSON
Es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Es muy veloz aunque no siempre converge. Implica un gran número de cálculos en cada iteración ya que debe resolverse un sistema mxm. Sea el siguiente sistema de m ecuaciones no lineales con m incógnitas x1 , x2 ,.. , xm :
Vectorialmente puede expresarse:
Sea [X 0 ] una solución inicial aproximada; hacemos el cambio de variable:
[ X ]=[ X 0 ]+[� X ]
Desarrollando en series de Taylor, despreciando los términos de segundo orden y superior, reordenando lostérminos, el sistema se escribe en forma matricial de la siguiente forma:
Donde es la matriz jacobiana del sistema de ecuaciones, calculada en [X 0 ]
y [�F 0 ] es el vector cuyos elementos son:
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El sistema puede resolverse obteniendo:
Con lo cual puede corregirse la solución inicial aproximada para obtener:
Si [X 0 ] es un punto ubicado en un entorno suficientemente pequeño de la solución [X ] , [X 1 ]está entonces más próximo a [X ] . El uso de [X 1 ] en lugar de [X 0 ] , como una mejor solución
aproximada, conduce a un procedimiento iterativo.
La convergencia dependerá de la forma de las funciones f j [X ] y de la aproximación inicial que se
adopte. Si el proceso resulta convergente entonces, en sucesivas iteraciones, irán disminuyendo las diferencias entre los términos independientes k y los valores computados de las funciones f. Para la v-ésima iteración, en forma simultánea:
El proceso puede darse por concluido si cada uno de los elementos de [�F v ] , en valor absoluto, resulta
menor que un índice de precisión prefijado ε:
j = 1,2,...., m Entonces el valor de [X v ] resulta ser la solución buscada dentro de la precisión impuesta.
Adaptación del Flucar a la plataforma SIMSEE
Para adaptar el programa Flucar a la plataforma SIMSEE se planteo el siguiente plan de trabajo:
1. Estudio y adaptación del flucar como herramienta de flujo de cargas.a. Flucar: datos de entradab. Flucar: procedimientosc. Flucar: salidas
2. Desarrollo de los algoritmos de lectura de datos de los archivos de datos de PSSE.3. Reingeniería del Flucar adaptándola a la filosofía Orientada a Objetos.
1. Estudio y adaptación del flucar como herramienta de flujo de cargas.
En este paso se estudio la bibliografía generada en el IIE de la Facultad de ingeniería la que se puede encontrar en diversos informes de proyecto de fin de carrera y del curso de Redes Eléctricas.Se encontró que el Flucar ha sido construido a lo largo de los años agregando módulos y rutinas algunas de las cuales no se adaptan totalmente a la filosofía orientada a objetos. También se considero la forma del tratamiento que se le hace a los transformadores con TAP’s variables.
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Otro aspecto que se considero fue la entrada de los datos básicos de la red, los cuales se ingresan en un tipo especial de archivos de texto propio del Flucar.
2. Desarrollo de los algoritmos de lectura de datos de los archivos de datos de PSSE.
Durante esta etapa se procedió a la implementación de módulos en Pascal para la lectura y creación de objetos de flujo de carga desde archivos tipo RAW de PSSE. Se encontró que los archivos de las versiones mas usadas son la versión 26 y 32 de este programa. Se implemento un modulo de lectura de ambos tipos de versiones. Cada elemento de la red se modelo como un actor que tiene posibilidad de interactuar en lo que se denomina una sala de juegos.La dificultad que se encontró en esto consistió en que en el armado del sistema el programa PSSE carga los datos de equipos y barras estén o no en servicio, lo que dificulta el armado del problema a resolver, pues significo que se tuviera que desarrollar algoritmos de conectividad.A continuación se presenta una tabla con los campos de la versión 26 de PSSE:
La versión 32 tiene los siguientes campos:
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3. Reingeniería del Flucar adaptándola a la filosofía Orientada a Objetos.
En esta etapa se resolvió armar una sala de juegos como tiene el SIMSEE en el que los actores de flujo de carga interactúan y arman el problema de flujo de cargas, haciendo uso de un Resolvedor de ecuaciones complejas que se había implementado por parte de Ruben Chaer el cual se detalla en el Anexo 1.También se considero necesario implementar en el propio algoritmo de resolución de flujo de cargas el tratamiento de los TAP’s de los transformadores con puntos de transformación variable. Para ello se recurrió a la bibliografía y se agregó una variable compleja mas a ser incorporada en el problema de flujo de cargas en aquellas barras cuyo voltaje se considera controlado por estos TAP’s.
Incorporación de los TAP's variables a la descripción del sistema
En esta sección se aborda, por un lado, la descripción del problema del flujo de carga y cómo queda lamatriz jacobiana para ingresarla al resolvedor no lineal ucpxresolvecuacs, que implementa el método deNewton-Raphson para un sistema de ecuaciones complejas. Por otro lado, se describe la inscripción de lasfunciones y derivadas en dicho resolvedor.
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Se debe resaltar que este esfuerzo es sustancialmente nuevo respecto a la bibliografía existente en cuantoel problema se re-enfoca como un sistema ecuaciones de variable compleja para todas las variablesinvolucradas, y por tanto las funciones y sus derivadas se deben expresar como funciones complejas en suscomponentes (ya sean cartesianas o polares). Por otra parte, este enfoque es necesario porque laimplementación computacional fue diseñada para requerir como input las ecuaciones que se deducen eneste apartado.
En este problema se considera que la red consiste en n nodos o barras. Elsistema de ecuaciones que se debe satisfacer consiste en n ecuaciones, unapor cada nodo, de valores complejos a valores complejos:
Se supondrá que hay un trafo t entre el nodo h y el nodo m (h = m). Habrá por lo tanto tres tipos de nodos:los nodos tipo k o genérico, los nodos tipos regulado (h) y los nodos tipo regulador (m). En las figurassiguientes se aprecian los nodos genéricos y los nodos tipo h y tipo m.
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A continuación se deducen las ecuaciones de corriente en cada uno de los tipos de nodo, que surgen deaplicar las ecuaciones de nudos y mallas y eventualmente las ecuaciones del transformador ideal.Observar que si bien se presenta la matriz como si sólo existiera un trafo en toda la red, que se hace porsimplicidad, no conlleva pérdida de generalidad cuando se tiene más de uno, ya que quedará evidente quese necesitan modificar tan sólo dos líneas de dicha matriz Jacobiana, correspondientes a los nodosextremos del trafo.
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Donde se definió convenientemente
Donde se definió convenientemente
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A continuación se especifica cada uno de los elementos de dicha matriz.
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Luego del desarrollo analítico anterior se procedió a implementarlo computacionalmente en el módulo deflucar41.lpi. El procedimiento de inscripción de funciones complejas al sistema de ecuaciones es directo;esencialmente se debe indicar las variables que intervienen y para las derivadas con respecto a quévariable se deriva especificando si se trata de la parte radial o la parte angular. Ver el Anexo de
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ucpxresolvecuacs para referencias respecto al uso de ese módulo.
Estudio de diferentes formas de incorporar la red al SIMSEE e
Incorporación de la solución obtenida
Hay diferentes formas de encarar el tratamiento del “Unit Commitment” junto con el comportamiento de la red. Se vieron varios estudios en los que la red a los efectos del voltaje se modela solo en DC, en AC y otros hacen el tratamiento mediante OPF.Trabajar con flujo de cargas DC tiene la ventaja de representar en forma muy simplicada la red pero tiene lacontra de que no se representa el comportamiento de la reactiva, por lo que si tengo elementos de compensación de reactiva o en su defecto el control de voltaje por las maquinas generadoras, no resulta unmodelo adecuado a los objetivos nuestros.En cuanto a los modelos AC son los de flujo de cargas tradicionales.Se vio también la conveniencia de avanzar en la implementación de un OPF ya que este modelado representaría no solo la red sino que seria una forma de implementar un Resolvedor no lineal para el problema de despacho, introduciendo también características más complejas de los actores del SIMSEE quepodrían llegar a ser representadas mediante funciones no lineales.Como forma de aproximarnos al problema consideramos tratar en un principio el flujo de cargas AC en forma separada del despacho hidro-térmico, como dos subproblemas. O sea se resuelve un paso de optimización del cual sale un despacho de maquinas el cual es tomado por el flujo de cargas para verificar la validez del caso en cuanto a sus niveles de tensión y flujos por las canalizaciones.Esto esta en proceso de implementación todavía debido a que es necesario implementar la interface entre los dos subproblemas para lo cual es necesario modificar las estructura básica del SIMSEE.Por otro lado esta en proceso de finalización un resolvedor de funciones no lineales que usa el método de máximo descenso ajuste cuadrático de paso, que una vez finalizado será usado para que cada paso de optimización sea tratado como un OPF.
Referencias
[1] Resolución del problema del Flujo de Cargas - Desarrollo de FLUCAR 3.0 – Proyecto de fin de carrera - Alfredo Costa y Claudio Olmedo – FING Marzo de 2002.[2] B.G.GORENSTIN N.M.CAMPODONICO J.P.COSTA M.V.F.PEREIRA. STOCHASTIC OPTIMIZATION OF A HYDRO-THERMAL SYSTEM INCLUDING NETWORK CONSTRAINTS. Transactions on Power Systems, Vol. 7, No. 2. May 1992.[3] Olav Bjarte Fosso, Seyed Mohammed, Ali Hosseini.Hydro scheduling with transmission transfer limitations in a liberalized power market. XI SEPOPE, 16 a 20 de Março 2009March – 16th to 20th – 2009BELÉM (PA) - BRASIL. http://webserver.eln.gov.br/sepope/dad/temas_rel.asp
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Anexo 1 - Resolvedor de ecuaciones.
Ing. Ruben Chaer ([email protected]) Marzo 2008 – Montevideo – Uruguay.
Es común en ingeniería tener un conjunto de ecuaciones que vinculan a un conjunto de variables. Mostraremos dos clases PASCAL desarrolladas para la resolución de este tipo de problemas. Una dedicada ala resolución en el campo de los reales y la otra en el campo de los números complejos.
Resolvedor de problemas en RN
Supongamos que M es la cantidad de ecuaciones y N la cantidad de variables. El problema se podría plantear como:
( )
Mi
RRf
yyf
�
i
�i
...1
:
0...1
=→
=
( ec. )
Para que los grados de libertad del problema sean superiores a la cantidad de restricciones y por lo tanto
tengamos esperanza de encontrar una solución, se deberá cumplir M� ≥ .
Si M� > tenemos más grados de libertad que restricciones y supondremos que se eligen valores fijos paraM� − de las variables para que queden exactamente la misma cantidad de grados de libertad que
restricciones.
Del vector de variables [ ]�yy ...1 entonces hay un subconjunto que elegimos como parámetros fijos y otro
como variables libres. La búsqueda de la solución se realizará sobre las variables libres. Llamemos [ ]Mxx ...1
al subconjunto de las y que consideraremos libres. El planteo lo hacemos así pues es común tener planteada las ecuaciones y elegir en diferentes momentos diferente juego de parámetros fijos y libres.
Elegido entonces el conjunto de parámetros libres, podemos reescribir el problema en forma vectorial cómo:
( )
[ ]TM
MM
xxX
RRF
XF
...
:
0
1=
→=
( ec. )
Cada elemento de ( )XF es cada una de las funciones ( )�i yyf ...1 evaluada en el punto correspondiente a
los valores fijos para las variables elegidas fijas más los valores que tomaron las x para las variables elegidascomo libres.
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La solución del problema la realizaremos por el método de Newton Raphson con una modificación para controlar el paso de cada iteración de forma de asegurar que en cada paso se mejora la solución.
Brevemente, el método de Newton Raphson parte del desarrollo de Taylor de primer orden de la función
( )XF , en el entrono de un valor inicial dado de kX y calcula usando esa aproximación cuál sería el 1+kX
que anularía la función vectorial ( )XF
( ) ( ) ( ) 2
11 oXXJXFXF kkFkk +−+= ++ ( ec. ) Desarrollo de Taylor
Despreciando los términos de segundo orden, para que ( ) 0
1=+kXF en la ecuación anterior tenemos:
( )kFkk XFJXX ⋅−= −+
1
1 ( ec. ) Newton Raphson
Definimos el error cometido en kX cómo:
( )kk XFe =( ec. )
La modificación que introducimos al método es la posibilidad de acortar el paso de la (ec. 4) de forma de
lograr que kk ee <+1 . Para eso multiplicamos el paso por un parámetro real λ . Al inicio de cada iteración
ponemos 1=λ y calculamos el siguiente punto como:
( )kFkk XFJXX ⋅⋅−= −+
1
1 λ ( ec. )
y el error correspondiente usando la ec.
Si kk ee ≥+1 acortamos λ y probamos de nuevo, así hasta lograr un 1+kX para el que el kk ee <+1 o hasta que
el valor de λ sea muy pequeño
Resolvedor de ecuaciones en CN.
Ahora nos planteamos la resolución de ecuaciones en el campo complejo. Cada ecuación podemos verla como dos funciones (parte real e imaginaria) igual a cero y cada variable compleja podemos verla como dosvariables reales.
Entonces, el problema podría plantearse como la resolución en R, pero queremos mantener la posibilidad de escribir las funciones en el campo de los complejos pues para algunos problemas resulta más natural escribir las ecuaciones con variables complejas. Como ejemplo mostraremos las ecuaciones correspondientes al problema de flujo de carga de un sistema eléctrico.
Si tenemos:
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( )
Mi
CzCCf
zzf
�
i
�i
...1
;:
0...1
=∈→
=
( ec. )
Mirado como problema en el campo de los reales tenemos 2M ecuaciones y 2N variables. Si 2N > 2M tenemos 2N-2M parámetros a fijar para que el sistema nos quede determinado. En la elección de estos 2N-2M parámetros podemos elegir por ejemplo la parte real de una de las variables, la fase de otra, el módulo y fase de otra, etc. Es decir, permitiremos considerar en cada variable compleja representada en coordenadas rectangulares o polares y dejar libre o fijar como parámetro cada uno de los dos campos que determinan la variable según la representación que se elija.
En el planteo del método de Newton Raphson planteamos cada ecuación dividida en su parte real y compleja como:
( )( )( )( )
Mi
CzCCf
zzf
zzf
�
i
�i
�i
...1
;:
0...Im
0...Re
1
1
=∈→
==
( ec. )
Al considerar el desarrollo de Taylor de las funciones ( )ifRe
y ( )ifIm
lo hacemos respecto a las variables reales que forman el conjunto de variables complejas z, según la representación se elija para cada una de ellas. Según la representación que elijamos anotaremos:
kj
kk
kkk
ez
yjxz
ϕρ=
+=
( ec. )
Para ello necesitamos conocer las derivadas:
k
i
k
i
k
i
k
i ff
y
f
x
f
ϕδ ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
;;;
( ec. )
Atención, en la mayoría de los casos de aplicación, no es posible definir la derivada k
i
z
f
∂∂
por eso es necesario suministrar las derivadas parciales respecto de los campos reales con que se represente las variables complejas, que siempre están bien definidas.
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Obviamente, dada una de las funciones if y elegida una variable kz las cuatro derivadas direccionales (ec. 9) no son independientes y bastan dos de ellas para calcular las otras dos.
Por ejemplo, podemos escribir:
( ) ( )
( )( ) ( )kk
k
i
kk
k
i
k
i
k
k
i
k
k
i
k
i
y
f
x
ff
y
f
x
ff
ϕρϕρϕ
ϕϕρ
cossin
sincos
∂∂
+−∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
=∂∂
( ec. )
o invirtiendo las relaciones:
( ) ( )
( ) ( )kkk
i
k
k
i
k
i
k
kk
i
k
k
i
k
i
ff
y
f
ff
x
f
ϕρϕ
ϕρ
ϕρϕ
ϕρ
cos1
sin
sin1
cos
∂∂
+∂∂
=∂∂
−
∂∂
+∂∂
=∂∂
( ec. )
