Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,

Modern Fizika GépészmérnököknekFizika M1

http://physics.bme.hu/BMETE15MX27_kov

2019. őszi félév

2. előadás2019. szeptember 17.

gépészmérnök

modern fizikán alapuló eszköz

Modern Fizika GépészmérnököknekFizika M1

Menetrend

1. előadás (sep 10) 2. előadás (sep 17) 3. előadás (sep 24) 4. előadás (okt 01) 5. előadás (okt 08) 6. előadás (okt 15) 7. előadás (okt 22) - 1. zh 8. előadás (okt 29) 9. előadás (nov 05)

nov 12 - nincs előadás 10.előadás (nov 19) 11.előadás (nov 26) 12.előadás (dec 03) 13.előadás (dec 10) - 2. zh

Elektronok kvantummechanikája

atomokban, kristályokban

Alkalmazások Miről hallanál szívesen?

[email protected]

mailto:[email protected]

Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)

Andras Palyi1

1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary

(Dated: September 16, 2019)

2. ELOADAS

R1�1 dxf(x)

ugyanaz, mint

R1�1 f(x)dx

1. ELOADAS

↵

�

�

�

• 4 abszorpcios szınkepvonal

• ez a ,,Balmer-sorozat”

• tovabbi vonalak lathatok mas �-tartomanyokban

Emlekezteto:

• E = h⌫

• c = �⌫

• 1 eV = 1 elektronvolt ⇡ 1.6⇥ 10�19

J

• SI alapegysegek:

meter (m)

kilogram (kg)

szekundum (s)

amper (A)

• J = kgm2s�2

• E foton energiakvantuma

• Planck-allando: h ⇡ 6.6⇥ 10�34

m2kg s

�1

• fenysebesseg: c ⇡ 3⇥ 108m/s

• �: feny hullamhossza

Hallgatói kérdés

(I) Elektronok atomokbanIsm.: Atomok abszorpciós színképe vonalas szerkezetet mutat

fehér fénnyaláb

prizma

hidrogénatomok gáza

abszorpciós spektrum

Miért jelennek meg ezek a vonalak? A klasszikus fizika nem ad magyarázatot. A kvantumelmélet ad.

Klasszikus vs. Kvantummechanika: állapotjelzők, fizikai mennyiségek, mozgásegyenlet

4

Fizikai mennyisegek a kvantummechanikaban: hely, impulzus.

A kvantummechanikaban a fizikai mennyisegeket linearis lekepezesek,vagy mas szoval linearis operatorok ırjak le.

Ezek a linearis operatorok minden hfv-hez egy masik hfv-t rendelnek.

hely: x : 7! (x : R ! C, x 7! x (x))

impulzus: p : 7!⇣p : R ! C, x 7! ~

id (x)dx

⌘

Feladat: Legyen (x) = 1⇡1/4

pae�

x2

2a2 .

(a) Normalt-e ?

(b) (x )(x) =?

(c) (p )(x) =?

Megoldas:

(a) Igen. Hazi feladat.

(b) (x )(x) = x 1⇡1/4

pae�

x2

2a2

(c) (p )(x) = ~i

ddx

1⇡1/4

pae�

x2

2a2 = � ~i⇡1/4a5/2xe

� x2

2a2

Klasszikus mechanika: determinisztikus joslat.m

Kvantummechanika: valoszınusegi joslat.

Fizikai mennyisegek varhatoerteke a allapotban:

hely varhatoerteke: hxi = h |x i

impulzus varhatoerteke: hpi = h |p i

(I) Elektronok atomokban(I/D) Hullámfüggvény és részecskeáramsűrűség

Példa: egy darab elektron, egy dimenzió (1D)


Andras Palyi1



2. ELOADAS

R1�1 dxf(x)

ugyanaz, mint

R1�1 f(x)dx

Melyik hullamfuggvenyt latjuk?

a: pozitıv es hossz dimenzioju

k: pozitıv es 1/hossz dimenzioju

(1/hossz ⌘ hullamszam )

(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx

1. ELOADAS

↵

�

�

�




Emlekezteto:

• E = h⌫

• c = �⌫

• 1 eV = 1 elektronvolt ⇡ 1.6⇥ 10�19

J


meter (m)

kilogram (kg)

szekundum (s)

amper (A)


Andras Palyi1



2. ELOADAS

R1�1 dxf(x)

ugyanaz, mint

R1�1 f(x)dx





(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx

Melyik ez a hullamfuggveny?

(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )

1. ELOADAS

↵

�

�

�



Komplex értékű hfv ábrázolása ebben a videóban


Andras Palyi1



2. ELOADAS

R1�1 dxf(x)

ugyanaz, mint

R1�1 f(x)dx





(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

e�ikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )

1. ELOADAS

↵

�

�

�




Andras Palyi1



2. ELOADAS

R1�1 dxf(x)

ugyanaz, mint

R1�1 f(x)dx





(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

e�ikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )

1. ELOADAS

↵

�

�

�




Andras Palyi1



2. ELOADAS

R1�1 dxf(x)

ugyanaz, mint

R1�1 f(x)dx





(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

e�ikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )

1. ELOADAS

↵

�

�

�



4

Elnevezesek:E0 =

12~!0: zerusponti energia

{E0, E1, . . . En, . . . }: spektrum, energiaspektrum

0: alapallapot

1: elso gerjesztett allapot

2: masodik gerjesztett allapot, stb.

L :=

q~

m!0

oszcillatorhossz

zerusponti kiteres

L = 1 nm

Feladat: Milyen hullamhosszu, frekvenciaju, es energiakvantumu

elektromagneses sugarzas kell ahhoz, hogy az oszcillator-potencialba zart

elektront az alapallapotabol az elso gerjesztett allapotaba felgerjesszuk,

ha az elektron zerusponti kiterese L = 1 nm?

Megoldas:

�E = E1 � E0 = ~!0 =~2

mL2 ⇡ 76 meV

⌫ = �E/h ⇡ 18.4 THz

� = c/⌫ ⇡ 16.3µm

(kozep-infravoros sugarzas)

Allıtas: az idofuggetlen SE megoldasai lenyegeben megoldjak az idofuggo SE egyenletet is.

Formalisan: ha H n = En n, akkor (t) = e�iEnt/~ n megoldja az idofuggo SE-et.

Bizonyıtas: ~i (t) + H (t) =

~i

�� iEn

~�e�iEnt/~ n + Ene

�iEnt/~ n = 0

Allıtas: a fenti (t) = e�iEnt/~ n stacionarius,

azaz barmely fizikai mennyiseg varhatoerteke ebben az allapotban idoben allando.

Bizonyıtas: (pelda)

h (t)|x (t)i =R1�1 e

iEnt/~ ⇤n(x)xe

�iEnt/~ n(x)dx =R1�1

⇤n(x)x n(x)dx = h n|x ni

ami tenyleg idofuggetlen.

hfv abszoluterteke es fazisszoge: (x) =

p⇢(x)e

i↵(x)

↵

1. ELOADAS

↵

�

�

4

Elnevezesek:E0 =



0: alapallapot



L :=

q~

m!0

oszcillatorhossz

zerusponti kiteres

L = 1 nm





Megoldas:

�E = E1 � E0 = ~!0 =~2

mL2 ⇡ 76 meV

⌫ = �E/h ⇡ 18.4 THz

� = c/⌫ ⇡ 16.3µm





~i

�� iEn


�iEnt/~ n = 0




h (t)|x (t)i =R1�1 e

iEnt/~ ⇤n(x)xe




hfv abszoluterteke es fazisszoge: (x) =

p⇢(x)e

i↵(x)

↵

1. ELOADAS

↵

�

�


Andras Palyi1



2. ELOADAS

R1�1 dxf(x)

ugyanaz, mint

R1�1 f(x)dx





(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

e�ikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

1. ELOADAS

↵

�

�

�




Emlekezteto:

• E = h⌫

• c = �⌫

A legalsó. (Hiszen egyedül az “nem tekeredik”, azaz valós értékű.)

Példa: egy darab elektron, egy dimenzió (1D), szabad mozgás

Négy különböző kezdeti állapot. Ugyanaz a részecskesűrűségük.

Hogyan fejlődnek az időben?



Andras Palyi1



2. ELOADAS

R1�1 dxf(x)

ugyanaz, mint

R1�1 f(x)dx





(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )

idofuggo Schrodinger-egyenlet:

~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0

1. ELOADAS

↵

�

�

�

Négy különböző kezdeti állapot. Ugyanaz a részecskesűrűségük.

Hogyan fejlődnek az időben?


Négy különböző kezdeti állapot. Különbözőképpen időfejlődnek.


Megfigyelések:

1. Ugyanaz a kiindulási részecskesűrűség, de különböző mozgás. 2. Amelyik hfv nem tekeredik, az nem is mozdul el. 3. A hfv tekeredésének iránya megadja az elmozdulás irányát 4. Minél gyorsabb a hfv tekeredése, annál gyorsabb az elektron. 5. A tekeredés mértéke a mozgás során nem változik láthatóan.

Kontinuitási egyenlet egydimenziós kvantummechanikában


Andras Palyi1



2. ELOADAS

R1�1 dxf(x)

ugyanaz, mint

R1�1 f(x)dx





(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )


~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0

idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:

@⇢(x,t)@t +

@j(x,t)@x = 0 $ @

@t

R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)

ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja

j(x, t) = Re

h ⇤(x)

pm (x)

i

1. ELOADAS

↵

2


(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )


~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0


@⇢(x,t)@t +

@j(x,t)@x = 0 $ @

@t

R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)


j(x, t) = Re

h ⇤(x)

pm (x)

i

Legyen a = 1 nm es (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eix(5/a)

Egy dimenzioban mozgo elektron eseten mi a reszecske-aramsuruseg dimenzioja?

s�1

(1/szekundum)

Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2

1. ELOADAS

↵

�

�

�

Kontinuitási egyenlet egydimenziós kvantummechanikában


Andras Palyi1



2. ELOADAS

R1�1 dxf(x)

ugyanaz, mint

R1�1 f(x)dx





(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )


~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0


@⇢(x,t)@t +

@j(x,t)@x = 0 $ @

@t

R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)


j(x, t) = Re

h ⇤(x)

pm (x)

i

1. ELOADAS

↵

Feladat


Andras Palyi1



2. ELOADAS

R1�1 dxf(x)

ugyanaz, mint

R1�1 f(x)dx





(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )


~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0


@⇢(x,t)@t +

@j(x,t)@x = 0 $ @

@t

R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)


j(x, t) = Re

h ⇤(x)

pm (x)

i


⇡1/4pae�x2/(2a2)

eix(5/a)


s�1

(1/szekundum)

2


(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )


~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0


@⇢(x,t)@t +

@j(x,t)@x = 0 $ @

@t

R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)


j(x, t) = Re

h ⇤(x)

pm (x)

i


⇡1/4pae�x2/(2a2)

eix(5/a)


s�1

(1/szekundum)

Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2

1. ELOADAS

↵

�

�

�

Feladat

2


(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )


~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0


@⇢(x,t)@t +

@j(x,t)@x = 0 $ @

@t

R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)


j(x, t) = Re

h ⇤(x)

pm (x)

i


⇡1/4pae�x2/(2a2)

eix(5/a)


s�1

(1/szekundum)

Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2

Legyen a = 1 nm es k = 5 nm�1

.

Szamold ki es abrazold a hfv valos reszet, kepzetes reszet,

es a reszecske-aramsuruseget, az x 2 [�3 nm, 3 nm] intervallumban.

1. ELOADAS

↵

�

2


(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )


~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0


@⇢(x,t)@t +

@j(x,t)@x = 0 $ @

@t

R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)


j(x, t) = Re

h ⇤(x)

pm (x)

i


⇡1/4pae�x2/(2a2)

eix(5/a)


s�1

(1/szekundum)

Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2


.



1. ELOADAS

↵

�

Megoldás

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.5

0.0

0.5

hely, x [nm]

egység:1

/nm

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.5

0.0

0.5

hely, x [nm]

egység:1

/nm

Re[ψ[x]]Im[ψ[x]]

-3 -2 -1 0 1 2 30.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

hely, x [nm]

részecske-áramsűrűség

j[ℏ/(m

ea2)]

megj: ℏ/(me a2) ≈ 1.16 ⨯ 1014 Hz

Feladat

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.5

0.0

0.5

hely, x [nm]

egység:1

/nm

-3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

3

4

5

hely, x [nm]


j[ℏ/(m

ea2)]

megj: ℏ/(me a2) ≈ 1.16 ⨯ 1014 Hz

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.5

0.0

0.5

hely, x [nm]

egység:1

/nm

-3 -2 -1 0 1 2 30.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

hely, x [nm]


j[ℏ/(m

ea2)]

megj: ℏ/(me a2) ≈ 1.16 ⨯ 1014 Hz

2


(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )


~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0


@⇢(x,t)@t +

@j(x,t)@x = 0 $ @

@t

R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)


j(x, t) = Re

h ⇤(x)

pm (x)

i


⇡1/4pae�x2/(2a2)

eix(5/a)


s�1

(1/szekundum)

Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2


.



Hasonlıtsd ossze a k = 5 nm�1

es k = 10 nm�1

ertekekhez tartozo megoldasokat.

1. ELOADAS

↵

�

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.5

0.0

0.5

hely, x [nm]

egység:1

/nm

Re[ψ[x]]Im[ψ[x]]

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.5

0.0

0.5

hely, x [nm]

egység:1

/nm

Re[ψ[x]]Im[ψ[x]]

2


(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )


~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0


@⇢(x,t)@t +

@j(x,t)@x = 0 $ @

@t

R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)


j(x, t) = Re

h ⇤(x)

pm (x)

i


⇡1/4pae�x2/(2a2)

eix(5/a)


s�1

(1/szekundum)

Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2


.




es k = 10 nm�1


1. ELOADAS

↵

�

2


(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )


~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0


@⇢(x,t)@t +

@j(x,t)@x = 0 $ @

@t

R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)


j(x, t) = Re

h ⇤(x)

pm (x)

i


⇡1/4pae�x2/(2a2)

eix(5/a)


s�1

(1/szekundum)

Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2


.




es k = 10 nm�1


1. ELOADAS

↵

�

2


(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )


~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0


@⇢(x,t)@t +

@j(x,t)@x = 0 $ @

@t

R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)


j(x, t) = Re

h ⇤(x)

pm (x)

i


⇡1/4pae�x2/(2a2)

eix(5/a)


s�1

(1/szekundum)

Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2


.




es k = 10 nm�1


1. ELOADAS

↵

�

2


(a) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

(b) (x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

eikx


(x) =1

⇡1/4pae�x2/(2a2)

x

Re( )

Im( )


~i (x, t)�

~2

2m 00(x, t) = 0


@⇢(x,t)@t +

@j(x,t)@x = 0 $ @

@t

R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)


j(x, t) = Re

h ⇤(x)

pm (x)

i


⇡1/4pae�x2/(2a2)

eix(5/a)


s�1

(1/szekundum)

Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2


.




es k = 10 nm�1


1. ELOADAS

↵

�

(I) Elektronok atomokban(I/E) Stacionárius állapotok a kvantummechanikában

Klasszikus mechanika: stacionárius állapot = egyensúly. Példa: gödör alján nyugvó labda

Kvantummechanika: stacionárius állapot mást jelent.


3

Definıcio: (emlekezteto) Egy M matrixnak a v vektor sajatvektora a � sajatertekkel, ha Mv = �v.

Az Mv = �v egyenletet szokas sajatertek-egyenletnek hıvni.

Pelda: M =

✓0 1

1 0

◆.

Ennek sajatvektora

a v =

✓1

1

◆vektor a � = +1 sajatertekkel, es

a v =

✓1

�1

◆vektor a � = �1 sajatertekkel

Idofuggetlen Schrodinger-egyenlet = a Hamilton-operator sajatertekegyenlete

1. ELOADAS

↵

�

�

�




Emlekezteto:

• E = h⌫

• c = �⌫

• 1 eV = 1 elektronvolt ⇡ 1.6⇥ 10�19

J


meter (m)

kilogram (kg)

szekundum (s)

amper (A)

• J = kgm2s�2



m2kg s

�1




3



Pelda: M =

✓0 1

1 0

◆.

Ennek sajatvektora

a v =

✓1

1


a v =

✓1

�1



H = E

Az (E, ) megoldasban

• E-t energiasajaterteknek,

• -t energia-sajatvektornak vagy energia-sajatallapotnak vagy energia-sajatfuggvenynek

hıvjuk.

Pelda: Egydimenzios harmonikus oszcillator: E =p2

2m +12m!

20x

2, ahol !0 =

pk/m.

Ennek a rendszernek az idofuggetlen Schrodinger-egyenlete:

� ~22m

00(x) +

1

2m!

20x

2 (x) = E (x)

Ez egy kozonseges, masodrendu di↵egyenlet.

Peremfeltetelek: a hfv-nek normaltnak kell lennie, amihez szukseges ez:

limx!±1

(x) = 0

Keressuk azokat az (E, ) parokat, melyek

1. megoldjak a fenti idofuggetlen SE-t, es

2. kielegıtik a fenti peremfelteteleket.

Megoldasok:

• E0 =12~!0, 0(x) =

1⇡1/4

pLe�x2/(2L2)

• E1 =32~!0, 1(x) = . . .

• . . .

• En = (n+ 1/2) ~!0, n(x) = . . .

Elnevezes: 0: alapallapot



3



Pelda: M =

✓0 1

1 0

◆.

Ennek sajatvektora

a v =

✓1

1


a v =

✓1

�1



H = E




hıvjuk.


2m +12m!

20x

2, ahol !0 =

pk/m.


� ~22m

00(x) +

1

2m!

20x

2 (x) = E (x)



limx!±1

(x) = 0




Megoldasok:

• E0 =12~!0, 0(x) =

1⇡1/4

pLe�x2/(2L2)

• E1 =32~!0, 1(x) = . . .

• . . .

• En = (n+ 1/2) ~!0, n(x) = . . .




-3 -2 -1 0 1 2 30

2

4

6

8

hely, x

pot.energia,V(x)


Andras Palyi1



2. ELOADAS

elektrontomeg: m ⌘ me ⇡ 9.1⇥ 10�31

kg

R1�1 dxf(x)

ugyanaz, mint

R1�1 f(x)dx




-4 -2 0 2 4-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8

hely, x [nm]

hfv,

ψ[nm

-1/2]

ψ0(x)ψ1(x)ψ2(x)


3



Pelda: M =

✓0 1

1 0

◆.

Ennek sajatvektora

a v =

✓1

1


a v =

✓1

�1



H = E




hıvjuk.


2m +12m!

20x

2, ahol !0 =

pk/m.


� ~22m

00(x) +

1

2m!

20x

2 (x) = E (x)



limx!±1

(x) = 0




Megoldasok:

• E0 =12~!0, 0(x) =

1⇡1/4

pLe�x2/(2L2)

• E1 =32~!0, 1(x) = . . .

• . . .

• En = (n+ 1/2) ~!0, n(x) = . . .




3



Pelda: M =

✓0 1

1 0

◆.

Ennek sajatvektora

a v =

✓1

1


a v =

✓1

�1



H = E




hıvjuk.


2m +12m!

20x

2, ahol !0 =

pk/m.


� ~22m

00(x) +

1

2m!

20x

2 (x) = E (x)



limx!±1

(x) = 0




Megoldasok:

• E0 =12~!0, 0(x) =

1⇡1/4

pLe�x2/(2L2)

• E1 =32~!0, 1(x) = . . .

• . . .

• En = (n+ 1/2) ~!0, n(x) = . . .




3



Pelda: M =

✓0 1

1 0

◆.

Ennek sajatvektora

a v =

✓1

1


a v =

✓1

�1



H = E




hıvjuk.


2m +12m!

20x

2, ahol !0 =

pk/m.


� ~22m

00(x) +

1

2m!

20x

2 (x) = E (x)



limx!±1

(x) = 0




Megoldasok:

• E0 =12~!0, 0(x) =

1⇡1/4

pLe�x2/(2L2)

• E1 =32~!0, 1(x) = . . .

• . . .

• En = (n+ 1/2) ~!0, n(x) = . . .




L :=

q~

m!0

oszcillatorhossz

zerusponti kiteres

4


L :=

q~

m!0

oszcillatorhossz

zerusponti kiteres

L = 1 nm

1. ELOADAS

↵

�

�

�




Emlekezteto:

• E = h⌫

• c = �⌫

• 1 eV = 1 elektronvolt ⇡ 1.6⇥ 10�19

J


meter (m)

kilogram (kg)

szekundum (s)

amper (A)

• J = kgm2s�2



m2kg s

�1



• ⌫: feny frekvenciaja

Allapotjelzok:

• pozıcio vagy hely vagy koordinata: x(t)

4

Elnevezesek:E0 =



0: alapallapot



L :=

q~

m!0

oszcillatorhossz

zerusponti kiteres

L = 1 nm





Megoldas:�E = E1 � E0 = ~!0 =

~2

mL2 ⇡ 76 meV

⌫ = �E/h ⇡ 18.4 THz

� = c/⌫ ⇡ 16.3µm





~i

�� iEn


�iEnt/~ n = 0




h (t)|x (t)i =R1�1 e

iEnt/~ ⇤n(x)xe




1. ELOADAS

↵

�

�

�

-4 -2 0 2 4-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8

hely, x [nm]

hfv,

ψ[nm

-1/2]

ψ0(x)ψ1(x)ψ2(x)


4

Elnevezesek:E0 =


0: alapallapot



L :=

q~

m!0

oszcillatorhossz

zerusponti kiteres

L = 1 nm





Megoldas:�E = E1 � E0 = ~!0 =

~2

mL2 ⇡ 76 meV

⌫ = �E/h ⇡ 18.4 THz

� = c/⌫ ⇡ 16.3µm





~i

�� iEn


�iEnt/~ n = 0

1. ELOADAS

↵

�

�

�




Emlekezteto:

• E = h⌫

• c = �⌫

4

Elnevezesek:E0 =


0: alapallapot



L :=

q~

m!0

oszcillatorhossz

zerusponti kiteres

L = 1 nm





Megoldas:�E = E1 � E0 = ~!0 =

~2

mL2 ⇡ 76 meV

⌫ = �E/h ⇡ 18.4 THz

� = c/⌫ ⇡ 16.3µm





~i

�� iEn


�iEnt/~ n = 0




h (t)|x (t)i =R1�1 e

iEnt/~ ⇤n(x)xe




1. ELOADAS

↵

�

�

�



Oszcillátor energia-sajátértékei, energia-sajátfüggvényei:

diszkrét vagy kvantált energiaspektrum az elektron energiája nem lehet tetszőleges, csak diszkrét értéket vehet fel

Klasszikus harmonikus oszcillátor

Kvantumos harmonikus oszcillátor

egyetlen egyensúlyi helyzet végtelen sok stacionárius állapot

egyensúlyban hely jól meghatározott

a hely még az alapállapotban sem jól meghatározott

egyensúlyban az összenergia nulla

még az alapállapotban sem nulla az összenergia


4

Elnevezesek:E0 =


0: alapallapot



L :=

q~

m!0

oszcillatorhossz

zerusponti kiteres

L = 1 nm





Megoldas:�E = E1 � E0 = ~!0 =

~2

mL2 ⇡ 76 meV

⌫ = �E/h ⇡ 18.4 THz

� = c/⌫ ⇡ 16.3µm


1. ELOADAS

↵

�

�

�




Emlekezteto:

• E = h⌫

• c = �⌫

• 1 eV = 1 elektronvolt ⇡ 1.6⇥ 10�19

J


meter (m)

kilogram (kg)

szekundum (s)

amper (A)

Összefoglalás

(I/E) Stacionárius állapotok a kvantummechanikában (diszkrét energiaspektrum egyik legegyszerűbb modellje)

(I/E) Hullámfüggvény és részecske-áramsűrűség

Documents

Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,