Modifying Pivot Elements in Gaussian Eliminatiom

Name ： YI-JHOU LIN

Life-time Distinguished Professor ：Jeng-Tzong Chen

outline

• LU decomposition:

• Modifying Pivot Elements

• 高斯消去法流程圖• 數值計算的問題

Introduction

LU decomposition:

Modifying Pivot Elements

bBy

bAx1

1

111 )( TeeB

Exchange I-th and K-th Lines

Output: SingularMatrix

Start

Input A(N,N+1)

DO I=1,N

A(I,I)=0

DO J≠I

A(J,K)=A(J,K)-A(I,K)/A(I,I)

DO K=1,N+1

NO

I=N?

Exist K>I suchThat A(K,I)≠0?

NO

YES

YES

STOP

YES

NO

Final Output

高斯消去法流程圖

當 aii=0 時• 由於在消去的過程中，我們會用到 ajk – aik/aii ，要是 aii = 0 時，該

如何處置？• 只要找到第 k 列的 aki 不為零，與第 i 列對調，即可得到新的不為

零的 aii

• 但在有限精度下可能產生的問題 :• 理論上高斯消去法可以精確地解出任何聯立線性方程式之解，然而電

腦的精確度有限，在某些情況下可能會發生問題• 由於在對第 k 列做第 i 列高斯消去法時必須用到 mki=aki/aii ，當

軸元素（ pivot element, 即 aii ）為零而造成發散的情形，我們已經以列交換的方式處理了

• 然而當 aii 雖然不為零，但是非常小時，小到接近電腦精確度時， mki 會變得非常大，這時候可能也會有誤差發生