Modelos de Series de Tiempo Estacionarios Univaluados III

8/18/2019 Modelos de Series de Tiempo Estacionarios Univaluados III

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4.1

C APÍTULO 4MODELOS DE SERIES DE TIEMPO

UNIVARIADAS NO ESTACIONARIAS

En los capítulos anteriores se ha supuesto que las variables eran estacionarias o,alternativamente, que el econometrista sabía qué tipo de transformación resultaba pertinente para volver estacionaria una variable que no lo era. El objetivo de este capítulo es introducir al lector en laeconometría de variables no estacionarias. Para ello, lo primero que se hace es discutir las profundasdiferencias que tienen procesos estacionarios y no estacionarios. Posteriormente se desarrollan loselementos centrales de la teoría asintótica para procesos no estacionarios. inalmente se discuten varios tests que permiten dilucidar empíricamente la naturale!a de las variables y el tratamientoadecuado que se debe darle.

4.01 R EPRESENTACIONES DE TENDENCIAS EN A NÁLISIS UNIVARIADO

"uchas de las variables económicas m#s com$nmente usadas tienen tendencia %p.e., P&',nivel de precios(. )uando estudiamos la metodolo*ía 'o+-enins o los modelos /0, el problemade remover la tendencia de las series fue soslayado, se2alando que bastaba con hacer una re*resióncontra una tendencia lineal o tomar primeras diferencias. E+actamente cu#ndo usar cada método eslo que nos preocupa en esta sección.

3ay dos maneras de describir tendencias5. )omo de costumbre, consideramos las variablesen lo*aritmos, de modo tal que sus cambios corresponden a su tasa de crecimiento.

0quellas variables que tienen tendencia determinística se pueden modelar como6

y t = t L t %4.1(

donde 7 y 8 son dos par#metros y 9%:( es la representación media móvil de un modelo 0"0%p,q(para las innovaciones ε t . :a remoción de tendencia correspondería a obtener una serie filtrada deltipo y t − − t .

0quellas variables que tienen tendencia estoc#stica1 %;( se pueden modelar usando primerasdiferencias, es decir como

1 − L y t = * L t %4.


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4.<

/amos a estudiar las diferencias entre el modelo de la ecuación %4.1( y el de la ecuación %4.


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4.>

por su nivel de inte*ración de forma tal que el proceso anterior es &%


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4.4

ebido a que se cumple sumabilidad absoluta, se obtiene

E [ y t s |t −−t s]2

→ 0 si s→∞ %4.Q(

es decir, en el lar*o pla!o las innovaciones van a desaparecer y lo $nico que queda activo en lapredicción es la parte determinística.

Para el proceso estacionario en diferencia podemos usar la representación media móvil delproceso en primera diferencia y lue*o restar y t , para obtener6

y t s | t = yt s s s−1...1t s 1 s...2 t −1 s 2 s1...3t −2 ...

%4.1H(

Prueba6 Primero predecimos la tasa de crecimiento del periodo t+s 5 y t s F t = s t s 1 t −1 s < t −


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4.?

E [ yt s |t − yt s]2=[11222 ... s−12 ] 2 %4.1


6/45

4.B

i*ura 4.


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4.C

• :a manera correcta de remover la tendencia en series estacionarias en tendencia es quitar latendencia determinística. Esto se hace mediante el prefiltrado de las series usando unare*resión lineal de la variable contra una secuencia aritmética lineal.

• :a manera correcta de remover la tendencia en series estacionarias en diferencias es tomar ladiferencia de orden d , tal que 1−- d y t sea estacionaria.

El problema radica en que resulta imposible saber si una variable aleatoria es &%H( o &%1( porobservación de una muestra particular. IJué sucede si nos equivocamos en el método de remociónde la tendenciaK

• @i una variable estacionaria en diferencias es prefiltrada para remover la tendenciadeterminística, la%s( raí!%es( unitarias%s( no ha%n( sido removida%s(.

• @i diferenciamos una serie que es estacionaria en tendencia determinística obtendremos

1− L y t = 1 − L L t %4.1L(

la variable resultante tiene una representación que no es invertible. =n primer problema deuna representación no invertible es que posiblemente ésta ser# no estacionaria. =n se*undoproblema es que los al*oritmos de estimación requieren el uso de la representación invertibledel proceso %ver 3amilton %1QQ4( para los detalles(.

)omo puede verse, el problema de remoción de tendencia es importante. En realidad, lacorrecta caracteri!ación de una variable como estacionaria o no estacionaria es fundamental por lapresencia de dos fenómenos que estudiaremos un poco m#s adelante. En primer lu*ar, losestimadores cl#sicos %mínimos cuadrados o m#+ima verosimilitud( no conservan sus propiedades enmodelos que incluyen variables no estacionarias, sean como re*resores o variables de interés. Estoimplica que los tests de hipótesis estar#n distorsionados. En se*undo lu*ar, y m#s importante, lapresencia de variables inte*radas suele llevar al problema de correlación espuria, es decir, a obtenercomo resultado par#metros aparentemente si*nificativos y altas bondades de ajuste cuando las variables no est#n efectivamente relacionadas entre sí.

Para derivar tests que nos permitan discriminar la naturale!a de las variables económicasestudiaremos primero las propiedades asintóticas de los estimadores cl#sicos de mínimos cuadradoscuando las variables son estacionarias y lue*o sus contrapartes cuando las variables son noestacionarias. e esta comparación se derivar#n los principales resultados respecto del impacto delimpacto de las variables inte*radas sobre los tests de hipótesis y se demostrar# la necesidad de usar

distribuciones particulares para los diferentes tests de raíces unitarias que se utili!an frecuentementeen la pr#ctica.


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4.L

4.0, TEORÍA A SINT-TICA PARA PROCESOS CON TENDENCIAS DETERMINÍSTICAS

3asta el momento sólo hemos se2alado que los procesos estacionarios y noestacionariosson de naturale!a muy distinta respecto de su representación, memoria, y predicciones. Pero, enrealidad, las diferencias son mucho m#s profundas.

)onsideremos un modelo simple

y t = z t t %4.1Q(

si ε t es un proceso Vaussiano y . t es una %o m#s( variable determinística, entonces los estimadores demínimos cuadrados de los par#metros en una muestra de tama2o D son6

T =

[ T T ]

=

[∑t =1T

xt x t '

]−1

[∑T =1T

x t y t

]%4.


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4.Q

[ T − T − ]=[∑1 ∑ t

∑ t ∑ t 2]−1

[ ∑ t ∑ t t ] %4.(

es directo demostrar que ∑t =1

T

t =T T 1

2 en tanto que ∑

t =1

T

t 2=

T T 12T1

6.

Por lo tanto6

∑t =1

T

x t x t ' =[∑ 1 ∑ t ∑ t ∑ t 2]−1

=[ T T T 1/2T T 1/2 T T 12T1/6] %4.


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4.1H

que obviamente conver*e a Q=[ 1 1/21/2 1/3] .

Por otro lado, al estudiar el se*undo término de la ecuación %4.


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12/45

4.1<

1

T ∑

t =1

T

y t −1 t =1 /21 /T yT 2−1/21/T ∑

t =1

T

t 2 %4.>B(

dividiendo la ecuación %4.>B( por Z[ obtenemos

1

2T ∑t =1

T

y t −1 t =1 /2[ yT T ]2

−1/21/ 2 T ∑t =1

T

t 2 %4.>C(

El primer término del lado derecho de la ecuación %4.>C( es una S%H,1( al cuadrado, es decir\B( conver*e a 12 [!

21−1] .

0hora estudiamos el denominador de la ecuación %4.>H(. )omo y t −1 H,


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4.1>

4.04 MOVIMIENTOS RO/NIANOS PROCESOS DE /IENER

Domemos un proceso tipo paseo aleatorio y t = yt −1t . )onsideremos la innovaciónt = y t − y t −1 como proviniendo de una distribución S%H,1(. Entonces, y t =t t −1...1 y porlo tanto, yt ↝ N 0, t . )onsideremos y t − y s=t 1t 2... s , entonces se cumplen las si*uientespropiedades6

• [ y t − y s]↝ N 0, s−t

• [ y t − y s] es independiente de [ y r − yq ] si r q st .

@upon*amos, ahora, que ε t est# compuesto de dos procesos Vaussianos independientes,donde cada uno es una reali!ación de una distribución S%H,](6

t =et 1e t

2

donde podemos pensar que e 1 corresponde a una parte de 4y di*amos e t 1= y t −]− y t −1 .

bviamente, e t


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4.14

=na manera de visuali!ar qué es lo que implica este fraccionamiento5 se muestra en lai*ura 4.


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4.1?

"atem#ticamente, se puede escribir el proceso de îener como6

si y t es ^%t( entonces y t = t

:as si*uientes características de este proceso son importantes6

• )uando tWH, el proceso es dy=ε dt .

• Este proceso continuo no tiene derivada porque dy / dt = dt ½ . 1H

• Sótese que E [ dy ]=0 y V [ dy ]=dt .

• @ea .1(t = 76(t. Entonces esta transformación del proceso ori*inal es también unmovimiento 'roYniano, sólo que sus incrementos son i.i.d. (3 78 en ve! de (31.

e esta manera hemos pasado de procesos discretos a continuos. :os movimientos'roYnianos son procesos de îener, pues éstos se definen como un proceso estoc#stico Vaussianoen tiempo continuo 6 t que satisface las si*uientes propiedades %1( W t −W s↝ N [ , 2t − s] y% ! recoil in "ear and loat$in% "rom t$at deplorable evil; continuous "unctions wit$ no derivatives .

11 tros procesos de îener son el proceso de &to d0 =a 0 ( t dt b 0 ( t dw donde los par#metros son función de laposición de la serie y el îener *eométrico 0 /0 =a t b 6 para tasas de crecimiento.


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4.1B

@upon*amos un estimador curioso6 calcule la media muestral con la mitad de los datos bote el resto5.El estimador "' / < también cumple el D:). , de hecho, es independiente del mismo tipo deestimador hecho con la otra mitad de los datos.

Podemos *enerali!ar esto para la fracción r de los datos, con r #[H,1] para definir unafunción tipo peda2o % step (, es decir, la media calculada con una fracción r de la muestra de D datos56

Este resultado es llamado teorema del funcional dellímite central. )onsideremos ahora, la diferencia entre las ecuaciones %4.>Q( y %4.44(. :a ecuación

1< Sote que la fracción es una ra!ón de desviaciones est#ndares.1> Este resultado utili!a el Deorema de onser %1Q?1(.


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4.1C

%4.>Q( es para variables aleatorias, en tanto que la ecuación %4.44( es para funciones de variablesaleatorias. Sótese que la ecuación %4.>Q( es un caso particular de la ecuación %4.44( cuando r A1.

Este teorema del funcional del límite central se puede usar para obtener conver*encia enprobabilidad5 de funciones, etc. En particular, vamos a usar estos resultados para obtener lasdistribuciones de los distintos tests de raíces unitarias.

)onsideremos de nuevo el paseo aleatorio y t = y t −1t . @i y 3=3, entonces y t =t t −1t −< .... . efinimos la función estoc#stica6


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4.1L

'

−>< ∑

t =1

'

y t −1=' −>< [ 11< 1...]

='

−><

[ 1 ' −1< ' − ' −>... ]='

−>< ∑

t =1

'

' −t t =' −1

< ∑t =1

'

t −' −>< ∑

t =1

'

t t

%4.4Q(

=semos ahora un resultado que ya vimos en la ecuación %4./


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4.1Q

En este sentido, el mapeo5 toma la si*uiente forma6

( Ah &t A r

t Ah d6(r

y t A 6(r

Cua"r% 4.1

C%!+#rg#!cia #! $r%c#&%& #&'%c&'ic%&"odelo6 y t = y t −1t

/ariable )onver e a

T −12 ∑

t =1

T

t 'W 1

T −5/2∑

t =1

T

tyt −1&

0

1

rW r dr

T −1∑

t =1

T

t y t −1½

2'[W 12−1]

T −2

∑t =1

T

y t −12

2&0

1

[W r ]2 dr

T −32 ∑

t =1

T

y t −1 &0

1

[W r ]2 dr

T −32 ∑

t =1

T

t t W 1−&0

1

W r dr

T −3∑

t =1

T

tyt −12

&0

1

r [W r ]2 dr

' )1∑t =1

'

t ) 11)


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4.


21/45

4.(

)uya distribución límite cuando DWX es6

t ' :1 /


22/45

4.


23/45

4.

Figura 4.4Di&'ri6uci! "#l #&'ima"%r ) '#&' ' cua!"% #&'ima

u! AR718 c%! c%!&'a!'# ) #l +#r"a"#r% m%"#l% #& $a% al#a'%ri%

Dama2o de "uestra A 1HHH, S$mero de eplicaciones A 1HHH

Ca&% *. M%"#l% c%! c%!&'a!'# $#r% &i! '#!"#!cia "#'#rmi!5&'ica ) #l +#r"a"#r% $r%c#&% #& u! $a% al#a'%ri% c%! '#!"#!cia #&'%c&'ica.

@upon*amos que el verdadero proceso es y t = y t −1t ( y estimamos en y

y t = y t −1t por mínimos cuadrados ordinarios cuando 7 no es cero. emostraremos que la

distribución de los estimadores de 7 y cambia bastante con respecto a los casos anteriores

El proceso puede ser descrito como

y t = t y Ht t −1t −g


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4. %4.B(

es decir

[

' −

'

−1

]=

[

B ' B ' <

B ' < B ' >

]

−1

[

B ' 1 /<

B ' >/<

]%4.B4(

ahora basta con definir ' =[' 1/<

H

H ' > /


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4.


26/45

4. /


27/45

4.


28/45

4.


29/45

4.(, entre otros, provee tablas para cada tipo detest y nivel de si*nificancia.

Familia "# T#&'& P>illi$&;P#rr%!1

Phillips y Perron %1QLL( utili!an e+actamente el material de conver*encia que vimosanteriormente para desarrollar un test paramétrico de raíces unitarias para el caso que el residuosi*ue cualquier tipo de correlación serial %es decir, no necesariamente 0% p ((.

Primero, si la primera diferencia de la serie es estacionaria, t = Lt =∑ j=0

∞

j t − j , y Nt es

i.i.d. %H,Z[(, entonces la serie puede ser descrita como6

y t =1...t y0

=1

1...

t +t −+0 y

0

%4.C>?>4B.


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4.>H

[,02] t T −1/2

2−,0/T T / sT %4.C>(

' ' −1 −1/ L>B( y el test S*Perron %S* and Perron %


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4.>1

E!"%g#!#ia!"% la u6icaci! "#l @ui#6r#

Saturalmente, el test de Perron para quiebre estructural requiere conocer la fecha en queocurre el quiebre. Ello no es com$n. 'anerjee et al. %1QQ(6


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4.><

=no de los tests m#s populares es el de Yiatosvy et al. %1QQ


33/45

4.>>

)onsideremos ahora la predicción y E)" de ambos modelos. Para la ecuación %4.CQ(

y t s | t = yt

E [ y t s− y t s | t ]2

= s 2 %4.L1(

en tanto que para la ecuación %4.LH(

y t s | s = s y t

E [ y t s− y t s | t ]2=124... 2

%4.L(

con 0= y0=0 . :as proyecciones s periodos adelante y E)" para el verdadero modelo son6

y t s ∨ s=0

E [ y t s− y t s∨t ]2=2

%4.L4(

en tanto que para el modelo de la ecuación %4.L>( se obtiene

y t s | s=1t t −1...1

E [ y t s− y t s | t ]2=1 s−112 2 %4.L?(

de nuevo, si el k es cercano a 1, los procesos se parecen bastante en una muestra finita.

:a ra!ón de la equivalencia observacional es que en una muestra finita los procesos quetienen mucha memoria suelen asemejarse a aquellos que tienen raíces unitarias porque no haysuficiente información para determinar si los innovaciones son transitorios o permanentes.

IJué efecto tiene esto sobre los tests de raíces unitariasK

• Pérdida de poder cuando la 31 es cercana5 a 3o.• '$squeda de tests donde 3H sea estacionariedad %ver Yiatosvy et al., 1QQ


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4.>4

4.0< TESTS NO P ARAMGTRICOS DE R AÍCES UNITARIAS

=no de los tests no paramétricos de persistencia de una serie de tiempo m#s comunes es el

de )ochrane %1QLL(. El ar*umento es bastante simple y se basa en evaluar qué tan persistentes sonlas innovaciones del proceso estoc#stico. @i ellas son completamente persistentes, entonces e+isteuna raí! unitaria. @i ellas desaparecen en el tiempo, el proceso es estacionario en tendencia.

"edimos la persistencia de las innovaciones usando el hecho que toda variable cuya primeradiferencia es un proceso estacionario lineal, puede ser representada por una combinación deprocesos estacionarios % c t ( y camino aleatorio % . t (.

y t =. t c t . t =. t −1a 1 t

a 1=∑ N =H

∞

a N

c t =a - t a k

=− ∑ N =k 1

∞

a N

%4.LB(

donde Nt es ruido blanco, a(1 es la parte del innovaciones que no se disipa en el lar*o pla!o y es elderiva de la variable y t .

)ualquiera sea la forma en que se separen componentes transitorios y permanentes, la varian!a de este $ltimo es la misma y corresponde a6

. < = (a N

< < %4.LC(

0sí, se testea usando la ra!ón entre la varian!a de . y aquella de la primera diferencia de y t 6

O =. t

<

P t

< %4.LL(

• @i y t es D@, N∀ t no hay efecto permanente y Z[! y / tender#n a cero.

• @i y t es ^, N∀ t hay efectos permanentes que Z[! Z[ y /A1.

En términos pr#cticos, se estima una secuencia de /, variando el lar*o del intervalo en elnumerador6

V " =1

"

yt − y

t −"

2

yt − y

t −1 2

%4.LQ(

@e puede demostrar que O es equivalente a la suma de las autocorrelaciones de la serie m#suno. En muestras finitas se usa el estimador de la autocorrelación de la primera diferencia de la serie6


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4.>?

V $=12[ ∑

j=1

$−1$− j

$ % j ]

% j= T

T − j

!o % t , % t − j

ar % t

%4.QH(

:os términos$− j

$ y

T − jT

son correcciones por tama2o de muestra.

Prueba6 @ea el modelo 1−- y t = ) , - t = ) ∑ N =H

∞

N t − N . =sando la si*uiente identidad

1−- k1−- −1=1- ...- k−1 se puede obtener la diferencia de orden k de y t 6

y t − y t −k=k ) ∑ N =H

k−1

∑l =H N

l

t − N ∑ N =k

∞

∑l = N −k1 N

l

t − N .

:a varian!a es k


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4.>B

datos ori*inales, se corre el ries*o de darle demasiada importancia a capturar efectos estacionales M que en sí son secundariosM en desmedro de una mejor parametri!ación de las característicasprincipales del modelo. 0 pesar de lo importante que resulta este debate, la mayoría de los

investi*adores prefiere usar datos desestacionali!ados. :a justificación sería que, si bien estosmovimientos son anticipables, típicamente éstos no est#n directamente relacionados al objetivo delestudio y, por lo tanto, no resulta necesario modelarlos e+plícitamente.

Entre los métodos m#s comunes para remover la estacionalidad est#n el uso de variablesmudas estacionales y el método de promedios móviles, que incluye desde la variación en +periodos5 hasta el 0&"0 11. Esta $ltima es la metodolo*ía m#s popular tanto porque su nivelde desarrollo analítico es superior, como porque viene implementada como una opción sencilla deusar en muchos pro*ramas econométricos.

Este tipo de filtro asume que la estacionalidad es estoc#stica pero estacionaria. So obstante,si los componentes estacionales de una variable son estoc#sticos, es posible que ellos ten*an una raí!

unitaria no sólo en su comportamiento de lar*o pla!o, sino que también en los efectos estacionales.So reconocer la e+istencia raíces unitarias estacionales puede ori*inar problemas de correlacionesesp$reas y parametri!aciones inestables.

"#s a$n, cuando las series macroeconómicas son estacionalmente inte*radas %es decir, en elcaso que los shocs estacionales tienen componentes permanentes(, desestacionali!arlas con losmétodos cl#sicos resulta inadecuado. :a remoción de estacionalidad, adem#s, afecta el poder de lostests de raíces unitarias y de cointe*ración sobre cuyos resultados los econometristas se basan paradeterminar la forma funcional de los modelos y ju!*ar la calidad de las estimaciones.

@i la estacionalidad es determinística, removerla con la ayuda de variables estacionales notiene efecto al*uno sobre el desempe2o o resultado de los tests de raí! unitaria. @in embar*o, enpresencia de efectos estacionales estoc#sticos, los filtros tradicionales pueden afectar de manerasi*nificativa el poder de los tests de raí! unitaria. Vhysels %1QQH(


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4.>C

Este tipo de observaciones son las que han llevado, desde mediados de los a2os 1QLH, aldesarrollo de un *ran n$mero de tests de raíces unitarias en el componente estacional. Destsparamétricos incluyen los de icey et al. %1QL4(, 3ylleber*, En*le, Vran*er y oo %1QQH( y

-ohansen y @chaumbur* %1QQQ(. VeYee y Porter3uda %1QL>( proponen tests noparamétricos,mientras que ranses et al. %1QQC( proponen una metodolo*ía 'ayesiana para testear por raícesunitarias estacionales simult#neamente con cambio de medias estacionales, lo que incrementa elpoder de los tests basados en la hipótesis nula de no estacionariedad.


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4.>L

• @i 1=1 , la variable tiene una raí! unitaria no estacional %la raí! unitaria tradicional(.

• @i =1 y 4=1 , la variable tiene raí! unitaria trimestral.

:a implementación del test requiere definir las si*uientes variables au+iliares6

0 t 1=1- - 0 t −1=0 t −10 t −0 t −4

0 t =0 t −1−0 t −>

%4.Q0 t −1> −4 0 t −<

< t %4.Q>(

0l i*ual que en el test de iceyuller, la hipótesis nula del test es que e+isten raícesunitarias en los componentes anuales, semestrales y trimestrales. :a hipótesis alternativa es que las variables son estacionarias. pcionalmente, se puede incorporar una tendencia, la constante ydummies estacionales. Estas $ltimas capturan la presencia de estacionalidad no estoc#stica. :ainterpretación de los resultados es la si*uiente6

%a( @i no se puede recha!ar F H ; 1=H , e+iste una raí! unitaria no estacional en 0 t .

%b( @i no se puede recha!ar F H ; =4=H , e+iste una raí! unitaria estacional trimestral en 0 t&

:a interpretación de la hipótesis %a( es la est#ndar del test de iceyuller. Sótese que lahipótesis %c( requiere un test conjunto. En este caso, basta usar un test . 'ajo la hipótesis nula quehay raíces unitarias en la variable, los tests de hipótesis de los par#metros obtenidos no tienen ladistribución est#ndar normal, por lo que los resultados del test deben contrastarse con los valorescríticos tabulados por 3EV. stos, a su ve!, dependen de si la hipótesis nula incorpora re*resoresde intercepto, tendencia determinística y estacionalidad determinística.

0dem#s, debido a que el test se basa en la hipótesis de no estacionariedad en los distintoscomponentes, su poder es limitado para distin*uir procesos estacionarios con autocorrelacióncercana, pero distinta, a uno. :a inclusión de re!a*os de la variable dependiente, sin embar*o,permite controlar la eventual correlación de residuos y aumenta el poder del test. 0dem#s, la


39/45

4.>Q

inclusión de variables mudas estacionales, tendencia y constante permite enriquecer la hipótesisalternativa, que en ausencia de estas adiciones es que la serie es un ruido blanco.

Este modelo puede ser e+tendido para acomodar una hipótesis alternativa m#s rica que laque hemos considerado implícitamente hasta el momento %es decir, que yt es ruido blanco(. emanera equivalente a como se e+tiende el test de iceyuller se pueden incluir un intercepto,tendencia determinística, y estacionalidad determinística de la si*uiente manera6

1−- 4 0 t =1 0 t −11 −

<0 t −1

< >

0 t −1> −

40 t −<

< H t

1Q

1

<Q

<

>Q

>t %4.Q4(

A PGNDICE AH C-DIOS AUSS

/* Figura 4.1 Construye y grafica un proceso TS y uno DS */new;cls;library pgraph;len=1!;shoc"=rn#n$len%1&; /* Crea #ata rui#o blanco */'ara=(eros$len%1&; /* Define 'ariable */'arb='ara;#rft=!.!; /* Define #rift */'ara)1%1=!; /* Define punto #e parti#a */i=+;tita=,-roceso $1&,; /* Define titulos */titb=,-roceso $!&,;#o while i=len; 'ara)i%.=#rft0'ara)i1%.0shoc")i%1; /* Construye el ran#o2wal" */ 'arb)i%1='ara)1%10!.3*'arb)i1%10shoc")i%1; /* Construye el TS */ i=i01;en#o;

2ono$'ara%'arb&;en#;proc$!& = 2ono$#ata%rho&;graphset; pnu2ht=5!.+6; /* ta2a7o #e nu2eros */ p#ate=,,; /* o2ite fecha */ plwi#th = 8; /* ancho #e lineas */ pltype=596; /* tipo #e lineas */ ptitlht=5!.86; /* ta2a7o titulo */begwin#; win#ow$+%1%!&;

title$tita&; :y$sea$1%1%rows$#ata&&%#ata&;ne:twin#; title$titb&; :y$sea$1%1%rows$rho&&%rho&;en#win#;retp;en#p;


40/45

4.4H

/* Figura 4.+ Co2puta la #istribuci?$1& cuan#o los #atos fuerongenera#os por un paseo aleatorio */

new;library pgraph;

,Da2e el largo #e la serie $!0& , ;len=con$1%1&; /* pi#e largo #e #atos #es#e la consola */result=(eros$1!!!%+&;i=1;#o while i=1!!!; shoc"=rn#n$len%1&; /* crea #ata white noise */ 'ar1=(eros$len%1&; /* crea 'ariables */ @=+;

#o while @=len;'ar1)@%.='ar1)@1%.0shoc")@%1; /* crea ran#o2 wal"s con #rift */

@=@01; en#o;5bhat%that%co'b%sig2a+%st#e%see%rss%#%a"ai"e%schwar(%r+%r+a6=2yols$'ar1)+Arows$'ar1&%1%'ar1)1Arows$'ar1&1%1&; result)i%1=bhat;

result)i%+=$bhat1&/srt$co'b&; i=i01;en#o;2ono$result&;en#;

/* Figura 4.8 Co2puta la #istribuci?$1& con constante cuan#o los#atos fueron genera#os por un paseo aleatorio */new;library pgraph;,Da2e el largo #e la serie $!0& , ;len=con$1%1&; /* pi#e largo #e #atos #es#e la consola */result=(eros$1!!!%+&;i=1;#o while i=1!!!; shoc"=rn#n$len%1&; /* crea #ata white noise */

'ar1=(eros$len%1&; /* crea 'ariables */ @=+;

#o while @=len; 'ar1)@%.='ar1)@1%.0shoc")@%1; /* crea ran#o2 wal"s con #rift */

@=@01; en#o;5bhat%that%co'b%sig2a+%st#e%see%rss%#%a"ai"e%schwar(%r+%r+a6=2yols$'ar1)+Arows$'ar1&%1%ones$rows$'ar1&1%1&B'ar1)1Arows$'ar1&1%1&; result)i%1=bhat)+%1; result)i%+=$bhat)+%11&/srt$co'b)+%+&; i=i01;en#o;2ono$result&;en#;

/* Figura 4.4 Co2puta la #istribuci?$1& con constante cuan#o los

#atos fueron genera#os por un paseo aleatorio con #rift*/

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41/45

4.41

@=+;#o while @=len;

'ar1)@%.=!.!0'ar1)@1%.0shoc")@%1; /* crea ran#o2 wal"s con #rift */ @=@01; en#o;

5bhat%that%co'b%sig2a+%st#e%see%rss%#%a"ai"e%schwar(%r+%r+a6=2yols$'ar1)+Arows$'ar1&%1%ones$rows$'ar1&1%1&B'ar1)1Arows$'ar1&1%1Bsea$1%1%rows$'ar1&1&&; result)i%1=bhat)+%1; result)i%+=$bhat)+%11&/srt$co'b)+%+&; i=i01;en#o;2ono$result&;en#;

/* Cua#ro 4.+ Co2puta los 'alores crticos #e la #istribuci


42/45

4.4<

/* Co2puta Test #e Gi'ot y >n#rews */

proc (i'ot$'ar%2o#el&;local #'ar%l'ar%i%'ar%criter%const%tren#%right%su2%br"%linea%#u%#t%#tu%:%c'al1%

c'al+%#'ar%right;

#'ar=tri2r$$'arlag1$'ar&&%1%!&;l'ar=tri2r$lag1$'ar&%1%!&;if lags H!;

i=1;#o while i=lags; I generates lags I#'ar=#'arBshiftr$#'ar).%cols$#'ar&J%1%$2iss$!%!&&J&J;i=i01;

en#o;en#if;

#'ar=tri2r$#'ar%lags%!&; I tri2s 2atrices I'ar=tri2r$'ar%lags01%!&;l'ar=tri2r$l'ar%lags%!&;

criter=ones$rows$#'ar&%+&; I counters Iconst=ones$rows$#'ar&%1&;tren#=sea$1%1%rows$#'ar&&;

if lags==!;right=constBtren#Bl'ar; I generates ?KS Ielse;right=constBtren#B#'ar).%+Acols$#'ar&Bl'ar;

en#if;

su2=olss$'ar%right&; I are lags LMN I,DurbinOatson of Total Sa2ple = , su2)1%+;if su2)1%+=1.99;

,Pee# 2ore lags.,;en#;

en#if;

br"=tr20lags; I 2o'ing brea" point Ilinea=ones$rows$tren#&tr2lags%1&;

#o while br"=rows$#'ar&1;#u=tri2r$$(eros$br"%1&Qones$rows$#'ar&br"01%1&&%1%!&; I generates #u22ies I#t=tri2r$$(eros$br"%1&Qsea$1%1%rows$#'ar&br"01&&%1%!&;#tu=#uB#t;

if 2o#el==1;:=#uBright;c'al1=linea*$8.4&;c'al+=linea*$4.3&;elseif 2o#el==+;:=#tBright;c'al1=linea*$8.93&;c'al+=linea*$4.11&;elseif 2o#el==8;:=#tuBright;c'al1=linea*$8.E&;c'al+=linea*$4.3+&;

en#if;

criter)br"%.=olss$'ar%:&;

br"=br"01;en#o;retp$criter&;

en#p;


43/45

4.4>

/* Co2puta el esti2a#or no para2Rtrico #e Cochrane */

proc '''$y'&;library auto;local rhohat%'%"'%t%2 ;

t = rows$y'&; /* P?L D D>TLS S>DLS */2 = roun#$t/+&; /* >U D >TLCL??V>TLPS */y' = y'li$y'%1& ;y' = y')+Arows$y'&%1 ;' = ones$1%8&Q(eros$21%8& ;"' = 1 ;#o while "' 2 ; rhohat = $$LPS$"'%1&$1/$rows$y'&1&&*SW>$1%1%"'&&X$1&& .*>TLCL?$y'%1%"'& ; ')10"'%1 = 10+*SC$$LPS$"'%1&$1/$"'01&&*SW>$1%1%"'&&.*rhohat& ; ')10"'%+ = ')10"'%1*$10$1/SW?T$!.Y*$rows$y'&1&/$"'01&&&& ; ')10"'%8 = ')10"'%1*$1$1/SW?T$!.Y*$rows$y'&1&/$"'01&&&& ; "' = "'01 ;en#o ;retp$'& ;

en#p ;proc li$(%i&; local (%@; @=1;#o while @=i;(=lag1$(&;@=@01;en#o; retp$(&;en#p;


44/45

4.44

A PGNDICE H E JERCICIOS

1. En *eneral, hay dos modelos rivales para series macroeconómicas6

a y t = t L t b1− L y t = L t

donde t es una tendencia determinística, 9%:( es un modelo 0"0% pq ( y N es ruido blanco. bten*ael error cuadr#tico medio de la predicción de y t para el período t+s en estos modelos. I)u#l es ladiferencia fundamental entre ellosKIJué tan distintos son estos procesos cuando sWXK

. @upon*a que y t es un paseo aleatorio pero =d. estima un 0%1(, y t = y t −1t , pormínimos cuadrados ordinarios. :a desviación límite del estimador mínimos cuadrados ordinarios desu verdadero valor es

limT → ∞ T T −1=

1

T ∑ y t −1 t 1

T 2 ∑ y t −12

=1/22'[W 12−1]

2

'&0

1

[W r ]2dr

donde ^%1( es un proceso 'roYniano. I)ómo se afecta el test del par#metroK

)ontenidos)apítulo 4..................................................................................................................................................1"odelos de @eries de Diempo ..............................................................................................................1=nivariadas So Estacionarias...............................................................................................................14.H1 epresentaciones de Dendencias en 0n#lisis =nivariado.......................................................14.H< Deoría 0sintótica para Procesos con Dendencias eterminísticas.......................................C4.H> Deoría 0sintótica para Procesos con Dendencias Estoc#sticas............................................1H4.H4 "ovimientos 'roYnianos y Procesos de ^iener..................................................................1<4.H? uncional del Deorema del :ímite )entral.............................................................................144.HB Dests Empíricos Est#ndares de aíces =nitarias...................................................................H4.HL Equivalencia bservacional, Poder y Dests de aíces =nitarias........................................>14.HQ Dests So Paramétricos de aíces =nitarias.............................................................................><4.1H Dests de aíces =nitarias Estacionales.....................................................................................>4


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4.4?

0péndice 06 )ódi*os Vauss..............................................................................................................>L 0péndice '6 Ejercicios.........................................................................................................................4>

=ltima corrección6

Documents

Modelos de Series de Tiempo Estacionarios Univaluados III