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Modelos Matemticos y sus aplicaciones.Un modelo matemtico se define como una descripcin desde el punto de vista de las matemticas de un hecho o fenmeno del mundo real, desde el tamao de la poblacin, hasta fenmenos fsicos como la velocidad, aceleracin o densidad. vEl objetivo del modelo matemtico es Haga clic para modificar el estilo de subttulo entender ampliamente el fenmeno y tal vez del patrn predecir su comportamiento en el futuro.v

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Proceso de Elaboracin de un Modelo MatemticoEncontrar un problema del mundo real.o

Formular un modelo matemtico acerca del problema, identificando variables (dependientes e independientes) y estableciendo hiptesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemtica.o o

Haga clic para modificar el estilo de subttulo del patrn

Aplicar los conocimientos matemticos que se posee para llegar a conclusiones matemticas.

Cuantitativos y CualitativosLa investigacin de operaciones se ocupa de la sistematizacin de modelos cualitativos y de su desarrollo hasta el punto en el que puedan cuantificarse. Esto significa que la metodologa de la I.O. pueda cuantificar situaciones cualitativas. muchos problemas que no se pueden cuantificar debido a uno o mas problemas como tecnicas inadecuadas de medicin, necesidad de muchas variables, algunas variables desconocidas y excepciones que son demasiado complicadas para expresarse en forma cuantitativos.

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Hay

Probabilstico y determintico Los

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modelos pueden dividirse en 2 categoras estos son los probabilsticos y deterministicos. Los modelos que se basan en las probabilidades y en las estadsticas y que se ocupan de incertidumbres futuras son llamados probabilistas. modelos cuantitativos que no incluyen consideraciones probabilsticos se les llama modelos deterministicos. Un ejemplo de estos es la ganancia nula y el inventario

Los

Descriptivos y de optimizacin En

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diversas ocasiones un modelo se construye sencillamente como descripcin matemtica de una condicin del mundo real. Esos modelos se llaman descriptivos y en el pasado se han usado para poder aprender mas sobre algn problema, sin embargo en este modelo no se hace un intento para escoger una mejor alternativa. cambio cuando se compara con un modelo de optimizacin, en este se hace un esfuerzo para llegar a la solucin optima cuando se presentan alternativas, y teniendo un buen uso este suministra la mejor alternativa de acuerdo con los

En

Estticos y dinmicos Los

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modelos estticos se ocupan de determinar una respuesta para una serie especial de condiciones fijas que probablemente no cambiaran significativamente a corto plazo. Un ejemplo de estos es la programacin lineal, en la que las restricciones se fijan en trminos de los requerimientos de tiempo de los productos individuales y de las horas disponibles por turno a corto plazo. modelo esttico data por resultado la mejor solucin basada en esa condicin esttica.

Un

Simulacin y no simulacin La

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simulacin es un mtodo que comprende clculos secuenciales estos son realizados a computadora paso por paso, donde puede producirse el funcionamiento de problemas o sistemas de gran escala. En un modelo de simulacin los datos pueden ser generados y no generados o sea reales. modelos de no simulacin pueden y no usar la computadora, tienen tcnicas preparadas especialmente para soluciones respectivas tal es el caso de un modelo de optimizacin.

Los

Formula de la I.O. El

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modelo de la investigacin de operaciones tiene la formula de E=f(Xi,Yj) donde E representa la efectividad del sistemas representa las variables del sistema que estn sujetas a control y Yj representa las variables no sujetas a control.

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Ejemplos de modelos matemticos1.ProblemadelaDieta:(Stigler,1945).Consisteendeterminarunadietade maneraeficiente,apartirdeunconjuntodadodealimentos,demododesatisfacer requerimientosnutricionales.Lacantidaddealimentosaconsiderar,suscaractersticas nutricionalesyloscostosdestos,permitenobtenerdiferentesvariantesdeestetipo demodelos.Porejemplo:

Leche (lt)

Requerimie Legumbre Naranjas ntos (1porcin) (unidad) Nutricionale s 4,9 1,3 0 0,2 0,8 0,19 93 0,25 13 15 45

Niacina Tiamina VitaminaC Costo

3,2 1,12 32 2

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Variables X1: X2:

de Decisin:

Litros de Leche utilizados en la Dieta

Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3 Satisfacer los requerimientos

X3:

Funcin

Restricciones:

nutricionales

Niacina: Tiamina:

3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15

2.

Problema de Dimensionamiento de Lotes: (Wagner y Whitin, 1958). Consiste en hallar una poltica ptima de produccin para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de modo de minimizar los costos de produccin e inventario, considerando la disponibilidad de recursos escasos. que una fabrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se haCostoProd. Costode horizonte subdividido el Demandas Inventario de planificacin y se tiene adicionalmente la Periodos (US$/unida (unidades) (US$/unida d) siguiente informacin: d)1 2 3 4 130 80 125 195 6 4 8 9 2 1 2.5 3

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Considere

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Adicionalmente

considere que se dispone de un Inventario Inicial de 15 unidades y no se acepta demanda pendiente o faltante, es decir, se debe satisfacer toda la demanda del perodo. de Decisin:

Variables Xt:

Unidades elaboradas en el perodo t (Con t =1,2,3,4) Unidades en inventario al final del perodo t (Con t =1,2,3,4) Objetivo: (Minimizar los Costos de Produccin e Inventarios) Min 6X1 + 4X2 + 8X3 + 9X4 + 2I1 + 1I2 + 2,5I3+ 3I4

It:

Funcin

Sean

x1 y x2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2, los parmetros son los costos de produccin de ambos productos, $3 para el producto 1 y $5 para el producto 2. Si el tiempo total de produccin esta restringido a 500 horas y el tiempo de produccin es de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad para el producto 2, entonces podemos representar el modelo como: = 3x1 + 5x2 (Costo total de Produccin) a:Maquina A 2H 4H 48 H Maquina B 3H 2H 36 H 1 Producto + 7x2 500

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C

Sujeto 8x1 x1

0 y x2 0. 2Total disponible

Ejercicios Se

A1:

pide construir un cilindro del mximo