MODELOS GEOMÉTRICOS COMO HERRAMIENTA DE ENSEÑANZA PARA LA FACTORIZACIÓN

Escuela de Matemáticas y Estadística – UPTC Duitama

EL USO DE MODELOS GEOMÉTRICOS COMO HERRAMIENTA DE ENSEÑANZA PARA EL APRENDIZAJE DE LA FACTORIZACIÓN.

Elaborado por:

EDGAR FELIPE RUIZ ROBERTO

El presente artículo muestra el desarrollo de un proyecto de aula en estudiantes de grado octavo, donde se describe el proceso de enseñanza-aprendizaje de algunos casos de factorización de expresiones algebraicas utilizando modelos geométricos como fuentes de significado.

11/07/2012

Escuela de Matemáticas y Estadística – UPTC Duitama

EL USO DE MODELOS GEOMETRICOS COMO HERRAMIENTA DE ENSEÑANZA PARA

EL APRENDIZAJE DE LA FACTORIZACIÓN.

EDGAR FELIPE RUIZ ROBERTO*

ANA CECILIA MEDINA MARIÑO**

Dir. Proyecto Pedagógico VII

Licenciatura en Matemáticas y Estadística – UPTC -Duitama-

_______________________________________

Resumen

Este proyecto de aula se desarrolló con estudiantes del grado octavo con el propósito de

fortalecer los conceptos previos como productos notales y dotar de significado a los

procedimientos para factorizar expresiones algebraicas mediante el uso de modelos

geométricos. El empleo del algebra geométrica permitió construir ideas algebraicas a partir de

construcciones de figuras geométricas rectangulares y, posteriormente, se estableció el método

de factorización propuesto, aplicándolo al tipo de polinomios que usualmente aparecen en el

contexto escolar del bachillerato. Además se logró captar el interés en los estudiantes, así como,

mejorar la creatividad y las capacidades para resolver diferentes problemas matemáticos.

Palabras Clave: Modelos geométricos, álgebra geométrica, factorización y casos de

factorización.

Abstract

This classroom project was developed with students of the grade eighth with the purpose of

strengthening the previous concepts as products you notice them and to endow from meaning to

the procedures to factor algebraic expressions by means of the use of geometric models. The

employment of the geometric algebra allowed to build algebraic ideas starting from

constructions of rectangular geometric figures and, later on, the proposed factoring method

settled down, applying it to the type of polynomials that you/they usually appear in the school

context of the high school. It was also possible to capture the interest in the students, as well as,

to improve the creativity and the capacities to solve different mathematical problems.

* E-mail: [email protected] **E-mail: [email protected]

EL USO DE MODELOS GEOMÉTRICOS COMO HERRAMIENTA DE ENSEÑANZA PARA EL APRENDIZAJE DE LA FACTORIZACIÓN *


3

1. INTRODUCCIÓN

El presente proyecto de aula se desarrolló en la asignatura de Proyecto Pedagógico VII

que hace parte del undécimo semestre de la licenciatura en Matemáticas y Estadística.

Este proyecto fue implementado con los estudiantes del grado 809 de la Institución

Educativa Integrado Joaquín González Camargo de la ciudad de Sogamoso. El objetivo

principal del proyecto fue fortalecer los conocimientos relacionados con los productos

notables y propiedades de la potenciación, así mismo, dotar de significado los

procedimientos asociados a la factorización de expresiones algebraicas mediante el

empleo de modelos geométricos.

Este artículo muestra el proceso de análisis y valoración del proceso de enseñanza

aprendizaje de algunos casos de factorización. Inicialmente se presenta el análisis de los

errores para identificar el nivel de comprensión de los productos notables y propiedades

de la potenciación. En la siguiente sección se muestran las nociones teóricas que guiaron

el proyecto de aula, como el análisis epistemológico de la factorización, la tipología de

errores y la propuesta de enseñanza adoptada. A continuación se muestra la

fundamentación de las etapas de la metodología Investigación-Acción como eje

primordial del mejoramiento de los procesos enseñanza-aprendizaje y de la evaluación

del proceso de formación de docentes. Luego, se presenta la propuesta secuencial de

enseñanza con relación a la factorización utilizando factor común, diferencia de

cuadrados y trinomios. En seguida se muestran los resultados alcanzados por la los

estudiantes, así como, la valoración de la idoneidad didáctica de la secuencia

implementada. Finalmente se presentan algunas conclusiones y reflexiones de la

idoneidad de proyecto y de la misma práctica docente.

2. DIAGNÓSTICO

En esta sección se describen los errores que cometen los estudiantes de grado octavo,

en relación con los conceptos previos a la factorización. La recolección de la

información se logró mediante observación no participante y el uso de dos instrumentos:

matriz de observación y cuestionario inicial. La observación se realizó durante dos

semanas comprendidas desde el 26 de marzo al 4 de abril.



4

2.1 ANÁLISIS Y RESULTADOS DE LA PRUEBA DIAGNÓSTICA.

A continuación se presenta el porcentaje de estudiantes que cometen errores, teniendo

en cuenta los registros de observación y los resultados del cuestionario inicial. Para el

análisis de los errores, se tomaron como referencia investigaciones realizadas por

Palarea (1998) y Cardozo & Meza (2010) con el fin de identificar el nivel de comprensión

de productos notables y propiedades de la potenciación. A continuación se muestran los

resultados de los porcentajes de estudiantes por tipo de error:

Se observa que los porcentajes de errores para todas las categorías son mayores que el

85%. Aproximadamente 1 de cada 10 estudiantes, tiene una concepción acerca de cómo

resolver expresiones matemáticas cuando el signo menos aparece delante de un

paréntesis. En relación con los errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva el

85% de los estudiantes utilizan incorrectamente esta propiedad. Asimismo, un alto

porcentaje de estudiantes 95%, tienen errores al suprimir paréntesis y no utilizan

correctamente la propiedad asociativa. Finalmente, se muestra que para los errores

relativos al mal uso de las operaciones aritméticas el porcentaje de estudiantes es del

95%. Algunos de los errores se pueden evidenciar en los protocolos que se muestran a

continuación:

Errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva: Este tipo de error surge por

la utilización de la estructura 𝑎. 𝑏 2 = 𝑎2 . 𝑏2 , en la que se relaciona el producto y la

90%

85%

95%

95%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Errores relativos al usar del signo menos

Errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva

Errores al agrupar términos y al suprimir paréntesis

Errores relativos al mal uso de operaciones aritméticas

Porcentaje

Tip

o d

e E

rro

r

PORCENTAJE DE ESTUDIANTES DEL GRADO 809 QUE COMETEN ERRORES CON RESPECTO A LOS CONCEPTOS

PREVIOS A LA FACTORIZACIÓN



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potencia, se extiende fácilmente al caso de la suma, 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑏2 y que se puede

evidenciar en preguntas como: 𝑥 + 2 2 y 𝑛 − 6 2.

El estudiante respondía de la siguiente manera:

Es decir no utilizaba correctamente la propiedad

distributiva para desarrollar el cuadrado de un

binomio. Una posible explicación a este tipo de

error según Palarea (1998), es que la concepción de

los estudiantes está asociada a un pensamiento

lineal, lo cual obstaculiza implícitamente a otros

modelos no lineales.

Errores al agrupar términos y al suprimir paréntesis: Errores de este tipo surgen

cuando los estudiantes consideran que el orden de cálculo en que deben realizar las

operaciones es de izquierda a derecha, de la manera como se presentan los términos, sin

tener en cuenta que al suprimir el paréntesis puede verse afectado por el signo que le

precede. Por ejemplo, cuando se les pedía suprimir los signos de agrupación teniendo y

reducir los términos semejantes en el polinomio: −(𝑥 − 2𝑦) − {3𝑥 − (2𝑦 − 𝑧)} −

{4𝑥 − (3𝑦 − 2𝑧)}

Resolvía de la siguiente manera:

Se observa que el estudiante no

suprime signos de agrupación

correctamente y además suma

algebraicamente términos sin tener

en cuenta aquellos que tengan la

misma parte literal. También es

importante considerar que el

estudiante no identifica hasta cuándo finaliza la reducción de términos semejantes, y

que según Caronía (2004) se puede considerar como la no-aceptación de la falta de

cierre, es decir, los estudiantes tienen arraigada la aritmetización en los problemas

algebraicos, ostentan la necesidad de arribar a un número concreto.



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2.2 PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

Los estudiantes de secundaria y bachillerato manifiestan regularmente dificultades de

aprendizaje en el álgebra; el nivel de competencia alcanzado por muchos de ellos les

impide resolver satisfactoriamente los problemas algebraicos que se les presentan. La

factorización es un proceso inverso al de la multiplicación y tiene como finalidad

descomponer una expresión algebraica en un producto de otras expresiones algebraicas,

cuyos procedimientos provienen, necesariamente, de las propiedades de campo de los

números reales. Existe consenso de que la factorización es uno de los temas del curso de

álgebra que más se dificultan a los estudiantes: primero, porque el reconocimiento del

tipo de expresión algebraica ya implica dificultades asociadas con la utilización de

números, letras y signos de operación para conformarlas, así como por la noción de

variable; y segundo, porque aun conociendo los diferentes métodos no saben cuál de

ellos utilizar en un determinado momento (Morales & Sepúlveda, 2003).

Por tanto, es necesario utilizar una estrategia de enseñanza que permita fortalecer los

conocimientos que tienen los estudiantes en relación con los productos notables y

propiedades de la potenciación, asimismo, dotar de significado a los procedimientos

asociados para factorizar expresiones algebraicas.

En este sentido, el álgebra geométrica es una alternativa que puede proporcionar ideas

para factorizar cierta clase de polinomios que aparecen en el contexto escolar; sin duda,

es una opción didáctica que se debe explorar ya que los estudiantes están familiarizados

con situaciones de adición y sustracción áreas, permite la visualización y manipulación

de estos elementos, lo cual puede contribuir a un mejor entendimiento de los

procedimientos algebraicos de factorización (Morales & Sepúlveda, 2003). Por lo

expuesto anteriormente, el proyecto de aula intenta responder a la siguiente pregunta

de investigación:

¿El uso de modelos geométricos son fuentes de significado para fortalecer los

procedimientos asociados a la factorización de expresiones algebraicas?

3. MARCO TEÓRICO



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En esta sección se describen las nociones teóricas que guiaron el proyecto de aula.

Inicialmente se muestra análisis epistemológico de la factorización de acuerdo con Cruz

(2008) y la configuración epistémica según Cardozo & Meza (2010), luego se presenta la

noción conceptos previos de acuerdo con Lopez (2009), la noción de error según Malisani

(1999), la noción de conflicto semiótico según Godino y otros (2006), y la noción de

aprendizaje desde el Enfoque Ontosemiótico (E.O.S) de acuerdo con Godino (2011), en

seguida se muestran las categorías de error acorde con las investigaciones realizadas por

Paralea (1998) y Cardozo & Meza (2010), y finalmente la propuesta de enseñanza

adoptada según Morales & Sepúlveda (2003) y Campos (2004).

3.1 PERSPECTIVA EPISTEMOLÓGICA

Según Cruz (2008) una figura importante dentro de la matemática árabe es el geógrafo,

astrónomo, y matemático Al-khuwarizmi, que reinó entre 813 a 833. El libro más

importante de Al-khuwarizmi, y que ha dado el nombre a una rama de la matemática es

Hisab al-jabar wa-al-muqabala, término al-jabar dio nacimiento a nuestro vocablo

álgebra.

En aquellos tiempos las raíces que no fueran enteras y positivas no tenía sentido. Los

árabes operaron siempre con ecuaciones de coeficientes enteros y positivos. Se sabe que

la exigencia de los coeficientes positivos aumenta el número de casos de ecuaciones de

segundo grado. Menciona tres casos posibles de ecuaciones de segundo grado de

coeficientes positivos, agregando: “Encuentro que esas tres especies de números pueden

combinarse entre sí y dan lugar a tres tipos compuestos que son: cuadrados y raíces igual

a números; cuadrados y números igual a raíces; cuadrados igual a raíces y números”, o lo

que es lo mismo, distingue los tres casos de ecuaciones.

x2 + px = q

x2 + q = px

x2 = px + q

Para resolver el primer caso, tomando al ejemplo numérico: ¿Cuál es el cuadrado que

sumado a diez raíces da el número 39? (x2 +10x = 39) Dice: Debes tomar la mitad del

número de las raíces, en este caso 5 y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25 al que le

sumas el número 39, con el resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es

8 y le restas la mitad de las raíces 5 y obtienes 3, que es el valor buscado”. Se puede



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observar que se está utilizando la estrategia de completar el trinomio cuadrado

perfecto (TCP).

El segundo caso es interesante, pues la ecuación tiene dos raíces positivas. Con el

ejemplo: x2 + 21 = 10x, dice Al-khuwarizmi: “Debes tomar la mitad del número de las

raíces, en este caso 5, multiplicarlo por sí mismo, obtienes 25 al que debes restar los

números, en este caso 21, obteniéndose 4. Extraes la raíz cuadrada que es 2 y lo restas

del número de la mitad de las raíces que era 5 y obtienes 3 que es la solución. Sí deseas,

puedes también sumar ese valor de 2 a la mitad de las raíces que es 5 y obtienes 7, que

también es solución.

Revisemos la forma de abordar un conocimiento en dos épocas diferentes, digamos el

caso 1 según Al-khuwarizmi, la ecuación con su forma:

x2 + px = q

Para abordar esta ecuación se propone el siguiente ejemplo:

Para resolver el primer caso, ateniéndose al ejemplo numérico: ¿Cuál es el cuadrado

que sumado a diez raíces da el número 39? Dice: Debes tomar la mitad del número de

las raíces, en este caso 5 y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25 al que le sumas el

número 39, con el resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le

restas la mitad de las raíces 5 y obtienes 3, que es el valor buscado”. (TCP)

Ahora comparemos ésta redacción con la presentada en el texto de Carreño (2003), para

abordar el producto de dos binomios con un término común.

Producto de binomios con término común

Es el cuadrado del término común más el producto del término común por la suma de

los términos no comunes y más el producto de los términos no comunes, o sea: (x +

a)(x + b) = x2 + x • (a + b) + ab

Con respecto a cómo se describen los conocimientos en las dos redacciones estamos de

acuerdo, pero… es sólo una forma de verlos, en este caso el punto de vista de los

autores, pero… si lo que deseamos es una didáctica de las matemáticas, por sí solas no

serían suficientes; en ambas redacciones todo está consumado, no existe la estrategia

de que el estudiante se enfrente a un problema para descubrir el conocimiento en

juego. En la actualidad, para desarrollar un aprendizaje significativo en los estudiantes,

necesitamos más elementos.



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Cuando hacemos que el estudiante se enfrente sólo a este tipo de redacciones, lo único

que podremos lograr es el desinterés, además de que lo estaremos privando del

desarrollo de otras habilidades matemáticas. Si nos damos cuenta bien, en muchos casos

estamos manejando el conocimiento descontextualizado, a veces lo que enseñamos

tiene sólo el contexto de antaño, lo cual no debe ser así, se necesita una transposición

didáctica, acorde a nuestro tiempo. Pero además, incluso, no utilizamos ni los diferentes

contextos utilizados en épocas anteriores, es interesante darse cuenta que desde esa

época ya se utilizaban figuras geométricas como representaciones de estos procesos, se

relacionaba el conocimiento con alguna aplicación o una situación real. Y ¿qué pasa en

las aulas?, en muchos casos se han hecho un lado los diferentes contextos, y se ha

utilizado únicamente el contexto algebraico.

Veamos el siguiente ejemplo que nos muestra Al-

khuwarizmi. En el que se puede encontrar el contexto

geométrico. Para el primer caso, de forma general x2 + px =

q y en el ejemplo x2 +10x = 39 da dos comprobaciones

geométricas.

Por tanto, los principios del álgebra estuvieron

acompañados de figuras geométricas, sin embargo, a veces

se dan cursos de álgebra, sin utilizar ni una sola figura geométrica. Consideramos que

este es un error, este contexto puede brindar elementos que ayuden al aprendizaje

significativo.

El último, cronológicamente de los matemáticos hindúes de importancia es Baskhara del

siglo XII. En este periodo aparece cierto simbolismo precursor del álgebra sincopada, así

como del uso del cero como símbolo, vieron además los hindúes claramente la diferencia

entre números positivos y negativos que interpretaban como créditos y débitos que

distinguían simbólicamente, hecho que les permitió unificar las ecuaciones de

segundo grado en un solo tipo, cualesquiera fueran los coeficientes y hasta admitir las

soluciones negativas, aunque sin tomarlas en consideración, pues como dice Baskhara,

“la gente no aprueba las raíces negativas” (Cruz, 2008).

CONFIGURACIÓN EPISTÉMICA ASOCIADA A LA FACTORIZACIÓN:

Para poder valorar la idoneidad epistémica es necesario establecer el significado de

referencia que sirva de comparación. A continuación se describe de de manera sintética

los principales elementos sobre el significado de referencia:



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LENGUAJE

VERBAL Propiedad distributiva, propiedad asociativa, propiedad conmutativa, ley de los signos, paréntesis, trinomio cuadrado, diferencia de cuadrados, factor común.

GRÁFICO Dibujos o figuras geométricas como rectángulos donde se evidencia la factorización de polinomios, a través del algebra geométrica.

SIMBÓLICO +, −, ,∗,÷, , , , 𝑥2 , 𝑦𝑛 , …

SITUACIONES

Problemas contextualizados en los cuales se necesita calcular: las dimensiones de lados, perímetros, áreas, volúmenes, entre otros.

Situaciones de la misma matemática.

CONCEPTOS

PREVIOS:

Expresiones algebraicas.

Propiedad distributiva

Productos notables.

EMERGENTES:

Significado de Factorización.

Factor común

Diferencia de cuadrados.

Trinomios cuadrados perfectos.

Trinomios de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

y 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

PROCEDIMIENTOS

Contextualización de enunciados descontextualizados.

Aplicar el manejo de la aritmética en los problemas.

Factorizar un polinomio.

Comprobación de trinomios cuadrados con los productos notables y cocientes notables.

Utilización del proceso inverso de la propiedad distributiva.

PROPIEDADES

Conmutativa Asociativa Distributiva (Suma respecto al producto)

ARGUMENTOS

Comprobación de las propiedades de la factorización en diferentes problemas geométricos.

Justificación de las propiedades usando el álgebra geométrica.

Argumentación de procedimientos para desarrollar los casos de factorización mencionados.

3.2 PERSPECTIVA COGNITIVA

3.2.1 Errores sobre Conceptos Previos a la Factorización

Para el análisis de los conceptos previos, se requiere una tipología de errores que



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permita observar el nivel de comprensión acerca de dichos conceptos. Por esta razón, es

necesario conocer la noción de conceptos previos y la noción de error. Según López

(2009) los conceptos previos son aquellas ideas previas que los estudiantes han

construido sobre determinados temas, tópicos o conceptos. En este sentido, un

conocimiento básico de las ideas o conceptos iniciales de los estudiantes es importante

para el profesor, porque provee información sobre la forma en que los estudiantes

interpretan los problemas y utilizan los diferentes procedimientos para alcanzar una

buena meta. Pero, ¿qué se entiende por error? Con respecto a la noción de error,

Malisani (1999) aclara que el error no es sólo el efecto de la ignorancia, de la duda o del

azar, como suponían las teorías conductistas del aprendizaje, sino que es la

consecuencia de un conocimiento anterior que se manifiesta falso o no apropiado a una

nueva situación.

Así, la noción de error está relacionada con la noción de obstáculo epistemológico. Al

respecto señala Palarea (1998), un obstáculo es un conocimiento adquirido, no una falta

de conocimiento, sino de algo que se conoce positivamente, o sea, está constituyendo

un conocimiento. El estudiante lo utiliza para producir respuestas adaptadas en un

cierto contexto en el que el dominio de ese conocimiento es eficaz y adecuado.

Categorías de errores

Para el análisis de los errores se tienen en cuenta las siguientes categorías de error

planteadas por Socas (1997) y Caronia y otros (2004), tomando como base el diseño de la

tipología de errores de Cardozo y Meza (2010) y que se resumen en la siguiente tabla:

No. CATEGORÍA

ERROR DESCRIPCIÓN

1 Errores relativos al usar del signo menos

Este tipo de error se presenta cuando el estudiante no sabe distribuir el signo menos colocado delante de un paréntesis

2

Errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva

Dentro de esta categoría se pueden distinguir los siguientes tipos de error como: a) Extensión de la propiedad distributiva de la multiplicación con relación a la adición (o sustracción) al caso de la

multiplicación. b) La estructura 𝑎. 𝑏 2 = 𝑎2 . 𝑏2 , en la que se relaciona el producto y la potencia, se

extiende fácilmente al caso de la suma, 𝑎 + 𝑏 2 =𝑎2 + 𝑏2 . c) De la misma forma que con las potencias, sucede con las raíces: se extiende la distributividad de la radicación respecto a la multiplicación, a la distributividad de la radicación respecto a la adición o sustracción.



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3

Errores al agrupar términos y al suprimir paréntesis

Los estudiantes consideran que el orden del cálculo que deben realizar es de izquierda a derecha, de la manera como se presentan los términos, sin tener en cuenta que se tiene que suprimir el paréntesis conservando la equivalencia o a aplicar la propiedad asociativa de la adición con paréntesis precedidos por el signo menos.

4


Este tipo de errores aparece en procedimientos de la adición, sustracción y potenciación de números reales.

3.3 PERSPECTIVA DIDÁCTICA

La propuesta de enseñanza procura fortalecer los conocimientos previos, así como, dotar

de significado a los procedimientos para factorizar expresiones algebraicas mediante el

uso de modelos geométricos. Se tomó como referencia la propuesta de enseñanza de la

factorización en un curso de algebra según Morales & Sepúlveda (2003), teniendo en

cuenta el material didáctico según Campos (2004) para la factorización de trinomios.

Esta propuesta se basa en el álgebra geométrica, mediante el método de la “geometría

de cortar y pegar” (Radford, 1996). El método de la geometría de cortar y pegar

consiste en dividir las áreas de una figura rectangular rectilínea (que será definida más

adelante) en rectángulos o cuadrados y adjuntarlas de tal manera que formen un solo

rectángulo o cuadrado (Morales & Sepúlveda, 2003).

El objetivo de la propuesta es que los estudiantes logren construir ideas algebraicas a

partir de construcciones de figuras geométricas rectangulares y, posteriormente, se

desprendan de estas construcciones para generalizar y establecer el método de

factorización propuesto y lo aplique al tipo de polinomios que usualmente aparecen en

el contexto escolar.

3.3.1 Propuesta de enseñanza adoptada

Álgebra Geométrica

Según Morales & Sepúlveda (2003) las expresiones algebraicas son combinaciones de

números y letras relacionadas por medio de las operaciones básicas. Cuando operamos

con ellas estamos realizando operaciones con operaciones; en el caso de la

multiplicación de polinomios el desarrollo es directo a través de la aplicación de las

propiedades campo de los reales, para la factorización realizamos el proceso inverso.

Las literales representan cantidades desconocidas que pueden ser sustituidas por otras o



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pueden variar; este uso generalizado de las expresiones proporciona al álgebra la

potencia necesaria que permite resolver una gran variedad de problemas.

Los números o literales pueden representarse mediante figuras geométricas por medio

de áreas. Por ejemplo: el 4 un área de un cuadrado de 2 por 2, el 6 un área de un

rectángulo de base 1 y altura 6 o de altura 2 y de base 3, etc.

Las literales cuyos valores sean positivos representan segmentos o áreas de cualquier

magnitud o cantidad desconocida.

Los coeficientes numéricos representan múltiplos o submúltiplos de la magnitud

geométrica (área de un rectángulo o cuadrado). Así por ejemplo: 2x puede representar

el área de un rectángulo de altura 2 y de base x; o bien de base 2 y altura x.

Los números negativos se pueden representar mediante áreas con líneas punteadas, al

ser sumadas se restan de las áreas con líneas continuas, las cuales representan los

números positivos; o bien, si se suman áreas de líneas punteadas se obtienen regiones de

líneas punteadas de mayor magnitud. Esto nos permite factorizar polinomios y obtener

soluciones negativas de ecuaciones cuadráticas.

Una “figura rectangular rectilínea” se define la figura geométrica que se obtiene de

adicionar o sustraer áreas de rectángulos o cuadrados de cualquier altura y cuyas bases



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están sobre una misma recta y la suma de sus bases es igual a su base.

Suma y resta de áreas: Dadas las áreas: 𝑥2 , 5𝑥 y 2, obtener 𝑥2 + 5𝑥 + 4 y 𝑥2 − 4.

Cuadrado Rectángulo Rectángulo Figura rectangular rectilínea

Multiplicación o producto de magnitudes geométricas: se representa gráficamente por

una figura rectangular y la llamaremos operación rectangular, porque como resultado de

la multiplicación de dos segmentos se obtiene un rectángulo o un cuadrado.

Ejemplo 1: El producto ab es un

rectángulo de base a y altura b o

de base b y altura a.

Entonces:

ab = ba

Ejemplo 2: El monomio 12xy

puede ser representado por

cualquiera de los siguientes

rectángulos

Potencias: Las potencias son también áreas, dado que las literales con exponentes 2, 3,

4 etc., son un número cualquiera y representarán también áreas.

Ejemplo: Las potencias a2 y y3 se pueden representar por los siguientes rectángulos y

cuadrados:

Figuras geométricas rectilíneas: Los polinomios pueden ser representados mediante

este tipo de figuras; es decir, una figura geométrica rectilínea es un polinomio cuyos

términos son representados por cuadrados o rectángulos y su área es igual al valor



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numérico del polinomio.

Actividad de enseñanza sobre factorización. El contenido de esta propuesta didáctica

está relacionado con la parte simbólica del álgebra y consiste en construir ideas

algebraicas a partir de figuras geométricas, en el que sus áreas son representadas por

expresiones algebraicas. En la primera parte se factoriza algunos polinomios y en la

segunda se resuelven ecuaciones cuadráticas.

Factorización por factor común:

MODELO GEOMÉTRICO FACTOR COMÚN

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Factorizar 3𝑥3𝑦 + 6𝑥2𝑦3 + 12𝑥4𝑦2

3𝑥

2𝑦

3𝑥3𝑦 6𝑥2𝑦3 12𝑥4𝑦2

𝑥 2𝑥2𝑦2 4𝑥2𝑦

3𝑥2𝑦 3𝑥3𝑦 + 6𝑥2𝑦3 + 12𝑥4𝑦2

= 3𝑥2𝑦 𝑥 + 2𝑥2𝑦2 + 4𝑥2𝑦

Factorizar 24𝑥2𝑦3 − 36𝑥𝑦4

12𝑥𝑦

3

24𝑥2𝑦3 6𝑥2𝑦3

2𝑥 3𝑦

12𝑥𝑦3 24𝑥2𝑦3 − 36𝑥𝑦4

= 12𝑥𝑦3 2𝑥 − 3𝑦𝑡

Factorización de diferencia de cuadrados: a2 – b2

MODELO GEOMÉTRICO EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Factorizar 𝑥2 − 16

Formando un nuevo rectángulo con el área restante se tiene:

Entonces, el área del nuevo rectángulo es:

𝑥 − 4 𝑥 + 4

Por tanto:

𝑥2 − 16 = 𝑥 − 4 𝑥 + 4

Factorización de trinomios cuadrados perfectos:

Un trinomio de la forma ax2 + bx + c se puede representar geométricamente mediante el



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siguiente material:

Tabletas cuadradas de lado x

Regletas de cuisinaire de dimensiones 1 y x

Regletas cuisinaire de color madera que van a

representar cuadrados de lado 1.

MODELO GEOMÉTRICO EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Factorizar: x2 + 2x + 1. Para representar cada uno de los términos del trinomio se toman los siguientes recortables:

Luego podemos o formar un cuadrado con todas las piezas:

Las dimensiones de los lados son (x+1) y (x+1).

Es decir: x2+2x+1=(x+1)(x+1)=(x+1)2

Para el desarrollo de esta propuesta se seleccionan los siguientes contenidos que se

muestran a continuación.

SELECCIÓN DE LOS CONTENIDOS

CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS

Factor común Representación geométrica por medio de rectángulos que tienen un lado común.

Diferencia de cuadrados

Interpretación de la diferencia de las áreas de dos cuadrados. El estudiante reconoce que con el área de la diferencia es posible construir un nuevo rectángulo, cuyas dimensiones del largo y ancho, es la factorización que se busca.

Trinomios cuadrados perfectos

Factorización de trinomios cuadrados perfectos utilizando las regletas de cuisinaire. Estas regletas permiten representar cada uno de los términos de un trinomio, el estudiante debe construir un cuadrado y calcular las dimensiones de los lados. Estas dimensiones es la factorización que se busca.

Trinomios de la forma

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 y 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Este tipo de trinomios se pueden representar de una manera similar utilizando las regletas, aunque con estas



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es posible construir un rectángulo y las dimensiones de este, es la factorización que se busca.

ACTITUDINAL Actitud positiva y perseverante hacia la solución de problemas. Reflexión sobre el significado de las informaciones recibidas, así como de los resultados obtenidos al resolver cualquier actividad o problema.

4. LA METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN

Para el desarrollo del proyecto de aula se tomó como metodología de investigación: La

Investigación-Acción (I-A); ya que permite dar solución a problemas en educación,

además, fortalece el proceso de formación de docentes investigadores con el fin de

mejorar el dominio de su disciplina y minimizar la carencia de experiencia en la

investigación. Según Castillo y colaboradores (2001), la investigación acción surge por

problemas como ausentismo, deserción, repitencia, así como el bajo nivel de los

estudiantes, entre otros; que generan cuestionamientos de los docentes frente a este

tipo de problemáticas. Por consiguiente el docente es el principal elemento en la

solución a estas dificultades como primordial actor investigador a ese entorno que lo

rodea, igualmente le permite expandir su conocimiento, conocer sus debilidades y

plantear oportunidades de mejora.

4.1 ETAPAS DEL PROCESO INVESTIGATIVO

La I-A significa exploración y reflexión, planificación, acción y observación, y

evaluación cuidadosa, sistemática y rigurosa acerca de lo que sucede en la vida

cotidiana, y significa utilizar las relaciones en estos momentos, distintos del proceso,

como fuente de mejora tanto de conocimiento. Los anteriores momentos se describen a

continuación:

La exploración y reflexión: En esta etapa se exploraron que investigaciones se han

realizado para comprender mejor el proceso de enseñanza-aprendizaje de la

factorización, que corresponde al diagnostico de errores.

Planificación: Como acción organizada debe ser flexible para adoptarse a efectos

imprevistos y a limitaciones presentadas. En esta etapa se elaboró la propuesta

secuencial de enseñanza, teniendo en cuenta los riesgos que implican un cambio y sus

limitaciones.

La acción y la observación: En esta etapa se llevó a cabo la ejecución de la propuesta

secuencial de enseñanza, regulada por la planificación previa. Se tomaron registros

diarios de la experiencia con las recomendaciones del profesor titular.



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La evaluación: Pretende hallar el sentido de los procesos, los problemas y las

restricciones. Se ayuda con la discusión de sus participantes. La evaluación tiene un

carácter valorativo y formativo (Castillo, Chaparro, & Jaimes, 2001).

4.2 IDONEDIDAD DIDÁCTICA

En esta sección se muestra los fundamentos para la evaluación del proceso-enseñanza,

que corresponde a la última etapa de la metodología Investigación-Acción. Para este

propósito se presenta la noción de idoneidad didáctica como herramienta para valorar

dicho proceso.

Según Godino (2011) la idoneidad didáctica de un proceso de instrucción se define como

la articulación coherente y sistémica de las seis componentes siguientes (Godino,

Batanero & Font, 2007):

Idoneidad epistémica, se refiere al grado de representatividad de los significados

institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia.

Idoneidad cognitiva, expresa el grado en que los significados pretendidos/

implementados estén en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la

proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos/

implementados.

Idoneidad interaccional. Un proceso de enseñanza-aprendizaje tendrá mayor idoneidad

desde el punto de vista interaccional si las configuraciones y trayectorias didácticas

permiten, por una parte, identificar conflictos semióticos potenciales, y por otra parte

permitan resolver los conflictos que se producen durante el proceso de instrucción.

Idoneidad mediacional, grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales

y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Idoneidad afectiva, grado de implicación (interés, motivación,…) del alumnado en el

proceso de estudio. La idoneidad afectiva está relacionada tanto con factores que

dependen de la institución como con factores que dependen básicamente del alumno y

de su historia escolar previa.

Idoneidad ecológica, grado en que el proceso de estudio se ajusta al proyecto educativo

del centro, la escuela y la sociedad y a los condicionamientos del entorno en que se

desarrolla.

Cada uno de estos criterios mencionados anteriormente serán las directrices que guiarán

la recapitulación y evaluación del proceso enseñanza-aprendizaje como plan de

sistematización de la práctica educativa.



19

5. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA

SECUENCIA ACTIVIDADES -DESCRIPCION

SINTÉTICA QUE SE PRETENDE

Secuencia 1: Factor común

Expresiones algebraicas representadas geométricamente que tienen un lado común.

Al final de esta secuencia se pretende que el estudiante descubra que Factorizar una expresión algebraica geométricamente significa transformar una figura lineal rectilínea en un rectángulo de la misma altura o bien de igual base o cuadrado, cuya área o producto de sus lados es la factorización de la expresión algebraica.

Secuencia 2: Diferencia de cuadrados

Diferencia de áreas de expresiones algebraicas cuya representación geométrica son cuadrados.

Al finalizar esta secuencia el estudiante debe interpretar que la diferencia de las áreas de dos cuadrados, se puede expresar como un nuevo rectángulo y que las dimensiones de este es la factorización que se desea encontrar.

Secuencia 3: Trinomios cuadrados perfectos TCP

Representación geométrica de Trinomios cuadrados perfectos

Al final de la secuencia el estudiante comprende que la factorización TCP se puede lograr mediante la construcción de un cuadrado y las dimensiones de este indican la factorización.

Secuencia 4: Trinomios de la

forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Representación geométrica de Trinomios de la

forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

El estudiante está en la capacidad de construir un rectángulo utilizando las regletas de Cuisinaire, cuyas dimensiones de la figura es la factorización que se busca.

Secuencia 5: Trinomios de la

forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Representación geométrica de Trinomios de la

forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

El estudiante está en la capacidad de construir un rectángulo utilizando las regletas de Cuisinaire, cuyas dimensiones es la factorización que se busca

Secuencia 6: Ejercicios de Recapitulación

Problemas y ejercicios para la aplicación de los casos de factorización mencionados anteriormente.

Consolidación y formalización de la factorización sin utilizar las representaciones mencionadas anteriormente. El estudiante ya establece un método de factorización propuesto para cada caso.

Con respecto a la anterior propuesta secuencial de enseñanza, veamos el siguiente



20

ejemplo para factorizar trinomios de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

Ejemplo: Factorizar 𝑥2 + 3𝑥 + 2

Solución. Para el término 𝑥2 tomamos una tableta cuadrada, para el término

3𝑥 tomamos 3 regletas cuisinaire, para el término 2 tomamos 2 regletas como se aprecia

en la siguiente en la figura:

Con estas piezas formaremos un rectángulo y hallamos las longitudes de los lados como

se observa a continuación:

y finalmente calculamos el área del rectángulo formado:

𝑥 + 1 𝑥 + 2

Entonces, la factorización del trinomio es:

𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 𝑥 + 1 𝑥 + 2

6. RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO

Teniendo en cuenta las dimensiones de la idoneidad didáctica expuestos en la sección

2.4.2, las valoraciones de la matriz de sistematización (ANEXO A), a continuación se

narran algunos de los resultados observados en cada idoneidad.

Idoneidad Epistémica: Para poder valorar la idoneidad epistémica de un proceso de

instrucción (significado implementado) o bien en un proceso de instrucción planificado

en un libro de texto (significado pretendido) fue necesario establecer el significado de

referencia que sirve de comparación, en este sentido se elaboro la configuración

epistémica de la factorización, con el fin de que las definiciones, proposiciones y

procedimientos sean representativos de los identificados en el significado de referencia

y adaptados al nivel, capacidades y recursos disponibles en el marco institucional

correspondiente, dando lugar a una idoneidad epistémica con nivel alto.

Idoneidad Cognitiva: En general el proceso de enseñanza de la factorización de



21

expresiones algebraicas se basó en: a) la existencia de una evaluación inicial de los

significados personales de los estudiantes, a fin de comprobar que los significados

pretendidos son alcanzables; b) la existencia de adaptaciones curriculares que tengan en

cuenta las diferencias individuales; y, finalmente, c) que los aprendizajes logrados estén

lo más próximos posible a los significados institucionales pretendidos/ implementados.

Un indicador que los aprendizajes de los estudiantes están más cerca de los significados

institucionales, es el contraste del porcentaje de estudiantes que cometen errores en el

cuestionario inicial y el cuestionario final:

Se observa que para todas las categorías el porcentaje de errores disminuye en un 30% o

más. Una explicación de esta reducción, se debe al uso de modelos geométricos y a la

conversión entre los distintos sistemas de representación. Al respecto Palarea (1998),

señala que el uso de modelos geométricos, por medio del cálculo de áreas, permite

llenar los vacios conceptuales de los estudiantes. Igualmente, el empleo de las distintas

situaciones del área del rectángulo mediante diferentes sistemas de representación: un

sistema de representación geométrico (áreas de los mismos), un sistema de

representación mixta visual/formal (cuadro de doble entrada denominada “visualización

simplificada”) y la expresión algebraica; se consideran como fuentes de significado. En

el momento de la aplicación del taller de factorización (ANEXO M) los estudiantes no

recibieron instrucción previa, sólo se hizo un sencillo comentario instruccional con el

ejemplo que se presentaba, y se solicitó completar en cada ejercicio las situaciones

ausentes. En definitiva se pretendía que los estudiantes hiciesen conversión entre los

90%85%

95% 95%

60%

45%

65%

40%

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Errores relativos al usar del signo

menos

Errores relativos al mal uso de la

propiedad distributiva

Errores al agrupar términos y al

suprimir paréntesis


Po

rce

nta

je d

e E

stu

dia

nte

s

Tipo de error

Gráfico 3. Porcentaje de errores de los estudiantes de grado 809 con respecto a los conceptos previos a la factorización por tipo de

error

Cuestionario InicialCuestionario Final



22

distintos sistemas de representación.

De otra parte, durante el desarrollo del taller de factorización empleando una

aproximación geométrica, se evidenciaron algunos conflictos cognitivos identificados por

Chalouh y Herscovics (1988) citados por Palarea (1998), relacionados con: la necesidad

de una referencia numérica, Incapacidad para aceptar la falta de clausura, Dilema

nombre – proceso y la Concatenación. Sin embargo, se encontró que el planteamiento

hecho ayudó a los estudiantes a desarrollar significados para expresiones algebraicas y

facilitó el proceso de enseñanza-aprendizaje de la factorización, dotando de significado

a los procedimientos algebraicos de la factorización. Los criterios anteriormente

mencionados permiten concluir una idoneidad cognitiva con nivel alto.

Idoneidad mediacional: Aunque no se utilizan medios informáticos pertinentes para el

estudio del tema en cuestión, se utilizaron recursos materiales manipulativos como

carteleras, guías de taller y recortes de cuadrados y rectángulos en papel iris que

proporcionaron ciertas ideas para factorizar cierta clase de polinomios, ya que los

estudiantes están familiarizados con situaciones de adición y sustracción de áreas.

Igualmente permitió la manipulación y visualización de estos elementos, lo cual

contribuye a mejorar los procesos algebraicos. Estos medios interaccionan con los

distintos elementos de las configuraciones epistémicas y cognitivas, en donde el profesor

y los estudiantes tienen a su alcance los medios materiales adaptados a los significados

pretendidos, el cual afectaría la idoneidad del proceso de estudio positivamente.

De otra parte, como se había señalado previamente, se utilizaron diferentes sistemas de

representación como fue la representación geométrica y la representación formal

(Expresión Algebraica), además de un sistema de representación intermedia

visual/formal, con el propósito de que los diferentes significados de los objetos

matemáticos interaccionen con el lenguaje configurado en la dimensión epistémica. Se

puede valorar esta dimensión con un nivel de idoneidad alta.

Idoneidad emocional: Teniendo en cuenta que la configuración didáctica intentó

motivar a la acción y participación de los estudiantes, se puede inferir que se crea un

ambiente que favorece los intereses, afectos y emociones de los estudiantes hacia las

matemáticas. Además se mostró actividades de contextualización que le permiten al

estudiante responder ¿para qué me sirve esto? Por lo tanto, se valora esta dimensión

como alta.



23

Idoneidad interaccional: Los formatos de tipo dialógico y trabajo cooperativo son

elementos de una idoneidad interaccional potencialmente mayor. Con el apoyo de la

guía de taller y el trabajo en grupo para la solución del taller de factorización aplicado

en la geometría, los estudiantes encontraron la relación de los objetos matemáticos y

los recortes de papel, ayudando a mejorar el diálogo y comunicación entre los

estudiantes. La guía taller de factorización y el taller de aplicación de la factorización,

permitieron la exploración, formulación y validación teniendo como base las etapas del

taller constructivo, contemplando momentos en los que los estudiantes asumen la

responsabilidad del estudio. Se valora esta dimensión con un nivel de idoneidad medio.

Idoneidad Ecológica: La factorización de expresiones algebraicas es uno de los temas

más importantes del algebra de octavo grado, ya que estos procedimientos son

necesarios para cursos de trigonometría, calculo y física. De esta manera se está

contribuyendo a la formación socio-profesional de los estudiantes. Puesto que se

muestran actividades de aplicación en un contexto matemático, donde los estudiantes

reflexionan de su misma práctica y del trabajo con los compañeros para algunas

secuencias del proyecto, se intenta formar estudiantes consientes de su formación

personal, de modo que sean estudiantes críticos y propositivos frente a la solución de

problemas matemáticos. Se puede valorar la idoneidad didáctica ecológica con un nivel

de medio.

7. CONCLUSIONES

Según Mejia & Barrios (2008) el uso del álgebra geométrica se convierte en puente

entre las representaciones y las expresiones algebraicas, porque permite que los

estudiantes observen la equivalencia entre las áreas de figuras geométricas y la

factorización de un polinomio. Además con este tipo de estrategias se puede lograr el

interés, así como, desarrollar otras habilidades matemáticas del estudiante como la

creatividad para desarrollar otro tipo de ejercicios.

De otra parte, durante la ejecución del proyecto se presentaron algunos obstáculos

cognitivos, especialmente durante el desarrollo del taller de factorización utilizando

modelos geométricos ya que, por ejemplo, muchos estudiantes no se desprendían del

contexto aritmético para representar un cuadrado de lado x, siempre hacían referencia

a la longitud en centímetros del lado del cuadrado dificultando la representación de los

términos de un polinomio y por ende el aprendizaje de la factorización por medio del

cálculo de áreas. Se ha concluido entonces, que para abordar la enseñanza de la



24

factorización por medio del algebra geométrica, es necesario realizar más énfasis en la

representación de expresiones algebraicas a través de modelos geométricos, facilitando

el aprendizaje de los procedimientos relacionados con la factorización polinomios.

8. BIBLIOGRAFÍA

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Documents

MODELOS GEOMÉTRICOS COMO HERRAMIENTA DE ENSEÑANZA PARA LA FACTORIZACIÓN