Modelowanie Matematyczne Tercja I ,,Dynamiczna`` …siudem/MM/W3.pdfOdpowiedzi Pytanie 1. Z faktu istnienia orbity o okresie 3 z twierdzenia Szarkowskiego wiemy, że ten układ dynamiczny

Modelowanie MatematyczneTercja I „Dynamiczna“Wykład 3. Fraktale.

Grzegorz SiudemWydział Fizyki PW

Wejściówka [15 minut]

Pytanie 1.Co wiemy o istnieniu orbit okresowych dla rodziny kwadratowej z λ = 3.839 oraz ichokresach i stabilności (punkty przyciągające vs. odpychające)?

Pytanie 2.Lemat 2: Niech f : R→ R będzie ciągła. Dla odpychającego punktu stałego p istnieje jegootwarte otoczenie U, takie, ze dla każdego x 6= p, x ∈ U istnieje k > 0 takie, że fk(x) /∈ U.Przedstaw dowód tego lematu.

Pytanie 3.Czym są punkty (stałe) przyciągające i odpychające? Czy jeden punkt może byćjednocześnie i przyciągający i odpychający? Czy punkt stały może nie być żadnym z nich?

© Grzegorz Siudem 2

Odpowiedzi

Pytanie 1.Z faktu istnienia orbity o okresie 3 z twierdzenia Szarkowskiego wiemy, że ten układdynamiczny posiada orbity o każdym innym okresie. Poznanymi na zajęciach metodaminie rozstrzygniemy ich stabilności.Pytanie 2.Ustalmy ε > 0, z ciągłości f dobieramy otwarte, ograniczone otoczenie p ∈ U, dla którego|f′(x)| > 1 + ε w każdym x ∈ U. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a tak jak na wykładziedla dowolnego x ∈ U mamy

|fk(x)− p| > (1 + ε)k|x− p|,

co dla odpowiednio dużego k kończy dowód, bo (1 + ε)k jest większe niż promień zbioru U.Pytanie 3.• Punkty przyciągające to takie gdzie |(fn)′(x)| < 1,• Punkty odpychające to takie gdzie |(fn)′(x)| > 1,• Punkt stały nie może być oboma na raz, ale może nie być hiperboliczny.


Dynamika rodziny kwadratowej dla λ > 4Zacznijmy od eksperymentu:• Co dzieje się z orbitami?

• Sprawdź kolejne złożenia funkcji fkλ.

Zdefiniujmy:• Zbiory Ak ,• Zbiór Λ,• Topologiczny zbiór Cantora,• Trójkowy zbiór Cantora,

Twierdzenie 1Dla λ > 2 +

√5 zbiór Λ jest zbiorem Cantora.Uwaga! Twierdzenie zachodzi nawet dla λ > 4.


Dynamika rodziny kwadratowej dla λ > 4Zacznijmy od eksperymentu:• Co dzieje się z orbitami?• Sprawdź kolejne złożenia funkcji fkλ.






Zdefiniujmy:• Zbiory Ak ,• Zbiór Λ,

• Topologiczny zbiór Cantora,• Trójkowy zbiór Cantora,





Zdefiniujmy:• Zbiory Ak ,• Zbiór Λ,• Topologiczny zbiór Cantora,

• Trójkowy zbiór Cantora,














Dynamika zespolona

Sprzężenie (topologiczne)

Lemat 1.Dowolny wielomian zespolony W(z) = az2 + 2bz + d jest sprzężony z wielomianempostaci Qc(z) = z2 + c.

Definicje• zbiory Julii i Fatou,• zbiór Mandelbrota.


Dynamika zespolona

Sprzężenie (topologiczne)

Lemat 1.Dowolny wielomian zespolony W(z) = az2 + 2bz + d jest sprzężony z wielomianempostaci Qc(z) = z2 + c.

Definicje• zbiory Julii i Fatou,• zbiór Mandelbrota.


Fraktale i wymiar pudełkowy

Definicja wymiaru fraktalnego

Przykłady fraktali rzeczywistych

źródło: wikipedia





źródło: wikipedia





źródło: wikipedia© Grzegorz Siudem 6

Zagadnienia przed kolejnym wykładem

Zagadnienie 1.Udowodnij, że trójkowy zbiór Cantora jest (topologicznym) zbiorem Cantora.

Zagadnienie 2.Znajdź przekształcenie Möbiusa sprzęgające zespolone wielomiany W(z) = az2 + 2bz + di Qc(z) = z2 + c. Jaka relacja wiąże λ z poprzednich zajęć z c z zajęć dzisiejszych?

Zagadnienie 3.Czym są zbiory Julii i Mandelbrota?


Documents

Modelowanie Matematyczne Tercja I ,,Dynamiczna`` …siudem/MM/W3.pdfOdpowiedzi Pytanie 1. Z faktu istnienia orbity o okresie 3 z twierdzenia Szarkowskiego wiemy, że ten układ dynamiczny