Tutoriál 4. – prednáška 4

Modelovanie fyzikálnych systémov popísaných

nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami v prostredí

MATLAB

- Aplikácie na nelineárnych dynamických systémoch

- Volter - Lotka model korisť – predátor

- Van der Pólov oscilátor

- Matematické kyvadlo

V podstate všetky systémy na svete sú nelineárne. Lineárnymi sa stávajú ich

linearizovaním, napr. linearizovaním v pracovných bodoch, zanedbaním niektorých síl pôsobiacich na

systém a podobne. Nelineárne systémy v sebe obsahujú určité nelinearity, obmedzenia.

PRÍKLAD 1 – LOTKA - VOLTER

Predpokladajme, že chceme študovať efekt interakcie koeficientov α a β v modeli Lotka-Voltera ->

predátor - korisť. Ktorý je popísaný dvoma nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami 1. rádu.

Riešenie v programovom prostredí MATLAB:

Tutoriál 4. – prednáška 4

PRÍKLAD 2 – Van der Pólov oscilátor

V tomto príklade vytvoríme simulačný model nelineárneho dynamického systému (Van der Pólovho

oscilátora)

Van der Pólov oscilátor popisuje diferenciálna rovnica:

Pretože táto diferenciálna rovnica je druhého rádu potrebujeme získať sústavu diferenciálnych rovníc

1. rádu a to prepisom do substitučného kanonického tvaru rovnako ako sa to robilo pri lineárnych DR.

Riešenie v grafickom prostredí Simulink:

Simulačný model daného systému je vytvorený v Simulinku. Pre riešenie sme použili

hodnoty a .

Tutoriál 4. – prednáška 4

PRÍKLAD 3

Uvažujeme matematické kyvadlo zobrazené na obrázku, kde závažie o hmotnosti ,

ktoré pôsobí silou , je zavesené na šnúre o dĺžke , ktorej hmotnosť môžeme zanedbať.

Popis parametrov na obrázku:

- uhol vychýlenia kyvadla

– hmotnosť závažia

- dĺžka závesu

- gravitačná konštanta

- koeficient tlmenia

Úloha: Zostavte matematický a simulačný model kyvadla v jazyku Matlab

→ budiaca sila (vyvedie dynamický systém z rovnovážnej polohy)

→ sila zotrvačnosti

→ brzdná sila (odpor vzduchu + tangensiálna zložka tiažovej sily )

d’Alambertov princíp:

→ sila zotrvačnosti

→ brzdiaca sila obvodovej rýchlosti

→ tangensiálna zložka tiaže

→ budiaca sila

→ vonkajší moment

→NDR 2.rádu s pravou stranou

→ normovaná

→ autonómna DR, bez pravej strany

Substitúcia: ,

Prepis do substitučného kanonického tvaru

.

Fg=mg

m

Fgd=mg*sin

l

F(t)

Fb

Fm

Tutoriál 4. – prednáška 4

Riešenie v programovom prostredí MATLAB:

Tutoriál 4. – prednáška 4

PRÍKLAD 4

Hydraulika – dve spojené nádoby

Uvažujme model hydrauliky (dvoch spojených nádob), ktorý je zobrazený na obrázku.

Sledovanou veličinou bude zmena výšky hladiny v prvej nádobe. Túto zmenu vieme popísať rovnicou

Výtoková rýchlosť z nádoby je popísaná Toricelliho vzorcom . Teda zmena

výšky hladiny v prvej nádobe bude popísaná diferenciálnou rovnicou

Podobným spôsobom vieme popísať aj zmenu výšky hladiny v druhej nádobe:

S týmito dvoma diferenciálnymi rovnicami prvého rádu vieme priamo pracovať v programovom

prostredí MATLAB.

Počiatočné podmienky: v tomto prípade sú počiatočnými podmienkami výšky hladín v prvej a druhej

nádobe, čiže napríklad a

Hodnoty pre výpočet:

Tutoriál 4. – prednáška 4

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

čas [t]

výška h

ladin

y [

m]

h1=1.2, h2=0.7, S=0.25, S0=0.01, H=0.2

0.035

0.03

0.025

Riešenie v prostredí MATLAB:

function xder=hydraulika(t,x) %Zapis diferencialnej rovnice 2.radu pomocou 2rovnic 1.radu global S Q S0 H g; xder=[1/S*Q-S0/S*sqrt(2*g*(x(1)-x(2))); S0/S*sqrt(2*g*(x(1)-x(2)))-

S0/S*sqrt(2*g*(x(2)-H))]; return

[t,y]=ode45('hydraulika',[t0 tfin],[h1; h2]); plot(t,y(:,1))