MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE FISSURE DANS LES

MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE FISSURE DANS LES MATÉRIAUX VISCOÉLASTIQUES

ORTHOTROPES

Présenté par: Rostand MOUTOU PITTI

Groupe d’Etude des Matériaux Hétérogènes (GEMH)

Université de Limoges

Centre Universitaire Génie Civil, 19300 Egletons

GGGG MMMMMMMMMMMMMMMMEEEEEEEE HHHHHHHHGGGG MMMMMMMMMMMMMMMMEEEEEEEE HHHHHHHH

Le 21 novembre 2008, Paris

CLUB CAST3M2008

2

Découplage des modes pour une fissure stationnaire

Découplage des modes en propagation de fissure

Conception de l’éprouvette 2MCG

Conclusions et perspectivesProblématique Propagation

viscoélastique

Contexte et Objectifs

Modélisation de la propagation de fissure par CASTE M

Propagation des défauts (cinématiques mixtes)

Mécanique de la rupture, viscoélasticité

Charges permanentes (fluage)Variations climatiquesTaux d’humidité

Défauts des structures (fissures) Orientation (sens des fibres)

Matériau bois

Pont du Chavanon (A89)

3

∗ Paramètre global

∗ Pas d’informations sur le couplage des modes de rupture

Calcul d’une structure fissurée

Modélisation par éléments finis

∗ Champ lointain: J (Rice, 1968), Gθ (Destuynder, 1983), T et A (Bui)

∗ Avantages: : Précision, champs singuliers

Problèmes des invariants intégraux

∗ Approche locale (KI, KII).∗ Approche énergétique (G, J) : champ lointain

Modélisation :Mode I Mode II

1x

2x

3x

Modes de rupture

Critères de rupture :

∗ Facteurs d’intensité des contraintes découplés(KI, KII).





viscoélastique

4

Pour des milieux isotropes

Si G < Gc Fissure stationnaire

Si G = Gc Propagation

Pour des milieux orthotropes

En plan : G = GI + GII ),,,( cII

cIIII GGGGf

01 =

−+=

cII

IIcI

I

G

G

G

Gf01 <

−+=

cII

IIcI

I

G

G

G

Gf

Fissure stationnaire Propagation

Calcul indépendant de GI et GII ou découplage

Modélisation de la propagation viscoélastique de la fissure en mode mixte sur CASTEM

Découplage des modes de rupture





viscoélastique

5

ProblématiqueDécouplage des modes pour

une fissure stationnaire

Intégrale M en statique

Modélisation numérique

Formulation incrémentale

Résultats numériques analytiques


Formulations analytiques

Algorithme de propagation

Résultats numériques


Conception de l’éprouvette 2MGC


Conclusions et perspectives

Propagation viscoélastique



6





ProblématiquePropagation

viscoélastique

Intégrale M en statique

( ) Γ⋅⋅σ−⋅σ= ∫Γ d21

1

1,1, jiuiji

vij nvuM

Champ réel

Intégrale M (Chen et Shiel 1977)2x

nr

1x

Γ

V

Ω

V

ΩΩΩΩ

2x

1x

=θ

0

1r

=θ

0

0v

1Γ

2Γ

nr

Champ θ(Destuynder et al. 1983)

Champ virtuel (Shi 1974)

( ) ),.....1,0( d)()(21

),( 1,,,1

MknuuvuvuM jjkikijkiijv =Γ⋅θ⋅⋅σ−⋅σ= ∫Γ

1ijklk

1ijklη N

ijklη

Nijklkp

ijklk

pijklη

klσklσ 0

ijklk

0ijε 1

ijε pijε N

ijεijε

Modèle de Kelvin Voigt généralisé

Généralisation au comportement viscoélastique

7

( ) ),.....1,0(avec d)()(21

),( 1,,, MpnuvvuvuM jjkpi

pkij

pki

pij

pv =Γ⋅θ⋅σ−⋅σ=θ ∫

Ω

( ) ( )88

2

2

2

121

kII

uk

kI

ukk

vkv

kv

KC

KCGGG +=+= ∑∑ ==

k

kvv

k

kvv GGGG 2211 et

Taux de restitution d’énergie

Facteurs d’intensité des contraintes

k

kII

vkI

vkvk

IIu

k

kII

vkI

vkvk

Iu

C

KKvuMK

C

KKvuMK

21

)1 ,0)(,(8 et

)0 ,1)(,(8 ==θ⋅=

==θ⋅=

CERO en mode I CERO en mode II

Solution semi analytique (taux de restitution d’éne rgie)

Facteurs d’intensité des contraintes élastiques en mode I et II

[ ] 201111 )()2()(2

81

)( KtCtCtG u⋅−⋅⋅= [ ] 202222 )()2()(2

81

)( KtCtCtG u⋅−⋅⋅=






viscoélastique

8

Formulation incrémentale

[ ] Ω⋅⋅=−

Ω∫ d 1

BMBK pTpT Ωε⋅⋅= −Ω− ∫ d )(~)(~

11 nppT

np tMBtF

Lois incrémentales (Gazlan et al 1995; Dubois et al. 2005)

Résolution éléments finis

)(~)()( 1−+∆=∆⋅ np

npextn

ppT tFtFtuK

Incréments de champs de déplacements nodaux

Incréments de force nodale

Matrice tangente de rigidité globale

Chargement héréditaire

)(~)()( 1−ε+σ∆⋅=ε∆ nijnklijklnij ttMt

Incréments des déformations

Histoires du matériau

Incréments des contraintes

Matrice de complaisances






viscoélastique

9

Maillage rayonnant (opérateur REYO)

et Champ θ

Modélisation numérique

β

β

β = °0

β = °90

B7

B1

A1

A7

a = 25 mm

Éprouvette bois

Bras en acier

Eprouvette CTS (Compact Tension Shear)

C8

C6

C4

C2

C0

Pointe de fissure

C8

C6

C4

C2

C0

C8

C6

C4

C2

C0

C8

C6

C4

C2

C0

Pointe de fissure

C0

C2C4C6

C8

Pointe de fissure

Couronnes d’intégration

β

β

β = °0

β = °90

B7

B1

A1

A7

a = 25 mm

Éprouvette bois

Bras en acier

Eprouvette CTS (Compact Tension Shear)

C8

C6

C4

C2

C0

Pointe de fissure

C8

C6

C4

C2

C0

C8

C6

C4

C2

C0

C8

C6

C4

C2

C0

Pointe de fissure

C0

C2C4C6

C8

Pointe de fissure

Couronnes d’intégration






viscoélastique

10

n=n+1

In

pv1p

virtσ1p,C 21

pvirtσ2

pv2p,C 21 )t( n 1−ε )t(u n 1− )t( n 1−σ p

ijklk pijklη

nt∆ )t(F next∆ )t( nm

1−ε

)t(u n )t( nε )t( nσ

PTK

TK

)t(~nij 1−ε

( )1−ntF~

)t( nmε

)t(u n∆ )t( nσ∆ )t( nε∆

PTK

vG1 vG2Out

Mode I Mode II

)t( npσ )t( n

mε∆

pvGθ1 p

vGθ2pvK1pvK2

Mθθθθ PROCEDURE

)t(u np

pΨ Ψ

Algorithme viscoélastique incrémental

θMPROCEDURE

Sortie

Entrée

Pro

cédu

re v

isco

élas

tique

Pro

cédu

re v

irtue

lle

Pro

cédu

re v

irtue

lle

PROCEDURE






viscoélastique

110,0E+00

2,5E-06

5,0E-06

7,5E-06

1,0E-05

1,3E-05

1,5E-05

1,8E-05

2,0E-05

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°=β( )22 / mJGv

Couronnes

0,0E+00

2,5E-05

5,0E-05

7,5E-05

1,0E-04

1,3E-04

1,5E-04

1,8E-04

2,0E-04

2,3E-04

2,5E-04

2,8E-04

3,0E-04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°=β( )21 / mJGv

Couronnes


Indépendance du domaine en mode I

Indépendance du domaine en mode II

C8

C6

C4

C2

C0

Pointe de fissure

C8

C6

C4

C2

C0

C8

C6

C4

C2

C0

C8

C6

C4

C2

C0

Pointe de fissure

C0C2C4C6C8

Pointe de fissure

C8

C6

C4

C2

C0

Pointe de fissure

C8

C6

C4

C2

C0

C8

C6

C4

C2

C0

C8

C6

C4

C2

C0

Pointe de fissure

C0C2C4C6C8

Pointe de fissure

C8

C6

C4

C2

C0

Pointe de fissure

C8

C6

C4

C2

C0

C8

C6

C4

C2

C0

C8

C6

C4

C2

C0

Pointe de fissure

C0C2C4C6C8

Pointe de fissure






viscoélastique

120,0E+00

5,0E-03

1,0E-02

1,5E-02

2,0E-02

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Solution analitique Simulation

°=β 90

( )22 / mJGv

( )sTemps0,0E+00

2,5E-03

5,0E-03

7,5E-03

1,0E-02

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Solution analitique Simulation

°=β 45

( )22 / mJGv

( )sTemps

Taux de restitution d’énergie en fonction du temps (a = 50 mm)

50mm

Maillage déformé (a = 50 mm)

Mode IIMode II






viscoélastique

13






viscoélastique

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) Vvuvu

uvM

kkjiu

ijkjiv

ijkjiu

ijkjiv

ij

jkivkijji

uij

d21

d21

,,)(

,,)(

,,)(

,,)(

,)(

,,)(

θ⋅⋅σ−⋅σ−⋅σ−⋅σ⋅+

Ωθ⋅⋅σ−⋅σ⋅=θ

∫

∫

Ω

Ω

Forme modélisable de M

Domaine d’intégration

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )

Vvuvu

nvuM

A

jiu

ijjiv

ijjiu

ijjiv

ij

jiu

ijiv

ij

d21

dΓ21

1

1

1,,)(

1,1,,)(

1,1,,)(

1,1,,)(

1,

11,)()(

1,

⋅⋅σ−⋅σ−⋅σ−⋅σ⋅+

⋅⋅σ−⋅σ⋅=

∫

∫

Γ

Γ Champs virtuels

Champs réels

Fissure stationnaire

Propagation de fissure

ΩΩΩΩ

1ΓΓΓΓ

1x

=θ

0

1r

V

2x

=θ

0

0rChamp θ (Destuynder 1983)

( ) 21

,,, kiuiji

vkijkj vup ⋅σ−⋅σ=&

Domaine surfacique

Intégrale M en propagation

14

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) Vvuvu

uvM

kk

pji

pij

upji

pij

v

k

pji

pij

u

k

pji

pij

v

jkp

ipkij

vpji

pij

upv

d21

d21

,

)(,

)(

1,

)(,

)(

,

)(,

)(

,

)(,

)(

,)()(

,)(

,)()(

θ⋅⋅σ−⋅σ−⋅σ−⋅σ⋅+

Ωθ⋅⋅σ−⋅σ⋅=θ

∫

∫

Ω

Ω

Généra lisation au comportement viscoélastique

Facteurs d’intensité de contrainte

p2

pII

vpI

vpvp

IIu

p1

pII

vpI

vpvp

Iu

C

1K0KvuM8K

C

0K1KvuM8K

) ,)(,( et

) ,)(,( ==θ⋅=

==θ⋅=

( ) ( )8

KC

8

KCGGG

2pII

up2

2pI

up1

pv

2pv

1pv +=+=

∑∑ ==p

pv

2v

2

p

pv

1v

1 GGGG et

Taux de restitution d’énergie






viscoélastique

15

Etat initial

aa ∆+

( )ni tσ

Etat 0

iW

nt

1+iW

iF

iF

Propagation instantannéede la fissure

1+iWiF

a

a∆P

roje

ctio

n de

s

cont

rain

tes

Remaillage

( ) ( ) ( )np

nini ttti 11 +

σ−σ=σ∆ +p

iσ

( )ni t1+σ

Etat 1

Etat 2

( )ni tσ∆−Etat 3

( )nti 1+

σ

aa ∆+

Configuration équivalente

iF 1+iW

( )ni tσ∆+aa ∆+

nt∆Propagation viscoélastique

( )11 ++σ nt

i

1+= nn

1+nt

Algorithme de propagation viscoélastique

Procédure MTθ en propagation

PROI Procédure VISCO






viscoélastique

16

2 4 6 8 10 120

2.10-2

4.10-2

6.10-2

8.10 -2

0°45°90°

couronnes

( )J/m²Gv 1

2 4 6 8 10 120

1. 10-3

2. 10-3

3. 10-3

4. 10-3

5. 10-3

0°45°90°

couronnes

( )J/m²Gv 2

Résultats numériques (Castem)

Indépendance du domaine d’intégration (∆a = 1mm; a = 30mm)






viscoélastique

17

Taux de restitution d’énergie et vitesse de propaga tion (∆a = 8mm; a = 65mm )

0,0E+00

5,0E-01

1,0E+00

1,5E+00

2,0E+00

2,5E+00

3,0E+00

3,5E+00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

C2 C4 C6 C8

( )21 / mmJGv

∞

( )hmmt

a/

∆∆

0,0E+00

5,0E-03

1,0E-02

1,5E-02

2,0E-02

2,5E-02

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

C2 C4 C6 C8

( )22 / mmJGv

∞

( )hmmt

a/

∆∆

Part de Mode II ( β = 45°)Part de Mode I ( β = 45°)






viscoélastique

18Taux de restitution d’énergie et longueur de fissur e pour β=45°

(∆a = 1mm ; C8)

25 35 45 55 65 750

5

10

15

20

25

a(mm)

( )J/m²Gv 1

ht 1=∆jourst 10=∆

Réponse élastique ( )0=∆t

Part de Mode I

25 35 45 55 65 750

25

50

75

100

125

a(mm)

( )J/m²Gv 2

ht 1=∆jourst 10=∆

Réponse élastique( )0=∆t

Part de Mode II






viscoélastique

19

L

R

R

T

Eprouvette DCB (Double Cantilever Beam)(Dubois et al. 2002)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

30 40 50 60 70 80 90 100

Longueur de fissure (mm)

G (N/mm)

Stabilité

Initiation de fissure

Rupture par instabilité

G élastique (Dubois et al. 2002)

Eprouvette CTS (Compact Tension Shear ) (Valentin et Caumes 1989)






viscoélastique

Objectifs et Conception (Castem)

20

DCB CTS

2MCG






viscoélastique

21

Trous de fixation

Congé de raccordement

Talon supérieur

Talon inférieur

Conception initiale de l’éprouvette

Congés de raccordement

Vérification éléments finis en mode I






viscoélastique

22

φ 2= 5°

φ1=10°

Talon supérieur

Corps de l’éprouvette

Corps de l’éprouvette Talon inférieur

Optimisation de l’éprouvette

Congés de raccordement

Vérification éléments finis en mode I






viscoélastique

23

IF

IIF

IIIF +

IIIF +

IIF

IF

(β=90°)

(β=90°)

(β=0°)

(β=0°)

(β=45°)

(β=45°)

20 mm Entaille initiale

Eprouvette 2MCG (Mixed Mode Crack Growth)

Congé de raccordement

Talon supérieur

Talon inférieur

Trous de fixation des bras

Trou de sollicitation

Eprouvette bois

Bras en PVC

R

L






viscoélastique

24

Résultats numériques (Castem)

Maillage éléments finis

Maillage rayonnant en pointe de fissure

Déplacements virtuels(Maillage déformé)

Mode I Mode II






viscoélastique

25

0,0E+00

5,0E-03

1,0E-02

1,5E-02

2,0E-02

2,5E-02

3,0E-02

3,5E-02

4,0E-02

4,5E-02

5,0E-02

0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

°=β 30

( )21 / mJG

°=β 15

°=β 45

°=β 75

°=β 60

Zone de stabilité

( )ma

0,0E+00

1,0E-03

2,0E-03

3,0E-03

4,0E-03

5,0E-03

6,0E-03

7,0E-03

0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14( )ma

( )22 / mJG

°=β 60

°=β 75

°=β 45

°=β 15

°=β 30

Zone de stabilité

Zones de stabilité






viscoélastique

26

0

50

100

150

200

250

300

0,035 0,04 0,045 0,05 0,055 0,06 0,065

Numérique Expérimental

( )21 / mJG

( )ma

°=β 30

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,035 0,04 0,045 0,05 0,055 0,06 0,065

Numérique Expérimental

( )22 / mJG

( )ma

°=β 30

Taux de restitution d’énergie découplé

Comparaison numérique/expérimentale






viscoélastique

Dispositif expérimental en mode I (β=0°, hêtre)

27






viscoélastique

( ) restationnai fissure1 n,Propagatio1 2

2

1

1

⇒<⇒=β+= ffG

G

G

Gf

C

v

C

v

( ) 1, =∆+α+ ttaf

( )m

xy

m

yy σσ

( )xyyy σσ

αax

( )m

xy

m

yy σσ

( )xyyy σσ

αax

Longueur de la zone d’élaboration

Contraintes limites en traction

2

)()(8

σ+

σ⋅π=α

mxy

IIu

myy

Iu KK

Mode I Mode II

Etat initial

α+a

( )ni tσ•Etat 0

iW

nt

1+iW

iF

iF

Propagation instantannéede la fissure

1+iWiF

a

α

Proj

ectio

n de

s

cont

rain

tes

remaillage

( ) ( ) ( )np

inini ttt11 ++ −=∆ σσσ

piσ

( )ni t1+σ

•Etat 1

•Etat 2

( )ni tσ∆−

•Etat 3( )nit

1+σ

Configuration équivalente

iF 1+iW

( )ni tσ∆+α+a

nt∆

Propagation viscoélastique

( )11 ++ nitσ

1+= nn

1+nt

Dichotomie sur

α+a

Fonctionnelle

Propagation viscoélastique réelle


28

1+nt

iqueviscoélast Procedure

vG1vG2

f

vMθ

α fissure de longueur de Incrément t∆ temps de incrément

2

)(2

)(18

σ+

σ⋅π=α

mII

u

mI

u KK

1< 1=

nélaboratiod' zone( )ttaf ∆+α+ ; 1=

1<

[ ]ba ttt ;=∆ ( ) ( ) 0* <ba tftf

( )ctf→Dichotomie

ropagation de Amorçage

aKKGG IIu

Iu

vv ;;;; 21

1+nt

Algorithme d’amorçage de fissure et dichotomie






viscoélastique

Procédure ALFA

Procédure MTHETA

Procédure MTHETA et VIRT

290

50

100

150

200

250

300

350

400

0,0500 0,0503 0,0506 0,0509 0,0512 0,0515

°=β 45

( )ma

8.1/1densité

5.1/1densité

( )21 / mJGv

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0,0500 0,0503 0,0506 0,0509 0,0512 0,0515

( )22 / mJGv

( )ma

8.1/1densité

5.1/1densité

°=β 45

0

50

100

150

200

250

300

0,050 0,052 0,054 0,056 0,058 0,060 0,062

°=β 45

( )21 / mJGv

( )ma0

10

20

30

40

50

60

70

80

0,050 0,052 0,054 0,056 0,058 0,060 0,062

°=β 45

( )22 / mJGv

( )ma


Taux de restitution d’énergie et longueur de fissur e






viscoélastique

30

Conception numérique de l’éprouvette 2MCG et compar aison aux prédictions

Modélisation numérique de M en propagation viscoéla stique



Conception de l’éprouvette


Problématique Propagation viscoélastique

Modélisation numérique de l’intégrale M pour une fi ssure stationnaire

Propagation viscoélastique avec les phases d’amorça ge et de propagation


Modélisation numérique des intégrales T et A (champ s thermiques)

Optimisation numérique de l’éprouvette 2MCG

Propagation viscoélastique intégrant les phénomènes mécanosorptifs

MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE FISSURE DANS LES MATÉRIAUX VISCOÉLASTIQUES

ORTHOTROPES

Présenté par: Rostand MOUTOU PITTI

Groupe d’Etude des Matériaux Hétérogènes (GEMH)

Université de Limoges

Centre Universitaire Génie Civil, 19300 Egletons

GGGG MMMMMMMMMMMMMMMMEEEEEEEE HHHHHHHHGGGG MMMMMMMMMMMMMMMMEEEEEEEE HHHHHHHH

Le 21 novembre 2008, Paris

CLUB CASTE3M2008

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MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE FISSURE DANS LES