Modelovn vceslokov difzn fzov transformace v pevnch ltkchJi Vala Brno University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Czech RepublicVala.J@fce.vutbr.czProgramy a Algoritmy Numerick Matematiky 14 (2008) Doln Maxovtradin poas na PANM

abstrakt pednky pro PANM 14 Doln Maxov2008

FAST VUT v BrnIgnis Brunensis

KLOV SLOVA

difzn a masivn fzov transformaceOnsagerv termodynamick principmatematick model: stacionrn a nestacionrn ppadexistence een a konvergence numerickch algoritmpraktick vsledky numerickch simulacNi superalloy CMSX4 Ni-Al-Cr-Ta alloy superaustenitic iron NICROFER Bi-Sn-Zn alloy

OBSAH

Historick poznmkyDifzn a masivn fzov transformace fyzikln podstataMatematick model stacionrn a nestacionrn ppadOnsagerv princip maximln rychlosti disipace Numerick pstupy Vpoty s podporou softwaru MATLAB a MAPLE Existenn a konvergenn analzaPklad vpotov simulaceUiten zobecnn

Historick poznmky:

Onsager (1931) difzn tok pro kadou sloku ve vceslokov soustav = matice kinetickch souinitel x gradient chemickch potencil jednotlivch sloek, formulace termodynamickho extremlnho principu

Callen (1960), Groot & Mazur (1962), , Glicksmann (2000) zobecnn pvodnho Onsagerova pstupu: difzn tok extensive quantity, chemick potencil intensive variable

Fan & al. (1999) penos rozputnch sloek (solute drag) v polykrystalech, binrn slitiny, substitun sloky

Schneider & Inden (2004) ostr rozhran, 3 typy okrajovch podmnek: i) lokln podmnky rovnovhy s oddlenm sloek (with partitioning), ii) lokln podmnky rovnovhy se zanedbatelnm oddlovnm (with negligible partitioning), iii) para-rovnovn podmnky, pohybliv x pevn referenn soustava

Svoboda & al. (20061) rozhran konen tlouky (ostr rozhran jako limitn ppad), bez umlch okrajovch podmnek (uzaven soustava), substitun slitiny, numerick analza pro stacionrn ppad

Svoboda & al. (20062) substitun i intersticiln sloky, difze a creep s neidelnmi zdroji a msty zniku (sources & sinks) vakanc

Difzn a masivn fzov transformace fyzikln podstata:

troj podstata difznch proces ve vceslokovch systmech:a) vakann mechanismus pro pomalu difundujc substitun slokyb) rychl pohyb atom intersticilnch sloekc) existence jistch zdroj a mst zniku vakanc

zkladn pedpoklady:materily obsahujc r + s sloekdv fze a , oddlen rozhranm konen tlouky h, jeho vlastnosti odpovdaj ideln kapalin Onsagerv thermodynamick extremln principevoluce molrnch frakc c1(x,t),, cr(x,t) a rychlosti pohybu mezifzovho rozhran v(t)jednorozmrn sdruen problm objemov difze a migrace rozhran

xL(t) xR (t)pohybujc se rozhran v prbhu fzov transformace

Matematick model stacionrn a nestacionrn ppad:

molrn frakce (podl)c1(x,t) ++ cr(x,t) = 1 c* = (c1, , cr), c = (c1, , cr1) difzn tokyj1(x,t) ++ jr(x,t) = 0 j = (j1, , jr1)

zachovn hmotnostic vc + j = 0 cL = cR CR / v C is the integral of c from xL to x

vyslen Gibbsovy energie: integrly z c*(c*), meze od xL do xR

chemick potencily(c*) = wf f(c*), souet pes f {, , } f(c*) = 0f + RT log c* + f(c*)

jen pro substitun sloky, pro intersticiln sloky bez omezen

Josiah Willard Gibbs1839-1903 Onsagerv princip maximln rychlosti disipace:chemick potencily vhov funkcevazebn podmnka pro (Gibbs-Duhem)

celkov Gibbsova energie soustavy a jej asov derivacezkon zachovn hmotnosti pro difzn toky(uzaven soustava)rychlost disipace pslun objemov difzi a pohybu mezifzovho rozhran

Lars Onsager1903-1976 Evolun rovnice:Onsagerv termodynamick princip: kinetika soustavy odpovdvariacipo dosti dlouhch vpotech vychz

Stacionrn een:rozklad chemickch potencilpodmnka stacionrnho stavuintegrace pesvektorov (nsleduje mnoho formlnch substituc, podrobnji dle)vyjde r+s1 rovnic pror+s1& 1 rovnice pro konstantn rychlost v

Nestacionrn een:evolun rovnicepohybujc se okrajov podmnkyslab formulace (testovac funkce , mal kompaktn nosi) & 1 rovnice pro rychlost v(t)

Numerick pstupy:

h rychlost rozhranv = (M/) c*(c*) dx 0 podrobnji: evolun rovniceNj + B(c)c+ K(c)c = 0

B(c)c+ [K(c) + (N/)v]c = (N/)( vcL + C)

metoda pmek, Crankovo-Nicholsonovo schma(zjednoduen tvar, ekvidistantn s, s od 1 do m) Bs(cscs1) + [Ks + (Ns/)v] (cs+cs1) = (Ns/) ( vc0 + Cs)

& rychlost rozhran v numerickou integrac (Simpsonovo pravidlo), obdobn t Cs & spektrln analza (Fourierova metoda), zejmna ve fzch ,

strun oznaensubstitun slokyintersticiln slokypodrobnji: chemick potencily

Oekvateln otzka: Jak se ur chemick potencily ?Pro ist substitun slitinu (podle teoretickho i experimentlnho bdn koleg z Leobenu) Fe-Cr-Ni s pevahou Fe (tedy ponkud vylepenou ocel) je lze vyjdit (po pedzpracovn MAPLEm) nap. pro speciln teplotu 1030 K takto:function muN=admui030(c);c1=c(1); c2=c(2); c3=c(3);p=1043; p1=-1354.5; p2=-468; p12=2373; p13=1100; p113=1100; p123=550; pX112=617;gp=p+p1*c1+p2*c2+p12*c1*c2+p13*c1*c3+p113*c1^2*c3+p123*c1*c2*c3+pX112*c1*c2*(c1-c2);gp1=p1+p12*c2+p13*c3+2*p113*c1*c3+p123*c2*c3+pX112*c2*(c1-c2)+pX112*c1*c2;gp2=p2+p12*c1+p123*c1*c3+pX112*c1*(c1-c2)-pX112*c1*c2;gp3=p13*c1+p113*c1^2+p123*c1*c2;gpa=gp1*c1+gp2*c2+gp3*c3;q=3.22; q1=-2.228; q2=-1.37; q12=4; q13=-0.85;gq=q+q1*c1+q2*c2+q12*c1*c2+q13*c1*c3;gq1=q1+q12*c2+q13*c3;gq2=q2+q12*c1;gq3=q13*c1;gqa=gq1*c1+gq2*c2+gq3*c3;a12=7241.75; a13=10529.6; a23=-2282.51; aM12=17670.5; aM32=463.152; aS5=-4.74062e-013; aS15=-1.11983e-044; aS25=-1.74984e-075;

m1=(-2*aM12*c2+a13)*c1^2+(2*aM32*c2*c3-aM32*c2^2-a12*c2+a23*c2+c2*a13+2*aM12*c2^2+2*aM12*c2-a13)*c1-aM32*c2^3-a23*c2+3*aM32*c2^2*c3+a23*c2^2-aM12*c2^2+a12*c2+a13*c3-aM32*c2*(c3-c2)-aM32*c2*c3;m2=(-2*aM12*c2+a13+aM12)*c1^2+(2*aM32*c2*c3-aM32*c2^2-a12*c2+a23*c2+c2*a13+2*aM12*c2^2+a12-2*aM12*c2-a13)*c1-aM32*c2^3-2*aM32*c2*c3+3*aM32*c2^2*c3+a23*c2^2+a23*c3-a23*c2+aM32*c3*(c3-c2)-aM32*c2*(c3-c2);m3=(-2*aM12*c2+a13)*c1^2+(2*aM32*c2*c3-aM32*c2^2-a12*c2+a23*c2+c2*a13+2*aM12*c2^2)*c1+3*aM32*c2^2*c3+a23*c2^2-aM32*c2^3;m1A=aS5*gp^5*log(q+q1*c1+q2*c2+q12*c1*c2+q13*c1*c3)+5*aS5*gp^4*(gp1-gpa)*log(q+q1*c1+q2*c2+q12*c1*c2+q13*c1*c3)+aS5*gp^5/(q+q1*c1+q2*c2+q12*c1*c2+q13*c1*c3)*(q1+q12*c2+q13*c3-c1*(q1+q12*c2+q13*c3)-c2*(q2+q12*c1)-q13*c1*c3);m2A=aS5*gp^5*log(q+q1*c1+q2*c2+q12*c1*c2+q13*c1*c3)+5*aS5*gp^4*(gp2-gpa)*log(q+q1*c1+q2*c2+q12*c1*c2+q13*c1*c3)+aS5*gp^5/(q+q1*c1+q2*c2+q12*c1*c2+q13*c1*c3)*(q2+q12*c1-c1*(q1+q12*c2+q13*c3)-c2*(q2+q12*c1)- a nsleduje jet asi 1500 obdobnch programovch dk v MATLABu. Sloitj ppady ponechme na fantazii laskavho tene.

1. vypotou se vechny molrn frakce cs (pro cel s od 0 do m) v kadm asovm kroku: nastav se molrn frakce cs na zklad potench podmnek (v prvnm asovm kroku t = ) nebo na zklad hodnot zskanch v pedelm asovm kroku t, pot se odhadnou cs jako cs2. numericky se vypote rychlost pohybu rozhran v Simpsonovm pravidlem 3. nastav se Bs, Ks a Ns pomoc cs , dle se nastav c0 jako sloupcov vektor r+s1 neznmch parametr (v programovm kdu lze vyut komplexn aritmetiky) 4. Postupn se e cs (vdy jen ze soustavy r+s1 linernch algebraickch rovnic se stejnm potem neznmch), pot se vypotou (stle jako jist funkce c0) cs a s as (cs cs*) / , kde cs* pochzej z pedchozho asovho kroku5. ur se c0, pepotou se vechna cs, pouije se vhodn indiktor chyby (zachycujc zmny v hodnotch v i vech cs) 6. numericky se vypotou integrly Cs7. rozhodne se o ukonen iterac, jinak se vrt ke kroku 2 Vpoty s podporou softwaru MATLAB a MAPLE:

Realistitj vpoty:stejnomrn s jen uvnit rozhran, nestejnomrn s v ostatnch fzch xL a xR aktualizovny v kadm asovm kroku, nejsou tedy obecn identick s uzly st (je nutn interpolace) Nedostaten kvalita interpolanch schmat kubick splajny pouvny namsto linernch pro molrn frakce, linern splajny namsto konstant na intervalech (Crank-Nicholson) pro materilov charakteristiky, alternativn i exponenciln funkce (blzk semianalytickmu een Fourierovou metodou vn rozhran)materilov charakteristiky zskvny jako sloit funkce od koleg z Leobenu (polynomy a 25. du, vynsoben logaritmy dalch polynom, apod.) podpora softwaru MAPLE (resp. toolboxu MATLABu symbolic)

Existenn a konvergenn analza:Pklad vpotov simulace:poten molrn frakce Cr-Ni-FeFan & al. (1999) algoritmus pro binrn slitiny Mayer &.Simonett (1999) existence of klasickho eenSchneider &. Inden (2004) algoritmus pro vceslokov slitiny, ostr rozhran, uml okrajov podmnkyV. (2007) pedbn vsledek pro stacionrn ppad (reflexivn Sobolevovy prostory, Gronwallovo-Bellmanov lemma); obecnji ? asov diskretizace, Rotheho posloupnosti

Vvoj molrnch frakc pro Cr a Ni v ase

Molrn frakce pro rzn difzn vlastnosti vynsobeno 1.1 (rkovan) i 0.9 (erchovan)

Molrn frakce pro rzn mobility rozhran vynsobeno 1.15 (rkovan) i 0.85 (erchovan)

Chemick potencilycelkov potencily, prvn aditivn st (rkovan), linearizovanpstup (erchovan)

Skoky i(h) i(0) for i {1,2,3} jako funkce tlouky rozhranFeCrNiJ. Svoboda, J. Vala, E. Gamsjger, F. D. Fischer: A thick-interface model for diffusive and massive phase transformation in substitutional alloys, Acta Materialia 54 (2006), 3953-3960, available at www.sciencedirect.com

Rychlost pohybu rozhran v jako funkce: i) tlouky rozhran h ii) teploty T

Uiten zobecnn:

realistick 1D vpoty pro vceslokov soustavy se substitunmi i intersticilnmi slokami, obecn nestacionrn ppad (dosud oteven problmy: nejist data, komplikovan chemick potencily, nen garantovno dn konen steady-state solution)

zahrnut elastickch a creepovch petvoen, nsledn rychlosti smrovn a roztahovn (objemovch zmn), podle mechanismu b) zahrnut rznch dalch tok, jmenovit i) toku stinc vyvolan gradientem teploty (Soretv jev) a ii) transportu tepla poplatnho gradientu koncentrace (Dufourv jev)

obte 2D and 3D modelovn: i) dal hnac sly souvisejc se zakivenm rozhran, ii) difze podl (nejen kolmo na) rozhran, iii) mon nerovnomrn migrace rozhran (nekonstantn tlouka rozhran ?) FDM, FEM, FVM,

DKUJI VM ZA POZORNOST.Tento vzkum podporuje Grantov agentura AV R, reg. . IAA200410601 (2006-08).Tuto cestu nesponzorovala GA AV R.7. MATEMATICK WORKSHOP SMEZINRODN ASTFAST VUT v Brn 16. jna 2008http://math.fce.vutbr.cz/konference

Jet jedna velmi nekomern reklama: