_Econometria-Análisis de Series. Modelos Heterocedásticos

Análisis de Series. Modelos Heterocedásticos.

Alumno: Manuel Quesada Pegalajar

TRABAJO FIN DE MASTER.

Master en Estadística Aplicada.

Trabajo Fin de Master. Análisis de Series Temporales. Modelos Heterocedásticos.


1

Í NDICE

1.INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3

2.MODELOS SARIMA ................................................................................................................ 7

2.1.FORMULACIÓN GENERAL MODELOS ARIMA ......................................................... 7

2.2.PASOS EN LA CONSTRUCCIÓN DE LOS MODELOS ARIMA .................................. 9

PASO 1: Identificación de los términos del Modelo. ............................................................ 9

PASO 2: Estimación de los parámetros del Modelo. .......................................................... 12

PASO 3: Validación de Modelo. ......................................................................................... 17

PASO 4: Predicción. ........................................................................................................... 18

2.3.EJEMPLO DE MODELIZACIÓN ................................................................................... 19

PASO 1: Identificación del modelo..................................................................................... 20

PASO 2 y 3: Estimación de los parámetros y validación del modelo. ................................ 22

PASO 4: Predicción. ........................................................................................................... 28

3.MODELOS ARCH Y GARCH................................................................................................ 31

3.1.MODELO ARCH .............................................................................................................. 31

3.1.1.MODELO ARCH(1) .................................................................................................. 32

3.1.2.MODELO ARCH(r) ................................................................................................... 33

3.2.MODELO GARCH ........................................................................................................... 34

3.2.1.MODELO GARCH(1,1) ............................................................................................ 35

3.2.2.MODELO IGARCH .................................................................................................. 36

3.2.3.MODELO EGARCH ................................................................................................. 37

3.3.CONSTRUCCIÓN DE LOS MODELOS ......................................................................... 38

PASO 1: Identificación de los términos del Modelo ........................................................... 38

PASO 2: Estimación de los parámetros del Modelo ........................................................... 38

PASO 3: Diagnosis.............................................................................................................. 40

3.4.EJEMPLO MODELO GARCH ....................................................................................... 41

4.MODELOS SV ........................................................................................................................ 48

4.1.MODELO SV(1) ............................................................................................................... 48

5.CONTRASTES DE AUTOCORRELACIÓN. ........................................................................ 50

5.1.CONTRASTE DE DURBIN-WATSON (1951) ............................................................... 50

5.2.CONTRASTE DE WALLIS (1972) ................................................................................. 54

5.3.CONTRASTE DE DURBIN (1970) ................................................................................. 54

5.4.CONTRASTE DE BREUSCH-GODFREY (1978) .......................................................... 56




2

5.5.CONTRASTE DE BOX-PIERCE-LJUNG....................................................................... 58

5.6.SOLUCIONES PARA LA AUTOCORRELACIÓN ........................................................ 59

5.6.1.MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS .............................. 59

MÉTODO ITERATIVO DE COCHRANE-ORCUTT ....................................................... 62

MÉTODO DE PRAIS-WINSTEN ..................................................................................... 63

MÉTODO DE DURBIN .................................................................................................... 63

6.HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL.CONTRASTES. ............................................ 65

6.1.CONTRASTES DE WHITE ............................................................................................. 65

6.2.CONTRASTES DE BREUSH-PAGAN/GODFREY ....................................................... 67

6.3.CONTRASTES DE GOLDFELD-QUANDT................................................................... 69

6.4.CONTRASTES DE GLESJER ........................................................................................ 70

6.5.CONTRASTES DE RESET RAMSEY ........................................................................... 71

6.6.CONTRASTE ARCH ....................................................................................................... 71

6.7.SOLUCIONES PARA LA HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL ..................... 72

6.7.1.HETEROCEDASTICIDAD CONOCIDA ................................................................. 72

6.7.2.HETEROCEDASTICIDAD DESCONOCIDA ......................................................... 74

7.MULTICOLINEALIDAD CON SERIES DE TIEMPO. ........................................................ 76

7.1.DETECCIÓN DE LA MULTICOLINEALIDAD ............................................................ 76

7.2.SOLUCIONES AL PROBLEMA DE MULTICOLINEALIDAD ................................... 78

8.HIPÓTESIS DE NORMALIDAD. .......................................................................................... 80

ANEXO ....................................................................................................................................... 81

ANEXO A ................................................................................................................................... 84

BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................... 86




3

1.INTRODUCCIÓN

Una serie temporal o cronológica se define como la evolución de una variable a lo largo del tiempo, es decir, es una secuencia ordenada de observaciones en la cual, la ordenación se hace en base al tiempo (de ahí el nombre de temporales). También puede hacerse tal ordenación por otros criterios como por ejemplo el espacio.

Hay casos en los que la variable observada tiene un patrón de comportamiento fijo. En términos estadísticos estamos ante una serie determinista. Por el contrario, hay series que resultan impredecibles. Su pauta de comportamiento no responde a un patrón fijo, por lo que son puramente aleatorias. Un ejemplo típico es la sucesión de números premiados en un sorteo de loterías. En general, las series contienen una componente determinista y una componente aleatoria.

Los objetivos que se persiguen con el estudio de las series temporales son los siguientes:

Obtener una descripción concisa del fenómeno generador de la serie de datos.

Construir un modelo que aproxime de la forma más fielmente posible el comportamiento de la serie de datos

Predecir valores desconocidos (en el futuro o en el pasado), de la serie a partir de la información disponible.

Controlar el proceso generador de la serie, examinando qué puede ocurrir cuando se alteran algunos parámetros del modelo o estableciendo políticas de intervención cuando el proceso se desvíe de un objetivo preestablecido más de una cantidad determinada.

Una característica fundamental de una serie temporal es que sus observaciones

son dependientes o correladas y, por tanto, el orden en que se recogen las observaciones es muy importante.

Podemos distinguir diferentes enfoques en el análisis de Series Temporales:

Métodos tradicionales. Se basan en la descomponen la serie en

componentes que se conjugan de acuerdo a alguna función (generalmente sumadas o multiplicadas, esquemas aditivo o multiplicativo). También se consideran como técnicas clásicas las de alisamiento exponencial, donde el objetivo es predecir el valor de la serie de forma sencilla y “automática”.

Métodos basados en modelos de procesos estocásticos (Metodología de Box-Jenkins (1970)). Se fundamenta en ajustar un modelo a los datos seleccionándolo de entre aquellos de una cierta familia. La predicción en este caso se realiza suponiendo que la estructura del modelo permanece invariante en el tiempo, es decir, que en el futuro, el modelo sigue siendo adecuado para modelizar la serie.




4

Métodos univariantes y métodos multivariantes. Estos atienden a la

dimensión de la magnitud en estudio. En este sentido también tiene interés el estudio de causalidad entre las variables y los modelos matriciales, extensión de los univariantes.

Análisis en el dominio del tiempo y análisis en el dominio de las frecuencias. Explotan las características fundamentalmente de la función de correlación y densidad espectral. Aunque existe una relación entre ellas, ambas ponen de manifiesto características complementarias en el análisis de la serie.

Nos vamos a basar en la metodología de Box-Jenkins, en el cual el desarrollo estadístico se realiza a partir de un proceso estocástico estacionario (en sentido amplio o débil) y para procesos que se puedan transformar en estacionarios mediante transformaciones (diferenciación, ARIMA, o Box-Cox).

Cuando se produce la ausencia de la tendencia (determinista o aleatoria), hay un numeroso conjunto de teorías y desarrollos matemáticos centrados en la diferenciabilidad de la serie temporal y en la existencia o no de raíces unitarias a partir de los conocidos test de Dickey y Fuller, de Mackinon o de Phillips y Perron. Estas series se pueden describir con los modelos ARIMA o SARIMA. Sin embargo, el estudio de la componente de varianza constante es un fenómeno menos extendido y, de manera que el no tener en cuenta una posible no constancia de esta componente, puede suponer diversos problemas estadísticos cuando se estiman modelos (problemas ligados con la eficiencia de los parámetros estimados y su fuerte volatilidad ante el amplio intervalo de confianza en el que se mueven). Por tanto, para determinar un patrón de comportamiento estadístico para la varianza, se encuentran los Modelos Autorregresivos Condicionales Herocedásticos: ARCH. Engle, 1982, es el autor de una primera aproximación a la varianza condicional. Para justificar el desarrollo de estos modelos heterocedasticos condicional autorregresivos, este autor, cita tres situaciones para exponer por qué estos modelos fueron propuestos para explicar ciertas propiedades que no pueden ser explicados por los modelos ARIMA y que aparecen con frecuencia en series temporales estacionarias de datos financieros y ambientales de alta frecuencia:

1. La experiencia empírica nos lleva a contrastar períodos de amplia varianza de error seguidos de otros de varianza más pequeña. Es decir, el valor de la dispersión del error respecto a su media cambia en el pasado, por lo que es lógico pensar que un modelo que atienda en la predicción a los valores de dicha varianza en el pasado servirá para realizar estimaciones más precisas.




5

2. En segundo lugar, Engle expone la validez de estos modelos para determinar los criterios de mantenimiento o venta de activos financieros. Los agentes económicos deciden esta cuestión en función de la información proveniente del pasado respecto al valor medio de su rentabilidad y la volatilidad que ésta ha tenido. Con los modelos ARCH se tendrían en cuenta estos dos condicionantes.

3. El modelo de regresión ARCH puede ser una aproximación a un sistema más

complejo en el que no hubiera factores innovacionales con heterocedasticidad condicional. Los modelos estructurales admiten, en multitud de ocasiones, una especificación tipo ARCH infinito que determina con parámetros cambiantes, lo que hace a este tipo de modelos capaces de contrastar la hipótesis de permanencia estructural que supone una de las hipótesis de partida y condición necesaria para la validez del modelo econométrico tradicional..

Esta series tienen poca estructura en la media y siguen paseos aleatorios o procesos AR de orden bajo y coeficiente pequeño. Además puede ocurrir que aunque la serie de rendimientos parezca un ruido blanco, su distribución no sea normal, y muestre colas pesadas y alta curtosis; y que los datos estén casi incorrelados, pero al calcular las autocorrelaciones de los cuadrados se observa una fuerte estructura de dependencia. Otra propiedad es que la varianza de los residuos no es constante y aparecen rachas de mayor variabilidad seguida de rachas de menor variabilidad. Por eso se plantean este tipo de modelos, es decir, van a ser modelos con varianza marginal constate, y varianza condicionada a los valores del pasado de la serie no constante, ya que depende de estos valores previos.

El modelo ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroscedastic), supone que la varianza condicional depende del pasado con estructura autorregresiva.

Estos modelos fueron generalizados por Bollerslev (1986) para dar lugar a los modelos GARCH que incorporan a esta dependencia términos de media móvil. Proporcionan buenos ajustes con p y q pequeños (la mayoría de las series temporales financieras pueden modelizarse correctamente con un GARCH(l,l)). Bollerslev(1986) proporciona la justificación teórica de esta última afirmación expresando los procesos GARCH(p,q) como un ARCH(∞). Otra propiedad importante de los modelos GARCH, de interés en el área financiera, es que son una aproximación a procesos de difusión. Así, Nelson(1990) prueba la convergencia del modelo GARCH(l,l) con errores condicionales normales a un proceso de difusión continuo con distribuciones estacionarias no condicionadas t.

Otra clase de modelos más flexible son los modelos de volatilidades estocásticas (SV) introducidos por Harvey, Ruiz y Shephard (1994) y Jacquier y Polson y Rossi. Estos modelos reproducen algunas de las propiedades típicas de las series financieras, tales como exceso de curtosis, agrupamiento de los periodos de la volatilidad, correlación en los cuadrados de la serie,…Se difiere de los anteriores en que la




6

volatilidad es una componente no observable cuyo logaritmo suele modelizarse mediante un proceso lineal autorregresivo.

En resumen, al considerar la volatilidad como un proceso estocástico se busca ajustar un modelo que permita describir y analizar su comportamiento presente y a partir de éste su comportamiento futuro. Para el caso de procesos de varianza constante la metodología de Box-Jenkins ha sido ampliamente utilizada, sin embargo, este supuesto no es sostenible en varias áreas de investigación, por lo que se deben consideran otras alternativas. Dentro de estas alternativas, destacamos los modelos ARCH (Autorregresive Condicional Heterocedastic) y GARCH (Generalized Autorregresive Condicional Heterocedastic) propuestos por Engle (1982) y Bollerslev (1986) respectivamente, modelos que permiten especificar el comportamiento de la varianza. Así como son los modelos de volatilidades estocástica (SV) introducidos por Harvey, Ruiz y Shephard (1994) y Jacquier y Polson y Rossi.




7

2.MODELOS SARIMA

Vamos a describir los modelos ARIMA como uno de los métodos de predicción basados en series temporales.

La metodología que seguiremos es la propuesta por Box-Jenkins, que consta de cuatro etapas:

1. Identificación

Consiste en elegir uno o más modelos ARIMA, SARIMA como candidatos que pueden representar adecuadamente el comportamiento de la serie. En ésta etapa deben determinarse las transformaciones necesarias para conseguir estacionariedad, contraste de inclusión de un término de tendencia determinística (θ0) y elegir los órdenes p y q para cada uno de los modelos competitivos.

2. Estimación Consiste en estimar los parámetros de cada uno de los modelos identificados en la fase anterior.

3. Diagnosis (Validación) Trata de determinar si los modelos identificados y estimados son adecuados para representar a los datos. Las deficiencias encontradas en ésta etapa pueden utilizarse cómo información para reformular los modelos.

4. Predicción Con los modelos que han sido diagnosticados favorablemente, se pueden realizar predicciones. Esta etapa también puede poner de manifiesto qué modelos poseen deficiencias a la hora de predecir, y puede utilizarse como herramienta de validación de los modelos.

Para evaluar la calidad del ajuste teniendo en cuenta el número de parámetros estimados en el modelo y la verosimilitud, existe el criterio AIC (Criterio de información de Akaike); cuanto más pequeño sea el valor del criterio de información, mejor será el modelo.

2.1.FORMULACIÓN GENERAL MODELOS ARIMA

Vamos a realizar la formulación general que presenta el modelo ARIMA de órdenes p, d y q, es decir, el modelo ARIMA(p,d,q) es la siguiente:

1 (1) donde es la variable de estudio, c una constante y es el término de error o residuo, que sigue una distribución normal de media cero y varianza constante . El término 1 se aplica a la serie original para convertirla en estacionaria, y d corresponde al orden de la parte I del modelo ARIMA. y son polinomios de orden p y q que dependen del operador de retardo B.




8

El operador de retardo B está definido por: . El polinomio se define como: 1 ∑ (2)

donde y donde 1,… , son los coeficientes del polinomio . p es el número de términos del polinomio y el orden correspondiente a la parte AR del modelo ARIMA. El polinomio se define como 1 ∑ (3)

donde y donde 1,… , ! son

los coeficientes del polinomio . q es el número de términos del polinomio y el orden correspondiente a la parte MA del modelo ARIMA. Por tanto, si sustituimos (2) y (3) en la expresión (1) se obtiene: "1 #1 "1 # Los residuos , $ %&'(, !) * 1,… , + se obtiene de la ecuación anterior: "1 #1 " # En conclusión, el modelo ARIMA está compuesto de tres partes: una parte AR de orden p, una parte I de orden d y una parte MA de orden q. El número de términos para los polinomios y , es decir, los órdenes de la parte AR y MA respectivamente, así como el orden de la parte I del modelo ARIMA se determinan en el siguiente paso (utilizando la metodología de Box-Jenkins) que explicaremos a continuación, y dependen de la serie temporal para la cual se realiza el estudio.

Nota: el modelo definido (1) relaciona la variable $ con sus pasados a través del polinomio , y el error presente con los errores pasados a través del polinomio .




9

2.2.PASOS EN LA CONSTRUCCIÓN DE LOS MODELOS ARIMA

PASO 1: Identificación de los términos del Modelo. En este paso vamos a identificar el número de términos de los polinomios

y , es decir, vamos a determinar el valor de p y q, así como el orden de la parte I del modelo ARIMA. En este punto procederemos de la siguiente forma:

Análisis inicial de la serie. Vamos a identificar las principales características de la serie temporal:

- Alta frecuencia - Comportamiento no estacionario. - Presencia de estacionalidad de los datos.

Cuanto menor es el tiempo transcurrido entre dos datos de la serie, mayor es la frecuencia de la serie. La alta frecuencia es una característica intrínseca que no puede corregirse. Para la corrección de la no estacionariedad se pueden realizar dos tipos de transformaciones (véase el anexo A) sobre la serie original de datos:

• Para estabilizar la varianza normalmente se toman transformaciones de Box-Cox: logaritmo, raíz cuadrada, etc. También sirven estas transformaciones para obtener normalidad a los datos (ver Apéndice A).

• Para estabilizar la media se toman diferenciaciones del tipo: ,- 1 - - $ . 1,… , +

Existe estacionalidad en los datos cuando los datos que componen la serie presentan un comportamiento cíclico o periódico. Por ejemplo, para la serie de precios de la energía eléctrica existe estacionalidad diaria, un día suele ser parecido al día anterior; es decir, los martes tienden a ser similares a los lunes, los miércoles similares a los martes, y así sucesivamente. La serie de precios también presenta estacionalidad semanal, un día suele ser parecido al mismo día pero de la semana anterior; es decir, los lunes tienden a ser similares a los lunes, los martes similares a los martes, y así sucesivamente. Si los datos presentan estacionalidad, la formulación del modelo ARIMA resulta:

/-1 1 - 0".#$ donde s representa el tipo de estacionalidad que presentan los datos, s = 24 en el caso de

estacionalidad diaria y/o s = 168 en el caso de estacionalidad semanal. D corresponde a la parte I del modelo ARIMA estacional. Normalmente D toma los valores 1 y 2. /- y 0- son polinomios que dependen del operador de retardo Bs.




10

El polinomio /- se define como:

/- 1 1 /23

2 2- donde /- /- /- /33- y /2 4 1,… , 5 son los coeficientes del polinomio /-; P es el número de término del polinomio de /- y el orden correspondiente a la parte AR del modelo ARIMA estacional.

El polinomio 0- se define como:

0- 1 1046

41 4. donde 0- 0- 07- 0887- y 02 4 1,… , 6 son los

coeficientes del polinomio 0-; P es el número de término del polinomio de 0- y el orden correspondiente a la parte MA del modelo ARIMA estacional.

Estos modelos ARIMA con una estacionalidad se denota como SARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s.

Estudio de la función de autocorrelación (FAC) y la función de autocorrelación parcial (FACP). A través de la representación de estas funciones se determinan los órdenes p, d, q del modelo ARIMA y los órdenes P, D y Q del modelo ARIMA estacional. La representación gráfica del coeficiente de autocorrelación 9: es lo que se denomina FAC. Cuya expresión es:

;2 1+ ∑ <=2 <>21+ ∑ <>

Donde < es la media de . Considerando la serie ? $ @A1$1 @A2$2 @A42$42 @A41$41 $ 4 1, … , +, donde @C, @C, … , @C2, @C2 son los valores estimados

de los parámetros que componen el modelo de regresión entre la serie y cada una de

las series , , … , 2=, 2=. Además ? es la serie que recoge la parte de no explicada por cada una de las series , , … , 2=, 2=. Y la serie E $4 FG1$1 FG2$2 FG42$42 FG41$41 $ 4 1, … , + donde FG, FG, … , FG2, FG2 son los valores estimados de los parámetros que componen el modelo de regresión entre la serie 2 y cada una de las series , , … , 2=, 2=. Además E es la serie que recoge la parte de 2 no explicada por cada una de las series , , … , 2=, 2=.

Las series ? H E se obtienen mediante técnicas de regresión.




11

El coeficiente de autocorrelación parcial de orden k es el coeficiente de correlación entre ? H E, ya que ? H E se han calculado con separación k. El coeficiente de autocorrelación parcial de orden k se define como:

IJ,K 1+ 4 ∑ ? ?<E EL>2=M 1+ 4 ∑ ? ?<>2= M 1+ 4 ∑ E EL>2=

Donde ?< y EL son las medias de las series ? H E,respectivamente y T es el número de componentes de las series , ? H E.

Una vez definidos los coeficientes anteriores se estabiliza la varianza, aplicando

la transformación de Box-Cox necesaria, a continuación se identifican los órdenes d y D del modelo ARIMA y por último se identifican los órdenes p, q, P y Q. Para identificar los órdenes d y D del modelo, se representa la FAC de la serie. Si se observa un patrón de comportamiento periódico en los múltiplos de s como en 12, 24, 36,… con decrecimiento lento a cero es necesario incluir D (generalmente 1 o 2). Si los primeros valores son elevados con un decrecimiento muy lento, entonces d debe de incluirse en el modelo. Los patrones que deben seguir la FAC y la FACP para la identificación de los órdenes del modelo ARIMA. El patrón que deben seguir la FAC y la FACP para la identificación del orden de un modelo puro AR(p) es el siguiente: la FACP presenta los p primeros valores distintos de cero y el resto de valores son cero o muy próximos a cero con un comportamiento sinusoidal, y la FAC presenta un decrecimiento exponencial y/o un comportamiento sinusoidal. El patrón que deben seguir la FAC y la FACP para la identificación del orden de un modelo puro MA(q) es el siguiente: la FAC presenta los q primeros valores distintos de cero y el resto de valores son cero o muy próximos a cero con un comportamiento sinusoidal, y la FACP presenta un decrecimiento exponencial y/o un comportamiento sinusoidal. El patrón que deben seguir la FAC y la FACP para la identificación de los órdenes p y q de un modelo ARMA(p,q) es una superposición de los patrones que presentan estas funciones para un modelo AR y MA: en la FAC, q – p + 1 valores iniciales distintos de cero y a continuación un decrecimiento exponencial y/o un comportamiento sinusoidal debido a la parte AR; y en la FACP, q – p + 1 valores iniciales distintos de cero seguidos de un decrecimiento exponencial y/o un comportamiento sinusoidal debido a la parte MA.




12

Con todo esto queda establecido cómo identificar los órdenes p y q correspondientes a la parte no estacional del modelo ARIMA. Para la identificación de los órdenes P y Q, correspondientes a la parte estacional del modelo ARIMA, el procedimiento es similar, con la diferencia de que en lugar de observar los primeros valores de la FAC y la FACP se observan los valores que presentan un comportamiento periódico. Por ejemplo, en el caso que se presente estacionalidad diaria (s = 24) los valores que habría que observar son el 24, el 48, el 72, el 96, … A modo de resumen presentamos el siguiente cuadro:

FAC

FACP

AR (p) Decrece exponencialmente

o cómo una sinusoide amortiguada

Corta tras el retardo p

MA (q) Corta tras el retardo q Decrece exponencialmente

o cómo una sinusoide amortiguada

ARMA (p, q) Decrece Decrece

PASO 2: Estimación de los parámetros del Modelo. Una vez identificados los términos que contiene el modelo se estiman los

parámetros que lo constituyen. La estimación de los parámetros del modelo se puede hacer a través de por

medio de diferentes métodos. El método más utilizado es el método de verosimilitud, aunque en los modelos autorregresivos, la estimación utilizada es el método de los momentos.

La maximización de la función de verosimilitud es no lineal en el sentido de que la función a maximizar no es una función cuadrática de los parámetros desconocidos. Esta maximización es por tanto realizada numéricamente. Por ello, la convergencia al máximo será más rápida si se parte de un valor inicial de los parámetros próximo al valor de convergencia. Hay distintos métodos para el cálculo de estos valores iniciales, dos de ellos para el caso autorregresivo (método de Yule-Walker y algoritmo de Burg) y otros dos para un caso general (algoritmo de las innovaciones y algoritmo de Hannan-Rissanen).




13

El método de Yule-Walker, es un método de estimación que se utiliza para

procesos autorregresivos puros. Consiste en plantear el sistema de ecuaciones de Yule-Walker y proceder a su resolución sustituyendo en dicho sistema las autocorrelaciones por sus estimaciones. Por tanto, se iguala momentos teóricos con estimados. Si la serie tiene estructura AR(p): , las ecuaciones de Yule-Walker se obtienen calculando las covarianzas o correlaciones de con 2 4 N 1 con lo que obtenemos la ecuación en diferencias:

OF2 1F2 F2P;2 1;2 ;2 Q Como estas funciones son pares, podemos plantear un sistema de p ecuaciones con p incógnitas. Al resolverlas obtenemos la estimación de los parámetros , sustituyendo los valores de las covarianzas o correlaciones teóricas por sus estimaciones muestrales. El valor de la varianza de se obtiene de la ecuación:

FR ST UF…FV

ecuación para k = 0. Las covarianzas del modelo teórico así obtenido coinciden con las muestrales para los valores k = 0,1,…,p.

Para tamaños muestrales grandes, la distribución del estimador así obtenido es: A W X", YΓ#,

donde Γ "F#,,…, es la matriz que contiene las covarianzas y aparece en la

formulación del sistema de ecuaciones de Yule-Walker. Si se reemplaza y Γ por sus

estimaciones, podemos calcular regiones de confianza para muestras de tamaño elevado. Así un intervalo de confianza para un valor vendrá dado por:

[ \] ⁄ _GY

donde es el elemento ii de Γ, y una región para el vector completo:




14

"A #SΓ"A # ` G√Y b,]

Por tanto este método proporciona la estimación de los parámetros bajo la hipótesis de que la FAC estimada coincida con la teórica para los primeros retardos. El algoritmo de Burg es otro método muy parecido al anterior. Se usa también en el caso de un proceso autorregresivo puro. Los estimadores son precisamente los coeficientes del mejor predictor lineal = en función de las p observaciones

anteriores, bajo la hipótesis de que su función de autocorrelación coincide con la función de autocorrelación muestral en los retardos 1,…,p. La diferencia con el método de Yule-Walker se basa en que el coeficiente que multiplica a Bp, es decir el último factor del polinomio de retardos, se calcula minimizando los errores de predicción un paso hacia adelante y hacia atrás. Los coeficientes de los restantes factores Bk se calculan dividiendo la suma de los cuadrados de los errores de predicción un paso adelante y hacia atrás del modelo ajustado (si es un AR(p) habrá T-p en cada sentido) entre el número de sumandos ( es decir, 2(T-p)). El algoritmo de las innovaciones es válido para procesos con estructura MA y ARMA. Consiste en ajustar modelos MA a los datos: Ac Accc , siendo W X0, EGc mediante el algoritmo siguiente:

Sea 4, ef, g, entonces ER 41,1 h,h2 E2 i4Y 1, Y 1 1 2,2 h,hE

2R j , 0 ` 4 ` Y

Eh 4Y 1, Y 1 1 h,h EhR

Así procedemos siguiendo la siguiente secuencia: ER W , E W , , E W kk, k k, Ek W Nos vamos a apoyar en el siguiente teorema: Si W lm! con enop q ∞ y si definimos R 1 y 0 para j > q. Si Y W ∞ y m (n) es una sucesión que verifica

m(n) W ∞ pero ch√hs W 0. Entonces para todo k entero, la distribución de




15

1√Y " Ac , … , Ac2 2#S Converge a una distribución normal multivariante de media cero y matriz de covarianza A = (aij), donde

& 1 t tch(,)

t

Además EGc es un estimador consistente de .

Hay que observar que " A, … , A#S no es estimador consistente de los parámetros sino

que se calcula al aumentar el orden del proceso MA y truncar los parámetros al nivel q,

es decir, " Ac, … , Ac#S. Para procesos ARMA, y bajo la hipótesis de estacionariedad, el polinomio Φ es invertible, y la representación MA∞ de la serie será por tanto

1/v

R

donde los coeficientes satisfacen

/ 1 /cíh(,)

R 1, 0,1, …

con R 1 y 0 para j > q.

Así podemos estimar los coeficientes /, … , /= por el algoritmo de las innovaciones " Ac, … , Ac,=#S. Reemplazar estos valores en la ecuación anterior y calcular las

estimaciones de y . En primer lugar, de las últimas p ecuaciones, calculamos (los son nulos).

U Ac,=… Ac,=V xyz Ac, Ac, … Ac,= Ac,= … Ac,=

Ac,… Ac,= ……… Ac,=… Ac, |

U…V

Y por último determinamos los de las ecuaciones




16

Ac 1 A Ac,cíh(,)

, 1,… , !

Finalmente: G EGc. El algoritmo de Hannan-Rissanen es válido para procesos con estructura AR(p), tiene la expresión de un modelo de regresión, por tanto, una estimación preliminar puede hacerse usando mínimos cuadrados, y ARMA(p,q), es algo más complicado porque depende de cantidades no observadas . Sin embargo, se puede aplicar este procedimiento (mínimos cuadrados) si reemplazamos por estimaciones suyas. Así el algoritmo consta de los siguientes pasos: Paso 1: Ajustamos un modelo AR(m) de orden alto ( m > máxp,q) usando por

ejemplo Yule-Walker. Así obtenemos "Ac, … , Acc#S. Paso 2: Estimamos los residuos del modelo anterior ~ Ac Accc, $ % 1,… , Y

Paso 3: Estimamos los parámetros ", … , , , … , #S mediante una regresión

mínimo cuadrática sobre y ~, minimizando

@ 1 " ~ ~#hc=

Con respecto a @, es decir: @C SS> > c=, … , h

c c … c= ~c ~c … ~c=c= c … c= ~c= ~c … ~c=…h …h …… …h …~h …~h …… …~h

Paso 4: Por último,

G "@C#Y %

Vamos a explicar la estimación de los parámetros mediante la minimización de la suma de los residuos al cuadrado.




17

Consiste en minimizar:

1 "1 #1 " #>c7(,)==

Sujeto a: 1 1,… , 1 1,… , !

Donde son las raíces del polinomio ( 0) y son las raíces del

polinomio ( 0). La primera restricción se aplica para asegurar que el modelo AR(p) cumple la condición de estacionariedad, y la segunda restricción se aplica para asegurar que el modelo MA(q) cumple la condición de invertibilidad. La sumatoria de los residuos al cuadrado comienza en $ %&'(, !) * 1 , ya que no

se dispone de datos para las series y , t = 1,2,…,T, cuando 1 t < 1. es un ruido blanco que se genera de forma aleatoria.

El vector de parámetros a estimar es ", , … , , , … , #. Al resolver este problema

se obtienen los valores estimados de los parámetros que componen el modelo. Por tanto, el modelo estimado queda: "1 A A#1 "1 A A# Los residuos estimados son: "1 A A#1 " A A# (4)

que han de comportarse como ruido blanco si el modelo es correcto.

PASO 3: Validación de Modelo. Para asegurar la validez e idoneidad del modelo y la efectividad de las

predicciones, los residuos estimados (4) se deben comportar como un ruido blanco. Un ruido blanco es una serie de datos que se caracteriza por tener distribución normal, media y covarianza nulas y varianza constante. Para comprobar que los residuos estimados obtenidos según (4) son ruido blanco:

• Representamos FAC y la FACP para los residuos: si los residuos estimados según (4) son ruido blanco, tanto en la FAC como en la FACP de estos residuos




18

no debe aparecer ningún valor significativo; es decir, los valores de estas funciones deben ser muy pequeños y estar dentro de las bandas de confianza 1S96√+ , 1S96√+ Estas son bandas asintóticas al 95 % de confianza, donde T es el número de valores de la serie .

• Test de Ljung-Box: este test indica si existe dependencia entre los m primeros residuos estimados (4), es decir, si estos residuos presentan correlación no nula. El estadístico de Ljung-Box se define como:

6 ++ 2 1 ;G+ c

Donde ; es el coeficiente de autocorrelación de los residuos estimados según (4).T es el número de valores de la serie y r es el número de parámetros estimados.

Este estadístico, Q, se distribuye como una Chi-cuadrado con un número de grados de libertad igual al número de coeficientes utilizados en la suma, m, menos el número de parámetros estimados r menos 1 (m-r-1).

En la mayoría de los casos es suficiente con representar la FAC y FACP, ya que si no presentan valores significativos, el valor del estadístico Q será pequeño, y por tanto se puede considerar que existe independencia entre los residuos. Si se comprueba que el modelo es adecuado, se puede continuar con el procedimiento y calcular las predicciones. En caso contrario, se estudia el comportamiento de los residuos estimados según (4), lo que ayuda a identificar un nuevo modelo; se vuelve al paso 2 y se repite todo el proceso.

PASO 4: Predicción.

Después de obtener el modelo y comprobar su validez, se puede proceder a predecir.

La predicción óptima de >=2, A>=2, es el valor esperado de >=2 condicionado a que se conoce , , … , >, es decir, la esperanza condicionada de >=2 conocido , , … , >. De forma análoga se procede con los residuos. Por lo tanto: A>4 en>=2|> , … , p




19

>4 en>=2|> , … , p Donde T representa el origen de la predicción y k el horizonte de la misma. Las fórmulas correspondientes a las predicciones que se quieren obtener, según el modelo estimado, son: >=2 A>=2 A">=2# >=2 A1>=2 A!>=2

Tomando esperanzas condicionadas en la expresión anterior, la ecuación de predicción para el modelo ARIMA estimado es la siguiente: >4 A A>4 1 A A>4 >4 A1>4 1 A!>4 ! Donde

A> >= . ` 0 es el valor de la serie en el tiempo T+j.

A> A>= . 0 es la predicción obtenida para la serie en el tiempo T+j.

> >= . ` 0 es el valor de la serie en el tiempo T+j.

> 0 . 0

2.3.EJEMPLO DE MODELIZACIÓN

Realizaremos un ejemplo para ilustra los pasos a seguir en la construcción de un modelo ARIMA.

Se dispone de una serie de datos correspondiente a los precios horarios de

electricidad de un mercado de energía eléctrica , t = 1,…,T donde T = 148 (véase el Anexo A). En primer lugar, se analiza esta serie de datos y se estudia el comportamiento que presenta.

Presentamos a continuación, la representación gráfica de la serie :

20

PASO 1: Identificación del modelo En primer lugar estudiamos la estacionariedadaprecia que la media no es constante. Veamos qué

La FAC presenta un comportamiento típico de una serie no estacionaria, ya que los primeros valores de la función son muy elevados con un decrecimiento muy lento a cero. Por lo tanto, se confirma la necesidad de aplicar una diferenciación de orden 1 a la serie . Esta diferenciación de orden 1 se define como

A continuación, se representa la serie orden:

Master en Estadística Aplicada.Trabajo Fin de Master. Análisis de Series Temporales. Modelos Heterocedásticos.


del modelo.

En primer lugar estudiamos la estacionariedad. Si observamos la gráfica de la serie se aprecia que la media no es constante. Veamos qué ocurre si dibujamos la FAC.

La FAC presenta un comportamiento típico de una serie no estacionaria, ya que los primeros valores de la función son muy elevados con un decrecimiento muy lento a cero. Por lo tanto, se confirma la necesidad de aplicar una diferenciación de orden 1 a la

. Esta diferenciación de orden 1 se define como

, se representa la serie una vez tomada la diferenciación de primer


Modelos Heterocedásticos.


Si observamos la gráfica de la serie se ocurre si dibujamos la FAC.

La FAC presenta un comportamiento típico de una serie no estacionaria, ya que los primeros valores de la función son muy elevados con un decrecimiento muy lento a cero. Por lo tanto, se confirma la necesidad de aplicar una diferenciación de orden 1 a la

una vez tomada la diferenciación de primer

21

Después de diferenciada la serie, para ARIMA, es necesaria la representación de la FAC y de la FACP. Por lo tanto, se toma la diferenciación de orden 1 a la serie y se representa su FAC yFACP, que mostramos a continuación:

FAC c

FACP con diferenciación de orden 1 de



diferenciada la serie, para poder identificar los términos del

es necesaria la representación de la FAC y de la FACP.

Por lo tanto, se toma la diferenciación de orden 1 a la serie y se representa su FAC yFACP, que mostramos a continuación:

FAC con diferenciación de orden 1 de

FACP con diferenciación de orden 1 de




términos del modelo

Por lo tanto, se toma la diferenciación de orden 1 a la serie y se representa su FAC y




22

La FAC no tiene persistencia luego no es necesaria otra diferenciación. Podemos plantear 4 modelos:

- Modelo ARIMA(2,1,0). Debido a que la FACP corta en el segundo retardo y la FAC presenta un decrecimiento exponencial. . El modelo al que se ajusta la serie ' presenta la forma: 1 1 '

- Modelo ARIMA(0,1,2). Debido a que la FAC corta tras el retar 2 y la FACP decrece exponencialmente. . El modelo al que se ajusta la serie ' presenta la forma: ' 1

- Modelo ARIMA(1,1,1). Los valores de la FAC como los de la FACP

presentan un decrecimiento exponencial para los primeros valores seguidos de un comportamiento sinusoidal con valores próximos a cero para los siguientes, y el primer valor es más significativo que el resto. El modelo al que se ajusta la serie ' presenta la forma: 1 1 ' 1

- Modelo ARIMA(2,1,1). Los valores de la FAC como los de la FACP presentan un decrecimiento exponencial para los primeros valores seguidos de un comportamiento sinusoidal con valores próximos a cero para los siguientes, presentando dos retardos significativos al resto. El modelo al que se ajusta la serie ' presenta la forma: 1 1 ' 1

PASO 2 y 3: Estimación de los parámetros y validación del modelo.

A continuación para cada uno de los modelos propuestos anteriormente vamos a realizar la estimación y validación. Y determinaremos de los 4 modelos cual es el que mejor se adapta a nuestra serie. Utilizaremos SPSS versión 15 para obtener la estimación de los parámetros del modelo. Para el modelo ARIMA(1,1,1), obtendremos los valores estimados para los parámetros y y la constante c:

23

Obtenemos por tanto que el valor estimado paraes 0.606 y el valor estimado para la constante c es 0.391significación, parece ser que la constante no es necesaria para explicar el modelo. tanto, estimamos el modelo sin constante, obteniendo:

Obtenemos por tanto que el valor estimado para es 0.636. Por tanto el modelo tiene la siguiente forma:

A continuación, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su comportamiento. Los residuos estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa FAC y la FACP, que se representan a continuación:

FAC de los residuos estimados para el

Retardos no estacionales

Constante

Se ha utilizado el algoritmo de Melard para la estimación.





que el valor estimado para es 0.837, el valor estimado para imado para la constante c es 0.391. Si nos fijamos en la

significación, parece ser que la constante no es necesaria para explicar el modelo. tanto, estimamos el modelo sin constante, obteniendo:

que el valor estimado para es 0.877, el valor estimado para Por tanto el modelo tiene la siguiente forma:

A continuación, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su comportamiento. Los residuos estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa FAC y la FACP, que se representan a continuación:

FAC de los residuos estimados para el modelo ARIMA(1,1,1)

Estimaciones de los parámetros

,837 ,097 8,633

,606 ,142 4,261

,391 ,262 1,492

AR1

MA1

Estimaciones Error típico t



,877 ,073 12,068

,636 ,118 5,366

AR1

MA1






, el valor estimado para Si nos fijamos en la

significación, parece ser que la constante no es necesaria para explicar el modelo. Por lo

, el valor estimado para

A continuación, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su comportamiento. Los residuos estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa la

8,633 ,000

4,261 ,000

1,492 ,138

Sig. aprox.

,000

,000

Sig. aprox.

24

FACP de los Los residuos estimados son ruido blanco, ya que tanto la FAC como la FACP no presentan ningún valor significativo. Todos los valores se encuentran dentro debandas de confianza. Por lo tanto, se puedpredecir.

Para el modelo ARIMA(2,1,0)

y la constante c:

Obtenemos por tanto que el valor estimado para es 0.202 y el valor estimado para la constante c es 0.

Diagnóstico residual

147

2

145

264,795

275,157

1,822

1,350

-251,845

507,690

513,671

Número de residuos

Número de parámetros

GL residuales

Suma de cuadradosresidual corregida

Suma de cuadradosresidual

Varianza residual

Error típico del modelo

Log-verosimilitud

Criterio de informaciónde Akaike (AIC)

Criterio bayesiano deSchwarz (BIC)


Constante




FACP de los residuos estimados para el modelo ARIMA(1,1,1)

Los residuos estimados son ruido blanco, ya que tanto la FAC como la FACP no presentan ningún valor significativo. Todos los valores se encuentran dentro debandas de confianza. Por lo tanto, se puede concluir que el modelo es adecuado

Para el modelo ARIMA(2,1,0), obtendremos los valores estimados para los parámetros

que el valor estimado para es 0.250, el valor estimado para imado para la constante c es 0.403. Si nos fijamos en la


,250 ,082 3,062

,202 ,082 2,464

,403 ,203 1,983

AR1

AR2






(1,1,1)

Los residuos estimados son ruido blanco, ya que tanto la FAC como la FACP no presentan ningún valor significativo. Todos los valores se encuentran dentro de las

es adecuado para

para los parámetros

, el valor estimado para Si nos fijamos en la

3,062 ,003

2,464 ,015

1,983 ,049

Sig. aprox.

25

significación, parece ser que modelo. Por tanto el modelo

A continuación, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su comportamiento. Los residuos FAC y la FACP, que se representan a continuación:


FACP de los Los residuos estimados son ruido blanco, ya que tanto la FAC como la FACP no presentan ningún valor significativo. Todos los valores se encuentran dentro de las bandas de confianza. Por lo tanto, se puede concluir que el modelo es adecuado para predecir.



significación, parece ser que todos los parámetros son necesarios para explicar el modelo. Por tanto el modelo tiene la siguiente forma:

A continuación, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su comportamiento. Los residuos estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa la FAC y la FACP, que se representan a continuación:



son ruido blanco, ya que tanto la FAC como la FACP no presentan ningún valor significativo. Todos los valores se encuentran dentro de las bandas de confianza. Por lo tanto, se puede concluir que el modelo es adecuado para




todos los parámetros son necesarios para explicar el

A continuación, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa la

)

son ruido blanco, ya que tanto la FAC como la FACP no presentan ningún valor significativo. Todos los valores se encuentran dentro de las bandas de confianza. Por lo tanto, se puede concluir que el modelo es adecuado para




26

Para el modelo ARIMA(0,1,2), obtendremos los valores estimados para los parámetros , y la constante c:

Obtenemos por tanto que el valor estimado para es -0.241, el valor estimado para es -0.170 y el valor estimado para la constante c es 0.413. Si nos fijamos en la significación, parece ser que todos los parámetros son necesarios para explicar el modelo. Por tanto el modelo tiene la siguiente forma: ' 0.413 1 0.241 0.170 A continuación, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su comportamiento. Los residuos estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa la FAC y la FACP, que se representan a continuación:


147

2

144

267,147

267,147

1,853

1,361

-252,504

511,008

519,979

Número de residuos


GL residuales



Varianza residual


Log-verosimilitud




-,241 ,082 -2,928 ,004

-,170 ,082 -2,066 ,041

,413 ,161 2,570 ,011

MA1

MA2


Constante

Estimaciones Error típico t Sig. aprox.


27


FACP de los Los residuos estimados no observa que se salen de las bandas de confianza.el modelo es adecuado para predecir.





no son ruido blanco, ya que para los primeros retardos se observa que se salen de las bandas de confianza. Por lo tanto, no se puede concluir que el modelo es adecuado para predecir.




)

para los primeros retardos se se puede concluir que




28

Para el modelo ARIMA(2,1,1), obtendremos los valores estimados para los parámetros , , y la constante c:

Obtenemos por tanto que el valor estimado para es -0.241, el valor estimado para es 0.046, el valor de es de 0.558 y el valor estimado para la constante c es 0.390. Si nos fijamos en la significación, parece ser que el parámetro y la constantes no son necesarios para explicar el modelo. Por lo tanto este modelo no es bueno para explicar este conjunto de datos. Para determinar cuál de los tres modelos es mejor, nos vamos a basar en la comparación del criterio de Akaike. Para el modelo ARIMA(1,1,1) el valor AIC es de 507.609. Para el modelo ARIMA(2,1,0) el valor AIC es de 511,008. Para el modelo ARIMA(0,1,2) el valor AIC es de 515,997. Por tanto, el mejor modelo para estimar la serie es el modelo ARIMA(1,1,1) ya que tiene un valor AIC menor al de los otros modelos.

PASO 4: Predicción.

En los pasos anteriores hemos obtenido el modelo y además hemos comprobado su idoneidad para poder predecir. La fórmula de predicción para el modelo obtenido es: 'G>4 0.313 "'G>4 1 'G>4 2# 'G>4 1 0.296 0.122 >4 1 >4


147

2

144

276,366

284,989

1,918

1,385

-254,999

515,997

524,969

Número de residuos


GL residuales



Varianza residual


Log-verosimilitud




,769 ,249 3,090 ,002

,046 ,135 ,336 ,737

,558 ,239 2,337 ,021

,390 ,260 1,497 ,137

AR1

AR2

MA1

Retardos noestacionales

Constante

Estimaciones Error típico t Sig. aprox.





29

Se dispone de datos hasta el tiempo T y se quieren realizar dos predicciones. Se quiere

predecir el valor de la serie ' para t = 149 y para t = 150, es decir, 'G>1 'G>= y 'G>2 'G>=. Para el cálculo de las predicciones basta con sustituir k = 1 y k = 2 en la fórmula de predicción. Para k = 1 la fórmula de predicción queda: 'G>1 0.313 "'G>0 'G>1# 'G>0 0.296 0.122 >0 >1 Donde 'G>0 '> 261.8 es el valor real de la serie ' en el tiempo T. 'G>1 '> 262.8 es el valor real de la serie ' en el tiempo T-1. >0 > 1.0358 es el valor de la serie de residuos en el tiempo T. >1 >= 0 es el valor de la serie de residuos de en el tiempo T+1.

Sustituyen cada uno de los valores se calcula la predicción para t = 149, 'G>1. El valor obtenido para la predicción es 'G>1 261.66. Para k = 2 la fórmula de predicción queda: 'G>2 0.313 "'G>1 'G>0# 'G>1 0.296 0.122 >1 >2 Donde 'G>1 'G>= 261.66 es el valor predicho de la serie ' en el tiempo T+1. 'G>0 '> 262.8 es el valor real de la serie ' en el tiempo T. >1 >= 0 es el valor de la serie de residuos en el tiempo T+1. >2 >= 0 es el valor de la serie de residuos de en el tiempo T+2.

Sustituyen cada uno de los valores se calcula la predicción para t = 150, 'G>2. El valor obtenido para la predicción es 'G>2 261.91. Calculamos los errores obtenidos al realizar cada una de las predicciones. El error se calcula a través de la siguiente expresión:




30

~>=2 |'G>=2 '>=2|'>=2

Vamos a presentar una tabla con estos errores, junto con los valores reales y los predichos de la serie ':

Valor Real Valor Predicho Error (%) 261.2 261.66 0.2 262.7 261.91 0.3

Calculamos el error total mediante la siguiente expresión: ~ ∑ |'G>=2 '>=2|2∑ '>=22

Se obtiene un error total de 0.25 %.




31

3.MODELOS ARCH Y GARCH

3.1.MODELO ARCH

En la práctica los modelos del tipo lineal de series de tiempo tales como ARIMA(p,d,q) o los modelos causales de regresión lineal, no siempre resultan los más adecuados para analizar y predecir adecuadamente un proceso real. Por tal motivo se han propuestos modelos no lineales con la consecuencia de desarrollar métodos de estimación apropiados para estos casos así como los test que permitan validar los resultados.

Muchas series temporales económicas, y especialmente series financieras, muestran cambios en los momentos condicionados de segundo orden. Estos cambios tienden a estar correlacionados serialmente, en el sentido de que cambios de gran magnitud en el valor de la serie son seguidos por grandes cambios (periodos de mucha volatilidad) mientras que a cambios pequeños en el valor de la serie les siguen cambios pequeños (periodos de poca volatilidad). Es decir, esto se traduce, en la presencia de correlaciones positivas en la serie de los cuadrados. Además se produce un exceso de curtosis o la ausencia de correlación en los niveles. Fue Engle quien proporcionó una serie de modelos que tratan de representar este comportamiento de la serie. La formulación básica de estos modelos consiste en modelizar la serie ~ según la siguiente ecuación:

~ Donde (proceso de ruido blanco formado por variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza unidad) y (factor denominado volatilidad) son procesos estacionarios independientes entre sí. La condición de independencia entre H , garantiza que la serie ~ tenga media marginal igual a cero: e~ e ee 0 Y lo mismo ocurre con la media condicional que es nula:

e~|~ e|~e 0 La varianza marginal de ~ tiene que ser constante, . Esta varianza se calcula como: e~ e ee 1

Sin embargo la varianza condicionada no es constante:

&~|~ e|~e




32

siendo

e|~ e 1

Por tanto, , representa la varianza condicionada de la serie en cada instante , que va variando con cierta estructura estacionaria.

La condición de independencia entre H , además de garantizar que la serie ~ tenga media marginal igual a cero, nos garantiza que la serie ~ carezca de autocorrelación y forme un proceso de ruido blanco. Sin embargo, la serie ~ no es de variables independientes. A continuación vamos a estudiar el comportamiento de este modelo en los casos más simples: modelo ARCH(1) (la varianza condicional depende de un retardo de la serie), como es lógico, este ruido blanco podría tomarse como el comportamiento de los errores provenientes de un modelo de regresión dinámico dado por ~ '@ donde ' es un vector de variables predeterminadas que incluye los términos de ~ en periodos anteriores y @ el vector de parámetros que tendría que estimarse, este modelo de regresión se denomina modelo de regresión ARCH, en el sentido de que ahora es el término de error de un modelo de regresión el que adopta una estructura ARCH, y consideraremos r retardos y describiremos el modelo ARCH(r).

3.1.1.MODELO ARCH(1)

Para el modelo ARCH(1), su varianza condicional tiene una estructura similar a un AR(1), y por tanto solo depende del último valor observado:

e~|~ R ~

donde R 0 (corresponde a la mínima varianza condicional observada) y 0 ` ` 1

(es una condición necesaria y suficiente para la existencia de la varianza incondicional y la condicional).

Por tanto, esta ecuación establece que si el valor de ~ es alto, la varianza de la siguiente observación condicionada a este valor será también alta. Esto va a producir correlación entre los cuadrados de la serie, provocando rachas de valores de magnitud relativamente elevada o con mayor varianza. Pero como la media marginal y la condicionada vale cero, aunque la varianza condicionada sea alta, siempre es posible que aparezca un valor pequeño de ~, que disminuirá la varianza condicionada de la observación siguiente y facilitará que la siguiente observación sea pequeña en valor absoluto. De manera que la serie puede presentar rachas de valores altos, pero globalmente será estacionaria.

La varianza marginal de la serie es el promedio de las varianzas condicionadas, que debe de ser mayor que R y será tanto mayor cuanto mayor sea el coeficiente que




33

transmite el efecto de la última observación. Si llamamos a e~ a la varianza marginal, entonces:

ene~|~p R en~ p 5 Siendo e~ e~ y sustituyendo en 5 obtenemos:

R1 0 ` q 1 Además, el modelo ARCH(1), establece dependencia de tipo AR(1) entre los cuadrados de las observaciones, por tanto:

~ R ~ E (Nota: E ~ es un proceso de ruido blanco, formado por variables estacionarias incorreladas de media cero y varianza marginal constante).

Si llamamos ;4 a la función de autocorrelación de los cuadrados de la serie, donde el subíndice c se refiere a los cuadrados, se obtiene:

;4 ;4 1 que indica que las autocorrelaciones de los cuadrados de las series tienen la estructura de un AR(1) con parámetro .

Este modelo, una curtosis igual a:

F 3R1 6R1 R1 3

Como 0, este coeficiente de curtosis es siempre mayor que 3, y puede ser mucho mayor. Por lo tanto, la distribución marginal tendrá colas pesadas.

En resumen:

- Las esperanzas marginal y condicional son iguales a cero. - La varianza marginal es constante - La varianza condicional depende de los valores que haya tomado ~ luego no

es constante. - La distribución marginal del proceso ARCH(1) tiene una forma desconocida.

3.1.2.MODELO ARCH(r)

El modelo anterior puede generalizarse permitiendo una dependencia de la varianza condicional con r retardos. De manera que el modelo ARCH(r) para ~ , la varianza condicional

R ~ t~t




34

donde R 0 (corresponde a la mínima varianza condicional observada) y 0 ` ` 1

(es una condición necesaria y suficiente para la existencia de la varianza incondicional y la condicional). En este proceso las posibilidades de rachas de alta volatilidad depende de los r últimos valores. La varianza marginal:

&~ e~ ene~|~p R 1 e~ Por tanto:

&~ R1 t

siendo ∑ t q 1. Si introducimos E ~ , como en el caso del proceso ARCH(1), será un proceso de ruido blanco, formado por variables estacionarias incorreladas de media cero y varianza marginal constante, podemos expresar la dependencia de los cuadrados de las observaciones como un proceso AR(r):

~ R ~ t~t E Estas variables no son independientes entre sí ni de los regresores, ya que la positividad de ~ exige que:

E R ~ t~t Así en un modelo ARCH(r) se verifica que:

- Es un proceso de ruido blanco pero no es independiente y no está idénticamente distribuido.

- Las esperanzas condicional y no condicional son iguales a cero. - La varianza no condicional es constante. - La varianza condicional depende de ~, ~, … , ~t luego no es constante.

3.2.MODELO GARCH

Un rasgo común a muchas de las primeras aplicaciones empíricas de los modelos ARCH es que requieren un gran número de parámetros autorregresivos y, para representar adecuadamente el comportamiento dinámico de la varianza, se imponía una estructura fija de retardos. Con el fin de flexibilizar estas restricciones Bollerslev (1986) propuso el modelo ARCH generalizado o GARCH.

La generalización del modelo ARCH al modelo GARCH tiene gran similitud con la extensión de los procesos autorregresivos, AR, a los autorregresivos de medias móviles, ARMA, permitiendo una representación más parsimoniosa de la volatilidad. Bollerslev considera que la varianza, , además dependen de las observaciones pasadas de ~,




35

depende también de su propio pasado. Esta dependencia se expresa incluyendo cierto número de retardos p de , de forma que la varianza condicional se define entonces como:

R 1~t 1@

6

donde R 0, N 0, i = 1,…,r, @ N 0, j = 1,…,p aunque estas restricciones se

establecen para garantizar que la varianza sea positiva, Nelson y Cao (1992) demuestran posteriormente que la positividad de la varianza está asegurada bajo condiciones más débiles. En concreto demuestran que si el modelo GARCH de la ecuación 6 admite una representación ARCH∞, es suficiente exigir que los coeficientes del polinomio de retardos en dicha representación sean todos positivos. El nuevo modelo se denomina GARCH(p,r), y se reduce al ya conocido ARCH(r) cuando p = 0. Bollerslev establece las condiciones de estacionariedad, probando que ~ es débilmente estacionario con e~ 0, &~ ]∑ ]∑ ¡ ¢£¤¢£ H ¥PE~, ~- 0 && . ¦ $,§∑ ∑ @ q 1.t

Es importante la relación que existe entre los modelos GARCH y ARMA ya que, si definimos E ~ será un proceso de ruido blanco formado por variables estacionarias incorreladas de media cero y varianza marginal constante, podemos expresar la dependencia de los cuadrados de las observaciones del modelo GARCH como un proceso ARMA, según la siguiente ecuación:

~ R 1 @c7,t ~ E 1@

E

3.2.1.MODELO GARCH(1,1)

Muchos trabajos con series financieras, muestran que el más sencillo de los modelos GARCH, el GARCH(1,1), es suficiente para modelizar con éxito los cambios temporales en la varianza condicional, incluso sobre periodos muestrales largos. El modelo GARCH(1,1) se obtiene cuando p = r = 1, de forma que la varianza condicionada queda:

R ~ @ con R 0, N 0, @ N 0. Si @ q 1, la serie ~ tiene varianza finita, y por ser una martingala en diferencias, es ruido blanco, de media cero y varianza




36

&~ R1 @

Además, Bollerslev prueba que si @ 2 q 1,el momento de orden 4 de ~ existe y es finito, y la curtosis de ~ es

F e~one~p 3n1 @p1 2 @

Cuando @ q 1, este valor es mayor que 3 y, por tanto, el proceso GARCH(1,1) estacionario es leptocúrtico, propiedad que comparte con el modelo ARCH(1).

Si p = r = 1, la ecuación se escribe como:

~ R @~ E @E

el modelo GARCH(1,1) puede interpretarse como un proceso ARMA(1,1) para la serie ~, cuya función de autocorrelación será:

;1 1 1 1@1 @121 21@1 @12

Mientras que

;4 @2;1, 4 1

3.2.2.MODELO IGARCH

En las aplicaciones de modelos GARCH(1,1) a series financieras, es casi sistemática la obtención de un valor estimado de @ prácticamente igual a uno, en especial si la frecuencia de observación es alta. Por ejemplo, los trabajos de Engle y Bollerslev (1986), Bollerslev (1987), Baillie y DeGennaro (1989) y Hsieh (1989) con series de tipos de cambio, Chou (1988), Baillie y DeGEnnaro (1990) y Poon y Taylor

(1992) con índices de bolsa, y otros trabajos encuentran siempre valores de G @C superiores a 0’9. Teniendo en cuenta la forma de la función de autocorrelación de ~, un valor de @ próximo a uno significa que dicha función apenas decrece, indicando que los cambios en la varianza condicional son relativamente lentos y, por tanto, los shocks (cambios bruscos) en la volatilidad persisten. Esta propiedad es interesante porque refleja precisamente una de las características típicas de las series financieras: aunque la serie original está incorrelada, existe correlación en la serie de los cuadrados y, además, estas correlaciones decrecen lentamente, mostrando valores significativamente distintos de cero incluso para retardos altos.

Los resultados de los trabajos mencionados anteriormente justifican el interés de un modelo GARCH(1,1) en el que se imponga la condición @ 1. El modelo




37

resultante, denominado GARCH integrado IGARCH, fue propuesto por Engle y Bollerslev (1986) y en él la ecuación para la varianza condicionada es:

R ~ El modelo ya no es débilmente estacionario, porque su varianza marginal no es finita. Sin embargo, se prueba fácilmente que la ecuación admite una representación de la forma: ∆~ R E @E

Donde ∆ es el operador de primeras diferencias, y E ~ es un proceso de ruido blanco, formado por variables estacionarias incorreladas de media cero y varianza marginal constante.

La ecuación anterior permite interpretar el modelo IGARCH(1,1) como un proceso MA(1) estacionario para las primeras diferencias de ~, lo que indica cierta analogía del modelo IGARCH(1,1) con el proceso ARIMA(0,1,1). Sin embargo, existen diferencias significativas entre ellos.

3.2.3.MODELO EGARCH

Nelson (1991) observó ciertas limitaciones en los modelos GARCH:

- Las condiciones impuestas sobre los parámetros para asegurar que no sea negativo son violadas en algunas aplicaciones empíricas.

- El modelo GARCH es incapaz de modelizar una respuesta asimétrica de la volatilidad ante las subidas y bajadas de la serie.

Con el fin de solventar estas deficiencias, Nelson propuso un nuevo modelo GARCH exponencial o EGARCH.

El modelo EGARCH garantiza la no negatividad de la varianza condicional formulando la ecuación de la volatilidad en términos de logaritmo de , mediante una representación lineal del tipo:

©Y ª 10©Y" # « 1Ψ

t « 7

Donde « || e||. A través de esta función g, que depende del signo y de la magnitud de , el modelo EGARCH puede capturar una respuesta asimétrica de la volatilidad ante innovaciones de distinto signo, permitiendo así modelizar un efecto contrastado empíricamente en muchas series financieras: las malas noticias (rendimientos negativos) provocan mayor aumento de la volatilidad que las buenas noticias (rendimientos positivos).




38

Por construcción, las perturbaciones « son variables independientes e idénticamente distribuidas con media cero y varianza constante, y por tanto 7 puede considerarse como una representación ARMA para la serie ©Y. 3.3.CONSTRUCCIÓN DE LOS MODELOS

Vamos a seguir los siguientes pasos para la construcción de estos modelos: identificación, estimación de los parámetros y diagnosis y validación.

PASO 1: Identificación de los términos del Modelo

La identificación de los modelos ARCH y GARCH, se efectúan después de ajustar un modelo ARIMA a la serie. Si existen efectos ARCH, los residuos del modelo ARIMA estarán incorrelados pero no serán independientes y este efecto será visible en la función de autocorrelación de los residuos al cuadrado, que mostrarán correlación serial. Además, si calculamos los coeficientes de autocorrelación parcial de los residuos al cuadrado y el modelo para los residuos es ARCH puro, el número de términos distintos de cero nos indicará, aproximadamente, el orden del proceso.

Para detectar estructuras en los cuadrados podemos acudir a los contrastes de McLeod y Li (1983) y Peña y Rodríguez (2006). Además de estos contrastes generales, que sirven para detectar una estructura general no lineal, pueden utilizarse contrastes específicos para detectarla.

PASO 2: Estimación de los parámetros del Modelo

En cuanto a la estimación de los modelos, todas las metodologías giran en torno a la aplicación de dos: la primera es la de Máxima Verosimilitud y la segunda es el método de momentos generalizados, ambos superan los inconvenientes que presenta el método de mínimos cuadrados, en cuanto a su ineficacia para identificar el proceso que gobierna la evolución de la varianza, además ambos se aplican partiendo del modelo de regresión ARCH.

- Estimación de los parámetros del modelo ARCH: Vamos a describir la estimación de los parámetros a través del método de máxima verosimilitud. Para ello, se construye la función de verosimilitud utilizando la descomposición del error de predicción. Maximizando esta función se obtienen los estimadores máximo verosímiles. Como es habitual en modelos de series temporales, la función de verosimilitud se construye como el producto de las densidades condicionadas. Asumiendo que las perturbaciones en ~ , son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución N(0,1), los modelos ARCH son condicionalmente gaussianos y la distribución condicionada ~|~ es N(0,). Por tanto, la expresión del logaritmo de la función de verosimilitud resulta ser:

ln Lθ 1ln fe´; θ|e´ T2 ln 2π 121ln σ¹´ 121 e σ

¹´

¹´




39

donde θ es el vector de parámetros desconocidos del modelo y fe´; θ|e´ denota la densidad condicionada de e´ dadas las observaciones previas hasta el instante t-1.

Bajo ciertas condiciones de regularidad se demuestra que, si los momentos de primer y segundo orden están correctamente especificados, los estimadores máximo verosímiles son consistentes y asintóticamente normales.

Para facilitar los cálculos vamos a considerar el modelo ARCH(1). Su función de verosimilitud es:

ºe, … , e¹|R, ºe · ºe|eºe¹|e¹ donde las funciones de densidad ºe´|e´ son normales. Como ~ , si consideramos ~, el valor de es una constante y la única variable es que tiene distribución normal. La media condicionada de la distribución ºe´|e´ es cero, y la varianza σ R e´ . La log-función de verosimilitud condicionada a e será:

Le, … , e¹|αR, α T 12 ln 2½ 121lnR ~ ¹

´ 121 eαR αe´¹

´

Derivando respecto a los parámetros, llamando σ¾ GR Ge´ e igualando a cero se obtienen las ecuaciones:

¿ÀÁÀÂ 1 e σ¾ o 1 1 σ¾1e´ σ¾ 1e´ e σ¾o

Q Multiplicamos y dividimos el primer miembro por GR Ge´ y obtenemos:

¿ÀÁÀÂ GR 1 1 σ¾ o G 1e´ σ¾ o 1 e σ¾ oGR 1e´ σ¾ o G 1e´o σ¾ o 1e´ e σ¾o

Q son las ecuaciones mínimo cuadrados para obtener los parámetros del modelo. Resolviendo este sistema obtenemos la estimación de GR y G.

- Estimación de los parámetros del modelo GARCH: Vamos a explicar, al igual que en el caso anterior, la estimación de los parámetros a través del método de máxima verosimilitud.




40

Para ello vamos a considerar el modelo GARCH(r,s), donde N ., vamos a definir la función de verosimilitud de un proceso estacionario ª, llamando a Ã ª, … , ª: ºª, … , ª| ºªh|Ãhºªh|Ãh…ºªt=|Ãtºª, … , ªt|

Ä 1Å2½σh

t= ~' Æ "ª eª|Ã#2σ Ç ºª, … , ªt| ya que la varianza condicional de las variables es σ. Condicionando a las primeras r observaciones, que tienen una distribución más complicada, la función soporte condicionada es:

Èªt=, … , ªh|,Ãt 12 1 lnσht= 12 1 "ª eª|Ã#σ

ht=

Que puede maximizarse con un algoritmo de optimización no lineal para obtener los estimadores de los parámetros que aparecen en la media condicional y en la varianza condicional.

Por tanto, la estimación puede realizarse en dos etapas ya que la correlación entre los parámetros ARMA y la de los GARCH suele ser pequeña.

Primera Etapa: se estiman los parámetros de la media condicional, es decir, el modelo ARMA, y se construyen las innovaciones

~ ª eª|Ã Segunda Etapa: se estiman los parámetros de la varianza condicional maximizando la verosimilitud de los residuos. Alternativamente se pueden calcular las ecuaciones de la media condicional y la varianza condicional conjuntamente, con lo que se obtiene una estimación más precisa.

PASO 3: Diagnosis.

Vamos a llamar ~ a los residuos del modelo ARIMA y G a las varianzas condicionadas estimadas, los residuos estandarizados ~ G⁄ , deben seguir un proceso de ruido blanco normal y podemos aplicarles los contrastes para los procesos ARIMA. Sus cuadrados no deben mostrar dependencia, esto se puede comprobar con los contrastes sobre autocorrelación de los cuadrados: Durbin Watson, Wallis, h-Durbin, Breusch-Godfrey y Cochrane-Orcutt.

En la diagnosis de los modelos, hay que tener en cuenta la posible confusión entre valores atípicos y heterocedasticidad condicional. Los valores atípicos pueden interpretarse como un aumento de la varianza en ese instante y especialmente si aparecen en rachas, puede confundirse con efectos de heterocedasticidad condicional.

41

Por otro lado, la serie que sigue un modelo ARCH puede mostrar muchos valores atípicos si se analiza como si tuviese varianza constante y siguiese un modelo ARMA. Por lo tanto, es importante diferenciar ambos fenómenos.

En la práctica, se suele limpiar la serie inicialmente de las observaciones que presentan residuos tan grandes que no pueden ser debidas a heterocedasticidadcondicional y que son muy probablemente valores atípicos. Una es que es muy poco probable que la heterocedasticidad condicional pueda generar observaciones con residuos mayores de siete desviaciones típicas, y considerar estos datos como atípicos. A continuación se estima los efectos AR

3.4.EJEMPLO MODELO

Consideramos la serie mensual de rentabilidades del Index S&para 792 observaciones. Presentamos a continuación la representación de la serie:

Vamos a denotar a la serie de rentabilidades por y la FAC parcial de la serie:



Por otro lado, la serie que sigue un modelo ARCH puede mostrar muchos valores atípicos si se analiza como si tuviese varianza constante y siguiese un modelo ARMA.

tante diferenciar ambos fenómenos.

En la práctica, se suele limpiar la serie inicialmente de las observaciones que presentan residuos tan grandes que no pueden ser debidas a heterocedasticidadcondicional y que son muy probablemente valores atípicos. Una regla simple y efectiva es que es muy poco probable que la heterocedasticidad condicional pueda generar observaciones con residuos mayores de siete desviaciones típicas, y considerar estos datos como atípicos. A continuación se estima los efectos AR.

MODELO GARCH

Consideramos la serie mensual de rentabilidades del Index S&P 500 para 792 observaciones. Presentamos a continuación la representación de la serie:

Vamos a denotar a la serie de rentabilidades por . A continuación presentamos la FAC de la serie:




Por otro lado, la serie que sigue un modelo ARCH puede mostrar muchos valores atípicos si se analiza como si tuviese varianza constante y siguiese un modelo ARMA.

En la práctica, se suele limpiar la serie inicialmente de las observaciones que presentan residuos tan grandes que no pueden ser debidas a heterocedasticidad

regla simple y efectiva es que es muy poco probable que la heterocedasticidad condicional pueda generar observaciones con residuos mayores de siete desviaciones típicas, y considerar estos

a partir de 1926 para 792 observaciones. Presentamos a continuación la representación de la serie:

. A continuación presentamos la FAC

42






43

Observando estas funciones, nos damos cuenta que para los primeros retardos, más concretamente para el primero y el tercero se salen fuera de las bandas de confianza

Presentamos a continuación la

Podemos observar que existe una fuerte dependencia lineal.

Si consideramos como buen modelo un MA(3) obtendríamos:

Y el modelo quedaría:

Siendo .

MA1

MA2

MA3

Retardos noestacionales

Constante




Observando estas funciones, nos damos cuenta que para los primeros retardos, más concretamente para el primero y el tercero se salen fuera de las bandas de confianza

entamos a continuación la FACP de :

Podemos observar que existe una fuerte dependencia lineal.

Si consideramos como buen modelo un MA(3) obtendríamos:


-,095 ,035 -2,685

-,010 ,035 -,268

,141 ,035 3,999

,006 ,002 3,115

MA1

MA2

MA3






Observando estas funciones, nos damos cuenta que para los primeros retardos, más concretamente para el primero y el tercero se salen fuera de las bandas de confianza.

,007

,789

,000

,002

Sig. aprox.




44

Para simplificar vamos a usar un AR(3) cuya expresión es:

kk & Realizando los cálculos con SPSS obtenemos:


Estimaciones Error típico T Sig. aprox. Retardos no estacionales

AR1 ,089 ,035 2,513 ,012 AR2 -,024 ,036 -,670 ,503 AR3 -,123 ,035 -3,466 ,001

Constante ,006 ,002 3,168 ,002

Se ha utilizado el algoritmo de Melard para la estimación. El modelo quedaría de la siguiente forma:

0.089 0.024 0.123k 0.006 & Siendo G 0.003

Vamos a crear un modelo GARCH(1,1):

& R @ &

Una estimación conjunta de AR(3)-GARCH(1,1) da:

0.0078 0.032 0.029 0.008k & 0.000084 0.1213& 0.8523

De la ecuación de la volatilidad, la varianza implícita incondicional de &: 0.0000841 0.8523 0.1213 0.00317

La cual es similar a G 0.003 del modelo AR(3). Sin embargo la proporción de parámetros en la ecuación significa que sugieren que los tres coeficientes de AR no son significativamente con un nivel del 5 %. Por tanto, se perfecciona el modelo dejando caer todos los parámetros AR. El modelo refinado:

0.0076 &, 0.000086 0.121& 0.8511

La desviación típica de la media es constante 0.0015, mientras que los parámetros de la ecuación de volatilidades son 0.000024, 0.0197 y 0.0190, respectivamente. La varianza no condicional de & es: É. ÉÉÉÉÊËÌ É. ÊÍÌÌ É. ÌÎÌË É. ÉÉÏÌÐ

Esto es un modelo estacionario simple GARCH(1,1). La siguiente gráfica muestra el proceso de volatilidades estimado :

45

A continuación mostramos la representación de

varianza para el modelo GARCH(1,1):

La serie parece ser un proceso de ruido blanco.las FAC de los residuos de



A continuación mostramos la representación de los saltos de la varianza

ianza para el modelo GARCH(1,1):

parece ser un proceso de ruido blanco. Esto lo vemos en la representacide los residuos de y de :




de la

Esto lo vemos en la representación de

46

Estas FAC no sugieren ninguna correlación significativa serial o heterocedasticacondicional en la serie de residuos. Más específicamente, tenemos que Q(12)= 11,99 (0.45) y Q(24)=28.52 (0.24) para

, donde el número entre paréntesis es el pmodelo parece ser adecuado pde volatilidades. Hay que tener en cuenta que el modelo ajustado muestra

, que es cercano a 1. Este fenómeno se observa con frecuencia en la práclleva a la imposición de la restricción un sistema integrado de GARCH ( o IGARCH) modelo. Finalmente para predecir la volatilidad de los rendimientos mensuales superiores a los S & P 500, podemos usaecuación de volatilidades en la ecuación

Teníamos que

El paso 1 de predicción es:

Donde es la ecuación residual de la media en un tiempo h y ecuación de volatilidades.incondicional de . Para el siguiente poso utilizamos la fórmula recursiva. La tabla siguiente muestra algunos pronósticos



Estas FAC no sugieren ninguna correlación significativa serial o heterocedasticacondicional en la serie de residuos. Más específicamente, tenemos que Q(12)= 11,99 (0.45) y Q(24)=28.52 (0.24) para y Q(12)=13.11 (0.36) y Q(24) = 26.45 (0.33) para

número entre paréntesis es el p-valor de la estadística de prueba. modelo parece ser adecuado para describir la dependencia lineal en el retorno y la serie de volatilidades. Hay que tener en cuenta que el modelo ajustado muestra

, que es cercano a 1. Este fenómeno se observa con frecuencia en la práclleva a la imposición de la restricción en un GARCH(1,1), resultando en un sistema integrado de GARCH ( o IGARCH) modelo. Finalmente para predecir la volatilidad de los rendimientos mensuales superiores a los S & P 500, podemos usa

ación de volatilidades en la ecuación

es la ecuación residual de la media en un tiempo h y ecuación de volatilidades. El valor inicial de se fija en cero o de la varianza

. Para el siguiente poso utilizamos la fórmula recursiva. La tabla te muestra algunos pronósticos y la volatilidad de la publicación mensual




Estas FAC no sugieren ninguna correlación significativa serial o heterocedastica condicional en la serie de residuos. Más específicamente, tenemos que Q(12)= 11,99

y Q(12)=13.11 (0.36) y Q(24) = 26.45 (0.33) para valor de la estadística de prueba. Así, el

neal en el retorno y la serie de volatilidades. Hay que tener en cuenta que el modelo ajustado muestra

, que es cercano a 1. Este fenómeno se observa con frecuencia en la práctica y en un GARCH(1,1), resultando en

un sistema integrado de GARCH ( o IGARCH) modelo. Finalmente para predecir la volatilidad de los rendimientos mensuales superiores a los S & P 500, podemos usar la

se obtiene de la se fija en cero o de la varianza

. Para el siguiente poso utilizamos la fórmula recursiva. La tabla ón mensual:

47

Asumiendo que se distribuye según una treestimamos el modelo GARCH(1,1):

Donde el error paramétrico es de 0.0015,

respectivamente. Este modelo es un IGARCH(1,1), verificando que cual es cercano a 1. El estadístico residual de Ljungde 0.33 y estos de la serie modelo GARCH(1,1) con una distribución T



se distribuye según una t-Student con 5 grados de libertad, reestimamos el modelo GARCH(1,1):

Donde el error paramétrico es de 0.0015, , 0.0296 y 0.0371,

respectivamente. Este modelo es un IGARCH(1,1), verificando que cual es cercano a 1. El estadístico residual de Ljung-Box da Q(10)=11.38 con un p

la serie da Q(10) =10.48 con un p-valor de 0.40. Por tanto, el modelo GARCH(1,1) con una distribución T-Student es adecuado.




Student con 5 grados de libertad,

, 0.0296 y 0.0371,

el Box da Q(10)=11.38 con un p-valor

valor de 0.40. Por tanto, el




48

4.MODELOS SV

Una forma alternativa de modelizar los cambios temporales en la volatilidad es a través de los modelos de volatilidades estocásticas SV introducidos por Taylor (1986). En estos modelos, σ no depende de las observaciones pasadas de la serie, sino de una variable no observable, que habitualmente es un proceso estocástico autorregresivo. Para garantizar la positividad de la varianza, la ecuación de la volatilidad, la volatilidad se define para el logaritmo de σ, al igual que en el modelo EGARCH.

Los modelos SV encajan mejor con la teoría financiera y se generalizan bien al caso multivariante. Sus propiedades dinámicas son fáciles de obtener e interpretar a partir de las del proceso estocástico subyacente, pero desafortunadamente, la estimación es más difícil que en los modelos ARCH, al no poderse construir fácilmente la función de verosimilitud de forma exacta. Esto conlleva la utilización de métodos de estimación como pseudo-máxima verosimilitud, máxima verosimilitud simulada o el método generalizado de los momentos, entre otros.

A continuación vamos a describir el modelo SV autorregresivo de orden 1.

4.1.MODELO SV(1)

La ecuación estructural de estos modelos es idéntica a la de los modelos GARCH, ~ , donde los errores (proceso de ruido blanco formado por variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza unidad). A diferencia de los GARCH donde la varianza depende de factores observables, en este modelo se supone que los logaritmos de las varianzas condicionales siguen un proceso AR, para nuestro caso un AR(1) tal que:

©Y σ R ©Y σ´ Ñ Donde || q 1. Llamando Ò ©Y σ este proceso es un AR(1) con ruidos normales, por lo que la distribución de la variable Ò será también normal. Los parámetros de la

distribución marginal son los de un AR(1), es decir, la media es ÓÔ ]]£ y la varianza

σÕ Ö×Ø]£. Entonces la σ será lognormal y puede demostrarse que:

e~ ~ÙÚ~ÖÛØ

El coeficiente de curtosis es:

4 3~ÖÛØ

que será siempre mayor que 3, que al igual que en los modelos ARCH, tienen un comportamiento leptocúrtico. Este modelo tiene también la capacidad de generar distribuciones con colas pesadas, pero no está ligado necesariamente con la persistencia en la volatilidad, medida por el parámetro .




49

La estructura de correlación de los cuadrados de este modelo es:

4 ~' "σÕ2# 13~'σÕ 1 4 N 1

Si la varianza σÕ es pequeña, puede demostrarse que esta expresión implica un decaimiento similar a un AR(1) con parámetro .

Por tanto, al ser el modelo SV una martingala en diferencias, trae como consecuencia que:

e~ 0 H ¥PE~t , ~- 0 && ¦ .

Las condiciones para que ~ sea estacionario es que || q 1.




50

5.CONTRASTES DE AUTOCORRELACIÓN.

Para detectar la presencia de autocorrelación se pueden utilizar métodos gráficos (ya estudiados anteriormente) y contrastes de hipótesis. A través de los contrastes gráficos se intuirá si existe autocorrelación cuando existan comportamientos sistemáticos para los residuos.

Los contrastes de hipótesis, por su parte, permiten, a través de una regla de decisión, considerar si con los datos de la muestra y con un nivel de significación (α) concreto se debe o no rechazar la hipótesis nula. Todos los contrastes numéricos de autocorrelación se plantean con idénticas hipótesis; así, podemos señalar que la forma general del contraste es: ÜHR: No existe autocorrelaciónH: Existe autocorrelación Q En la hipótesis nula se considera que el término de perturbación correspondiente a una observación es independiente del correspondiente a cualquier otra observación. En la hipótesis alternativa se señala que el término de error de un modelo econométrico está autocorrelacionado a través del tiempo. Esta hipótesis alternativa, al considerar la existencia de un patrón de comportamiento para los residuos, se puede especificar con procesos autorregresivos AR(p), de medias móviles MA(q) o mixtos ARMA(p,q) dependiendo del contraste que se vaya a utilizar. Se presentan a continuación distintos contrastes que permiten detectar si las perturbaciones están o no autocorrelacionadas y, en caso de estarlo, bajo qué esquema.

5.1.CONTRASTE DE DURBIN-WATSON (1951)

El contraste desarrollado por Durbin y Watson es la prueba más frecuentemente empleada para detectar la presencia de autocorrelación en los modelos de regresión. Este contraste permite verificar la hipótesis de no autocorrelación frente a la alternativa de autocorrelación de primer orden bajo un esquema autorregresivo AR(1), es decir,

' ' Analíticamente el contraste se especifica del siguiente modo: Ü HR: 0 H: 0 q || q 1Q La forma concreta de la hipótesis alternativa establece unas cotas para el coeficiente de correlación; éstas son necesarias para garantizar algunas características del modelo, en concreto que la varianza sea finita.




51

El estadístico de contraste viene dado por d ∑ ~ ~h∑ ~h

A partir de este estadístico se puede interpretar que:

• Si hay autocorrelación positiva las diferencias entre residuos que distan un periodo es muy pequeña por lo que el valor del estadístico d será próximo a cero.

• Si hay autocorrelación negativa los residuos serán prácticamente iguales pero de signo contrario, su diferencia será por tanto grande y el estadístico será más próximo al límite superior que, como se verá, se establece en cuatro.

• Si no hay autocorrelación, la relación entre los residuos será intermedia y por tanto, el valor del estadístico experimental también alcanzará un valor intermedio.

Para establecer los límites de variación del estadístico d la fórmula anterior se puede desarrollar obteniéndose una expresión en función del coeficiente de autocorrelación muestral de primer orden para los residuos ;G: d ∑ ~ ~h∑ ~h ∑ ~ ~ 2~~h ∑ ~h ∑ ~h ∑ ~ 2∑ ~~hh∑ ~h

cuando el tamaño de la muestra es grande, se puede considerar que ∑ ~h ì∑ ~ ì ∑ ~hh entonces el estadístico d se puede expresar como: d ì ∑ ~h 2∑ ~~h∑ ~h , y dado que el coeficiente de correlación empírico de primer orden se calcula como ;G ∑ ~~h∑ ~h , entonces el estadístico experimental se puede expresar por d ì 21 ;G, Teniendo en cuenta los límites de variación del coeficiente de correlación empírico,1 ` ;G ` 1, se puede deducir el rango de variación del estadístico de Durbin-Watson y el signo de la autocorrelación:

52

Por tanto, se aprecia que el estadístico experimental tomará valores entre 0 y 4 de tal modo que cuánto más próximo a cero (a la evidencia de autocorrelación positiva (negativa). Si el valor del estadístico experimental d es dos, entonces la correlación muestral será nula y por tanto no se detectará un problema de autocorrelación No obstante, estos valores (0, 2 y 4) son límites extremos que deben matizarse estableciendo regiones más amplias en las que pueda considerarse si existe o no autocorrelación y, en caso de detectarse, si ésta es positiva o negatinecesario precisar que la distribución teórica de este estadístico no es sencilla y depende de los valores concretos de la matriz de regresores; por tanto, no existe un valor crítico único que permita establecer una regla de decisiónDurbin y Watson hallaron unos límites superior (ddecisiones acerca de la presencia o ausencia de autocorrelación. Estos valores señalan el límite superior (ddecir, para valores del estadístico experimental superiores a este límite no se rechaza la hipótesis de ausencia de autocorrelación, y el límite inferior (dhipótesis nula y suponer que las covarianzas de las pery, por tanto, no están autocorrelacionadas. Si el valor del estadístico d autocorrelación frente a la alternativa de autocorrelación negativa. El análisis es sipero considerando el valor máximo de 4 como límite para la autocorrelación negativa por tanto los límites anteriores se establecen en los puntos 4 Gráficamente se pueden señalar las regiones del contraste en el siguiente segmento:

Por lo tanto: 0 < d < dL se rechaza H0, existe entonces autocorrelación positiva con un esquema AR(1)4- dL < d < 4 se rechaza H0



, se aprecia que el estadístico experimental tomará valores entre 0 y 4 de tal modo que cuánto más próximo a cero (a cuatro) sea el valor del estadístico la evidencia de autocorrelación positiva (negativa). Si el valor del estadístico

es dos, entonces la correlación muestral será nula y por tanto no se detectará un problema de autocorrelación entre las perturbaciones.

No obstante, estos valores (0, 2 y 4) son límites extremos que deben matizarse estableciendo regiones más amplias en las que pueda considerarse si existe o no autocorrelación y, en caso de detectarse, si ésta es positiva o negativa. En este sentido es necesario precisar que la distribución teórica de este estadístico no es sencilla y depende de los valores concretos de la matriz de regresores; por tanto, no existe un valor crítico único que permita establecer una regla de decisión. Para solucionar esta dificultad Durbin y Watson hallaron unos límites superior (du) e inferior (dL) que permiten tomar decisiones acerca de la presencia o ausencia de autocorrelación.

Estos valores señalan el límite superior (du) para considerar autocorrelación positiva, es decir, para valores del estadístico experimental superiores a este límite no se rechaza la hipótesis de ausencia de autocorrelación, y el límite inferior (dL) para no rechazar la hipótesis nula y suponer que las covarianzas de las perturbaciones del modelo son nulas y, por tanto, no están autocorrelacionadas.

d es superior a dos se puede contrastar la hipótesis nula de no autocorrelación frente a la alternativa de autocorrelación negativa. El análisis es sipero considerando el valor máximo de 4 como límite para la autocorrelación negativa por tanto los límites anteriores se establecen en los puntos 4-du y 4-dL.

Gráficamente se pueden señalar las regiones del contraste en el siguiente segmento:

, existe entonces autocorrelación positiva con un esquema AR(1)0, existe autocorrelación negativa con un esquema AR(1)




, se aprecia que el estadístico experimental tomará valores entre 0 y 4 de tal cuatro) sea el valor del estadístico d mayor es

la evidencia de autocorrelación positiva (negativa). Si el valor del estadístico es dos, entonces la correlación muestral será nula y por tanto no se

No obstante, estos valores (0, 2 y 4) son límites extremos que deben matizarse estableciendo regiones más amplias en las que pueda considerarse si existe o no

va. En este sentido es necesario precisar que la distribución teórica de este estadístico no es sencilla y depende de los valores concretos de la matriz de regresores; por tanto, no existe un valor crítico

. Para solucionar esta dificultad ) que permiten tomar

relación positiva, es decir, para valores del estadístico experimental superiores a este límite no se rechaza la

) para no rechazar la turbaciones del modelo son nulas

es superior a dos se puede contrastar la hipótesis nula de no autocorrelación frente a la alternativa de autocorrelación negativa. El análisis es similar pero considerando el valor máximo de 4 como límite para la autocorrelación negativa

Gráficamente se pueden señalar las regiones del contraste en el siguiente segmento:

, existe entonces autocorrelación positiva con un esquema AR(1) , existe autocorrelación negativa con un esquema AR(1)




53

du < d < 4-du no se rechaza H0, no existe autocorrelación dL < d < du el contraste no es concluyente 4-du < d < 4-dL el contraste no es concluyente Estos límites dependen del tamaño de la muestra (n) y del número de regresores del modelo (k). Las tablas originales sirven para muestras entre 15 y 100 observaciones y un máximo de 5 regresores. Años más tarde, Savin y White (1977) publicaron unas tablas más completas que incluyen tamaños de muestra superiores, 5 < n < 200, y hasta 20 regresores. El tratamiento empírico de este contraste requiere de las siguientes fases:

1) Estimación por mínimos cuadrados ordinarios (MCO) del modelo de regresión 2) Cálculo de los residuos MCO 3) Obtención del estadístico d (experimental) de Durbin-Watson 4) Búsqueda de los niveles críticos del contraste 5) Aplicación de la regla de decisión

Un inconveniente que presenta este contraste es que a veces puede no ser concluyente, por lo que hay que considerar, utilizando otros criterios, si existe o no autocorrelación. En este sentido una solución clásica consiste en ampliar las regiones de rechazo considerando así que existe autocorrelación positiva para valores de d inferiores a du y autocorrelación negativa si los valores del estadístico experimental son superiores a 4-du. Este estadístico de uso frecuente, y también generalmente implementado en los programas y aplicaciones informáticas de Econometría, se basa en un conjunto de supuestos acerca de los cuales es necesario reflexionar.

- En primer lugar hay que señalar que el diseño original del contraste se basó en el análisis de un modelo de regresión que incluía término independiente. No obstante, este requisito exigible al modelo fue posteriormente resuelto. En 1980, Farebrother calculó los valores críticos del contraste para los modelos en los que no existe término independiente.

- Junto con la necesidad de término independiente en el modelo, es también un requisito que la matriz de variables explicativas sea no aleatoria, esto es determinista y fija en un muestreo repetido. Por tanto, este contraste no es válido en modelos dinámicos que consideren como regresor retardos de la variable dependiente.

- La hipótesis alternativa considera que, si las perturbaciones están

autocorrelacionadas, el proceso que las genera es autorregresivo de orden 1. Sin




54

embargo, se ha comprobado que este estadístico es robusto frente a otras especificaciones de la hipótesis alternativa y, además permite detectar errores de especificación derivados de falta de especificación dinámica y/o de la omisión de variables que estén correlacionadas.

5.2.CONTRASTE DE WALLIS (1972)

Este contraste presenta una modificación del estadístico de Durbin-Watson para los modelos que utilizan datos trimestrales en los que, dado el carácter estacional de estas series, se espera que la perturbación de una observación concreta no esté relacionada con la perturbación del periodo inmediatamente anterior sino que dependa de la perturbación del mismo trimestre pero del año anterior, es decir, que la estructura de autocorrelación sea ' 'o .

El contraste plantea en la hipótesis nula la ausencia de autocorrelación:

Ü HR: 0 No existe autocorrelación H: 0 q || q 1 e'.$~ &?$PP~©&óYQ Para verificar si esta estructura de autocorrelación es o no cierta Wallis propone una modificación del estadístico de Durbin-Watson que denomina d4: do ∑ ~ ~ohí∑ ~h

Este estadístico también fue tabulado por Wallis bajo el supuesto de modelo de regresión con un único término independiente y también para el caso de regresiones que incluyan término independiente y variables ficticias estacionales (trimestrales). Al igual que el contraste de Durbin-Watson, el estadístico d4 se ha tabulado suponiendo que la matriz de regresores es no aleatoria y suponiendo también que el modelo tiene término independiente. Además de este contraste, King (1983) desarrolló otra modificación del estadístico de Durbin-Watson. En este caso se obtuvieron los valores de los límites superiores (du) e inferiores (dL) de autocorrelación para definir las regiones de rechazo, indecisión y no rechazo cuando se trabaja con datos mensuales.

5.3.CONTRASTE DE DURBIN (1970)

El contraste de Durbin-Watson, como ya se ha especificado anteriormente, impone como condición para su correcta interpretación que los modelos contengan regresores exclusivamente no aleatorios; con lo cual no se puede aplicar en modelos dinámicos en los que se considere como regresor algún retardo de la variable dependiente. Para corregir esta deficiencia, Durbin desarrolló un estadístico que sí




55

puede aplicarse en estos modelos que incluyan retardos de la variable dependiente. En este caso se ha obtenido un test asintótico para muestras grandes.

La formulación de las hipótesis nula continúa siendo la misma ya que sigue siendo un contraste para la autocorrelación de orden uno bajo un esquema autorregresivo AR(1), ' ' Analíticamente el contraste se especifica del siguiente modo: La hipótesis nula en este caso se puede formular de la siguiente forma como: HR: 0 Y la hipótesis alternativa, por su parte, se especifica ahora de modo que el contraste se configure como un contrate unilateral; esto es, se van a establecer dos posibles hipótesis alternativas según se considere que la autocorrelación puede ser positiva o negativa. Así, el contraste quedaría especificado queda: ÜHR: 0 H: q 1 Q Ü HR: 0 H: 1 Q El estadístico de contraste es:

Ò ;G_ Y1 Y&"A#

que se distribuye asintóticamente según una distribución N(0 ,1) lo que, con un nivel de significación del 5%, supone no rechazar la hipótesis nula para los valores de h pertenecientes al intervalo (-1.645; 1.645) ya que se trabaja con un contraste de una sola cola. Para el cálculo de este estadístico se necesitan conocer los siguientes datos:

1) Tamaño de la muestra (n)

2) Varianza muestral estimada del coeficiente del regresor aleatorio (Yt-1) en la regresión MCO del modelo a estimar; es decir, obtenida bajo el supuesto de

MRLNC [Var(A)]. 3) Coeficiente de correlación estimado (;G ) Este coeficiente de correlación estimado se puede calcular a partir de la estimación de una estructura autorregresiva de orden 1 para los residuos (una regresión MCO de los residuos frente a un retardo de los mismos (~ ;~ )), es decir:




56

;G ∑ ~~h∑ ~h

Otra posibilidad consiste en calcular esta correlación muestral a partir del valor del estadístico de prueba del contraste de Durbin-Watson: ;G ì 1 *2

El procedimiento de contraste requiere de la realización de las siguientes fases:

1) Estimación MCO del modelo de regresión y obtención de la varianza

estimada del coeficiente del regresor aleatorio, Var(A). 2) Cálculo del coeficiente de correlación estimado. 3) Cálculo del valor del estadístico experimental h. 4) Aplicación de la regla de decisión. Si h > 1,645 se rechaza la hipótesis nula al nivel de significación del 5% considerando entonces que existe autocorrelación positiva de primer orden. Para el caso de autocorrelación negativa de primer orden, el valor del estadístico experimental h debe ser inferior a -1,645.

El principal inconveniente que tiene este contraste es que si el radicando es negativo,

esto es [n· Var(A) > 1], entonces el test falla. Para estos casos Durbin propuso un procedimiento asintótico equivalente y que consiste en lo siguiente:

1) Estimar por MCO el modelo de regresión y obtener la serie de residuos MCO. 2) Estimar una regresión auxiliar en la que los residuos MCO se especifiquen como función de todos los regresores del modelo y también se incluya como regresor adicional un retardo de los residuos. 3) Analizar, utilizando el estadístico t habitual, la significación individual del retardo de los residuos de la regresión auxiliar. Si el coeficiente del retardo del residuo es significativamente distinto de cero entonces se considera que existe autocorrelación de primer orden.

Este procedimiento sirvió de base para el contraste, más general, de Breusch-Godfrey (1978) que como se verá a continuación permite contrastar la existencia de otras estructuras de autocorrelación distintas a las autorregresivas de primer orden.

5.4.CONTRASTE DE BREUSCH-GODFREY (1978)

Los contrastes anteriores, a pesar de su validez y robustez para detectar autocorrelaciones de órdenes superiores, se diseñaron inicialmente para contrastar la




57

presencia de procesos autorregresivos de primer orden por lo que el procedimiento adecuado, una vez detectado un problema de autocorrelación, consistirá en el análisis de otros procesos de autocorrelación, ya sean autorregresivos de orden superior, procesos de medias móviles o procesos mixtos.

En este sentido, el contraste de Breusch-Godfrey se especifica con la finalidad de analizar si existe o no autocorrelación de orden superior a uno; para ello, en la hipótesis alternativa se incluyen especificaciones más generales que la del modelo autorregresivo de primer orden y que se pueden generalizar a cualquier especificación ARMA(p,q). En la hipótesis nula se considera ahora que no existe autocorrelación; la hipótesis alternativa especificará un esquema concreto de autocorrelación. Por ejemplo, en un modelo autorregresivo de orden p: ' ' ' ' la hipótesis nula se formularía con el supuesto de ausencia de autocorrelación, es decir, nulidad de todos los coeficientes autorregresivos: HR: 0

Este contraste, al igual que los estudiados hasta el momento, se basa en los residuos MCO y se define como una prueba de significación conjunta de las primeras p autocorrelaciones de los residuos. Para su aplicación empírica es necesario desarrollar las siguientes etapas:

1) Estimación por MCO del modelo de regresión y obtención de los residuos MCO (~). 2) Estimación de una regresión auxiliar de los residuos ~ sobre p retardos de los mismos, ~, ~, ..., ~, así como sobre las variables explicativas del

modelo original. 3) Obtención del coeficiente de determinación (R2) de la regresión auxiliar. 4) C del estadístico experimental, bÔ7 Yî que se distribuye, bajo la

hipótesis nula de no autocorrelación como b , donde p es el número de retardos

de los residuos incluidos en la regresión auxiliar; esto es, el orden de autocorrelación que se está contrastando; n es el número de observaciones del modelo. 5) Regla de decisión: si el valor del estadístico experimental excede del estadístico teórico entonces hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis




58

nula y admitir que existe autocorrelación; en caso contrario no sería correcto rechazar la ausencia de autocorrelación.

Este contraste presenta algunas ventajas frente al estadístico de Durbin-Watson; se puede considerar que el contraste de Breusch-Godfrey puede utilizarse en modelos que incluyan como regresores algunos retardos de la variable endógena, sin que por ello cambien las propiedades del contraste. En segundo lugar se puede señalar que este contraste permite especificar en la hipótesis alternativa cualquier esquema de autocorrelación ya sea a través de un proceso autorregresivo, de medias móviles o mixto. A pesar de estas ventajas que lo pueden hacer preferible al contraste de Durbin Watson, no hay que olvidar que para la aplicación de este contraste es necesario especificar una longitud del retardo y que ésta se determinará por un procedimiento de experimentación basado en el análisis de significación individual de los retardos de los residuos, lo que en principio podría dificultar la tarea de selección del orden de autocorrelación.

5.5.CONTRASTE DE BOX-PIERCE-LJUNG

Box y Pierce desarrollaron un estadístico que, basado en los cuadrados de los primeros coeficientes de autocorrelación de los residuos, permite analizar si existe o no autocorrelación.

El estadístico se define como una suma acumulada de estos cuadrados de los coeficientes de correlación empíricos, es decir:

6 Y1;G

Siendo ;G ∑ ~~h=∑ ~h

Bajo la hipótesis nula de no autocorrelación el estadístico Q se distribuye asintóticamente según una b con grados de libertad igual a la diferencia entre el número de coeficientes acumulados (p) y el número de parámetros estimados al ajustar el proceso ARMA que se considere. Posteriormente este estadístico fue revisado por Ljung-Box obteniéndose mejores resultados para muestras pequeñas si se utiliza esta otra expresión alternativa.




59

6S YY 21 ;GY

Estos estadísticos se definieron inicialmente para el análisis de Series Temporales pero a veces también se utilizan para verificar la hipótesis de autocorrelación en los modelos de regresión. No obstante, esta aplicación en modelos estructurales debe realizarse con cautela ya que la inclusión de variables exógenas en el modelo tiene un efecto desconocido sobre el estadístico experimental.

5.6.SOLUCIONES PARA LA AUTOCORRELACIÓN

La presencia de autocorrelación en un modelo se puede solventar mediante el método de Cochrane-Orcutt o mediante la introducción de variables dummy adecuadas en el modelo. Existen otros métodos menos utilizados como el método de estimación de Durbin y el procedimiento de Prais-Winsten.

5.6.1.MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS Este método se basa en la realizar la estimación del modelo con autocorrelación mediante mínimos cuadrados generalizados (MCG), es decir, supongamos que en el modelo de regresión múltiple para datos de series temporales:

ï @ @ @22 ? , $ 1,…+

el término de error ? sigue un proceso AR(1):

? ?

en donde el error es un proceso de ruido blanco: e 0, e y e2 0 ð4 ¦ 0. Sabemos que la función de autocovarianzas de un proceso

AR(1) es F2 2FR con FR ñòØ"£Ø#, de modo que la matriz de varianzas y covarianzas

de u puede escribirse como:

e??ó 1 xyz 1ô>

1ô>

1ô>kõ…

>>>kô1 | Ω




60

Para la estimación del modelo de regresión aplicando MCG se necesitaría conocer la inversa de esta matriz Ω que es

Ω xyyz

10…00

01 …00

01 …00

. . .………

000…0

000…1

000…1 ||

Si el parámetro fuera conocido, entonces podríamos calcular el estimador de mínimos cuadrados generalizados usando la fórmula:

@C÷øù SΩSΩH

O alternativamente, si el modelo generalizado se quisiera transformar a un modelo clásico utilizando la transformación de Aitken se necesitaría expresar la matriz de paso P que para el supuesto concreto de un modelo autorregresivo de primer orden se formula:

5 xyz1 ú00

010 0010

0 00 00 0 1|

es una matriz bidiagonal inferior con elementos en la diagonal principal iguales a 1,

excepto el primero que es igual a Å1 , y elementos en la primera subdiagonal por

debajo de la diagonal principal iguales a .

Expresando el estimador MCG en términos de P, tenemos:

@C÷øù SPSPSPSPH




61

en donde

5H xzÅ1 ïï ïôï> ï>

y 5 xyzÅ1 Å1 … Å1 21 … 2 2ô1 ô> > ô… ô2> 2>|

De aquí, podemos escribir el modelo de regresión transformado:

5H 5@ 5?

Y como:

M1 ï @M1 @M1 @2M1 2

ï ï @1 @ @22 2

El procedimiento descrito tiene dos limitaciones:

En primer lugar, no podemos extenderlo a otras formas de autocorrelación. Por ejemplo, no tenemos una fórmula cerrada para crear la inversa de un proceso AR(p) general.

En segundo lugar, el cálculo del estimador MCG requiere conocer el parámetro . Si

disponemos de una estimación A, entonces podemos estimar el estimador MCG como:

@C÷øù "SΩT#SΩTH

que es el estimador de mínimos cuadrados generalizados factibles (MCGF). Las

propiedades estadísticas de @C÷øù son desconocidas en muestras finitas son

desconocidas, y dependen de las propiedades asintóticas de A en muestras grandes. Si A es un estimador consistente de A, entonces @C÷øù también es consistente.

Por tanto cuando no conozcamos A, es decir, cuando Ω es desconocido, existen algunos procedimientos para estimar el coeficiente. Hay otros procedimientos como el de máxima verosimilitud que no lo explicaremos. Los que aquí se muestran son procedimientos que se desarrollan en dos etapas. En la primera etapa se obtiene la




62

estimación de , que se utiliza en la segunda etapa para transformar las variables con las que estimar una ecuación en diferencias generalizada (método que coincide básicamente con la aplicación de los mínimos cuadrados generalizados). Estos métodos se conocen con el nombre de mínimos cuadrados generalizados factibles (MCGF).

MÉTODO ITERATIVO DE COCHRANE-ORCUTT

Cochrane y Orcutt propusieron un método simple para estimar iterativamente los parámetros β de un modelo de regresión y los parámetros de un proceso AR(p), que evita la inversión de la matriz Ω y que vamos explicar a continuación considerando un modelo de regresión con dos variables explicativas:

ï @ @ @kk ? 8 y autocorrelación de tipo AR(1)

? ? 9 La idea es transformar el modelo de regresión en un modelo cuyo término de error sea ruido blanco ? ?. Dada la relación entre ï y ?, podemos definir directamente las variables:

ïü ï ï H ü

y especificar la relación

ïü @ü @ü @kkü 10 en donde ü 1 . Nota: Si el proceso AR(1) en términos del operador B, 1 ? , vemos que multiplicando la ecuación ï @ @ @kk ? por 1 obtenemos la ecuación :

ïü @ü @ü @kkü Nuestro objetivo es estimar los coeficientes βi (i = 1, 2, 3) de la ecuación 10 y el parámetro de la ecuación 9. El problema consiste en que para estimar βi (i =1, 2, 3) necesitamos una estimación de , y para estimar necesitamos estimaciones de βi (i = 1, 2, 3). La solución a este círculo vicioso propuesta por Cochrane y Orcutt es el siguiente procedimiento iterativo:

1. Usar una estimación preliminar de , por ejemplo 0, transformar los datos y estimar por MCO los coeficientes βi (i = 1, 2, 3) en la ecuación 10. 2. Usando estas estimaciones, podemos obtener los residuos ?G en la ecuación 8. 3. Los residuos ?G nos permiten encontrar una nueva estimación de en 9.




63

4. Los pasos 1, 2 y 3 se repiten sucesivamente hasta alcanzar la convergencia, es decir, hasta que las estimaciones en dos repeticiones o iteraciones consecutivas prácticamente no cambien.

Los criterios de convergencia usuales son:

1. La estimación del parámetro en dos iteraciones consecutivas no cambia,

ý ý q 10í, donde j indica la iteración.

2. La estimación de cada parámetro β en dos iteraciones consecutivas no cambia, ý@ @ý q 10í.

3. La estimación de la suma de cuadrados de los residuos ∑ ?G> en dos

iteraciones consecutivas no cambia, ∑ ?G> ∑ ?G> q 10í.

4. Se alcanza un número máximo de iteraciones.

Nota: En general, si el término de error sigue un proceso AR(p), ? , el modelo transformado se obtiene multiplicando el modelo de interés por el polinomio . MÉTODO DE PRAIS-WINSTEN

Una modificación del procedimiento de Cochrane-Orcutt fue propuesta por Prais y Wisten (1954); estos autores sugieren ampliar el tamaño de muestra incluyendo una transformación para la primera observación que, como consecuencia de la utilización de primeras diferencias, desaparece. En lugar de utilizar el modelo que surge directamente de la transformación se incorpora, para las primeras observaciones de las variables el

factor de corrección Å1 ;, con lo que la primera observación para la variable

dependiente será Å1 ;ï y análogamente para la matriz de regresores. Esta modificación permite mejorar la eficiencia en la estimación de muestras pequeñas.

MÉTODO DE DURBIN

Durbin (1960) propone una primera estimación del modelo en cuasi diferencias expresado a partir de la igualdad,

ï 1 @ @ ï Como primera estimación del coeficiente de autocorrelación se va a considerar el coeficiente de la variable endógena desplazada, ya que, aunque sesgada, se trata de una estimación consistente de .




64

Esta primera estimación del coeficiente de autocorrelación puede servir de base para la aplicación de cualquiera de los otros dos métodos presentados con anterioridad. En concreto, Griliches y Rao muestran, a partir de un estudio de Monte Carlo que el estimador obtenido a partir de una primera estimación con el método de Durbin y seguido del procedimiento de Prais-Wisten para las variables transformadas es mejor otras alternativas. En este sentido Greene (1998) (citando a Harvey y McAvinchey (1981)) afirma que “es bastante peor omitir la primera observación que mantenerla”.




65

6.HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL.CONTRASTES.

En el modelo lineal ï @ ?, suponíamos una serie de hipótesis entre las que se encontraban que la variable u (término de error) es una variable aleatoria con esperanza nula e? 0 y la matriz de covarianzas constante y diagonal &? þ. Es decir, que para todo t, la variable ut, tiene media cero y varianza no

dependiente de t, y además ¥PE"? , ?# 0 para todo i y para todo j distintos entre sí,

pudiendo escribir &? þ. El hecho de que la varianza de ut sea constante para todo t (que no dependa de t),

se denomina hipótesis de homocedasticidad. Por tanto el caso contrario, en el que la varianza ut no es constante estamos ante la presencia de heterocedasticidad. La importancia del incumplimiento de la hipótesis de homocedasticidad radica, entre otras cosas, en que los estimadores obtenidos por mínimos cuadrados no son de varianza mínima aunque sigan siendo insesgados. Además, para cada variable del modelo se estimará una varianza del error.

Para analizar la heterocedasticidad condicional de un modelo se suele comenzar por el análisis gráfico de los residuos, siendo esenciales las gráficas de los residuos (a poder ser estandarizados) respecto de la variable endógena predicha y respecto de las exógenas, que deben de presentar una estructura aleatoria libre de tendencia. El gráfico de los residuos contra cada variable exógena permite detectar como variable más culpable de heterocedasticidad aquella cuyo gráfico se separa más de la aleatoriedad. También es un instrumento gráfico útil la gráfica de valores observados frente a valores predichos, cuyos puntos han de ser lo más ajustados posible a la diagonal del primer cuadrante.

A parte del análisis gráfico es necesario realizar contrastes formales de heterocedasticidad, entre los que destacan Goldfeld-Quandt, Glesjer, Breush-Pagan, White, y Reset de Ramsey.

6.1.CONTRASTES DE WHITE

Para simplificar la exposición, vamos a describir el contraste en una ecuación de regresión con término constante y dos variables explicativas. La extensión del contraste al modelo lineal general es trivial.

Consideremos por tanto el siguiente modelo: H @ @ @kk ?, 1, … , Y

Y deseamos contrastar las hipótesis:

R: e? J P%P~*&.$*&*: e? ~$~P~*&.$*&*Q




66

Los pasos para realizar el contraste son los siguientes: 1. Estimar por mínimos cuadrados ordinarios la ecuación de regresión de interés H @ @ @kk ?, 1, … , Y

y obtener los residuos ?G. 2. Estimar por mínimos cuadrados ordinarios la ecuación de regresión auxiliar ?G kk o ík k ~

y calcular el coeficiente de determinación î.

3. Calcular el estadístico de contraste Yî, que sigue asintóticamente una distribución Chi-cuadrado con p − 1 grados de libertad, donde p es el número de parámetros de la regresión auxiliar.

4. La hipótesis nula se rechaza al nivel de significación α, si Yî , donde c es el

valor crítico para el cual 5P"b # .

Suele decirse que el test de White es general porque no necesitamos conocer las variables que causan la heterocedasticidad. Sin embargo, de la ecuación de regresión auxiliar vemos que la forma de heterocedasticidad implícita es: 1 22 33 422 532 623 y las hipótesis a contrastar son: Ü R: 2 3 0: ¦ 0 && &©«úY 2, … , Q Bajo R, la varianza del error es constante ; bajo , hay heterocedasticidad del tipo: G G1 G22 G33 G422 G532 G623 La regresión auxiliar incluye como variables explicativas todas las variables explicativas del modelo de interés, sus cuadrados y los productos cruzados, siempre que tales variables no sean redundantes, es decir, no aparezcan ya en la ecuación de regresión. Por ejemplo, si es una variable ficticia tomando los valores 0 y 1,

entonces y se dice que es redundante.




67

En resumen, algunas ventajas del test de White son:

1. Es un test general, 2. Es un test constructivo, nos sugiere una forma de heterocedasticidad si se rechaza H0, 3. Es muy simple de aplicar.

y como inconvenientes

1. La ecuación de regresión auxiliar puede incluir muchas variables explicativas, k(k + 1)/2. 2. La ecuación de regresión auxiliar no está exenta de los errores de especificación de cualquier regresión, 3. Es un contraste asintótico, válido para muestras muy grandes.

6.2.CONTRASTES DE BREUSH-PAGAN/GODFREY

Godfrey (1978) considera el modelo de regresión múltiple:

H @ @ @kk @22 ?, 1, … , Y

con heterocedasticidad del tipo: ~"122…# Esta ecuación indica que la varianza es función exponencial de una combinación lineal de variables conocidas. En la práctica, las variables Zj (j = 2, . . . , p) coinciden con las variables explicativas Xj (j = 1, . . . , k). Breusch y Pagan (1979) consideran una forma más general de heterocedasticidad Ò"1 22 #

donde h es una función no especificada.

Las hipótesis a contrastar son:

Ü R: 2 3 0 ÒP%P~*&.$*&*: ¦ 0 && &©«úY 2, … , Ò~$~P~*&.$*&*Q Los pasos para realizar el contraste son los siguientes:

1. Estimar por mínimos cuadrados la ecuación de regresión de interés obtener los

residuos ?G, y calcular GJ ∑ J¾Øhh .




68

2. Estimar por mínimos cuadrados la ecuación de regresión auxiliar

?GGJ ~ y calcular la suma de cuadros explicada, SCE. 3. Calcular el estadístico de contraste SCE/2, que sigue bajo R (y suponiendo normalidad) una distribución Chi-cuadrado con p − 1 grados de libertad. 4. La hipótesis R se rechaza al nivel de significación α, si SCE/2 > c, donde c es

el valor crítico para el cual 5P"b # .

Un procedimiento equivalente es el siguiente:

1. Estimar por mínimos cuadrados la ecuación de regresión de interés obtener los residuos ?G. 2. Estimar por mínimos cuadrados la ecuación de regresión auxiliar ?G ~ y calcular el coeficiente de determinación, î. 3. Calcular el estadístico de contraste Yî, que sigue bajo R (y suponiendo normalidad) una distribución Chi-cuadrado con p − 1 grados de libertad. 4. La hipótesis R se rechaza al nivel de significación α, si Yî c, donde c

es el valor crítico para el cual 5P"b # .

Si R es cierta, entonces la varianza no depende de las variables Zj (j = 2, . . . , p) y el î en la regresión auxiliar será bajo. Por el contrario, si es cierta, entonces la

varianza depende de las variables Zj (j = 2, . . . , p) y el î será alto. El problema está en decidir cuando el î se considera bajo y alto. Pues bien, será bajo cuando Yî q y alto cuando Yî . Podemos observar que cuando las variables que causan la heterocedasticidad, Zj (j = 2, . . . , p) coinciden con las variables explicativas Xj (j = 1, . . . , k), la ecuación de regresión auxiliar de este contraste está contenida en la regresión auxiliar del test de White.

En resumen, algunas ventajas del test de BPG son: 1. Es muy simple de aplicar, 2. No requiere conocer la forma funcional de la heterocedasticidad,




69

3. Es un test constructivo, nos sugiere una forma de heterocedasticidad si se rechaza R,

y como inconvenientes

1. Descansa en el supuesto de normalidad de los errores, 2. La ecuación de regresión auxiliar no está exenta de los errores de especificación de cualquier regresión,

Nota: no se debe de confundir el tests de autocorrelación y heterocedasticidad de Godfrey. Recordemos que en el primer caso nos interesa la dependencia del residuo ?G de su pasado ?G2.

6.3.CONTRASTES DE GOLDFELD-QUANDT

El contraste de Goldfeld-Quandt (1965) se aplica cuando sospechamos que la varianza del error aumenta con los valores de una variable conocida Z:

J El problema a contrastar:

R: J P%P~*&.$*&*: J && &©«úY 2,… , ~$~P~*&.$*&*Q

Los pasos del contraste de Goldfeld-Quandt son los siguientes:

1. Identificar la variable que causa la heterocedasticidad, digamos Z. 2. Ordenar la tabla de datos según los valores crecientes de Z. 3. Dividir la tabla de datos en tres submuestras. La submuestra central con m observaciones, y las otras dos submuestras con (n − m)/2 observaciones. 4. Omitir las observaciones centrales, y estimar por mínimos cuadrados ordinarios la ecuación de regresión en cada submuestra. 5. Calcular la suma de cuadrados de los residuos en cada submuestra: SCR1 y SCR2. Si es cierta, entonces SCR2 > SCR1.

6. Calcular el estadístico de contraste øØø£ que sigue una distribución F con

(n−m)/2 grados de libertad en el numerador y denominador. 7. La hipótesis R se rechaza al nivel de significación α, si F > c, donde c es el

valor crítico para el cual 5P"hc ⁄ ,hc ⁄ # .




70

La elección del número de observaciones a omitir, m, juega un papel clave en el contraste. Cuanto mayor sea m, tanto mayor será la diferencia entre las sumas de cuadrados de los residuos SCR1 y SCR2 y más probable será rechazar R si es falsa. El problema es que disminuyen los grados de libertad de cada regresión estimada, con lo cual el valor crítico c aumenta y menos probable es rechazar R si es falsa. Por ejemplo, el valor crítico para Prob(F4,4 > c) = 0,95 es c = 6,388 y Prob(F8,8 > c) = 0,95 es c = 3,438. En la práctica, m suele elegirse igual a n/3.

Nota: Si depende negativamente de los valores de Zi, entonces el cociente SCR1/SCR2 debería ser mayor que uno, y deberíamos basar el contraste en esta cociente.

6.4.CONTRASTES DE GLESJER

Los estadísticos anteriores son capaces de darnos información sobre el grado de igualdad de las varianzas de una serie de submuestras. Sin embargo, no hacen ningún intento de modelizar el patrón heterocedástico que sigue la varianza de la perturbación. En ese sentido, los estadísticos anteriores son no constructivos. Debemos tener en cuenta que para aplicar mínimos cuadrados generalizados resulta indispensable conocer qué tipo de heterocedasticidad sigue la varianza de la perturbación. Desde este punto de vista, parece conveniente utilizar métodos que nos den alguna ayuda en este sentido.

Un primer intento es el contraste propuesto en Glejser (1969). El contraste que se plantea es el siguiente: Ü R:P%P~*&.$*&*: ~$~P~*&.$*&*Q La motivación de este estadístico es que bajo la hipótesis alternativa, la varianza de la perturbación del modelo ï @ ? depende de una variable z. Entonces, este autor propone estimar la relación que existe que vincula a estas dos variables. Para ello, dado que desconocemos el valor de la varianza, utiliza como variable proxy de la desviación típica de la perturbación a |?G|, donde ?G son los residuos mco procedentes de la estimación del modelo ï @ ?. Es posible también utilizar ?G como variable proxy de la varianza de la perturbación. Una vez determinada la variable a explicar, el siguiente paso es realizar una regresión entre ésta y la variable que creemos causa los problemas de heteroscedasticidad, en nuestro caso z. Como la forma funcional no tiene que ser lineal, se pueden utilizar formas funcionales alternativas. Por tanto, el estadístico de Glejser está basado en la estimación de la siguiente relación: |?G| R \ ~ donde h puede tomar valores (1,0,1,2). El siguiente paso es determinar qué forma funcional es la que mejor se adecúa a nuestro caso. Esto se puede realizar comparando,




71

por ejemplo, los coeficientes de determinación del modelo. Una vez estimada la mejor de las relaciones debemos contrastar la hipótesis nula R: 0, mediante el uso del estadístico $]£. Si aceptamos esta hipótesis nula, es tanto como decir que no existe

relación entre la desviación típica del modelo ï @ ? y la variable z, lo que equivale a aceptar la hipótesis de homodedasticidad. Si, por el contrario, encontramos que es significativamente distinto de cero, entonces concluimos que no es constante, por lo que debemos rechazar la hipótesis nula de homocedasticidad.

6.5.CONTRASTES DE RESET RAMSEY

Primera etapa: se estiman los residuos ? del modelo inicial y los correspondientes valores ajustados de H. Para cada t se calculan las m primeras potencias de las estimaciones de H. Segunda etapa: se realiza la regresión auxiliar de las estimaciones de ? contra todos los regresores del modelo inicial y las m primeras potencias de las estimaciones de H. Si no hay significatividad de los coeficientes hay heterocedasticidad.

6.6.CONTRASTE ARCH

El contraste que se plantea es el siguiente: para la hipótesis nula R:P%P~*&.$*&* la varianza es constante en toda la muestra, frente a la hipótesis alternativa, : ~$~P~*&.$*&* la varianza condicional es autorregresiva. Es decir, en el caso de un ARCH(1):

&?|? R ? .

Por tanto, vamos a seguir los siguientes pasos:

1. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los residuos MCO e. 2. Estimar por MCO la regresión entre los residuos al cuadrado del modelo anterior y los residuos al cuadrado de dicho modelo retardados. En el caso de un ARCH(1) la regresión sería: ~ R ~ . 3. Forma del contraste: contrastar la significatividad de los parámetros del modelo anterior. El contraste de multiplicadores de Lagrange, TR2, se distribuye como una Chi-2 con un grado de libertad y es equivalente asintóticamente al F habitual.

El problema para este contraste, es determinar bien el orden p, para el modelo ARCH(p), para lo cual se suele utilizar el correlograma estimado de los residuos al cuadrado, tomando p como el retado a partir del cual los coeficientes son no significativos.




72

6.7.SOLUCIONES PARA LA HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL

Los remedios que vamos a ver para este problema dependen de si la heterocedasticidad es conocida o desconocida. En el primer caso, el método de estimación preferido será el de mínimos cuadrados generalizados; en el segundo, podemos optar por mínimos cuadrados generalizados factibles o mínimos cuadrados ordinarios.

6.7.1.HETEROCEDASTICIDAD CONOCIDA

El modelo lineal general con heterocedasticidad:

H @ @ @kk @22 ?, 1,… , Y 11

en donde e? 0, e? Jª y e"??# 0 ð ¦ , es un caso especial del

modelo con perturbaciones no esféricas. En este marco, el estimador lineal, insesgado, consistente y óptimo es el estimador de mínimos cuadrados generalizados: @C÷øù SΩSΩH cuya matriz de varianzas y covarianzas es: &"@C÷øù# JSΩ

en donde Ω *&«ª, … , ªh es una matriz diagonal, cuya inversa es simplemente Ω *&« £ , , . El cálculo directo de @C÷øù y &"@C÷øù# requiere crear la

matriz Ω de orden Y Y. En la práctica, podemos evitar la creación de esta matriz usando el método de mínimos cuadrados ponderados.

- MÍNIMOS CUADRADOS PONDERADOS En el modelo ü los errores cuasitipificados son: ?ü ?Åª Cumplen las hipótesis básicas: 1. Media cero: e?ü e ?Åª 1Åª e? 0

2. Varianza constante




73

e"?ü# e ?ª e?ª Jªª J

3. Covarianza cero

e"?ü?ü# e U ??ÅªÅªV e"??#ªª 0 ð ¦ De aquí, si transformamos el modelo de interés 11 dividiendo por la cuasidesviación

típica de los errores Åª obtenemos:

HÅª @ 1Åª @ Åª @k kÅª @2 2Åª ?Åª , 1,… , Y

O bien: Hü @ü @ü @22ü ?ü, 1,… , Y 12 El modelo transformado 12 contiene los mismos parámetros @, … , @2 que el modelo de interés 11, pero su error cumple las hipótesis básicas. Por tanto, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios en 12 será lineal, insesgado y eficiente, que se denomina estimador de mínimos cuadrados ponderados. Podemos interpretar este método de estimación como un método en dos etapas:

Primera etapa, se transforman las variables dividiendo los datos por la cuasi-desviación típica de los errores.

En una segunda etapa, se estiman los parámetros por mínimos cuadrados ordinarios.

El método de mínimos cuadrados ponderados es una forma conveniente de obtener el estimador de mínimos cuadrados generalizados bajo heterocedasticidad. No debemos considerarlo como un método de estimación alternativo. Podemos comprobar la equivalencia entre los dos métodos usando la descomposición Ω 5S5 y expresando el estimador MCG como: @C÷øù S5S5S5S5H en donde




74

5 xyyyz1 √ªú 0 00 1 √ªú 0

ô0 ô0 õ ô1 Åªh |||

Ahora es claro que los datos transformados:

5H xyyyzH √ªúH √ªúôHh Åªh

||| H 5

xyyyyyyz1 √ªú √ª 2 √ª

1 √ªú √ª 2 √ªô1 Åªh ôh Åªh õ ô2h Åªh

||||||

se corresponden con los datos de las variables divididos por las cuasi-desviaciones típicas de los errores correspondientes.

6.7.2.HETEROCEDASTICIDAD DESCONOCIDA

En este caso, usamos el método de mínimos cuadrados generalizados factibles.

En la práctica cuando deseamos estimar una ecuación de regresión múltiple:

H @ @ @kk @22 ?, 1,… , Y 13

Desconocemos la forma de heterocedasticidad. Si sospechamos que:

podríamos aplicar el test de Breusch-Pagan-Godfrey. Si rechazamos la hipótesis nula de homocedasticidad, entonces debemos estimar por mínimos cuadrados generalizados.

Ahora bien, como no conocemos las varianzas , tendremos que estimarlas utilizando los valores ajustados obtenidos en la estimación de la regresión auxiliar:

?G ~ esto es:

G G G G




75

Tipificando los datos, obtenemos el modelo transformado: HG @ 1G @ G @k kG @2 2G ?G , 1,… , Y

en donde el estimador de mínimos cuadrados ordinarios se denomina mínimos cuadrados generalizados factibles (MCGF). El término factible enfatiza que la estimación se ha realizado reemplazando por una estimación G.

Las propiedades estadísticas de este estimador en muestras finitas son desconocidas; mientras que en muestras grandes, dependen de las propiedades de G: si G es un

estimador consistente de , entonces el estimador MCGF también lo será.

En el caso de que la estimación se realice por mínimos cuadrados ordinarios:

Cuando la heterocedasticidad es desconocida, el estimador MCO cumple algunas propiedades deseables: es lineal, insesgado y consistente. El problema surge porque el estimador es ineficiente y, en consecuencia, los estadísticos t y F estarán sesgados. White demostró que la matriz de varianzas y covarianzas "@C÷øù# JSSΩS

puede estimarse consistentemente reemplazando la matriz desconocida Ω por una

matriz diagonal que contiene los residuos al cuadrado de la estimación MCO, ΩT *&«?G, … , ?Gh. Algunos autores prefieren el estimador MCO al MCGF, y calculan los estadísticos t y F usando la matriz de varianzas y covarianzas consistente en presencia de heterocedasticidad desconocida.




76

7.MULTICOLINEALIDAD CON SERIES DE TIEMPO.

Dado el modelo ï @ ?, suponíamos unas series de hipótesis. Una de ellas es que las variables , , … , 2 son linealmente independientes, es decir que no existe relación lineal entre las variables. Esta hipótesis se denomina de independencia, si no se cumple, entonces se dice que el modelo presenta problemas de multicolinealidad. Podemos distinguir dos tipos de multicolinealidad:

- Multicolinealidad exacta: se produce cuando |S| 0. En este caso existe infinitas soluciones para el sistema: ó@C÷ø Sï Todas las variables independientes están relacionadas.

- Multicolinealidad de grado: en este caso |S| 0. La solución no es exacta analíticamente hablando.

La principal consecuencia de un modelo que presenta multicolinealidad es que se obtienen estimaciones de los parámetros con altos errores estándares, haciéndolos poco precisos y muy inestables.

7.1.DETECCIÓN DE LA MULTICOLINEALIDAD

Es necesario tener en cuenta que la multicolinealidad es un problema de grado, es decir, lo importante no es distinguir sobre la presencia o ausencia de multicolinealidad, sino del grado de la misma. Además la multicolinealidad es un problema muestral, por lo que no existen métodos únicos y definitivos para detectarla, sino de reglas generales que deben ser interpretadas conjuntamente para decidir el grado de la misma. Entre estas reglas se distinguen las siguientes:

- Q î¥P~º~Y$~. ~«~.óY .«Yº&$EP.¥P~º~Y$~. *~ ~«~.. Y*E*?&©~. YP .«Yº&$EP.Indicios de

multicolinealidad. Es no quiere decir que sea un problema, sobre todo si estamos en el caso de que haya algunos coeficientes de regresión significativos. Se considera un problema cuando se dan las tres condiciones a la vez.

- Valores grandes de los coeficientes de Pearson muestrales, entre Xi y Xj, es un

claro indicio de multicolinealidad. Cuando N 0,8. No obstante, no es

necesario que dichos coeficientes sean altos para que la multicolinealidad sea un

problema. Existen casos en donde q 0,5 y en los cuales hay problemas de

multicolinealidad.




77

- Puesto que la multicolinealidad surge debido a que uno o mas regresores son combinaciones lineales del resto, entonces la realización de una regresión por cada variable explicativa de la siguiente forma: , … , , =, … , 2 1, … , 4

puede ser muy informativo para detectar este problema. A estas se les llama regresiones auxiliares. En cada una de ellas se debe calcular el coeficiente de determinación múltiple î y a partir del mismo hacer el contraste de regresión.

- Factores de tolerancia: se define el factor de tolerancia de la variable como +È 1 î . Por tanto, si +È 1 § î 0 § þ 1 y por

tanto no estará relacionado linealmente con el resto de las variables

explicativas. No obstante este criterio también tiene crítica, ya que según sabemos, la varianza &"@C# depende de ∑ , þ y de . Por tanto, aun teniendo un þ muy

grande puede darse el efecto de compensación y ser el valor de la &"@C#

reducido, no siendo por tanto un problema la multicolinealidad.

- Estructuras de autovalores de R. Los autovalores de la matriz de correlaciones R de las variables explicativas proporcionan una información precisa sobre la multicolinealidad. Consideremos la descomposición espectral de î ΛS donde Λ diag, … , 2 N N 2 N 0, y U matriz ortogonal con columnas de autovectores de R. Además se sabe que î ΛS. La ordenación de los autovalores de mayor a menor nos indica si existen problemas de multicolinealidad. Dado que el rango de R es igual al número de autovalores no nulos de R, claramente si un autovalor o más son nulos entonces el rango de R no será completo, indicando dependencia lineal. Sin llegar a este extremo, autovalores muy pequeños pueden proporcionarnos información sobre problemas de multicolinealidad.

- Índice de condición. Se define el índice de condición de la matriz R de la siguiente forma:

þ¥î _2

Interpretación de este índice:

Si 0 ` þ¥ ` 10 presencia de multicolinealidad débil.

Si 10 ` þ¥ ` 30 presencia de multicolinealidad moderada.




78

Si þ¥ 30 presencia de multicolinealidad severa.

Los criterios de detección de multicolinealidad expuestos anteriormente están basados en la matriz R, matriz que se calcula a partir de los datos en desviaciones, no apareciendo la influencia que tiene el término constante. Dado que los datos en desviaciones están centrados por su media existen ocasiones en que este centrado es poco natural, ya que este obliga a que el modelo pase por el origen. Cuando esto no sea justificable no debe de utilizarse la matriz R, sino que debe de ser sustituida por la siguiente expresión:

+ e ú Se ú

donde E es matriz diagonal cuyos elementos son los elementos de la diagonal de S. Esto hace que dispongamos de un autovalor más que con la matriz R

7.2.SOLUCIONES AL PROBLEMA DE MULTICOLINEALIDAD

Dado que la multicolinealidad es un problema muestral, las soluciones al mismo no son simples, fundamentalmente porque se está pidiendo más información de la que realmente tiene la muestra. Presentamos las siguientes opciones:

- Eliminación de regresores. Dado que el problema de multicolinealidad se presenta cuando dos o más regresores son colineales y por tanto solapan información. Una posible solución es eliminar alguna de las variables. Esta solución puede presentar problemas muy graves, ya que puede dar lugar a lo que se denomina error de especificación del modelo y hacer que los estimadores de los coeficientes de regresión sean sesgados. Por tanto, la eliminación de variables en el modelo solo debe de hacerse cuando se tenga constancia de que dicha variable no es necesaria en el mismo.

- Aumento del tamaño muestral. Dado que la multicolinealidad tiene como consecuencia fundamental el aumento de los errores estándares de los parámetros estimados, una alternativa es buscar soluciones para reducir tales errores. Una vía para este objetivo es el aumento del tamaño muestral. Usualmente al aumentar el tamaño muestra se produce un incremento en la variabilidad de los regresores y por tanto disminuye por tanto el error estándar. El problema es que no siempre es sencillo, posible o económico aumentar el tamaño muestral. En el caso en que el estudio esté basado en un diseño de experimentos controlado por el investigador, en este caso podemos aumentar artificialmente la variabilidad de los regresores sin necesidad de aumentar el tamaño muestral.

- Utilizar el modelo en diferencias vigilando la autocorrelación.

- Aplicación de otras técnicas estadísticas como:




79

o Regresión Ridge. o Regresión basada en Componentes Principales.




80

8.HIPÓTESIS DE NORMALIDAD.

La hipótesis de normalidad de las perturbaciones (residuos) aleatorias es necesaria para realizar inferencias sobre los parámetros. Así mismo afecta a las propiedades de los estimadores mínimo cuadráticos, ya que si esta no es aceptable, la estimación por mínimos cuadrados es diferente de a la estimación de los parámetros por

máxima verosimilitud, y por tanto los estimadores "@C# se hacen ineficientes. De esta

forma no se obtendría el máximo partido de la información muestral, agravándose este hecho si existen observaciones atípicas en la muestra (pueden ser la causa real de la no normalidad).

Los contrastes de normalidad que se suelen utilizar son:

- Kolmogorov-Smirnov (Lilliefors) - b-Pearson - Shapiro-Wilks - D’Agostino - Asimetría y kurtosis (Bera-Jarke)

Los contrastes de normalidad presentan algunos inconvenientes a la hora de aplicarlos, ya que estos asumen siempre que los datos proceden de variables aleatorias independientes.

Otro inconveniente que presentan estos contrastes es su dependencia respecto al tamaño muestral, en concreto, un tamaño muestral muy grande hace que tengan una alta potencia, tendiendo a rechazar la normalidad R. Por el contrario un tamaño muestral reducido tiene poca potencia, tendiendo a no rechazar la normalidad.

Las causas más frecuentes de que unos datos no sean normales es por problemas de asimetría y curtosis (por excesiva concentración de observaciones cerca de la media o presencia de observaciones atípicas).

Si la causa de la no normalidad es por problemas de asimetría, el tratamiento que se debe seguir es transformar la variable respuesta. Generalmente una transformación adecuada de ésta suele resolver también problemas de no linealidad.

Uno de los procedimientos más usados para transforma la serie es la utilización de la familia de transformaciones BOX-COX véase en el Anexo.




81

ANEXO

Conceptos y definiciones.

Serie Estacionaria. Dada una serie , $ 1,… , +, se dice que es estacionaria si:

- Su media es constante.

- Su varianza es constante.

- La autocovarianza entre y la serie =2 solo depende de k y no del instante de tiempo t, es decir, su valor es independiente del periodo de tiempo que se considere. El índice k toma los valores k = 0,1,2,…,h, donde h < T. Esta autocovarianza se define como:

2 1+ 1' 'L'=2 'L>2

donde 'L es la media de la serie y T es el núero de componentes de la serie .

Ruido blanco.

Dada una serie , $ 1,… , +, estacionaria , se dice que esta serie es un ruido blanco si:

- Su media es cero

- Su varianza es constante

- La autocovarianza entre y la serie =2 (k = 0,1,2,…,h ; h < T) es cero.

Transformaciones de Box-Cox.

Uno de los procedimientos más usados para resolver los problemas de falta de normalidad y de heterocedasticidad es el transforma la serie es la utilización la familia de transformaciones BOX-COX:

Se desea transformar la variable y, cuyos valores se suponen positivos, e caso contrario se suma una cantidad fija M tal que Y + M > 0. La transformación de Box-Cox depende de un parámetro por determinar y viene dada por:




82

OH 1 ¦ 0©YH 0 H 0Q Si se quieren transformar los datos para conseguir normalidad, el mejor método para estimar el parámetro es el de máxima verosimilitud y se calcula como sigue: para diferentes valores de se realiza la transformación

OH 1H ¦ 0H ©YH 0 H 0Q donde H es la media geométrica. Para cada , se obtiene el conjunto de valores () 1h. La función de verosimilitud es:

È Y2 ©Y U1" L#h V

Se elige el parámetro C que maximiza È. En la práctica, se calcula È en un enrejado (grid) de valores de que permite dibujar aproximadamente la función È y se obtiene el máximo de la misma:

C÷ R ÈR⁄ N È ð

Como casos particulares más usuales son:

Si 1 los datos no se transforman.

Si 2 se realiza una transformación cuadrática.

Si 1 se realiza una transformación inversa.

Si 0 se realiza una transformación logarítmica.

Un método gráfico sencillo para estimar es el siguiente:

1. Para cada grupo de residuos, según el tratamiento, se calcula la media de la respuesta H<. y la desviación típica de los residuos .~. 2. Se dibuja el gráfico de los pares de puntos media y desviación típica H<., . y se ajusta una curva del tipo:

. 4 · H. ©« . ©«4 ©«H<. Un ajuste lineal respecto a los logaritmos de ambas componentes.

3. Conclusión:

-Si 0 los residuos son homocedásticos.




83

-Si 1 hay heterocedasticidad y la transformación a realizar es tomar logaritmos.

-En otro caso, hay heterocedasticidad y se deben transformar los datos según la transformación de Box-Cox con 1




84

ANEXO A La tabla siguiente muestra los datos correspondientes a la serie de datos ', para

el modelo ARIMA. Hemos utilizado estos datos para realizar el ejemplo del modelo ARIMA.

t ' t '

1 200,1

36 220,6

2 199,5

37 218,9

3 199,4

38 217,8

4 198,9

39 217,7

5 199

40 215

6 200,2

41 215,3

7 198,6

42 215,9

8 200

43 216,7

9 200,3

44 216,7

10 201,2

45 217,7

11 201,6

46 218,7

12 201,5

47 222,9

13 201,5

48 224,9

14 203,5

49 222,2

15 204,9

50 220,7

16 207,1

51 220

17 210,5

52 218,7

18 210,5

53 217

19 209,8

54 215,9

20 208,8

55 215,8

21 209,5

56 214,1

22 213,2

57 212,3

23 213,7

58 213,9

24 215,1

59 214,6

25 218,7

60 213,6

26 219,8

61 212,1

27 220,5

62 211,4

28 223,8

63 213,1

29 222,8

64 212,9

30 223,8

65 213,3

31 221,7

66 211,5

32 222,3

67 212,3

33 220,8

68 213

34 219,4

69 211

35 220,1

70 210,7




85

t ' t '

71 210,1

110 250,7

72 211,4

111 253

73 210

112 253,7

74 209,7

113 255

75 208,8

114 256,2

76 208,8

115 256

77 208,8

116 257,4

78 210,6

117 260,4

79 211,9

118 260

80 212,8

119 261,3

81 212,5

120 260,4

82 214,8

121 261,6

83 215,3

122 260,8

84 217,5

123 259,8

85 218,8

124 259

86 220,7

125 258,9

87 222,2

126 257,4

88 226,7

127 257,7

89 228,4

128 257,9

90 233,2

129 257,4

91 235,7

130 257,3

92 237,1

131 257,6

93 240,6

132 258,9

94 243,8

133 257,8

95 245,3

134 257,7

96 246

135 257,2

97 246,3

136 257,5

98 247,7

137 256,8

99 247,6

138 257,5

100 247,8

139 257

101 249,4

140 257,6

102 249

141 257,3

103 249,9

142 257,5

104 250,5

143 259,6

105 251,5

144 261,1

106 249

145 262,9

107 247,6

146 263,3

108 248,8

147 262,8

109 250,4

148 261,8




86

BIBLIOGRAFÍA Tsay, R.S. (1987): Conditional Heteroskedastic Time Series Models. Journal of American Statistical Assotiation, 82. 590-604. ENGLE, R.F. (1982): Autorregresive Conditional Heterocedasticity with Estimates of the Variance of the U.K. Inflation Econométrica, 50. Pgs: 987-1008 Nelson, D.B. (1990). ARCH models as diffusion approximations. J. Econometrics. 45, 7-39. G. E. P Box, G. M. Jenkins y G. C. Reinsel, Time series analysis forecasting and control, 3rd ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1994. W. W. S. Wei, Time series analysis, Addison-Wesley, EE.UU, 1990. Robret F. Engle (1942) desarrolló con Granger el concept de cointegración e inventó los procesos ARCH.

Introducción a los modelos de series temporales no lineales. Juan Gabriel Rodríguez Hernández. Mayo 2001.

Introducción a los modelos autorregresivos con heterocedasticidad condicional (ARCH). Rafael de Arce. I.L.Klein, diciembre de 1998.

Andersen, T.G. y Bollerslev, T. (1998): Answering the skeptics:Yes, standar volatility models do provide accurate forecasts. International Economic Review.

Bollerslev, T. (1986): Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics.

Nelson, D. B. (1991). Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach” Econometria.

Página Web: http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/tseries/html/garch.html)

Documents

_Econometria-Análisis de Series. Modelos Heterocedásticos