ESKÉ VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská

BAKALÁSKÁ PRÁCE

2012 Antonín POVOLNÝ

ESKÉ VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská

Katedra jaderných reaktor·

Jaderné inºenýrství - Teorie a technika jaderných reaktor·

BAKALÁSKÁ PRÁCE

Modelování proud¥ní chladiva v aktivní zón¥ reaktorupomocí CFD

CFD Modelling of Coolant Flow in Nuclear Reactor Cores

Vypracoval: Antonín POVOLNÝVedoucí práce: Ing. Du²an KOBYLKA, Ph.D.Akademický rok: 2011/2012

Na toto místo p°ijde svázat zadání diplomové práce!V jednom z výtisk· musí být originál zadání, v ostatních kopie.

estné prohlá²ení

Prohla²uji na tomto míst¥, ºe jsem p°edloºenou práci vypracoval samostatn¥ a ºe jsem uvedl ve²keroupouºitou literaturu.

V Praze dne 16. £ervence 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Antonín POVOLNÝ

Pod¥kování

Na tomto míst¥ bych cht¥l zejména pod¥kovat panu Ing. Du²anu Kobylkovi, Ph.D. za mnoho cennýchrad a p°ipomínek, za vedení bakalá°ské práce a p°edev²ím za trp¥livost. Panu Ing. Jakubovi Krej£ímu arm¥ CHEMCOMEX Praha, a.s. d¥kuji za nabídku tématu, za rady a za poskytnutí dat pro výpo£et. Dálebych rád pod¥koval Kated°e jaderných reaktor· Fakulty jaderné a fyzikáln¥ inºenýrské VUT v Praze zaposkytnutí výpo£etních kapacit. Díky pat°í i panu Ing. Ji°ímu íºkovi za zap·j£ení distan£ní m°íºky.

Rád bych také pod¥koval svým rodi£·m a p°átel·m za podporu p°i studiu.

Název práce: Modelování proud¥ní chladiva v aktivní zón¥ reaktoru pomocí CFD

Autor: Antonín POVOLNÝ

Obor: Jaderné inºenýrství

Zam¥°ení: Teorie a technika jaderných reaktor·

Druh práce: Bakalá°ská práce

Vedoucí práce: Ing. Du²an KOBYLKA, Ph.D. KJR-FJFI-VUT v Praze

Konzultant: Ing. Jakub KREJÍ, Chemcomex Praha, a.s.

Abstrakt: Práce se zabývá vyuºitím CFD k výpo£t·m proud¥ní chladiva v aktivní zón¥ jaderných reaktor·.V první polovin¥ práce je popsáno fyzikální i matematické pozadí CFD. V práci jsou odvozeny základnízákony zachování. Je zde vysv¥tlena problematika turbulence a mezní vrstvy. Zárove¬ jsou vyjmenoványpostupy, které se v CFD pouºívají k popisu t¥chto jev·. Jsou vysv¥tleny výhody a nevýhody r·znýchpostup·. Práce dále popisuje r·zné moºnosti diskretizace deni£ního oboru (aneb tvorbu sít¥) a metodydiskretizace zákon· zachování, jmenovit¥ FDM, FVM a FEM. Jsou zmín¥ny základy £asové diskretizace aaplikace okrajových podmínek. Druhá polovina práce se skládá z re²er²e CFD výpo£etních kód· pouºívanýchpro výpo£ty proud¥ní chladiva v aktivních zónách jaderných reaktor·. Následuje seznámení s výpo£etnímkódem Star-CD a popis n¥kolika model· pro výpo£et proud¥ní v kanálu mezi palivovými ty£emi v aktivnízón¥. Tyto modely byly vytvo°eny ve Star-CD v rámci této práce. Práci uzavírá srovnání výsledk· výpo£t·podle jednotlivých model·.

Klí£ová slova: CFD, Star-CD, turbulence, aktivní zóna, sdílení tepla konvekcí

Title: CFD Modelling of Coolant Flow in Nuclear Reactor Cores

Author: Antonín POVOLNÝ

Abstract: This thesis is on the usage of CFD modelling of coolant ow in nuclear reactor cores. First, thereis a description of physics and mathematics behind CFD. Conservation equations are derived, explanationof turbulence and boundary layers is provided together with the list of methods for modelling them. Ad-vantages and disadvantages of particular methods are explained. Next, there are described various methodsof the domain discretization (mesh generation), equation discretization (FDM, FVM and FEM), temporaldiscretization and boundary conditions application. Second part consists of the literature review on CFDcodes used for modelling the coolant ow in nuclear reactor cores. Furthermore, there is an introductionto Star-CD code and description of some models for computing the ow in the channel between fuel rods.Those models were created in Star-CD as a part of this thesis. Thesis is concluded by the comparison ofcalculation's results according to particular models.

Key words: CFD, Star-CD, turbulence, reactor core, convective heat transfer

Obsah

1 Seznam pouºitých veli£in a zkratek ii

2 Úvod 1

3 Proud¥ní tekutin a p°enos tepla konvekcí 23.1 Vlastnosti tekutin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Zákony zachování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.3 Turbulentní proud¥ní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Víry v turbulenci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5 Modelování turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.6 Mezní vrstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Numerické °e²ení 214.1 Diskretizace deni£ního oboru - tvorba sít¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 FDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 FVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5 asová diskretizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.6 Po£áte£ní a okrajové podmínky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Re²er²e CFD kód· 35

6 Star-CD 386.1 Struktura systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2 Fyzikální model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.3 Modely turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.4 Sí´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.5 Diskretizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.6 Okrajové podmínky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.7 Algoritmy °e²ení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.8 Postup tvorby modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Popis modelu 477.1 Sí´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2 Okrajové podmínky a vlastnosti tekutiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.3 Jednotlivé modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.4 Pr·b¥h výpo£tu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8 Výsledky 55

9 Záv¥r 64

i

1 Seznam pouºitých veli£in a zkratek

αφ [−] relaxa£ní konstantaα [−] koecient mocninového zákonaβk [−] konstantaβm [−] expanzní koecient m-té sm¥siβT [1/K] objemová roztaºnostβ [−] koecient £asové diference∆p [Pa] tlaková ztráta∆t [s] vzdálenost dvou sousedních £asových bod·∆x [m] vzdálenost dvou sousedních bod·δik [−] Kroneckerovo delta∆ [m] ltrovací rozm¥rδ [m] tlou²´ka mezní vrstvyq [J/m3s] oh°evηef [Pas] efektivní dynamická viskozitaηT [Pas] turbulentní dynamická viskozitaη′ [m] velikost nejmen²ích vír· (Kolmogorov·v rozm¥r)η [Pas] dyn. viskozitaγ [−] koecient £asové diferenceκ0 [−] koecient logaritmického zákonaκw [−] koecient logaritmického zákonaκ [1/m] vlnové £ísloλT [W/mK] turbulentní tepelná vodivostλ′ [Pas] druhá viskozitaλ [W/mK] tepelná vodivostµT [m2/s] turbulentní kinetická viskozitaν [m2/s] kinematická viskozitaΩij [−] £len z ARSωr [rad/s] rychlost rotaceφ [?/m3] hustota obecné veli£inyφni [?/m3] hodnota funkce phi v bod¥ i v £ase nφi [?/m3] hodnota funkce phi v bod¥ iφ [?/m3] st°ední hodnota (Reynolds·v rozklad)φ′′ [?/m3] uktuace (Favreho rozklad)φ [?/m3] st°ední hodnota (Reynolds·v rozklad)φ′ [?/m3] uktuace (Reynolds·v rozklad)

ii

φI [?/m3] pr·m¥rná hodnota veli£iny φ v bu¬ce Iρ [kg/m3] hustotaσ(j) [m2] £ást hranice bu¬kyσ(V ) mnoºina hranice objemu Vσ [−] CFL £íslo (Courant-Friedrichs-Lewy)τη [s] £as nejmen²ích vír· (Kolmogorov·v rozm¥r)τSij [Pa] podsí´ové nap¥tíτik [Pa] vazké nap¥tíτ0 [s] £asový rozm¥r nejv¥t²ích vír·τ0 [s] £asový rozm¥r nejv¥t²ích vír·τC [Pa] celkové smykové nap¥tíτw [Pa] smykové nap¥tí st¥nyτ ′ [s] £len z ARSτ [s] £asový rozm¥r víruε [m2/s3] rychlost disipace turbulentní kinetické energieϕ [?/m3] FEM aproximace funkce φζ [Pas] druhá viskozita/objemová viskozitaA+ [−] koecient van Driestova vztahuB [−] koecient logaritmického zákonaCη [−] konstantaCD [−] konstantacp [J/kgK] m¥rná tepelná kapacita za konstantního tlakuCS [−] LES konstantaC [m/s] konstantadh [m] hydraulický pr·m¥rd [m] pr·m¥r ty£íEB [−] koecient logaritmického zákonaE′ [m/s2] spektrální hustota kinetické energieE [J/kg] celková m¥rná energiee [J/kg] vnit°ní energiee mnoºina element~fI [?/m2s] aproximace numerického toku ve st°edu bu¬ky I~F [?/m2s] numerický tok~F

(j)I [?/m2s] numerický tok st¥nou σ(j) p°íslu²ející bu¬ce IFη [−] p°ekrývací funkce

iii

fη [m] tlumící funkceFh,j [J/sm2] tok entalpiefi [N ] objemová sílaf [−] hustota pravd¥podobnostiG′ [−] ltrovací funkceg [m/s2] úplavová funkceG [kg/m2s] hustota hmotnostního pr·toku~g [m/s2] gravita£ní zrychleníh [J/kg] m¥rná entalpieH [J/kg] celková m¥rná entalpieh [m] vý²ka kanálu~h(i) [kg/m2s2] celková povrchová síla ve sm¥ru iHij [Pa] nap¥tí celkové (v£etn¥ tlaku)I [−] lokální relativní intenzita turbulencek [J/kg] turbulentní kinetická energie~Kij [m2] matice tuhostilDI [m] hranice disipa£ní zóny a setrva£né mezizónylEI [m] hranice zóny zadrºující energii a setrva£né mezizónyl0 [m] velikost nejv¥t²ích vír·l+m [−] bezrozm¥rná sm¥²ovací délkalm [m] sm¥²ovací délkaL [m] charakteristická délkal [m] velikost víruMij [m3] matice hmotyM [−] po£et neznámých (FEM)~n [m] jednotkový vektorN

(e)i [−] lokální basická funkce

Ni [−] basická funkceO(g(h)) [−] asymptotická sloºitost odpovídající funkci g(h)p [Pa] tlakPrT [−] Prandtlovo turbulentní £ísloQφ [?/m3s] hustota objemového zdroje φQI [?/m3s] pr·m¥rná hodnota veli£iny Qφ v bu¬ce Iqt [W/m2] hustota tepelného toku~r [m] poloha

iv

R [?/s] residuumR [J/kgK] m¥rná plynová konstantaR mnoºina reálná £íslaRe [−] Reynoldsovo £ísloSij [−] £len z ARSsik [1/s] rychlost deformaceS [m2/s] povrch~S [m2] velikost povrchu se sm¥rem normály~S

(j)I [m2] povrch st¥ny σ(j) bu¬ky I se sm¥rem normály~Sφ [?/m2s] hustota plo²ných zdroj· φtc [s] £asová náro£nost výpo£tuTk,ij [−] tenzorové funkceTT [K] totální teplotat′ [m] rozp¥tí ty£íTij [Pa] nap¥tíT [K] teplotat [s] £as~t(i) [kg/m2s2] povrchová síla ve sm¥ru iuη [m/s] rychlost nejmen²ích vír· (Kolmogorov·v rozm¥r)uτ [m/s] koecient funkce st¥nyu0 [m/s] rychlost nejv¥t²ích vír·U [m/s] charakteristická rychlostu [m/s] rychlost víru~v [m/s] pole rychlosti~v+ [−] bezrozm¥rná rychlost~v0 [m/s] rychlost volného prouduVn,j [m/s] rychlost látkové difúzeVI [m3] objem bu¬ky IV [m3] objemW [−] váºící funkcey+ [−] bezrozm¥rná vzdálenostYm [−] hmotnostní zlomek m-té sloºkyρv′′j h

′′ [m2/s2] turbulentní tok tepla (n¥kdy také ρv′jh′)

ρ(vih− vih

)[J/m2s] podsí´ový tok tepla

ρv′′i v′′j [kg/ms2] Reynoldsovo nap¥tí (n¥kdy také ρv′iv

′j)

v

0D 0-rozm¥rný1D 1-rozm¥rný2D 2-rozm¥rný2VR Dvouvrstvý model3D 3-rozm¥rnýAMG Algebraická vícesí´ová metodaARS Algebraická Reynoldsova nap¥tíAUSM Advek£ní metoda rozd¥lovací proti-prouduCEA Commissariat à l'énergie atomique et aux énergies alternativesCFD Výpo£etní dynamika tekutinCG Sp°aºený gradientCSNI Committee on the Safety of Nuclear InstallationsCUSP Konvek£ní tlak rozd¥lovací proti-v¥truDES Simulace odd¥lených vír·DNS P°ímá numerická simulaceEDF Électricité de FranceFDM Metoda kone£ných diferencíFEA Analýza metodou kone£ných prvk·FEM Metoda kone£ných prvk·FS Funkce st¥nyFVM Metoda kone£ných objem·GUI Gracké uºivatelské rozhraníIAEA Mezinárodní agentura pro atomovou energiiLDDRK Nízko-rozptylová a nízko-rozmazávací Runge-Kuttova metodaLES Simulace velkých vír·LES-NWM Simulace velkých vír· s modelováním u st¥nLES-NWR Simulace velkých vír· s rozli²ením u st¥nMR Model malých Reynoldsových £íselMUSCL Van Leerova monotónní schémata proti-proudu pro zákony zachováníNEA Nuclear Energy AgencyPDF Metoda hustoty pravd¥podobnostiRANS Reynoldsovy st°edované Navier-Stokesovy rovniceRST Model transportu Reynoldsových nap¥tíSGS Podsí´ové modelováníVLES Simulace velmi velkých vír·WG Oblast výzkumu (Writing Group)

vi

2 Úvod

Nejv¥t²ím problémem jaderné energetiky se zvlá²t¥ v této dob¥ zdá být ve°ejné mín¥ní, které rychle a prudcereaguje na jakékoliv problémy spojené s jadernou bezpe£ností. Z hlediska jaderné bezpe£nosti a i z hlediskaprovozu je velmi d·leºitá (ne-li nejd·leºit¥j²í) schopnost reaktoru odvést z aktivní zóny teplo produkovanéjadernými reakcemi. K tomu se tém¥° výhradn¥ pouºívá konvekce. P°es zmín¥nou d·leºitost konvekce jsoumoºnosti jejího popisu omezené a v¥t²inou zaloºené na empirických vztazích s omezenou platností.

Metody CFD (Výpo£etní dynamika tekutin) byly poprvé hromadn¥ji vyuºity v leteckém pr·myslu.Je to odnoº mechaniky tekutin, která k °e²ení problém· mechaniky tekutin pouºívá metody numerickématematiky. Jedním z t¥chto problém· mechaniky tekutin je práv¥ konvekce. Vznik CFD, aktuální rozvoja patrn¥ i budoucí vyuºití je pevn¥ spjato s rozvojem informa£ních technologií a s neustálým zvy²ovánímvýpo£etních kapacit. Díky tomu by CFD m¥lo být v budoucnu schopné dostate£n¥ p°esn¥ a rychle p°ed-povídat konvekci v projektovaných i provozovaných reaktorech, a tím zásadn¥ vylep²it jadernou bezpe£nosta p°isp¥t k rozvoji jaderné energetiky.

CFD vychází ze známých Navier-Stokesových rovnic, které velmi p°esn¥ popisují chování tekutin, kterév²ak lze analyticky vy°e²it jen v n¥kolika málo omezených p°ípadech. Proto se v b¥ºné mechanice tekutinpouºívají mén¥ p°esné, £asto empirické vztahy. CFD sice umí pomocí numerických metod rovnice vy°e²it,kv·li jejich nelinearit¥ je to v²ak proces velmi náro£ný, a to i z hlediska dne²ních výpo£etních moºností.Proto se k výpo£t·m proud¥ní v aktivní zón¥ reaktoru dosud CFDmoc nevyuºívá, populárn¥j²í jsou rychlej²ía jednodu²²í výpo£etní kódy, které v²ak neposkytují tak p°esný popis konvekce a dal²ích jev·, jaký m·ºedát CFD.

V rámci této práce prob¥hne seznámení s problematikou CFD jak z fyzikálního, tak z matematickéhohlediska. Budou popsány základní rovnice, takzvané zákony zachování, bude rozebrána teorie turbulencei mezní vrstvy a budou popsány zp·soby, které CFD vyuºívá k jejich °e²ení. Budou popsány metodydiskretizace deni£ního oboru (tvorba sít¥) i matematického modelu (FDM, FVM a FEM). Dále budoupopsány základní moºnosti £asové diskretizace. Práce by £tená°i m¥la dát jasnou p°edstavu o tom, jakCFD teoreticky funguje, jaké jsou jeho moºnosti z hlediska popisu turbulence a mezní vrstvy, jaké lzepouºívat sít¥, jaká lze volit diskretiza£ní schémata a jak lze aplikovat okrajové podmínky.

Druhá polovina práce bude v¥nována re²er²i aktuálního vyuºití CFD pro výpo£ty proud¥ní chladivav aktivních zónách jaderných reaktor·, seznámení s výpo£etním kódem Star-CD a vytvo°ení modelu provýpo£et proud¥ní a p°enosu tepla konvekcí v kanálu mezi palivovými ty£emi v aktivní zón¥ jadernéhoreaktoru. Tato £ást práce by m¥la £tená°i poskytnou p°edstavu o tom, jak CFD funguje v praxi.

1

3 Proud¥ní tekutin a p°enos tepla konvekcí

3.1 Vlastnosti tekutin

Tekutiny se vyzna£ují tím, ºe nemají vlastní tvar, ale p°ijímají tvar nádoby. V¥t²inou se jedná o kapalné aplynné formy látky. Kapalinami se rozumí tekutiny, jejichº hustota je jen málo závislá na tlaku a teplot¥.S tím souvisí charakteristická vlastnost, tvorba hladiny.[35]

Kaºdá tekutina se skládá z velkého mnoºství r·zných molekul, které na sebe navzájem silov¥ p·sobí.Popis p°i°azující kaºdé molekule hmotný bod by byl p°íli² náro£ný, proto se pouºívá mechanika kontinua.Místo velkého po£tu molekul a popisu jejich mechanických parametr· se uvaºuje spojité pole stavovýchveli£in jako tlak a teplota. Jde o zjednodu²ení, které je nutné kv·li neschopnosti m¥°it a po£ítat parame-try v²ech molekul dané látky. Toto p°iblíºení funguje, je-li k dispozici dostate£n¥ dobrý statistický údaj.To znamená, ºe existují ur£itá omezení ohledn¥ toho, jak malé mnoºství molekul lze pozorovat. V sebe-men²ím objemu je pot°eba jich mít stále dostatek na to, aby jejich pohyb a silová interakce s okolím bylamoºná popsat vlastnostmi p°isouzenými celému objemu. Pom¥°ovat, jak moc je tato aproximace vhodná,lze nap°íklad srovnáním rozm¥r· nejmen²ích uvaºovaných objem· se st°ední volnou dráhou molekuly vtekutin¥ (Knudsenovo £íslo) [50]. Tyto nejmen²í uvaºované objemy budou dále nazývány £ástice. Tyto£ástice tekutiny se povaºují za hmotné body, co se tý£e interakce s okolím. P°i popisu d¥j· vzhledem knejmen²ímu uvaºovanému objemu p·sobí molekuly okolí pouze na ty molekuly v objemu, které jsou na jehookraji. V²echny mechanické efekty zp·sobené vzájemnou interakcí molekul jsou proto popsány plo²nýmisilami, nap¥tími. Silové nap¥tí se popisuje tenzorem druhého °ádu, nap°. Tij vyjad°uje sílu ve sm¥ru osyi zp·sobenou jevy vztaºenými na jednotkovou plochu s normálou ve sm¥ru osy j. Orientace je taková,aby kladné sloºky tenzoru nap¥tí odpovídaly silám, které na povrch libovolného objemu budou p·sobit vevn¥j²ím sm¥ru normály, tedy ven z objemu.

V mechanice tekutin existují dva p°ístupy popisu. Lagrange·v p°ístup rozli²uje jednotlivé £ástice(podle po£áte£ní polohy) a sleduje jejich pohyb, trajektorii a dal²í vlastnosti. Naopak Euler·v p°ístuppopisuje vlastnosti £ástic výhradn¥ v závislosti na jejich aktuální poloze, tedy vektorovým nebo skalárnímpolem (v¥t²inou závislým také na £ase). Nejd·leºit¥j²í z hlediska CFD (Computational Fluid Dynamics- Výpo£etní dynamika tekutin) je vektorové pole rychlosti ~v. Euler·v p°ístup se pouºívá £ast¥ji, jejednodu²²í a více roz²í°ený. Lagrange·v p°ístup je sloºit¥j²í, av²ak zato poskytuje v¥t²í mnoºství informací.[8]V následující práci bude pouºit Euler·v p°ístup.

Z hlediska dynamiky tekutin je zásadní vlastností tekutin vazkost. Je to jev ztráty energie vlivemnevratných termodynamických proces· v kapalin¥, ke kterým dochází díky vnit°nímu t°ení v kapalin¥. Toje popsáno nap¥tím τ závislým na vzájemném pohybu £ástic. P°i prostorov¥ konstantním poli rychlosti ~vnebo p°i rotaci konstantní úhlovou rychlostí ωr se £ástice v·£i sob¥ navzájem nepohybují, hodnota nap¥tíby proto m¥la být nulová [51]. Tuto reak£ní sílu v²ak lze pozorovat, i kdyº se £ástice tekutiny vzhledem ksob¥ navzájem nepohybují. A to sice jako reakci na sílu, která se snaºí uvést £ástice do vzájemného pohybu.Tento jev je pozorovatelný u tzv. Binghamských tekutin [35]. Z praxe je známo, ºe vzájemný pohyb £ásticmá tendenci vznikat p°i libovolném pohybu tekutiny. Vazkost lze tedy poºadovat za jakýsi odpor tekutiny

2

v·£i te£ení.

Podmínky pro nulové nap¥tí p°i konstantním poli rychlosti ~v lze splnit, nebude-li nap¥tí závislé narychlosti, ale pouze na derivacích rychlosti podle polohy. P°i rotaci ~v = ~ωr × ~r s konstantní úhlovourychlostí ωr platí

∂vi∂xi

= 0 pro i = 1, 2, 3 ;∂vi∂xk

+∂vk∂xi

= 0 pro i, k = 1, 2, 3 . (3.1)

Teoreticky m·ºe nap¥tí na t¥chto výrazech záviset libovoln¥, experimenty v²ak ukazují, ºe sta£í lineárnízávislost, tedy (v celé práci se bude uºívat Einsteinovy sumace)

τik = η

(∂vi∂xk

+∂vk∂xi− 2

3δik

∂vl∂xl

)+ ζδik

∂vl∂xl

. (3.2)

Koecient η se nazývá dynamickou viskozitou a koecient ζ druhou viskozitou [51]. V n¥které literatu°ese jako druhá viskozita zna£í λ′ = ζ− 2

3η a veli£ina ζ se ozna£uje jako objemová viskozita [10]. Nicmén¥ tatoveli£ina se £asto zanedbává (tedy ζ = 0) [68][10]. Pro zp·soby výpo£tu se nap¥tí £asto vyjad°uje pomocítenzoru rychlosti deformace sij jako [10]

τik = 2ηsik −2

3ηδik

∂vl∂xl

, sik =1

2

(∂vi∂xk

+∂vk∂xi

). (3.3)

Dynamická viskozita je závislá na tlaku a teplot¥. Není-li závislá na rychlosti (a jejích derivacích),nazývá se tekutina Newtonovskou tekutinou, v opa£ném p°ípad¥ pak Nenewtonovskou tekutinou.U Nenewtonovských tekutin lze nap¥tí bu¤ popsat vztahem (3.2), kde bude dynamická viskozita závislána rychlosti (nap°. mocninový zákon [16]), nebo zcela jinak (jak tomu bude t°eba u Binghamských tekutin[35]).

Krom¥ dynamické viskozity se £asto pouºívá také kinematická viskozita, která je denována pomocídynamické viskozity jako

ν =η

ρ. (3.4)

3.2 Zákony zachování

Veli£iny popisující tekutiny jsou z matematického hlediska polem, nap°íklad rychlost ~v = ~v(x, y, z, t), tlakp = p(x, y, z, t) nebo hustota ρ = ρ(x, y, z, t). Pro dal²í práci s t¥mito poli je t°eba odvodit vztahy odpovída-jící základním fyzikálním zákon·m, takzvané zákony zachování (nazývané taky transportní rovnice).Tyto vztahy se odvozují velmi podobným zp·sobem: základní fyzikální zákony se aplikují na libovolný ob-jem a jeho hranice (objem je v¥t²í neº £ástice tekutiny). Efekt se následn¥ vys£ítá integrací a získá se rovnostintegrál·. Toto se provede pro libovolný objem, proto se rovnost p°enese z integrál· na integrandy.[51]

P°i odvozování obecného zákona zachování skalární vlastnosti s hustotou φ spo£ívá postup ve vyjád°enív²ech £asových zm¥n veli£iny v objemu V vlivem r·zných d¥j·[68]. Objemy budou v následném odvozeníuvaºovány výhradn¥ nem¥nné v £ase, pro objemy, které se v £ase pohybují (posun nebo rotace), jsou rovnicedovozeny v [36].

3

Nej£ast¥j²ím d·vodem pro zm¥nu veli£iny je konvekce, transport veli£iny vlivem pohybu tekutiny.Plochou dS prote£e za jednotku £asu tekutina o objemu ~v~ndS, kde ~n je jednotkovým vektorem ve sm¥runormály plochy (ve vn¥j²í orientaci), pro jednoduchost se zna£í d~S = ~ndS. Po vynásobení hustotou φp°íslu²né veli£iny je výsledkem hodnota toku této veli£iny plochou dS. Vlivem konvekce tak v celém objemudojde za jednotku £asu ke ztrát¥ veli£iny o hodnot¥∮

σ(V )φ~vd~S . (3.5)

Konvekce v²ak není jedinou p°í£inou zm¥ny hodnoty veli£iny v objemu. Obecn¥ se rozeznávají zm¥nyobjemové o hustot¥ Vφ a zm¥ny povrchové o plo²né hustot¥ ~Sφ. Integrací p°es objem nebo povrch se vyjád°ícelkový efekt dané zm¥ny a získá se obecný zákon zachování v integrálním tvaru (neboli transportnírovnice)

d

dt

∫VφdV +

∮σ(V )

φ~vd~S =

∫VVφdV +

∮σ(V )

~Sφd~S [36], (3.6)

Povrchové integrály lze pomocí Gaussovy divergen£ní v¥ty [31] p°evést na objemové. asovou derivaci lzeza vyuºití v¥ty o derivaci podle parametru vsunout dovnit° integrálu. Získá se tedy rovnost pro n¥kolikintegrál· p°es stejný objem, kterou lze z linearity integrálu p°evést na∫

V

[∂φ

∂t+ div (φ~v)−Qφ − div~Sφ

]dV = 0 . (3.7)

Celé odvození probíhalo pro libovolný objem V , díky tomu lze z rovnosti integrál· odvodit i rovnostintegrand· a získat obecný zákon zachování v diferenciálním tvaru

∂φ

∂t+ div (φ~v) = Qφ + div~Sφ . (3.8)

Pro odvození konkrétního zákona zachování sta£í pouze správn¥ ur£it v²echny vlivy na zm¥ny veli£in adosadit do t¥chto obecných rovnic.[68][37]

Pro odvození diferenciálního tvaru je nutné p°edpokládat spojitost v²ech integrand· v objemovýchintegrálech a spojitost v²ech derivací do prvního °ádu u plo²ných integrand·, tento p°edpoklad m·ºe býtn¥kdy (nap°íklad v p°ípad¥ rázových vln) omezující.[36]

Nejprve bude odvozen konkrétní zákon zachování pro hmotnost. Rozli²ují se toky konzervativní, kterézachovávají hmotnost, a nekonzervativní. U t¥ch je nutno uvaºovat zdroje a ztráty hmotnosti (r·znép°ítoky, odtoky nebo zm¥ny vlivem chemických £i jaderných reakcí).[35]

Pro konzervativní toky dochází ke zm¥nám hmotnosti pouze vlivem konvekce a z (3.8) tak vyjde

∂ρ

∂t+ div(ρ~v) = 0 . (3.9)

Tato rovnost se nazývá rovnice kontinuity a pro nestla£itelné tekutiny ρ = const. p°ejde na

div~v = 0 . (3.10)

4

Ze zákona zachování hybnosti (hustota hybnosti je ρ~v) vyplývá, ºe hybnost se v objemu m·ºe m¥nitpouze p·sobením sil, které jsou z pohledu zákona zachování v úloze zdroj· a ztrát hybnosti. Pro i-tousloºku vektoru hybnosti p°ejde[51][10][67] rovnice (3.8) na

∂ρvi∂t

+ div (ρvi~v) = fi + div~h(i) i = 1, 2, 3 . (3.11)

Celková objemová síla je ~f = (f1, f2, f3) a celková povrchová síla je H = (~h(1),~h(2),~h(3)) (za pouºitítenzorového popisu plo²ných sil jako v úvodu této kapitoly).

Po dosazení tlakové síly Hij = Tij − δijp, kde tenzor T popisuje ostatní plo²né síly, p°ejde rovnice naobecné vyjád°ení Navier-Stokesových rovnic:

∂ρvi∂t

+ div (ρvi~v) = fi −∂p

∂xi+ div~ti i = 1, 2, 3 , (3.12)

které jsou analogií zákona zachování hybnosti.

V levé stran¥ lze dále rozloºit derivace

∂ρvi∂t

+ div (ρvi~v) =∂ρ

∂tvi + ρ

∂vi∂t

+ vi div (ρ~v) + ρ~v gradvi =

vi

(∂ρ

∂t+ div (ρ~v)

)+ ρ

∂vi∂t

+ ρ~v gradvi .(3.13)

První £len v posledním výrazu je za pouºití rovnice kontinuity nulový. Pro výpo£et je zapot°ebí ur£itkonkrétní podobu sil. U objemových sil se v¥t²inou uvaºuje pouze gravita£ní síla, n¥kdy v²ak i síla setrva£ná(je-li vztaºná soustava problému spjata se soustavou, která se pohybuje se zrychlením). Pro gravita£ní síluplatí

~f = ρ~g . (3.14)

Z dal²ích povrchových sil se uvaºuje pouze t°ecí síla vyjád°ená pomocí (3.2). Po dosazení v²ech t¥chtovztah· do (3.12) p°ejde rovnice v

ρ∂vi∂t

+ρ~v gradvi − ρgi +∂p

∂xi=

=∂

∂xj

[η

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi− 2

3δij div~v

)+ ζδij div~v

]i = 1, 2, 3 .

(3.15)

Pro nestla£itelné tekutiny plyne z rovnice kontinuity div~v = 0, rovnice pak za p°edpokladu konstantníviskozity p°ejde na

ρ∂vi∂t

+ ρ~v gradvi − ρgi +∂p

∂xi= η∆vi i = 1, 2, 3 , (3.16)

coº je zjednodu²ená podoba Navier-Stokesových rovnic [35].

Rovnice byly odvozeny pro nehybnou soustavu sou°adnou. Kdyby se soustava pohybovala, tak by se vrovnicích (3.12) místo rychlostí vi (vyjad°ujících hybnost) musela uvést absolutní hodnota rychlostí (tedyv£etn¥ pohybu soustavy). Tyto rychlosti vystupují v rovnicích (3.12) pouze na levé stran¥, kterou lze upravitpodle (3.13). Pohyb soustavy není závislý na poloze, ale nanejvý² na £ase, z toho a z (3.13) vyplývá, ºep°i pohybu soustavy sou°adné mají vliv pouze £asov¥ závislé zm¥ny rychlosti, tedy zrychlení soustavy.Nej£ast¥ji jde o zrychlení rota£ního pohybu soustavy.

5

Navier-Stokesovy rovnice spolu s rovnicí kontinuity jsou soustavou nelineárních rovnic, coº zna£n¥zt¥ºuje jejich °e²ení. To je známo pouze ve zvlá²tních p°ípadech. V obecném p°ípad¥ po£áte£ní úlohy,kdy je v po£áte£ním £ase známo p°esné rychlostní pole, které ze své fyzikální podstaty je rozumn¥ se chova-jící funkcí (p°edev²ím hladkou), nelze s jistotou °íct (nikdo to doposud nedokázal), zda má rovnice °e²ení[28]. Není tedy ani známo, jak toto °e²ení vypadá (aº na n¥kolik speciálních zjednodu²ených p°ípad·). Prour£ení co nejp°esn¥j²í podoby °e²ení se pouºívají numerické metody, které budou popsány v dal²ích kapi-tolách. Nejb¥ºn¥j²í okrajové podmínky pro vazké tekutiny jsou spojeny s obtékáním povrch· P pevnýchlátek s normálou ~n:

~v(~x, t) = ~0 , ∀t ∈ R , ∀~x ∈ P [51]. (3.17)

Pro nevazké tekutiny se pouºívají okrajové podmínky

~v(~x, t) · ~n(~x, t) = 0 , ∀t ∈ R , ∀~x ∈ P [10]. (3.18)

Dal²í okrajové podmínky mohou být nap°íklad hodnoty rychlosti, tlaku, hustoty a teploty v proudu dostate£n¥vzdáleném od obtékaného t¥lesa (vn¥j²í obtékání) nebo na vstupu do potrubí v dostate£né vzdálenosti odzm¥n proud¥ní (zm¥na tvaru potrubí, obtékání p°edm¥tu v potrubí, nap°íklad lopatky turbíny) [10].

Systém Navier-Stokesových rovnic s rovnicí kontinuity není uzav°ený a je t°eba ho doplnit stavovourovnicí (coº sta£í pro izotermické proud¥ní pouºívané nap°íklad v leteckém pr·myslu). Pro neizotermicképroud¥ní je dal²í neznámou teplota. Lze odvodit rovnici popisující zachování celkové energie. Tím v²akp°ibude dal²í prom¥nná (energie nebo entalpie). Systém se uzavírá vyjád°ením závislosti této nové prom¥nnéna jiº pouºitých (teplota, tlak, hustota, rychlost).

Celková m¥rná energie E je sou£et m¥rné vnit°ní energie e a m¥rné kinetické energie

E = e+|~v|2

2[10]. (3.19)

Hustota toku vnit°ní energie se pomocí difúze vyjad°uje jako−c grad e nebo ekvivalentn¥ pomocí Fourierovazákona −λ grad T . Celkový efekt difúze potom vystupuje v (3.8) jako

div(λ gradT ) [10]. (3.20)

Krom¥ difúze m·ºe dojít ke zm¥n¥ energie n¥jakým hmotnostním zdrojem q (nap°íklad oh°ev díkyradiaci nebo chemickým reakcím) nebo p·sobením objemových sil. Pokud na jednotku hmotnosti p·sobísíla ~f nebo oh°ev q, pak na jednotku objemu p·sobí síla ρ~f a oh°ev ρq, síla vykoná práci ρ~f ·~v, hmotnostnízdroje tepla tedy vyjad°uje vztah

ρ~f · ~v + ρq [10]. (3.21)

Zbývají zdroje tepla vzniklého prací povrchových sil. Na jednotku povrchu p·sobí síla Hijnj , která vykonápráci Hijnjvi. Po dosazení tlakové síly Hij = Tij − δijp bude celková práce vykonaná tlakovými silami naobjem V ∫

σ(V )(T~v − p~v) d~S =

∫V

div(T~v − p~v) dV , (3.22)

Celý zákon zachování m¥rné energie tedy bude mít podobu

∂ρE

∂t+ div (ρE~v) = div(λ gradT − p~v + T~v) + ρ~f · ~v + ρq [10]. (3.23)

6

Vhodn¥j²í je v²ak vyjád°ení pomocí entalpie. M¥rná entalpie se denuje jako h = e+ pρ , takºe po dosazení

do (3.19) platí vztahH = E +

p

ρ, (3.24)

který zm¥ní rovnici (3.25) na

∂ρH

∂t+ div (ρH~v) =

∂p

∂t+ div(λ gradT + T~v) + ρ~f · ~v + ρq . (3.25)

Mnoho dal²ích zákon· zachování r·zných veli£in pro r·zné p°ípady proud¥ní je uvedeno v [70]. V sekci3.5 budou je²t¥ n¥které zákony zachování zmín¥ny.

V tomto základním odvození bylo získáno 5 parciálních diferenciálních rovnic pro 5 neznámých, nap°ík-lad:

~v , p , T . (3.26)

Toto m·ºe být matoucí, zvlá²t¥ kdyº v rovnici pro zachování m¥rné energie vystupuje p°edev²ím m¥rnáenergie E, ve v²ech rovnicích vystupuje hustota ρ, jsou tu také svým zp·sobem neznámé jako viskozitaη nebo m¥rná tepelná vodivost λ. V²echny tyto veli£iny jsou také neznámé a je t°eba dodat rovnice,které je popisují. Tyto rovnice (nap°íklad stavová rovnice nebo jiné termodynamické vztahy typu H =12~v

2 + cp|(T0,T ) T − cp|T=T0T0 [16] apod.) v²ak nejsou rovnicemi diferenciálními, proto nejsou aº tak d·leºité

(tzn. problematické), stejn¥ jako neznámé, které ur£ují.

3.3 Turbulentní proud¥ní

Velké problémy spojené s °e²ením p°iná²í turbulence. Jde o jev, kdy setrva£né síly p°eváºí nad vazkými,které udrºují vzájemnou pozici £ástic.

• Je-li proud¥ní laminární, rozdíly v rychlostech sousedících £ástic se vlivem vazkosti vyrovnají, aniºby se p°íli² zm¥nil sm¥r rychlosti obou £ástic nebo jejich vzájemná poloha. Jednotlivé vrstvy sloºené z£ástic tekutiny po sob¥ navzájem klouºou a samy o sob¥ se p°íli² nem¥ní. Jsou-li okrajové podmínkyv £ase nem¥nné, pak se s £asem nem¥ní ani podoba proud¥ní (tedy pole rychlosti) [68].

• Je-li v²ak proud¥ní turbulentní, je rozdíl v rychlostech (vztaºený v·£i vazkým silám) v¥t²í, dojdeke znatelné zm¥n¥ vzájemné polohy a díky spole£né interakci i k velké zm¥n¥ rychlostí £ástic.

V p°edchozím odstavci byla turbulence £áste£n¥ popsána z mikroskopického hlediska. Z makroskopick-ého hlediska je obtíºné turbulentní proud¥ní denovat. Obecn¥ se projevuje v podob¥ rychlých uktuacíveli£in popisujících proud¥ní (rychlost, tlak, hustota, teplota atd.), které lze matematicky rozloºit na st°edníhodnotu a uktuace. Pro názornost je uveden rozklad rychlosti na st°ední hodnotu ~v a uktuace ~v′

~v = ~v + ~v′ . (3.27)

Konkrétní p°ípad je zobrazen na Obr. 3.1. Na obrázku je dob°e znázorn¥na diskrétní povaha m¥°ení.Pozorovatel je vºdy schopen zm¥°it rychlost jen v kone£ném po£tu bod· (p°ípadn¥ pr·m¥r rychlosti v

7

Obrázek 3.1: P°íklad turbulentní uktuace jednoho sm¥ru rychlosti.[68]

kone£ném po£tu £asových interval·). Není tedy moºné p°esn¥ poznat chování mezi t¥mito body a výsledekm¥°ení v konkrétním bod¥ se stává stochastickou veli£inou, z tohoto pohledu vychází rozbor turbulence v[61] a ve velkém mnoºství dal²ích publikací.

D·vodem stochasti£nosti je pro makroskopického pozorovatele neznalost p°esných okrajových podmíneksystému a velká citlivost nelineárních Navier-Stokesových rovnic (3.12) na zm¥ny t¥chto podmínek. D·vo-dem je také pozorování s malým rozli²ením (velké rozm¥ry i dlouhé £asové intervaly). Dívá-li se n¥kdo naproud¥ní s ur£itým rozli²ením, budou v²echny jevy, které se odehrávají na ²kále men²í neº rozli²ení po-zorovatele, z pohledu pozorovatele stochastické. Zde je vhodné p°ipomenout, ºe v pohledu mechaniky kon-tinua existuje omezení na nejmen²í moºný rozm¥r, £ástici tekutiny. P°i extrémn¥ turbulentních proudech byse velikost £ástice mohla p°iblíºit rozm¥ru spojenému s jevem turbulence a mechanika kontinua by p°estalabýt schopná tento jev popisovat (viz Knudsenovo £íslo v sekci 3.1). V¥t²inou je v²ak rozm¥r £ástice tekutinymnohem men²í neº s jevem turbulence spojený rozm¥r, který je stále mnohem men²í neº nejmen²í rozm¥rrozli²ovaný pozorovatelem. Jako je chování molekul stochastické z pohledu £ástic tekutin, tak jsou £ásticetekutin stochastické z pohledu turbulence, která je stochastická z pohledu pozorovatele. Na Obr. 3.1 jeznázorn¥no, jak turbulence p°i dostate£ném rozli²ení pozorování ztrácí charakter stochasti£nosti.[53]

Empirická denice ur£uje turbulenci jako výskyt uktuací veli£in podle (3.27), které spl¬ují následujícívlastnosti: [45]

• Stochastická povaha (náhodnost)

• Difuzivita (promíchávání skalárních veli£in)

• Ví°ivost (tvorba vír·)

• Velké rozmezí m¥°ítek (víry malé i velmi velké, rychle i pomalu mizící)

• Prostorovost (sloºité struktury a nehomogenita)

• Disipativnost (dochází ke ztrát¥ energie proud¥ní)

• Nelinearita (týká se matematického modelu)

8

Z matematického rozboru turbulence v [51] plyne, ºe uktuaci veli£in lze popsat jako rota£ní pohybovéstruktury, které musí v £ase vymizet. Podobn¥ podle [68] lze experimentáln¥ zjistit p°ítomnost t¥chto vír·r·zných m¥°ítek a rychlostí disipace. Jejich projev je prostorový, a to i v p°ípad¥, kdy by bylo moºnést°edované hodnoty popsat 2D modelem, turbulence se bude projevovat ve v²ech t°ech dimenzích. Ví°ivýpohyb k sob¥ dostane £ástice, které by u laminárního proud¥ní klouzaly ve svých vrstvách daleko od sebe.To zlep²uje difuzivitu a díky tomu je turbulence velmi ºádaná nap°íklad pro promíchávání p°ím¥sí nebop°enos tepla. D·leºitým jevem z hlediska popisu turbulence je také disipace kinetické energie proud¥ní natepelnou energii (k té dochází vlivem vazkosti).

Vzhledem k nazna£ené obtíºnosti uchopení jevu turbulence se pro posouzení míry turbulence £astopouºívá bezrozm¥rné Reynoldsovo £íslo, které se odvozuje pomocí podobnostní teorie a které vyjad°ujepom¥r sil setrva£ných ku vazkým:

ReL =

∣∣~v∣∣ Lν

[35], (3.28)

zde∣∣~v∣∣ je velikost rychlosti bez uvaºování turbulentní uktuace (toho lze dosáhnout nap°íklad vyst°e-

dováním p°es vhodn¥ velký £asový interval). L p°edstavuje rozm¥r charakteristický pro dané proud¥ní(t°eba vzdálenost od st¥n potrubí nebo od za£átku desky) a ν je kinematická viskozita. Z pozorování jeznámo, ºe proud¥ní z·stává laminární p°i nízkém Reynoldsov¥ £ísle (zhruba pod 2300 [35]). Naopak p°idostate£n¥ velkém Reynoldsov¥ £ísle (zhruba nad 4000 [61] aº nad 105[45]) p°echází proud¥ní v turbulentní,toto rozd¥lení se velmi li²í p°ípad od p°ípadu. Cílem studia turbulence není jen chování turbulentníhoproud¥ní, ale také ur£ení p°echodu od laminárního k turbulentnímu proud¥ní (kdy a jak k n¥mu dojde)[56]. V rámci CFD se v²ak v¥t²inou p°echod neuvaºuje a proud¥ní se bere bu¤ laminární nebo turbulentní.

Turbulence byla popsána jako existence uktuací rychlosti. Podobn¥ jako v (??) lze kaºdou veli£inu φrozloºit pomocí Reynoldsova rozkladu

φ = φ+ φ′ . (3.29)

Rigorózní p°ístup k turbulenci spo£ívá v p°i°azení vlastní funkce hustoty pravd¥podobnosti f(ϕ,~r, t) kaºdémubodu ~r v kaºdém £ase t. Potom by se st°ední hodnota ur£ovala jako

φ(~r, t) =

∫ ∞−∞

ϕf(ϕ,~r, t)dϕ . (3.30)

Tento p°ístup je v²ak náro£ný a proto se £asto pouºívá jednodu²²í st°edování, nap°íklad £asové (dal²ímoºnosti v [61][10])

φ(~r, t) =1

∆t

∫ t+∆t

tφ(t′)dt′ . (3.31)

Zde ∆t > τ0, kde τ0 je £asový rozm¥r nejv¥t²ích vír· [68][10]. Podle [61] lze tato jednodu²²í st°edovánípouºít k odhadu φ s rozumnou p°esností. U stacionárních proud· lze dokonce °íci, ºe pro ∆t → ∞ bude£asové st°edování totoºné s rigorózním.

Je-li tekutinu nutné uvaºovat stla£itelnou, provádí se je²t¥ Favreho rozklad, který zohled¬uje zm¥nyhustoty

φ =ρφ

ρ, φ = φ+ φ′′ [30]. (3.32)

Takto lze st°edovat libovolnou veli£inu d·leºitou pro pr·b¥h proud¥ní. Ke st°edování tlaku a hustotyse pouºívá Reynoldsovo st°edování a ke st°edování ostatních veli£in spí²e Favreho metoda [10]. V¥t²ina

9

CFD kód· mezi Favreho a Reynoldsovým st°edováním nerozli²uje, ale protoºe rozdíly mezi nimi nabývajívýznamu jen u lehce stla£itelných tekutin p°i modelování jev· poblíº st¥n [38], nemá to na p°esnost výpo£tuaº takový vliv. Vyst°edováním odvozených zákon· zachování (3.9) a (3.12) lze získat jejich podobu prost°edované veli£iny, takzvané Reynolds-Favreho st°edované Navier-Stokesovy rovnice

∂ρ

∂t+

∂

∂xj(ρvj) = 0 (3.33)

∂ (ρvi)

∂t+

∂

∂xj(ρvj vi) = fi −

∂p

∂xi+

∂

∂xj

(τij − ρv′′j v′′i

)i = 1, 2, 3 . (3.34)

Oproti p·vodnímu systému vzrostl po£et prom¥nných. Krom¥ prom¥nných ~v, ρ, p p°ibyly je²t¥ prom¥nnéρv′′i v

′′j . Jde o tenzor Reynoldsova nap¥tí ([36][10][60]), který popisuje p°enos hybnosti vlivem turbu-

lentních uktuací pohybu [61]. Jako pom·cka pro popis turbulence se £asto pouºívá veli£ina turbulentníkinetické energie

k =1

2v′iv′i [61] (3.35)

p°i pouºití Favreho rozkladu se tato energie denuje jako

k =1

2v′′i v′′i [10]. (3.36)

I s pomocí této veli£iny lze vyst°edováním p°evést zákon zachování entalpie do podoby

∂(ρH)

∂t+

∂

∂xj

(ρvjH

)=∂p

∂t+

∂

∂xj

(λ∂T

∂xj− ρv′′j h′′ + τijv′′i − ρv′′j k

)+

+∂

∂xj

[vi

(τij − ρv′′j v′′i

)]+ fiρvi + ρq [10].

(3.37)

Podle [10] jsou £leny ∂∂xj

(τijv′′i

)a ∂∂xj

(ρv′′j k

)£asto zanedbávány, tak tomu je i v [16]. Veli£ina ρv′′j h′′ se

nazývá turbulentní tok tepla [10] a popisuje p°enos energie vlivem turbulentních uktuací pohybu [61].

Díky Reynoldsovu nap¥tí p°ibylo 6 nových veli£in, turbulentní tok tepla p°edstavuje dal²í 3. Problémje podzadaný (málo rovnic vzhledem k po£tu neznámých) a vzniká problém s uzav°ením systému (je t°ebaposkytnout 9 dal²ích rovnic). Tento problém se °e²í modelováním: to v tomto smyslu znamená vytvo°eníp°ibliºných rovnic (model·) pro tyto neznámé (Reynoldsovo nap¥tí a turbulentní tok tepla). V¥t²ina model·vychází z p°edstavy, ºe turbulence se dá z velké £ásti popsat nahrazením koecientu viskozity η efektivníviskozitou ηef = η + ηT . Zde ηT vyjad°uje viskozitu turbulence, která je závislá na parametrech proud¥ní.Toto se nazývá hypotézou turbulentní viskozity. Reynoldsovo nap¥tí má potom podobu

τFij = ρv′′j v′′i = −2ηT sij +

2

3

(ηT∂uk∂xk

+ ρk

)δij .[10][61] (3.38)

Poslední £len (který se ob£as zanedbává [10]) se dá povaºovat za fyzikální vyjád°ení turbulentního tlaku,zd·vodn¥ní je v [61]. St°ední tlak potom bude p+ 2

3ρk místo pouhého p.

Podobná zákonitost se p°edpokládá u difúze r·zných veli£in (nap°íklad u difúze tepla). Koecient difúzez Fickova zákona (nap°íklad sou£initel tepelné vodivosti λ) se op¥t upravuje o £ást závislou na toku. Jednáse o hypotézu gradientní difúze. Turbulentní tok tepla pak má podobu

ρv′′j h′′ = −λT

∂T

∂xj, λT = cp

ηTPrT

.[10] (3.39)

10

asto se jde cestou experimentálního ur£ení Prandtlova turbulentního £ísla PrT (které se p°edpokládánem¥nné), díky £emuº sta£í ur£it pouze ηT [10].

3.4 Víry v turbulenci

S popisem turbulence pomocí Reynoldsova £ísla úzce souvisí Richardson·v pohled. Ten popisuje turbulenciv pln¥ rozvinutém turbulentním proud¥ní o charakteristické rychlosti U a charakteristické délce L pomocímnoha vír· r·zných rozm¥r· l. Richardson, stejn¥ jako pozd¥ji Kolmogorov, p°edpokládá dostate£n¥ vysokéReynoldsovo £íslo. Pojem 'vír' není p°esn¥ denován, je v²ak chápán jako turbulentní pohyb, který jekoncentrován v oblasti o rozm¥ru l a který je v této oblasti alespo¬ mírn¥ soudruºný. Oblast zabranávelkým vírem m·ºe obsahovat i men²í víry. [61]

Vír·m se krom¥ rozm¥ru l p°isuzuje také charakteristická rychlost u(l) a £asový rozm¥r τ = l/u(l).Nejv¥t²í víry mají rozm¥r l0 srovnatelný s rozm¥rem L a jejich rychlost u0 = u0(l) je srovnatelná s rychlostíU . P°isuzuje se jim Reynoldsovo £íslo Re0 = u0l0/ν, které je vysoké, proto jsou setrva£né síly významn¥j²íneº síly vazké. Richardson p°edpokládal, ºe tyto velké víry nejsou stabilní a rozpadají se na men²í víry,kterým p°edávají svoji energii a které se op¥t rozpadají na men²í víry. Takto vzniká energetická kaskáda,kdy se energie p°edává men²ím a men²ím vír·m. S klesající velikostí roste vliv viskozity, která energiivíru p°em¥¬uje na tepelnou energii. Richardson p°edpokládal, ºe nejd°ív dochází k p°edání energie men²ímvír·m a aº potom k její p°em¥n¥ na teplo vlivem viskozity. Kinetická energie nejv¥t²ích vír· je °ádu u2

0 a za£as rozm¥ru τ0 se p°edá vír·m men²ím, aº nakonec celá disipuje. Rychlost disipace ε bude proto °ádov¥

ε ≈ u20

τ0≈ u3

0

l0. (3.40)

Tuto teorii Kolmogorov dále rozvinul svými t°emi hypotézami. Podobn¥ jako u denice Reynoldsova rozk-ladu i u Kolmogorových hypotéz lze pouºít rigorózní p°ístup pomocí hustot pravd¥podobnosti.[61]

Kolmogorova hypotéza lokální izotropie: Pro dostate£n¥ velké Reynoldsovo £íslo jsou turbulentnípohyby s malým rozm¥rem l l0 statisticky izotropní.[61]

Statistická izotropie je nezávislost pravd¥podobnosti výchylky pohybu na poloze a rychlosti proudu.Je vhodné stanovit pevnou hranici, nap°. lEI ≈ 1

6 l0 tak, ºe hypotéza platí pro l < lEI [61]. Indexy E a Iozna£ují energii zadrºující zónu (energy-containing) a setrva£nou mezizónu (inertial subrange), tedy p°echodmezi nimi. Kolmogorov p°edpokládá, ºe energie se p°edává vír·m men²ím neº lEI víry v¥t²ími s rychlostíTEI , která je tém¥° rovna rychlosti disipace ε. Veli£ina TEI se v £ase m¥ní v závislosti na τ0. Kolmogorovp°edpokládal, ºe víry men²í neº lEI budou mít £asový rozm¥r mnohem niº²í neº τ0, proto budou reagovat nazm¥ny TEI tém¥° okamºit¥ (jsou na nich proto p°ímo závislé). Krom¥ toho závisí podoba vír· i na viskozit¥,která ur£uje míru disipace energie.[61]

První Kolmogorova hypotéza podobnosti: Pro dostate£n¥ velké Reynoldsovo £íslo je podoba tur-bulentních pohyb· s rozm¥rem l < lEI univerzální a závisí pouze na ν a ε.[61]

Na základ¥ tohoto byly odvozeny Kolmogorovy rozm¥ry délky rychlosti a £asu:

η′ =

(ν3

ε

) 14

, uη = (νε)14 , τη =

(νε

) 12

. (3.41)

11

Reynoldsovo £íslo vypo£tené pomocí Kolmogorových rozm¥r· η′uη/ν = 1 ukazuje na to, ºe síly vazké jsou vrovnováze se silami setrva£nými. Proto se usuzuje, ºe Kolmogorovy rozm¥ry jsou rozm¥ry nejmen²ích vír·.U men²ích vír· síly vazké p°eváºí nad setrva£nými a dojde k zastavení turbulentního pohybu.[61]

P°e²kálováním délky, rychlosti a £asu vír· pomocí Kolmogorových rozm¥r· pro r·zné p°ípady turbu-lentního proud¥ní se získá vºdy stejná statistická reprezentace vír·. Pomocí (3.40), (3.41) a Re0 = u0l0/νlze získat d·leºité vztahy

η′

l0≈ Re−

34

0 ,uηu0≈ Re−

14

0 ,τητ0≈ Re−

12

0 .[61] (3.42)

Kolmogorov dále p°edpokládal, ºe efekt viskozity je zanedbatelný nejen pro víry velikosti l0, ale i pro v²echnys velikostí l > lDI ≈ 60η. Indexy D a I ozna£ují disipa£ní zónu (dissipation range) a setrva£nou mezizónu(inertial subrange), tedy p°echod mezi nimi. U vír· velikosti lDI < l < lEI tedy nedochází k disipaci, m·ºeproto docházet pouze k p°enosu energie od v¥t²ích vír· k men²ím, a to rychlostí ε.

Druhá Kolmogorova hypotéza podobnosti: Pro dostate£n¥ velké Reynoldsovo £íslo je podobaturbulentních pohyb· s rozm¥rem lDI < l < lEI univerzální a závisí pouze na ε.[61]

Pro víry této velikosti je odvozen rychlostní a £asový rozm¥r

u(l) = (εl)13 , τ(l) =

(l2

ε

) 13

. (3.43)

Kolmogorov tedy rozd¥luje víry do t°í skupin podle rozm¥r·: [61]

• Zóna zadrºující energii pro l > lEI . V té dochází k odebírání energie hlavního proudu a k její p°em¥n¥na energii turbulentní. Pomalým rozpadem vír· se energie p°edává vír·m men²ím.

• Setrva£ná mezizóna pro lEI > l > lDI . V té dochází pouze k p°enosu energie od v¥t²ích vír· k men²ím.Pouze na této zón¥ je popsána závislost rozm¥r· rychlosti a £asu vír· na jejich velikosti.

• Disipa£ní zóna pro lDI > l. V té dochází k p°em¥n¥ energie turbulentní na energii tepelnou vlivemviskozity.

Pro rychlost disipace energie platí

ε =u2η

τη=u(l)2

τ(l)≈ u2

0

τ0=u3

0

l0.[61] (3.44)

Krom¥ disipace je také d·leºité, kolik turbulentní kinetické energie je aktuáln¥ v jak velkých vírech.Distribuce turbulentní kinetické energie se popisuje pomocí spektrální hustoty energie

E′(l) = C(2π)−53 ε

23 l

53 . (3.45)

Konstanta C byla experimentáln¥ ur£ena jako C ≈ 1, 5 [61]. K tomuto popisu se v¥t²inou pouºívá vlnové£íslo

κ = 2π/l , E′(l) = Cε23κ−

53 . (3.46)

12

3.5 Modelování turbulence

Obrázek 3.2: Znázorn¥ní r·zných p°ístup· k turbulentnímu proud¥ní.[10]

Téma modelování turbulence je velmi úzce propojeno s tvorbou sít¥, která je popsána v sekci 4.1.Fyzikáln¥ nejp°esn¥j²í a z hlediska implementace a podoby matematického modelu nejjednodu²²í je DNS(Direct numerical simulation - P°ímá numerická simulace). P°i °e²ení pomocí DNS jsou v²echny bu¬ky sít¥ve výpo£tu voleny men²í neº nejmen²í víry turbulence, tedy men²í neº Kolmogor·v rozm¥r η. Turbulencepotom není povaºována za stochastický jev a k výpo£tu jsou pouºity klasické nest°edované zákony zachování(tedy (3.9), (3.12) a (3.25)). Je-li moºné tuto metodu aplikovat, dává velmi p°esné výsledky. Nevýhodou je,ºe výpo£et je extrémn¥ náro£ný. Podle (3.42) je t°eba charakteristickou délku L ≈ l0 rozd¥lit na alespo¬Re

34 £ástí. Celý objem bude tedy muset být rozd¥len na Re

94 bun¥k sít¥ [10][61]. Podobn¥ podle (3.42)

bude zapot°ebí rozd¥lit £as na Re12 interval·. Nároky na pam¥´ pro výpo£et proto budou °ádov¥ Re

94 . as

výpo£tu pak bude °ádov¥ Re114 . P°i snaze dodrºet podmínku pro CFL £íslo (viz sekce 4.32) je dokonce nutné

rozd¥lit £asový interval °ádov¥ na Re34 interval· [61]. asová náro£nost DNS simulace je potom tc ∝ Re3.

Kv·li v²em t¥mto d·vod·m se DNS pouºívá spí²e pro nízká Reynoldsova £ísla a pro jednoduché geometrie,navíc v p°ípadech, kde jiné metody svojí p°esností nedosta£ují (t°eba proud¥ní v bezprost°ední blízkostipovrchu). Výsledek DNS nemusí p°es p°esnost metody vºdy odpovídat fyzikální realit¥. Pro výpo£et je totiºt°eba zadat velmi p°esné okrajové podmínky, jejichº p°esnost m·ºe p°esahovat p°esnost, které lze dosáhnoutm¥°ením [61]. To v²ak m·ºe být z druhého pohledu výhodou, pomocí DNS lze modelovat chování, kterézatím není experimentáln¥ m¥°itelné (ani jinak zjistitelné) [68]. asto se DNS pouºívá k vývoji novýchmodel· turbulence uºívaných v jiných metodách [61][68], nových experimentálních nástroj· [68] nebo ktvorb¥ rozsáhlých srovnávacích databází, nap°íklad databáze DBig organizace ERCOFTAC [5].

Dal²ím p°ístupem je LES (Large-eddy simulation - Simulace velkých vír·). Ten vychází z první Kol-mogorovy hypotézy podobnosti. Malé víry turbulence se chovají izotropn¥ a lze je tedy popsat n¥jakýmjednoduchým spole£ným podsí´ovým modelem. Naproti tomu, velké víry vykazují anizotropní chovánía podle (3.45) nesou podstatnou £ást turbulentní kinetické energie. Je tedy vhodné je popisovat p°ímo. Krozd¥lení se pouºívá ltrování, obdoba Reynoldsova rozkladu podle polohy.

φ(~r, t) =

∫φ(~r′, t)G′(~r, ~r′, t)dV ′ [68]. (3.47)

13

Obrázek 3.3: R·zné typy ltrovacích funkcí pouºívané v LES.[10]

Funkce G′(~r, ~r′, t) je pro pevné ~r nenulová pro ~r′ ∈ A, kde A je malá oblast kolem ~r s rozm¥rem ∆. Projednorozm¥rný p°ípad je n¥kolik moºných funkcí zobrazeno na Obr. 3.3, dke je dob°e vid¥t, ºe funkceG′ je mimo oblast A velikosti ∆ nulová. Filtrovací rozm¥r ∆ nemá smysl brát men²í neº rozm¥ry bun¥ksít¥, £asto se jim klade roven [68]. P°i pouºití FVM (viz sekce 4.3) se £asto pouºívá ltrovací funkce (a)z Obr. 3.3 [68]. Díky p°edpokladu izotropie je zapot°ebí volit jak rozm¥ry sít¥, tak i ltrovací rozm¥r ∆men²í neº lEI (pevná hranice platnosti Kolmogorovy hypotézy lokální izotropie) [61]. Díky velkému rozp¥tírozm¥r· lEI η je rozdíl mezi rozm¥ry bun¥k v LES a v DNS zásadní. LES se svým modelováním malýchvír· (které dohromady p°edstavují jen malou £ást turbulentní kinetické energie) je vylep²ením DNS. Velmisniºuje výpo£etní nároky a p°itom zachovává dobrou p°esnost výsledku [10]. Obecn¥ je snaha volit ∆ tak,aby turbulentní kinetická energie p°ímo simulovaných vír· p°edstavovala alespo¬ 80 % turbulentní kinetickéenergie v²ech vír· (tedy £asto o hodn¥ men²í neº lEI). To n¥kdy není moºné a tudíº se pouºívá VLES(Very large-eddy simulation - Simulace velmi velkých vír·).

Pouºitím ltrování zákon· zachování se dojde k obdobným rovnicím jako (3.33), (3.34) a (3.37). Filtro-vání je vyuºito místo Reynoldsova st°edování a op¥t lze pouºít Favreho st°edování. Na míst¥ Reynoldsovanap¥tí vystupuje podsí´ové nap¥tí (nejedná se o SGS Reynoldsovo nap¥tí) τSij = ρ (vivj − vivj), podobn¥se pracuje i s podsí´ovým tokem tepla ρ

(vih− vih

). Tyto se modelují pomocí SGS (Subgrid-Scale

Modelling - Podsí´ové modelování), které v¥t²inou vychází z hypotézy turbulentní viskozity a gradientnídifúze. Model Smagorinsky je jedním z nich. Turbulentní viskozitu a turbulentní kinetickou energii z(3.38) ur£uje jako

ηT = ρ(CS∆)2√

2sij sij , kρ =1

2τii =

(ηTρC∆

)2

[68][10]. (3.48)

Dal²ím modelem je nap°íklad Dynamický model [10] nebo Transportní model [61].

Nejroz²í°en¥j²í metodou je RANS (Reynolds-averaged Navier-Stokes equations - Reyonoldsovy st°e-dované Navier-Stokesovy rovnice). Ta vychází z klasického Reynoldsova a Favreho rozkladu (3.31), (3.32).Následuje modelování Reynoldsova nap¥tí a vektor turbulentního toku tepla. Modely RANS se (jak je vy-obrazeno na Obr. 3.2) d¥lí na modely prvního a druhého °ádu podle toho, jestli pouºívají nebo nepouºívajíkoncepci turbulentní viskozity a turbulentních koecient· difúze (°ád modelu RANS nesouvisí s °ádem kon-vergence). Modely prvního °ádu tyto koncepce pouºívají, proto musí obsahovat zp·sob vy£íslení turbulentníviskozity, turbulentní kinetické energie a turbulentních difúzních koecient·. Difúzní koecienty lze pomocíteorie podobnosti vypo£ítat z turbulentní viskozity (viz (3.39)), turbulentní kinetická energie se pak bu¤

14

také vypo£ítá, nebo se m·ºe povaºovat za nulovou [10].

Nejjednodu²²í je p°ístup algebraických model· (neboli 0-rovnicových), v nichº se hodnota turbulentníviskozity ur£uje z algebraického vztahu. Jako p°íklad lze uvést modely Stálé turbulentní viskozity(Uniform turbulent viscosity) a Model sm¥²ovací délky (Mixing-length model). První zmín¥ný se hodík popisu proud¥ní ve volných proudech, na jiné pouºití je p°íli² nep°esný. Druhý vychází z popisu chovánítekutiny p°i obtékání pevného t¥lesa. M·ºe být zobecn¥n i na jiné p°ípady, av²ak pouze s velmi omezenoup°esností. Model sm¥²ovací délky vyuºívá veli£inu sm¥²ovací délky lm, která vychází z teorie mezní vrstvy(viz sekce 3.6).

Jednorovnicové modely jsou náro£n¥j²í, av²ak p°esn¥j²í. Turbulentní viskozitu, turbulentní kinet-ickou energii a p°ípadn¥ dal²í pot°ebné koecienty ur£ují tyto modely pomocí vybrané prom¥nné φ, která je°e²ením n¥jaké nové transportní rovnice (krom¥ uº pouºitých zákon· zachování). Spalart-Allmaras·vmodel pro aerodynamické aplikace °e²í transportní rovnici pro vírovou viskozitu, pomocí níº se pakdopo£ítává turbulentní viskozita, turbulentní kinetická energie se zanedbává [24]. Dal²ím p°ístupem jemodel turbulentní kinetické energie, který pouºívá transportní rovnici pro turbulentní kinetickouenergii k, nap°íklad

∂ρk

∂t+

∂

∂xj(ρvj k) =

∂

∂xj

[(η +

ηTPrT

)∂k

∂xj

]+ τFij sij − ρε [10]. (3.49)

Zde τFij je Reynoldsovo nap¥tí p°i Favreho rozkladu. K uzav°ení modelu je t°eba vyjád°it turbulentníviskozitu a v²echny zbývající neznámé, nap°íklad:

ηT = ρck12 lm , ε =

CDlm

k32 [61]. (3.50)

Nejb¥ºn¥j²í jsou dvourovnicové modely. Ty vyjad°ují p°ebyte£né prom¥nné v závislosti na dvouprom¥nných, které se op¥t dopo£ítávají z obecných transportních rovnic. Nejpouºívan¥j²í t°ídou jsou k − εmodely, ve kterých se z transportních rovnic vypo£ítává turbulentní kinetická energie k a rychlost disipaceenergie díky t°ení vazkých sil ε. Z nich se potom spo£ítá turbulentní viskozita jako

ηT = Cηfηρk2

ε[10]. (3.51)

Konkrétní transportní rovnice mohou mít r·znou podobu. Transportní rovnice pro turbulentní kinetickouenergii k je v¥t²inou tém¥° identická s (3.49). Transportní rovnici pro ε lze nalézt v [68], [10] nebo [61].Zm¥nou rozm¥ru prom¥nné ε lze odvodit dal²í modely. Nap°íklad k − ω model pro nebo k − l modelpro

ω =ε

k, l =

k32

ε[61]. (3.52)

Jak uº bylo napsáno, modely RANS druhého °ádu nep°edpokládají turbulentní viskozitu. Modely ARS(Algebraic Reynolds-Stress - algebraická Reynoldsova nap¥tí) jsou velmi podobné k − ε model·m. Stejn¥jako ony °e²í transportní rovnice pro turbulentní kinetickou energii k a rychlost turbulentní disipace energie

15

ε. Li²í se zp·sob, kterým se z t¥chto hodnot získávají Reynoldsova nap¥tí

τFij = ρv′′i v′′j = k

(2

3δij +

∑k=1

βkTk,ij(Sij ,Ωij)

)

Sij = τ ′sij , Ωij =τ ′

2

(∂vi∂xj− ∂vj∂xi

), τ ′ ∝ k

ε[57].

(3.53)

Zde tenzorové funkce Tk,ij(Sij ,Ωij) jsou jednoduché polynomy, pro ilustraci jsou na Obr. 3.4 n¥které uve-deny.

Obrázek 3.4: N¥kolik prvních £len· posloupnosti tenzorových funkcí Tk,ij(Sij ,Ωij).[61]

Mezi metody RANS druhého °ádu pat°í také model RST (Reynolds-Stress Transport models - modeltransportu Reynoldsových nap¥tí). Ten °e²í 6 transportních rovnic p°ímo pro jednotlivá Reynoldsova nap¥tí.K tomu pak £asto je²t¥ p°istupuje transportní rovnice pro rychlost turbulentní disipace energie ε, kterávystupuje v transportních rovnicích pro Reynoldsova nap¥tí [68]. Turbulentní kinetickou energii lze ur£itjako sou£et t°í diagonálních Reynoldsových nap¥tí. V transportních rovnicích pro Reynoldsova nap¥tí seobjeví nové neznámé, jde nap°íklad o v′′i v

′′j v′′k . Tyto je zapot°ebí op¥t modelovat (na základ¥ empirických

znalostí), podobn¥ jako se v modelech prvního °ádu modelovala samotná Reynoldsova nap¥tí.

Zcela jiný je stochastický p°ístup. P°i PDF (Probability density function method - Metoda hustotypravd¥podobnosti) se provádí st°edování podle (3.30). Kaºdému bodu v uvaºovaném prostoru a kaºdému£asu je p°i°azena jistá hustota pravd¥podobnosti odpovídající rychlosti £ástice. Tento p°ístup tedy povaºujehodnotu rychlostního pole v daném bod¥ a £ase za náhodnou veli£inu. Následn¥ se z Navier-Stokesovýchrovnic odvozují odpovídající transportní rovnice. Výhodou metody je absence problém· s uzavíráním sous-tavy, které se musí °e²it u RANS.[61]

3.6 Mezní vrstva

Po£áte£ní nerovnost rychlostí vedoucí ke vzniku turbulence je £asto zp·sobena p°ítomností obtékanéhot¥lesa. Na okraji t¥lesa totiº podle (3.17) musí být nulová rychlost, coº vytvá°í pat°i£ný rychlostní gradient.Vznik turbulence se popisujemezní vrstvou, ve které dochází nejd°íve ke zpomalování proudu v laminárnívrstv¥, zde se zachovává laminární proud¥ní. Vyvíjí se turbulentní mezní vrstva a laminární vrstva sezmen²uje. V pr·b¥hu dochází k vytvo°ení p°echodové vrstvy.[35] Celý fenomén mezní vrstvy se dá

16

Obrázek 3.5: Vývoj mezní vrstvy na desce. P°evzato z [12] a upraveno.

popsat °e²ením Navier-Stokesových rovnic, zvlá²t¥ poslední dobou s vývojem superpo£íta£· je moºné jevyv povrchové vrstv¥ velmi p°esn¥ p°edpovídat pomocí DNS [68]. V rámci CFD se v¥t²inou fenomén p°echoduzanedbává a proud¥ní se povaºuje po celou dobu bu¤ za laminární nebo za turbulentní [68].

Ve v¥t²í vzdálenosti od st¥ny je pole rychlosti volného proudu ~v0(x) = (v0x, v

0y , v

0z). Sm¥r sou°adnice x

se volí tak, aby v0z = 0 [61]. Z Bernoulliho rovnice [35] lze pro velikost vektoru v0 =

∣∣~v0∣∣ a tlak volného

proudu p0 odvodit

−dp0

dxω = ρv0 dv0

dx[61]. (3.54)

Tlou²´ka mezní vrstvy δ(x) je taková, ºe rychlost ˜vx(x, δ(x)) je z 99 % rovna rychlosti volného prouduv0x(x). Kaºdému bodu x se p°i°azují Reynoldsova £ísla

Rex(x) =v0(x)x

ν, Reδ(x) =

v0(x)δ

ν[61]. (3.55)

Bod p°echodu od laminární k turbulentní mezí vrstv¥ nastává p°i Rex ≈ 4 ·105 (odhad, který se m·ºe velmili²it p°ípad od p°ípadu) [35]. Tlou²´ku laminární mezní vrstvy ur£il Blasius jako δ(x) = 4, 96xRe−0,5

x .

K popisu jev· se pouºívají upravené zákony zachování [61], kde vystupuje celkové smykové nap¥tí

τC = ρν∂vx∂y− ρv′xv′y , τw = τ(y = 0) [61]. (3.56)

Podle [61] je v′xv′y ∝ y3, smykové nap¥tí st¥ny τw lze proto psát

τw = η∂vx∂y

∣∣∣∣(y=0)

[26] . (3.57)

Proud¥ní v bezprost°ední blízkosti st¥ny by nem¥lo být závislé na volném proud¥ní, proto se p°edpokládávx = vx(y, ρ, η, τw). Z rozm¥rové analýzy lze vztah p°evést na

vxuτ

= f

(ρuτy

η

), uτ =

√τwρ

[68]. (3.58)

Tento vztah se nazývá zákon st¥ny a poskytuje denici bezrozm¥rných veli£in v+x a y+:

v+x =

vxuτ

, y+ =ρuτy

η[68]. (3.59)

17

Ve velké (y < 0, 2δ [68]) vzdálenosti od st¥ny se obdobn¥ p°edpokládá vx = vx(y, ρ, δ, τw). Z rozm¥rovéanalýzy se získá zákon poruchy rychlosti

v+x,max − v+

x =vx,max − vx

uτ= g

(yδ

)[68]. (3.60)

V laminární vrstv¥ a v laminární mezní podvrstv¥ na hladké st¥n¥ (tedy pro y+ < 5) má funkcef(y+) ze zákona st¥ny hodnotu zhruba f(y+) ≈ y+ [68][61]. Oblast pro 30 < y+ < 500 se nazývá oblastílogaritmického zákona, který na ní platí

v+x =

1

κwln y+ +B =

1

κwln(EBy

+) ,

κw = 0, 4 , B = 5, 5 , EB = 9, 8 [68].

(3.61)

V této oblasti lze vyuºít sm¥²ovací délky lm, která vychází z hypotézy sm¥²ovací délky:

νT = l2m

∣∣∣∣∂vx∂y∣∣∣∣ [68]. (3.62)

Práv¥ tato hypotéza se pouºívá k modelování Reynoldsova nap¥tí v algebraickém modelu RANS Sm¥²ovacídélky (viz sekce 3.5). P°i výpo£tech v mezní vrstv¥ je t°eba tuto délku nejd°ív p°evést na bezrozm¥rnouveli£inu l+m = lm

uτν . Obecn¥ lze pomocí zákona st¥ny vy°e²it zákony zachování:

v+x =

∫ y+

0

2dy′

1 +[1 + 4l+m(y′)2

] 12

[61]. (3.63)

Oblasti logaritmického zákona odpovídá l+m(y+) = κ0y+. ist¥ empirický postup van Driesta spo£íval v

úprav¥ tohoto vztahu na

l+m(y) = κ0y+

[1− exp

(− y

+

A+

)], A+ = 26 [61]. (3.64)

Experimentální data ukazují, ºe logaritmický zákon lze pouºít i pro y < 0, 2δ [68], oblast dále od st¥ny senazývá poruchovou vrstvou [61], k funkci ur£ené z logaritmického zákona je zapot°ebí p°i£íst úplavovoufunkci spo£tenou podle zákona poruchy rychlosti:

g(yδ

)= 2sin2

(yπ2δ

)[61]. (3.65)

K popisu poblíº st¥ny lze také pouºít mocninový zákon

v+x = C

(y+)α(Re)

[61]. (3.66)

Z hlediska modelování CFD existuje více p°ístup· k °e²ení proud¥ní v mezních vrstvách. V metod¥ RANSse £asto vyuºívá modelová transportní rovnice pro turbulentní kinetickou energii k a dal²í veli£iny popisujícíturbulenci. Tyto rovnice v²ak p°esn¥ neodpovídají exaktním transportním rovnicím (nap°íklad v blízkostipovrch· t¥les). K napravení této chyby lze pouºít dvouvrstvý model (2VR), který odd¥luje od prostorumalou vrstvu kolem pevných povrch·. Tlou²´ka vrstvy se ur£uje stejná jako tlou²´ka mezní vrstvy (kteráse odhaduje) [16] nebo pomocí Reynoldsova £ísla Rey = y

√k/ν < 200 [68] (pro jednorovnicový k model).

Mimo tuto vrstvu probíhá výpo£et klasickým RANS modelem, ve vrstv¥ jsou pak n¥které odli²nosti. Body

18

nejblíºe povrchu se umis´ují tak, aby vzdálenost od povrchu byla y+ < 1, vzdálenost mezi jednotlivýmibody ve sm¥ru normály ke st¥n¥ se £asto klade y+ ≈ 1÷3. Vzdálenost mezi body ve sm¥ru toku proudu a vesm¥rech rovnob¥ºných s povrchem bývá zpravidla v¥t²í. V této vrstv¥ se pak k výpo£tu pouºívá nap°íkladmodel sm¥²ovací délky, v tom se p°edpokládá turbulentní viskozita, která se po£ítá podle (3.62). Sm¥²ovacídélka se po£ítá podle (3.64) v oblasti logaritmického zákona y < 0, 22 δ, mimo ni se pouºije lm = 0, 09 δ [68].Ve vrstv¥ lze také pouºít jednorovnicový k model. Transportní rovnice se °e²í pro turbulentní kinetickouenergii k, z toho se po£ítá turbulentní viskozita nap°íklad jako ηt,v = C0,25

η ρlm√k. Tato viskozita se spolu

s turbulentní viskozitou vypo£ítanou mimo povrchovou vrstvu kombinuje pomocí p°ekrývací funkce Fη (tamá zajistit dostate£n¥ hladký p°echod) nap°. jako

ηt = Fηηt,t + (1− Fη)ηt,v [68]. (3.67)

Druhý p°ístup aplikovaný u RANS jsou modely Velkých Reynoldsových £ísel (FS - funkce st¥ny),ty nevyuºívají zjemn¥ní sít¥ poblíº povrch·. Místo toho p°edpokládají, ºe proud¥ní se chová stejn¥ jakopln¥ vyvinutá mezní vrstva. Na ur£ité oblasti u st¥ny se pak nahrazuje pole hlavního sm¥ru (v rovin¥ te£nék povrchu) rychlosti vx teoreticky odvozenými vztahy jako van Driest·v modikovaný logaritmický zákon.Z t¥chto hodnot se pak dopo£ítává turbulentní kinetická energie k a rychlost disipace energie ε (p°ípadn¥jiné veli£iny popisující turbulentní proud¥ní). Zbývající prom¥nné (tedy nap°íklad ostatní sloºky rychlosti)se ur£ují jiº b¥ºn¥ z °e²ení zákon· zachování. Jde tedy o jakýsi p°esun hrani£ních podmínek pro n¥kteréprom¥nné, které b¥ºn¥ poblíº povrchu vykazují velké zm¥ny. Aplikace b¥ºných okrajových podmínek byproto p°i b¥ºných vzdálenostech mezi body sít¥ vnesla do °e²ení velkou nep°esnost.[52]

Hojn¥ uºívané jsou také modely Malých Reynoldsových £ísel (MR). Ze srovnání exaktních a mode-lových rovnic pro turbulentní kinetickou energii k (p°ípadn¥ disipaci ε) vyplývá nesrovnalost °ádu konver-gence p°i y → 0+ [52]. Tato nesrovnalost se napravuje úpravou transportní rovnice pro k pomocí tlumícífunkce fη, která se projevuje pouze v oblasti vazké podvrstvy, tedy y+ < 50. Místo tlumící funkce fη lzepouºít modikovanou veli£inu disipace ε. Rozli²ení sít¥ musí být v blízkosti st¥ny ve sm¥ru normály st¥nyzhruba y+ ≈ 1. Problém nastává u okrajových podmínek pro transportní rovnici popisující disipaci. Jedenze zp·sob·, jak tento problém °e²it, je Chienova aproximace. Ta v bezprost°ední blízkosti st¥ny klade

ε = 2νk

y2[52]. (3.68)

Tedy podobn¥ jako metody velkých Reynoldsových £ísel p°esouvá n¥které okrajové podmínky z okrajehloub¥ji do proudu.

Co se p°esnosti týká, modely malých Reynoldsových £ísel i dvouvrstvý model jsou výhodn¥j²í. Oprotitomu v²ak jejich pot°eba sít¥ s velmi jemným rozli²ením u st¥n klade velké nároky jak na generování sít¥, takna samotný výpo£et. V p°ípad¥ vnit°ních proud¥ní hraje v¥t²í roli tlak, který má na proud¥ní v¥t²í vliv neºefekt povrchové vrstvy. Model velkých Reynoldsových £ísel je proto p°i vnit°ním proud¥ní vhodn¥j²í neº p°ivn¥j²ím proud¥ní. Krom¥ jemné sít¥ mají dvouvrstvý model a model malých Reynoldsových £ísel spole£noutaké korekci na neexaktnost transportních rovnic pro k a ε (pro model velkých Reynoldsových £ísel se tytotransportní rovnice v blízkosti st¥ny v·bec ne°e²í). Problémy u st¥ny p°iná²í p°edev²ím transportní rovnicepro disipaci ε, kde vstupují £leny s °ádem ε2/k. Je-li k → 0+ (jako u st¥ny), je zapot°ebí zajistit, aby se iε blíºilo k nule, a to správnou rychlostí. Toto je jeden z d·vod· nepouºitelnosti klasického k − ε modelu vblízkosti st¥ny (bez vhodných úprav). Je vhodné poznamenat, ºe v k−ω modelu p°i odvozování transportnírovnice pro ω tento výraz zmizí; proto lze k−ω model pouºít bez úprav na celém prostoru (p°i dostate£némrozli²ení sít¥).[52]

19

D·leºitý je p°ístup k povrchovým jev·m také u model· LES. V blízkosti st¥ny se zna£n¥ sniºujeReynoldsovo £íslo, tedy i hranice lEI mezi malými a velkými víry (viz sekce 3.4). Tato hodnota díkypoºadavku ∆ < lEI ovliv¬uje velikost ltrovací oblasti pro LES a tímpádem i rozm¥r· sít¥. St¥na protopro LES p°edstavuje velké zvý²ení náro£nosti výpo£tu, k tomu se p°istupuje více zp·soby [61]. LES-NWR(Large-eddy simulation with near-wall resolution - Simulace velkých vír· s rozli²ením u st¥n) zmen²ujerozm¥ry sít¥ a poctiv¥ popisuje celý prostor, díky tomu je po£et uzl· v síti ≈ Re1,8 [39]. Naopak u LES-NWM (Large-eddy simulation with near-wall modelling - Simulace velkých vír· s modelováním u st¥n)se od tohoto poºadavku upou²tí a v blízkosti st¥n se p°echází od p°ímého popisu velké £ásti energie kpouºití jednoduchého modelu podobn¥ jako u RANS, po£et uzl· v síti pak bude ≈ Re0,4. Pro vysokáReynoldsova £ísla (106 < Re < 109) bude po£et bod· v síti pro LES-NWR ≈ Re

137 , pro LES-NWM ≈ Re a

pro DNS ≈ Re3714 [39] (tato £ísla hodn¥ závisí na konkrétní podob¥ volby sít¥, nap°íklad na zp·sobu volby

vzdáleností mezi body ve sm¥ru te£ném k povrchu). Krom¥ t¥chto metod se £asto pouºívají i r·zné modi-kované metody, které spojují více koncepcí dohromady, mezi ty pat°í i DES (Detached-Eddy Simulation- Simulace odd¥lených vír·). Tato pouºívá k výpo£tu n¥který z LES model·, ale v blízkosti st¥n p°echázík model·m RANS. Seznam n¥kolika takových model· je moºné najít v [40].

Byla p°edstavena podstata fyzikálního modelu proud¥ní tekutin, který je zaloºen na Navier-Stokesovýchrovnicích. Tyto rovnice v¥t²inou nelze °e²it analyticky a jejich nelinearita je p°í£inou uktuací °e²ení, kterése nazývají turbulence. Ty se nej£ast¥ji °e²í pomocí metody RANS, která po£ítá zvlá²´ st°ední hodnotyveli£in a jejich uktuace. P°esn¥j²í, av²ak náro£n¥j²í je metoda LES, která se pro svoji náro£nost mocneuºívá. Nejp°esn¥j²í a taky nejnáro£n¥j²í je metoda DNS. Ta se pro svoji náro£nost moc nepouºívá p°ímok °e²ení konkrétních tok·. Velké uplatn¥ní v²ak nachází p°i vývoji a kalibraci mén¥ p°esných model· proRANS nebo LES. Zvlá²tní p°ístup je t°eba aplikovat v blízkosti obtékaných povrch·, kde dochází k vytvo°enípovrchové vrstvy.

20

4 Numerické °e²ení

4.1 Diskretizace deni£ního oboru - tvorba sít¥

Jak bylo uvedeno d°íve, vlastnosti analytického °e²ení Navier-Stokesových rovnic nejsou doposud známy.Tyto rovnice je proto nutné °e²it numericky. Pro °e²ení se pouºívají po£íta£e, které velmi rychle a efektivn¥zvládají jednoduché operace jako s£ítání, ode£ítání, násobení a d¥lení [65]. Proto: Základ v²ech numerickýchmetod spo£ívá v p°em¥n¥ matematického modelu v algebraický, lineární nebo nelineární systém rovnic proneznámé hodnoty vztaºené k síti. [36]

Tato p°em¥na se nazývá diskretizací a její pr·b¥h má velký vliv na celé numerické °e²ení. Diskretizaceprobíhá ve více krocích, první z nich je diskretizace deni£ního oboru, v p°ípad¥ CFD je jím v¥t²inou podm-noºina R3× [0,∞). Poté se p°ejde k diskretizaci matematického modelu (s vyuºitím jiº hotové diskretizacedeni£ního oboru) [36].

P°i diskretizaci deni£ního oboru se tém¥° vºdy diskretizuje £as i prostor zvlá²´ [10]. Diskretizace spo£íváve vytvo°ení sít¥ (anglicky mesh nebo grid), coº je mnoºina kone£ného po£tu bod· sít¥ (nebo také uzl·)z p·vodního deni£ního oboru (v¥t²inou jen jeho prostorové £ásti, tedy nadplochy t = konst.) [36]. Jinýpohled na sí´ m·ºe být jako na bu¬ky sít¥, malé podmnoºiny deni£ního oboru s nenulovým objemem,které neobsahují ºádný bod sít¥, jsou disjunktní a dohromady poskládají celý deni£ní obor.

Pro popis p°esnosti se denuje známá asymptotická sloºitost (známá také jako Bachmann-Landau·vsymbol) [43]. Ve zkratce a pro pot°eby této práce lze °íci, ºe asymptotická sloºitost O(g(h)) odpovídajícífunkci g(h) je t°ída v²ech funkcí f(h), pro které existují konstanty h0 a c tak, ºe

∀h ∈ (0, h0) |f(h)| ≤ c |g(h)| . (4.1)

P°i diskretizaci matematického modelu je d·leºité ur£it chybu diskretizace. Ta m·ºe záviset na vzdálenostinejbliº²ích bod· sít¥. Má-li asymptotická sloºitost tvar O(hα), nazývá se α °ádem numerické diskretizace[27]. Pro správnou diskretizaci modelu je nezbytné, aby se p°i nekone£ném zmen²ování vzdáleností mezibody sít¥ chyba nekone£n¥ zmen²ovala. Pro b¥ºné numerické úlohy se diskretizace provádí itera£n¥ aº dochvíle, kdy se výsledek výpo£tu m¥ní jen nepatrn¥ se zmen²ením vzdáleností mezi body sít¥. S men²ímivzdálenostmi v²ak roste po£et bod· sít¥ a tím i dimenze algebraické úlohy a délka jejího °e²ení. V p°í-pad¥ CFD se proto £asto volí pouze jedna diskretizace, která uº musí mít sama od sebe dostate£n¥ malévzdálenosti mezi body sít¥ (hlavn¥ tam, kde je t°eba vysoká p°esnost °e²ení, nap°íklad okraje obtékanýcht¥les).

Pouºívají se dva základní typy sítí:

• U strukturované sít¥ lze kaºdý bod ur£it pomocí sady index· i, j a k, bu¬ky sít¥ jsou ²estist¥ny [10](nemusí v²ak jít o klasické ²estist¥ny; st¥ny nemusí být tvo°eny £ástí roviny, ale t°eba i zak°ivenouvarietou). Z existence index· plyne existence t°í sad k°ivek (nap°. i, j = 0), takových, ºe jednotlivébody sít¥ leºí na pr·se£nicích k°ivek ze v²ech t°í r·zných sad.[36]

21

• Nestrukturovaným sítím tato identikace bod· chybí. Protoºe body nejsou nijak rozt°íd¥ny, jezapot°ebí £íslovat je jednotliv¥ (tedy kaºdý zvlá²´). Bu¬ky sít¥ jsou t°eba £ty°st¥ny (kde podobn¥ jakou strukturovaných sítí nemusí jít o klasický £ty°st¥n). Bu¬ky je také nutné £íslovat samostatn¥.[10]

Výhodou strukturovaných sítí je práv¥ jejich indexace, díky té je práce se sítí velmi jednoduchá. Najednotlivé body sít¥, p°ípadn¥ bu¬ky, lze odkazovat jednodu²e pomocí index·. Po£tem index· lze také dob°ekontrolovat po£et bod· a díky tomu i hustotu jejich rozloºení [27]. Nejv¥t²í problém nastává p°i generovánístrukturované sít¥, která by odpovídala sloºit¥j²í geometrii. Generování sít¥ se m·ºe stát extrémn¥ náro£nýma vytvo°ená sí´ nemusí být dokonalá.

Jedním ze zp·sob·, jak sníºit obtíºnost, je víceblokový p°ístup, který spo£ívá v rozd¥lení deni£níhooboru na více blok·, které jsou zvlá²´ pokryty strukturovanými sít¥mi. Pro jednotlivé bloky lze volit r·znouhustotu sít¥ a díky jejich odd¥lení lze také lépe vyuºít paralelní výpo£et [10].

Dal²í metodou je technika Chiméra (Chimera technique). Do jednoduché sít¥ pokrývající celý prostorse vkládají malé sít¥, které mají lépe popsat lokální d¥je (nap°íklad obtékání lopatky). Od víceblokovéhop°ístupu se tato metoda li²í tím, ºe nedochází ke spojení jednotlivých sítí. Proud¥ní se po£ítá na kaºdé sítizvlá²´ a jednotlivé sít¥ se navzájem ovliv¬ují aplikací okrajových podmínek na p°ekryvové oblasti (v¥t²inouoblast na okraji malých sítí, kde je dostate£ná hustota bod· obou sítí). Okrajové podmínky pro jednu sí´se získávají interpolací výsledk· spo£tených pro druhou sí´. V hlavní síti se £asto vytvá°í díry v míst¥, kdejsou malé sít¥ (musí se v²ak zachovat p°ekryvová oblast). Body v t¥chto dírách se z hlavní sít¥ vypou²t¥jí.Tato metoda nemá vliv pouze na zp·sob a podobu generované sít¥, ale velmi zt¥ºuje i samotný výpo£etníproces, proto je zapot°ebí zváºit, zda je k poºadované p°esnosti její pouºití nutné [42]. Velkou výhodou tétometody je moºnost pohybu jedné sít¥ v·£i druhé, proto se tato metoda hodí nap°íklad na výpo£et proud¥nív turbínách, kde se p°esn¥j²í sí´ spojí s lopatkami, které jsou v·£i celé geometrii v pohybu [1].

Existují je²t¥ dal²í metody zp°esn¥ní zp·sobu nalezení sít¥ (nap°. Gnoova metoda, kde se velikostbun¥k sít¥ upravuje v závislosti na vypo£ítaných rychlostních gradientech [32]), u t¥ch se v²ak podle [42]zhor²uje konvergen£ní rychlost jednotlivých °e²ení.

Hlavní výhoda nestrukturovaných sítí spo£ívá v tom, ºe se vytvá°ejí jednodu²eji a rychleji neº struk-turované. Nevýhodou je obtíºné ozna£ení bod· a bun¥k (£i st¥n). Zatímco u strukturovaných sítí se dalojednodu²e vyuºívat index·, zde je zapot°ebí vytvo°it a pracovat se speciální datovou strukturou, která budepopisovat, kde se který bod/bu¬ka nachází, se kterými body/bu¬kami sousedí atd.[27] Toto p°iná²í velkénároky na pam¥´ oproti strukturované síti. Ur£ité nároky vznikají i na rychlost výpo£tu, ukazuje se v²ak,ºe jsou více neº dostate£n¥ nahrazeny zjednodu²ením generování sít¥ - generování nestrukturované sít¥ jemnohem rychlej²í a jednodu²²í [10].

Krom¥ problému s pam¥tí se také ukazuje, ºe k modelování jev· blízko obtékaných povrch· je lep²ívyuºívat bun¥k tvaru ²estist¥n· nebo hranol· [10]. To vede k vyuºívání sm¥si strukturovaných a nestruk-turovaných sítí, takzvaných hybridních sítí (pouºívá se i ozna£ení smí²ené sít¥). Podle [27] dnes v¥t²inakomer£ních výpo£etních program· CFD umoº¬uje pouºití hybridních sítí.

Diskretizuje-li se £as zvlá²´, potom jde o diskretizaci v 1D, kde sta£í ur£it vzdálenosti jednotlivýchbod·. Ta se ur£uje podle délky £asového rozm¥ru, který je t°eba pokrýt, a poºadované p°esnosti. Zvlá²tníp°ípad nastává u stacionárních tok·, zde se p°edpokládá, ºe výsledek nebude £asov¥ závislý a ze v²echrovnic tak odpadají £asové parciální derivace. e²í se tedy pouze prostorov¥ závislý model. ast¥ji se v²ak

22

pouºívá metoda £asového postupu (time stepping / time marching). Model se uvaºuje £asov¥ závislýa p°edpokládá se, ºe nep°íli² p°esn¥ zvolený po£áte£ní tok se v £ase vyvine ve stálý nem¥nný tok, kterýodpovídá skute£nému stálému toku. Výhodou tohoto p°ístupu je rychlej²í konvergence a jednodu²²í výpo£et[10]. Touto metodou se také lze vyhnout problém·m s p°echodem mezi nadzvukovou a podzvukovou rychlostí[36].

Je nezbytné si uv¥domit, ºe z pohledu dostate£n¥ malých vzdáleností jsou v²echna turbulentní proud¥nínestálá a stacionární tok je výjimkou, ne pravidlem. Nicmén¥ v praxi se výpo£ty nezam¥°ují vºdy nanejmen²í rozm¥ry, proto se mnoho tok· zdá být stacionárními.[36]

4.2 FDM

Tato metoda je nejstar²í metodou pro °e²ení diferenciálních rovnic. Aplikoval ji uº Euler v roce 1768 [36].Základní princip vychází z Taylorova rozvoje, pomocí kterého se aproximují diferenciální výrazy v rovnicích.V 1D lze derivaci zapsat pomocí denice nebo pomocí Taylorova rozvoje a Bachmann-Landauova symbolujako

dv

dx= lim

∆x→0

v(x+ ∆x)− v(x)

∆x=v(x+ ∆x)− v(x)

∆x+O(∆x) .[10] (4.2)

Z tohoto vztahu lze vid¥t, ºe derivaci lze pro malé ∆x aproximovat kone£nou diferencí (byla odebránanekone£ná limita [36]), z toho vyplývá název Metoda kone£ných diferencí (Finite Dierence Method -FDM).

Výhodou této metody je její jednoduchost a docela dobrá moºnost nastavení °ádu diskretizace, kterábude následn¥ demonstrována. Nevýhodou je nemoºnost pouºití na nestrukturované sít¥ a nutnost trans-formace pouºité strukturované sít¥ do ortogonální podoby.[10]

Pro ilustraci bude pouºit jednorozm¥rný problém s ekvidistan£n¥ rozmíst¥nými body sít¥ (se vzájemnouvzdáleností sousedních bod· ∆x). Spodní index i zna£í, ºe se jedná o hodnotu v i-tém bod¥ sít¥. Za pouºitíTaylorova rozvoje lze získat dop°ednou diferenci prvního °ádu, která aproximuje derivaci(

dv

dx

)i

=vi+1 − vi

∆x− ∆x

2

(d2v

dx2

)i

− ∆x2

6

(d3v

dx3

)i

+ ... =vi+1 − vi

∆x+O(∆x) . (4.3)

Podobn¥ lze získat zp¥tnou diferenci prvního °ádu(dv

dx

)i

=vi − vi−1

∆x+

∆x

2

(d2v

dx2

)i

− ∆x2

6

(d3v

dx3

)i

+ ... =vi − vi−1

∆x+O(∆x) . (4.4)

Ob¥ tyto diference jsou jednostranné (pouºívají pouze hodnoty na jedné stran¥ od bodu i). Se£tenímobou výraz· se lze zbavit £lenu závislého na ∆x a zlep²it tak °ád diskretizace(

dv

dx

)i

=vi+1 − vi−1

2∆x− ∆x2

6

(d3v

dx3

)i

+ ... =vi+1 − vi−1

2∆x+O(∆x2) . (4.5)

Tato diference se nazývá centrální diferencí druhého °ádu a je oboustrannou diferencí. Pomocí podob-ných algebraických postup· lze získat jednostrannou £i oboustrannou diferenci libovolného °ádu. S rostoucím°ádem roste p°esnost aproximace, ale také její sloºitost. Je pot°eba najít rovnováhu mezi zlep²ováním °ádu

23

aproximace a zv¥t²ováním po£tu bod· v m°íºi (ob¥ akce zv¥t²ují p°esnost aproximace a zárove¬ náro£nostvýpo£tu).[36]

Podobn¥ se postupuje pro druhou derivaci, kterou lze aproximovat aplikací dop°edné diference na zp¥t-nou (

d2v

dx2

)i

≈(

dvdx

)i+1−(

dvdx

)i

∆x≈ vi+1 − 2vi + vi−1

∆x2(d2v

dx2

)i

=vi+1 − 2vi + vi−1

∆x2+

∆x2

12

(d4v

dx4

)i

=vi+1 − 2vi + vi−1

∆x2+O(∆x2) .

(4.6)

P°i p°echodu do více dimenzí lze pouºít tytéº aproximace. Krom¥ nich lze pouºít také mnoho dal²ích,n¥které moºnosti jsou uvedeny a rozebrány v [36]. Základní princip spo£ívá vºdy v kombinaci n¥kolikaTaylorových rozvoj· se st°edem v bod¥, kde se má aproximovat. Kombinuje se tak, aby se neºádoucí £leny(niº²í derivace, je-li pot°eba aproximovat vy²²í derivace; £leny zp·sobující nep°esnost atd.) vyru²ily.

Nejv¥t²í problémy s FDM nastávají p°i aplikaci na sloºité geometrie [36]. Ve výpo£etních programech setato metoda moc nepouºívá, protoºe oproti jiným metodám konverguje velmi pomalu [58]. Výjimkou tvo°íDNS a n¥které LES modely nebo nap°íklad modelování proud¥ní s nadzvukovou rychlostí [58].

4.3 FVM

Druhý p°ístup °e²í zákony zachování v integrálním tvaru, tedy rovnice (3.6) pro velké mnoºství objem·. Ztoho vyplývá název Metoda kone£ných objem· (Finite Volume Method - FVM). Pro kontrolní objemybude pouºita indexace velkými indexy I, J , K (nebo jenom I v p°ípad¥ nestrukturovaných sítí), zatímcopro uzly sít¥ bude zachována indexace i, j, k (nebo i pro nestrukturované sít¥). Kontrolní objemy lze volitlibovoln¥, av²ak je t°eba dodrºet dv¥ zásady:

• Sjednocení v²ech °ídících objem· musí pokrýt celý prostor.[36][10]

• V²echny hranice objem· jsou hranicemi sudého po£tu objem·, z kterých je na kaºdé stran¥ hranicepráv¥ polovina.[36]

První poºadavek vychází ze snahy popsat proud¥ní v celém prostoru, druhý potom z poºadavku konzerva-tivnosti metody (termín je rozebrán níºe). Rovnice (3.6) pro kaºdý objem VI se p°evede na tvar

d

dt

∫VI

φdV +

∮σ(VI)

~Fd~S =

∫VI

QφdV . (4.7)

Veli£ina ~F se nazývá numerický tok. Jak napovídá název, veli£ina má význam p°edev²ím z hlediskanumerického. Pokud se se£tou rovnice pro více objem·, které spolu sousedí (a tvo°í dohromady objem V ),bude výsledek (za p°edpokladu, ºe se objemy nep°ekrývají)

d

dt

∫VφdV +

∑i

∮σ(VI)

~Fd~S =

∫VQφdV . (4.8)

24

Bylo by v²ak moºné napsat rovnici p°ímo pro spole£ný objem, a pak by místo sumy integrál· byl pouzejeden integrál p°es spole£ný objem. Je tedy zapot°ebí docílit toho, aby se hodnoty z integrál· p°es vnit°níhranice (které sjednocením objem· zmizí) navzájem vyru²ily, tedy konzervativnosti. Práv¥ kv·li tomutoje nutná druhá podmínka na volbu °ídících objem·. Tato podmínka v²ak není dosta£ující, je²t¥ je zapot°ebíklást podmínku na diskretizaci matematického modelu. Jak bude ukázáno dále, ve FVM se vý²e zmín¥néintegrály numerického toku p°es hranice °ídících objem· aproximují po £ástech stejn¥ jako plochy a normályt¥chto £ástí (s indexací (j) pro r·zné £ásti hranice). Tyto aproximace se musí op¥t vykrátit, takºe pro pevn¥zvolenou £ást hranice σ(j) musí být v²echny bu¬ky (pro které je σ(j) sou£ástí hranice) rozd¥leny do dvojic(nap°. I a I + 1) tak, aby

~F(j)I = ~F

(j)I+1 , ~S

(j)I = −~S(j)

I+1 .[36] (4.9)

Konzervativnost je p°edpokladem Lax-Wendroovy v¥ty:

Pokud konzervativní a konzistentní metoda konverguje pro ∆t a ∆x jdoucí k nule podle st°edu k n¥jakému°e²ení u, potom toto °e²ení je slabým °e²ením zákona zachování [54].

Konzistence se vztahuje ke zp·sobu aproximace numerického toku, ta musí být Lipschitzovská. Detailn¥je Lax-Wendroova v¥ta v£etn¥ fenomén· konzervativnosti a konzistence popsána v [54]. Pro pochopenípodstaty slabého °e²ení (weak solution) je t°eba znát základy zobecn¥ných funkcí neboli distribucí(viz nap°.[13]). Slabé °e²ení je pak °e²ením diferenciální rovnice aplikované na t°ídu zobecn¥ných funkcí.Konkrétn¥ v p°ípad¥ Navier-Stokesových rovnic je známo, ºe slabé °e²ení vºdy existuje, nebyla ov²emdoposud dokázána jeho jedine£nost [28].

Odvození FVM vychází ze zákona zachování v integrálním tvaru (4.7), kde se zavedou st°ední hodnotyveli£in:

VI =

∫VI

dV ~S(j)I =

∫σ(VI)(j)

d~S

φI =1

VI

∫VI

φdV QI =1

VI

∫VI

QφdV ~F(j)I~S

(j)I =

∫σ(VI)(j)

~Fd~S .

(4.10)

Díky tomu p°ejde rovnice (4.7) na

d

dt

(φIVI

)= −

∑j

~F(j)I~S

(j)I +QIVI . (4.11)

Podobn¥ se dá pouºít FVM i na diskretizaci £asové závislosti, kdyº se nejprve rovnice (4.11) zintegrujemezi dv¥ma body £asové diskretizace a poté se vyjád°í pr·m¥ry v²ech hodnot v £ase a s t¥mi se dále po£ítá[36]. U pravoúhlé kartézské sít¥ je moºné rovnici (4.11) vyd¥lit objemem bu¬ky a p°ejít tak k vyjád°enípomocí FDM [36].

St°ední hodnoty ~F(j)I a QI nejsou k dispozici, je tedy zapot°ebí je aproximovat pomocí konkrétních

hodnot φI . Krom¥ toho je t°eba vypo£ítat velikosti objem· VI . Hodnota ~S(j)I je také st°ední hodnotou

plochy na £ásti hranice s indexem (j). I kv·li tomuto se kontrolní objemy volí jako mnohost¥ny (hranicelze rozd¥lit na n¥kolik rovin), díky tomu není t°eba ~S(j)

i po£ítat jako st°ední hodnotu, je v²ak jasn¥ dánaorientace i velikost tohoto vektoru. Konkrétní zp·soby výpo£tu objem· a povrch· budou rozebrány pozd¥ji.

25

Podle zp·sobu volby kontrolních objem· a neznámých pro algebraický model se rozli²ují t°i p°ístupy:

• Metoda st°edu bu¬ky (cell-centred) volí kontrolní objemy totoºné s bu¬kami sít¥. Neznámé jsoust°ední hodnoty veli£in v bu¬ce, z t¥ch se také vypo£ítávají pr·m¥rné hodnoty toku a objemovýchzdroj·. Ob£as se neznámé povaºují za aproximaci hodnoty veli£in ve st°edu bu¬ky, striktn¥ vzato jdev²ak pouze o pr·m¥rné hodnoty v objemech.

• Metoda uzlu bu¬ky s p°ekrýváním (cell-vertex with overlapping) vytvá°í kolem kaºdého uzlu sít¥°ídící objem tak, ºe uzel z·stává ve st°edu objemu a na hranicích leºí dal²í uzly sít¥, v¥t²inou tvo°íp°ímo vrcholy objemu. Díky tomu bude docházet k p°ekrývání objem·. Neznámými jsou hodnotyveli£in v uzlech sít¥, které se povaºují za totoºné se st°edními hodnotami veli£in v objemech. Zneznámých se poté dopo£ítávají hodnoty toku a objemových zdroj·.

• Metoda uzlu bu¬ky s duálními °ídícími objemy (dual kontrol volume cell-vertex) má podobn¥jako p°edchozí za neznámé aproximace veli£in v uzlech sít¥, kolem kterých vytvá°í kontrolní objemy.Rozdíl je v tom, ºe objemy p°íslu²ející dv¥ma sousedním bod·m mají spole£né hranice.

P°i srovnávání p°esnosti r·zných diskretizací dosahují v²echny metody na Kartézských nebo dostate£n¥mírných sítích [10] (objemy vedlej²ích bun¥k se moc neli²í a úhly mezi hranami bun¥k nejsou moc malé)p°esnosti druhého nebo vy²²ího °ádu. U hodn¥ deformovaných sítí je p°esnost v¥t²inou lep²í pro metody uzlubu¬ky, a sice prvního °ádu. U metody st°edu bu¬ky se m·ºe dokonce stát, ºe p°esnost je jen nultého °ádu, coºvylu£uje pouºití této metody. Dále je t°eba kone£ný výsledek metody st°edu bu¬ky, tedy pr·m¥rné hodnotyv objemech, pouºít k aproximaci hodnot v n¥jakých bodech (nejlépe st°edech objem·); tato aproximace (jejíºobdoba je jiº sou£ástí metod uzlu bu¬ky) má obvykle p°esnost druhého °ádu [36]. Na okrajích deni£níhooboru je problém s metodou uzlu bu¬ky s duálními °ídícími objemy. Okrajové objemy jsou jenom polovi£ní,díky £emuº se p°íslu²ný bod sít¥ posouvá ze st°edu bu¬ky na její kraj. Díky tomu není p°i°azení pr·m¥rnéhodnoty veli£iny v bu¬ce bodu sít¥ moc p°esné (toto zle vy°e²it pouºitím tzv. fale²ných bun¥k, viz. sekce 4.6).Metoda uzlu bu¬ky s p°ekrytím zase pouºívá v¥t²í objemy, které se vzájemné více ovliv¬ují. U nespojitýchtok· proto dochází k ur£itému rozmazání nespojitosti [10].

Nyní bude rozebrána aproximace numerického toku. Aproximace objemového zdroje se provádí obdobn¥,ale nebude zde uvedena (objemové zdroje jsou v¥t²inou rozumn¥ se chovající funkce, které není t°eba p°íli²p°esn¥ ur£ovat; celková podoba °e²ení není na zm¥n¥ objemového zdroje závislá tolik jako na zm¥n¥ toku).Aproximace numerického toku se velmi li²í od pouºité metody, pro metodu st°edu bu¬ky na strukturovanésíti lze pouºít nap°íklad jednu z následujících moºností:

• Pr·m¥r tok· vychází z aproximace st°ední hodnoty toku v bu¬ce ~fI = ~fI(φI)a následné aproximace

toku na st¥n¥ pomocí st°edních hodnot toku v sousedních objemech:

~F(j)I =

~fI + ~fI+1

2. (4.12)

• Pr·m¥r prom¥nných jde cestou aproximace prom¥nné ve st°edu st¥ny φI+1/2 a výpo£tu p°íslu²e-

jícího toku ~F(j)I

(φI+1/2

). Zde platí

φI+1/2 =φI + φI+1

2. (4.13)

26

• Pr·m¥r bod· kombinuje ob¥ p°ede²lé metody a aproximuje nejd°ív hodnotu prom¥nné ve vrcholechobjemu, potom z nich spo£ítá hodnoty toku p°íslu²ející vrchol·m a nakonec pr·m¥ruje hodnotu tokuna st¥n¥ z tok· ve vrcholech st¥ny. P°i pouºití této metody se hodn¥ smazává rozdíl mezi metodoust°edu bu¬ky a metodou uzlu bu¬ky s duálními °ídícími objemy.

• Metoda proti-v¥tru (upwind) spo£ívá v aproximaci pouze z jednoho sm¥ru, a to z toho, z n¥hoº tokp°ichází, tedy nap°íklad

~F(j)I = ~F

(j)I

(φI)

nebo ~F(j)I = ~F

(j)I

(φI+1

). (4.14)

Díky tomuto se sniºuje po£et prom¥nných, coº urychluje výpo£et. Je mnoho druh· t¥chto metod,n¥které z nich jsou podrobn¥ji popsány v [10], za v²echny lze uvést nap°. Van Leerova schémataMUSCL (Monotone Upstream-Centred Schemes for Conservation Laws - Monotónní schémata proti-proudu pro zákony zachování), Liouovu metodu AUSM (Advection Upstream Splitting Method -Advek£ní metoda rozd¥lovací proti-proudu) a Jamesonovo schéma CUSP (Convective Upwind SplitPreassure - Konvek£ní tlak rozd¥lovací proti-v¥tru).

Tyto metody byly popsány pouze pro metodu st°edu bu¬ky, ale pro metody uzlu bu¬ky nebude popistolik odli²ný [36]. Podle [10] se metody pr·m¥ru tok· a proti-v¥tru pouºívají pouze pro konvektivní toky(tedy ne t°eba pro viskózní toky).

Je tedy ur£eno, na kterých hodnotách φI je závislá konkrétní hodnota ~F(j)I . Je t°eba je²t¥ ur£it p°esnou

podobu funkce ~fI = ~fI(φI), ~F (j)

I = ~F(j)I

(φI)nebo jiné. Tyto funkce by m¥ly p°esn¥ odpovídat exaktnímu

vyjád°ení funkce ~F p°ed diskretizací, to v²ak mohla být funkce ~F závislá i na derivacích φ (nap°íklad vazkýodpor v zákon¥ zachování hybnosti, tedy na Navier-Stokesových rovnicích). Je proto pot°eba aproximovatderivace pomocí hodnot φI .

Podle Gaussovy divergen£ní v¥ty je∮σ(V )

(φ, 0, 0)d~S =

∫V

∂φ

∂xdV . (4.15)

Pomocí tohoto lze denovat st°ední hodnotu derivace(∂φ

∂x

)I

=1

VI

∮σ(VI)

φ(1, 0, 0)d~S =1

VI

∮σ(VI)

φdx [36]. (4.16)

Poslední integrál se rozloºí na integrály p°es jednotlivé st¥ny a dále se tok aproximuje pomocí st°edníhodnoty φ na st¥n¥. Ta se získává nap°. jako pr·m¥r st°edních hodnot φI v sousedních bu¬kách[10].

Poslední, co zbývá vyjád°it, jsou objemy a obsahy st¥n °ídících objem·. Zde je d·leºité up°esnit, zdase jedná o strukturovanou nebo nestrukturovanou sí´. U strukturované sít¥ se pracuje se ²estist¥ny, jejichºst¥ny jsou tvo°eny £ty°úhelníky. M·ºe nastat p°ípad, ºe v²echny £ty°i vrcholy st¥ny nebudou leºet v jednérovin¥, podle [10] v²ak tento p°ípad není t°eba uvaºovat pro diskretizace do druhého °ádu a lze p°edpokládat,ºe body v rovin¥ leºí. K výpo£tu obsahu £ty°úhelníku v£etn¥ sm¥ru normály se potom vyuºije vektorovýsou£in. Pro rozloºení bod· jako je na Obr. 4.1 platí, ºe obsah první st¥ny ~S1 = S1~n1 lze spo£ítat jako

~S1 =1

2(~r1 − ~r8)× (~r4 − ~r5) [10], (4.17)

27

Obrázek 4.1: Objem pouºívaný p°i FVM objemu.[10]

zde ~ri zna£í polohový vektor i-tého uzlu.

Pro výpo£et objem· lze volit podobné metody, av²ak velmi £asto se pouºívá aproximace, která vycházíz Gaussovy divergen£ní v¥ty. Díky té platí

3VI =

∫VI

div~rdV =

∮σ(VI)

~rd~S =6∑j=1

~rj ~Sj , (4.18)

zde ~rj je st°ední hodnota polohy na j-té st¥n¥. Ta se aproximuje nap°íklad pr·m¥rem polohy vrchol· st¥ny[36][10].

U nestrukturované sít¥ je jediný rozdíl v tom, ºe plochy objem· jsou trojúhelníkové. Obsah p°íslu²ejícítrojúhelníku s vrcholy 1, 2 a 3 se v£etn¥ normály spo£ítá podobn¥ jako u £ty°úhelníka

~S1 =1

2(~r1 − ~r3)× (~r2 − ~r3) , (4.19)

coº lze vyjád°it mnoha jinými zp·soby, jeden z nich je uveden v [10]. Vzorec pro výpo£et objemu senem¥ní (aº na po£et ploch v sum¥), místo vektor· £ty°úhelníkových ploch se úpln¥ stejn¥ dosadí vektorytrojúhelníkových ploch.

Z uvedeného lze shrnout, ºe metoda FVM poskytuje p°edev²ím vynikající popis jev· na hranicíchuvaºovaného deni£ního oboru díky koncepci numerického toku. To zjednodu²uje jak práci s okrajovýmipodmínkami, tak interpretaci výsledk· (nap°íklad tlak na okraji). D·leºité je mít na pam¥ti, ºe výpo£temse získávají hodnoty st°edních veli£in, p°i snaze vyjád°it hodnoty v konkrétním bod¥ se zpravidla dosahujep°esnosti druhého °ádu [36]. Velmi d·leºitá je také konzervativnost metody, z níº díky Lax-Wendroov¥v¥t¥ plyne, ºe konvergující °e²ení je slabým °e²ením zákon· zachování. Pro jiné metody jako t°eba FDM jepodobné tvrzení sloºit¥j²í a h·°e se ov¥°ují jeho p°edpoklady.

28

4.4 FEM

Metoda kone£ných prvk· (Finite Element Method - FEM) vznikla za£átkem druhé poloviny 20. stoletíjako nástroj pro °e²ení diferenciálních rovnic z oboru stavebního inºenýrství (nap°. rovnice pruºnosti)[41].V pr·b¥hu dal²ích let do²lo k jejímu velkému rozvoji a za£ala se pouºívat i v jiných oblastech, jednou znich je i CFD. Díky vlastnímu historickému vývoji je terminologie pouºívaná pro FEM odli²ná. Na FEMlze z£ásti nahlíºet jako na zobecn¥ní FVM. Také tato totiº pouºívá rovnice v integrálním tvaru a velkouroli hrají elementy, obdoba °ídících objem· u FVM. Z hlediska srovnání s FVM by elementy byly °ídícíobjemy vztaºené k uzl·m sít¥ pomocí metody uzlu bu¬ky s duálními °ídícími objemy [36].

FEM aproximuje hodnoty veli£iny φ v uzlech pomocí stup¬· volnosti (nebo také uzlových hodnot) φi.Oproti jiným metodám v²ak nekon£í s aproximací v uzlech, ale aproximuje celé pole φ(~r) pomocí basickýchfunkcí Ni(~r) (nazývaných také tvarových, interpola£ních £i testovacích funkcí - testovací funkce nemusínutn¥ odpovídat pojmu z teorie zobecn¥ných funkcí). P°esný tvar aproximace je

φ(~r) ≈ ϕ(~r) =∑i

φiNi(~r) . (4.20)

Suma zde probíhá p°es v²echny uzly sít¥. Z poºadavku ϕ(~ri) = φi plyne, ºe Ni(~rj) = δij (δij je Kroneckerovodelta). Vyuºívají se také metody, kde koecienty v °ad¥ nejsou stupn¥ volnosti, ale obecné koecienty(nap°íklad Fourier·v rozklad). Krátký p°ehled takovýchto metod je v [36].

Pro zjednodu²ení zápisu se zavádí lokální basická funkce N (e)i (~r) p°íslu²ející elementu e a uzlu I, jde

vlastn¥ o zúºení funkce Ni(~r) na objem elementu. Basické funkce p°íslu²ející jednomu bodu mají totiº £astopro kaºdý element jiný funk£ní p°edpis a je tedy pot°eba je vyjad°ovat pro kaºdý element zvlá²´. Ve v¥t²in¥FEM metod se Ni(~r) denuje jenom v nejbliº²ím okolí bodu ~ri, tedy pouze v t¥ch elementech, ve kterých(nebo na jejichº hranici) tento bod leºí [36].

Z podmínky p°esné aproximace funkce u = konst. plyne, ºe∑i

N(e)i (~r) = 1 ∀~r ∈ (e) . (4.21)

Pro získání celé funkce Ni(~r) je t°eba se£íst N (e)i (~r) pro v²echny elementy, ve kterých (nebo na jejichº

hranici) leºí p°íslu²ný bod ~ri. Pro lep²í ilustraci je na Obr. 4.2 zobrazena jedna z moºností výb¥ru basickéfunkce.

Podle stupn¥ spojitosti basických funkcí a podoby stup¬· volnosti se rozli²ují dva druhy element· [36]:

• Lagrangeovské elementy se pouºívají pro systémy parciálních diferenciálních rovnic do druhéhostupn¥, kde stupn¥ volnosti jsou neznámé t¥chto rovnic. Na hranicích element· je poºadována spojitostt°ídy C0.

• Hermitovské elementy se uºívají, jsou-li parciální derivace neznámých sou£ástí stup¬· volnosti.Poté je poºadována spojitost t°ídy Cj , kde j je maximální °ád derivací pouºitých ve stupních volnosti.Je-li tato podmínka na spojitost spln¥na po celé hranici element·, jsou elementy konformní. Je-lipodmínky spln¥na pouze v n¥kolika bodech hranice, jedná se o nekonformní elementy.

29

Obrázek 4.2: Po-£ástech lineární basická funkce v 1D. Mezi body i − 1 a i leºí element (1). Na tom jenenulová basická funkce p°íslu²ící bodu i − 1, N (1)

i−1. Její sou£et s basickou funkcí p°íslu²ející bodu i, N (1)i

je na celém elementu (1) roven jedni£ce [36].

Podobn¥ jako u FVM, i ve FEM se pouºívají integrální rovnice. Ale k t¥m zde lze dojít více zp·soby.Jedním z nich je pouºití varia£ního principu. Jde o hledání °e²ení jako extrému ur£itého funkcionálu(tato metoda vychází z poznatk· Lagrangeovsko-Hamiltonovského formalismu). ast¥ji se pouºívámetodaváºených residuí (pouºívá se i název 'slabá formulace' kv·li podobnosti s denicí slabého °e²ení rovnice)[10].

P°i odvození metody váºených residuí se vychází z diferenciální podoby zákona zachování (3.8) p°epsanépomocí numerického toku ~F pouºitého uº u FVM

∂φ

∂t+ div ~F = Qφ . (4.22)

Tok ~F = ~F (φ) se podobn¥ jako neznámá aproximuje pomocí ~F ≈∑

i~FiNi(~r). P°i pouºití aproximace °e²ení

∂ϕ

∂t+ div ~F −Qφ = R (4.23)

nelze dosáhnout nulovost residua R(~r). Lze v²ak dosáhnout, aby byla funkce R nulová po integraci p°escelý objem s uºitím n¥jaké váhy W (~r), tedy ∫

VRWdV = 0 . (4.24)

Z této rovnosti se odvodí integrální rovnice∫VW∂ϕ

∂tdV +

∫VWdiv ~FdV =

∫VQφWdV . (4.25)

Ta za pouºití Greenovy v¥ty[31] p°ejde na∫VW∂ϕ

∂tdV −

∫V

~FgradWdV +

∮σ(V )

W ~Fd~S =

∫VQφWdV . (4.26)

Tato rovnice se po dosazení z denice aproximace (4.20) stává rovnicí pro M neznámých φi (M je po£etuzl· v síti). T¥chto rovnic je pro °e²ení zapot°ebí mít také M . Je tedy zapot°ebí vybrat M r·zných funkcíW (~r) a získat tak systém M rovnic o M neznámých. To lze ud¥lat mnoha zp·soby.

30

Nap°íklad dosazením charakteristické funkce M r·zných element· u metody kolokace p°ejde tatometoda na FVM. Velmi oblíbená je Galerkinova metoda, ta volí za váºící funkce basické funkce interpo-lace Ni(~r). Díky této volb¥ p°ejde rovnice (4.26) na∑

j

dφjdt

Mij −∑j

~Fj ~Kij +

∮σ(V )

Ni~Fd~S =

∫Vi

QφNidV ∀i ∈ M , (4.27)

kde byla pouºita matice hmoty

Mij =

∫Vi

NiNjdV (4.28)

a matice tuhosti~Kij =

∫Vi

NjgradNidV . (4.29)

Z hlediska výpo£tu je výhodné, aby matice hmoty byla diagonální, toho lze dosáhnout tzv. ortogonální vol-bou funkcí Ni nebo n¥jakou aproximací. Zbylé integrály v rovnici lze vy£íslit aplikací okrajových podmínek(p°edev²ím 3. £len (4.27), plo²ný integrál) nebo op¥t aproximací.[36]

Nejv¥t²í výhodou FEM je jednoduchá aplikace na nestrukturované sít¥, to jí dává oproti FVM výhodu,a to p°edev²ím v p°ípad¥ sloºitých geometrií. Tento model je vhodný i pro nenewtonovské tekutiny. asovýnárok na výpo£et v²ak v¥t²inou bývá v¥t²í. Je moºné její pouºití v kombinaci s FVM, kdy se FEM pouºívák diskretizaci výraz· popisujících viskózní tok.[10]

4.5 asová diskretizace

Pomocí p°edchozích metod prostorové diskretizace na sí´ sM body byl obecný zákon zachování aproximovánsoustavou rovnic

d(Viφi)

dt= −Ri(t) ∀i ∈ M , (4.30)

kde Ri, takzvané residuum (jiné neº u FEM), je vyjád°eno jako funkce neznámých ~φ = (φ1, φ2, ...), tedy

Ri = Ri(~φ(t)) . (4.31)

P°i p°edpokladu v £ase nehybné sít¥ lze rovnici (4.30) diskretizovat pomocí kone£ných £asových diferencít°eba jako

Vi(φn+1i − φni ))

∆t= − β

1 + γRn+1i − 1− β

1 + γRni +

γVi1 + γ

φni − φn−1i

∆t[10]. (4.32)

Zde bylo pouºito kombinace zp¥tných a dop°edných diferencí, jejichº pom¥r ur£ují koecienty β a γ. Vrchníindexy vztahují hodnoty k £asové síti. Je-li spln¥no β = γ + 1

2 , bude vybraná aproximace druhého °ádup°esnosti v £ase, jinak bude prvního °ádu [10]. Podobný vztah by se získal také p°i pouºití FVM k £asovédiskretizaci (integrace (4.30) podle £asu od n do n + 1). Potom by hodnoty φni mohly být chápány jakost°ední hodnoty v £ase.

P°i volb¥ β = 0 zmizí £len Rn+1i a jediná hodnota vztaºená k £asu n + 1 (v závislosti na zp·sobu

diskretizace se jedná bu¤ o st°ední hodnotu nebo o hodnotu v daném £ase) tak bude hodnota neznáméφn+1i na levé stran¥. Velmi jednodu²e lze ze znalosti °e²ení v p°edchozím £ase toto °e²ení spo£ítat. Jedná

31

se o explicitní schéma. Explicitní schémata mohou vycházet i z jiné aproximace neº (4.32). D·leºité je,ºe z algebraického pohledu (a p°i znalosti p°ede²lých veli£in v £ase) je soustava M rovnic pro neznámé vM bodech soustavou s diagonální maticí. Není-li tato podmínka spln¥na, jedná se o implicitní schéma.Rovnici (4.32) lze trochu jinak zapsat jako A~φn+1 = ~b. U explicitního schématu je matice A diagonální a°e²ení se proto nachází velmi jednodu²e. U implicitního schématu je zapot°ebí matici A invertovat pomocínumerického aparátu pro °e²ení algebraických rovnic (viz nap°.[36][69]).[10]

Obrázek 4.3: Hodnota v £ase n a poloze i se u explicitního schématu po£ítá pouze pomocí hodnot •. Uexplicitního schématu se k výpo£tu p°idávají i hodnoty (které jsou samy také neznámé). P°evzato z [36]a upraveno.

Nevýhodou explicitních schémat je nutnost volit dostate£n¥ malé £asové kroky pro zaji²t¥ní správnéhovýsledku. Na základ¥ analýzy stability schémat se £asto odvodí podmínka pro CFL £íslo (Courant-Friedrichs-Lewy), které je pro jednoduchý 1D p°ípad σ = a∆t

∆x . Zde je a nejvy²²í vlastní hodnota Jakobiánufunkce numerického toku [10]. asový krok musí být dostate£n¥ malý, aby jev, který p°ed ním nastane vjednom bod¥ sít¥, nemohl v pr·b¥hu kroku ovlivnit jevy v ostatních bodech. To v praxi znamená, ºe CFL£íslo σ musí být men²í neº 1 [36].

Je vhodné je²t¥ zmínit vícestup¬ová schémata. Jsou v¥t²inou zaloºená na Runge-Kuttov¥ metod¥.Výpo£et φn+1

i ze znalosti φni probíhá n¥kolikastup¬ovým odhadem, podle kterého je snaha p°esn¥ji odhad-nout chování hodnoty rezidua Ri mezi £asy n a n + 1. A následn¥ pomocí tohoto odhadu korigovat vy-po£tenou hodnotu φn+1

i [10]. P°íkladem t¥chto metod je t°ebaNízkopam¥´ová Runge-Kuttova metoda,Nízko-rozptylová a nízko-rozmazávací Runge-Kuttova metoda - LDDRK neboHennova metoda[36].

Lze shrnout, ºe sloºitost analytického °e²ení vyºaduje °e²ení numerické. To spo£ívá v diskretizaci, tedyv p°evodu parciálních diferenciálních rovnic (zákon· zachování) na algebraickou úlohu. Diskretizace £asu aprostoru se v¥t²inou provádí zvlá²´, a to pomocí tvo°ení sít¥. Sít¥ se d¥lí na strukturované a nestrukturované,jejich generování je náro£né mimo jiné kv·li r·zným poºadavk·m na hustotu sít¥ v r·zných bodech prostoru.K diskretizaci zákon· zachování se v¥t²inou pouºívá FVM nebo FEM, výjime£n¥ FDM. Konkrétní podobadiskretizace probíhá na základ¥ r·zných odhad· a jejich pr·m¥rování. Nej£ast¥ji se pouºívá FVM pro svoji

32

rychlost a dobré teoretické vlastnosti plynoucí z konzervativnosti této metody. asov¥ závislý model se £astopouºívá i pro stacionární proud¥ní v rámci metody £asového postupu. Diskretizace rovnic podle £asu vedena explicitní schéma, kde se neznámé spo£ítají p°ímo pomocí algebraických vztah· z hodnot neznámých vminulosti, a implicitní, ve kterém je zapot°ebí nejprve invertovat matici soustavy.

4.6 Po£áte£ní a okrajové podmínky

Po£áte£ní podmínka ur£uje hodnotu neznámých v £ase t = 0. Na p°esnosti zadání po£áte£ní podmínkyvelmi záleºí rychlost výpo£tu. V¥t²inou se jako po£áte£ní podmínka volí stav volného proudu. N¥kdy jevhodné nejd°íve získat odhad °e²ení pomocí n¥jaké nep°esné, av²ak nenáro£né metody, a teprve ten pouºítjako po£áte£ní podmínku p°esného výpo£tu [10].

Je²t¥ p°ed rozborem moºných okrajových podmínek bude zmín¥n koncept fale²ných bun¥k (dummycells). P°i implementaci numerického schématu na okrajích fyzického prostoru je zapot°ebí splnit okrajovépodmínky, coº p°edstavuje zm¥nu ve zp·sobu výpo£tu. Této zm¥n¥ se lze vyhnout, pokud se t¥sn¥ za hran-ice fyzikálního prostoru výpo£tu umístí n¥kolik vrstev fale²ných bod· sít¥. V t¥ch se hodnoty neznámýchnepo£ítají, ale jsou tam dop°edu nastaveny nebo se zvlá²´ dopo£ítávají v závislosti na okrajových pod-mínkách pomocí jednoduchých vztah·. Výpo£etní algoritmus z nich pak bere hodnoty neznámých provýpo£et uvnit° fyzikálního prostoru výpo£tu, který uº probíhá pro v²echny body stejn¥ [10].

Okrajové podmínky pro rychlost v na st¥n¥ uº byly zmín¥ny d°íve, konkrétn¥ u nevazkých tok· je to

~v(~x, t) · ~n(~x, t) = 0 , ∀t ∈ R , ∀~x ∈ P [10]. (4.33)

U vazkých je to~v(~x, t) = ~0 , ∀t ∈ R , ∀~x ∈ P [51]. (4.34)

Zp·sob jejich implementace do modelu závisí na konkrétní zvolené metod¥ diskretizace. Nap°íklad p°imetod¥ st°edu bu¬ky ve FVM lze nastavit hodnoty v první °ad¥ fale²ných °ídících objem· jako zápornouhodnotu t¥ch, které jsou v první °ad¥ reálných °ídících objem·. Interpolace pak na vzájemné hranici budenulová, jak vyºaduje okrajová podmínka [10].

Pro jiné veli£iny je také zapot°ebí ur£it okrajové podmínky, p°edev²ím pro teplotu. Ta se uvaºuje bu¤stejná jako na povrchu zdi, kde je zadaná jako funkce nezávislá na proudu (Dirichletova podmínka), neboje zadaná pomocí zadaného toku tepla a Newtonova zákona vedení tepla (Neumannova podmínka) anebojako kombinace t¥chto dvou moºností.[36]

Asi nejsloºit¥j²í jsou okrajové podmínky pro speciální veli£iny popisující turbulentní proud¥ní p°i pouºitímodel· turbulence (viz sekce 3.5), které vyuºívají transportní rovnice pro n¥které veli£iny popisující turbu-lenci. Zde dost záleºí na konkrétním modelu turbulence, nap°íklad pro k− ε model lze po£áte£ní podmínkynalézt v [68].

Krom¥ této základní okrajové podmínky se pouºívají také podmínky vzdáleného pole pro výpo£etvn¥j²ího obtékání. Pro zkrácení náro£nosti výpo£tu se pouºívá okrajová podmínka roviny symetrie (lze£áste£n¥ aplikovat i na osu symetrie). Umíst¥ní kaºdé roviny symetrie zmen²uje fyzikální prostor výpo£tuna polovinu. Na rovin¥ s normálou ~n a te£nou ~t je pak zapot°ebí aplikovat okrajové podmínky pro skalárníveli£iny T a rychlost ~v:

33

• ºádný skalární tok p°es hranici:~n gradT = 0 (4.35)

• ºádný tok p°es hranici:~n ~v = 0 (4.36)

Podobn¥ lze p°istupovat k periodi£nosti problému.[68]

Z hlediska výpo£t· v aktivní zón¥ je pot°eba okrajová podmínka vtoku a výtoku. asto je pouºitakoncepce charakteristických prom¥nných, podobn¥ jako u vzdáleného pole. Z pohledu na Jakobiánkonvek£ního toku lze ur£it, které informace jsou do systému vná²eny a které naopak vyná²eny ven[10].Podle [46] je t°eba na kaºdé £ásti okraje zadat hodnoty tolika veli£in, kolik informací tam do systémuvstupuje. V konkrétním p°ípad¥ podzvukového vtoku tak vstupují 4 informace a jedna vystupuje[10]. Jetedy zapot°ebí zadat v rámci okrajových podmínek hodnoty £ty° prom¥nných (na celé £ásti okraje, kdedochází ke vstupu proudu). Pátá prom¥nná se extrapoluje ze spo£ítaného °e²ení uvnit° systému. V zásad¥je moºné zadávat r·zné hodnoty (celková velikost rychlosti, hmotnostní pr·tok, dva úhly rychlosti, teplota,hustota, tlak, veli£iny popisující turbulenci, atd.). Následn¥ se pouºívají r·zné vztahy pro výpo£et ostatníchhodnot [10].

34

5 Re²er²e CFD kód·

K analýze proud¥ní v reaktoru se r·zné numerické výpo£etní kódy za£aly vyuºívat koncem 70-tých let 20.století (ne²lo v²ak je²t¥ o CFD, ale o tzv. integrální kódy). První pouºití bylo £asto pro výzkum rychlýchreaktor·, av²ak brzy se kódy za£aly pouºívat i na ostatní druhy reaktor·, a to p°edev²ím na problémyjaderné bezpe£nosti [9]. Z nejd·leºit¥j²ích problém· se jedná nap°íklad o:

• ed¥ní bóru, které vlivem termohydraulických efekt· m¥ní lokální koncentrace bóru ve vod¥, coºby mohlo vést k lokálnímu p°ekro£ení limitu pro maximální dosaºitelnou reaktivitu.

• Tepelnou únava, ke které dochází vlivem velkého teplotního gradientu v chladivu [34]. Tento gradientse p°ená²í na pevné sou£ásti aktivní zóny, hlavn¥ na tlakovou nádobu reaktoru. Na t¥chto sou£ástechdochází k r·zné teplotní deformaci v r·zných místech. Tento jev je zdrojem nap¥tí, které m·ºe véstk po²kození materiálu.

• Teplotního ²ok za vysokého tlaku, který popisuje v nestacionárním proud¥ní tentýº jev, kterýpopisuje tepelná únava v proud¥ní stacionárním. U teplotního ²oku je teplotní gradient zp·sobenrychlou zm¥nou teploty proud¥ní v £ase (nap°íklad p°ítok chladné vody ze systému havarijníhochlazení) [63][29].

Z hlediska primární zóny jsou toto nejd·leºit¥j²í problémy a ur£ují se nyní k hodnocení CFD výpo£etníchkód· [5]. Krom¥ nich se CFD (tedy numerický výpo£et teplotního, tlakového, rychlostního a dal²ích polí)vyuºívá z hlediska primární zóny nap°íklad k p°edpokladu ú£inku proud¥ní na pevné sou£ástky v reaktoru(maximální teplota, eroze, koroze nebo nánosy), k popisu varu (souvisejícího s krizí varu), efektu na reak-tivitu v aktivní zón¥ a k simulování nehod spojených s pot°ebou dopln¥ní chladiva nebo nouzového chlazení[5]. Podrobn¥j²í a del²í seznam t¥chto problém· je prezentován v [5].

I kdyº se integrální výpo£etní kódy k výpo£t·m spojeným s jadernými reaktory pouºívají uº dlouhoa hojn¥, nejde o klasické 3D CFD kódy popsané v p°edchozích kapitolách. Z d·vodu velké náro£nostivýpo£t· pracuje v¥t²ina t¥chto kód· s 1D nebo dokonce 0D geometrií. Popis fyzikálních d¥j· v rámci taktozjednodu²ené geometrie vyuºívá p°edev²ím teorie termohydrauliky a velké mnoºství experimentálních dat sov¥°eným rozsahem platnosti. Tyto výpo£ty v²ak poskytují pouze základní informace o proud¥ní a nemohoupopsat v²echny d·leºité jevy (podrobn¥ji v [9]), to znamená p°íleºitost pro komplexní CFD kódy. V roce 2002vznikl v rámci CSNI (Committee on the Safety of Nuclear Installations), která je sou£ástí NEA (NuclearEnergy Agency), pracovní plán zam¥°ený na aplikaci CFD na °e²ení problém· jaderné bezpe£nosti. Tenpopisuje t°i oblasti výzkumu (WG - Writing Group): [5]

• WG1: sestavit soubor návod· k aplikaci CFD v rámci problém· jaderné bezpe£nosti.

• WG2: zhodnotit aktuální postupy hodnocení CFD kód· a ur£it jejich nedostatky pro hodnocení CFDkód· pro aplikaci v oblasti jaderné bezpe£nosti.

• WG3: shrnout nástavby, které aktuální CFD kódy pot°ebují, aby je bylo moºné aplikovat na dvoufá-zové problémy v oblasti jaderné bezpe£nosti.

35

Za výstup WG1 lze povaºovat dokument [9]. Aktuáln¥ je nejv¥t²í aktivita v rámci WG2, velká £ást práce(do roku 2007 v£etn¥) v této oblasti je shrnuta v [5]. Od té doby prob¥hly 2 konference (2008 - Grenoble,Francie [23] a 2010 - Bethesda, Maryland, USA [22]), kde byly presentovány p°ísp¥vky vztahující se jak kWG2, tak k WG3. Dal²í konference bude v zá°í 2012, Daejeon, Korea [20]. Na po°ádání t¥chto konferencíspolupracuje NEA s organizací IAEA (Internationa Atomic Energy Agency - Mezinárodní agentura proatomovou energii).

D°íve byly zmín¥ny zjednodu²ené výpo£etní kódy hojn¥ uºívané v oblasti jaderné energetiky. Mezi tytokódy pat°í: RELAP-5, TRACE, CATHARE, ATHLET, SCDAP, MELCOR, GOTHIC, TONUS, ASTEC,MAAP, ICARE, COCOSYS/CPA atd. Z t¥chto kód· jsou první £ty°i ur£eny pro analýzu primárníhookruhu.[5] Jde jen o n¥kolik málo kód·, které se pouºívají v tlakovodních a varných reaktorech, nap°íkladv reaktorech s tekutým kovem se pouºívá mnoho dal²ích kód· [44].

Z klasických 3D kód· jsou nejvíce pouºívané ANSYS-CFX, STAR-CD, FLUENT a PHOENIX. Jdeo velmi roz²í°ené komer£ní kódy, které se vyuºívají i v jiných oborech (nap°íklad letecký nebo stavebnípr·mysl). Z dal²ích kód· lze jmenovat NX FLOW, ADINA CFD, FEMLAB, TRIO-U, SATURNE, NEP-TUNE a CAST3M (ze v²ech nalezených byly vybrány pouze kódy pouºívané k simulaci proud¥ní v aktivnízón¥).

• NX FLOWJe FEM výpo£tový kód rmy Siemens PLM. Program pouºívá FEM diskretizaci. Informativní popiskódu i informaci o jeho pouºití ve výpo£tech pro aktivní zónu lze najít v [59].

• ADINA CFDJe FEM výpo£tový kód rmy ADINA, který vyuºívá rozhraní FEMAP rmy Siemens PLM. Programpouºívá FEM diskretizaci a z model· turbulence pouºívá model sm¥²ovací délky, k− ε model a k−ωmodel. Informativní popis kódu i informaci o jeho pouºití ve výpo£tech pro aktivní zónu lze najít v[2].

• FEMLABJe nástavba programu MATLAB rmy COMSOL. Tato nástavba simuluje °e²ení parciálních difer-enciálních rovnic pomocí FEM. Informativní popis kódu lze najít v [6], informaci o jeho pouºití vevýpo£tech pro aktivní zónu pak v [11].

• TRIO-UJe program vyvinutý Francouzskou organizací CEA. Pouºívá FEM i FVM metody diskretizace. Tur-bulenci umí popisovat krom¥ klasických p°ístup· i pomocí DNS a LES. Informativní popis kódu iinformaci o jeho pouºití ve výpo£tech pro aktivní zónu lze najít v [62].

• SATURNEJe program vyvinutý Francouzskou elektrárenskou spole£ností EDF. Pouºívá FVMmetody diskretizace.Turbulenci umí popisovat pomocí LES a z RANS pomocí modelu sm¥²ovací délky, klasických 2-rovnicových model· a modelu RST. Jde o Open-Source program. P°esný popis kódu (v£etn¥ návoduk pouºití a jiné dokumentace) i informaci o jeho pouºití ve výpo£tech pro aktivní zónu lze najít v[21].

• NEPTUNEJe vylep²ením programu SATURNE od EDF. Jiº se nejedná o open-source projekt, ale jinak jeprogramu SATURNE velmi podobný, rozdílem je v¥t²í mnoºství numerických metod a fyzikálních

36

model· a vylep²ení t¥ch, které jiº byly v SATURNE. Informativní popis kódu i informaci o jehopouºití ve výpo£tech pro aktivní zónu lze najít v [33].

• CAST3MJe program vyvinutý v CEA. Pouºívá FEM diskretizaci. Turbulenci modeluje pomocí LES, k − εmodelu nebo modelu sm¥²ovací délky. Chování u st¥n modeluje pomocí metody malých Reynoldsových£ísel. Pro pouºití ve vzd¥lání a výzkumu je program poskytován zdarma. Popis kódu lze najít v [14].Informace o jeho pouºití ve výpo£tech pro aktivní zónu lze najít v [66] a [5].

• PHOENICSJe FME kód anglické spole£nosti CHAM. Z model· turbulence m·ºe pracovat s algebraickými modely,s k− ε i k− l modely, p°ípadn¥ s RST modelem. Informativní popis kódu lze najít v [71] nebo v [64],informaci o jeho pouºití ve výpo£tech pro aktivní zónu pak v [5].

• STAR-CFDJde o FVM kód rmy CD Adapco. K modelování turbulence pouºívá mnoºství RANS model· an¥kolik LES model·. Jeho podrobný popis je obsahem následující kapitoly, informace o jeho pouºitíve výpo£tech pro aktivní zónu lze najít v [5].

• ANSYS-CFXJde o FEM nástroj, který vychází z kódu Flow3D organizace UKAEA. V roce 2003 byla rma CFXzakoupena spole£ností ANSYS. Z model· turbulence pouºívá krom¥ b¥ºných dvourovnicových model·a RST je²t¥ SST (Shear Stress Transport) nebo LES £i DES modely. Informativní popis kódu lze najítv [3], informaci o jeho pouºití ve výpo£tech pro aktivní zónu pak v [5].

• ANSYS-FLUENTPodobn¥ jako CFX i FLUENT byl zakoupen rmou ANSYS (2006). FLUENT je FVM výpo£etní kód,který z hlediska modelování turbulence nabízí podobné moºnosti jako ANSYS-CFX. Ve výpo£techproud¥ní nejen v oblasti jaderné bezpe£nosti je tento kód asi nejvíce pouºívaným kódem. Informativnípopis kódu lze najít v [4], informaci o jeho pouºití ve výpo£tech pro aktivní zónu pak v [5].

V²echny tyto výpo£etní kódy jsou obecnými kódy, které se pouºívají k °e²ení r·zných úloh. Výjimkutvo°í kódy TRIO-U, SATURNE a NEPTUNE, které byly prvoplánov¥ vyvinuty pro aplikaci v oblastienergetiky a poskytují nap°íklad n¥které speciální modely proud¥ní v kanálech.

37

6 Star-CD

Výpo£etní kód Star-CD spole£nosti CD-adapco vychází z více neº 30-ti leté zku²enosti s CFD a FEA(Final Element Analysis - Analýza metodou kone£ných prvk·), coº je metoda pouºívaná ve stavebnictvía ve stroja°ství k ur£ení mechanického namáhání materiál·. Poslední verze Star-CD je v4.18. Na základ¥zku²eností se Star-CD vyvinula rma CD-adapco vylep²ený program Star-CCM+ (aktuální verze je v7.04).K výpo£t·m popsaným v této práci bude pouºit program Star-CD v3.22 z roku 2004.[15]

6.1 Struktura systému

Výpo£etní kód Star-CD se skládá ze dvou hlavních program·: z numerického modulu STAR a z prepro-cesoru pro-STAR, který je zárove¬ postprocesorem. Modul pro-STAR umoº¬uje uºivateli pomocí p°íkaz·nebo GUI (gracké uºivatelské rozhraní) vytvo°it základní geometrii, sí´, specikovat hrani£ní podmínky,denovat termické vlastnosti látky, dokonce specikuje i zp·sob výpo£tu; zkrátka obstarává ve²kerou in-terakci uºivatele s kódem Star-CD [17]. Star-CD umoº¬uje pouºití vlastních podprogram· napsaných veFORTRANu, kterými lze nastavit n¥které parametry výpo£tu podrobn¥ji neº v GUI nebo pomocí p°íka-zové °ádky. K tomuto slouºí p°íkaz UFILE. Program STAR provádí pouze numerickou analýzu problému,který byl d°íve denován pomocí pro-STAR. Tento výpo£et probíhá zp·sobem, který lze dop°edu speci-kací v pro-STAR ovlivnit. Po provedení výpo£tu lze pouºít programu pro-STAR jako postprocesoru, kterýumoº¬uje analyzovat spo£tená data (p°edev²ím jde o jejich vyná²ení do rozmanitých graf·).

Programy pro-STAR a STAR jsou na sob¥ navzájem nezávislé a komunikace mezi nimi probíhá pomocír·zných soubor· (viz Obr. 6.1):

• .mdl obsahuje uloºení ve²kerého postupu v rámci preprocesoru a k jeho zp¥tnému na£tení.

• .echo zachovává v²echny p°íkazy pouºité v rámci pro-STARu (i ty, které byly spu²t¥ny p°es GUI).Tento soubor lze také pouºít jako vstupní terminál pro zadávání sekvencí p°íkaz·.

• .plot ukládá aktuáln¥ vyobrazené grafy, které lze následn¥ dále zpracovávat.

• .trns je roz²í°ení souboru .mdl pro p°ípady nestacionárního proud¥ní. Jedná se z velké £ásti o poz·s-tatek ze star²ích verzí kódu Star-CD.

• .geom obsahuje geometrii problému v£etn¥ sít¥. Tento soubor je vytvo°en na konci preprocesu pouzepro ú£ely výpo£tu.

• .prob je podobn¥ jako .geom vytvo°en pro ú£ely výpo£tu. Obsahuje data k r·zným parametr·mproblému, vlastnostem tekutiny nebo okrajovým podmínkám.

• .pst je vytvá°en výpo£tovým programem STAR. Obsahuje výsledek výpo£tu (v p°ípad¥ p°eru²enívýpo£tu pak poslední krok výpo£tu). Tento soubor lze vyuºít jako po£áte£ní podmínku.

38

Obrázek 6.1: Druhy soubor· pouºívané programem Star-CD. P°evzato z [18] a p°eloºeno.

• .pstt se objevuje u nestacionárního proud¥ní. Podobn¥ jako .pst obsahuje výsledná data

Z t¥chto soubor· jsou pouze .echo, .prob a .geom soubory textovými, ostatní jsou binární (u .geom a .probje moºnost výb¥ru mezi binární a textovou podobou, implicitn¥ je zvolena binární).

Krom¥ program· STAR a pro-Star obsahuje kód Star-CD (v závislosti na verzi distribuce) je²t¥ dal²íprogramy. Za v²echny lze jmenovat nap°íklad pro-am, coº je program podobný pro-Staru, který se spe-cializuje na automatické vytvá°ení sít¥ [19]. Za zmínku stojí také STAR-HPC, coº je úprava výpo£etníhokódu Star-CD pro pouºití na paralelních po£íta£ích a výpo£tových klastrech.

Samotný program pro-Star se skládá z více modul·, které mezi sebou vzájemn¥ komunikují a zaji²´ujífunkce programu. Jde nap°íklad o moduly: MESH, PLOT, BOUNDARY. Podrobný seznam t¥chto modul·a jejich funkcí je v [17].

6.2 Fyzikální model

K výpo£t·m se ve Star-CD pouºívají rovnice kontinuity (3.9).P°esná podoba v implementaci (viz [16])se li²í moºností denovat hmotnostní zdroje.

Zákony zachování hybnosti, takzvanéNavier-Stokesovy rovnice, mají podobu odpovídající (3.12).[16]

Kód Star-CD dává na výb¥r z více moºností zákona zachování energie. P°i uvaºování chemické entalpieje moºné zohlednit proud¥ní více sm¥sí. Dále se modely li²í z hlediska zahrnutí nebo nezahrnutí kinetickéenergie proud¥ní (to je zahrnuto v p°ípad¥ totální entalpie). Moºné je také po£ítat s Rothalpií, kterázahrnuje rotaci tekutiny. Pro ú£ely této práce byla vybrána totální tepelná entalpie H = 1

2uiui + h =12uiui + cpT − c0

pT0. Zde hodnota cp je st°ední m¥rná tepelná kapacita (st°eduje se p°es interval teplot

39

mezi T a T0). Hodnota c0p udává hodnotu m¥rné tepelné kapacity p°i teplot¥ T0. Zákon zachování má tvar

podobný rovnici (3.25).[16]

Tenzor nap¥tí lze v p°ípad¥ laminárního proud¥ní vyjád°it rovnicí (3.3). Pro Nenewtonovské tekutinyse viskozita η ur£uje pomocí mocninového zákona [16]. Vektor toku entalpie vyjad°uje toky entalpie vlivemlátkové a teplotní difúze.

Fh,j = −λ ∂T∂xj

+∑m

hmρVm,j [16]. (6.1)

Zde hm je entalpie sloºky m a Vm,j je vektor rychlosti látkové difúze, který záleºí na gradientu koncentracejednotlivých sloºek v látce, a navíc na gradientu teploty.

V p°ípad¥ turbulentního proud¥ní jsou pouºity Reynolds-Favreho st°edované Navier-Stokesovy rovnice(3.33), (3.34) a (3.37). Kv·li jednoduchosti se nem¥ní zna£ení a st°ední hodnoty veli£in se zna£í stejn¥ jakoveli£iny. Zm¥ny v zákonech zachování se potom zahrnou do veli£in popisujících tok, tedy do nap¥tí τij a dotoku entalpie Fh,j , a to následovn¥:

τij = 2ηsij −2

3ηδij

∂vk∂xk− ρv′′i v′′j [16]. (6.2)

Fh,j = −λ ∂T∂xj

+ ρu′′jh′′ +

∑m

hmρVm,j [16]. (6.3)

V tomto p°ípad¥ se ρ nechápe jako st°ední hodnota hustoty, ale celé ρv′′i v′′j je symbol pro Reynoldsovo

nap¥tí. Podobn¥ ρv′′j h′′ je symbol pro turbulentní tok tepla.

K uzav°ení systému je zapot°ebí stavová rovnice tekutiny. Star-CD poskytuje n¥kolik moºností: [16]

• nestla£itelná tekutina

ρ = ρ0 (6.4)

• nestla£itelná sm¥s, v níº má m-tá sloºka o hmotnostním zlomku Ym hustotu ρm

1

ρ=∑m

Ymρm

. (6.5)

• izobarická stavová rovnice s teplotní objemovou roztaºností βT

ρ =ρ0

1 + βT (T − T0). (6.6)

• izobarická stavová rovnice pro sm¥s, kde βm je expanzní koecient m-té sm¥si

ρ =ρ0

1 + βT (T − T0) +∑

m βmYm. (6.7)

40

• sm¥s ideálních plyn· s molární hmotností Mm p°íslu²ející m-té sloºce sm¥si

ρ =p

RT∑

mYmMm

. (6.8)

Zvlá²t¥ pro r·zné sm¥si umoº¬uje Star-CD aplikaci mnoha dal²ích termodynamických vztah· [16]. Jetaké moºné pomocí UFILE denovat vlastní stavovou rovnici. Stejn¥ jako stavová rovnice se ur£ují i ter-modynamické vlastnosti tekutiny (tepelná vodivost, dynamická viskozita, m¥rná tepelná kapacita, entalpie,entropie).

6.3 Modely turbulence

Star-CD pouºívá t°i základní druhy model· turbulence: RANS prvního °ádu, ARS, RST a LES.

N¥které z nich vyuºívají k vyjád°ení Reynoldsova nap¥tí a turbulentního toku tepla vztahy (3.38) a(3.39). Zbývá tedy ur£it turbulentní viskozitu

ηT = fηCηρk

2

ε= fηC

14η ρk

12 l [16]. (6.9)

Empirický koecient Cη i tlumící funkce fη se ur£ují v závislosti na konkrétním modelu.

Z RANS model· prvního °ádu umoº¬uje Star-CD pouºití algebraického modelu, v n¥mº uºivatelp°ímo zadá hodnotu turbulentní viskozity konstantní po celém prostoru (pomocí UFILE lze zadat turbu-lentní viskozitu jako funkci v prostoru).

Dále se pouºívá jednorovnicový k − lmodel, v n¥mº uºivatel pomocí UFILE zadává turbulentní rozm¥rl v závislosti na poloze.

K dispozici je i Spallart-Almaras·v model popsaný v sekci 3.5.

Z dvourovnicových model· pouºívá Star-CD p°edev²ím k − ε model, a to ve dvou podobách, jednakjako klasický lineární model a potom jako kvadratický a kubický model (druhé dva spadají podlerozd¥lení v sekci 3.5 pod ARS). V lineárním modelu se Reynoldsovo nap¥tí a turbulentní tok tepla modelujepomocí (3.38) a (3.39). Turbulentní viskozita se ur£uje pomocí (??) nebo (??).

Pro kvadratický i kubický model je podoba Reynoldsova nap¥tí podobná jako u (??). Ve v²ech p°ípadechje t°eba °e²it transportní rovnice pro turbulentní kinetickou energii k a pro rychlost disipace energie ε.Konkrétní podoba t¥chto rovnic záleºí na pouºitém modelu a na zp·sobu, kterým se °e²í obtékání pevnýcht¥les.

Star-CD také umoº¬uje pouºití k − ω modelu popsaného v sekci 3.5, který transportní rovnici prodisipaci ε nahrazuje transportní rovnicí pro ω, coº je míra disipace denovaná pomocí (??). Star-CD nabízíjak standardní Wilcoxovu verzi, tak i model SST.

Pro RST pouºívá Star-CD transportní rovnice pro Reynoldsovo nap¥tí, pro turbulentní kinetickouenergii k a pro její disipaci ε. V rovnicích pro Reynoldsova nap¥tí vystupuje výraz tlakové deformace

41

(pressure-strain). Star-CD tento výraz modeluje dv¥ma zp·soby: Gibson-Launderovým modelem neboSpeziale-Sarkar-Gatskiho modelem, oba jsou popsány v [16].

Z LES model· pouºívá Star-CD Smagorinski a nebo k − lmodel. Ve Star-CD v3.22 jsou tyto modelyomezeny pouze na nestla£itelné izotermické proud¥ní. Jejich p°esný popis je v [16].

Seznam turbulentních model· v£etn¥ moºností modelování mezní vrstvy je uveden v Tab. 6.2. Z moºnostímodelování mezní vrstvy nabízí Star-CD p°ístup Velkých Reynoldsových £ísel pomocí funkce st¥ny neboupravený pomocí nerovnováºné funkce st¥ny (non equilibrium wall functions), v níº jsou zahrnuty iefekty zm¥ny tlaku (viz [16]. Pro upravenou sí´ je také moºné pouºít dvouvrstvý model nebo modelMalých Reynoldsových £ísel. Je také moºné pouºít model hybridní st¥ny, coº je model malýchReynoldsových £ísel upravený pro pouºití na síti odpovídající modelu Velkých Reynoldsových £ísel (tatosí´ nemá u st¥ny zjemn¥ní typické pro modely Malých Reynoldsových £ísel).

6.4 Sí´

Implicitn¥ je ve Star-CD pouºívána nestrukturovaná sí´ sloºená ze £ty°st¥n·, ²estist¥n·, hranol· nebojehlan·. Star-CD pouºívá víceblokový p°ístup a dokonce umoº¬uje pohyb blok· v·£i sob¥ navzájem (ato jak transla£ní, tak rota£ní). Pro p°esnost je kolem okraj· vhodné pouºívat vrstvovité bu¬ky (v¥t²i-nou ²estist¥ny). P°i automatické generaci sít¥ (nap°íklad v programu pro-am) je zase výhodn¥j²í pouºití£ty°st¥n·.

D·leºitou funkcí p°i tvorb¥ sít¥ je vno°ené zjemn¥ní (embedded renement). Ta umoº¬uje v pr·b¥hutvorby sít¥ automatické rozd¥lení vybraných bun¥k (nap°íklad v blízkosti obtékaného povrchu) na n¥koliknových, men²ích bun¥k. Zjemn¥ní je také moºno provést na základ¥ jiº prob¥hlého výpo£tu pomocí funkcep°izp·sobivého zjemn¥ní (adaptive renement). Ta vypo£ítává podle gradientu veli£in, odhadu jejichchyb nebo podle míry nedodrºení zákon· zachování zjemnit sí´ tam, kde je to zapot°ebí pro dosaºeníp°esn¥j²ího výsledku.

Z hlediska víceblokového p°ístupu je pak d·leºitá vlastnost libovolného rozhraní sítí (arbitrary meshintefaces), která umoº¬uje propojení dvou sítí, aniº by jejich bu¬ky m¥ly na kontaktní plo²e stejné st¥ny.To umoº¬uje nap°íklad pohodlné propojení £ty°st¥nné sít¥ (s trojúhelníkovými st¥nami) se ²estist¥nnou sítí(s £ty°úhelníkovými st¥nami).

Star-CD umoº¬uje import geometrie (v podob¥ ploch povrchu) nebo i celé sít¥. K tomu pouºívá stan-dardní formáty IGES, VDA nebo STL. Star-CD také umí importovat data z n¥kterých konkuren£ních výpo£-tových program· (ANSYS, IDEAS, PLOT3S, NASTRAN, PATRAN, ENSIGHT nebo ICED CFD).[16]

6.5 Diskretizace

Star-CD pouºívá k prostorové diskretizaci FVM s p°ístupem st°edu bu¬ky (viz sekce 4.3). Výpo£etní kódnabízí více moºností prostorové diskretizace rovnic. Krom¥ oby£ejné metody proti-v¥tru (upwind cheme) sp°esností prvního °ádu nabízí i metody vy²²ích °ád·. Mezi nimi jsou nap°íklad metody pr·m¥ru prom¥n-

42

Obrázek 6.2: R·zné modely turbulence pouºívané výpo£etním kódem Star-CD. P°evzato z [16] a p°eloºeno.

43

ných, p°ípadn¥ podpo°ené n¥jakým relaxa£ním faktorem. Dále je t°eba zmínit metodu QUICK (Quadraticupstream interpolation of convective kinematics - Kvadratická protiproudová interpolace konvektivní kine-matiky), která je t°etího °ádu, a MARS (Monotone advection and reconstruction scheme - Monotónníadvek£ní a rekontruk£ní schéma). Posledn¥ jmenovaná metoda je podle [16] nejmén¥ citlivá na podobuzadané sít¥ (podoba diskretizace i výsledku výpo£tu je samoz°ejm¥ obecn¥ závislá na podob¥ pouºité sít¥,tato závislost by ov²em m¥la být minimální).

K £asové diskretizaci lze pouºít pln¥ implicitní schéma, coº je jakási obdoba dop°edné diferencev £ase. Krom¥ n¥ho nabízí Star-CD je²t¥ Crank-Nicholsonovo schéma, obdobu FVM diskretizace smetodou uzlu bu¬ky s duálními °ídícími objemy. Crank-Nicholsonovo schéma je sice druhého °ádu (oprotipln¥ implicitnímu, které je prvního °ádu), ale m·ºe mít problémy se stabilitou (které u pln¥ implicitníhoodpadají). Proto je také pln¥ implicitní schéma pouºíváno jako standardní £asová diskretizace v rámciStar-CD.

6.6 Okrajové podmínky

Z okrajových podmínek nabízí Star-CD prakticky v²echny, které byly popsány v sekci 4.6. P°itom Star-CDumoº¬uje uºivateli vybrat, které hodnoty budou okrajovými podmínkami ukotveny a jakým zp·sobem.Nap°íklad na výtoku z potrubí je moºné specikovat tlak pomocí okrajové podmínky Pressure. Dále jemoºné nastavit na výstupu danou teplotu nebo daný gradient teploty. Av²ak s pouºitím okrajové podmínkytypu Outlet se této specikaci lze vyhnout.

Je také vhodné zmínit problematiku okrajových podmínek turbulentních veli£in, které jsou neznámýmitransportních rovnic, nap°. u modelu k− ε jsou to práv¥ okrajové podmínky veli£in k a ε. Hodnota veli£inyk se odhaduje pomocí lokální relativní intenzity turbulence I a rozm¥ru místní st°ední rychlosti Ujako

k =1

2(IU)2 [16]. (6.10)

Hodnota I se li²í p°ípad od p°ípadu, ale ve vyvinutém turbulentním proud¥ní v potrubí lze pouºít I ≈ 10−2

[16].

6.7 Algoritmy °e²ení

Pro °e²ení pouºívá Star-CD t°i algoritmy: PISO, SIMPLE a SIMPISO, které si jsou do velké mírypodobné.

Algoritmus PISO je vícestup¬ové schéma (viz sekce 4.32), které nemá p°esn¥ ur£en po£et stup¬·(sweeps), ten se ve Star-CD ur£uje b¥hem výpo£tu v závislosti na jeho odhadované pot°eb¥.

Podobn¥ i SIMPLE je vícestup¬ový algoritmus, který v²ak má pouze jeden opravný stupe¬. Proto sep°íli² nehodí pro výpo£ty nestacionárních proud¥ní.

Algoritmus SIMPISO kombinuje rychlost algoritmu SIMPLE i p°esnost algoritmu PISO. Na n¥které

44

veli£iny (hybnosti) pouºívá algoritmus podle SIMPLE. Na jiné v²ak (tlak), u nichº hrozí v¥t²í problémy,aplikuje algoritmus PISO.

V p°ípad¥ stacionárního proud¥ní m·ºe p°i pouºití p°íli² velkého kroku dojít k poru²ení stability algo-ritmu. To se °e²í podrelaxací práv¥ vypo£ítané hodnoty φk∗ pomocí hodnoty z p°edchozího kroku φk−1 arelaxa£ní konstanty αφ

φk = αφφk∗ + (1− αφ)φk−1 . (6.11)

K samotnému °e²ení algebraických rovnic pouºívá Star-CD dv¥ metody: CG (Conjugate gradient -sp°aºený gradient) a AMG (Algebraic multigrid method - algebraická vícesí´ová metoda). Metoda CGpouºívá ke zjednodu²ení n¥kolik metod, kterými p°edupraví soustavu. Metoda AMG upravuje dimenzisoustavy. Místo aktuální soustavy °e²í soustavy s men²í dimenzí, ty sice tu p·vodní aproximují jen nep°esn¥,ale zato jsou vy°e²eny mnohem rychleji. Výb¥r dimenze soustavy probíhá na základ¥ poºadavku na p°esnostpro aktuální iteraci (ze za£átku se °e²í soustavy s nízkou dimenzí a postupn¥ se p°echází k v¥t²ím).

6.8 Postup tvorby modelu

Uºivatel nejd°íve v programu pro-STAR pomocí nástroj· na vytvá°ení sít¥ denuje geometrii problému. Ktomu slouºí body (vertex), které lze spojit do k°ivky (spline). Z více k°ivek lze zase ud¥lat blok (block), kterýlze rozd¥lit na bu¬ky. Pravideln¥ rozmíst¥né bu¬ky lze generovat p°ímo. Geometrii je vhodné zkontrolovatp°íkazem CHECK (ten hledá chyby, které znemoºnily výpo£et, nap°íklad p°ekrývání bun¥k, konkávnost,nedoléhání nebo jiné chyby).[17]

Dal²ím krokem je denice okrajových podmínek. Vytvá°í se skupiny, do kterých se za°azují povrchyr·zných bun¥k. Kaºdé skupin¥ se potom p°i°adí pat°i£ný druh okrajové podmínky (t°eba wall-st¥na, inlet-vtok nebo dal²í) a zadají se odpovídající parametry (rychlost a hustota vtoku, zp·sob tepelné interakcest¥n, turbulentní kinetická energie a její disipace atd.). Tyto okrajové podmínky je op¥t vhodné zkontrolovatp°íkazem check.[18]

Se zadáváním hodnot okrajových podmínek souvisí denice termodynamických vlastností tekutiny. Jet°eba ur£it stavovou rovnici a denovat vztahy pro tepelnou vodivost, dynamickou viskozitu, m¥rnou tepel-nou kapacitu, entalpii a entropii. Pro v¥t²í p°esnost nepracuje program s reálnou teplotou a reálným tlakem,nýbrº uvaºuje jejich rozdíl v·£i zadaným referen£ním hodnotám, které uºivatel zadává tak, aby rozdílydob°e popisovaly chování tekutiny v daném objemu. Problematický je p°edev²ím tlak, který se £astokrát vrámci uvaºovaného problému m¥ní jen o promile své hodnoty, ale tyto zm¥ny ovliv¬ují pr·b¥h proud¥ní. Svhodnou referen£ní hodnotou tlaku lze dosáhnout toho, ºe zm¥ny uº nejsou v hodnotách promile, ale jsoustejného °ádu jako uvaºovaná hodnota rozdílu tlaku. Z podobného d·vodu Star-CD vypou²tí také zm¥nytlaku vlivem gravitace, které jsou £asto v¥t²í neº nap°íklad tlakové ztráty zp·sobené t°ením; tento tlakbez vliv· gravitace se nazývá piezometrickým (pro ur£ení místa, kde je tlak vlivem gravitace nulový, sepouºívá referen£ní bu¬ka).[17] Pro výpo£et v£etn¥ gravitace je zapot°ebí uvaºovat i vztlak (buoyancy), tenje d·leºitý nap°íklad p°i výpo£tu p°enosu tepla volnou konvekcí.

Dále je nutné zvolit model turbulence a zadat v²echny pot°ebné konstanty (nebo ponechat p°edvolené).Poté je také moºnost upravit numerické parametry °e²ení. P°esný popis moºných úprav je v [16].

45

Pro sledování výpo£tu se vybírá sledovací pozice (monitoring location), v níº se sleduje vývoj °e²enís postupující iterací. Uºivatel musí v²echny doposud zmín¥né akce provést a m·ºe je zkontrolovat p°íkazemCHECK. Následuje vytvo°ení soubor· .geom a .prob, které byly popsány v úvodu kapitoly. Tyto souborylze jiº p°edat programu STAR, který provede numerickou analýzu. B¥hem výpo£tu vypisuje hodnoty vy-po£ítané ve sledovací pozici. Dal²ím údajem, který STAR zobrazuje, jsou globální residua Rφ p°íslu²ející°e²eným zákon·m zachování. Ta ur£ují, nakolik je stávající aproximace °e²ení nep°esná. Residua by m¥laideáln¥ po celou dobu výpo£tu s kaºdou iterací klesat. Výpo£et kon£í dosaºením poºadovaného kritériakonvergence (residua jsou men²í neº ur£itá hodnota), po prob¥hnutí nastaveného po£tu iterací nebo pozastavení uºivatelem. Ve v²ech p°ípadech zaznamená program STAR hodnoty polí z poslední iterace dosouboru .pst. Postprocesor pro-STAR dokáºe ze souboru .pst tato data získat a hodnoty zakreslit do grafunebo s nimi pracovat jinak, to znamená spo£ítat pr·m¥r nebo nap°íklad uloºit do souboru pro pozd¥j²ízpracování.[18]

46

7 Popis modelu

Obrázek 7.1: Geometrie kanálu.

Zadání problému vychází z [48] a [47] a [49]. Úkolem bylo nalézt rychlostní a teplotní pole v hydraulickyhladkém kanálu mezi palivovými pruty s typem geometrie podle VVER-1000. Kanál je zobrazen na Obr. 7.1,rozm¥ry jsou: h=3,48 m, t'=12,75 mm a d=9,15 m. Kanálem proudí £istá voda, která má na vstuputeplotu T = 229, 4 C a hustotu ρ = 838, 531 kg/m3. Na oblých £ástech st¥ny kanálu (kolem palivovýchty£í) dochází k oh°evu s konstantní hustotou tepelného toku qt = 263, 951 kW/m2. Na výstupu je prost°edís tlakem p = 14, 38 MPa. Hustota hmotnostního pr·toku je G = 1856, 2 kg/m2s. Gravita£ní zrychlení jeg = 9, 8066 m/s2.

7.1 Sí´

Podrobný gracký doprovod tvorby sít¥ je v elektronické p°íloze. Základem sít¥ byl model kanálu o vý²ce2 mm, který byl vytvo°en z kraj·. Nejd°íve byly zadenovány t°i válcové systémy sou°adnic s po£átky v

47

bodech (rozm¥ry jsou v milimetrech): [7, 3612; 0; 0], [−3, 6806; 6, 375; 0] a [−3, 6806;−6, 375; 0], které odpoví-dají roh·m trojúhelníka zakresleného do roviny podstavy na Obr. 7.1.

Následn¥ byly p°íkazem VC3D vytvo°eny 3 vrstvy po ²esti bu¬kách (pro v²echny t°i systémy sou°adnic,tedy 3*3*6 bun¥k). Jejich body jsou od vrcholu trojúhelníku ve vzdálenosti popo°ad¥ 4, 575 mm, 4, 775 mm,5 mm a 5, 3 mm. Dohromady je to 54 bun¥k, které jsou zobrazeny na Obr. 7.2.

Obrázek 7.2: Vrstvy bun¥k kolem palivových ty£í.

Dal²ím krokem bylo umíst¥ní bod· do st°edu podstavy a do st°ed· stran a jejich propojení k°ivkoup°es p°íkaz SPL. Tyto k°ivky byly vyuºity k tvorb¥ blok· (p°íkaz BLK). Prostorové bloky lze ve Star-CDvelmi jednodu²e rozd¥lit na n¥kolik bun¥k p°íkazy BLKF a BLKE, v tomto p°ípad¥ to bylo na 3x6 bun¥k.Pomocí p°íkazu CGEN lze hotovou sí´ 18ti bun¥k z jedné oblasti zkopírovat a p°eklopit p°es rovinu nebopooto£it. Otá£ením vznikne problém s pravoto£ivostí bun¥k, které by nyní m¥ly podle programu zápornýobjem. Tento problém °e²í p°íkaz CFLIP. Tímto postupem byla vytvo°ena základní sí´ 108 bun¥k pro kanálvý²ky 2 mm (viz a) na Obr. 7.3).

Obrázek 7.3: Základní sí´ 2 mm úseku kanálu (a) a del²í £ásti kanálu (b).

Tato základní geometrie byla potom pomocí p°íkazu CGEN roz²í°ena z vý²ky 2 mm na vý²ku 3480 mm

48

(viz b) na Obr. 7.3). P°ed tímto roz²í°ením i po n¥m bylo zapot°ebí se p°íkazem VMERGE zbavit bod·,které byly na jedno místo zaneseny víckrát (nap°íklad z d·vodu vytvo°ení dvou bun¥k s vrcholem na stejnémmíst¥). Po tomto p°íkazu je vhodné zredukovat po£et bun¥k a bod· (funkce Compress spustitelná v GUI),jinak by mohl celkový po£et bun¥k nebo bod· jednodu²e p°esáhnout maximální povolenou hranici (jejíºlimit se dá teoreticky zvy²ovat aº na limit daný pam¥tí po£íta£e).

Pro pot°eby modelování mezní vrstvy Dvouvrstvým modelem a modelem Malých Reynoldsových £íselje zapot°ebí v míst¥ kontaktu s ty£emi zjemnit bu¬ky. Nejd°ív je zapot°ebí provést analýzu toho, jak mocvelké zjemn¥ní je zapot°ebí. Výpo£et za£ne vy£íslením vstupních parametr·. Rychlost vstupu bude

vz =G

ρ= 2, 214 m/s . (7.1)

Obvod pr·°ezu kanálu se vypo£ítá ze zadaných rozm¥r·, obsah se vypo£ítá po£íta£em pro konkrétní model.Z t¥chto dvou hodnot se pak spo£ítá hydraulický pr·m¥r dh

o = πd

2+ 3(t′ − d) = 25, 1728 mm , S = 37, 6804 mm2 , dh =

4S

o= 5, 9875 mm . (7.2)

Zbývá z tabulek [55] ode£íst dynamickou viskozitu a lze spo£ítat Reynoldsovo £íslo

η = 0, 000111 Pas , Re =vzdhρ

η= 100126 . (7.3)

Podle [25] lze spo£ítat turbulentní kinetickou energii na vstupu pomocí intenzity turbulence I jako

k =3

2(|~v| I)2 =

3

2(|~v| 0, 16Re−

18 )2 = 0, 01057806 m2/s2 . (7.4)

Disipace turbulentní kinetické energie se podle [16] vypo£ítá jako

ε = C34η

k32

0, 07dh= 0, 42653 m2/s3 . (7.5)

Podle vztahu z [16] lze vypo£ítat pom¥r y+/y

y+

y= ρC

14ηk

12

η= 425559 . (7.6)

Rozm¥ru y+ = 1 tedy odpovídá rozm¥r y = 0, 0023498 mm. Pro model Velkých Reynoldsových £ísel bym¥l být st°ed první bu¬ky umíst¥n ve vzdálenosti 30 < y+ < 100, tedy 0, 07 mm < y < 0, 23 mm. Tentopoºadavek vý²e sestavená sí´ dodrºuje.

Zjemn¥ní pro dvouvrstvý model a pro model malých Reynoldsových £ísel je provedeno zjemn¥ním bu¬ky,která p°iléhá k palivové ty£i. U okraje je vytvo°eno 9 nových vrstev s tlou²´kou 0, 008 mm, coº odpovídározm¥ru y+ = 3, 4. Podle [16] by m¥la být první bu¬ka od kraje ve vzdálenosti y+ ≈ 1 a pak 14 dal²íchbun¥k s tlou²´kou 1 < y+ < 3. Není proto spln¥n poºadavek ani na po£et bun¥k, ani na jejich tlou²´ku,tato volba je v²ak ovlivn¥na výpo£etními limity. V Tab. 7.1 jsou vypsány základní parametry obou sítí.

49

Tabulka 7.1: Základní parametry obou pouºitých sítí.

SÍ 1 SÍ 2po£et bun¥k [−] 187920 469800po£et bod· [−] 236776 565825minimální délka hrany [mm] 0,2 0,008maximální délka hrany [mm] 2 2typ sít¥ nestrukturovaná nestrukturovaná

7.2 Okrajové podmínky a vlastnosti tekutiny

Stavová rovnice je na základ¥ [55] denována následn¥:

ρ =838, 531

1 + 0, 001776118 (T − 229, 4)[kg/m3], [C] . (7.7)

Dal²í termodynamické vlastnosti tekutiny, konkrétn¥ dynamická viskozita, tepelná vodivost, m¥rná tepelnákapacita, entalpie a entropie jsou denovány podle vztah· v P°íloze 1, Tab. 9.

Referen£ní hodnoty pro teplotu a tlak byly nastaveny jako p0 = 14, 38 MPa a T0 = 229, 4 C =502, 55 K. Referen£ní vý²ka pro peizometrický tlak je h = 3480 mm.

Oblasti okrajových podmínek (viz Obr.7.1) byly denovány takto:

• Inlet (vtok) - spodní podstava leºící v rovin¥ z = 0. Zde je zadána rychlost vz = 2, 214 m/s, hustotaρ = 838, 531 kg/m3, teplota T = 0 K (rozdíl od referen£ní) a p°i n¥kterých modelech turbulence iturbulentní kinetická energie k = 0, 01057806 m2/s2 a její disipace ε = 0, 42653 m2/s3.

• Pressure (tlak) - horní podstava leºící v rovin¥ z = 3480 mm. Zde je zadán tlak p0 = 0 Pa (rozdíl odreferen£ního). Tlak je zadán po celé st¥n¥ konstantní, v jednom p°ípad¥ bude vyzkou²ena moºnost,ºe se zadaná hodnota tlaku rovná st°ední hodnot¥ po celé podstav¥.

• Symmetry (symetrie) - tato moºnost je zvolena na rovných hranicích kanálu, kde normáln¥ dochází kvolnému proud¥ní kapaliny do okolních kanál·.

• Wall (st¥na) - je poloºena na st¥nu palivových ty£í. Je zvolena okrajová podmínka nulové rychlostina st¥n¥ a oh°evu konstantní hustotou tepelného toku qt = 263, 951 kW/m2s. Je nastavena hrubostkanálu (9 na standardní stupnici Star-CD).

Po£áte£ní hodnota, od které za£íná iterace, byla nastavena na konstantní rychlost ~v = (0; 0; 2, 3) m/s,teplotu T = 520 K a tlak p0 = 20 kPa. Pro vícerovnicové modely turbulence byla nastavena po£áte£níhodnota turbulentní kinetické energie k = 0, 01 m2/s2 a její disipace ε = 0, 35 m2/s3. Tyto hodnotyvycházejí z odhad·.

Vztlak nebyl uvaºován a proto prob¥hly výpo£ty s piezometrickým tlakem (tedy bez vliv· gravitace).Entalpie byla zvolena chemicko-tepelná (chemico-thermal) a z moºných zákon· zachování byl vybrán zákonzachování statické entalpie (tedy bez uvaºování kinetické energie proud¥ní).

50

Jako algoritmus °e²ení byl pouºit SIMPLE s metodou AMG. K diskretizaci byla pouºita bu¤ jednoduchámetoda proti v¥tru (upwind), konkrétn¥ UD, nebo v n¥kterých p°ípadech QUICK. Hustota byla diskretizovánapomocí centrální metody CD.

7.3 Jednotlivé modely

Bylo vytvo°eno 15 model·, které se li²í pouºitím r·zných model· turbulence a mezní vrstvy, n¥které se li²íi pouºitou sítí nebo zm¥nou okrajové podmínky. Následuje popis model· v Tab. 7.2 a Tab. 7.3. Hodnotykonstantní viskozity do Modelu 1 a 2 byly vzaty z p°edchozího výpo£tu pomocí Modelu 4.

Tabulka 7.2: Seznam model·, £ást 1

Model 1model turbulence konstantní viskozita mezní vrstva −varianta ηT = 0, 0116458 sí´ SÍ1max. residua 0,0001

Model 2model turbulence konstantní viskozita mezní vrstva −varianta ηT = 0, 0116 sí´ SÍ2max. residua 0,001

Model 3model turbulence Spalart-Allmaras mezní vrstva funkce st¥nyvarianta − sí´ SÍ1max. residua 0,0001

Model 4model turbulence k − ε mezní vrstva funkce st¥nyvarianta standard sí´ SÍ1max. residua 0,0001

Model 5model turbulence k − ε mezní vrstva nerovnováºná funkce st¥nyvarianta standard sí´ SÍ1max. residua 0,0001

Model 6model turbulence k − ε mezní vrstva funkce st¥nyvarianta standard sí´ SÍ1max. residua 0,0001 zadán st°ední tlak na výstupu

Model 7model turbulence k − ε mezní vrstva hybridní st¥navarianta standard sí´ SÍ1max. residua 0,0001

51

Tabulka 7.3: Seznam model·, £ást 2

Model 8model turbulence k − ε mezní vrstva dvouvrstvovývarianta standard sí´ SÍ2max. residua 0,001 Wolfstein·v model v mezní vrstv¥

Model 9model turbulence k − ε kvadratický mezní vrstva nerovnováºná funkce st¥nyvarianta standard sí´ SÍ1max. residua 0,0001

Model 10model turbulence k − ε kubický mezní vrstva nerovnováºná funkce st¥nyvarianta standard sí´ SÍ1max. residua 0,0001

Model 11model turbulence k − ω mezní vrstva nerovnováºná funkce st¥nyvarianta standard sí´ SÍ1max. residua 0,0001

Model 12model turbulence k − ω mezní vrstva malá Reynoldsova £íslavarianta SST sí´ SÍ2max. residua 0,000001

Model 13model turbulence RSM mezní vrstva funkce st¥nyvarianta Gibson-Launder sí´ SÍ1max. residua 0,0001 isotropický Craft·v model

Model 14model turbulence RSM mezní vrstva funkce st¥nyvarianta Gibson-Launder sí´ SÍ1max. residua 0,00001 anisotropický Craft·v model

Model 15model turbulence RSM mezní vrstva funkce st¥nyvarianta Speziale-Sarkar-Gatski sí´ SÍ1max. residua 0,00001 isotropický model

52

Tabulka 7.4: Pr·b¥h výpo£t· jednotlivých model·

model konvergence po£et iterací £as výpo£tuumom vmom wmom mass t en / visc diss / omega enthModel 1 ANO 191 481, 4 s ≈ 8 min3,62E-8 3,45E-8 9,96E-5 4,11E-5 − − 1,05E-7Model 2 ANO 284 1595, 3 s ≈ 27 min4,52E-8 4,41E-8 9,96E-4 5,97E-5 − − 3,11E-06Model 3 ANO 280 989, 9 s ≈ 16 min1,43E-8 1,39E-8 9,98E-6 4,54E-5 9,86E-5 − 9,39E-08Model 4 ANO 179 583, 9 s ≈ 10 min2,15E-8 2,06E-8 3,28E-5 4,61E-5 9,79E-5 7,49E-5 1,34E-07Model 5 ANO 179 598, 4 s ≈ 10 min1,93E-8 1,90E-8 3,26E-5 4,58E-5 9,87E-5 7,52E-5 1,35E-07Model 6 ANO 179 644 s ≈ 11 min2,48E-8 2,44E-8 3,27E-5 4,91E-5 9,72E-5 7,46E-5 1,41E-07Model 7 ANO 180 724, 6 s ≈ 12 min2,17E-8 2,13E-8 3,22E-5 4,67E-5 9,42E-5 7,26E-5 1,30E-07Model 8 ANO 200 1774, 2 s ≈ 30 min6,73E-8 6,65E-8 2,59E-4 1,39E-4 9,97E-4 2,77E-3 4,77E-06Model 9 ANO 335 1519, 5 s ≈ 25 min2,67E-8 2,11E-8 1,61E-6 9,83E-5 1,07E-5 1,03E-5 5,02E-08Model 10 ANO 335 1563, 7 s ≈ 26 min2,35E-8 2,05E-8 1,64E-6 9,93E-5 1,07E-5 1,04E-5 5,01E-08Model 11 ANO 195 705, 5 s ≈ 12 min4,95E-8 4,68E-8 1,96E-5 1,67E-5 9,78E-5 3,33E-5 1,04E-07Model 12 NE 3937 35377, 4 s ≈ 590 min5,44E-9 5,39E-9 9,51E-8 2,58E-5 1,32E-7 1,57E-7 4,60E-08model konvergence po£et iterací £as výpo£tuumom vmom wmom mass t en diss enthuu vv ww uv vw uw

Model 13 ANO 678 4652, 3 s ≈ 78 min3,91E-12 2,32E-12 1,54E-05 9,95E-05 3,13E-05 3,08E-05 7,63E-083,06E-05 2,86E-05 3,14E-05 1,99E-05 5,98E-05 1,04E-04Model 14 NE 10 −1,02E-08 2,29E-08 3,22E-03 1,00E+00 3,07E-02 2,29E-02 4,42E-021,96E-02 1,97E-02 1,96E-02 1,80E-03 6,27E-03 6,08E-03Model 15 ANO 530 3541, 9 s ≈ 59 min3,51E-12 1,31E-11 1,57E-06 9,97E-06 3,48E-06 4,38E-06 5,09E-083,66E-06 3,45E-06 3,76E-06 3,63E-06 6,99E-06 8,88E-06

53

7.4 Pr·b¥h výpo£tu

V Tab. 7.4 lze najít informace o pr·b¥hu výpo£t·, o konvergenci, po£tu iterací a dob¥ trvání výpo£t·.Jsou uvedeny také hodnoty residuí poslední iterace. Ty popisují, nakolik p°esn¥ výsledek °e²í danou alge-braickou soustavu. Výpo£et probíhal na PC s procesorem Intel CoreTM i3-540 (4M Cache, 3.06 GHz). To jedvoujádrový procesor pracující se £ty°mi vlákny (pomocí Intel R© Hyper-Threading). V²echny operace v²akprobíhaly pouze jednovláknov¥ (£as na zprovozn¥ní vícevláknového výpo£tu by u výpo£tu tohoto druhunejspí² nebyl nahrazen úsporou £asu p°i výpo£tu).

Výpo£et zkonvergoval ve v²ech p°ípadech aº na dva. V modelu 12 byla nastavena extrémn¥ nízká hodnotaminimálního residua (0,000001 oproti jinak pouºívaným 0,001 nebo 0,0001) ve snaze získat v rámci moºnostíco nejp°esn¥j²í výsledek. Výpo£et byl následn¥ zastaven uºivatelem. Výsledek tohoto výpo£tu lze i p°esto,ºe nebylo dosáhnuto konvergence, povaºovat za platný. V modelu 14 bylo p°i výpo£tu dosaºeno zápornéhustoty, nebylo podrobn¥ji zkoumáno, pro£ k tomu do²lo, ale výsledek bude povaºován za neplatný.

54

8 Výsledky

Výsledkem výpo£tu je pole hodnot neznámých v kaºdé bu¬ce. Toto pole se musí n¥jak interpretovat. Nazáklad¥ [44] byl ze v²ech dat získán st°ední tlak na vstupu, st°ední absolutní teplota na výstupu a st°ednívelikost rychlosti na výstupu (st°eduje se po celém pr·°ezu, nejde o st°edování spojené s turbulencí). Dálebyl z dat vybrán axiální (na p°ímce x = 0, y = 0) pr·b¥h absolutní teploty a velikosti rychlosti v kanálu.Jako poslední bylo z dat získáno rozloºení absolutní teploty a velikosti rychlosti na výstupu.

Totální teplota TT se z teploty po£ítá zahrnutím kinetické energie (oby£ejné i turbulentní):

TT = T +1

cp

(~v2

2+ k

)[16]. (8.1)

Vzhledem k tomu, ºe po celou dobu výpo£tu je druhý £len zanedbatelný, lze brát TT ≈ T a nebude se mezinimi rozli²ovat. Tlak se uvaºuje k referen£ní hodnot¥ výstupního tlaku p = 14, 38 MPa. Navíc je uvaºovánpiezometrický tlak, tedy bez efektu gravitace. Tato hodnota piezometrického tlaku na vstupu bude tedyspí²e ozna£ována jako tlaková ztráta ∆p. Analyzuje se st°ední hodnota rychlosti |~v|, pro pohodlnost budev této kapitole nazývána jednodu²e: rychlost v.

Pr·m¥rné hodnoty a rozloºení hodnot na vstupu a výstupu se berou z krajních bun¥k (vý²ka bn¥k je2 mm). Hodnoty tedy odpovídají u vstupu vý²ce z = 1 mm a u výstupu vý²ce z = 3479 mm. Hodnotyjsou uvedeny v Tab. 8.1.

Tabulka 8.1: Vypo£ítané hodnoty teploty T a velikosti rychlosti |~v| na výstupu spolu s hodnotami tlakovýchztrát ∆p.

Model ∆p [Pa] T [K] |~v| [m/s]

Model 1 26088,2933 542,5257 2,360049Model 2 47668,9221 532,3099 2,322949Model 3 5832,59849 542,4003 2,360188Model 4 11852,1029 542,4477 2,287862Model 5 11864,4262 542,4482 2,360628Model 6 11852,3128 542,4522 2,360356Model 7 11776,033 542,4456 2,360318Model 8 10067,6994 546,4718 2,374945Model 9 11092,8351 542,4517 2,360209Model 10 11091,6806 542,4518 2,360208Model 11 12215,2379 542,4131 2,360272Model 12 10557,894 542,4280 2,360224Model 13 9533,11165 542,4287 2,360202Model 15 13112,2192 542,4297 2,360114

Pro srovnání byl proveden výpo£et pomocí termohydraulických zákonitostí. Ze známé vstupní teplotyse podle denice hustoty, entalpie a viskozity v tomto p°ípadu vypo£ítaly pat°i£né hodnoty. Ud¥lal se malý

55

krok (konkrétn¥ 1 mm) do dal²ího bodu, kde se pomocí známé hustoty tepelného toku z palivových ty£ívypo£ítala hodnota entalpie, z té potom teplota a dal²í vlastnosti látek. Tlaková ztráta na tomto úseku sed¥lí na dva druhy (neuvaºuje se ztráta gravita£ní): ztráta vlivem oh°evu ∆ph a ztráta vlivem t°ení ∆pt. Kvýpo£tu ztráty vlivem t°ení se pouºije Blasi·v vztah, k výpo£tu první ztráty vzorec ∆ph = ρ2v

2z,2 − ρ1v

2z,1

(tento vzorec i Blasi·v vztah zle najít v [35]). Tlaková ztráta t°ením se pak po vyd¥lení hustotou p°i£ítá kzisku entalpie. Takto se pokra£uje po celé délce ty£e a tlakové ztráty se postupn¥ s£ítají.

Pomocí popsaného postupu byla vypo£tena tlaková ztráta ∆ph = 290 Pa, ∆pt = 21861 Pa, celkovápiezometrická tlaková ztráta (bez gravitace) ∆p = 22152 Pa. Teplota ve vý²ce 3479mm je T = 542, 334 Ka rychlost na výstupu je v = 2, 37005 m/s. Tento výpo£et také dob°e umoº¬uje odhadnout tlakovouztrátu vlivem gravitace, ta bude ∆pg = 27623 Pa.

Podle [49] byla celková tlaková ztráta spo£ítána jako ∆pT = 42089, 5 Pa, tomu podle práv¥ vypo£í-tané hodnoty odpovídá piezometrická tlaková ztráta ∆p = 14466, 5 Pa. Ta je v²ak vypo£ítána pro kanáljako pro sou£ást v¥t²ího svazku, zatímco zde se uvaºuje samostatný kanál. Krom¥ toho se výpo£et v [49]li²il nap°íklad zapo£ítáním tlakové ztráty na distan£ních m°íºkách, odli²ným modelem termodynamickýchvlastností tekutiny aj. Teplota na výstupu spo£ítaná podle [49] je T = 546, 65 K, rychlost je podle [49]v = 2, 398858 m/s. Odchylka t¥chto hodnot od hodnot vypo£ítaných jak pomocí CFD, tak pomocí ter-mohydraulického modelu bude nejspí² zp·sobena odli²ným termodynamickým modelem tekutiny (v tétopráci model popsaný v P°íloze 1 a rovnicí (7.7), zatímco v [49] byla podle [48] pouºita pr·myslová formulaceIF-IAPWS97).

Hodnoty axiálních pr·b¥h· teploty jsou zobrazeny v grafu na Obr. 8.1. Axiální pr·b¥h rychlosti jezobrazen v grafu na Obr. 8.2 a na Obr. 8.3 je detail pr·b¥hu, ve kterém jsou zobrazeny v¥t²í rozdíly mezijednotlivými modely.

Rozloºení teploty a rychlosti na výstupu je pro kaºdý model zobrazeno v P°íloze 2.

Zhodnocení model·:

• Model 1 a Model 2jsou jakoºto modely konstantní viskozity velmi nep°esné a od výsledk· ostatních model· se ve v²echaspektech li²í (p°edev²ím Model 2). Vypo£ítaná tlaková ztráta se zásadn¥ li²í i od odhadu ztrátyzaloºeného na [49]. Na grafech s rozloºením výstupní teploty a rychlosti (Obr. ?? a Obr. 2) lzedob°e vid¥t jeden z d·sledk· nep°esnosti t¥chto model·, velmi malé promíchávání. Zatímco u v¥t²inyostatních model· se hodnoty m¥ní p°edev²ím v blízkosti st¥n, u tohoto modelu se hodnoty znateln¥m¥ní i více ve st°edu kanálu a je v¥t²í rozdíl mezi hodnotami ve st°edu a na kraji kanálu. Tento efektlze pozorovat i na skute£nosti, ºe rychlost ve st°edu kanálu je u obou model· v¥t²í neº u ostatních(viz Obr. 8.2), zatímco pr·m¥rná rychlost je naopak men²í.

Z analyzovaných dat t¥chto model· plynou p°edev²ím dv¥ otázky. První z nich je otázka po p·voduojedin¥lého axiálního pr·b¥hu tepla ve st°edu kanálu u modelu 2 (ten se jako jediný model chováznateln¥ nelineárn¥). Druhou je otázka po p°í£in¥ závislosti výsledku výpo£tu na zjemn¥ní sít¥ (zm¥nazadané viskozity se zdá být zanedbatelnou).

P°es jasné odchylky je axiální pr·b¥h Modelu 1 tvarem lehce podobný ostatním pr·b¥h·m. To bymohlo znamenat, ºe p°i p°esn¥j²ím ur£ení konstantní viskozity by tento model mohl dosáhnout mno-hem p°esn¥j²ího výsledku. Problém s promícháváním by se dal vy°e²it zadáním viskozity v závislostina vzdálenosti od st¥n/st°edu kanálu. Tento model konvergoval ze v²ech nejrychleji, asi o 20÷ 35 %

56

Obrázek

8.1:Axiální

pr·b

¥hteplotyTve

st°edu

kanálu

(p°ímkax

=0,y

=0).

57

Obrázek

8.2:Axiální

pr·b

¥hvelikostirychlosti~vve

st°edu

kanálu

(p°ímkax

=0,y

=0).

58

Obrázek

8.3:Detailaxiálníhopr·b

¥huvelikostirychlosti~vve

st°edu

kanálu

(p°ímkax

=0,y

=0).

59

rychleji, neº lineární kε modely.

• Model 3je také velmi nep°esný, i kdyº uº o poznání mén¥ neº p°edchozí dva. Nejv¥t²í rozdíl oproti v¥t²in¥ostatních model· lze pozorovat v pr·b¥hu prvních 20 ÷ 30 cm, kde vykazuje zna£né odchylky vaxiálním pr·b¥hu jak teploty (viz Obr. 8.1), tak rychlosti (viz Obr. 8.2). Dal²í znatelný rozdíl je vevypo£ítané tlakové ztrát¥. Nep°esnost není vynahrazena ani v¥t²í rychlostí výpo£tu, proto se model3 zdá být nevhodným pro °e²ený problém.

• Model 4, Model 5, Model 6 a Model 7v²echny vykázaly velmi podobné chování, coº odpovídá pouºití stejného modelu turbulence, standard-ního lineárního k − ε modelu. Jak axiální pr·b¥hy, tak i rozloºení hodnot na výstupu jsou v oboup°ípadech tém¥° totoºné. V pr·m¥rných hodnotách do²lo u Modelu 7 ke sníºení tlaku, u Modelu 6ke zvý²ení teploty. St°ední rychlost na výstupu u Modelu 4 vykazuje velkou odli²nost. Vzhledem kostatním dat·m výsledku výpo£tu Modelu 4 se zdá, ºe jde o chybu extrakce dat.

Po£et iterací byl u v²ech t¥chto metod tém¥° stejný, a to výrazn¥ niº²í neº u jiných metod. Doba°e²ení rostla spole£n¥ s £íslem modelu od Modelu 4 aº po Model 7. I p°es rychlost výpo£tu odpovídajídata dat·m z ostatních model· s docela dobrou p°esností, a to p°edev²ím axiální pr·b¥h teploty arychlosti, který tvarem odpovídá ostatním model·m. U teploty je to pozvoln¥j²í náb¥h následovanýlineárním r·stem, u rychlosti je to potom naopak rychlej²í náb¥h korigovaný lehkým poklesem a pon¥m lineární r·st. St°ední tlaková ztráta a st°ední rychlost na výstupu je o n¥co v¥t²í neº u jinýchmodel·, ale rozdíl není moc velký.

• Model 8vykazuje oproti ostatním model·m odli²né chování. Axiální pr·b¥h teploty se oproti ostatním odchy-luje od lineární podoby a na konci kanálu je vý² neº u ostatních model· (viz Obr. 8.1), podobn¥ st°edníteplota na výstupu a rychlost je znateln¥ vy²²í neº u ostatních model·. Axiální pr·b¥h rychlosti sep°íli² nepodobá pr·b¥hu vypo£tenému v¥t²inou model·, ale spí²e tomu, který vy²el u Model· 1,2 a 3(viz Obr. 8.2).

I p°es malou p°esnost a malý po£et iterací zabral výpo£et velmi dlouho, to odpovídá v¥t²ímu po£tubun¥k v síti; zajímavé je srovnání s Modelem 2, který po£ítal více iterací v krat²ím £ase. Výpo£etjednotlivé iterace byl tedy krat²í, coº odpovídá jednodu²²ímu modelu turbulence, stejn¥ tak byla v²akmen²í i rychlost konvergence modelu.

U Modelu 8 byla chybn¥ pouºita dvouvrstvá metoda na nevhodnou sí´ (u st¥n moc málo bun¥k, kterébyly moc tlusté), to m·ºe vysv¥tlit odchylky výsledk· tohoto modelu.

• Model 9 a Model 10vykazují oba tém¥° totoºné chování, oproti lineárním k− ε model·m mají sníºenou tlakovou ztrátu ast°ední výstupní rychlost. Naopak lehce zvý²ená je st°ední výstupní teplota. Nejv¥t²í rozdíl je v²ak vaxiálním pr·b¥hu rychlosti. V °e²ení je po úvodním nár·stu jasn¥ patrný velký pokles, který ostatnímetody nazna£ují mnohem slab¥ji (viz Obr. 8.3 a Obr. 8.2). Pro ur£ení p°esnosti t¥chto metod bymohla dob°e poslouºit analýza t¥chto pokles· a p°ípadné srovnání s experimentem. Po£et iterací ap°edev²ím doba výpo£tu oproti lineárním k − ε model·m výrazn¥ narostly.

• Model 11se od lineárních k − ε model· mnoho neli²í. Za zhruba stejný po£et iterací, ale o trochu del²í dobuvýpo£tu byl spo£ítán výsledek, který tvarem odpovídá o£ekávání, nicmén¥ st°ední hodnoty se lehceli²í od t¥ch spo£ítaných ostatními metodami (p°edev²ím tlak a teplota).

60

• Model 12Výpo£et tohoto modelu nekonvergoval pouze kv·li nastavení výpo£etního programu (p°íli² p°ísnékritérium konvergence). Hodnota jeho kone£ných residuí je men²í neº u mnohých ostatních model·,které zkonvergovaly. Tvar axiálního pr·b¥hu rychlosti je podobný jako u k− ε, pouze lehce posunutýníº (p·vodní rychlý nár·st se za£íná zpomalovat d°íve - viz Obr. 8.2 a Obr. 8.3). St°ední tlakováztráta, teplota na výstupu a rychlost na výstupu vychází lehce men²í neº z metod k − ε.

• Metoda 13 a Metoda 15vyuºívají velmi podobný model turbulence a také st°ední hodnoty teploty a rychlosti na výstupu jsouvelmi podobné. I p°esto je mezi nimi rozdíl (viz Obr. 8.3) jak v axiálním pr·b¥hu rychlosti, tak vest°ední hodnot¥ tlakové ztráty (oproti k − ε model·m, které se také navzájem moc neli²í).

Je d·leºité, ºe Metoda 15, a£koliv m¥la nastavené p°ísn¥j²í kritérium konvergence, konvergovala zakrat²í dobu, a to i s men²ím po£tem iterací. Na grafu rozloºení výstupní teploty a rychlosti u Modelu13 (Obr. 13 v P°íloze 2) jsou vid¥t ne£ekané prostorové nepravidelnosti. Ty mohou být zp·sobenynedostate£nou p°esností algebraického °e²ení, která by se zlep²ila p°ísn¥j²ím kritériem konvergence.

Obrázek 8.4: Jednotlivé modely podle vypo£ítaných tlakových ztrát ∆p a st°ední teploty T na výstupu.

Ke srovnání v²ech metod byly ze st°edních hodnot teploty a rychlosti na výstupu a ze st°ední hodnotytlakové ztráty vytvo°eny grafy na Obr. 8.4, Obr. 8.5 a Obr. 8.6 (n¥které výsledky jsou mimo rozsah grafu).Dá-li se povaºovat shoda výsledku s ostatními modely za ukazatel v¥rohodnosti, potom nejv¥rohodn¥j²ívýsledky má Model 12 a Model 7 (odhad z graf·).

Kvalita modelu nespo£ívá pouze v jeho v¥rohodnosti, ale také v pouºitelnosti. P°íkladem je pouºíváníintegrálních model·, které jsou mén¥ p°esné, ale mnohem mén¥ náro£né. Na základ¥ tohoto byl odvozen

61

Obrázek 8.5: Jednotlivé modely podle vypo£ítané st°ední teploty T a st°ední rychlosti v na výstupu.

hodnotící faktor (1

doba vypoctu [min] ·maximalni residuum posledni iterace2

)0,5

. (8.2)

Tento faktor zohled¬uje skute£nost, ºe s klesající hodnotou residua roste doba pot°ebná pro výpo£et ne-lineárn¥. Zárove¬ odmocninou sniºuje absolutní rozdíly tak, aby bylo moºné hodnoty lépe porovnávat.Grafy, které zahrnují tento faktor, jsou umíst¥ny v P°íloze 3. Je na nich znázorn¥no, ºe Model 12 prosvoji pomalou konvergenci ztrácí nap°íklad oproti Modelu 15, který naopak konverguje velmi rychle. Jímvypo£ítané hodnoty se v²ak s ostatními shodují o dost mén¥, a to p°edev²ím tlakové ztráty.

Celkov¥ vzato se ukázala nep°esnost Modelu 1, Modelu 2 a do velké míry i Modelu 3. Byla potvrzenanep°esnost Modelu 8 se nevhodnou sítí a jinak ur£itá shoda ostatních model·.

Výstupem této práce je p°edev²ím následující °ada doporu£ení zaloºená na získané zku²enosti s aplikacíCFD na proud¥ní v kanále aktivní zóny. Bylo by záhodno:

• provést podrobn¥j²í analýzu v²ech získaných dat a p°esn¥j²í výpo£ty (konkrétn¥ sníºit hodnotumaximálního residua), prozkoumat p°í£inu zvlá²tního chování Model· 9 a 10.

• upravit modely pro vícevláknový výpo£et. Prozkoumat moºnosti GPU výpo£t·.

• provést výpo£ty v£etn¥ vztlaku a analyzovat vliv zahrnutí vztlaku na rychlost konvergence a nap°esnost výsledku. Jestli nenastane zna£né vylep²ení ve výpo£tu tlakových ztrát, zkoumat p°í£inunep°esnosti výpo£tu tlaku (nap°íklad je-li p°í£inou izobarický termodynamický model).

62

Obrázek 8.6: Jednotlivé modely podle vypo£ítaných tlakových ztrát ∆p a st°ední rychlosti v na výstupu.

• implementovat p°esn¥j²í termodynamický model chladiva (nap°íklad pr·myslovou formulaciIF-IAPWS97) a analyzovat jeho vliv na rychlost konvergence a na p°esnost výsledku.

• vyzkou²et dal²í modely turbulence a analyzovat jejich vliv na rychlost konvergence a p°esnost výpo£tu.Analyzovat vhodnost pouºití jednotlivých model·.

• seznámit se blíºe s numerickými metodami °e²ení a p°edev²ím s moºnými nep°esnostmi, které dovýpo£tu tyto metody vná²í (nap°íklad rozmazávání).

• sestrojit sí´ s vhodnými parametry u st¥n, která by umoºnila správné pouºití p°esn¥j²ích metod propopis mezní vrstvy (jako nap°íklad Model 8).

• zahrnout jevy typické pro kanál v aktivní zón¥: prom¥nný zdroj tepla v palivových ty£ích v závislostina hustot¥ toku neutron·, dvoufázové proud¥ní, zdroj tepla v chladivu vlivem zpomalování neutron·a záchytu zá°ení atd.

• p°idat do modelu distan£ní m°íºky a analyzovat jejich vliv na proud¥ní v kanálu.

• roz²í°it model na více kanál·.

• prozkoumat vliv okrajových podmínek (nap°íklad hodnota turbulentní kinetické energie na vstupu)na výsledek výpo£tu a prozkoumat moºnosti jejich p°esn¥j²ího ur£ení.

63

9 Záv¥r

Výpo£ty proud¥ní tekutin vychází z mechaniky kontinua, která nahrazuje jednotlivé mikro£ástice kontinuema vlastnosti mikro£ástic poli veli£in. Výpo£ty proud¥ní tekutin a p°enosu tepla konvekcí se snaºí vypo£ítatp°edev²ím pole rychlosti a teploty. Tyto výpo£ty jsou zaloºeny na zákonech zachování, p°edev²ím na rovnicikontinuity a Navier-Stokesových rovnicích. Problematika t¥chto rovnic byla rozebrána v kapitole 3. Navier-Stokesovy rovnice nelze obecn¥ analyticky °e²it a jejich nelinearita dává vzniknout jevu turbulence. Tentojev byl v kapitole 3 popsán v£etn¥ n¥kolika základních zp·sob·, jak se k tomuto jevu p°istupuje (a to nejenz hlediska samotného turbulentního proud¥ní, ale i z hlediska popisu mezní vrstvy). Tyto p°ístupy jsou zvelké £ásti spjaty s numerickou analýzou Navier-Stokesových rovnic, která se ozna£uje jako CFD.

V kapitole 4 byl popsán princip CFD, která spo£ívá v diskretizaci, ve vytvo°ení sít¥ bod· v prostoru a vaproximaci pole rychlosti, teploty a dal²ích veli£in pomocí kone£ného po£tu hodnot t¥chto veli£in spjatéhose sítí. Byly popsány základní vlastnosti sítí a t°i základní metody diskretizace: FDM, FVM a FEM. Bylotaké ukázáno, ºe FDM je zvlá²tní p°ípad FVM, coº je zvlá²tní p°ípad FEM. Metoda FEM, která nebylaprimárn¥ vyvinuta pro pouºití v CFD, je tedy nejobecn¥j²í z uºívaných metod. Dále byly krátce zmín¥nyzákladní p°ístupy k £asové diskretizaci. V kapitole 4 byla také popsána aplikace okrajových podmínek.

V kapitole 5 je popsáno aktuální vyuºití CFD v rámci výpo£t· proud¥ní v aktivní zón¥. Jedná sep°edev²ím o aktivity mezinárodních organizací NEA a IAEA ve snaze koordinovat výzkum. Aktuáln¥ seklade nejv¥t²í d·raz na ov¥°ování kvality stávajících CFD kód· a zkoumání speciálních poºadavk·, kteréna tyto kódy klade vyuºití pro výpo£et proud¥ní v aktivních zónách. Následuje krátký seznam CFD kód·vyuºívaných v rámci aktivních zón, krom¥ toho se CFD pouºívá k výpo£tu proud¥ní v kontejnmentu, kanalýze sprchových systém· atd.

V rámci této práce byl sestrojen zjednodu²ený model kanálu v aktivní zón¥ pomocí výpo£etního kóduStar-CD, tento program je stru£n¥ popsán v kapitole 6. Popis programu se zam¥°uje p°edev²ím na as-pekty spojené s vypracováním konkrétních model·, jejichº popis je obsahem kapitoly 7. Je popsáno 15model·, které se li²í pouºitím r·zných model· turbulence a mezní vrstvy. T°i modely pouºívají sí´, kterábyla speciáln¥ zjemn¥ná u povrchu palivových ty£í za ú£elem p°esn¥j²ího popisu mezní vrstvy. V rámciprezentování výsledk· v kapitole 8 je ukázáno, ºe toto zjemn¥ní nebylo dosta£ující.

V kapitole 8 jsou srovnány r·zné pouºité modely a je diskutována vhodnost jejich pouºití. Kapitola a sní i celá práce je zakon£ena souhrnem problém·, jejichº °e²ením by bylo moºné na tuto práci navázat.

64

Literatura

[1] A Chimera Overlapping Mesh CFD Technique for Complex Applications [online]. Oce Nationald'Etudes et Recherches Aérospatiales, 2006 [cit. 2.7.2012]. Dostupné na: <http://www.onera.fr/onera-business/023-mesh-chimera.php>.

[2] Adina CFD [online]. ADINA, [cit. 5.7.2012]. Dostupné na: <http://www.adina.com/adina-CFD.shtml>.

[3] ANSYS CFX Features [online]. ANSYS, Canonsburg, 2012 [cit.5.7.2012]. Dostupné na: <http://www.ansys.com/Products/Simulation+Technology/Fluid+Dynamics/ANSYS+CFX/Features>.

[4] ANSYS Fluent Features [online]. ANSYS, Canonsburg, 2012 [cit.5.7.2012]. Dostupné na: <http://www.ansys.com/Products/Simulation+Technology/Fluid+Dynamics/ANSYS+Fluent/Features>.

[5] Assessment of Computational Fluid Dynamics (CFD) for Nuclear Reactor Safety Problems [online].Nuclear Energy Agency, Committee on the Safety of Nuclear Installations, 2008 [cit. 2.7.2012]. Dos-tupné na: <http://www.oecd-nea.org/html/nsd/docs/2007/csni-r2007-13.pdf>.

[6] BABANÍK, J. Simulujeme v programu Femlab [online]. HW group, [cit. 5.7.2012]. Dostupné na:<http://www.hw.cz/navrh-obvodu/software/simulujeme-v-programu-femlab.html>.

[7] BALDWIN, B. - LOMAX, H. Thin-layer approximation and algebraic model for separated turbulentows. AIAA Journal 16. 1978. paper 78-257.

[8] BENNETT, A. F. Lagrangian uid dynamics. New York: Cambridge University Press, 2006. 286 s.ISBN 978-052-1853-101.

[9] Best Practice Guidelines for the use of CFD in Nuclear Reactor Safety Applications [online]. NuclearEnergy Agency, Committee on the Safety of Nuclear Installations, 2007 [cit. 2.7.2012]. Dostupné na:<http://www.oecd-nea.org/html/nsd/docs/2007/csni-r2007-5.pdf>.

[10] BLAZEK, J. Computational uid dynamics: principles and applications. 1st ed. Amsterdam: Elsevier,2005. 440 s. ISBN 0-08-043009-0.

[11] BLONDEL, P. - GIRARDIN, G. Modelling of solute concentration into crud deposits un-der subcooled boiling conditions [online]. Areva, Le Creusot, 2008 [cit. 5.7.2012]. Dostupné na:<http://comsol.cn/uploadle/download/uploadle/200807/20080701100335849.pdf>.

[12] Boundary Layers [online]. [cit. 29.6.2012]. Dostupné na: <http://www.cartage.org.lb/en/themes/sciences/physics/mechanics/uidmechanics/RealFluids/BoundaryLayers/BoundaryLayers.htm>.

[13] BURDÍK, . - NAVRÁTIL, O. Rovnice matematické fyziky. Vyd. 1. V Praze: eské vysoké u£enítechnické, 2008, 113 s. ISBN 978-80-01-04050-8.

[14] Cast3M [online]. CEA, Saclay, 2003 [cit. 5.7.2012]. Dostupné na: <http://www-cast3m.cea.fr/>.

[15] CD-adapco [online]. CD-adapco, Melville, 2012 [cit.5.7.2012]. Dostupné na: <http://www.cd-adapco.com/index.html>.

65

[16] CD Adapco Group. Methodology [disk]. Computational Dynamics Limited, 2004. Sou£ást manuálu kprogramu Star-CD 3.22.

[17] CD Adapco Group. pro-STAR COMMANDS [disk]. Computational Dynamics Limited, 2004. Sou£ástmanuálu k programu Star-CD 3.22.

[18] CD Adapco Group. USER GUIDE [disk]. Computational Dynamics Limited, 2004. Sou£ást manuáluk programu Star-CD 3.22.

[19] CD Adapco Group. USER GUIDE, pro-STAR with auto mesh generation [disk]. Computational Dy-namics Limited, 2004. Sou£ást manuálu k programu Star-CD 3.22.

[20] CFD4NRS-4, Third Announcement and Final Call for Papers [online]. Nuclear EnergyAgency, [cit. 2.7.2012]. Dostupné na: <http://www.oecd-nea.org/nsd/csni/cfd/workshops/CFD4NRS-4/CFD4NRS-4_3rd_Announcementt.pdf>.

[21] Code Saturne, EDF's Open Source CFD Solution [online]. [cit. 5.7.2012]. Dostupné na: <http://code-saturne.org/cms/>.

[22] Computational Fluid Dynamics (CFD) for Nuclear Reactor Safety Applications, Workshop Proceedings,CFD4NRS-3, Bethesda, Maryland, USA, 14-16 September 2010, [online]. Nuclear Energy Agency, [cit.2.7.2012]. Dostupné na: <http://www.oecd-nea.org/nsd/csni/cfd/workshops/CFD4NRS-3/>.

[23] Computational Fluid Dynamics (CFD) in Nuclear Reactor Safety (NRS), Proceedings of the work-shop on Experiments and CFD Code Application to Nuclear Reactor Safety (XCFD4NRS) Greno-ble, France, 10-12 September 2008, [online]. Nuclear Energy Agency, [cit. 2.7.2012]. Dostupné na:<http://www.oecd-nea.org/nsd/csni/cfd/workshops/XCFD4NRS/index.html>.

[24] DECK, S. - DUVEAU, P. - d'Espiney, P. - GUILLEN, P. Development and appli-cation of Spalar-Allmaras one equation turbulence model to three-dimensional super-sonic complex congurations [online]. ONERA, Paris, 2002 [cit. 28.6.2012]. Dostupné na:<http://2007.parcfd.org/tuncer/ae546/arts/SA-FV-Deck-02.pdf>.

[25] Determining Turbulence Parameters [online]. Fluent Inc., 2003 [cit.5.7.2012]. Dostupné na:<http://jullio.pe.kr/uent6.1/help/html/ug/node178.htm>.

[26] DIJKINK, R. - OHL, C. D. Measurement of cavitation induced wall shear stress [online]. 2008 [cit.29.6.2012]. Dostupné na: <http://www1.spms.ntu.edu.sg/cdohl/publication/ apl08.pdf>.

[27] DURBIN, P. A. - MEDIC, G. Fluid dynamics with a computational perspective. 3rd ed. New York:Cambridge University Press, 2007, 349 s. ISBN 05-218-5017-7.

[28] FEFFERMAN, Ch. J. Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation [online]. Clay Math-ematics Institute, Cambridge, 2006 [cit. 5. £ervna 2012]. Dostupné na: <http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/navierstokes.pdf>.

[29] GALASSI, M. C. - COSTE, P. - MOREL, CH. - MORETTI, F. Two-Phase Flow Simulations for PTSInvestigation by Means of Neptune CFD Code [online]. Science and Technology of Nuclear Installations,vol. 2009, Article ID 950536, 12 pages, 2009 [cit. 2.7.2012]. doi:10.1155/2009/950536. Dostupné na:<http://downloads.hindawi.com/journals/stni/2009/950536.pdf>.

[30] GATSKI, T. B. - BONNET J. Compressibility, turbulence and high speed ow. 1rst ed. Amsterdam:Elsevier, 2009. ISBN 978-008-0445-656.

66

[31] GIBBS, J. W. Vector Analysis. 2nd ed. New Haven: Yale University Press, 1929.

[32] GNOFFO, P. A. A vectorized, nite volume, adaptive grid algorithm for Navier-Stokes, numerical gridgeneration. Applied Mathematics and Computation. 1982, 10-11, s. 819-835. ISSN 00963003. DOI:10.1016/0096-3003(82)90224-7.

[33] GUELFI, A. - BESTION, D. - BOUCKER, M. NEPTUNE : A new software platform for advancednuclear thermal hydraulics, Abstract. Nuclear science and engineering. 2007, vol. 156, No. 3, pages281-324. ISSN: 0029-5639.

[34] HANNINK, M. H. C. - KUCZAJ, A. K. - BLOM, F. J. - CHURCH, J. M. - KOMEN, E. M. J. A cou-pled CFD-FEM strategy to predict thermal fatigue in mixing tees of nuclear reactors [online]. NuclearResearch and Consultancy Group, Petten, 2008 [cit. 2.7.2012]. Dostupné na: <http://www.eurosafe-forum.org/les/Presentations2008/Seminar%201/Abstracts/1.8%20%203D%20coupled%20CFD%20FEM%20code%20strategy_hannink_20081007.pdf>.

[35] HEJZLAR, R.: Mechanika tekutin. Vyd. 4. Praha: VUT, 2005. 203 s. ISBN 80-01-03350-3.

[36] HIRSCH, Ch. Numerical computation of internal and external ows. 2nd ed. Amsterdam: Elsevier,2007, 656 s. ISBN 978-0-7506-6594-0.

[37] HOKR, M. Transportní procesy [online]. Technická univerzita v Liberci, Liberec, 2005 [cit. 9. £ervna2012]. Dostupné na: <http://www.nti.tul.cz/cz/images/3/3e/Hokr_TRP_skripta_05-09-23.pdf>.

[38] HUANG, P.C. - COLEMAN, G.N. - BRADSHAW, P. Compressible turbulent channel ows: DNSresults and modelling. Journal of Fluid Mechanics, 305. 1995. 185-218.

[39] CHOI, H. - MOIN,P. Grid-point requirements for large eddy simulation: Chapman's estimates revis-ited [online]. Center for Turbulence Research, Stanford University, 2011 [cit. 28.6.2012]. Dostupné na:<http://www.stanford.edu/group/ctr/ResBriefs/ 2011/03_choi.pdf>.

[40] CHUNG, J. - BIENKIEWICZ, B. Numerical simulation of a hybrid RANS/LES model to ow pasta high-rise building [online]. 4th International Symposium on Computational Wind Engineering,Yokohama, 2006 [cit. 30.6.2012]. Dostupné na: <http://www.iawe.org/Proceedings/CWE2006/MD1-04.pdf>.

[41] JOHNSON, C. Numerical Solution of Partial Dierential Equations by the Finite Element Method.Cambridge: Cambridge University Press, 1987, 278 s. ISBN 05-213-4758-0.

[42] KAO, K. H. - LIOU, M. S. - CHOW, Ch. Y. Grid adaptation using chimera composite overlappingmeshes. AIAA paper 93-3389. In AIAA 11th computational uid dynamics conference. 1993.

[43] KNUTH, D. E. The art of computer programming. 3rd ed. Upper Saddle River: Addison-Wesley, 1997,650 s. ISBN 02-018-9683-4.

[44] KOBYLKA, D. Konzultace k Bakalá°ské práci. V Hole²ovi£kách 2, 180 00 Praha 8. [10.3.2012 -16.7.2012].

[45] KOBYLKA, D. P°edná²ka p°edm¥tu THN2. V Hole²ovi£kách 2, 180 00 Praha 8. [4.4.2012].

[46] KREISS, H. O. Initial boundary value problems for hyperbolic systems. Communications on Pure andApplied Mathematics. 1970, ro£. 23, £. 3, s. 277-298. ISSN 00103640. DOI: 10.1002/cpa.3160230304.

67

[47] KREJÍ, J. rezimy_povolny.txt [e-mail]. P°íloha elektronické po²ty ze dne 11.7.2012pro <povolant@fj.cvut.cz> od <krejci.jakub@seznam.cz>.

[48] KREJÍ, J. Subkanálová analýza svazku prut· p°i nadkritických parametrech chladiva, Diplomová práce[disk]. Katedra jaderných reaktor·, Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská, eské vysoké u£ení tech-nické v Praze, 2011.

[49] KREJÍ, J. vystup_povolny.txt [e-mail]. P°íloha elektronické po²ty ze dne 11.7.2012pro <povolant@fj.cvut.cz> od <krejci.jakub@seznam.cz>.

[50] KUNE, J. Modelování tepelných proces·. Praha, 1989, 423 s. ISBN 80-030-0134-X.

[51] LANDAU, L. D. - LIFSHITZ, E. M. Fluid Mechanics. 2nd ed., 2nd English ed., rev. New York:Pergamon Press, 1987. 539 s. ISBN 00-803-3932-8.

[52] LARS, D. An Introduction to Turbulence Models [online]. Department of Thermo and FluidDynamics, Chalmers University of Technology, Göteborg, 2011 [cit. 30.6.2012]. Dostupné na:<http://www.tfd.chalmers.se/lada/postscript_les/ kompendium_turb.pdf>.

[53] LESIEUR, M. Turbulence in uids. New York: Springer, 2008, 558 s. ISBN 978-1-4020-6434-0.

[54] LEVEQUE, R. J. Numerical methods for conservation laws. 2nd ed. Boston: Birkhäuser Verlag, 1992,214 s. ISBN 0-8176-2723-5.

[55] MARE, R. - KADRNOKA, J. - IFNER, O. Tabulky vlastností vody a páry podle pr·myslové formu-lace IAPWS-IF97: Tables of properties of water and steam computed from the industrial formulationIAPWS-IF97. Vyd. 1. Brno: VUTIUM, 1999, 156 s. ISBN 80-214-1316-6.

[56] MCCOMB, W. The Physics of Fluid Turbulence. Oxford: Clarendon Press, 1990, 572 s. ISBN 01-985-6256-X.

[57] MENTER, F. R. - GARBARUK, A. V. - EGOROV, Y. Explicit Algebraic ReynoldsStress Models for Anisotropic Wall-Bounded Flows [online]. EUCASS, 3rd EuropeanConference for Aero-Space Sciences, Versailles, 2009 [cit. 29.6.2012]. Dostupné na:<http://agarbaruk.professorjournal.ru/c/document_library/get_le?p_l_id=213135&folderId=213180&name=DLFE-6688.pdf>.

[58] MIZUKAMI, M. - GEORGIADIS, N. J. - CANNON, M. R. A Comparative Study of Com-putational Solutions to Flow Over a Backward-Facing Step [online]. Fifth Annual Thermaland Fluids Analysis Workshop, Ohio, 1993 [cit. 2.7.2012]. Dostupné na: <http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19940019197_1994019197.pdf>.

[59] NX Flow [online]. MAYA HTT, [cit. 5.7.2012]. Dostupné na: <http://www.mayahtt.com/index.php?option=com_content&task=view&id=2&Itemid=116>.

[60] PETERS, N. Four Lectures on Turbulent combustion [online]. Institut für Technische MechanikRWTH Aachen, September 1997 [cit. 27.6.2012]. Dostupné na: <http://www.mig6.rwth-aachen.de/leadmin/LehreSeminar/Combustion/ SummerSchool97_ueberarbeitet.pdf>.

[61] POPE, S. Turbulent ows. Cambridge: Cambridge University Press, 2000, 771 s. ISBN 978-0-521-59886-6.

[62] Presentation of the Trio_U project [online]. CEA, Saclay [cit. 5.7.2012]. Dostupné na: <http://www-trio-u.cea.fr/scripts/home/publigen/content/templates/show.asp?P=122&L=EN>.

68

[63] Pressurized Thermal Shock in Nuclear Power Plants: Good Practices for Assessment [online]. In-ternational Atomic Energy Agency, TECDOC-1627, Vienna, 2010 [cit. 2.7.2012]. Dostupné na:<http://www-pub.iaea.org/MTCD/publications/PDF/te_1627_web.pdf>.

[64] Selecting CFD software [online]. School of Civil and Building Engineering, Loughborough University,2004 [cit. 5.7.2012]. Dostupné na: <http://www.lboro.ac.uk/departments/cv/sta/docs/227/appendices/appa.pdf>.

[65] SHAW, Ch. T. Using computational uid dynamics. New York: Prentice Hall, 1992, 251 s. ISBN 01-392-8714-0.

[66] STUDER, E. - BECCANTINI, A. - GOUNAND, S. CAST3M/ARCTURUS: A coupled heat trans-fer CFD code for thermalhydraulic analyzes of gas cooled reactors [online]. Elsevier 2007 [cit.5.7.2012]. ISSN: 0029-5493. DOI: 10.1016/j.nucengdes.2007.03.016. Dostupné na: <http://nucleaire-saclay.cea.fr/publis2007-2008/STUDER%20&%20BECCANTINI.pdf>.

[67] TOLL, I. Mechanika. Vyd. 3. V Praze: eské vysoké u£ení technické, 2010. 209 s. ISBN 978-80-01-04554-1.

[68] VERSTEEG, H. - MALALASEKERA, W. An introduction to computational uid dynamics: the nitevolume method. 2nd ed. Harlow: Pearson Prentice Hall, 2007. 503 s. ISBN 978-0-13-127498-3.

[69] VITÁSEK, E. Numerické metody. 1. vyd. Praha: SNTL, 1987. 516 s.

[70] WARSI, Z. Fluid Dynamics: Theoretical and Computational Approaches. 2 ed. Boca Raton: CRC Press,1999, 726 s. ISBN 08-493-2407-6.

[71] Welcome to CHAM and PHOENICS [online]. Cham, 2012 [cit. 5.7.2012]. Dostupné na:<http://www.cham.co.uk/>.

69

P°íloha 1: Tepelné vlastnosti látkyTabulka 1: Krom¥ hustoty jsou teploty v²ude zadávány v Kelvinech a výsledky vychází v základníchjednotkách ([Pas], [W/mK], [-], [K], [-]). P°i denici byla pouºita m¥rná plynová konstanta R =461, 526 J/kgK a [55].

η = 1, 36909 · 10−4 T ∈ (100; 473, 15)= 4, 07694 · 10−4 − 5, 72303 · 10−7 T T ∈ (473, 15; 523, 15)= 3, 28140 · 10−4 − 4, 20236 · 10−7 T T ∈ (523, 15; 573, 15)= 8, 72823 · 10−5 T ∈ (573, 15; 2000)

λ = 1, 03133− 0, 0007584 T T ∈ (100; 498, 15)= 1, 16115− 0, 0010190 T T ∈ (498, 15; 523, 15)= 1, 31695− 0, 0013168 T T ∈ (523, 15; 548, 15)= 1, 52252− 0, 0016919 T T ∈ (548, 15; 573, 15)= 0, 55283 T ∈ (573, 15; 2000)

cpR = 4, 47645− 0, 0108149 T T ∈ (100; 493, 15)

= 2, 68474− 0, 0144481 T T ∈ (493, 15; 513, 15)= −0, 07584− 0, 0198278 T T ∈ (513, 15; 538, 15)= −4, 69079− 0, 0284838 T T ∈ (538, 15; 553, 15)= −13, 59955− 0, 0445893 T T ∈ (553, 15; 2000)

hR = −1469, 9 + 4, 47645 T − 0, 0108149 1

2T2 T ∈ (100; 493, 15)

= −1028, 4 + 2, 68474 T − 0, 0144481 12T

2 T ∈ (493, 15; 513, 15)= −320, 4− 0, 07584 T − 0, 0198278 1

2T2 T ∈ (513, 15; 538, 15)

= 909, 3− 4, 69079 T − 0, 0284838 12T

2 T ∈ (538, 15; 553, 15)= 3372, 6− 13, 59955 T − 0, 0445893 1

2T2 T ∈ (553, 15; 2000)

sR = −27, 6817 + 4, 47645 ln T − 0, 0108149 T T ∈ (100; 493, 15)

= −18, 3639 + 2, 68474 ln T − 0, 0144481 T T ∈ (493, 15; 513, 15)= −3, 8975− 0, 07584 ln T − 0, 0198278 T T ∈ (513, 15; 538, 15)= 20, 463− 4, 69079 ln T − 0, 0284838 T T ∈ (538, 15; 553, 15)= 67, 8173− 13, 59955 ln T − 0, 0445893 T T ∈ (553, 15; 2000)

70

P°íloha 2: Rozloºení teploty a rychlosti na výstupu

Obrázek 1: Model 1: (vlevo) - rozloºení teploty na výstupu, (vpravo) - rozloºení rychlosti na výstupu.

Obrázek 2: Model 2: (vlevo) - rozloºení teploty na výstupu, (vpravo) - rozloºení rychlosti na výstupu.

71

Obrázek

3:Model3:(vlevo)-rozloºeníteplotyna

výstupu,

(vpravo)

-rozloºenírychlostina

výstupu.

72

Obrázek

4:Model4:(vlevo)-rozloºeníteplotyna

výstupu,

(vpravo)

-rozloºenírychlostina

výstupu.

73

Obrázek

5:Model5:(vlevo)-rozloºeníteplotyna

výstupu,

(vpravo)

-rozloºenírychlostina

výstupu.

74

Obrázek

6:Model6:(vlevo)-rozloºeníteplotyna

výstupu,

(vpravo)

-rozloºenírychlostina

výstupu.

75

Obrázek

7:Model7:(vlevo)-rozloºeníteplotyna

výstupu,

(vpravo)

-rozloºenírychlostina

výstupu.

76

Obrázek

8:Model8:(vlevo)-rozloºeníteplotyna

výstupu,

(vpravo)

-rozloºenírychlostina

výstupu.

77

Obrázek

9:Model9:(vlevo)-rozloºeníteplotyna

výstupu,

(vpravo)

-rozloºenírychlostina

výstupu.

78

Obrázek

10:Model10:(vlevo)-rozloºeníteplotyna

výstupu,

(vpravo)

-rozloºenírychlostina

výstupu.

79

Obrázek

11:Model11:(vlevo)-rozloºeníteplotyna

výstupu,

(vpravo)

-rozloºenírychlostina

výstupu.

80

Obrázek

12:Model12:(vlevo)-rozloºeníteplotyna

výstupu,

(vpravo)

-rozloºenírychlostina

výstupu.

81

Obrázek

13:Model13:(vlevo)-rozloºeníteplotyna

výstupu,

(vpravo)

-rozloºenírychlostina

výstupu.

82

Obrázek

14:Model15:(vlevo)-rozloºeníteplotyna

výstupu,

(vpravo)

-rozloºenírychlostina

výstupu.

83

P°íloha 3: Hodnocení model· podle shody, doby výpo£tu amaximálního residua

Obrázek 15: Jednotlivé modely a jejich hodnotící faktory (8.2) podle vypo£ítaných tlakových ztrát ∆p ast°ední teploty T na výstupu.

84

Obrázek 16: Jednotlivé modely a jejich hodnotící faktory (8.2) podle st°ední teploty T a rychlosti v navýstupu.

Obrázek 17: Jednotlivé modely a jejich hodnotící faktory (8.2) podle vypo£ítaných tlakových ztrát ∆p ast°ední rychlosti v na výstupu.

85