Materi I : Diferensiasi Numeris

Pokok Pembahasan :

Diferensiasi Numeris cara sentral, backward dan forward

Tujuan Pembahasan :

Untuk mengetahui penyelesaian soal diferensiasi numeris dengan menggunakan cara sentral,

cara backward dan forward sehingga dapat diterapkan dalam permasalahan teknik kimia.

DIFERENSIASI NUMERIS

Misalnya diketahui y = f(x) dan ingin dicari harga dy/dx pada x = xo.

Berdasar definisi matematika:

=

Pada diferensiasi numeris yang sederhana, harga didekati dengan bilangan kecil ,

sehingga diperoleh rumus-rumus berikut:

Cara forward

Cara backward

Cara central

Menurut teori, pendekatan dengan persamaan central adalah yang terbaik.

Contoh program BASIC untuk mencari dengan cara central dari persamaan:

y = pada x0 = 2 dan interval diferensiasi 0,01 adalah sebagai berikut:

10 REM Diferensiasi numeris dengan cara sentral20 CLS30 INPUT “Nilai XO = “; XO40 INPUT “Interval diferensiasi = “; EPS50 X = XO + EPS60 GOSUB 20070 FPLUS = FX80 X = XO – EPS 90 GOSUB 200100 FMIN = FX110 DFDX = (FPLUS – FMIN) / 2 / EPS120 PRINT 130 PRINT “dy/dx = “; DFDX140 END200 REM subroutine menghitung F(X)210 FX = X^3 / 3 + X^2 / 4 + 1220 RETURN

Hasil keluaran program adalah sebagai berikut:RUNNilai XO = 2Interval diferensiasi = 0.01

dy/dx = 5.000043ok

Sebagai perbandingan, diferensiasi analitis menghasilkan:

Visualisasi Grafik

Nilai turunan y = f (x) pada x = xi dapat dievaluasi dengan memanfaatkan nilai-nilai x di sekitar

xi, dalam hal ini: xi-1 dan xi+1.

1. Hasil cara forward

2. Hasil cara backward

3. Hasil cara sentral

4. Hasil integrasi yang sesungguhnya

Materi II : Akar Persamaan Non Linier

Pokok Pembahasan :

1. Metode Bisection

2. Metode Newton Raphson

Tujuan Pembahasan :

Untuk mengetahui penyelesaian soal akar persamaan non linier dengan menggunakan metode

Newton Raphson dan Bisection sehingga dapat diterapkan dalam permasalahan teknik kimia.

AKAR PERSAMAAN NON LINIER

Dalam teknik kimia sering dijumpai persoalan mencari akar persamaan non-linier f(x) = 0

yang sukar diselesaikan dengan manipulasi matematika analitis. Ada beberapa cara numeris yang

bisa dipakai untuk kasus ini. Dalam modul ini dibahas 2 metode, yaitu Metode Newton-Raphson

dan Metode Bisection.

1. Metode Newton Raphson

Mula-mula diperkirakan suatu harga x (misalnya xold) yang memenuhi persamaan f(x) = 0,

kemudian berdasar harga tersebut bisa diperkirakan harga x yang lebih baik, yaitu xnew dengan

persamaan:

xnew = xold -

Selanjutnya harga xnew dipakai sebagai xold dan dicari harga x yang lebih baik lagi (xnew).

Demikian seterusnya sampai diperoleh harga x yang cukup baik, yang ditandai dengan harga xnew

mendekati xold, atau harga f(xnew) = 0. Harga f’(x) dapat dicari dengan menggunakan cara sentral

sebagai berikut:

Cara Newton-Raphson lebih cepat konvergen dibandingkan dengan bisection, tetapi sering gagal

untuk fungsi yang berubah sangat tajam. Misal ingin dicari akar dari persamaan:

f(x) = x3 - 8 = 0

Jika f (x) sukar dicari dengan analitis, bisa dipakai diferensiasi numeris misal cara sentral

Contoh program Newton Raphson dengan diferensiasi numeris adalah sebagai berikut:10 REM Mencari akar persamaan dengan Newton Raphson

20 REM Diferensiasi numeris cara central30 CLS40 INPUT "Harga awal x = "; XOLD50 INPUT "Toleransi = "; TOL60 INPUT "Interval diferensiasi = "; EPS70 PRINT80 PRINT TAB (6); "x-old"; TAB (18); "f(x-old) "90 PRINT TAB (6); "------"; TAB (18); "------"100 X = XOLD110 GOSUB 500120 FOLD = FX130 PRINT TAB (5); XOLD; TAB (17); FX140 X = XOLD – EPS : GOSUB 500 : FMIN = FX150 X = XOLD + EPS : GOSUB 500 : FPLUS = FX160 DFX = (FPLUS – FMIN) / 2 / EPS170 XNEW = XOLD – FOLD / DFX180 IF ABS (XNEW – XOLD) < TOL THEN 220190 XOLD = XNEW200 GOTO 100210 X = XNEW220 GOSUB 500230 PRINT TAB (6); "------"; TAB (18); "------"240 PRINT250 PRINT "akar persamaan, x = "; XNEW260 PRINT "f(x) = "; FX270 END500 REM menghitung f(x)510 FX = X ^ 3 – 8520 RETURN

Hasil keluaran programnya adalah sebagai berikut:

RUN Harga awal x = 1 Toleransi = 0.0001 Interval diferensiasi = 0.0001

x-old f(x-old)------ ------1 -73.333874 29.055052.46191 6.921632.08082 1.0095572.003039 3.652191E-022.000006 6.580353E-05------ ------

Akar persamaan, x = 2 f(x) = 0 Ok

2. Metode Bisection

Pada cara bisection, mula-mula diperkirakan suatu interval di mana akar

tersebut berada (jika ternyata akar tersebut tidak berada pada interval tersebut, maka cara ini

gagal dan harus dicoba interval yang lain). Selanjutnya dicari harga f(x) pada xA dan xB, serta xM

(tengah-tengah interval). Jika interval betul, harga f(x) pada xA dan xA harus berlawanan tanda

(positif dan negatif atau sebaliknya). Berdasar harga f(x) pada 3 titik tersebut dapat ditentukan

pada separuh interval yang mana terletak akar persamaan tersebut (pada interval xA xM atau

xM x xB). Akar tersebut pasti terletak pada interval di mana tanda dari f(x) pada ujung-ujung

interval berlawanan.

Jika tanda f(xM) berlawanan dengan f(xA), maka akar persamaan pasti berada pada interval

xA x xM, sedangkan jika f(xM) berlawanan tanda dengan f(xB), akar persamaan pasti berada

pada interval xM x xB. Jadi interval bisa diperkecil dengan membuang separuh interval.

Selanjutnya proses yang sama dikenakan pada interval yang baru. Demikian seterusnya sampai

diperoleh interval yang cukup kecil. Akar persamaan bisa didekati dengan:

x =

Cara ini tidak begitu cepat konvergen, tetapi baik digunakan untuk fungsi-fungsi yang

sangat tajam perubahannya.

Pedoman praktis untuk eliminasi interval adalah sebagai berikut:

1. Jika f(xA) x f(xM) < 0, maka xA tetapi xM menjadi xB

2. Jika f(xM) x f(xA) < 0, maka xB tetap, xM menjadi xA.

Suatu contoh program komputer BASIC untuk mencari akar persamaan:

f(x) = x3 – 8

adalah sebagai berikut:10 REM Mencari akar persamaan non linier 20 REM Metode Bisection30 CLS40 INPUT "Batas bawah interval = "; XA50 INPUT "Batas atas interval = "; XB60 INPUT "Toleransi = "; TOL70 PRINT80 X = XA90 GOSUB 1000100 FXA = FX110 X = XB

120 GOSUB 1000130 FXB = FX140 IF (FXA * FXB) <=O THEN 180150 PRINT160 PRINT “Interval awal salah !”170 GOTO 370180 PRINT TAB (3) ;"xa"; TAB (15); "xb"; TAB (29); "f(xa)"; TAB (44) ; "f(xb)"190 PRINT TAB (3); "------"; TAB (15); "------"; TAB (29); "------"; TAB (44); "------"200 PRINT TAB (2); XA; TAB (14); XB; TAB (28); FXA; TAB (43); FXB210 IF FXA = 0 THEN X = XA : FX = FXA : GOTO 350220 IF FXB = 0 THEN X = XB : FX = FXB : GOTO 350230 IF (XB – XA) < TOL THEN 300240 XM = (XA + XB) / 2250 X = XM : GOSUB 1000 : FXM = FX260 IF (FXA * FXM) < O THEN 290270 XA = XM : FXA = FXM280 GOTO 200290 XB = XM : FXB = FXM300 GOTO 200310 X = (XA + XB) / 2320 GOSUB 1000330 PRINT TAB(3); "------"; TAB(15); "------"; TAB (29); "------"; TAB(44); "------"340 PRINT350 PRINT "akar persamaan = “; X360 PRINT "F(x) = "; FX370 END1000 REM menghitung F(x)1010 FX = X^ 3 – 8 1020 RETURN

Hasil keluaran programnya adalah sebagai berikut:RUNBatas bawah interval = 1Batas atas interval = 6Toleransi = 0.0001

xa xb f(xa) f(xb)------ ------ ------ -----1 6 -7 2081 3.5 -7 34.8751 2.25 -7 3.3906251.625 2.25 -3.708985 3.3906251.9375 2.25 -0.7268066 3.3906251.9375 2.09375 -0.7268066 1.1785581.9375 2.015625 -0.7268066 0.18896871.976563 2.015625 -0.277967 0.18896871.996094 2.015625 -4.678345E-02 0.18896871.996094 2.005859 -4.678345E-02 0.07051851.996094 2.000977 -4.67834SE-02 1.172447E-021.998535 2.000977 -1.756525E-02 1.172447E-021.999756 2.000977 -2.929688E-03 1.172447E-021.999756 2.000366 -2.929688E-03 4.394532E-031.999756 2.000061 -2.92968BE-03 7.324219E-041.999909 2.000061 -1.098633E-03 7.324219E-041.999985 2.000061 -1.831055E-04 7.324219E-04------ ------ ------ ------

akar persamaan = 2.000023F(x) = 2.746582E-04Ok

CONTOH SOAL NEWTON RAPHSON

Reaksi eksotermis fasa gas A + 2 B C dijalankan dalam reaktor adiabatis. Umpan berjumlah Fo gmol/jam bersuhu TF. Tekanan sepanjang reaktor tetap P atm. Carilah konversi A pada kesetimbangan (z) f(z) = Tkesetimbangan - Tneraca panas = 0

Data dari persamaan stoikiometri:

Data dari kesetimbangan:

Data dari neraca panas:

Diketahui data-data : = -20000 kal/gmol TF = 400oK TREF = 298 oK A = 8.10-6 atm B = 4500oK P = 20 atm CpA= 7 kal/mol/oK CpB = 8 kal/mol/oK CpC= 12 kal/mol/oK

Data-data asumsi: zawal = 0,1 Toleransi = 0,0001 Epsilon = 0,0001

Langkah pemrograman:1. Input data2. Metode Newton raphson (masukan nilai Z awal --- keluaran nilai Fz)

3. Output : Nilai Z yang baru (Znew)4. Subroutine : Menghitung FZ

9

Materi III : Integrasi Numeris

Pokok Pembahasan :

1. Metode Trapezoidal

2. Metode Simpson

Tujuan Pembahasan :

Untuk mengetahui penyelesaian soal integrasi numeris dengan menggunakan metode

Trapezoidal dan Simpson sehingga dapat diterapkan dalam permasalahan teknik kimia.

INTEGRASI NUMERIS

1. Metode Trapezoidal

Misalnya akan dilakukan integrasi:

dimana: y = f(x)

Interval dari x = x0 sampai x = xn dibagi menjadi bagian-bagian kecil yang

masing-masing besarnya , berjumlah n buah. Jumlah interval n semakin besar, hasil

integrasi akan semakin baik. Batas-batas interval diberi indeks 0, 1, 2 ..., n. Dengan mudah

dapat diperoleh bahwa:

Kemudian masing-masing bagian dianggap berbentuk trapesium. Harga integral,

yang merupakan luas di bawah kurva. dari x0 sampai xn didekati dengan jumlahan dari luas

trapesium-trapesium tersebut (perlu diingat bahwa luas trapesium adalah 1/2 x tinggi x

jumlah sisi sejajar). Dengan cara tersebut diperoleh:

atau

Contoh program komputer BASIC untuk integrasi numeris:

10

dengan : y = ex + adalah sebagai berikut:

10 REM Integrasi Numeris 20 REM Metode Trapezoidal30 REM Bentuk fungsi : y = exp(x) + sqr(x)40 CLS50 INPUT "Batas bawah integrasi = "; XO60 INPUT "Batas atas integrasi = "; XN70 INPUT "Jumlah interval = "; N80 PRINT90 DELX = (XN – XO) / N100 AREA = 0110 X = XO120 GOSUB 500130 AREA = AREA + Y140 FOR I = 1 TO N – 1150 X = XO + I * DELX160 GOSUB 500170 Y = 2 * Y180 AREA = AREA + Y190 NEXT I200 X = XN210 GOSUB 500220 AREA = AREA + Y230 YDX = AREA * DELX / 2240 PRINT250 PRINT "Hasil hitungan : "260 PRINT "------------------"270 PRINT "Hasil integrasi = "; YDX280 PRINT "--selesai--"290 END500 REM perhitungan y = fx510 Y = EXP(X) + SQR(X)520 RETURN

Hasil keluaran program adalah sebagai berikut:Batas bawah integrasi =? 1Batas atas integrasi =? 3Jumlah interval =? 40

Hasil hitungan:-------------------Hasil integrasi = 20.16826 --selesai--

Sebagai perbandingan, integrasi analitis menghasilkan:

2. Metode Simpson

11

Misalnya akan dilakukan integrasi: di mana: y = f(x)

Jika interval tidak begitu besar dan fungsi (kurva) tidak berubah tajam maka

integrasi seperti pada Gambar dapat didekati dengan rumus Simpson sebagai berikut:

Jika interval terlalu lebar dan/atau fungsi berubah cukup tajam, maka interval x0

sampai xN dibagi menjadi bagian-bagian kecil yang sama besar ( x), berjumlah N (dengan

N = bilangan genap) dan batas-batas interval diberi indeks 0, 1, 2 ….. N, Selanjutnya pada

tiap 2 interval berurutan dikenakan Simpson's Rule, diperoleh:

Integrasi numeris berturutan cara simpson :

atau

Jadi integral didekati dengan kali jumlahan dari y, dengan y awal dan akhir

dikalikan 1, y nomor ganjil dikalikan 4, sedangkan y nomor genap dikalikan 2.

Contoh program untuk integrasi Simpson untuk persoalan berikut :

dengan : y = ex + (xO = 1 dan xN = 3) adalah sebagai

berikut:

12

10 REM Integrasi numeris metode Simpson20 REM bentuk fungsi : y = exp(x) + sqr(x)30 CLS40 INPUT "Batas bawah integrasi = "; XO50 INPUT "Batas atas integrasi = "; XN60 INPUT "Jumlah interval = "; N70 PRINT80 DELX = (XN – XO) / N 90 PRINT100 AREA = 0110 X = XO120 GOSUB 1000130 AREA = AREA + Y140 FOR I = 1 TO N – 1150 X = XO + I * DELX160 GOSUB 1000170 Y = 2 * Y180 IF (-1) ^ I < 0 THEN Y = 2 * Y190 AREA = AREA + Y200 NEXT I210 X = XN220 GOSUB 1000230 AREA = AREA + Y240 YDX = AREA * DELX / 3250 PRINT260 PRINT "Hasil hitungan"270 PRINT "------------------"280 PRINT "Hasil integrasi = "; YDX290 PRINT "--selesai--"300 END500 REM perhitungan y510 y = EXP(X) + SQR(X)520 RETURN

Keluaran program tersebut adalah:

RUNBatas bawah integrasi =? 1Batas atas integrasi =? 3Jumlah interval =? 40

Hasil hitungan :---------------------Hasil integrasi = 20.16469--selesai--

Dari perbandingan hasil kedua cara integrasi numeris tersebut dengan hasil integrasi

analitis terlihat bahwa, sesuai dengan teori, cara Simpson lebih baik.

CONTOH SOAL TRAPEZOIDAL / SIMPSON13

Cairan dengan sifat-sifat fisis :- Rapat massa, ρ = 1 gr/cm3

- Kekentalan, μ = 0,01 gram/cm/detikDialirkan dari tanki dengan aliran gravitasi melalui pipa berdiameter, D = 3 cm. Tinggi permukaan cairan dalam tangki mula-mula, Za = 600 cm. Diameter tangki, Dt = 200 cm. Ingin dicari waktu pengosongan tanki, , hingga tinggi akhir, Zf = 200 cm.

Hubungan antara f dengan Re adalah:

Diketahui data-data penunjang sebagai berikut:- Gravitasi, g = 981 cm/detik2

- Panjang ekivalen pipa = 40000- Jumlah interval, N = 20

Waktu pengosongan tanki dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Gunakan integrasi cara Simpson atau Trapezoidal untuk menghitung .

Simpson :

Trapezoidal :

Tahapan pengerjaan:1. Input data2. Simpson/Trapezoidal : Mencari (1/v) pada berbagai nilai Z (dari Zf hingga Za)3. Output : dan Q4. Subroutine : Perhitungan (1/v) dari v

14

Materi IV : Penyelesaian Diferensial Ordiner

Pokok Pembahasan :

Diferensial Ordiner dengan Metode Runge Kutta

Tujuan Pembahasan :

Untuk mengetahui penyelesaian soal diferensial ordiner dengan menggunakan Metode

Runge Kutta.

Metode Runge Kutta

Misal dijumpai persamaan diferensial order satu berbentuk:

dengan keadaan batas: x = xo; y = yo

Pada cara Runge-Kutta. diambil suatu barga tertentu (makin kecil makin baik). Rumus Runge-Kutta dapat dipakai untuk menghitung harga yi + 1 bila harga y0 telah tersedia. Pendekatan Runge-Kutta untuk interval adalah sebagai berikut:

Jadi berdasar xo, yo dapat dihitung x1, y1 kemudian berdasar x1, y1 dapat dihitung x2, y2 . Demikian seterusnya, sehingga didapat harga y pada berbagai x.

Contoh program komputer BASIC untuk penyelesaian persamaan diferensial dengan keadaan batas : x0 = 0,5 ; xN = 1,5 ; y0 = 0,4 adalah sebagai berikut:

10 REM penyelesaian persamaan diferensial ordiner order 115 REM dengan cara one-step method Runge-Kutta40 CLS50 INPUT "Harga xo = "; XO60 INPUT "Harga yo = "; YO70 INPUT "Harga xn = "; XN80 INPUT "Jumlah interval = "; N90 DELX = (XN – XO) / N100 PRINT110 PRINT TAB(3); " x "; TAB(17); " y "120 PRINT TAB(3) ;"---------"; TAB(17); "---------"130 PRINT TAB(4); XO; TAB(18); YO140 IF XO > XN THEN 260150 X = XO : Y = YO : GOSUB 500

15

160 K1 = FXY * DELX170 X = XO + DELX / 2 : Y = YO + K1 / 2 : GOSUB 500180 K2 = FXY * DELX190 X = XO + DELX / 2 : Y = YO + K2 / 2 : GOSUB 500200 K3 = FXY * DELX210 X = XO +DELX : Y=YO+ K3 : GOSUB 500220 K4 = FXY * DELX230 XO = XO + DELX240 YO = YO + (K1 + 2 * K2 + 2 * K3 + K4) / 6250 GOTO 130260 PRINT TAB(3) ; "---------"; TAB(17) ; "---------"270 PRINT "--selesai--"280 END500 REM menghitung f(x,y)510 FXY = SQR(X) + Y ^ 0.3520 RETURN

Hasil keluaran program tersebut adalah:

RUNHarga xo = 0.5Harga yo = 0.4Harga xn = 1.5Jumlah interval = 10

x y--------- ---------0.5 0.40.6 0.55408920.7000001 0.72198180.8000001 0.90244340.9000001 1.0945191 1.2974421.1 1.5105761.2 1.7333851.3 1.9654061.4 2.2062371.5 2.455524

-- selesai --

16

Jika dijumpai persamaan diferensial ordiner 1 simultan 2 baris berbentuk:dengan keadaan batas

x = x0; y = y0; z = z0 (4.83)

maka rumus Runge-Kutta untuk mencari xi + 1, yi + 1, zi + 1 berdasar harga xi , yi , zi adalah:

Contoh program komputer BASIC untuk persamaan diferensial ordiner order 1 simultan 2 baris:

(4.88)

(4.89)

dengan keadaan batas:

x0 = 0,5; y0 = 1 dan z0 = 0,8 (4.90)

adalah sebagai berikut:

10 REM penyelesaian PD ordiner order 1, 2 baris20 REM dengan RUNGE-KUTTA30 REM oleh: WBS dan AP40 REM yogyakarta, 24 desember 199450 CLS60 INPUT “Harga x0 = “; X070 INPUT “Harga y0 = “; Y080 INPUT “Harga z0 = “; Z090 INPUT “Harga xN = “;XN100 INPUT “Jurnlah interval = “;N110 DELX=(XN-X0)/N120 PRINT130 PRINT TAB(3);” x “;TAB(16);” y “; TAB(30) “ z “140 PRINT TAB(3) “------- “;TAB(16) ;“-------------“; TAB(30) ;“------------ “;150 PRINT TAB(4) ;X0;TAB(17) ;Y0;TAB(31) ;Z0160 IF X0>XN THEN 290170 X=X0 : Y=Y0 : Z=Z0175 GOSUB 1000180 AK1=F1*DELX : AL1=F2*DELX190 X=XO+DELX/2 : Y=Y0+AK1/2 : Z=Z0+AL1/2195 GOSUB 1000200 AK2=F1*DELX AL2=F2*DELX

17

210 X=X0+DELX/2 : Y=Y0+AK2/2 : Z=Z0+AL2/2215 GOSUB 1000220 AK3=F1*DELX : AL3=F2*DELX230 X=X0+DELX : Y=Y0+AK3 Z=Z0+AL3235 GOSUB 1000240 AK4=F1*DELX AL4=F2*DELX250 X0=X0+DELX260 Y0=Y0+ (AK1+2*AK2+2*AK3+AK4) /6270 Z0=Z0+ (AL1+2*AL2+2*AL3+AL4) /6280 GOTO 150290 PRINT TAB(3);” “;TAB(16);” TAB(30);” “295 PRINT “--selesai--”300 END1000 REM menghitung f(x,y)1010 F1=SQR(X*Y)+ZA.31020 F2=X+SQR(Y*Z)1030 RETURN

Hasil keluaran program tersebut adalah:

RUNHarga x0 = .5Harga y0 = 1Harga z0 = .8Harga xN = 1.5Jumlah interval= 10

x y z----------------- ------------------- -----------------

0,5 1 0.80.6 1.173268 0.95238520.7000001 1.365195 1.1321990.8000001 1.576664 1.3418720.9000001 1.808546 1.5839971 2.061701 1.8613281.1 2.336977 2.1767911.2 2.635212 2.5334831.3 2.957237 2.9346831.4 3.303877 3.3838571.5 3.675951 3.88466

-- selesai --

Untuk persamaan diferensial ordiner order 1 simultan berjumlah n baris, maka rumus yang dipakai analog dengan persamaan (4.84).

18

Pendekatan Runge-Kutta secara tidak langsung dapat dipakai pula untuk persamaan diferensial ordiner order tinggi dengan cara substitusi lebih dahulu, sehingga persamaan diferensial ordiner order m berubah menjadi persamaan diferensial simultan order satu m baris. Contoh:

(4.91)

Misal:

Diperoleh:

(4.92)

Dimisalkan lagi , maka persamaan di atas menjadi:

(4.93)

(4.94)

Jadi, diperoleh persamaan diferensial order 1 simultan sebanyak 3 baris sebagai berikut:

(4.95)

19

4. Optimasi satu Variabel dengan Cara Golden-Section

Optimasi dapat diartikan sebagai suatu proses untuk mencari kondisi yang optimum, dalam

arti paling menguntungkan. Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasi. Bila kita

berhadapan dengan masalah keuntungan, keadaan optimum adalah keadaan yang

memberikan keuntungan maksimum (maksimasi), sedangkan bila berhadapan dengan

masalah pengeluaran/pengorbanan,. keadaan optimum adalah yang memberikan

pengeluaran/pengorbanan minimum (minimasi). Secara umurn fungsi yang akan

dimaksimumkan atau diminimumkan disebut objective function, sedangkan harga-harga

yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel (perubah).

Secara analitis, nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan:

y = f(x) (4.20)

dapat diperoleh pada harga x yang memenuhi

y’ (x) = f’ (x) = 0 (4.21)

Untuk fungsi yang sukar untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang sukar dicari

akarnya, proses optimasi dapat dilakukan secara numeris.

Golden section merupakan salah satu cara optimasi numeris yang bisa dipakai untuk

fungsi yang bersifat unimodal (Rudd and Watson, 1968). Kedua tipe optimasi, yaitu

maksimasi dan minimasi dapat diselesaikan dengan cara ini.

Misal akan dilakukan maksimasi terhadap persamaan (4.20) dalam interval xA sampai

xB.

20

Gambar 4.5 Eleminasi dengan golden section

Dipilih 2 titik untuk evaluasi, misal xp dan xQ. Diharapkan dengan berdasar harga y

pada 2 titik tersebut maka ada sebagian interval yang dapat dieliminasi. Diharapkan pula

bahwa pada evaluasi langkah selanjutnya, salah satu titik lama bisa dipakai lagi. Jadi hanya

diperlukan I titik baru. Proses eliminasi interval terlihat seperti pada Gambar 4.5.

Di sini ada problem, di mana letak titik P dan Q agar pada interval berikutnya salah

satu titiknya masih bisa dipakai. Misal titik P dan Q masing-masing berjarak 1x interval

awal dari titik B dan A. Dalam hal ini harga 1 akan dicari.

Dari Gambar 4.5 terlihat bahwa:

(xQ – xP)lama = (xP –xA)baru

Selanjutnya:

21

(4.22)

Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi pada eliminasi dengan cara Golden Section adalah:

Maksimasi: yP < yQ xA = xP

xP = xQ

xB = xB

xQ = dicariyP > yQ xA = xA

xB = xQ

xQ = xP

xP = dicariMinimasi: yP < yQ xA = xA

xB = xQ

xQ = xP

xP = dicariyP > yQ xA = xP

xP = xQ

xB = xB

xQ = dicari

Efektivitas evaluasi:Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0,001 dari semula., maka

jumlah step yang diperlukan (N) adalah:

(0,618)N = 0,001

N = 14,3 15 (4.23)

Jumlah evaluasi = 2 + (N-1) x 1 = 16

22

Contoh program komputer beserta. keluaran hasilnya untuk minimasi :

y = 2x2 - 8x + 12 (4.24)

adalah sebagai berikut:

10 REM minimasi dengan golden-section20 REM oleh: WBS dan AP30 REM yogyakarta, 8 juni 199240 CLS 50 INPUT "batas bawah x =";XA60 INPUT “batas atas x =”xB70 INPUT “tolerance x =”;TOL80 AL = (5 ^ .5 -1)/2 90 x=xA100 GOSUB 1000110 FA--F120 X=XB130 GOSUB 1000'140150 XP=XA+(I-AL)*(XB-XA)160 X=XP170 GOSUB 1000180 FP=F 190 XQ=XA+AL*(XB-XA)200 X=XQ210 GOSUB 1000220 FQ=F230 PRINT240 PRINT “ xa xb fa fb250 PRINT “ ----- ----- ----- -----260 PRINT TAB(3);XA;TAB(18);XB;TAB(37);FA;TAB(51);FB270 IF((XB-XA)<=TOL) THEN 490280 IF(FP<FQ) THEN 390290 XA=XP300 FA=FP310 XP=XQ320 FP=FQ 330 IF((XB-XA)<=TOL) THEN 260340 XQ=XA+AL*(XB-XA)350 X=XQ360 GOSUB 1000370 FQ=F380 GOTO 260390 XB=XQ400 FB=FQ410 XQ=XP420 FQ=FP430 IF((XB-XA)<=TOL) THEN 260

23

440 XP=XA+(l-AL)*(XB-XA)450 X=XP460 GOSUB 1000470 FP=F480 GOTO 260490 XOPT=(XA+XB)/2500 X=XOPT510 GOSUB 1000515 PRINT “ ----- ----- ----- ----- “520 PRINT530 PRINT "X-Optimum ";XOPT540 PRINT "f(x)opt = ";F550 PRINT “--selesai --“560 END1000 REM subroutine menghitung fungsi1010 F=2*X^2-8*X+121020 RETURN

Hasil keluaran programnya adalah sebagai berikut:

RUNbatas bawah x = 0batas atas x = 4toleransi x = 0.001

xa xb fa fb-------- -------- -------- -------0 4 12 121.527864 4 4.445825 121.527864 3.055728 4.445825 6.2291221.527864 2.472136 4.445825 4.4456251.888544 2.472136 4.024845 4.4458251.888544 2.249224 4.024845 4.1242251.888544 2.111456 4.024845 4.0248451.973689 2.111456 4.001385 4.0248451.973689 2.058834 4.001385 4.0069231.973689 2.026311 4.001385 4.0013851.993789 2.026311 4.000077 4.0013851.993789 2.013889 4.000077 4.0003851.993789 2.006211 4.000077 4.0000771.998534 2.006211 4.000004 4.0000771.998534 2.003279 4.000004 4.0000211.998534 2.001466 4.000004 4.0000041.999654 2.001466 4 4.000004

24

1.999654 2.000774 4 4.0000012.000082 2.000774 4 4.000001--------- -------- --------- ----------x-optimum = 2.000428f(x)opt = 4-- selesai -- Ok

Jika dihitung secara analitis, nilai optimum dari fungsi tersebut diperoleh pada:

(4.25)

atau pada x =2, yaitu :

Program komputer untuk maximasi cara Golden Section dapat dibuat mirip dengan minimasi, hanya tanda < pada baris 280 diganti tanda >.

8. Penyelesaian Persamaan Diferensial Ordiner Jenis Initial Value Problem.

Contoh persamaan diferensial ordinerjenis initial value problem adalah:

(4.69)

dengan keadaan batas

x = x0; y = y0; dy/dx = a (4.70)

Contoh lain berupa persamaan diferensial ordiner simultan:

(4.71)

(4.72)

dengan keadaan batas

x = x0; y = y0; z = z0 (4.73)

25

Jadi pada jenis persamaan m semua harga yang diketahtii mengumpul pada suatu titik, yaitu x0.

26

Pada bagian ini akan dibahas penggunaan finite djfference approximation untuk persamaan diferensial parsial. Tersedia berbagai cara penyelesaian, tetapi dalam bab ini hanya akan dibahas 3 cara saja, yaitu cana eksplisit (forward), implisit (backward), dan Crank-Nicolson.

27