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LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Modelo Praxeológico de Referencia
en torno al modelado de la realidad
cuando interviene el azar
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología
NIECyT
Departamento de Formación Docente
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Centro de la Provincia de Buenos Aires
UNCPBA
2021
2
“Modelo Praxeológico de Referencia en torno al
modelado de la realidad cuando interviene el azar”
Profesora:
Verónica San Román
Tesis de Licenciatura realizada bajo
la dirección de la Doctora Diana
Patricia Salgado, presentada en la
Facultad de Ciencias Exactas de la
Universidad Nacional del Centro de
la Provincia de Buenos Aires, como
requisito parcial para la obtención
del título de Licenciada en
Educación Matemática.
Tandil – Junio 2021.
Quiero agradecer:
A la Universidad Nacional del Centro y a la Facultad de Ciencias Exactas por
apoyarme en mi formación profesional.
A mi directora, la Dra. Diana Patricia Salgado por su paciencia, confianza y
acompañamiento a lo largo del desarrollo de la investigación y redacción de la tesis.
Al Departamento de Matemática de la Universidad Nacional del Sur y a sus
autoridades actuales, por apoyar mi formación profesional en el área de Educación
Matemática.
Y a título personal…
A mi marido Guillermo que siempre me transmitió confianza y me acompañó en este
gran desafío.
A mis hijos Joaquín y Juan Martín que son mi inspiración constante.
A mi mamá Belia por su apoyo incondicional y por festejar conmigo cada etapa
superada.
A mis compañeras, colegas y amigas por su aliento constante.
¡A todos gracias, gracias por apoyarme y acompañarme!
4
Contenido
Resumen ........................................................................................................................................ 5
Abstract ......................................................................................................................................... 5
CAPÍTULO 1: El problema de la investigación y sus antecedentes ............................................. 8
1.1 - Introducción y formulación del problema ......................................................................... 8
1.2 - Objetivos de Investigación .............................................................................................. 10
1.3 - Pregunta de la investigación ........................................................................................... 11
1.4 - Antecedentes de la investigación .................................................................................... 11
CAPÍTULO 2: Marco Teórico .................................................................................................... 14
2.1 - Introducción .................................................................................................................... 14
2.2 - La Organización Matemática .......................................................................................... 15
2.3 - Las Organizaciones Didácticas ....................................................................................... 16
2.4 - Paradigma de la investigación y del cuestionamiento del mundo ................................... 16
2.5 - Modelo Praxeológico de Referencia ............................................................................... 18
CAPÍTULO 3: Modelo Praxeológico de Referencia .................................................................. 21
3.1 - Introducción .................................................................................................................... 21
3.2- Descripción de la institución de referencia y del curso.................................................... 21
3.3 – Análisis de la pregunta generatriz y sus derivadas ................................................... 23
CAPÍTULO 4: Reflexiones Finales ............................................................................................ 46
CAPÍTULO 5 .............................................................................................................................. 49
5.1 - Referencias Bibliográficas .............................................................................................. 49
5.2 - Bibliografía utilizada para los antecedentes .................................................................... 54
ANEXO ....................................................................................................................................... 58
5
Resumen
En este trabajo de tesis se presenta el diseño de un Modelo Praxeológico de Referencia
(MPR) en torno al modelado de la realidad cuando interviene el azar. El estudio se
desarrolla en correspondencia con la materia Estocástica, correspondiente al tercer año
del plan de estudio del Profesorado en Matemática de la Universidad Nacional del Sur
en Bahía Blanca. Para el desarrollo del mismo se adoptó como referencial teórico a la
Teoría Antropológica de lo Didáctico tomando en cuenta las nociones relacionadas con
la construcción del Modelo Praxeológico de Referencia. En particular, esta propuesta
integra praxeologías relativas a la probabilidad y al modelado de la realidad cuando
interviene el azar.
Esta investigación tiene como propósito fundamental contribuir en el progreso de una
propuesta didáctica que incorpore gestos propios de la pedagogía de la investigación y
del cuestionamiento del mundo en el nivel universitario, permitiendo así articular y dar
sentido al estudio de la Teoría de la Probabilidad en la formación de grado de los
futuros profesores de matemática.
Abstract
In this thesis work, the design of a Praxeological Reference Model (MPR) is presented
around the modeling of reality when chance intervenes. The study is carried out in
correspondence with the subject Stochastic, corresponding to the third year of the study
plan of the Professor of Mathematics at the National University of the South in Bahía
Blanca. For its development, the Anthropological Theory of Didactics was adopted as a
theoretical reference, taking into account the notions related to the construction of the
Praxeological Reference Model. In particular, this proposal integrates praxeologies
related to the different meanings of probability and the modeling of reality when chance
intervenes.
The fundamental purpose of this research is to contribute to the progress of a didactic
proposal that incorporates gestures typical of the pedagogy of research and questioning
the world at the university level, allowing so, to articulate and give meaning to the study
of Probability Theory in the undergraduate training of future mathematics teachers.
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Organización de la presentación
En el Capítulo 1 se delimita y justifica el problema de la investigación. Aquí se indica
cuál es el estado actual del conocimiento sobre la cuestión, se justifica la investigación,
se definen los objetivos generales, los objetivos particulares y se formulan las preguntas
de investigación.
En el Capítulo 2 se describe el referencial teórico adoptado, la Teoría Antropológica de
lo Didáctico (TAD) (Chevallard; 1992, 1997, 1999, 2000), a partir de los supuestos
básicos de la misma. Se describen los conceptos de organización matemática (OM) y
organización didáctica (OD). Se abordan los conceptos esenciales referidos al
Paradigma de la investigación y del cuestionamiento del mundo y al Modelo
Praxeológico de Referencia.
El Capítulo 3 describe el diseño del Modelo Praxeológico de Referencia. Se presentan
las acciones e instrumentos desarrollados para intentar dar respuesta a las preguntas de
investigación teniendo en cuenta las praxeologías que se ponen en juego en el marco de
la TAD.
El Capítulo 4 corresponde a las reflexiones finales que se desprenden de este estudio.
El Capítulo 5 contiene las referencias bibliográficas a las cuales se han recurrido y que
dan sustento a este trabajo de análisis y reflexión.
En Anexos se incorporan los diferentes elementos y tablas creadas para el desarrollo de
este manuscrito.
7
Capítulo 1
Problema de Investigación y antecedentes
8
CAPÍTULO 1: El problema de la investigación y sus antecedentes
1.1 - Introducción y formulación del problema
A diario, el azar está presente en nuestra vida cotidiana. ¿Lloverá hoy o saldrá el sol?
¿Encontraré asiento en el colectivo o tendré que viajar parada? ¿Ganará el domingo mi
equipo de fútbol? ¿Será una nena o un varón? Para los innumerables fenómenos en que
es imprevisible saber el resultado el estudio de la probabilidad nos ofrece un modo de
medir y tratar la incertidumbre. En esta línea de pensamiento, E. Fischbein postula que:
“en el mundo contemporáneo, la educación científica no puede reducirse a una
interpretación unívoca y determinista de los sucesos. Una cultura científica eficiente
reclama una educación en el pensamiento estadístico y probabilístico” (citado por
Batanero, C. & Diaz Godino, J., 2005, p.209).
Así pues, a lo largo de los últimos años se observa una tendencia a promover e
incorporar la enseñanza de la probabilidad y estadística en todos los niveles educativos.
En el caso particular del nivel medio, tales cambios se visibilizan tanto a nivel nacional,
desde 2004 en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP), como a nivel provincial
en los diseños curriculares. Ambos documentos de trabajo incluyen formalmente
probabilidad y estadística como contenidos prioritarios del área de matemática dentro de
la educación secundaria. En los mismos se enfatiza la importancia de su estudio en la
formación integral de los estudiantes ya que, como ciudadanos adultos, les permitirá
cuantificar la incertidumbre y argumentar la toma de decisiones evaluando la
razonabilidad de las inferencias.
No obstante, el alcance de estas propuestas curriculares formales, la realidad nos
muestra que la formación en probabilidad y estadística de los estudiantes adolece de
serias deficiencias que se manifiestan tanto en el análisis de la información
probabilística en su vida cotidiana como en los ámbitos universitario y profesional.
Este problema ha llevado a diversos investigadores a desarrollar trabajos en torno a los
obstáculos que se presentan en el estudio de la Probabilidad en diferentes niveles
educativos. Por ejemplo, Cochran (2005) detecta que el escaso manejo de conceptos
básicos en la formación matemática dificulta el desarrollo de habilidades de lógica y
resolución de problemas relacionadas con el estudio de la probabilidad (p. 266).
Por otra parte, Peñaloza y Vargas (2006) sostienen que el bajo nivel de motivación
intrínseca en el aprendizaje de la Probabilidad y Estadística incide directamente en la
9
valoración que puedan darle los estudiantes a la adquisición de este conocimiento como
una poderosa herramienta personal y profesional futura.
Además, Ortiz, Batanero y Serrano (2001) afirman que el lenguaje que utiliza el
estudiante relacionado con aspectos probabilísticos en su vida cotidiana no siempre
coincide con el que se quiere enseñar por lo cual resulta indispensable generar un puente
a través de un curso académico que permita resignificar los conceptos dando paso a la
formalización matemática.
Conjuntamente, cómo se concibe y explica el comportamiento de los sucesos aleatorios
constituye un elemento clave tanto en la elaboración del conocimiento estocástico como
en el reconocimiento de la importancia de su estudio. En este sentido, Azcarate (2006)
plantea la compleja y tensa relación existente entre la Probabilidad y el pensamiento
determinista predominante en los procesos educativos imperantes.
En relación con estos obstáculos implicados en este proceso de la enseñanza de la
probabilidad, Batanero (2016) plantea la necesidad de reforzar tanto los conocimientos
como el componente emocional en la formación del profesorado para enseñar
probabilidad. De esta investigación se deduce que algunos profesores pueden sentirse
inseguros al enseñar probabilidad a sus estudiantes por no haber recibido suficiente
formación sobre didáctica de la probabilidad o no tener experiencia en su enseñanza. En
este sentido, Estrada y Batanero (2015) inician un proyecto de investigación orientado a
la construcción de un instrumento de medición de las actitudes hacia la probabilidad por
parte de los futuros profesores. En su trabajo se desarrollan los primeros pasos en la
construcción del instrumento, que comprenden la definición semántica de la variable
objeto de medición, la construcción de un banco de ítems y la selección de ítems,
mediante juicios de expertos.
Las situaciones antes puntualizadas, en buena parte, pueden explicarse por la existencia
de un modelo didáctico mecanicista, donde la actividad esencial del alumno se reduce a
la transcripción o reproducción mecánica de fórmulas, de lo que el profesor explica y
propone, sin la profundización de los conceptos y procedimientos que les permitirá
interpretar los resultados probabilísticos y extraer conclusiones de problemas basados en
la realidad. Al respecto, la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) ha descripto
metafóricamente este fenómeno didáctico como la monumentalización del saber o visita
de obras, el mismo consiste en enseñar obras matemáticas como objetos transparentes e
incuestionables por su carácter monumental que a lo sumo pueden visitarse (Chevallard,
2012). Una consecuencia que se desprende de la monumentalización es la sustitución de
10
las preguntas por las respuestas. Las obras expuestas “como monumentos” son
respuestas a preguntas ocultas, sin que se reconozca la necesidad de remitir a su origen,
a su utilidad, a su razón de ser, a su porqué o para qué. La desaparición de las preguntas
y de la actividad de construcción del conocimiento es una de las consecuencias más
desfavorables y difíciles de revertir de la pedagogía monumentalista en la enseñanza de
las matemáticas.
Justificación de la Investigación
Esta investigación se enfoca en la problemática planteada anteriormente, enmarcada en
el contexto institucional universitario, con el objetivo de cuestionar la formación de los
futuros profesores de matemática que llevarán adelante las propuestas didáctico-
pedagógicas, y de introducir cambios, sobre todo en la forma de hacer matemática, que
permita desplazarnos del paradigma de la visita de obras al del Paradigma de la
Investigación y Cuestionamiento del Mundo (PICM). Este nuevo paradigma posibilitará
recuperar las razones de ser de los saberes que se estudian en las instituciones
académicas, puesto que el estudio se organiza a partir de la formulación de una pregunta
inicial Q0 y la correspondiente elaboración de respuestas provisorias. Esto cobra
importancia en el estudio de la probabilidad como una rama viva de la matemática,
donde el avance en la construcción de su teoría, a través de las preguntas, amplía los
campos de interés y sus interconexiones con otras ramas de la matemática.
1.2 - Objetivos de Investigación
Objetivos generales:
Analizar la posibilidad de una enseñanza que incorpore gestos propios de la
pedagogía de la investigación y del cuestionamiento del mundo en el nivel
universitario, en particular, una enseñanza a partir de preguntas.
Considerar los desarrollos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD)
relacionados con la noción de praxeología, modelización y el Modelo
Praxeológico de Referencia (MPR) en virtud de enfrentar el fenómeno de la
monumentalización del saber a través de algún dispositivo didáctico. Objetivos
Específicos:
Analizar la potencialidad del estudio de Q0 y describir las praxeologías que
permitirían recorrer su estudio.
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Describir las características esenciales de un Modelo Praxeológico de Referencia
entorno al estudio de la probabilidad.
Construir un Modelo Praxeológico de Referencia (MPR) relativo al estudio de la
probabilidad en una cátedra perteneciente a futuros profesores en Matemática.
1.3 - Pregunta de la investigación
¿Cómo favorecer el estudio de la realidad cuando interviene el azar de forma tal
que dé lugar al desarrollo de praxeologías matemáticas, rompiendo con la
secuenciación de los contenidos propuesta en el programa de estudio de la
materia Estocástica?
1.4 - Antecedentes de la investigación
Para tratar de delimitar el problema de la investigación y para acercarnos al estado
actual del conocimiento sobre la temática, se tomaron como referencia 26 trabajos de
investigación referidos a la enseñanza de la Probabilidad en distintos niveles educativos,
de los cuáles, 19 corresponden a artículos de revistas, 6 actas de congreso reconocidos y
1 tesis final de posgrado. La selección de estos artículos se centró en la disponibilidad
de los mismos y acceso a ellos, además de considerar revistas reconocidas y congresos
más difundidos. Si bien se trata de una pequeña muestra de artículos, que, por supuesto
podría ampliarse, se pretende con ellos aproximarse al área de la investigación en la
enseñanza de la Probabilidad. Con la intención de describir estos artículos, se
confeccionó una tabla (disponible en el Anexo), en la cual se colocaron datos relativos a
cada uno de los trabajos: nombre del trabajo, lugar de publicación, autores, año de
publicación y una breve descripción respecto del problema que aborda y los resultados
más relevantes.
Nombre del
Artículo
Tipo de
Publicación Autores
Año de la
publicación
Descripción del problema y
resultados más relevantes
La revisión de estos 26 trabajos nos permitió concluir que uno de ellos (Castillo
Céspedes, M. & Chaverri Hernández, J., 2016) se enfoca en identificar y describir los
componentes (tareas, técnicas, tecnologías y teorías) de las Organizaciones Matemáticas
(OM) propuestas para la enseñanza de la probabilidad, en el marco de un espacio taller.
Y otro desarrollado por Cecilia Espinoza Melo (2018) da a conocer el diseño y
aplicación de un dispositivo didáctico, como medio para abordar los contenidos de
12
Estadística en un curso universitario. En varios de estos artículos (Amador Núñez, F.,
Reyes Gómez, M. & Flores López, W., 2015; Cardona Toro, J. & Arias Vargas, J, 2008;
González-Ruiz, G., 2014; Huerta, M. & Arnau, J., 2017; Osorio Angarita, M., Suárez
Parra, A. & Uribe Sandoval, C., 2013) se presentan actividades, algunas de ellas
relacionadas con el juego, para rastrear las nociones previas de los alumnos referidas al
azar y la probabilidad. A partir de los resultados obtenidos se analiza la influencia que
ejerce el contexto, el enunciado del problema, el formato de los datos y las herramientas
tecnológicas seleccionadas, para la interpretación de los conceptos probabilísticos
abordados.
Otras investigaciones (Batanero, C., 2005, 2009, 2016; Batanero, C., Ortiz, J. &
Serrano, L. 2007; Barragués Fuentes, J. & Guisasola Aranzabal, J., 2009; Borovcnik,
M., 2012; Estrada, A. & Batanero, C., 2015) se centran en el estudio de la probabilidad
desde varias perspectivas, ya sea matemática, semiótica, filosófica, educativa y hasta
actitudinal con el objetivo de arrojar luz sobre los obstáculos, tanto en su enseñanza
como en su aprendizaje.
13
Capítulo 2
Marco Teórico
14
CAPÍTULO 2: Marco Teórico
2.1 - Introducción
En este trabajo adoptamos como referencial teórico la Teoría Antropológica de lo
Didáctico (TAD) (Chevallard, 1999). Esta teoría considera como objeto de estudio e
investigación, no sólo las actividades de enseñanza y aprendizaje en el aula, sino todo el
proceso que va desde la creación y utilización del saber matemático hasta su
incorporación en las instituciones de enseñanza como saber enseñado (Corica, A.,
Otero, R., 2012).
Desde esta teoría se plantea una redefinición del modelo de enseñanza tradicional y de
la pedagogía dominante en la cual la matemática se presenta como un conjunto de obras
ya hechas, terminadas y cerradas, incuestionables, a las que a lo sumo se puede visitar,
produciéndose un fenómeno que se denomina monumentalización del saber. Como
consecuencia de este paradigma tradicional y aplicacionista, se produce el fenómeno
denominado: pérdida de sentido de las cuestiones matemáticas que se estudian o se
proponen explícita o implícitamente en una institución. Para enfrentar estos fenómenos
la TAD propone la utilización de dispositivos didácticos llamados, inicialmente,
actividades de estudio e investigación (AEI) y más adelante, recorridos de estudio e
investigación (REI) (Chevallard, 2004, 2005, 2007, 2009), permitiendo instalar
elementos de la Pedagogía de la Investigación y Cuestionamiento del Mundo (PICM).
Este nuevo paradigma de interrogar al mundo es clave para superar el paradigma clásico
de visitar los saberes (Chevallard, 2012, 2013).
Uno de los principios fundamentales de la TAD alude a que toda actividad humana
regularmente realizada puede describirse con un modelo único, denominado praxeología
(Chevallard, 1999). La noción de praxeología u organización matemática constituye la
herramienta fundamental para modelizar cualquier actividad matemática, y consta de
dos niveles:
– El nivel de la praxis o del saber hacer, que engloba un cierto tipo de tareas y
cuestiones que se estudian, así como las técnicas para resolverlos.
– El nivel del logos o del saber, en el que se sitúan los discursos que describen, explican
y justifican las técnicas que se utilizan, los cuales reciben el nombre de tecnología.
Dentro del saber se postula un segundo nivel de descripción–explicación–justificación
(esto es, el nivel tecnología de la tecnología) que se denomina teoría.
15
Según Chevallard (1999), dada una noción de estudio matemático, es necesario
considerar:
- La realidad matemática que puede construirse en una clase de matemáticas donde se
estudia el tema. Esto es, las tareas de concepción y organización de mecanismos de
estudio y la gestión del medio ambiente (Praxeología matemática u Organización
matemática).
- La manera en que puede ser construida esa realidad matemática, es decir la forma
como puede realizarse el estudio del tema. Esto es, las tareas de ayuda al estudio,
particularmente la dirección de estudio y enseñanza, cuyo cumplimiento es debido a la
puesta en ejecución de técnicas didácticas determinadas (Organización didáctica).
2.2 - La Organización Matemática
Una organización matemática (OM) está determinada por uno o varios tipos de
problemas o tareas matemáticas que conducen a la creación de técnicas que permiten
resolver los tipos de problemas o discursos, que se justifican por tecnologías
matemáticas desarrolladas en el marco de una teoría matemática.
Para representar una OM, la TAD utiliza una notación específica, esto es: sea 𝑇 un tipo
de tareas dado, una praxeología relativa a 𝑇 requiere una manera de realizar las
tareas 𝑡 ∈ 𝑇, a esa manera de hacer �̂� se le da el nombre de técnica. Se entiende por
tecnología (𝜃) al discurso racional sobre la técnica �̂�. En cuanto a la teoría (Θ), ésta
ejerce sobre la tecnología, el papel que esta última tiene respecto a la técnica.
Así, una praxeología relativa a un único tipo de tareas 𝑇 queda representada por el
sistema [𝑇, �̂�, 𝜃, Θ] en el que se distinguen el bloque práctico-técnico [𝑇, �̂�] o bloque del
saber-hacer y el bloque tecnológico-teórico [𝜃, Θ], o del saber.
Los elementos tipo de tarea, técnica, tecnología y teoría imprescindibles para construir
cualquier praxeología son relativos:
• A la institución de referencia: por ejemplo, lo que es considerado un tipo de
tarea en una institución, puede no serlo en otra. Lo mismo ocurre con las técnicas,
tecnologías y teorías.
• A la función que cumplen en una actividad matemática: así, una técnica para
realizar un tipo de tarea puede constituir a su vez una tecnología para realizar otro
conjunto de tareas y técnicas.
Además, Chevallard (1999) distingue distintos tipos de OM, según el grado de
complejidad de sus componentes y son relativas a la institución considerada:
16
- Praxeología puntual (OMP) [𝑇, �̂�, 𝜃, Θ]: está generada por lo que se considera en la
institución como un único tipo de tarea 𝑇. Una OMP es relativa a la institución
considerada.
- Praxeología local (OML) [𝑇𝑖 , �̂�𝑖, 𝜃, Θ]: se define a partir de la integración de diversas
praxeologías puntuales. Una OML se centra en una tecnología 𝜃, que sirve para
justificar, explicar, relacionar entre sí y producir técnicas de todas las praxeologías
puntuales que la integran.
- Praxeología regional (OMR) [𝑇𝑖𝑗 , �̂�𝑖𝑗 , 𝜃𝑗 , Θ]: se obtiene de la coordinación, articulación
e integración de diversas praxeologías locales, alrededor de una teoría matemática Θ. La
reconstrucción de esta teoría dentro de la institución requiere la elaboración de un
lenguaje común que permita describir, interpretar, relacionar, justificar y producir las
diferentes tecnologías de las praxeologías locales que integran la praxeología regional.
- Praxeología global (OMG) [𝑇𝑖𝑗𝑘, �̂�𝑖𝑗𝑘, 𝜃𝑗𝑘 , Θ𝑘]: determinada por la integración de
varias organizaciones regionales correspondientes a diferentes teorías Θ𝑘.
2.3 - Las Organizaciones Didácticas
Las Organizaciones Didácticas (OD) son el resultado de un trabajo complejo y
continuado que se lleva a cabo durante largo tiempo en las instituciones, cuya dinámica
de funcionamiento incluye a ciertas relaciones invariables que es posible modelizar.
Así, una OD está formada por tareas de ayuda al estudio, en especial la dirección de
estudio y enseñanza, técnicas, tecnologías y teorías didácticas que las explican y
justifican. Tales técnicas son puestas en ejecución para asegurar el cumplimiento del
estudio y enseñanza de la OM. Por ejemplo: dado un tema de estudio matemático, se
considera la realidad matemática que puede construirse en una clase donde se estudia el
tema teoría de la probabilidad y la manera en que puede realizarse el estudio de ese
tema. La “realidad matemática” conforma una OM y la “manera en que” se realiza el
estudio, indica una OD.
2.4 - Paradigma de la investigación y del cuestionamiento del mundo
La actividad matemática forma parte del conjunto de actividades humanas, es decir, es
un producto de la cultura y de la necesidad humana para resolver y responder cuestiones
vitales. Para la TAD, cuando la matemática se presenta como un conjunto de saberes
incuestionables se produce el fenómeno didáctico que Chevallard (2004, 2007) ha
17
descripto metafóricamente como monumentalización del saber. Tomando en cuenta este
fenómeno la TAD proporciona un conjunto de instrumentos teóricos para analizar la
actividad matemática escolar y modificarla en un paradigma, aún emergente, llamado de
la Investigación y del Cuestionamiento del Mundo (PICM). Este paradigma permite
enfrentar el fenómeno de la monumentalización del saber, aunque con algunas
limitaciones pues las instituciones escolares no poseen aún una infraestructura adecuada
para la incorporación de esta nueva pedagogía. La misma pretende formar ciudadanos
autónomos y críticos capaces de ejercer el derecho de preguntar, de conocer hacia el
futuro, de permitirse no saber aunque sea de su propia disciplina, de enfrentarse a
cualquier pregunta aunque jamás la hayan escuchado, de encontrarse o reencontrarse
con obras de la cultura que permitan arribar a una respuesta, de decidir con la ayuda de
qué medios construir una respuesta y en caso de creer encontrarla, discutir y difundir su
respuesta (Chevallard, 2012, 2013a).
Al respecto, existen algunas investigaciones que analizan la ecología del nuevo
paradigma en la escuela secundaria y en menor grado en el nivel universitario, en las
que se describen algunos intentos para llevar a cabo cualesquiera de estos gestos de la
PICM (Otero, R., Fanaro, M. & Llanos, V., 2013).
Las Actividades de Estudio e Investigación (AEI) y los Recorridos de Estudio e
Investigación (REI) son dispositivos didácticos que permiten enfrentar la
monumentalización y desarrollar la Pedagogía de la investigación en el aula. Estos se
generan a partir del estudio de respuestas a cuestiones “vivas” y “fecundas”, cuestiones
que, para ser respondidas, requieren la construcción de toda una secuencia de
organizaciones completas y articuladas. (Llanos, Otero & Bilbao, 2011).
El dispositivo denominado AEI introduce la razón de ser de la Organización
Matemática Local (OML) que se quiere construir a partir del estudio de una cuestión a
la que se tiene que dar respuesta (Chevallard, 2004). Toda AEI surge de una cuestión
inicial, denominada generatriz, Q0 que permite hacer surgir un tipo de problemas y una
técnica de resolución, así como una tecnología apropiada para justificar y comprender
mejor la actividad matemática que se está desarrollando (Chevallard, 2005). Las AEI
tienen una estructura cuaternaria y están integradas por: las cuestiones, los ejercicios,
una síntesis, que a su vez genera nuevas cuestiones y los controles, que operan tanto en
el análisis a priori como durante su implementación.
18
Puesto que las AEI no resuelven satisfactoriamente el problema de la
monumentalización, Chevallard ha profundizado y generalizado dicha noción con la de
Recorridos de Estudio y de Investigación (REI).
La TAD crea los REI como dispositivos didácticos que permitirían redefinir los
programas de estudios en términos de pares de preguntas y respuestas (Q, R). Las
preguntas tienen la particularidad de poseer la razón de ser del estudio y recuperar el
sentido que dio origen a ese saber. De esta manera se rompe con el paradigma escolar
dominante, centrado en la “visita de obras” y se intenta desarrollar un nuevo paradigma
de “interrogar al mundo”. El estudio e investigación generados para responder la
pregunta Q y encontrar una respuesta R debe tener en cuenta tres principios
fundamentales:
Organizar la investigación alrededor de la pregunta generatriz.
Organizar la investigación en función de cinco gestos de base, que representan
tipos de tareas tales como:
- Observar las respuestas existentes R◊.
- Analizar esas respuestas R◊.
- Evaluar las mismas respuestas R◊.
- Desarrollar una nueva respuesta R♥.
- Difundir-defender la respuesta R♥
producida.
Pilotear el REI regulando las dialécticas.
2.5 - Modelo Praxeológico de Referencia
La formulación de un problema didáctico en el campo de la educación matemática
conlleva a la definición de un modelo de referencia didáctico, que ocupa un lugar clave
en la reconstrucción del campo de investigación educativa (Chevallard, 2012a, 2013b).
La TAD postula que explicitar dicho modelo es imprescindible para poder formular el
problema didáctico como un auténtico problema científico. La citadaexplicitación
constituye el núcleo de la respuesta que se propone respecto a una dimensión básica del
problema didáctico que se denomina “dimensión epistemológica del problema”
(Gascón, 2011) y se materializa en un Modelo Praxeológico de Referencia (MPR).
De esta forma, este modelo implica, por un lado, un modelo praxeológico de referencia
que modela el ámbito educativo en cuestión, y por otro un modelo pedagógico de
referencia que se denomina pedagogía de la investigación.
19
En palabras de Serrano (2013) “este modelo tendría que tomar la forma de una
arborescencia de praxeologías y de cuestiones problemáticas a las cuales estas
praxeologías aportan una respuesta (parcial y progresiva)” (p. 34). De lo anterior se
desprende que las praxeologías se van ampliando y generando posibles respuestas a
nuevas cuestiones problemáticas. Cuando una técnica se vuelve obsoleta o muy costosa
para resolver ciertas tareas, entonces emergen otras técnicas justificadas por un nuevo
bloque tecnológico-teórico.
El MPR es de carácter provisorio y sirve como instrumento para deconstruir y
reconstruir las praxeologías que se pretende analizar. Es decir, estos modelos
constituyen una hipótesis de trabajo y por lo tanto deben ser revisados y contrastados
constantemente. El didacta debe reflexionar y realizar su propia descripción del saber
matemático, cuando se enfrenta a problemas que involucran un contenido matemático
específico y justificar por qué serán estudiados ciertos objetos matemáticos y otros no lo
serán.
Luego, el MPR se encuentra estrechamente relacionado con lo que se entiende por
enseñar y aprender matemática en una cierta institución, independientemente de la
realización o no de un REI. Así, al profundizar en el análisis praxeológico de una obra
se conduce a la enunciación de las preguntas didácticas acerca de su génesis
institucional, y sobre las transposiciones sucesivas que lo han afectado (Corica, A. &
Otero, R., 2013).
En síntesis, este modelo consiste en la identificación, análisis y descripción de las obras
matemáticas o extra-matemáticas que podrían estudiarse al abordar la búsqueda de
respuestas a la pregunta generatriz. La construcción y análisis del MPR se encuadra en
el nuevo paradigma de la pedagogía de la investigación y del cuestionamiento del
mundo cuyo objetivo primordial es establecer una relación más funcional con el saber
(Chevallard, 2013).
En el siguiente capítulo, presentamos el diseño de un Modelo Praxeológico de
Referencia en torno al estudio de la pregunta generatriz Q0: ¿Cómo modelar la realidad
cuando interviene el azar?
20
Capítulo 3
Modelo Praxeológico de Referencia
21
CAPÍTULO 3: Modelo Praxeológico de Referencia
3.1 - Introducción
En este capítulo describiremos las características esenciales de un Modelo Praxeológico
de Referencia (MPR), que considera los posibles recorridos que se pueden generar a
partir de la pregunta Q0: ¿Cómo modelar la realidad cuando interviene el azar? Así, la
estructura del MPR se constituye en una red de praxeologías matemáticas cuya
dinámica comporta ampliaciones y contribuciones progresivas, es decir a partir de Q0 se
desarrolla una red de praxeologías cuyo estudio responde a ciertas preguntas y que a su
vez generan otras nuevas preguntas. De lo anterior se desprende, que las praxeologías se
van ampliando generando posibles respuestas a nuevas cuestiones problemáticas
relacionadas con la evolución de la teoría de la probabilidad.
Es importante subrayar que este MPR debe considerarse como una hipótesis provisional
a contrastar experimentalmente y, por lo tanto, susceptible de ser modificado y revisado
constantemente.
Luego, tomando en cuenta que la TAD establece que la actividad matemática es una
actividad humana institucionalizada, el MPR y la pregunta generatriz que se quiere
responder, se elabora en relación a una institución determinada a fin de establecer los
medios disponibles con los que se cuenta para la elaboración de las respuestas a las
preguntas planteadas (Serrano, 2013).
3.2- Descripción de la institución de referencia y del curso
La institución de referencia donde se encuentra enmarcado el MPR es la Universidad
Nacional del Sur (UNS), que es una universidad pública, con organización
departamental y se encuentra ubicada en la ciudad de Bahía Blanca, provincia de
Buenos Aires. Los cursos se desarrollan en forma cuatrimestral, de marzo a junio y de
agosto a noviembre. En particular, los cursos de matemática poseen la modalidad teoría-
práctica en la cual el profesor dicta la clase teórica y uno o más asistentes son los
encargados en el momento de la práctica. Esta institución se caracteriza por una visión
monumentalista de la enseñanza de la matemática.
El curso que se plantea como ámbito de desarrollo del MPR, y posible escenario de la
implementación de un dispositivo didáctico, corresponde a la cátedra Estocástica que
forma parte del tercer año en el plan de estudio del Profesorado en Matemática y
pertenece al Departamento de Matemática. El espacio curricular de esta materia se
22
compone de tres ejes fundamentales: Teoría de la Probabilidad, Modelos probabilísticos
uni y multi dimensionales y Estadística descriptiva e inferencial. A continuación, se
detalla el programa analítico completo (Figura 1).
Figura 1: Programa completo de la materia Estocástica
El objetivo primordial de este curso es proporcionar una introducción temprana a las
ideas básicas de la Teoría de Probabilidades y de la Estadística.
23
3.3 – Análisis de la pregunta generatriz y sus derivadas
A continuación, detallamos un análisis de la pregunta generatriz que inicia el estudio e
investigación de parte del programa anteriormente detallado. La pregunta se centra en el
modelado de la realidad cuando interviene el azar, puntapié inicial de donde se
desprenden los principios de la probabilidad. Se trata de una hipótesis científica
creativa, estrechamente relacionada con lo que implica enseñar y aprender probabilidad
en una institución de nivel superior. La cual es plausible de ser contrastada
experimentalmente y por lo tanto susceptible de ser modificada. La descripción de un
MPR suele hacerse mediante una red de preguntas y respuestas, las que tienen estructura
praxeológica (Fonseca, Gascón & Olivera, 2014).
El MPR elaborado en torno a la organización matemática local (OML) teoría de
probabilidad, se vincula con 16 organizaciones matemáticas puntuales (OMP) que son
necesarias para dar respuesta a la pregunta generatriz Q0: ¿Cómo modelar la realidad
cuando interviene el azar?
En el análisis de la pregunta generatriz Q0 y ante la búsqueda de respuestas a ella,
surgen nuevas preguntas como, por ejemplo: ¿Qué significa modelar la realidad? y
¿Qué significa que intervenga el azar?
Estas preguntas requieren recorrer diferentes OMP, es decir, un conjunto de tareas,
técnicas, definiciones, propiedades que permiten describir y justificar el trabajo
realizado en la búsqueda de una respuesta apropiada. Es por ello que la pregunta
generatriz planteada es considerada en sentido fuerte, pues se trata de una pregunta que
debe ser estudiada, no pudiendo ser respondida inmediatamente.
Al ahondar en el estudio respecto a ¿Qué significa que intervenga el azar? se desprende
una pregunta clave: ¿Qué fenómeno está asociado con el azar? De allí surgen
cuestiones relacionadas con la aleatoriedad que conduce a nuevas preguntas tales como
¿Qué tipos de experimentos podemos encontrar?, ¿Cuál es el conjunto, o subconjunto,
de los resultados de un experimento aleatorio?, de esta última pregunta se pueden
derivar dos cuestiones distintas y complementarias a la vez: ¿Cómo modelar sucesivas
repeticiones de un experimento aleatorio? y ¿Cómo operar con estos subconjuntos?
Luego, al introducirnos en cuestiones relacionadas con el azar y la cuantificación de la
incertidumbre que éste conlleva, se podría derivar en la pregunta ¿Cómo se puede medir
la incertidumbre del azar o la aleatoriedad? Al hablar de la medida de la incertidumbre
surge la pregunta ¿Qué se entiende por probabilidad? y podrían generarse otras, tales
24
como: ¿Qué tipos de significado de la probabilidad podemos encontrar? ¿Qué es la
probabilidad subjetiva?, ¿Qué es la probabilidad objetiva? y ¿Cómo se puede calcular
la probabilidad?
En síntesis, la búsqueda de respuestas a la pregunta generatriz y sus derivadas conduce
al estudio de diferentes OMP en las que se vincula el estudio experimental, funcional y
algebraico. Esta característica es de vital importancia porque evita lo que usualmente
ocurre en la escuela secundaria, que es el estudio aislado de organizaciones matemáticas
(Gascón, 2002).
En el proceso de estudio las preguntas antes mencionadas no necesariamente tienen el
orden expuesto, pudiendo surgir en cualquier momento, o no, dependiendo del recorrido
de estudio realizado por los estudiantes.
Algunas preguntas que se pueden generar a partir de Q0 son:
Q1,1: ¿Qué significa modelar la realidad?
Q1,2: ¿Qué implicancias tiene que intervenga el azar?
Q1,3: ¿Cómo se puede medir la incertidumbre del azar o la aleatoriedad?
Q1,4: ¿Cómo se define la noción de probabilidad?
Q2,1: ¿Qué fenómeno está asociado con el azar?
Q2,2: ¿Qué tipos de experimentos podemos encontrar?
Q2,3: ¿Cómo podemos clasificar a la probabilidad?
Q2,4: ¿Cómo se puede calcular la probabilidad?
Q3,1: ¿Cómo modelar sucesivas repeticiones de un experimento aleatorio?
Q3.2: ¿Cuál es el conjunto, o subconjunto, de los resultados de un experimento
aleatorio?
Q3,3: ¿Qué es la probabilidad subjetiva?
Q3,4: ¿Qué es la probabilidad objetiva?
Q3,5: ¿Qué es la probabilidad empírica?
Q3,6: ¿Qué es la probabilidad teórica?
Q4,1: ¿Cómo operar con los subconjuntos “sucesos aleatorios”?
Q4,2: ¿Cómo se define la noción de probabilidad clásica??
Q4,3: ¿Cuáles son los axiomas de la probabilidad?
La búsqueda de respuestas a estas preguntas, conducen a la construcción o
reconstrucción de las siguientes OMP:
OMP1: Experimentos Aleatorios y Deterministas
25
OMP2: Espacio muestral y suceso aleatorio
OMP3: Álgebra de sucesos: unión, intersección, complemento y diferencia
OMP4: Propiedades algebraicas de los sucesos aleatorios
OMP5: Noción de Probabilidad
OMP6: Significados de la probabilidad
OMP7: Probabilidad empírica
OMP8: Probabilidad teórica
OMP9: Ley de los Grandes Números
OMP10: Límites al infinito
OMP11: Regla de Laplace
OMP12: Axiomática de Kolmogórov
OMP13: Regla de multiplicación en sucesos compuestos
OMP14: Cálculo Combinatorio
OMP15: Modelos probabilísticos
OMP16: Modelo Matemático: representación de la realidad
En los siguientes esquemas se detallan la arborescencia de las preguntas derivadas y las
posibles organizaciones matemáticas a construir o reconstruir en el recorrido que se
inicia con el estudio de Q0 (Figura 2 y Figura 3):
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28
En el intento de responder la pregunta generatriz, una de las cuestiones derivadas que
surgen es Q1, 1: ¿Qué significa modelar la realidad? Una posible respuesta podrá ser
que las matemáticas ofrecen las herramientas para la construcción de un puente tal que
le permita al científico estudiar un fenómeno de la realidad desde el mundo conceptual.
Bajo la lente de las matemáticas, el fenómeno físico bajo estudio puede ser descripto en
términos matemáticos (por ejemplo, ecuaciones), y esta descripción podrá ser empleada
a su vez como un mapa que permita encontrar una explicación (cuantitativa o
cualitativa) de los resultados observados, y la predicción de determinados
comportamientos. A esta representación de la realidad en términos matemáticos se le
conoce, como es de suponerse, como modelo matemático. De esta manera, un modelo
matemático que capture con suficiente fidelidad la realidad sirve a las ciencias fácticas
para el análisis de las observaciones realizadas del mundo externo, y mediante la
predicción de comportamientos, para el diseño de experimentos. En síntesis, el estudio
del modelado matemático exige abordar la praxeología OMP16: Modelo Matemático:
representación de la realidad. El tipo de tarea que constituye dicha OM es la T16:
Estudiar modelos matemáticos para representar la realidad.
Este estudio puede conducir a otro cuestionamiento ¿qué sucede con ese modelo si le
incorporamos el azar? que llevaría a la pregunta derivada Q1, 2: ¿Qué implicancias tiene
que intervenga el azar? El origen etimológico de la palabra azar es árabe (zahr) y su
significado originario es flor. Luego pasó a designar la marca que daba la suerte en el
juego de la taba, antecesor del dado, pasando a significar dado, cuyo valor máximo (seis
puntos) era representado por una flor (azahar). De allí derivó el significado de azar
como hoy lo conocemos: suerte, probabilidad, fortuna, imprevisibilidad o casualidad.
Luego se puede derivar en otra pregunta, como Q2, 1: ¿Qué fenómeno está asociado con
el azar? La incertidumbre humana lleva, en una dirección, al descubrimiento del azar,
por ejemplo: “el azar estuvo de nuestro lado y el sorteo nos favoreció” o “este es un
juego de azar donde la capacidad del participante no influye”. El concepto de azar es
analizado en diversas ciencias y disciplinas y por lo general se lo asocia a la idea de
aleatoriedad: aquello cuyo resultado no puede ser predicho. En otras palabras, el
resultado de un proceso aleatorio no se puede determinar antes de que se produzca ya
que interviene el azar. Esto nos abre la puerta a otra pregunta Q2, 2: ¿Qué tipos de
experimentos podemos encontrar? Para esbozar una respuesta imaginemos la siguiente
situación, tenemos una moneda equilibrada y la arrojamos, ¿sabremos de antemano si
saldrá cara o cruz? En este caso tenemos un experimento sencillo: arrojar una moneda y
29
como tras la realización del mismo se puede dar más de un resultado, decimos que se
trata de un experimento aleatorio. Si por el contrario supiéramos el resultado del
experimento de antemano, diríamos que se trata de un experimento determinista. Por
ejemplo, si tomamos la moneda y la dejamos caer libremente desde nuestra mano ¿cuál
es la única situación que podríamos asegurar que va a suceder? Aquí no hay posibilidad
de resultados diferentes, sólo uno: la moneda caerá al suelo por el efecto de la Ley de
Gravedad. Este estudio experimental conduce a la construcción de la praxeología
matemática relacionada con los experimentos aleatorios y deterministas que definimos
como OMP1: Experimentos Aleatorios y Deterministas. El tipo de tarea que constituye
dicha OM es T1: Estudiar experimentos deterministas y aleatorios.
Así pues, podemos decir que la gran diferencia entre un experimento aleatorio y uno
determinista, es que el primero puede dar lugar a diferentes resultados, y no podemos
predecir cuál de ellos será el que ocurra como, por ejemplo, extraer una carta de una
baraja, lanzar una moneda, tirar un dado, entre otros; mientras que en el segundo sólo
tenemos una posibilidad, y ésa es la que ocurrirá.
Investigar las posibles soluciones de un experimento aleatorio nos conduce a la
pregunta: Q3,2: ¿Cuál es el conjunto, o subconjunto, de los resultados de un
experimento aleatorio?
Para dar respuesta a esta cuestión podemos pensar en un experimento simple que
consiste en sacar una carta de una baraja española de 40 cartas, luego el experimento
está compuesto por 40 posibilidades. Así, definiremos al conjunto de todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio como el espacio muestral, que se denota con Ω,
y llamaremos suceso a ciertos subconjuntos del espacio muestral de un experimento
dado. Luego, el espacio muestral de una baraja española está compuesto por todos los
posibles resultados elementales de un experimento. Además si sacamos una carta al azar
de dicha baraja, ésta tiene la misma posibilidad que las otras 39 de ser seleccionada, por
ello se dice que es un experimento regular o equiprobable1.
Además, podemos distinguir entre:
- Suceso seguro: es aquel que siempre sucede en un experimento, por ejemplo, el
suceso seguro es el mismo espacio muestral Ω.
1 Un espacio muestral es equiprobable si todos los elementos que lo conforman tienen igual oportunidad
de ser elegidos y, en consecuencia, tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
30
- Suceso imposible: es aquel que no puede suceder. Por ejemplo ¿cuál es la
posibilidad de que al lanzar una moneda obtengamos el número dos? Este tipo de suceso
se representa con ∅ y representa al conjunto vacío.
- Suceso elemental: cada subconjunto formado por un sólo elemento del espacio
muestral Ω.
Por último, en un experimento aleatorio hay sucesos que pueden ocurrir a la vez y
sucesos que no. Esto es:
• Dos sucesos A y B se dicen compatibles si tienen algún suceso elemental
común. En este caso A∩B≠Ø, pueden ocurrir a la vez. Por ejemplo, en el experimento
de extraer una carta del mazo de 40 cartas el sucesos Cartas de Copas y Cartas Pares son
compatibles pues el suceso cartas de copa es CC= {Copas
(1,2,3,4,5,6,7,sota,caballo,rey)} y el suceso cartas pares: CP = {Oros (2,4,6,sota,rey);
Bastos (2,4,6,sota,rey); Espadas(2,4,6,sota,rey); Copas (2,4,6,sota,rey)} a la vez,
entonces CC∩CP ≠Ø pues en su intersección obtenemos el suceso compuesto por:
{Copas (2,4,6,sota,rey)}.
• Dos sucesos A y B se dicen incompatibles si no tienen ningún suceso elemental
común, en este caso A∩B=Ø y no pueden ocurrir a la vez. Siguiendo el experimento
relacionado con la extracción de cartas, no podemos extraer una carta que sea de copa y
de oro en forma simultánea.
Observemos que un suceso y su contrario son siempre incompatibles, pero dos sucesos
incompatibles no siempre son contrarios. Este estudio conduce a la construcción de la
praxeología matemática relacionada con el espacio muestral y los sucesos aleatorios que
definimos como OMP2: Espacio muestral y suceso aleatorio. El tipo de tarea que
constituye dicha OM es la T2: Establecer el espacio muestral y suceso aleatorio.
El estudio acerca de Q4,1: ¿Cómo operar con los subconjuntos “sucesos aleatorios”?
requiere abordar las praxeologías matemáticas relacionada con el álgebra de los sucesos
aleatorios que hemos definido como OMP3: Álgebra de sucesos: unión, intersección,
complemento y diferencia. El tipo de tarea que constituye dicha OM es la T3: Calcular
la unión, intersección, complemento y diferencia de sucesos aleatorios.
Entonces, de igual forma que operamos con los números (los sumamos, restamos,
multiplicamos, etc.) podemos realizar operaciones con los sucesos de un experimento
aleatorio, que son conjuntos.
Dados dos sucesos A y B:
31
La unión de A y B, AUB, es el suceso formado por todos los sucesos elementales de
A y de B. Ocurre cuando sucede A o sucede B o ambos.
La intersección, A∩B, es el suceso formado por los sucesos elementales comunes a
A y B. Se verifica cuando ocurren A y B a la vez.
La diferencia de A y B, A-B, es el suceso formado por los sucesos elementales de A
que no están en B. Ocurre si sucede A, pero no B.
El suceso complementario a uno dado A, está formado por todos los sucesos del
espacio muestral que no están en A. Es el que ocurre cuando no sucede A y se indica
Ā. El suceso opuesto del seguro es el suceso imposible, que no se verifica nunca y se
indica con Ø.
El estudio de las propiedades más utilizadas requiere la realización de tareas que se
fundamentan en la OMP4: Propiedades algebraicas de los sucesos aleatorios. El tipo de
32
tarea que constituye dicha OM es la T4: Demostrar las propiedades algebraicas de los
sucesos aleatorios.
Luego, teniendo en cuenta que el suceso Ω es el suceso seguro, que ∅ es el suceso
imposible, que A, B y C son tres sucesos cualesquiera, subconjuntos del espacio
muestral y que �̅� es el suceso contrario o complementario del suceso 𝐴, se verifican las
siguientes propiedades:
Unión: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 𝐴 ∪ Ω = Ω 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 𝐴 ∪ �̅� = Ω
Intersección: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 𝐴 ∩ Ω = 𝐴 𝐴 ∩ ∅ = ∅ 𝐴 ∩ �̅� = ∅
Diferencia: 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ �̅�
Leyes de Morgan: (𝐴 ∪ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) = �̅� ∩ �̅� (𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) = �̅� ∪ �̅�
Otras propiedades: 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
Ahora bien, recapitulando, al realizar un experimento aleatorio, no hay seguridad sobre
el resultado que obtendremos: en otras palabras, hay incertidumbre, lo que nos puede
llevar a la siguiente pregunta Q1,3: ¿Cómo se puede medir la incertidumbre del azar o la
aleatoriedad? Pues bien, utilizaremos para “medir” esa aleatoriedad o incertidumbre, un
número que asociaremos a cada suceso, y llamaremos probabilidad que nos conduce a la
cuestión Q1,4: ¿Cómo se define la noción de probabilidad? Para dar una respuesta
pensemos en el siguiente experimento, si elegimos una carta al azar de entre las de la
baraja del mus (ver ANEXO), no sabríamos predecir con seguridad qué carta saldrá.
Aunque como sabemos que hay más ases que sietes, sería lógico pensar que tiene más
posibilidades de salir un as que un siete. Por eso diremos que, tras el experimento, el
suceso aleatorio “la carta es un as” tiene más posibilidades de darse que el otro suceso
“la carta es un siete”. Resumiendo, la idea de probabilidad surge por la necesidad de
medir la incertidumbre o verosimilitud que posee cada suceso asociado a un
experimento aleatorio. Este estudio experimental conduce a la construcción de la
praxeología matemática relacionada con la noción de probabilidad que hemos
denominado como OMP5: Noción de Probabilidad. El tipo de tarea que constituye dicha
OM es la T5: Estudiar la noción de probabilidad.
Además, nos preguntamos Q2,3: ¿Cómo podemos clasificar a la probabilidad? Existen
dos grandes vertientes que dan respuesta a esta pregunta, podemos determinar la
probabilidad en forma subjetiva u objetiva. Este estudio conduce al ingreso de la
33
praxeología matemática relacionada con los distintos significados de la probabilidad que
hemos denominado como OMP6: Significados de la probabilidad. El tipo de tarea que
constituye dicha OM es la T6: Analizar los significados de la probabilidad.
Luego, la probabilidad subjetiva es aquella que se basa en la experiencia individual. La
persona evalúa las posibilidades y asigna los valores de acuerdo a los hechos previos
que conoce. En este caso, la estimación de la ocurrencia del evento se basa en la
intuición o en la opinión, generalmente derivadas de experiencias previas. El individuo
analiza la información que dispone y otorga un valor de probabilidad al evento según su
nivel de creencia acerca de que el evento efectivamente ocurra. Por ejemplo, es habitual
que alguien recurra a la probabilidad subjetiva al referirse al pronóstico del tiempo.
Aquel que no es meteorólogo ni tiene la posibilidad de interpretar información científica
procedente de satélites puede basarse en su propia experiencia para estimar qué tan
probable es que llueva en las siguientes horas. Si expresa “creo que hay un 90% de
posibilidades de que empiece a llover antes del atardecer”, estará apelando a la
probabilidad subjetiva. En definitiva, esta probabilidad es una manera de cuantificar la
probabilidad de ocurrencia de un suceso a partir de factores individuales de
ponderación. Este recurso puede resultar útil cuando no existe otro modo de cuantificar
que sea más confiable. Esta argumentación constituye una primera respuesta a la
pregunta Q3,3: ¿Qué es la probabilidad subjetiva?
Luego, este análisis podría derivar en la pregunta Q3,4: ¿Qué es la probabilidad
objetiva? Una posible respuesta a ella es que la probabilidad objetiva la podemos
establecer siguiendo dos ramas, distintas y complementarias a la vez, la probabilidad
empírica y la probabilidad teórica.
Una manera sencilla de obtener la probabilidad de un suceso aleatorio es a través de la
tabla de frecuencias relativas de ese experimento. A esa probabilidad la llamamos
probabilidad empírica o concepto frecuentista de probabilidad, porque se obtiene una
vez realizado el experimento. Supongamos por ejemplo que vamos sacando, una a una,
200 cartas de la baraja del mus y las vamos dejando otra vez en la baraja después de
observarlas. Así, obtenemos la siguiente tabla de frecuencias relativas para este
experimento (Tabla 1):
Carta Frecuencia Relativa
As 38
200
34
Cuatro 17
200
Cinco 21
200
Seis 24
200
Siete 21
200
Sota 23
200
Caballo 18
200
Rey 38
200
Tabla 1: Distribución de frecuencias relativas
A partir de esta tabla, podríamos decir que, si sacamos una carta al azar de la baraja del
mus tenemos que la probabilidad de que sea As es 38
200, es decir la
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝐴𝑠) =38
200 .
Esto significa que tenemos 38 posibilidades de sacar una carta que sea un As entre las
200 cartas del mus. Siguiendo este razonamiento podemos establecer la probabilidad
para cada uno de los diferentes naipes de la siguiente manera:
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝐶𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜) =17
200
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝐶𝑖𝑛𝑐𝑜) =21
200
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑆𝑒𝑖𝑠) =24
200
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑆𝑖𝑒𝑡𝑒) =21
200
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑆𝑜𝑡𝑎) =23
200
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝐶𝑎𝑏𝑎𝑙𝑙𝑜) =18
200
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑅𝑒𝑦) =38
200
Imaginemos ahora que llevamos a cabo 1000 extracciones, y obtenemos las siguientes
frecuencias relativas (Tabla 2):
Carta Frecuencia Relativa
As 192
1000
Cuatro 111
1000
Cinco 109
1000
35
Seis 85
1000
Siete 87
1000
Sota 116
1000
Caballo 91
1000
Rey 209
1000
Tabla 2: Distribución de frecuencias relativas
A partir de esta tabla, podríamos decir que, si sacamos una carta al azar de la baraja del
mus, obtendremos cada uno de los diferentes naipes con las siguientes nuevas
probabilidades:
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝐴𝑠) =192
1000
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝐶𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜) =111
1000
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝐶𝑖𝑛𝑐𝑜) =109
1000
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑆𝑒𝑖𝑠) =85
1000
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑆𝑖𝑒𝑡𝑒) =87
1000
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑆𝑜𝑡𝑎) =116
1000
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝐶𝑎𝑏𝑎𝑙𝑙𝑜) =91
1000
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑅𝑒𝑦) =209
1000
A la vista de estas probabilidades, y una vez comprendido que la probabilidad es un
número que asignamos a los sucesos aleatorios para medir la frecuencia con la que se
dan, podríamos decir que el suceso “la carta elegida es un rey” es más probable, es
decir, que tiene más posibilidades de darse, que el suceso “la carta elegida es un siete”,
dado que
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑅𝑒𝑦) > 𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑆𝑖𝑒𝑡𝑒).
Este método para asignar probabilidades exige abordar el estudio de la praxeología
matemática que definimos como OMP7: Probabilidad empírica. El tipo de tarea que
constituye dicha OM es la T7: Estudiar la probabilidad empírica.
Siguiendo en este camino, nos introducimos en la Ley de los Grandes Números donde
se postula que la frecuencia relativa de un suceso, cuando el número de realizaciones
del experimento se va haciendo grande, se aproxima a su verdadera probabilidad.
Cuanto más grande sea el número de repeticiones del experimento, mayor será la
fiabilidad de la probabilidad que obtengamos.
Es decir, en el ejemplo anterior, si en lugar de haber sacado 200 cartas hubiéramos
sacado sólo 100, la fiabilidad de las probabilidades obtenidas para cada suceso, sería
36
menor que la que obtenemos con las 200 extracciones y al revés, si hubiéramos sacado
10.000 cartas, las probabilidades habrían sido más fiables que con las 1.000 cartas que
hemos sacado en el experimento. En cualquier caso, la tabla obtenida tras la realización
de las 1.000 extracciones es más fiable que la obtenida tras sacar 200 cartas.
Ley de los grandes números
Sea A un evento de un espacio muestral Ω. Si repetimos N veces el experimento en
condiciones esencialmente iguales y observamos que el evento A se verifica n veces,
entonces n/N es la frecuencia relativa de A.
Si el número de veces que repetimos el experimento tiende a infinito, entonces, si existe
el límite, será:
P(A) = limN⟶∞
n
N
Luego podemos decir que si N es suficientemente grande P(A) ≈ n/N para todo
A ∈ Ω
Propiedades de la definición empírica
La frecuencia relativa de cualquier suceso es no negativa.
La frecuencia relativa del suceso seguro es siempre 1.
La frecuencia relativa de la unión de dos sucesos incompatibles es la suma de las
frecuencias de ambos.
Así a partir de un acercamiento experimental puede construirse la idea de infinito. El
estudio de dicho límite requiere la utilización de técnicas que se fundamentan en la
OMP10: Límites al infinito. El tipo de tarea que constituye dicha OM es T10: Calcular
límites al infinito.
Este estudio constituye una primera respuesta a la pregunta Q3,5: ¿Qué es la
probabilidad empírica? y conduce a la construcción de la praxeología matemática
relacionada con Ley de los Grandes Números que hemos denominado como OMP9: Ley
de los Grandes Números. El tipo de tarea que constituye dicha OM es T9: Estudiar la ley
de los Grandes Números.
Esto podría dar lugar a la pregunta Q3,6: ¿Qué es la probabilidad teórica? Intentando
dar una respuesta a esta cuestión podríamos reflexionar acerca de lo tedioso que
resultaría asignar probabilidades a partir de las frecuencias relativas, pues sería
necesario realizar el experimento una gran cantidad de veces para conseguir una buena
aproximación de la verdadera probabilidad de un suceso y, aun así, nunca estaríamos
37
seguros de conseguirla. Por esa razón es necesario introducir un método alternativo para
el cálculo de probabilidades que sea más manejable que moviliza la construcción de la
OMP8: Probabilidad teórica. El tipo de tarea que constituye dicha OM es T8: Estudiar la
probabilidad teórica.
En el ejemplo de las cartas, tenemos la baraja de 40 cartas y nos interesa conocer las
diferentes probabilidades de todos los sucesos posibles, por ejemplo ¿cuál es la
probabilidad de que, al sacar una carta de una baraja española, ésta sea una carta par?
En este experimento, como hay cuarenta cartas en total, diremos que existen cuarenta
casos posibles, podemos sacar cuarenta cartas diferentes, y veinte casos favorables
porque el suceso que estamos analizando, sacar una carta par, tiene veinte oportunidades
de darse.
Luego, estos conceptos exigen abordar la praxeología matemática OMP11: Regla de
Laplace. El tipo de tarea que constituye esta OM está relacionada con la T11: Estudiar la
regla de Laplace que nos llevará a de responder a la pregunta Q4,2: ¿Cómo se define la
noción de probabilidad clásica? La noción de probabilidad clásica se encuentra
relacionada con la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades. En ella se postula
que “si todos los sucesos elementales de un experimento son equiprobables, y tenemos
un suceso cualquiera A de dicho experimento, se tiene que la probabilidad de un suceso
A es el cociente entre el número de resultados favorables al suceso y el número de casos
posibles”, que podemos escribirlo como:
𝑃(𝐴) =𝑁° 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝐴
𝑁° 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Entonces, por ejemplo, cómo procedemos para responder la pregunta ¿cuál es la
probabilidad de que saque una carta de copas con número par? Consideramos el
experimento Sacar copas pares y definimos el suceso como: 𝐶𝑃 ={Copas (2, 4, 6, Sota,
Rey)}. Este subconjunto representa las copas pares existentes entre las 40 cartas de la
baraja española. Luego, el número de casos favorables es 𝑁𝑓 = 5 y el número de casos
posibles está dado por las cuarenta cartas, 𝑁𝑝 = 40. Por lo tanto, la 𝑃(𝐶𝑃) =𝑁𝑓=5
𝑁𝑝=40=
0,125.
Este enfoque, denominado enfoque frecuentista, se modeló matemáticamente en el siglo
XX cuando Kolmogorov (1933) formuló la teoría axiomática de la probabilidad. Dicha
teoría define la probabilidad como una función que asigna a cada posible resultado de
un experimento aleatorio un valor no negativo, de forma que se cumpla la propiedad
38
aditiva. La definición axiomática establece las reglas que deben cumplir las
probabilidades, aunque no asigna valores concretos. Estos conceptos exigen abordar la
praxeología matemática, relacionada con la axiomática en la teoría de probabilidad que
hemos denominado OMP12: Axiomática de Kolmogórov. El tipo de tarea que constituye
dicha OM es la T12: Demostrar los axiomas de Kolmogórov. Allí se establece que los
espacios probabilizables son simplemente el par formado por el espacio muestral Ω y la
𝜎-álgebra correspondiente. Luego, una medida de probabilidad (o distribución) 𝑃 de un
experimento aleatorio es una función real definida sobre una 𝜎-álgebra de Ω, A que
verifica los siguientes axiomas:
A1). Para cada suceso 𝐴, su probabilidad es un número entre 0 y 1, es decir,
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1.
A2). 𝑃(Ω) = 1, donde Ω es el suceso seguro.
A3). Si 𝐴 y 𝐵 son dos sucesos incompatibles, se tiene que
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Generalizando, para toda sucesión de eventos disjuntos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 de A se verifica
que:
𝑃 (⋃ 𝐴𝑖
𝑖∈𝐼
) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖)
𝑖∈𝐼
A partir de estos axiomas, podemos deducir una gran cantidad de propiedades que se
verifican al trabajar con la probabilidad, las más importantes son:
1) Si tenemos un conjunto de sucesos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 que son incompatibles dos a dos
(𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, ∀ 𝑖 ≠ 𝑗) se tiene que:
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃( 𝐴2) + … + 𝑃( 𝐴𝑛)
2) 𝑃(∅) = 0.
3) Dados dos sucesos 𝐴 y 𝐵 se tiene que: 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ �̅�) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).
4) Dados dos sucesos 𝐴 y 𝐵 se verifica que: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).
5) Dados dos sucesos 𝐴 y 𝐵 se verifica que: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) ≤ 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).
6) Dados dos sucesos 𝐴 y 𝐵 si 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵).
7) Si denotamos por �̅� al suceso complementario de 𝐴, se tiene que
𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐴).
Este estudio da lugar a responder la pregunta Q4,3: ¿Cuáles son los axiomas de la
probabilidad?
39
Como lo que se busca determinar es la probabilidad de un evento, surge la cuestión
¿Qué criterios debo considerar para poder calcular probabilidades? que conduce a la
pregunta Q2,4: ¿Cómo se puede calcular la probabilidad? Para intentar dar una
respuesta debemos considerar la multiplicidad de casos y dependiendo de ello se ingresa
en el estudio de las praxeologías matemáticas OMP10: Ley de los Grandes Números,
OMP11: Regla de Laplace, OMP12: Axiomática de Kolmogórov, mencionadas
anteriormente. Como también se construyen o reconstruyen las praxeologías
matemáticas OMP13: Regla de multiplicación en sucesos compuestos y/o la OMP14:
Cálculo Combinatorio. El tipo de tarea que constituye dichas OM son T13: Aplicar la
regla de multiplicación en sucesos compuestos y T14: Aplicar el cálculo combinatorio
para contar casos favorables y/o posibles respectivamente.
Por ejemplo, si tomamos el experimento de arrojar la moneda equilibrada, ¿cuál es la
probabilidad de que salga cara?, como hay una opción entre dos que salga cara, esto nos
dice que tengo una posibilidad de sacar cara entre dos opciones, entonces 𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑎) =1
2,
¿y qué salga cruz? Análogamente al razonamiento anterior la 𝑃(𝑐𝑟𝑢𝑧) =1
2 . Ahora, si
lanzamos dos veces la moneda, ¿cuáles son los resultados posibles? En este caso
estamos en presencia de un experimento compuesto que está formado por varios
experimentos simples realizados de forma consecutiva.
Para calcular el espacio muestral de un experimento compuesto conviene, en muchas
ocasiones, hacer un diagrama de árbol que represente todas las opciones donde cada
resultado viene dado por un camino del diagrama. En este caso obtenemos que el
espacio muestral, en este experimento, queda determinado por la posibilidad de obtener,
en el lanzamiento de las dos monedas, dos caras, la combinación de una cara y una cruz
y dos cruces, definido como Ω = {𝐶𝐶, 𝐶+, +𝐶, ++}, donde C y + indican cara y cruz
respectivamente.
Por otra parte, la probabilidad de cada suceso compuesto se obtiene calculando el
producto de los respectivos sucesos simples (cada rama del camino). Entonces, para
calcular la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto se multiplican las
probabilidades de los sucesos simples e independientes que lo forman. A este
procedimiento se lo denomina regla de la multiplicación. Esquemáticamente, podemos
observar cómo se emplea utilizando un diagrama de árbol:
40
Entonces, por ejemplo, si nos interesa saber cuál es la probabilidad de obtener dos caras,
observando el recorrido del diagrama, obtenemos que la probabilidad de obtener cara y
cara es: 𝑃(𝐶𝐶) =1
2⋅
1
2= (
1
2)
2
=1
4 .
Ahora pensemos lo siguiente, se truca una moneda de forma que la probabilidad de salir
cara es doble que la de salir cruz, si se tira al aire ¿cuál es la probabilidad de salir cara?,
¿y cruz? Sea 𝐶 el suceso salir cara y 𝑋 al suceso salir cruz y sabemos que: Ω = {𝐶, 𝑋},
𝑃(𝐶) = 2 ⋅ 𝑃(𝑋) y por el Axioma 2 que 𝑃(Ω) = 1 entonces:
𝑃(𝐶) + 𝑃(𝑋) = 1 ⇒ 2 ⋅ 𝑃(𝑋) + 𝑃(𝑋) = 1 ⟹ 𝑃(𝑋) =1
3⟶ 𝑃(𝐶) =
2
3
Volviendo al juego de cartas de mus, pensemos en el siguiente experimento: tomamos
cuatro cartas del maso, con reemplazo, y en cada elección anotamos si la carta elegida
es una figura (sota, caballo, rey) o no le es. Queremos saber en una extracción
cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de sacar i figuras? donde i = 0,1,2,3,4.
Podemos describir los sucesos elementales como 𝐴𝑖 = "ℎ𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑖 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠" con
i = 0,1,2,3,4.
Como hay 16 figuras en total se tiene que, aplicando la regla de Laplace, la probabilidad
de sacar una figura al azar en la baraja del mus es 𝑃(𝐹) =16
40=
2
5, y la probabilidad de
sacar una carta que no sea figura es 𝑃(𝑁𝐹) =24
40=
3
5. A partir de esto y haciendo
cálculos como los realizados en los ejemplos anteriores, se puede ver que las
probabilidades son, respectivamente:
1a
2a
C
C
C
+
+
+
CC
C+
+C
++
41
𝑃(𝐴0) =3
5⋅
3
5⋅
3
5⋅
3
5= (
3
5)
4
siendo 𝑃(𝐴0) la probabilidad de que hayan salido 0 figuras
entre las 4 cartas seleccionadas.
𝑃(𝐴1) = 𝐶14 ⋅
2
5⋅
3
5⋅
3
5⋅
3
5= 4 ⋅
2
5⋅ (
3
5)
3
siendo 𝑃(𝐴1) la probabilidad de que haya salido 1
figura entre las 4 cartas seleccionadas y 𝐶14son todas las combinaciones posibles de 1
carta tomada entre 4 cartas.
𝑃(𝐴2) = 𝐶24 ⋅
2
5⋅
2
5⋅
3
5⋅
3
5= 6 ⋅ (
2
5)
2
⋅ (3
5)
2
siendo 𝑃(𝐴2) la probabilidad de que hayan
salido 2 figuras entre las 4 cartas seleccionadas.
𝑃(𝐴3) = 𝐶34 ⋅
2
5⋅
2
5⋅
2
5⋅
3
5= 4 ⋅ (
2
5)
3
⋅3
5 siendo 𝑃(𝐴3) la probabilidad de que hayan salido
3 figuras entre las 4 cartas seleccionadas.
𝑃(𝐴4) =2
5⋅
2
5⋅
2
5⋅
2
5= (
2
5)
4
siendo 𝑃(𝐴4) la probabilidad de que hayan salido 4 figuras
entre las 4 cartas seleccionadas.
Si quisiéramos saber cuál es la probabilidad de que haya salido alguna figura, podemos
plantear el suceso 𝐵 = ℎ𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎, como el complemento del suceso 𝐴0
que significa no ha salido ninguna figura entre las cuatro cartas repartidas, entonces:
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴0̅) por la propiedad 7, que se desprende de los axiomas de probabilidad,
tenemos que 𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝐴0) = 1 − (3
5)
4
= 0.1296.
Ahora si nos interesa averiguar el suceso 𝐶 = ℎ𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑜 𝑚á𝑠 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠 entre
las cuatro cartas, entonces podemos definir a este suceso como la unión de los sucesos
𝐴3 y 𝐴4, esto es 𝐶 = 𝐴3 ∪ 𝐴4 y además 𝐴3 ∩ 𝐴4 = ∅ entonces tenemos por el axioma 3
de probabilidad que:
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐴3 ∪ 𝐴4) = 𝑃(𝐴3) + 𝑃(𝐴4) = 4 ⋅ (2
5)
3
⋅3
5+ (
2
5)
4
= 0,1792.
Las particularidades para determinar de forma precisa la probabilidad de los sucesos
aleatorios compuestos dados por experimentos repetidos, conduce a la pregunta Q3,1:
¿Cómo modelar sucesivas repeticiones de un experimento aleatorio? Para dar respuesta
a esta cuestión se requiere el estudio de modelos matemáticos apropiados para
situaciones reales en condiciones específicas. Estos modelos son importantes porque
nos ayudan a predecir la conducta de futuras repeticiones de un experimento aleatorio.
Esto exige abordar la praxeología matemática relacionada con modelos probabilísticos
que hemos denominado OMP15. El tipo de tarea que constituye dicha OM es la T15:
42
Estudiar los modelos probabilísticos. Estos modelos pueden ser discretos o continuos y
los más utilizados son: Modelo de Bernoulli, Modelo Binomial, Modelo Geométrico,
Modelo Binomial Negativo, Modelo Hipergeométrico y Modelo de Poisson.
Sólo a modo de ejemplo, pensemos nuevamente en el lanzamiento de una moneda
regular, este experimento lo realizamos 10 veces y queremos saber ¿cuál es
probabilidad de obtener 6 caras? Antes de comenzar a resolver este problema, lo
primero que hay que observar es que se trata de un experimento en donde sólo se
pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, cara o cruz, cuyas
probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es
independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son
constantes, 𝑛 = 10. Entonces podemos decir que estamos en presencia de un modelo de
distribución Binomial, con parámetros 𝑛, que es el número de ensayos, y 𝑝, que es la
probabilidad de éxito, y se denota como 𝐵(𝑛, 𝑝). Siendo la variable aleatoria X definida
como el número de éxitos obtenidos en las n realizaciones que puede tomar los valores
0, 1, . . . , 𝑛 y su función de función de densidad de probabilidad2 es:
𝑃(𝑋 = 𝑥) = (𝑛𝑥
)𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 .
Entonces respondiendo a la pregunta ¿cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al
lanzar una moneda 10 veces? tenemos que:
𝑘: es el número de aciertos, en este caso " 𝑘 " es igual a 6
𝑛: es el número de ensayos, en este caso son 10 repeticiones
p: es la probabilidad de éxito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda, por lo tanto
𝑝 = 1
2. Luego, la probabilidad buscada quedaría:
𝑃(𝑋 = 6) = (10
6) (
1
2)
6
(1 −1
2)
10−6
⇒ 𝑃(𝑋 = 6) = 0,205 .
Finalmente, el estudio de modelos probabilísticos que representen la realidad en
situaciones donde interviene el azar nos conduce al reencuentro con nuestra cuestión
generatriz Q0: ¿Qué significa modelar la realidad cuando interviene el azar?
2 Función de densidad de probabilidad: En la teoría de la probabilidad, la función de densidad de
probabilidad, función de densidad, o simplemente densidad de una variable aleatoria discreta o continua
describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.
43
En síntesis, la búsqueda de respuestas a la pregunta generatriz y sus derivadas permite
recorrer parte del programa de estudio de la materia, de forma flexible y a la vez
interrelacionada. En la siguiente figura se resaltan los contenidos del diseño curricular
que se abordarían (Figura 4).
Figura 4: Contenidos que se abordarían en el posible recorrido de estudio generado
Este modelo praxeológico realizado sirve como fundamento para el diseño de un
dispositivo didáctico que permita transitar los fundamentos de la teoría de la
probabilidad y la consecuente incorporación de los modelos probabilísticos. Este se
enmarcaría en la forma de una actividad de estudio e investigación (AEI) y podría
derivarse eventualmente un recorrido de estudio e investigación (REI). Su inserción en
44
el curso permitiría el trabajo conjunto de los profesores, además de que provocaría
cambios estructurales y sustanciales en el proceso de enseñanza-aprendizaje y en la
organización didáctica.
45
Capítulo 4
Reflexiones Finales
46
CAPÍTULO 4: Reflexiones Finales
Partiendo del estado actual de las investigaciones relacionadas con la Probabilidad y su
didáctica hemos podido observar que son escasos los desarrollos y propuestas en esta
área (ver listado de antecedentes bibliográficos en Anexo). Por ello en este trabajo de
tesis nos planteamos reformular los procesos de incorporación de la teoría de la
probabilidad, en el marco de la TAD, desarrollando un Modelo Praxeológico de
Referencia (MPR) a partir del estudio de una cuestión Q0. En él se describe un posible
proceso de construcción o reconstrucción y articulación de praxeologías relativas a Q0:
¿Cómo modelar la realidad cuando interviene el azar?
En cuanto a nuestra pregunta inicial de investigación llegamos a la siguiente respuesta
provisoria que se resignificará una y otra vez, entonces:
¿Cómo favorecer el estudio de la realidad cuando interviene el azar de forma tal que dé
lugar al desarrollo de praxeologías matemáticas, rompiendo con la secuenciación de
los contenidos propuesta en el programa de estudio de la materia Estocástica?
Luego, el MPR desarrollado permite:
- relacionar la teoría de la probabilidad y el modelado de la realidad cuando interviene
el azar. Este modelo sirve de herramienta para delimitar y analizar los posibles caminos
que surgen del análisis de Q0 donde se estudian y articulan organizaciones matemáticas
relacionadas tanto con los modelos matemáticos como con los distintos significados de
la probabilidad que forman parte de los fundamentos de la Teoría de la Probabilidad.
- construir las organizaciones matemáticas que incluyen el tratamiento de experimentos
aleatorios y deterministas, los significados de la probabilidad: subjetivo y objetivo
(empírico, clásico o axiomático) junto con un primer acercamiento a los modelos
probabilísticos. El ingreso o reingreso a éstas permite el abordaje de la materia de forma
transversal superando así el tratamiento de las mismas como compartimentos estancos.
- reflejar el potencial que tiene Q0 pues es generadora de múltiples preguntas y la
búsqueda de sus respuestas posibilita recorrer parte del programa de estudio propuesto
por la institución de referencia.
En definitiva, en el diseño de este MPR subyace una nueva concepción del abordaje de
la probabilidad que integra un proceso de estudio largo, con varias aristas y que supone
la construcción, ampliación e integración de un conjunto de praxeologías matemáticas
relacionadas, en alguna medida, con el Teoría de la Probabilidad.
47
Por otra parte, tomando como base los aportes de la TAD que propone los Recorridos
de Estudio e Investigación (REI) como dispositivos didácticos que permiten “recorrer”
dicho programa tomando las preguntas como punto de partida y guía de los procesos en
estudio, y con el objetivo de introducir en el aula un proceso de enseñanza que recobre
el sentido y las razones de ser de las obras matemáticas propuestas en el programa de
estudio pre-establecido es que se plantea, como una perspectiva para desarrollar a
futuro, un dispositivo didáctico que incorpore rasgos de la pedagogía de la investigación
y del cuestionamiento del mundo.
Finalmente, como propuesta a futuro, producto de este trabajo reflexivo, el desafío es:
- llevar adelante la elaboración y desarrollo de un dispositivo didáctico, que
incorpore rasgos de la pedagogía de la investigación y del cuestionamiento del mundo,
para ofrecer a los estudiantes del profesorado en matemática una posibilidad real y
tangible relacionada con la investigación en la enseñanza y aprendizaje de objetos
matemáticos relacionados con la probabilidad.
- desarrollar una propuesta curricular que permita reorientar y diseñar los
contenidos del programa de la materia de Estocástica, perteneciente a la carrera del
Profesorado en Matemáticas de la Universidad Nacional del Sur, que contribuya a
mejorar el proceso de formación y desarrollo de dispositivos didácticos relacionados
con la enseñanza de la probabilidad y estadística.
48
Capítulo 5
Referencias Bibliográficas
49
CAPÍTULO 5
5.1 - Referencias Bibliográficas
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ANEXO
Tablas de antecedentes bibliográficos
Nombre del
Artículo
Tipo de
Publicación Autores
Año de la
publicación Breve descripción
Relevancia de la
enseñanza
de la
Probabilidad
Revista
Científica
Agnelli,
H. 2009
En este trabajo se señala la relevancia de la enseñanza de
la probabilidad mostrando su importancia: en la vida
cotidiana de las personas, en el marco de la historia de las
ideas científicas, por sus complejas relaciones entre
intuiciones y teorías normativas, en la creciente relación
entre teorías y aplicaciones. Analiza las investigaciones
en enseñanza y aprendizaje de la probabilidad según tres
períodos cronológicos que abarcan la última mitad del
siglo XX: el Período Piagetano; el Período Post-
Piagetano; y el Período Contemporáneo. Además, se
enfatiza la importancia que tienen las distintas
interpretaciones de la probabilidad (clásica, frecuencial y
Bayesiana) en la asignación de probabilidades y el
59
análisis de resultados.
Este autor propone trabajar en el aula con problemas que
permitan promover la discusión de los elementos básicos
de la naturaleza aleatoria del fenómeno a modelar,
vincular la probabilidad con otras ramas de la matemática
y confrontar los resultados obtenidos con situaciones
reales.
Metodologías
en la enseñanza
del cálculo de
probabilidades
en
undécimo
grado,
educación
secundaria
Revista
Científica
Amador
Núñez, F.,
Reyes
Gómez,
M., Flores
López,
W.,
2015
El objetivo de este trabajo es analizar las metodologías
didácticas en la enseñanza del cálculo de las
probabilidades en undécimo grado de Educación
Secundaria, y si estás metodologías influyen
positivamente en el rendimiento académico de la
asignatura de Matemática. Para este estudio se
consideraron los distintos significados de la probabilidad
y a partir de estos se recolecto la información empleando
la observación, la guía de análisis de contenido,
entrevista, cuestionario cognitivo y encuesta. Los
resultados muestran, en general, que las metodologías
didácticas utilizadas en la enseñanza del cálculo de
probabilidades se caracterizan por un modelo de
enseñanza de aprendo, practico y aplico teniendo en
cuenta situaciones-problemas de la vida cotidiana y del
contexto de la población de estudio. Sin embargo, la falta
de interés del estudiantado hacia la asignatura de
Matemática tiene una influencia negativa hacia este
contenido.
Una propuesta
para la
enseñanza de la
probabilidad en
la universidad
basada en la
investigación
didáctica
Revista
Científica
Barragués
Fuentes,
J.,
Guisasola
Aranzabal
, J.
2009
En este trabajo se describe el diseño, la implementación y
la evaluación de una secuencia de enseñanza destinada a
introducir los conceptos y procedimientos probabilísticos
elementales en la enseñanza técnica universitaria. Tres
principios diferentes pero interrelacionados guían el
diseño de la propuesta de enseñanza. El primero se
relaciona con los resultados de las investigaciones sobre
las dificultades de aprendizaje de los conceptos
elementales de la teoría de la probabilidad. El segundo
aspecto se relaciona con una perspectiva social
constructivista del aprendizaje de las matemáticas y las
ciencias. Y el tercer principio que guía el diseño de esta
propuesta se basa en el concepto de demanda de
aprendizaje. Los autores afirman que la implementación
de esta secuencia de enseñanza, junto con su metodología
de aplicación en el aula, puede lograr que los estudiantes
adquieran una mejor comprensión de la probabilidad en
su interpretación frecuencial, en el razonamiento
probabilístico y en la aplicación de ello para la resolución
de problemas.
La introducción
de los conceptos
relativos al azar
y la
probabilidad en
libros de texto
universitarios
Revista
Científica
Barragués
Fuentes,
J.,
Guisasola
Aranzabal
, J.
2006
En este trabajo se presenta un estudio sobre el modo en
que se introducen los conceptos relativos al azar y la
probabilidad en una muestra de 34 libros de texto
universitarios. Este trabajo es parte de una investigación
más general acerca de la enseñanza y el aprendizaje de la
teoría de la probabilidad en primer ciclo de universidad
en escuelas de ingeniería técnica industrial. Los libros de
texto fueron analizados siguiendo dos criterios: aspectos
epistemológico e histórico y didáctico.
Según estos autores los resultados obtenidos en este
estudio parecen indicar la ausencia en la mayoría de los
textos de ciertos aspectos importantes del marco teórico
de las matemáticas que podrían ser explotados para
aproximarse al objetivo de lograr un aprendizaje
significativo por parte de los estudiantes.
60
Posibilidades y
retos de la
enseñanza de la
probabilidad en
la educación
primaria
Actas
congreso
Batanero,
C. 2016
Este trabajo corresponde a una conferencia donde se
exponen las razones que justifican la importancia de una
introducción temprana en los niños del concepto de
probabilidad, en particular esta autora se refiere a
estudiantes de nivel primario. En este sentido se presentan
algunas investigaciones que indican que el niño tiene un
razonamiento intuitivo correcto en situaciones aleatorias
sencillas y sugiere algunos principios metodológicos y
actividades para facilitar la introducción de la
probabilidad a los niños.
La autora concluye que es primordial para una buena
enseñanza de la probabilidad tener profesores
entusiasmados por el tema y bien preparados. Señala así
la importancia de valorar y reforzar tanto los
conocimientos, como la componente emocional en la
formación del profesorado para enseñar probabilidad,
dado que si un profesor no valora un tema, no está
preparado para impartirlo o le disgusta, no logrará un
aprendizaje efectivo por parte de los alumnos.
Razonamiento
probabilístico
en la vida
cotidiana: un
desafío
educativo
Revista
Científica
Batanero,
C. 2006
En este trabajo se invita a reflexionar sobre las
situaciones aleatorias de la vida cotidiana, que suelen ser
más complejas que los problemas escolares presentados
en la enseñanza de la probabilidad; por ello se enfatiza la
necesidad de reforzar la formación del razonamiento
probabilístico en la educación primaria y secundaria y
proporcionar con ello a los alumnos un instrumento que
oriente la acción ante la incertidumbre. Se analiza la
incorporación del razonamiento probabilístico en los
diseños curriculares tanto del nivel primario como
secundario concluyendo que las sugerencias sobre uso de
diversos contextos (no sólo juegos de azar) posibilita el
introducir a los estudiantes en problemas interesantes de
toma de decisión y previsión. Finalmente y tomando en
cuenta los distintos significados de la probabilidad se
enfatiza la necesidad de presentarse la probabilidad desde
distintas perspectivas pues cada una de ellas aporta una
parte a la comprensión global concepto de probabilidad y
refuerza el desarrollo del razonamiento probabilístico
para la vida real.
Retos para la
formación
estadística de
los profesores
Actas
congreso
Batanero,
C. 2009
En este trabajo se analiza la formación y actitudes de los
profesores en relación a la estadística reconociendo que
estos tienen un papel esencial al interpretar el currículo y
adaptarlo a las necesidades específicas. En consecuencia,
según esta autora, el cambio de la enseñanza de la
estadística en las escuelas e institutos dependerá en el
grado en que los profesores encuentren interesante y útil
la enseñanza de la estadística a sus estudiantes. Con este
objetivo se analizan varias investigaciones que indican
que se requiere una mejor preparación y un cambio de
actitud hacia estadística de los profesores debido a las
demandas de que los estudiantes sean enseñados por
profesores bien calificados; por ello se plantea el debate
sobre el contenido matemático para la enseñanza que
debe poseer el profesor en ejercicio. Asimismo, se
reconoce en esta investigación que la estadística es una
ciencia en continuo cambio y expansión, y que es
necesario estar abiertos a las nuevas corrientes, tales
como la inferencia bayesiana, los métodos de simulación,
estadística espacial o procesos estocásticos. Estas nuevas
tendencias necesitan ser difundidas y consideradas como
objeto de enseñanza para poder seguir construyendo la
Educación Estadística y concretándola en cursos
destinado a futuros profesores.
Significados de
la probabilidad
en la educación
secundaria
Revista
Científica
Batanero,
C. 2005
En este trabajo la autora parte de un modelo teórico sobre
el significado de los objetos matemáticos considerando
seis elementos diferenciados y realiza una distinción
distingue entre el significado dado al objeto matemática
61
en una cierta institución de enseñanza y el adquirido por
un alumno dentro de la institución. A partir de estas ideas
se analizan los distintos significados históricos de la
probabilidad y cómo han sido considerados en la
enseñanza del nivel secundario. Entonces a través de este
modelo pueden establecer una visión semiótica del
razonamiento matemático e interpretar algunos errores
frecuentes al resolver problemas de probabilidad en
términos de conflictos semióticos. Como corolario de este
trabajo la autora muestra el significado polifacético de la
probabilidad; de ahí que su enseñanza no puede limitarse
a una sola de las diferentes perspectivas pues están
ligadas dialécticamente. La probabilidad puede
contemplarse como razón de posibilidades a favor y en
contra, como evidencia proporcionada por los datos,
como grado de creencia personal y como modelo
matemático que ayuda a comprender la realidad.
Experiencias y
sugerencias
para la
formación
probabilística
de los
profesores
Revista
Científica
Batanero,
C.,
Contreras,
M.
2011
En este trabajo se analiza el contenido que estos autores
consideran necesarias para la preparación didáctica de los
profesores para la enseñanza de la probabilidad. En este
trabajo se realizan sugerencias relacionadas con las
distintas posibilidades que las paradojas clásicas de la
probabilidad ofrecen para organizar actividades didácticas
significativas y que puedan contribuir a la formación de
los profesores. Asimismo se presenta también en este
artículo un ejemplo usado por los autores en sus propios
cursos con profesores, sugiriendo diversos tipos de
análisis didáctico con el mismo.
Investigación en
didáctica de la
probabilidad
Revista
Científica
Batanero,
C., Ortiz,
J.,
Serrano,L.
2007
En este trabajo se realiza un resumen sobre el estado de la
investigación sobre didáctica de la probabilidad. En este
recorrido los autores abordan la investigación sobre
desarrollo cognitivo, investigación sobre toma de
decisiones, enseñanza y resolución de problemas y aborda
la temática del currículo y la formación relacionados con
la enseñanza de la probabilidad. Estos autores reconocen
la contribución desde todas las vertientes en investigación
destacando que el principal impulsor de la investigación
ha sido el Instituto Internacional de Estadística (ISI,
http://isi.cbs.nl). Se concluye esta ponencia resaltando la
multiplicidad de problemas de investigación abiertos e
invitando al lector a iniciarse en este campo de
investigación.
Multiple
perspectives on
the concept of
conditional
probability
Revista
Científica
Borovcnik
,M. 2012
En este trabajo se desarrolla el concepto de probabilidad
condicional como clave para la teoría subjetivista de la
probabilidad, aunque juega un papel subsidiario en la
concepción habitual de probabilidad donde su
contraparte, la independencia, es de importancia
básica. El artículo investiga estos conceptos desde varias
perspectivas con el fin de arrojar luz sobre su carácter
multifacético, incluyendo las perspectivas matemáticas,
filosóficas y educativas. Además, se presentan distintos
enfoques de la probabilidad condicional que van desde
los ángulos de las ideas en competencia hasta el
desarrollo de estrategias en la resolución de problemas.
Didáctica para
la enseñanza de
la probabilidad
condicional
Revista
Científica
Cardona
Toro, J.,
Arias
Vargas, J.
2019
En este artículo se presenta un método con la intención de
facilitar el proceso enseñanza-aprendizaje de la
probabilidad condicional a los estudiantes de la Escuela
Media considerando el paso del pensamiento concreto al
formal. Luego, con el objetivo de que el estudiante
alcance a comprender y aprehender el concepto de la
probabilidad condicional, y pueda realizar su cálculo
respectivo, la propuesta se basa en una primera etapa en
la confrontación de los conocimientos previos
relacionados con la probabilidad, una segunda etapa en la
cual el docente contextualiza verbalmente y un nuevo
problema, y a partir de allí orientar al estudiante para que
intuya los componentes de la fórmula que le va a servir
62
más adelante para calcular probabilidades condicionales.
Este autor remarca la importancia de evitar proponer una
regla mágica para calcular la probabilidad condicional,
sino, construirla en forma conjunta dejando de lado el
mecanicismo al que se puede llegar si simplemente se
propone la expresión matemática.
Praxeologías
matemáticas
presentes en la
resolución de
tareas
de azar y
probabilidad
Actas
congreso
Castillo
Céspedes,
M.,
Chaverri
Hernánde
z, J.
2016
El presente trabajo se desarrolla en torno a una actividad
tipo taller, el cual tiene como propósito introducir el tema
de probabilidad a estudiantes de educación secundaria, y
vincular a la matemática con una actividad concreta de la
vida real, en este caso específicamente con los juegos de
azar. Este espacio se desarrolló en torno a la Teoría
Antropológica de lo Didáctico (TAD) y en este sentido se
analizaron las componentes de las praxeologías
matemáticas (u organizaciones matemáticas) llevadas a
cabo por los participantes. Asimismo, se describen
aspectos relevantes para la fundamentación en la elección
de dicho marco teórico donde se enfatizando sus ventajas
de acuerdo con los objetivos del taller. Además de
reivindicar la necesidad de un fundamento teórico, en este
caso la TAD, que sustente la labor didáctico-pedagógica
desarrollada, estos autores destacan el anhelo de que este
taller constituya una herramienta de fácil aplicación en el
aula y que permita la reflexión del proceso de enseñanza
y aprendizaje tanto por parte del docente como de los
estudiantes.
Definiciones de
la probabilidad
y probabilidad
condicional por
futuros
profesores
Revista
Científica
Contreras,
J. M.,
Díaz, C.,
Batanero,
C. y
Cañadas,
G. R.
2013
En este estudio se analizan las definiciones de
probabilidad simple y condicional proporcionadas por
una muestra de 196 futuros profesores, clasificándolas en
función de su corrección y precisión. Se comparan los
resultados en dos grupos de profesores, de acuerdo a su
formación inicial y con los obtenidos en estudiantes de
psicología. En este artículo se se sugiere la necesidad de
mejorar la educación sobre probabilidad que estos futuros
maestros reciben durante su formación y la necesidad de
discutir con ellos sus definiciones y sus sesgos de
razonamiento, para prepararlos adecuadamente para su
futura labor docente.
Implementación
de un Recorrido
de Estudio e
Investigación
en Estadística
para estudiantes
de Ingeniería en
Construcción
Tesis
Doctoral
Espinoza
Melo, C. 2018
Esta investigación tiene como finalidad dar a conocer el
diseño y aplicación de un dispositivo didáctico llamado
Recorrido de Estudio e Investigación (REI), en el marco
de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), como
medio para abordar los contenidos de Estadística en un
curso universitario. El objetivo principal es contribuir al
desarrollo de secuencias didácticas y promover en los
estudiantes la adquisición del aprendizaje a través de
situaciones contextualizadas, con la finalidad de mejorar
los aprendizajes, y técnicas de estudio de los alumnos.
Esta autora establece a partir de los resultados obtenidos
que la implementación del REI influyó en el desarrollo de
las estrategias de aprendizaje, tipos de aprendizajes,
comprensión lectora mostrando indicios de un
aprendizaje duradero.
Construcción de
una escala de
actitudes hacia
la probabilidad
y su enseñanza
para profesores
Revista
Científica
Estrada,
A.,
Batanero,
C.
2015
En este trabajo se describen los primeros pasos en la
construcción de dicha escala, que tiene componentes
específicos de las actitudes hacia la probabilidad y hacia
su enseñanza. Se describe el contenido semántico del
instrumento, la selección de ítems a partir de juicio de
expertos y se presenta el instrumento piloto. La versión
piloto de la escala de actitudes consta de 28 ítems, 14 con
enunciados positivos y 14 con enunciados negativos, y 4
ítems valorando cada componente. Finalmente, los
autores destacan que el estudio de las actitudes hacia la
63
probabilidad en los profesores y futuros profesores, es
imprescindible para que los cambios curriculares en esta
materia sean efectivos. Se destaca que el cambio de
actitudes es un proceso largo y costoso, debido
precisamente a la multidimensionalidad del constructo,
por ello la importancia de trabajar sobre este desde la
formación de los profesores.
Concepciones
sobre la
estadística, su
enseñanza y
aprendizaje: Un
estudio
exploratorio con
estudiantes para
profesor en
matemática
Revista
Científica
Ferrari,
C.N. &
Corica,
A.R.
2017
Este trabajo se ubica en la problemática de la formación
de profesores en matemática en el área de estadística. En
él se presentan los resultados de la implementación y
análisis de un cuestionario diseñado para caracterizar las
concepciones sobre estadística, su enseñanza y
aprendizaje, de un grupo de estudiantes en formación para
profesor en matemática. El instrumento en escala tipo
Likert fue implementado a n=47 estudiantes que se
encontraban realizando el último año de la carrera para
profesor en matemática pertenecientes a seis institutos de
formación docente. Se realizaron los análisis de
confiabilidad y validez del instrumento y la información
relevada fue analizada mediante técnicas de estadística
descriptiva, permitiendo distinguir concepciones
predominantes de los participantes. Los principales
resultados indican que la formación estadística es un
requerimiento para el futuro ciudadano, pero que esta
formación se encuentra, actualmente, asociada al
fenómeno de monumentalización del saber.
Jugando con la
probabilidad
Revista
Científica
Gallardo,
S.,
Cañadas,
M.,
Martínez-
Santaolall
a, M.,
Molina,
M.,Peñas,
M.
2007
En este trabajo se plantean una serie de juegos como
recurso didáctico en el aula de matemáticas. Estos autores
realizan un sondeo y concluyen que los enfoques
prácticos que involucran al alumno lanzando dados o
seleccionado bolas o cartas son útiles para revelar la
naturaleza impredecible del azar. Estos juegos permiten
aproximarse de forma intuitiva a algunas de las ideas
básicas de la probabilidad y, además, pueden incitar a los
alumnos a plantearse numerosas cuestiones que les
ayuden a comprender los diversos problemas donde está
inmerso el azar. Concluyen este trabajo con una serie de
recomendaciones relacionadas con los juegos propuestos
dependiendo de cada nivel educativo concreto.
Trabajando el
azar y la
probabilidad en
las primeras
etapas
Actas
congreso
González-
Ruiz, G. 2014
En este documento se presenta una propuesta de
investigación destinada a ahondar en las concepciones
relativas al azar y la probabilidad que manifiestan los
estudiantes de educación primaria o secundaria, que se
inician en el estudio de la probabilidad. Con el objetivo
de reconducir, por medio de la práctica docente, aquellos
conceptos erróneos que obstaculicen su aprendizaje se
propone una metodología fundamentada en la creación de
un instrumento didáctico que denominaron como el
“Cubo Colorín Coloreado”. El mismo es un generador de
situaciones aleatorias en torno las que se organizan las
tareas de la propuesta pedagógica. De la experiencia
conseguida en el desarrollo de esta propuesta se
desprenden algunas recomendaciones para la enseñanza
de los conceptos básicos de azar y probabilidad
relacionadas con la: elección de situaciones de
aprendizaje significativa para los estudiantes desde los
primeros niveles educativos, introducción de recursos
manipulativos que permitan interactuar a los estudiantes
con los fenómenos, situaciones o experimentos aleatorios
y finalmente se destaca el uso responsable de los recursos
tecnológicos como por ejemplo las applets.
64
El lenguaje del
azar en alumnos
de Educación
Secundaria
Obligatoria
Tesis de
Posgrado
Hernánde
z
Salmeron,
E.
2015
En este trabajo de tesis trabajo se realiza un estudio de
evaluación del lenguaje y fenomenología para analizar en
qué medida asocian los fenómenos aleatorios y la
probabilidad los niños de los primeros dos cursos de la
educación secundaria obligatoria en España. A priori, se
analiza las investigaciones relacionadas con este tema y
se plantea la justificación de esta investigación.
Se plantean dos objetivos principales: desarrollar un
cuestionario sencillo para evaluar la comprensión de la
fenomenología y el lenguaje del azar y la probabilidad de
los alumnos de primero y segundo curso de la educación
secundaria obligatoria y realizar un estudio exploratorio,
con una muestra de estos alumnos utilizando este
cuestionario. Para elegir y adaptar algunos ítems en el
mencionado cuestionario se analiza el currículo de
probabilidad en la educación primaria y secundaria
obligatoria. Se realiza la evaluación con una muestra de
56 alumnos de primaria y 33 de la secundaria.
Se concluye que los resultados han sido buenos ya que la
mayoría de los alumnos muestran conocimiento de la
fenomenología del azar, más allá de los juegos y utilizan
un lenguaje variado y bien aplicado. En algunos casos
donde se observan carencias están relacionadas con
errores entre la distinción de fenómenos aleatorios y
deterministas vocabulario relativo al azar y dificultad en
la búsqueda de sinónimos de expresiones relacionadas
con la probabilidad.
La probabilidad
condicional y la
probabilidad
conjunta en la
resolución de
problemas de
probabilidad.
Revista
Científica
Huerta,
M.,
Arnau, J.
2017
En este artículo se estudian las relaciones entre las
probabilidades condicionales y conjuntas en el proceso de
resolución de problemas escolares, desde una perspectiva
educativa antes que cognitiva. Se realiza la experiencia
con una muestra de 242 participantes formada por
estudiantes, maestros y profesores de matemática en
formación que recibieron enseñanza tradicional en
probabilidad condicional mostrando que los problemas
básicos de probabilidad condicional presentan muchas
dificultades a una amplia gama de resolutores, desde la
educación secundaria a maestros y profesores de
matemáticas en formación. Entre las conclusiones que
establecen estos autores se destaca que la causa de la
confusión entre probabilidad condicional y conjunta es
debido a la pobre familiaridad con el lenguaje relacionado
con el contexto y la fuerte influencia de los recursos
proporcionados por la enseñanza recibida que se reflejan
en los altos grados de dificultad en la resolución de los
problemas propuestos en esta investigación.
El azar y la
probabilidad
desde el juego
Actas
congreso
Morales
Múnera,
S.,
Restrepo,
E.
2009
El objetivo principal de este trabajo es la de compartir
una experiencia de enseñanza desarrollada para incentivar
la búsqueda de alternativas de enseñanza de la
Estadística. La propuesta pedagógica desarrollada aborda
el análisis combinatorio y probabilístico a través
actividades que involucran el juego y las TIC con la
intención de fortalecer el pensamiento aleatorio. La
metodología consta de dos momentos en un espacio de
taller, en el primero se presentan actividades que
introducen el concepto de espacio muestral integrado con
tablas de frecuencia llevadas a hojas de cálculo en Excel;
en el segundo momento se proponen juegos que
desarrollan el concepto intuitivo de probabilidad, su
relación con las proporciones, representaciones y
aplicaciones; finalmente se visitan páginas web que
ofrecen simulaciones de situaciones que retroalimentan
los conceptos trabajados.
Estos autores concluyen que la implementación de este
taller permitirá a los asistentes prácticas y experimentos
de actividades que sirvan para generar nuevas propuestas
en torno a la enseñanza de la estadística, que pueden ser
65
implementadas en cada una de sus instituciones,
buscando mejorar el nivel de conceptualización en esta
disciplina.
Conocimiento
de futuros
profesores sobre
la idea de juego
equitativo
Revista
Científica
Ortiz, J.,
Batanero,
C.,
Contreras,
M.
2012
En este trabajo se evalúan los conocimientos de 167
futuros profesores de educación primaria en España
respecto a un juego equitativo. Para valorar el
conocimiento común del contenido, se analizaron las
soluciones que dieron los docentes a dos problemas
abiertos. También se estudiaron dos componentes del
conocimiento didáctico, considerando el trabajo de los
maestros en pequeños grupos: para evaluar el
conocimiento especializado del contenido, se pidió a los
participantes que identificaran los contenidos
matemáticos en la tarea, mientras que para determinar el
conocimiento del contenido y los estudiantes se les
solicitó que distinguieran, entre un grupo de respuestas a
la tarea hecha por alumnos de educación primaria, cuáles
eran correctas e incorrectas. Los autores afirman que los
resultados obtenidos de la investigación sugieren la
necesidad de reforzar la formación de los futuros
profesores, tanto en el conocimiento matemático como en
el conocimiento didáctico.
Revisión de
alternativas
propuestas para
mejorar el
aprendizaje de
la Probabilidad
Revista
Científica
Osorio
Angarita,
M.,
Suárez
Parra, A. ,
Uribe
Sandoval,
C.
2013
Se presenta en este artículo una recopilación de software
educativo que apoya el proceso en la enseñanza y
aprendizaje de la Probabilidad, así como simuladores,
applets, actividades lúdicas, metodologías basadas en la
práctica, y otras estrategias que se han empleado en el
mismo sentido. Luego de la revisión estos autores
confirman que en el ámbito académico existe una
preocupación general por el desarrollo y uso de diferentes
herramientas y estrategias que complementan el quehacer
del docente en la enseñanza y aprendizaje de la
Probabilidad, observando la dificultad de encontrar un
software educativo para el nivel universitario, diseñado y
validado de acuerdo a la realidad académica y al contexto
de los estudiantes. Concluyen que la enseñanza de la
Probabilidad se convierte en un gran reto para los
docentes, quienes deben enfocar su esfuerzo en aplicar
diferentes estrategias que permitan captar el interés y
tener éxito en la compleja tarea de formar profesionales
con las competencias para responder a las necesidades del
mercado laboral.
Enseñanza de la
Estadística y la
Probabilidad en
Secundaria:
experimentos
y materiales
Revista
Científica
Pajares
García,
A.,
Tomeo, V.
2009
En este artículo se analiza brevemente algunos trabajos en
educación donde se destaca la importancia de la
enseñanza de la Estadística y la Probabilidad dentro de la
etapa de educación secundaria, aunque detectan que en la
práctica estos temas suelen ser los grandes olvidados por
los profesores de matemáticas y los alumnos. En esta
comunicación se pone de relieve la importancia de esta
disciplina dentro del currículo, ofreciendo distintas
alternativas para despertar el interés, en profesores y
alumnos, respecto de los fenómenos aleatorios y la
Estadística a través de la experimentación directa con
materiales creados para tal fin.
66
Conocimiento
Didáctico-
Matemático del
Profesorado de
Educación
Primaria sobre
Probabilidad:
diseño,
construcción y
validación de un
instrumento de
evaluación
Revista
Científica
Vásquez,
C., Alsina,
A.
2015
La finalidad de este trabajo es presentar el proceso de
diseño, construcción y validación de un cuestionario para
evaluar aspectos relevantes del conocimiento didáctico
matemático de los profesores de educación primaria sobre
probabilidad. Para ello, se considera el Modelo para la
Evaluación y Desarrollo del Conocimiento Didáctico-
Matemático (CDM) que se fundamenta en el Enfoque
Ontosemiótico del Conocimiento y de la Instrucción
Matemática. Este modelo propone un sistema de
categorías de análisis de los conocimientos matemáticos y
didácticos del profesor ofreciendo herramientas
específicas que permiten un análisis más detallado del
conocimiento didáctico-matemático del profesor desde las
distintas facetas (epistémica, cognitiva, afectiva,
interaccional, mediacional y ecológica) implicadas en los
procesos de enseñanza y aprendizaje que un profesor
debe poner en juego para enseñar un determinado tema.
Luego los estos autores concluyen, considerando los
resultados obtenidos en la prueba piloto del cuestionario,
que los profesores participantes presentan un nivel medio
bajo en todas las categorías del conocimiento del
contenido relacionado con probabilidad, siendo las de
mayor dificultad aquellas asociadas a la comprensión de
la noción de suceso seguro, cálculo y comparación de
probabilidades de sucesos elementales, y comprensión de
la independencia de sucesos.
67
DESCRIPCIÓN DEL JUEGO MUS
Vamos a jugar a un juego sencillo de cartas. En él, participarán dos equipos, formados
por dos jugadores cada uno, que competirán entre sí. La pareja ganadora, recibirá el
placer de ganar la partida y haber disfrutado de un buen rato con sus amigos, no se
jugará con dinero. Se juega con una baraja de 40 cartas, distribuidas de la siguiente
forma:
8 ases o unos,
4 cuatros,
4 cincos,
4 seises,
4 sietes,
4 sotas o dieces,
4 caballos o onces,
8 reyes o doces.
Se repartirán 4 cartas a cada jugador, elegidas aleatoriamente de la baraja, y tras ese
reparto se pueden obtener las siguientes jugadas:
- Tener dos cartas iguales y las otras dos desiguales entre sí y con respecto a las
dos primeras, eso es tener una pareja. Por ejemplo, la jugada (cuatro, rey, diez, cuatro)
es una pareja de cuatros.
- Tener tres cartas iguales y la tercera desigual es una jugada que llamaremos
media. Si obtenemos unas cartas así: (rey, as, rey, rey) es que tienes una media de
reyes.
- Tener dos parejas entre las cuatro cartas, iguales o diferentes entre sí, es un
dúplex. Por ejemplo, una jugada que sea (cuatro diez o diez cuatro) es un dúplex de
dieces-cuatros, mientras que si tienes (as, as, as, as), eso es un dúplex de ases-ases. En
ambos casos, se considerarán dúplex.
En este juego, el duplex tiene más valor que la media, y ésta más que la pareja. En caso
de haber dos dúplex, dos medias o dos parejas, ganará aquella que tenga las cartas más
altas. Las cartas ordenadas de más baja a más alta son las que puedes encontrar al
principio de esta sección, es decir: as, cuatro, cinco, seis, siete, sota, caballo y rey.
Por ejemplo, un dúplex de reyes y ases ganará un dúplex de sotas y caballos.
Igualmente, una pareja de caballos ganará a una pareja de sotas. En caso de empate,
ganará aquel jugador que tenga cartas más altas acompañando a la pareja o a la media.
En caso de que las cuatro cartas sean iguales, ganará aquel jugador que vaya de mano,
es decir, aquel jugador que haya recibido las cartas en primer lugar.
