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Diseño de experimentos – p. 1/26

Modelos mixtos


Introducción

Cuando en la estructura de tratamientos de un experimento setienen tanto factores fijos como aleatorios, el modelo quedescribe tales experimentos se llama modelo mixto.

Si un efecto principal es un efecto aleatorio, entoncescualquier interacción que involucre tal efecto principal estambién un efecto aleatorio.

Es decir, las únicas interacciones que son efectos fijos sonaquellas cuyos efectos principales son todos fijos.

Por ejemplo, un modelo de tres criterios de clasificación dondeA y B son efectos fijos y C es aleatorio es:

yijkl = µ + αi + βj + γij + ck + dik + fjk + gijk + ǫijkl

donde la parte de efectos fijos del modelo es:

µ + αi + βj + γij


Introducción

y la parte de efectos aleatorios:

ck + dik + fjk + gijk + ǫijkl

suponemos que ck ∼ N(0, σ2c ), dik ∼ N(0, σ2

d), fjk ∼ N(0, σ2f ),

gijk ∼ N(0, σ2g), ǫijkl ∼ N(0, σ2) y que ck, dik, fjk, gijk y ǫijkl

son variables aleatorias independientes.


Ejemplo (2 factores balanceado)

Una compañía quiere reemplazar, en una de sus fábricas, lasmáquinas usadas para hacer cierto componente. Hay tresdiferentes marcas de máquinas en el mercado.

El gerente diseña un experimento para evaluar laproductividad de las máquinas cuando son operadas por supropio personal.

Se seleccionaron aleatoriamente seis empleados paraparticipar en el experimento, cada uno de los cuales operó lamáquina en tres diferentes ocasiones.

Los datos son calificaciones globales, que toman en cuenta elnúmero y calidad de componentes producidos.



RepeticiónMáquina Persona 1 2 3

1 1 52.0 52.8 53.11 2 51.8 52.8 53.11 3 60.0 60.2 58.41 4 51.1 52.3 50.31 5 50.9 51.8 51.41 6 46.4 44.8 49.22 1 62.1 62.6 64.02 2 59.7 60.0 59.02 3 68.6 65.8 69.72 4 63.2 62.8 62.22 5 64.8 65.0 65.42 6 43.7 44.2 43.0



RepeticiónMáquina Persona 1 2 3

3 1 67.5 67.2 66.93 2 61.5 61.7 62.33 3 70.8 70.6 71.03 4 64.1 66.2 64.03 5 72.1 72.0 71.13 6 62.0 61.4 60.5



El modelo es:

yijk = µ + τi + pj + gij + ǫijk

i = 1, 2, 3 j = 1, . . . , 6 k = 1, 2, 3

Donde µ es la media general, τi efecto del tipo de máquina i,pj efecto de la persona j, gij interacción máquina-persona yǫijk error asociado a la j-ésima persona operando la máquina ien el tiempo k.Los componentes aleatorios y sus correspondientes varianzasson:

pj ∼ N(0, σ2p) gij ∼ N(0, σ2

g) ǫijk ∼ N(0, σ2)

ej23_1_messy.jmp



F.V. gl SS CM F E(CM)

Máquina 2 1755.26 877.632 20.58** σ2 + 3σ2g + 18θ2

m

Persona 5 1241.89 248.379 5.82** σ2 + 3σ2g + 9σ2

p

Maq x Pers 10 426.53 42.653 46.13** σ2 + 3σ2g

Error 36 33.29 0.925 σ2

La estimación de los componentes de varianza por el métodode Momentos:

Componente Estimación % del total

Persona 22.858 60.64Máq x Pers 13.909 36.90Error 0.925 2.45Total 37.69 100.00


Diseños con factores fijos y aleatorios, cruzados y anidados

Realidad → diseño → modelo → análisis ←

El modelo debe representar lo más cercanamente posible a larealidad estudiada, esta representación está mediada por eldiseño.

Un factor

yij = µ + Ai + ǫj(i) i = 1, . . . , a j = 1, . . . , ni

A puede ser aleatorio o fijo. ǫ siempre es aleatorio conǫj(i) ∼ N(0, σ2)

La prueba de A se hace con CMA/CME.

Si A es fijo H0 : A1 = A2 = . . . = Aa = 0. Si A es aleatorioH0 : σ2

a = 0.



Dos factores cruzados

yijk = µ + Ai + Bj + (AB)ij + ǫijk

i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , nij



Dos factores anidados

yijk = µ + Ai + Bj(i) + ǫk(ij)

i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , nij



Tres factores cruzados

yijkl = µ+Ai+Bj+(AB)ij+Ck+(AC)ik+(BC)jk+(ABC)ijk+ǫl(ijk)

i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , c l = 1, . . . , nij



Tres factores, uno anidado en el cruce de los otros dos

yijkl = µ + Ai + Bj + (AB)ij + Ck(ij) + ǫl(ijk)

i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , c l = 1, . . . , nij

A- Método de estudioB- Escuela pública o privadaC- Grupos al azar en cada combinaciónu.e. alumno dentro de grupo


Ejemplo 1. Evaluación de un espectrofotómetro

(Ejemplo 7.5 Kuehl) Un investigador está desarrollando unnuevo espectrofotómetro para aplicaciones en laboratoriosmédicos, que tiene que ser probado. El investigador tiene quedeterminar si la variabilidad y consistencia de los resultadosobtenidos en múltiples corridas y días están dentro de lasespecificaciones requeridas.

Diseño de tratamientos: factorial con “concentraciones” deglucosa y “días” como factores. Las muestras de suero ensangre fueron inoculadas con tres niveles diferentes deglucosa para cubrir el rango de concentraciones de glucosaque el instrumento debe ser capaz de analizar.

Las tres concentraciones fueron analizadas en cada día, por loque el factor concentraciones y el factor día están cruzados.

Se hicieron dos corridas en cada día, así que corridas estánanidadas en día.


Ejemplo 1

Diseño del experimento: Se prepararon cuatro réplicas demuestras de suero para cada una de las tres concentracionesde glucosa cada día.

Dos réplicas de cada concentración fueron asignadasaleatoriamente a cada corrida de cada día. Las 6 muestrasfueron analizadas en orden aleatorio en cada corrida.

El mismo técnico preparó las muestras y operó el instrumentoa lo largo del experimento.

El diseño tiene factores anidados y cruzados con a = 3concentraciones cruzadas con b = 3 días, con c = 2 corridasanidadas en cada día y r = 2 repeticiones en cadaconcentración en cada día.

Las concentraciones de glucosa (mg/dl) observadas en elespectrofotómetro son:


Ejemplo 1

Día 1 Día 2 Día 3Concen Corr 1 Corr 2 Corr 3 Corr 4 Corr 5 Corr6

1 41.2 41.2 39.8 41.5 41.9 45.542.6 41.4 40.3 43.0 42.7 44.7

2 135.7 143.0 132.4 134.4 137.4 141.1136.8 143.3 130.3 130.0 135.2 139.1

3 163.2 181.4 173.6 174.9 166.6 175.0163.3 180.3 173.9 175.6 165.5 172.0


Ejemplo 1

El modelo para este experimento es:

yijkl = µ + ai + bj + ck(j) + (ab)ij + (ac)ik(j) + eijkl

i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 k = 1, 2 l = 1, 2

ai efecto fijo de concentración

bj efecto aleatorio de día

ck(j) efecto aleatorio de corrida dentro de cada día

(ab)ij es el efecto aleatorio de la interacción concentración xdía

(ac)ik(j) efecto aleatorio de la interacción de concentración xcorrida dentro de día

ej7_5_kuehl.jmp


Ejemplo 1

Componente E(CM)

Concentración σ2 + 2σ2ac + 4σ2

ab + 12θ2a

Día σ2 + 2σ2ac + 4σ2

ab + 6σ2c + 12σ2

b

Corrida(dia) σ2 + 2σ2ac + 6σ2

c

Dia x Concentr σ2 + 2σ2ac + 4σ2

ab

Concentr x corrida(dia) σ2 + 2σ2ac

Error σ2

Componente Denominador (CM)

Concentración Dia x concentraDía Corrida(día) + Día x concentra - concentra*corrida(día)

Corrida(día) concentra*corrida(día)Día x concentra concentra*corrida(día)

Concentra*corrida(día) error


Ejemplo 1

F.V. gl SS CM F Prob > F

Concentra 2 108264 54131.8 1227.51 <0.0001Día 2 24.88 12.44 0.12 0.8888

Corrida(día) 3 263.11 87.70 2.92 0.1223Día x concentra 4 176.39 44.10 1.47 0.3206

Concentra x corrida(día) 6 180.22 30.04 20.92 < 0.0001

Fué significativa la interacción de concentración x corrida(día), lo que significaque se necesita inspeccionar la consistencia de corrida a corrida a lo largo delas concentraciones. La inconsistencia podría ser debida a la operación delinstrumento o la falta de consistencia en la preparación de las muestras paracada una de las concentraciones de corrida a corrida.


Ejemplo 2

Un ingeniero industrial está estudiando la inserción a mano decomponentes electrónicos en tarjetas de circuitos impresospara mejorar la velocidad de la operación de ensamblaje.

Ha diseñado 3 dispositivos de ensamblaje y 2 esquemas quese ven prometedores.

Se requieren operadores para realizar el ensamblado, por loque decide seleccionar aleatoriamente 4 operadores paracada tipo de esquema. Ya que hay diferentes lugares dondese van a probar estos 2 factores, es difícil usar los mismos 4operadores, por lo que los 4 operadores escogidos para elesquema 1 son diferentes a los 4 del esquema 2.

Se corren en forma aleatoria la combinación de tratamientos yse obtienen 2 repeticiones. Se mide el tiempo de ensambladoen segundos.


Ejemplo 2

Esquema1 2

Operador 1 2 3 4 1 2 3 4

D 1 22 23 28 25 26 27 28 24i 24 24 29 23 28 25 25 23sp 2 30 29 30 27 29 30 24 28o 27 28 32 25 28 27 23 30si 3 25 24 27 26 27 26 24 28t 21 22 25 23 25 24 27 27


Ejemplo 2

Este es un modelo mixto ya que dispositivos y esquemas sonfijos y operador es aleatorio.

En este modelo operadores están anidados en los niveles deesquema, mientras que dispositivos y esquemas estáncruzados.

yijkl = µ + τi + βj + γk(j) + (τβ)ij + (τγ)ik(j) + ǫl(ijk)

τi es el efecto del i-ésimo esquema, i = 1, 2

βj es el efecto del j-ésimo dispositivo, j = 1, 2, 3

γk(i) es el efecto del k-ésimo operador dentro del i-ésimoesquema, k = 1, 2, 3, 4

(τβ)ij interacción esquema x dispositivo

(τγ)jk(i) interacción dispositivo x operador dentro de esquema

ǫl(ijk) error, l = 1, 2


Ejemplo 2

Note que no puede haber interacción esquema x operador porque no todos los operadores usan todos los esquemas, por lotanto no puede haber interacción dispositivo x esquema xoperador.

ej13_2_mont.jmp


Ejemplo 2

Componente E(CM)

Esquema σ2 + 6σ2o + 24θ2

e

Disposit σ2 + 2σ2od(e) + 16θ2

d

esqxdis σ2 + 2σ2od(e) + 8θ2

ed

op(esq) σ2 + 6σ2o

op x dis(esq) σ2 + 2σ2od(e)

Error σ2

Componente Denominador (CM)

Esquema Operador(esquema)Dispositivo Operador x Dispositivo(esquema)

Esq x Dispo Operador x Dispositivo(esquema)Operador(esq) error

Opera x Dispo(esq) error


Ejemplo 2

F.V. gl SS CM F Prob > F

Esquema 1 4.08 4.08 0.3402 0.58Dispositivo 2 82.79 41.40 7.54 0.0076Esq x Disp 2 19.04 9.52 1.734 0.218

Operador(esq) 6 71.92 11.99 5.146 0.0016Op x Disp(esq) 12 65.83 5.49 2.356 0.036

Error 24 56 2.33


Reglas para encontrar E(CM) en diseños completos balanceados

1. El error, considerado jerárquico dentro de los demásfactores, tendrá un componente de varianza σ2 y essiempre aleatorio.

2. En cada hilera del A. de V. escriba los componentes devarianza que tienen todos los suscritos contenidos en lossuscritos del factor en la hilera.

3. Determine qué suscritos no están presentes en cadacomponente de varianza. Multiplique el coeficiente de esecomponente por el tamaño de muestra (número de niveles)de los factores correspondientes a los suscritos faltantes.

4. Multiplique el componente por (1 − h/H) donde h es elnúmero de niveles de un factor y H es el tamaño de lapoblación de efectos. Así para efectos fijos h = H y paraefectos aleatorios H = ∞. El factor (1 − h/H) multiplica alos componentes para cada factor H que está en el suscritodel componente y que no aparece dentro de un paréntesisy/o no está en el encabezado de la hilera. Excepto para σ2.

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