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XII Simposio Iberoamericano sobre planificacin de sistemas de
abastecimiento y drenaje
MODELO MATEMTICO PARA IDENTIFICAR LOCAIS DE ESTAES DE
MONITORAMENTO EM REDES DE DISTRIBUIO DE GUA
Roberto Suse (1), Edevar Luvizotto Junior (2), Bruno Melo
Brentan (3)
(1) Universidade Estadual de Campinas. Rua Alberto Cerqueira
Lima, 206, ap. 03, Campinas, So
Paulo, Brasil. Tel +55(19)983939795
(2) (3) Universidade Estadual de Campinas. Av. Albert Einstein,
951, Campinas, So Paulo, Brasil.Tel:
+55(19)32512354
RESUMO
Para indicar locais timos para monitorar uma rede de distribuio
de gua potvel, foi avaliado um modelo
matemtico-computacional que utiliza o conceito de cobertura de
demanda e procedimentos baseados em
algoritmo gentico. O modelo proposto foi aplicado em um rede
hipottica de distribuio de gua
considerando 4 condies de consumo de gua. Verificou-se que h
variao do conjunto timo de estaes
de monitoramento devido variao do padro de demanda ao longo do
dia. Por fim, o horrio do dia onde o
padro de consumo de gua o menor, no houve a cobertura de toda a
demanda da rede.
Palavras chave: qualidade de gua, monitoramento, redes de
distribuio, modelagem matemtica.
ABSTRACT
To indicate optimal locations to monitor a drinking water
distribution network, it was evaluated a computer-
mathematical model which uses the concept of demand coverage and
procedures based on genetic algorithm.
The proposed model was applied at a hypothetical water
distribution network with 4 water demand pattern. It
was found that there is change in the optimal set of monitoring
stations due to variation in the demand
pattern throughout the day. Finally, the time of day that the
water consumption pattern is the lowest , there
was no coverage total of the demand network.
Key words: water quality, monitoring, water network,
mathematical modelling
SOBRE O AUTOR PRINCIPAL
Roberto Suse: Engenheiro Ambiental graduado na Universidade
Federal do Paran, UFPR. Mestrando em
Engenharia Civil, na rea de Saneamento e Ambiente da Faculdade
de Engenharia Civil, Arquitetura e
Urbanismo da Universidade Estadual de Campinas, FEC-UNICAMP.
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INTRODUO
A gua um recurso natural essencial para a
sobrevivncia humana. insumo para a produo de
alimentos e est presente em diversos processos
industriais. Assim importante que haja quantidade
e qualidade de gua adequada para o atendimento
das necessidades dos diversos consumidores. Um
sistema de distribuio de gua, composto por
tubulaes, bombas, vlvulas, tanques de
armazenamento entre outros dispositivos e
acessrios, a unidade responsvel por transportar
gua com qualidade e presses adequadas aos
consumidores finais.
A qualidade da gua importante para assegurar que
a populao no seja exposta a doenas de
veiculao hdrica e para que no ocorra
interferncia nos processos industriais ou na
produo de alimentos. Embora a gua seja injetada
no sistema de distribuio com qualidade adequada
para garantir o atendimento dos padres de
potabilidade estabelecidos, h a deteriorao de sua
qualidade nas redes de distribuio. Ocorre
diminuio da qualidade da gua devido a
vazamentos que abrem caminho para o aporte de
patgenos, devido ao decaimento do desinfetante
residual nos reservatrios e ao longo das tubulaes
e devido ao recrescimento bacteriano.
(Rossman, et al. 1994) mencionam que na maioria
das estaes de tratamento de gua h o uso do
agente qumico cloro no processo de desinfeco. Os
operadores das estaes de tratamento tentam
manter um residual de cloro nos sistemas de
distribuio, mas como h a ocorrncia de reao
entre o cloro residual e os materiais presentes na
gua e nas paredes das tubulaes, como
consequncia ocorre a diminuio da concentrao
do cloro residual. Assim, diversos pesquisadores
mencionam que o desinfetante residual, como o
cloro, pode ser considerado um parmetro para
avaliar a qualidade de gua nas redes de distribuio.
O monitoramento da qualidade de gua em toda a
rede de distribuio oneroso e invivel, pois uma
rede de mdio porte pode conter milhares de
quilmetros de tubulaes (Mays, 2000). Assim, na
pratica, o monitoramento feito em poucos pontos
nem sempre crticos sobre os aspectos da qualidade
e com frequncia discreta, de maneira a atender s
portarias referentes potabilidade da gua.
Devido a estes fatos a modelagem matemtica
associada ao uso de programas computacionais tem
sido empregada para simular os processos de
transporte que descrevem a qualidade de gua com a
finalidade de indicar os locais ideais para realizar o
monitoramento de parmetros hidrulicos e de
qualidade de gua nas redes de distribuio. A
modelagem devidamente aplicada auxilia na tomada
de decises sobre estratgias operacionais e de
monitoramento garantindo o transporte de gua com
qualidade adequada.
Portanto, este trabalho prope avaliar um modelo
matemtico/computacional cuja finalidade
determinar locais timos para realizar o
monitoramento da qualidade de gua nas redes de
distribuio de gua potvel.
O modelo proposto engloba o conceito de cobertura
de demanda e procedimentos baseados em
algoritmos genticos que sero explanados a seguir.
FUNDAMENTAO TERICA
H diversos modelos matemticos com capacidade
para realizar anlises e simulaes de sistemas de
distribuio de gua. (Lee e Deininger, 1992)
mencionaram o termo "cobertura" para transmitir a
noo de que locando uma estao de
monitoramento em um ponto de consumo, possvel
saber a qualidade de gua e a demanda coberta por
esta estao. Assim, tem-se a necessidade em
conhecer a trajetria do fluxo de gua, a vazo em
cada trecho e a demanda dos pontos de consumo
(ns da rede de distribuio).
Desta forma pode-se determinar a representatividade
(em termos de porcentagem de cobertura) que um
determinado n possui sobre toda a rede de
distribuio de gua. Os autores citam que a partir
da anlise da qualidade de gua de um n
amostrado, possvel inferir a qualidade de gua dos
ns a montante. "Se a qualidade de gua do n
amostrado boa, ento pode-se afirmar que a
qualidade de gua dos ns a montante boa".
Mas extremamente importante que qualquer frao
de gua consumida em uma rede de distribuio seja
"coberta" pelas estaes de monitoramento. Por esta
razo, para compreender o conceito cobertura de
demanda necessrio seguir os seguintes
procedimentos:
1. Definio da topologia do sistema a ser analisado;
2. Determinao da matriz de frao de gua;
3. Determinao da matriz de cobertura;
Inicialmente necessrio definir a topologia rede de
distribuio com demandas locais e determinar as
vazes e o sentindo do escoamento da gua nas
tubulaes que constituem esta rede.
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Por exemplo, os autores (Lee e Deininger, 1992)
utilizaram a rede simples, ilustrada pela figura 1 para
explanar o conceito de cobertura de demanda.
Figura 1. Exemplo de rede de distribuio de gua.
Fonte: LEE e DEININGER, 1992.
Para a determinao da matriz de frao de gua
considera-se o nmero de ns (pontos de demanda
local), as vazes nos trechos e as demandas. Assim,
para o exemplo da figura 1 tomando o n 5 uma
estao de monitoramento e P(i,j) a posio na
matriz, a determinao da matriz de frao de gua
realizada da seguinte forma:
P(5,5) = 1; P(5,4) = 20/(20 + 5) = 0,8; P(5,6) = 0,2;
P(5,3) = 0,8 x 45/(45+5) = 0,72; P(5,7) = 0,8 x 5/(45
+ 5) + 0,2 = 0,28; P(5,2) = P(5,3) + P(5,7) = 1;
P(5,1) = P(5,2) = 1;
onde:
i = n de amostragem (estao de monitoramento);
j = n de montante (origem do escoamento da gua);
Aps a realizao do clculo para os outros n de
amostragem, os autores obtiveram a matriz de frao
de gua (Tabela 1).
Tabela 1. Matriz de frao de gua do exemplo.
N de amostragem
Frao de gua - n de montante
n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7
1 1 0 0 0 0 0 0
2 1 1 0 0 0 0 0
3 1 1 1 0 0 0 0
4 1 1 0,9 1 0 0 0,1
5 1 1 0,72 0,8 1 0,2 0,28
6 1 1 0 0 0 1 1
7 1 1 0 0 0 0 1
Fonte: LEE e DEININGER, 1992.
Supondo que o n 5 seja a estao de
monitoramento, a posio P(5,3) = 0,72 na tabela 1
significa que 72% da demanda do n 3 coberta
pelo n 5.
Para determinar qual n de amostragem possui
maior representatividade em uma rede, obtm-se a
matriz de cobertura de demanda a partir da matriz de
frao de gua. Assim, necessrio a proposio de
um critrio relacionado frao de gua. (Lee e
Deininger, 1992) adotaram a frao de gua igual ou
maior que 50% como critrio para a determinao
dessa matriz. Assim, as fraes de gua menores que
0,5 so convertidas para 0, e as fraes de gua
iguais ou superiores a 0,5 so convertidas para 1.
Desta forma, para o exemplo utilizado pelos autores,
a matriz de cobertura de demanda obtida a
seguinte:
Tabela 2. Matriz de cobertura de demanda do exemplo.
N de Amostragem
Ns coberto sob critrio 50%
n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7
1 1 0 0 0 0 0 0
2 1 1 0 0 0 0 0
3 1 1 1 0 0 0 0
4 1 1 1 1 0 0 0
5 1 1 1 1 1 0 0
6 1 1 0 0 0 1 1
7 1 1 0 0 0 0 1
Fonte: LEE e DEININGER, 1992
Normalmente uma estao de monitoramento no
capaz de efetuar a cobertura de toda uma rede de
distribuio de gua. Por esta razo, necessrio
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definir um conjunto de estaes de monitoramento
para obter 100% de cobertura da demanda de gua
de uma rede.
(Al-Zahrani e Moied, 2003) mencionam que o
nmero de solues possveis para definir um
conjunto de estaes de monitoramento depende do
nmero de estaes e da quantidade de pontos de
consumo (ns) existentes em rede de distribuio.
Por exemplo, para uma rede de distribuio
contendo 100 ns e visando a alocao de 4
estaes, o nmero de solues possveis para o
conjunto de estaes igual a 1004 ou 100 milhes.
Por esta razo, os autores recomendam a utilizao
de procedimentos baseados em algoritmo gentico
atravs das seguintes etapas:
1. Populao inicial;
2. Seleo dos pais;
2.1 Ajuste inicial;
2.2 Matriz de cobertura e demanda nodal;
3. Cruzamento;
4. Mutao;
5. Seleo das melhores caractersticas;
6. Seleo da soluo tima;
(Meier e Barkdoll, 2000) mencionam que o
algoritmo gentico pode ser considerado uma
ferramenta com elevado potencial para otimizar a
soluo de problemas complexos que podem existir
em redes de distribuio de gua. Os autores dizem
que no h garantia na obteno da tima resposta,
mas, para a maioria dos problemas reais, pode se
prover 95% de solues melhores do que a
utilizao de mtodos tradicionais.
A implementao do algoritmo gentico inicia com a
gerao aleatria de solues iniciais denominadas
populao inicial. Em seguida realiza-se a avaliao
desta populao pela aplicao da funo objetivo
mecanismos de soluo permite a manuteno dos
indivduos mais aptos para as prximas geraes.
Os autores afirmam que as solues iniciais
selecionadas raramente contm a soluo tima. Por
esta razo prossegue com o uso do operador
cruzamento que realiza combinaes entre as
solues com a finalidade de garantir que as
geraes futuras possuam o maior grau de ajuste
contido na populao selecionada. Como o
cruzamento uma simples recombinao que pode
no incluir informaes desejveis da populao
inicial, utiliza-se em conjunto o operador mutao o
qual efetua ocasionalmente alteraes aleatrias para
incluir novas informaes ou recuperar desejveis
caractersticas que sero propagadas para as
geraes posteriores. Como essa propagao ocorre
exponencialmente de gerao para gerao seguinte
tem-se a seleo da melhor soluo possvel aps
um nmero n de iteraes (definida pelo usurio).
Os autores afirmam que a melhor soluo pode no
conter o timo ajuste mas pode ser considerada
melhor do que as solues iniciais ou solues
obtidas por mtodos menos robustos.
METODOLOGIA
Para avaliar a aplicabilidade do modelo matemtico-
computacional com o objetivo de indicar timos
locais para monitorar a qualidade de gua nas redes
de distribuio de gua potvel, foi utilizado uma
rede hipottica de distribuio de gua (figura 2).
Figura 2. Rede hipottica de distribuio de gua.
Fonte: AL-ZAHRANI e MOIED, 2003.
Esta rede possui trs reservatrios de abastecimento,
15 pontos de consumo e 23 tubulaes. Foi realizada
a simulao hidrulica da rede atravs do software
EPANET 2.0 considerando a variao do consumo
de gua em um perodo igual a 24 horas (Figura 3).
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FIGURA 3. Variao da demanda na rede
hipottica de distribuio de gua.
Foi realizada a simulao hidrulica da rede
hipottica para 4 cenrios que se diferenciam pelo
seguinte padro de demanda:
cenrio 1 = demanda mdia x 1,6(7 e 8 horas);
cenrio 2 = demanda mdia x 1,2(3,4,11 e 12 horas);
cenrio 3 = demanda mdia x 0,8(15 e 16 horas);
cenrio 4 = demanda mdia x 0,4(19 e 20 horas);
Para determinar o conjunto timo de estaes de
monitoramento atravs da aplicao dos
procedimentos baseados em algoritmo gentico, foi
utilizado o software MATLAB R2013a. A funo
objetivo utilizada foi a soma das demanda dos ns
coberto pelo conjunto de 4 estaes de
monitoramento. Alm disso, foi utilizado os
seguintes parmetros no algoritmo gentico:
nmero de geraes = 45;
nmero de ns de monitoramento = 4;
nmero de indivduos da populao = 20;
probabilidade de ocorre mutao = 0,07;
critrio para a obteno da matriz de cobertura =
50%.
RESULTADOS E DISCUSSO
Cenrio 1
Quando a demanda mdia multiplicada por 1,6, o
conjunto de estaes de monitoramento com maior
cobertura de demanda da rede foi composto pelos
ns 7, 8 11 e 15 (conjunto 1). A demanda total da
rede foi de 664 Litros/s e a demanda coberta pelo
conjunto 1 foi de 568 Litros/s.
Cenrio 2
Para demanda mdia multiplicada por 1,2, o
conjunto de estaes de monitoramento com maior
cobertura de demanda foi composto pelos ns 6, 7,
11 e 15 (conjunto 2). A demanda total da rede foi de
498 Litros/s e a demanda coberta pelo conjunto 2 foi
de 378 Litros/s.
Cenrio 3
J no horrio em que a demanda mdia
multiplicada por 0,8, o conjunto de estaes de
monitoramento com maior cobertura de demanda era
composto pelos ns 3, 5, 11 e 15 (conjunto 3). A
demanda total da rede foi de 332 Litros/s e a
demanda coberta pelo conjunto 3 foi de 284 Litros/s.
Cenrio 4
E no horrio com o menor padro de demanda (0,8),
que representa o perodo em que h o menor
consumo de gua em um dia, o conjunto de estaes
de monitoramento com maior cobertura foi
composto pelos ns 3, 6, 11 e 15 (conjunto 4). A
demanda total da rede foi de 166 Litros/s e a
demanda coberta pelo conjunto 4 foi de 132 Litros/s.
A tabela 3 a sntese dos resultados obtidos aps a
simulao hidrulica da rede hipottica de
distribuio de gua (figura 2.) e a aplicao dos
procedimentos baseados em algoritmo gentico para
a obteno do conjunto de estaes de
monitoramento com maior cobertura da rede.
TABELA 3. Demanda coberta pelo conjunto de estaes de
monitoramento.
Conjunto de estaes de
monitoramento
Padro de
demanda
Demanda total rede (Litros/s)
Demanda coberta
pelo conjunto (Litro/s)
1 1,6 664 568
2 1,2 498 378
3 0,8 332 284
4 0,4 166 132
Considerando as colunas 3 e 4 da tabela 3, possvel
determinar a porcentagem de cobertura da rede que
cada conjunto de estaes de monitoramento realiza.
Assim, o conjunto 1 realiza a cobertura de 85,54%, o
-
conjunto 2 realiza a cobertura de 75,90%, o conjunto
3 realiza a cobertura de 85,54% e o conjunto 4
realiza a cobertura de 79,52% da rede hipottica de
distribuio de gua.
Verifica-se que ocorre variao da composio do
conjunto timo de estaes de monitoramento de
acordo com a variao da demanda existente ao
longo do dia. A variao da demanda ao longo do
dia pode influenciar na mudana do sentido do
escoamento da gua nas redes de distribuio. Por
esta razo, o modelo matemtico-computacional
indicou outros conjunto timos de estaes de
monitoramento.
Percebe-se que as estaes 11 e 15 podem ser
consideradas timos locais para a realizao do
monitoramento da qualidade de gua. Estas estaes
so independente da variao da demanda. Como o
ponto de consumo n 15 considerada ponta de rede
e possui demanda local diferente de zero, comprova-
se a hiptese de que as pontas de rede so
comumente timos locais para a realizao do
monitoramento da qualidade de gua.
Alm disso, observa-se que todos os conjuntos de
estaes de monitoramento no realizam a cobertura
de 100% da rede hipottica de distribuio de gua.
Ento, foi realizada a aplicao do modelo
matemtico-computacional para um conjunto
composto por 6 estaes de monitoramento. Para o
cenrio 1, o conjunto timo determinado foi
composto pelas estaes 6, 7, 8, 9, 11 e 15. Para o
cenrio 2, o conjunto timo foi composto pelas
estaes 5, 6, 7, 8, 11 e 15. J para o cenrio 3, as
estaes 3, 5, 7, 9, 11 e 15 formavam o conjunto
timo para monitorar a rede hipottica. Por fim, no
cenrio 4, o conjunto timo determinado foi
composto pelas estaes 3, 5, 6, 7, 11 e 15. Para os
cenrio 1, 2 e 3, os conjuntos timo compostos por
6 estaes de monitoramento faziam 100% da
cobertura da rede. Somente para o cenrio 4,o qual
representa a hora do dia em que h o menor
consumo de gua, o conjunto timo determinado
realizava a cobertura de 93,98% da rede.
Aps a aplicao do modelo matemtico-
computacional para todos os cenrios construdos,
observou-se a convergncia das solues para um
nmero de geraes igual a 45 e critrio de cobertura
de demanda igual a 50%. Essa convergncia pode
ser confirmada atravs das figuras 4 e 5.
FIGURA 4. Funo de ajuste obtida para o cenrio 4.
FIGURA 5. Mdia da funo objetivo para o cenrio 4.
CONCLUSO
O modelo matemtico-computacional que considera
o conceito de cobertura de demanda e utiliza
procedimentos baseados em algoritmo gentico foi
capaz de indicar os timos locais para realizar o
monitoramento da qualidade de gua em uma rede
de distribuio de gua potvel.
Foi observado que um conjunto composto por 6
estaes de monitoramento realizava 100% da
cobertura da rede hipottica de distribuio de gua,
exceto para o horrio em que o consumo de gua foi
menor (0,4). Por esta razo, o horrio do dia em que
o consumo de gua o menor pode ser considerado
como um momento crtico para realizar o
monitoramento da qualidade.
Cabe observar que no foi necessrio realizar uma
quantidade elevada de iteraes para obter a
convergncia das solues obtidas.
Portanto, conclui-se que o modelo matemtico-
computacional avaliado pode ser considerado uma
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ferramenta til para auxiliar no monitoramento de
redes de distribuio de gua potvel.
RECOMENDAES E TRABALHOS
FUTUROS
Neste trabalho foi realizada a simulao hidrulica
de uma rede hipottica simples sendo necessrio
verificar a viabilidade do modelo matemtico-
computacional proposto a redes.
BIBLIOGRAFIA
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Mestrado. Faculdade de Engenharia
Civil, Arquitetura e Urbanismo da
Universidade Estadual de Campinas,
Campinas.
