Upload
buimien
View
223
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
MODUL PRAKTIKUM
PROGRAM LINEAR
DISUSUN OLEH :
NOORMA YULIA MEGAWATI, S.Si, M. Sc.
LABORATORIUM MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS & TEKNOLOGI
UIN SUNAN KALIJAGA
YOGYAKARTA
2011
MODUL I
PENYELESAIAN PROGRAM LINEAR DENGAN METODE GRAFIK
Masalah program linear adalah masalah untuk menentukan titik yang
memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif linear dan memenuhi kendala linear.
Bentuk umum dari masalah program linear diberikan sebagai berikut,
Meminimumkan/memaksimumkan ,
dengan kendala ;
.
Masalah diatas dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi vektor. Misalkan
, maka masalah diatas menjadi
Meminimumkan/ memaksimumkan
Dengan kendala
Masalah program linear dapat diselesaikan dengan bantuan computer, yaitu
menggunakan QSB+, TORA, WinQSB, dan Matlab. Masalah program linear dua variabel
dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik. Salah satu software yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear dengan metode grafik adalah
QSB+ atau WinQSB.
Jika akan menjalankan program WinQSB, klik Start – All Programs - WinQSB .
Didalam WinQSB tersebut terdapat 19 menu utama
Untuk menyelesaikan masalah program linear, maka kita pilih Linear and Integer
Programming. Maka akan muncul
Contoh :
Diketahui masalah program linear
Maksimumkan
Dengan kendala
Untuk menyelesaikan masalah PL diatas dengan menggunakan WinQSB+, pilih menu File -
New problem, maka di layer akan muncul
Dalam layar tersebut berisi tentang :
1. Problem Title : Memberi nama masalah program linear yang akan
diselesaikan
2. Number of Variables : Banyaknya variable dalam masalah program linear yang
akan diselesaiakan
3. Number of Constraints : Banyaknya kendala yang terdapat dalam masalah PL yang
akan diselesaiakan
4. Objective Criterion : Krteria dari fungsi tujuan dalam masalah PL yang akan
diselesaikan, yaitu masalah maksimum atau masalah minimum
5. Default Variable Type : Tipe variable dalam masalah PL
a. Nonnegative continuous : jika variable masalah PL merupakan bilangan real
non negative
b. Nonnegatif Integer : jika variable dalam masalah PL merupakan bilangan
bulat non negative
c. Binary [0,1] : jika variable dalam masalah PL hanya mempunyai
nilai 0 atau 1
d. Unsigned / unrestricted : jika variable dalam masalah PL tidak mempunyai
batasan nilai
6. Data Entry Format
a. Spredsheet Matrix Form : untuk pengisian data adalam bentuk matriks, yaitu
berbentuk
b. normal model Form : untuk pengisian data dalam bentuk norma, yaitu
berbentuk
Untuk masalah diatas, maka dimasukkan entri – entri seperti pada layar berikut
Setelah selesai mengentri pada isian awal, kemudian klik Ok maka akan muncul jendela
batas atas xi
(M menandakan bialangan yang cuku besar atau mendekati tak hingga)batas bawah xi
nilai bi
Kendala 3 masalah PLKendala 1 masalah PLKendala 2 masalah PL
Fungsi tujuan masalah PL
Berdasarkan masalah PL diatas, maka masukkan data tersebut pada jendela diatas, maka
akan diperoleh
Untuk menyelesaikan soal tersebut pilih menu Solve and Analysis – Graphic Method atau
klik ikon , maka akan muncul
Dalam jendela diatas, pilih horizontal axis untuk variable x1 dan veritical axis untuk
variable x2, kemudian klik OK maka akan muncul grafik
Keterangan :
1. Nomor yang dilingkari merupakan nomor persamaan garis yang bersesuaian dengan
kendala.
2. Titik sudut yang dilingkari merupakan titik sudut yang memberikan penyelesaian
optimal.
3. Garis merah tebal merupakan garis selidik.
4. Daerah yang berwarna ungu (di layer computer) merupakan daerah fisibel.
5. Titik Putih tebal merupakan titik optimal penyelesaian masalah PL.
6. Untuk mengubah warna atau range dari sumbu koordinat dalam grafiknya dapat
dilakukan dengan memilih menu Option – Change XY Range and Colors, maka
akan muncul jendela
Klik bagian yang akan diganti warnanya. Setelah selesai pilih OK, Selanjutnya Klik
Options – Change XY Variables dan terakhir pilih menu Options – Redraw Graphic
Solution.
Penyelesaian optimal Contoh 1 adalah .
Contoh 2 :
Minimumkan
Dengan kendala
Selesaikan dengan metode grafik!
Penyelesaian :
Masukkan input data diatas, maka akan muncul
Penyelesaian optimal Contoh 2 adalah .
LATIHAN
Selesaikanlah menggunakan metode grafik
1. Maksimumkan
Dengan kendala
2. Minimumkankan
Dengan kendala
3. Farmer Jones bakes two types of cake (chocolate and
vanilla) to supplement his income. Each chocolate cake can be sold for $1, and each
vanilla cake can be sold for 50 ¢. Each chocolate cake requires 20 minutes of baking
time and uses 4 eggs. Each vanilla cake requires 40 minutes of baking time and uses 1
eggs. Eight hours of baking time and 30 eggs are available. Formulate an LP to
maximize Farmer Jones’s revenue. Then graphically solve the LP.
MODUL II
KEJADIAN KHUSUS MASALAH PL DUA VARIABEL.
Ada 3 kejadian khusus dalam masalah program linear 2 variabel, yaitu
1. Masalah PL mempunyai penyelesaian alternative.
2. Masalah PL tidak mempunyai penyelesaian optimal (infeasible solution)
3. Masalah PL mempunyai penyelesaian tak terbatas (Unbounded Solution)
4. Masalah PL dengan variabelnya tidak mempunyai batasan nilai
Contoh 1 : Maksimumkan
Dengan kendala
Penyelesaian :
Masukkan input data diatas, maka akan muncul
Keterangan :
Masalah PL pada contoh 1 mempunyai penyelesaian alternative. Garis selidik berhimpit
dengan persamaan garis kendala pertama. Penyelesaian optimal berada pada garis AB
dengan A (0,6) dan B(4,0) dan nilai maksimum .
Contoh 2 : Maksimumkan
Dengan kendala
Penyelesaian :
Contoh 3 : Maksimumkan
Dengan kendala
Penyelesaian :
Contoh 4 : Min
s.t.
Penyelesaian :
Kemudian Klik OK dan masukkan data soal, maka diperoleh
Karena hanya variable x2 yang tidak mempunyai batasan nilai, maka untuk tipe variable di
x1 diganti menjadi continuous. Penyelesaian persoalan diperoleh hasil
Penyelesaian optimal contoh 4 adalah dicapai untuk
MODUL III
PENYELESAIAN PROGRAM LINEAR dengan WinQSB
Program WinQSB menyelesaiakan masalah PL dengan metode simpleks. Tabel tiap
iterasi dapat ditampilkan jika jumlah iterasinya sedikit.
Contoh 1: Maks
s.t.
Penyelesaian :
Setelah selesai memasukkan data soal, pilih menu Solve and Analyze dan pilih menu Solve
and display step atau klik ikon . Maka di layar akan muncul
Untuk melihat iterasi selanjutnya pilih menu Simplex Iteration – Next Iteration atau klik
ikon , maka akan muncul
Kemudian untuk melihat iterasi selanjutnya pilih menu Simplex Iteration – Next Iteration,
atau klik ikon , maka akan muncul
Kemudian untuk melihat iterasi selanjutnya pilih menu Simplex Iteration – Next Iteration
sampai muncul jendela yang berisi bahwa The Simplex Method is complete. Dalam
masalah diatas setelah iterasi ketiga, proses iterasi berhenti. Maka dapat ditarik kesimpulan
bahwa dalam masalah PL tersebut yang diselesaiakn dengan menngunakan metode
simpleks akan terdapat 3 iterasi. Dari table iterasi terakhir, terlihat bahwa solusi
optimumnya adalah yang dicapai untuk . Atau untuk melihat hanya hasil akhirnya pilih
menu Solve and Analyze atau klik ikon .
Contoh 2 : Min
s.t.
Penyelesaian :
Kemudian diselesaiakn dengan menggunakan metode Simpleks yang memberikan iterasi
sebagai berikut
Diperoleh bahwa terdapat 3 iterasi. Dari table akhir, terlihat bahwa solusi optimumnya
adalah yang dicapai untuk .
Tambahan untuk variable yang tidak mempunyai batasan nilai
Latihan :
Selesaikan dengan menggunakan WinQSB
1. Max
s.t.
2. Min
s.t.
3. Max
s.t.
MODUL IV
PENYELESAIAN PROGRAM LINEAR dengan TORA
Program TORA dibuat oleh Hamdy Taha pada tahun 1989. Untuk menjalankan
program Tora, pilih menu TORA.exe. Tampilan pertama di layar setelah memilih menu
TORA.exe adalah
Kemudian tekan sembarang tombol keybord, maka di layer akan muncul 7 menu utama,
yaitu
Keterangan :
Menu 1 : menjalankan aplikasi untuk masalah program linear.
Menu 2 : menjalankan aplikasi untuk masalah model transportasi
Menu 3 : menjalankan aplikasi untuk masalah model jaringan
Menu 4 : menjalankan aplikasi untuk masalah program bilangan bulat
Menu 5 : menjalankan aplikasi untuk masalah analisa antrian.
Menu 6 : menjalankan aplikasi untuk masalah histogram
Menu 7 : menjalankan aplikasi untuk masalah model inventory.
Pilih menu Linear programming, maka di layer akan muncul
Keterangan :
1. Read an existing data file : Untuk membaca masalah PL yang telah disimpan
di drive komputer
2. Enter new problem : Untuk memasukkan input masalah PL baru.
Pilih menu Enter new data, maka
Keterangan :
1. Problem Title : Judul masalah PL yang akan dimasukkan datanya
2. Nbr of Variables : Jumlah variabel ada dalam masalah PL
3. Nbr of Constrains :Jumlah kendala ada dalam masalah PL
4. User – defined Vars Names (y/n) : Ketik y jika kita ingin mendefinisikan
sendiri nama variable jika tidak ketik n
5. Nonzero lower Bounds (y/n) : Ketik y jika terdapat batas bawah yang tidak
nol jika tidak tidak ada ketik n
6. Finite Upper Bounds (y/n) : Ketik y jika terdapat batas atas yang berhingga,
tetapi jika tidak ada ketik n
7. Unrestricted Variables (y/n) : Ketik y jika terdapat variabel yang tidak
mempunyai batasan nilai.
Contoh 1: Maks
s.t.
Penyelesaian :╒═════════════════════════════♦Enter new problem♦══════════════════════════════╕
│INS ← → BS DEL:Edit cell, ESC:Goto preceding cell, ↑↓:Go Up/Dn, ◄═╝:Exit cell │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│Problem Title : contoh1 │
│Nbr of Variables : 3 ← Indexed VARIABLES names: x1 to x3 │
│Nbr of Constraints : 3 │
│User-defined Vars Names (y/n)? : n │
│Nonzero Lower Bounds (y/n)? : n │
│Finite Upper Bounds (y/n)? : n │
│Unrestricted Variables (y/n)? : n │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ max/min x1 x2 x3 │
│Obj. Function: max 3 2 1 │
├──────────────────────────────── ────────-----------──────────────────────────┤
Setelah fungsi tujuan dimasukkan kemudian tekan Enter dan masukkan kendala pertama.
x1 x2 x3 < = > RHS
Constraint 1: 1 2 -2 <= 20
Tekan Enter kemudian masukkan kendala kedua.
x1 x2 x3 < = > RHS
Constraint 2: -1 3 5 <= 30
Tekan Enter kemudian masukkan kendala ketiga.
x1 x2 x3 < = > RHS
Constraint 3: -1 -6 4 >= 15
Seteleah data lengkap tekan tombol F8, maka di lyar akan muncul
Do you wish to save this (new or modified) set of data (y/n)?
Ketik y jika ingin menyimpan data tersebut dalam drive computer . Contoh untuk
menyimpan data PL : c:\contoh1. Di dalam file contoh 1 tersimpan data sebagai berikut╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│contoh1 Size: 3 constrs x 3 vars │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ │
│ x1 x2 x3 RHS │
│─────────────────────────────────────────────────────────── │
│max 3 2 1 │
│─────────────────────────────────────────────────────────── │
│Constraint 1: 1 2 -2 <= 20 │
│Constraint 2: -1 3 5 <= 30 │
│Constraint 3: -1 -6 4 >= 15 │
--------------------------------------------------------------------------------
Jika data tidak disimpan ketik n, kemudian tekan Enter, maka di layar akan terlihat ╒═════ SOLVE/MODIFY ════╕
│ Solve Problem │
│ Modify data ╒══════ PROCEDURE ══════╕
│ View data │Automated procedure │
│ Print data │User-guided procedure │
└───────────────────└───────────────────────┘
│ Use ↑ or ↓ then ◄│ Use ↑ or ↓ then ◄═╝ │
└───────────────────└───────────────────────┘
Pada menu solve problem terdapat 2 pilihan menu, yaitu Automated procedure dan User –
guided procedure. Jika dipilih menu Automated procedure, maka di layar akan muncul╒══════════════ OPTIMUM ══════════════╕
│View solution/sensitivity summary │
│Print solution/sensitivity summary │
│Obtain alternative optimum │
│View optimum tableau │
│Print optimum tableau │
│View original data │
│Print original data │
└─────────────────────────────────────┘
│ Use ↑ or ↓ then ◄═╝ │
└─────────────────────────────────────┘
Jika dipilih menu view optimum tableau, maka di layar akan muncul ╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│contoh1 max (phase_2) (Final)Iteration No: 4 │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ Basic x1 x2 x3 Sx4 sx5 sx6 Rx7 │
│─────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ z 0.00 133.00 0.00 16.00 0.00 13.00 -16.00 │
│─────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ 1) sx5 0.00 -22.00 0.00 -3.00 1.00 -2.00 3.00 │
│ 2) x1 1.00 42.00 0.00 5.00 0.00 4.00 -5.00 │
│ 3) x3 0.00 9.00 1.00 1.00 0.00 1.00 -1.00 │
│─────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│+/-=(x+ - x-) s/S=slack/Surplus R=artif '=upper bd =inv(B) │
└───────────────────── <PgUp/PgDn>Scroll <F6>Optimum Menu ────────────────────┘
Dalam menu View solution / sensitivity summary terdapat 2 bagian table, yaitu Optimum
Solution Summary dan Sensitivity Analysis.╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│contoh1 max Final Iteration No: 4 │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** │
│Obj value = 150.0000 │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ x1 45.0000 3.0000 135.0000 │
│ x2 0.0000 2.0000 0.0000 │
│ x3 15.0000 1.0000 15.0000 │
│ More to come... Press PgDn/PgUp to scroll │
╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│contoh1 max Final Iteration No: 4 │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** │
│Obj value = 150.0000 │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│Constraint RHS Slack(-)/Surplus(+) │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│1 (<) 20.0000 5.0000- │
│2 (<) 30.0000 0.0000- │
│3 (>) 15.0000 0.0000+ │
│ More to come... Press PgDn/PgUp to scroll │
--------------------------------------------------------------------------------
Penyelesaian optimal contoh 1 adalah dicapai untuk
Contoh 2 : Min
s.t.
Penyelesaian :
Pada contoh 2 diatas merupakan variabel unrestricted sehingga dalam memasukkan input
data diberi nilai u.╒═════════════════════════════♦Enter new problem♦══════════════════════════════╕
│INS ← → BS DEL:Edit cell, ESC:Goto preceding cell, ↑↓:Go Up/Dn, ◄═╝:Exit cell │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│Problem Title : contoh2 │
│Nbr of Variables : 2 ← Indexed VARIABLES names: x1 to x2 │
│Nbr of Constraints : 2 │
│User-defined Vars Names (y/n)? : n │
│Nonzero Lower Bounds (y/n)? : n │
│Finite Upper Bounds (y/n)? : n │
│Unrestricted Variables (y/n)? : y │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
Masukkan input data contoh 2. Hasil dari view data akan terlihat╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│contoh2 Size: 2 constrs x 2 vars │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ x1 x2 RHS │
│───────────────────────────────────────────────────---------------------------│
│min -2 1 │
│───────────────────────────────────────────────────---------------------------│
│Constraint 1: 1 1 <= 4 │
│Constraint 2: 1 -1 <= 6 │
│───────────────────────────────────────────────────---------------------------│
│Unrest. Vars: u │
|------------------------------------------------------------------------------|
Keterangan :
u : unrestricted
Diperoleh solusi optimum╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│contoh2 min Final Iteration No: 3 │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** │
│Obj value = -11.0000 │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ x1 5.0000 -2.0000 -10.0000 │
│ x2 -1.0000 1.0000 -1.0000 │
│ │
│ More to come... Press PgDn/PgUp to scroll │
Penyelesaian optimal contoh 1 adalah dicapai untuk
MODUL V
KEJADIAN KHUSUS PADA MASALAH PL
Ada 3 kejadian khusus dalam masalah program linear dengan penyelesaian menggunakan
table simpleks, yaitu
1. Masalah PL mempunyai penyelesaian alternative.
Jika dalam table optimal terdapat variabel non basis dengan bernilai nol maka ada
dua kemungkinan, yaitu penyelesaian tunggal atau ada penyelesaian alternatif.
2. Masalah PL tidak mempunyai penyelesaian optimal (infeasible solution)
Model PL dikatakan infeasible jika terdapat variabel semu bernilai positif dalam
table optimal.
3. Masalah PL mempunyai penyelesaian tak terbatas (Unbounded Solution)
Model PL dikatakan unbounded solution jika pada suatu ietrasi semua elemen
kolom kunci dalam table simpleks tidak ada yang positif (negative atau nol).
4. Masalah PL Degenerate
Model PL dikatakan degeneracy jika ada paling sedikit satu variabel basis dalam
penyelesaian optimal bernilai nol. Penyelesaiannya disebut degenerate.
Contoh 1 :
Maksimukan
Dengan kendala
Penyelesaian :
Iterasi 1
Iterasi 2
Next Iteration masalah diatas, memunculkan jendela
Contoh 2 :
Maksimumkan
Dengan kendala
Penyelesaian :
Iterasi 1
Iterasi 2
Penyelesaian masalah diatas, akan memunculkan jendela
Contoh 3 :
Maksimumkan
Dengan kendala
Penyelesaian :
Dengan menggunakan WinQSB akan diperoleh penyelesaian :
Untuk melihat penyelesaian alternative yang lain klik menu Results – Optain Alternate
Optimal, maka akan diperoleh penyelesaian
Dengan menggunakan TORA, maka diperoleh╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│contoh2 max Final Iteration No: 3 │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** │
│Obj value = 12.000 ==> (Alternative solution detected at x4 ) │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ x1 2.1818 3.0000 6.5455 │
│ x2 2.7273 2.0000 5.4545 │
│ │
│ More to come... Press PgDn/PgUp to scroll │
Maslah ini mempunyai penyelesaian alternative untuk yang merupakan variabel slack .
Tekan F6 kemudian pilih menu Obtain alternative optimum, kemudian isi Variable nbr : 4
. Tekan Eneter, kemudian pilih menu View solution / optimum summary, maka akan di
layar akan muncul╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│contoh2 max Final Iteration No: 3 │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** │
│ │
│Obj value = 12.000 ==> (Alternative solution detected at x1 ) │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ x1 0.0000 3.0000 0.0000 │
│ x2 6.0000 2.0000 12.0000 │
│ │
│ More to come... Press PgDn/PgUp to scroll │
Penyelesaian optimal contoh 3 adalah atau dengan .
BAB VI
APLIKASI PROGRAM LINEAR
A company produces A, B, and C and can sell these products in unlimited quantities at the
following unit prices : a , $10; B, $56; C, $100. Producing 1 unit of A requires 1 hour of
labor. Producing 1 unit of B requires 2 hour of labor plus 2 units of A. Producing 1 unit of
C requires 3 hour of labor plus 1 unit of B. Any A that is used to produce B cannot be sold.
Similarly, any B that is used to produce C cannot sold. A total of 40 hours of labor are
available. Formulate an LP to maximize the company’s revenue.
Penyelesaian :
Misalkan :
: banyaknya produk A yang dihasilkan
: banyaknya produk B yang dihasilkan
: banyaknya produk C yang dihasilkan dan dijual
: banyaknya produk A yang dijual
: banyaknya produk B yang dijual.
1. Fungsi tujuan : memaksimumkan keuntungan
Keuntungan = hasil penjualan produk A + hasil penjualan produk B + hasil penjualan
produk C
=
=
2. Kendala :
a. Waktu yang disediakan adalah 40 jam
Total waktu produksi = waktu produksi produk A + waktu produksi produk B +
waktu produksi produk C
=
Maka
b. Produksi
Maka
Maka
c. Non negative
Akibatnya, masalah PL untuk soal diatas adalah
Maksimumkan
Dengan kendala
Dengan menggunakan TORA, input datanya menjadi ╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│masalah1 Size: 3 constrs x 5 vars │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ x1 x2 x3 x4 x5 RHS │
│─────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│max 0 0 100 10 56 │
│─────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│Constraint 1: 1 2 3 0 0 <= 40 │
│Constraint 2: 1 -2 0 -1 0 = 0 │
│Constraint 3: 0 1 -1 0 -1 = 0 │
│─────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
Dan solusi optimumnya adalah╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│masalah1 max Final Iteration No: 4 │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** │
│ │
│Obj value = 571.4286 │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ x1 11.4286 0.0000 0.0000 │
│ x2 5.7143 0.0000 0.0000 │
│ x3 5.7143 100.0000 571.4286 │
│ x4 0.0000 10.0000 0.0000 │
│ x5 0.0000 56.0000 0.0000 │
│ │
│ More to come... Press PgDn/PgUp to scroll │
Diperoleh bahwa nilai optimum dengan .
Latihan Soal
1. A company makes two types of sofas, regular and long, at two locations, one in
Hickory and one in Lenoir. The plant in Hickory has a daily operating budget of
$45,000 and can produce at most 300 sofas daily in any combination. It costs $150 to
make a regular sofa and $200 to make a long sofa at the Hickory plant. The Lenoir
plant has a daily operating budget of $36,000, can produce at most 250 sofas daily in
any combination and makes a regular sofa for $135 and a long sofa for $180. The
company wants to limit production to a maximum of 250 regular sofas and 350 long
sofas each day. If the company makes a profit of $50 on each regular sofa and $70 on
each long sofa, how many of each type should be made at each plant in order to
maximize profit? What is the maximum profit?
BAB VII
ANALISA SENSITIVITAS GRAFIK
Anlisa sensitivitas grafik yang dibahas adalah Perubahan Nilai Koefisien Fungsi Sasaran
dan Perubahan Nilai RHS.
Contoh :
Maksimumkan
Dengan kendala
Penyelesaian :
Dengan menggunakan TORA, diperoleh╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│contoh1 max Final Iteration No: 3 │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** │
│Obj value = 300.0000 │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ x1 5.0000 12.0000 60.0000 │
│ x2 30.0000 8.0000 240.0000 │
│ │
│ More to come... Press PgDn/PgUp to scroll │
│ │
└───────────────────── <PgUp/PgDn>Scroll <F6>Optimum Menu ────────────────────┘
╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│contoh1 max Final Iteration No: 3 │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** │
│Obj value = 300.0000 │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│Constraint RHS Slack(-)/Surplus(+) │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│1 (<) 150.0000 65.0000- │
│2 (<) 100.0000 0.0000- │
│3 (<) 80.0000 0.0000- │
│ │
│ More to come... Press PgDn/PgUp to scroll │
│ │
└───────────────────── <PgUp/PgDn>Scroll <F6>Optimum Menu ────────────────────┘
╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│contoh1 max Final Iteration No: 3 │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ ***** SENSITIVITY ANALYSIS ***** │
│Obj value = 300.0000 │
│Obj Coeffs -- Single Changes: │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ Variable Current Coeff Min Coeff Max Coeff Reduced Cost │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│ x1 12.0000 5.3333 16.0000 0.0000 │
│ x2 8.0000 6.0000 18.0000 0.0000 │
│ │
│ More to come... Press PgDn/PgUp to scroll │
│ │
└───────────────────── <PgUp/PgDn>Scroll <F6>Optimum Menu ────────────────────┘
╒══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╕
│contoh1 max Final Iteration No: 3 │
├──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ ***** SENSITIVITY ANALYSIS ***** │
│Obj value = 300.0000 │
│Righthand Side -- Single Changes: │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│Constraint Current RHS Min RHS Max RHS Dual Price │
│───────────────────────────────────────────────────────────────────────────── │
│1 (<) 150.0000 85.0000 infinity 0.0000 │
│2 (<) 100.0000 40.0000 120.0000 1.0000 │
│3 (<) 80.0000 66.6667 127.2727 2.5000 │
│ │
│ More to come... Press PgDn/PgUp to scroll │
│ │
└───────────────────── <PgUp/PgDn>Scroll <F6>Optimum Menu ────────────────────┘
Dari table Sensitivity Analysis yang pertama terlihat bahwa untuk variabel berada diantara
dan variabel berada di antara . Sedangkan untuk table Sensitivity Analysis jika terjadi
perubahan RHS, maka untuk , nilai yang diperbolehkan adalah .
Dengan menggunkan WinQSB diperoleh
Dari tabel hasil optimal diatas terlihat bahwa perunahan nilai fungsi sasaran untuk variabel
berada diantara dan untuk variabel berada di antara . Sedangkan jika terjadi perubahan
RHS, maka untuk , nilai yang diperbolehkan adalah .
Bandingkan hasil diatas dengan hitung manual di bawah ini.
A. Perubahan Nilai Fungsi Sasaran
Fungsi tujuan masalah pemograman linear dengan dua variabel dapat ditulis
memaksimumkan / meminimumkan . Perubahan atau akan merubah gradient . Secara
grafik perubahan ini mungkin menyebabkan perubahan penyelesaian optimal berada pada
titik sudut yang berbeda dalam penyelesaian fisibel. Penyelesaian tidak berubah jika
berada dalam range optimalitas.
Perhatikan grafik berikut
Titik B merupakan perpotongan garis dan . Dari persamaan pertama diperoleh atau . Dari
persamaan kedua diperoleh atau . Diperoleh dua pertidaksamaan atau . Untuk artinya
grdaien garis fungsi tujuan bukan garis horizontal, artinya garis fungsi tujuan bukan garis
vertical.
Nilai dan yang memenuhi pertidaksamaan diatas menjamin bahwa penyelesaian optimum
tetap berada di titik sudut B (yang berubah nilai ). Perubahan koefisien fungsi tujuan yang
dimaksud adalah perubahan nilai saja atau saja.
tetap
Dari , diperoleh . Jika nilai diubah dalam range maka penyelesaian optimalnya
tetap di B (5,30).
Contoh : Tentukan penyelesaian optimum masalah 1 pada bagian I jika fungsi
tujuannya .
Penyelesaian : Solusi optimum di B (5,30) dengan nilai .
tetap
Dari, diperoleh . Jika nilai diubah dalam range maka penyelesaian optimalnya
tetap di B (5,30).
Contoh : Tentukan penyelesaian optimum masalah 1 pada bagian I jika fungsi
tujuannya .
Penyelesaian : Solusi optimum di B (5,30) dengan nilai .
B. Perubahan Nilai RHS
Dalam model PL biasanya RHS menyatakan batasan sumber. Jika nilai batas ini
diubah maka nilai -nya akan berubah (berkurang atau bertambah).
Titik B merupakan perpotongan dua garis yang bersesuaian dengan dan . Jika nilai
berubah (bertambah atau berkurang ) di sekitar 100 maka PO B akan berubah di sepanjang
garis AD. Titik dan berguna untuk menentukan range fisibilitas untuk . Nilai bersesuaian
dengan adalah . Nilai bersesuaian dengan adalah . Jadi, range fisibilitas untuk adalah .
Titik optimal B tetap merupakan perpotongan garis kendala ke – 2 dan ke – 3 jika
perubahan nilai sebesar , .
Didefinisikan (worth per unit or raw material )
Nilai pada A = 12 x 0 + 8 x =
Nilai pada D = 12 x + 8 x =
Diperoleh satuan harga / unit . Di dalam TORA dikenal sebahai dual price. Akibatnya,
perubahan 1 unit dalam range akan merubah (mengurangi atau menambah) sebesar
satuan harga.
Latihan soal
The Shader Electronics Company produces two products : (1) the Shader Walkman,
a portable CD/DVD player, and (2) the Shader Watch – TV, a wristwatch – size internet –
connected color television. The production process for each product is similar in that both
require a certain number of hours of electronic work and a certain number of labor – hours
in the assembly department. Each Walkman takes 4 hours of electronic work and 2 hours in
the assembly shop. Each Waych – TV requires 3 hours in electronics and 1 hour in
assembly. During the current production period, 240 hours of electronic time are available,
and 100 hours of assembly department time are available. Each Walkman sold yields a
profit of $7;each Watch – TV produced may be sold for a $5 profit.
Shader’s problem is to determine the best possible combination of
a. For what values of the price of Walkman would the current basis remain optimal?
b. For what values of the price of Watch - TV radio would the current basis remain
optimal?
c. If electronic time only 250 hours are available, would the current basis remain
optimal?
d. If assembly time 80 hours are available, would the current basis remain optimal?
e. Find the dual price of each constraint?
DAFTAR PUSTAKA
Wu, Nesa dan Richard Coppins, 1981, Linear Programming and Extensions. McGraww –
Hill, Inc., New York.
Winston, W.L., 2004, Operation Research Application and Algorithms, Ruxbury Press.