Embed Size (px)
Citation preview
MODUL MATEMATIKA
VEKTOR
Peta Konsep
Vektor dalam Ruang Dimensi Dua
Pengertian Vektor Operasi Vektor Sudut Antar Vektor Proyeksi Vektor
1. Pengertian Vektor
Vektor adalah Besaran yang mempunyai nilai dan arah.sebagai contoh, kecepatan
dan percepatan.Adapun notasi vektor adalah sebagai berikut :
a. Vektor dapat ditulis menggunakan huruf kecil dan tebal.Misalnya, a, b, dan c
b. anak Vektor dapat ditulis menggunakan huruf kecil menggunakan panah di
atasnya.Misalnya, a,⃗⃗ b,⃗⃗ dan c .
c. anak Vektor dapat ditulis menggunakan huruf kapital menggunakan panah di
atasnya.Misalnya, AB,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ CD,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ dan EF⃗⃗ ⃗⃗ .
Contoh :
B
a
A
Vektor a atau vector AB⃗⃗⃗⃗ ⃗
2. Pengertian Vektor Dalam Ruang Dimensi Dua
Pengertian vektor dalam ruang dimensi dua adalah suatu vektor yang hanya memuat
dua komponen yaitu komponen mendatar( horizontal ) dan komponen tegak ( vertikal
).Dalam hal ini vektor dimensi dua berada pada bidang datar.Nilai x menyatakan
komponen mendatar dan nilai y menyatakan komponen tegak. Vektor Dalam Ruang
Dimensi Dua dapat disajikan dalam bentuk vektor baris ( x,y ), vektor kolom atau
vector basis xi +yj .
Contoh :
a = ( 2,3 ) Vektor dalam ruang dimensi dua disajikan dalam bentuk vektor posisi baris
b⃗ = (23) Vektor dalam ruang dimensi dua disajikan dalam bentuk vektor posisi kolom
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2i + 3j Vektor dalam ruang dimensi dua disajikan dalam bentuk vektor basis
3. Macam Macam Vektor
1. Vektor Posisi
Vektor yang disajikan dalam bentuk vector baris ( x, y) atau vektor kolom (𝐱𝐲).
Contoh :
a = ( -3,4 ) atau b⃗ = (−2−3
)
Jika dalam soal diketahui dua titik maka cara mencari vektor posisinya adalah
sebagai berikut :
Misal diketahui titik A( xa,ya ) dan titik B( xb,yb ) maka vektor posisi 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐁 − 𝐀.
Jadi vector 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝒙𝒃 − 𝒙𝒂, 𝒚𝒃 − 𝒚𝒂) 𝒂𝒕𝒂𝒖 (𝒙𝒃 − 𝒙𝒂
𝒚𝒃 − 𝒚𝒂)
Contoh :
Diketahui koordinat titik A( 3.4 ) dan B( -2,-3 ).Tentukan vektor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ !
Jawab :
Diketahui : A( 3.4 ) dan B( -2,-3 )
Ditanya : AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ ?
Alternatif penyelesaian :
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 , 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2 − 3,−3 − 4)
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−5, −7)
Jadi vector posisi adalah AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−5,−7).
2. Vektor Basis
Vektor yang disajikan dalam bentuk x𝐢 +y𝐣 .Dimana I dan j membangun vektor
vektor pada ruang dimensi dua, i( 1,0 ) dan J( 0,1 ) dengan |i | = |j | = 1.
Contoh :
Vektor a = ( 5,7 ) dapat ditulis sebagai vektor basis a = 5i +7j
Vektor b = ( 2,-3 ) dapat ditulis sebagai vektor basis b = 2I - 3j
Vektor c = ( -1,4 ) dapat ditulis sebagai vektor basis c = −I +4j
Vektor d = ( -2,-1 ) dapat ditulis sebagai vektor basis d = −2i -j
3. Vektor Nol
Vektor nol adalah suatu vector yang panjangnya sama dengan nol dan arahnya
sembarang.Vektor nol dapat dinyatakan dengan 0 = (00)
Contoh :
Vektor a = ( 0,0 )
Vektor 𝐛 = (00)
4. Vektor Negatif/Vektor Invers
Vektor negatif dari a adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor a tetapi
arahnya berlawanan.Vektor negatif dari vektor a ditulis – a.
Contoh :
Vektor a = ( 2,4 ) vektor negatif a adalah – a = ( - 2,- 4 )
Vektor a = ( - 2,3 ) vektor negatif a adalah – a = ( 2,- 3 )
Vektor a = ( 6,- 5 ) vektor negatif a adalah – a = ( - 6, 5 )
Vektor a = ( - 2,- 1 ) vektor negatif a adalah – a = ( 2,1 )
5. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vector yang besarnya atau panjangnya satu satuan.vektor
satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vector tersebut dengan panjang
vector semula.Misalnya e adalah vektor satuan dari vektor a.maka vector
satuannya dinyatakan dengan :
𝐞 =𝐚
|𝐚|
Contoh :
Tentukan vector satuan dari a = 2I - 3j
Alternatif Penyelesaian :
𝐞 =𝐚
|𝐚|
𝐞 =2I − 3j
√𝟐𝟐 + (−𝟑)𝟐
𝐞 =2I − 3j
√𝟒 + 𝟗
𝐞 =2I − 3j
√𝟏𝟑
e =2
13√13𝑖 −
3
13√13𝑗
6. Besar/Modulus Vektor
Misal diketahui a = xi +yj modulus atau panjang vector a dirumuskan sebagai berikut
|𝐚| = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐
Contoh 1:
Tentukan panjang vektor a = 4I +3j !
Alternatif penyelesaian :
|𝐚| = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐
|𝐚| = √𝟒𝟐 + 𝟑𝟐
|𝐚| = √𝟏𝟔 + 𝟗
|𝐚| = √𝟐𝟓 = 𝟓
Contoh 2 :
Diketahui vektor a = 𝑥I +3j .Jika panjang a adalah 5.Tentukan nilai x !
Alternatif penyelesaian :
|𝐚| = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐
5 = √𝐱𝟐 + 𝟑𝟐
5 = √𝐱𝟐 + 𝟗
𝟐5 = 𝒙𝟐 + 𝟗 kedua ruas dikuadratkan
x2 = 25 – 9
x2 = 16
x = √16 = 4
7. Kesamaan Dua Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama jika besar dan arah kedua vector tersebut sama.
Contoh :
Diketahui 𝐚 = (5
−4) dan 𝐛 = (
𝑥−4
) jika a = b tentukan nilai x
Alternatif penyelesaian :
a = b
(5
−4) = (
𝑥−4
)
x = 5
8. Operasi Vektor
1. Penjumlahan Vektor
Contoh 1:
Diketahui Diketahui 𝐚 = (32) dan 𝐛 = (
4−3
).Tentukan a + b !
Alternatif penyelesaian :
a + b = (32) + (
4−3
).
a + b = (3 + 4
2 + (−3))
a + b = (7−1
)
Contoh 2:
Diketahui Diketahui 𝐚 = (−34
), 𝐛 = (23) dan 𝐜 = (
5−2
) .Tentukan a + b + c !
Alternatif penyelesaian :
a + b + c = (−34
) + (23) + (
5−2
)
a + b + c = (−3 + 2 + 54 + 3 − 2
)
a + b + c = (45)
2. Pengurangan Vektor
Contoh 1:
Diketahui Diketahui 𝐚 = (−21
) dan 𝐛 = (36).Tentukan a - b !
Alternatif penyelesaian :
a - b = (−21
) − (36).
a + b = (−2 − 31 − 6
)
a + b = (−5−5
)
Contoh 2:
Diketahui Diketahui 𝐚 = (3−4
), 𝐛 = (−23
) dan 𝐛 = (−52
) .Tentukan a - b - c !
Alternatif penyelesaian :
a - b - c = (3−4
) − (−23
) - (−52
)
a – b - c = (3 − 2 + 5−4 − 3 − 2
)
a – b - c = (6−9
)
3. Perkalian Vektor Dengan Dilangan Skalar
Contoh 1:
Diketahui Diketahui 𝐚 = (−21
) 2a dan -3a !
Alternatif penyelesaian :
2a = 𝟐 (−21
)
2a = (−42
)
-3a = −3(−21
)
-3a = (6
−3)
Contoh 2:
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j ⃗dan 𝐛 = 3i − 2j .Tentukan 3a - 2b !
Alternatif penyelesaian :
3a - 2b = 3(2i + 3j ) − 2(3i − 2j )
3a - 2b = (6i + 9j ) − (6i − 4j )
3a - 2b = 6i + 9j − 6i + 4j
3a - 2b = 6i − 6i + 9j + 4j
3a - 2b = 13j
4. Perkalian Vektor Dengan Vektor ( Dot )
Ada dua penyelesaian perkalian vektor dengan vektor ( Dot ), yaitu :
1. Jika soal tidak mengandung sudut.
Misal : a = 𝒙𝒂𝐢 + 𝒚𝒂𝐣 , b = 𝒙𝒃𝐢 + 𝒚𝒃𝐣 dan c = 𝒙𝒄𝐢 + 𝒚𝒄𝐣 maka a.b dirumuskan :
a.b = ( xa..xb + ya.yb )
a.b.c = ( xa..xb.xc + ya.yb.yc )
Contoh 1:
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j dan 𝐛 = 3i − 2j .Tentukan a.b !
Alternatif penyelesaian :
a.b = ( xa..xb + ya.yb )
a.b = 2(3) + 3(-2)
a.b = 6 – 6
a.b = 0
Contoh 2:
Diketahui Diketahui 𝐚 = 3i + 4j , 𝐛 = 3i − 2j dan 𝐜 = 5i + 3j .Tentukan a.b.c !
Alternatif penyelesaian :
a.b.c = ( xa..xb.xc + ya.yb.yc )
a.b.c = 3(3)(5) + 4(-2)(3)
a.b = 45 – 24
a.b = 21
2. Jika soal mengandung sudut.
Misal : a = 𝒙𝒂𝐢 + 𝒚𝒂𝐣 dan b = 𝒙𝒃𝐢 + 𝒚𝒃𝐣 dan sudut yang dibentuk a dan b adalah
𝛼 maka a.b dirumuskan :
𝒂. 𝒃 = |𝒂||𝒃| 𝐜𝐨𝐬𝜶
Contoh 1:
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j , 𝐛 = 3i − 2j dan sudut yang dibentuk 600.
Tentukan a.b !
Alternatif penyelesaian :
a. b = |a||b| cos α
a. b = √22 + 32. √32 + (−2)2. cos 600
a. b = √4 + 9. √9 + 4. (1
2)
a. b = √13. √13. (1
2)
a. b = 13. (1
2)
a. b =13
2
Contoh 2:
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j , 𝐛 = 3i − yj , a.b = 13
2 dan sudut yang dibentuk
600. Tentukan vektor b !
Alternatif penyelesaian :
a. b = |a||b| cos α
13
2= √22 + 32. √x2 + y2. cos 600
13
2= √4 + 9.√32 + y2. (
1
2)
13
2. (
2
1) = √13.√9 + y2.
13 = √13. √9 + y2
169 = 13(9 + 𝑦2)
169
13= (9 + 𝑦2)
13 = 9 + 𝑦2
𝑦2 = 13 − 9
y2 = 4
y = √4 = ±2 , Jadi vektor b adalah b = 3i − 2j atau b = 3i + 2j
Contoh 3:
Diketahui vektor a dan bTentukan
1. a.a
2. ( a + b ) ( a + b )
Alternatif penyelesaian :
1. a. a = |a||a| cos 00
a. a = |a||a|. 1
a. a = |a||a|
a. a = |𝑎|2
Jadi 𝐚. 𝐚 = |𝒂|𝟐
2. (𝑎 + 𝑏)𝑎 + (𝑎 + 𝑏) = 𝑎(𝑎 + 𝑏) + 𝑏(𝑎 + 𝑏)
= 𝑎. 𝑎 + 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑏
= |𝑎|2 + 2. 𝑎. 𝑏 + |𝑏|2
9. Sudut Antara Vektor
Misal : a = 𝒙𝒂𝐢 + 𝒚𝒂𝐣 dan b = 𝒙𝒃𝐢 + 𝒚𝒃𝐣 dan sudut yang dibentuk a dan b adalah 𝛼
maka sudut antara dua vektor dirumuskan :
𝐂𝐨𝐬 𝛂 =𝐚. 𝐛
|𝐚||𝐛|
Contoh 1 :
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j , dan 𝐛 = 3i − 2j .Tentukan besarnya sudut antara dua
vektor !
Alternatif penyelesaian :
Cos α =a. b
|a||b|
Cos α =2(3) + 3(−2)
√22 + 32√32 + (−2)2
Cos α =6 − 6
√4 + 9√9 + 4
Cos α =0
√13√13
Cos α =0
13= 0
Cos α = 0
Cos α = cos 900
𝛼 = 900
Contoh 2:
Diketahui Diketahui 𝐚 = i + 2j , dan 𝐛 = −2i + 4j .Tentukan nilai sinus sudut antara
dua vektor !
Alternatif penyelesaian :
Cos α =a. b
|a||b|
Cos α =1(−2) + 2(4)
√12 + 22√(−2)2 + 42
Cos α =−2 + 8
√1 + 4√4 + 16
Cos α =6
√5√20
Cos α =6
√100
Cos α =6
10
Cos α =3
5
x 5
3
x2 = 52 – 32
x2 = 25 – 9
x2 = 16
𝑥 = √16
x = ± 4
Sin 𝛼 =sisi depan sudut
sisi miring
sin 𝛼 = ±4
5
Jadi nilai sin 𝛼 =4
5 𝑎𝑡𝑎𝑢 −
4
5
10. Proyeksi Vektor
Proyeksi vektor ada dua jenis, yaitu :
1. Proyeksi skalar orthogonal.
Proyeksi skalar orthogonal dirumuskan :
a. Proyeksi skalar orthogonal a pada b
|𝐜| =𝐚. 𝐛
|𝐛|
Contoh :
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j , dan 𝐛 = 3i − j .Tentukan proyeksi skalar
ortogonal vektor a pada vektor b !
Alternatif Penyelesaian :
|c| =a. b
|b|
|c| =2(3) + 1(−1)
√32 + (−1)2
|c| =6 − 1
√9 + 1
|c| =5
√10
|c| =5
√10×
√10
√10
|c| =5
10√10 =
1
2√10
b. Proyeksi skalar orthogonal b pada a
|𝐜| =𝐚. 𝐛
|𝐚|
Contoh :
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j , dan 𝐛 = 3i − j .Tentukan proyeksi skalar
ortogonal vektor b pada vektor a !
Alternatif Penyelesaian :
|c| =a. b
|a|
|c| =2(3) + 1(−1)
√22 + 12
|c| =6 − 1
√4 + 1
|c| =5
√5
|c| =5
√5×
√5
√5
|c| =5
5√5 = √5
2. Proyeksi vektor orthogonal.
Proyeksi vektor orthogonal dirumuskan :
a. Proyeksi vektor orthogonal a pada b
|𝐜| =𝐚. 𝐛
|𝒃|𝟐. 𝒃
Contoh :
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j , dan 𝐛 = 3i − j .Tentukan proyeksi vektor
orthogonal vektor a pada vektor b !
Alternatif Penyelesaian :
|c| =a. b
|b|2. b
|c| =2(3) + 1(−1)
(√32 + (−1)2)2 (3i − j )
|c| =6 − 1
(√9 + 1)2 (3i − j )
|c| =5
(√10)2 (3i − j )
|c| =5
10× (3i − j )
|c| =1
2(3i − j ) =
3
2i −
1
2j
b. Proyeksi vektor orthogonal a pada b
|𝐜| =𝐚. 𝐛
|𝒃|𝟐. 𝒃
Contoh :
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j , dan 𝐛 = 3i − j .Tentukan proyeksi vektor
orthogonal vektor b pada vektor a !
Alternatif Penyelesaian :
|c| =a. b
|b|2. b
|c| =2(3) + 1(−1)
(√22 + 12)2 (2i + j )
|c| =6 − 1
(√4 + 1)2 (2i + j )
|c| =5
(√5)2 (2i + j )
|c| =5
5× (2i + j )
|c| = 2i + j
Peta Konsep
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Pengertian Vektor Operasi Vektor Sudut Antar Vektor Proyeksi Vektor
1. Pengertian Vektor Dalam Ruang Dimensi Dua
Pengertian Vektor Dalam Ruang Dimensi Dua adalah suatu vektor yang memuat tiga
komponen yaitu komponen depan belakang ( sumbu x ), komponen
mendatar/horizontal ( sumbu y ) dan komponen tegak / vertikal ( sumbu z )).Dalam
hal ini vektor dimensi tiga berada pada bidang ruang.. Vektor Dalam Ruang Dimensi
tiga dapat disajikan dalam bentuk vektor baris ( x,y,z ), vektor kolom (𝑥𝑦𝑧)atau vektor
basis xi +yj +zk⃗
Contoh :
a = ( 2,3,4 ) Vektor dalam ruang dimensi tiga disajikan dalam bentuk vektor posisi
baris
b⃗ = (234) Vektor dalam ruang dimensi tiga disajikan dalam bentuk vektor posisi kolom
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2i + 3j Vektor dalam ruang dimensi tiga disajikan dalam bentuk vektor basis
2. Macam Macam Vektor
3. Vektor Posisi
Vektor yang disajikan dalam bentuk vector baris ( x, y, z) atau vector kolom (𝒙𝒚𝒛).
Contoh :
a = ( -3,4,1 ) atau b⃗ = (−3−4−1
)
Jika dalam soal diketahui dua titik maka cara mencari vektor posisinya adalah
sebagai berikut :
Misal diketahui titik A( xa,ya,za ) dan titik B( xb,yb,zb ) maka vektor posisi 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
𝐁 − 𝐀.
Jadi vector 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝒙𝒃 − 𝒙𝒂, 𝒚𝒃 − 𝒚𝒂, 𝒛𝒃 − 𝒛𝒂) 𝒂𝒕𝒂𝒖 (
𝒙𝒃 − 𝒙𝒂
𝒚𝒃 − 𝒚𝒂
𝒛𝒃 − 𝒛𝒂
)
Contoh :
Diketahui koordinat titik A( 3.4,1 ) dan B( -2,-3,3 ).Tentukan vektor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ !
Jawab :
Diketahui : A( 3.4,1) dan B( -2,-3,3 )
Ditanya : AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ ?
Alternatif penyelesaian :
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (xb − xa, yb − ya, zb − za)
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2 − 3,−3 − 4,3 − 1)
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−5, −7,2)
Jadi vector posisi adalah AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−5,−7,2).
4. Vektor Basis
Vektor yang disajikan dalam bentuk x𝐢 +y𝐣 +z𝐤 .Dimana I dan j membangun vektor
vektor pada ruang dimensi dua, 𝑖 ( 1,0,0 ), 𝑗 ( 0,1.0 ) dan ), �⃗� ( 0,0.1 ) dengan |i | =
|j | = �⃗� = 1.
Contoh :
Vektor a = ( 5,7,-2 ) dapat ditulis sebagai vektor basis a = 5i + 7𝑗 − 2�⃗�
Vektor b = ( 2,-3 , 1) dapat ditulis sebagai vektor basis b = 2I - 3j + �⃗�
Vektor c = ( -1,4.5 ) dapat ditulis sebagai vektor basis c = −I + 4j + 5𝑘⃗⃗⃗⃗
Vektor d = ( -2,-1,0 ) dapat ditulis sebagai vektor basis d = −2i - j
3. Vektor Nol
Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya sama dengan nol dan arahnya
sembarang.Vektor nol dapat dinyatakan dengan 0 = (000)
Contoh :
Vektor a = ( 0,0,0 )
Vektor 𝐛 = (000)
3. Vektor Negatif/Vektor Invers
Vektor negatif dari a adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor a tetapi
arahnya berlawanan.Vektor negatif dari vektor a ditulis – a.
Contoh :
Vektor a = ( 2,4,1 ) vektor negatif a adalah – a = ( - 2,- 4,-1 )
Vektor a = ( - 2,3,-1 ) vektor negatif a adalah – a = ( 2,- 3,1 )
Vektor a = ( 6,- 5,4 ) vektor negatif a adalah – a = ( - 6, 5,-4 )
Vektor a = ( - 2,- 1,5 ) vektor negatif a adalah – a = ( 2,1,-5 )
4. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vector yang besarnya atau panjangnya satu satuan.vektor
satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vector tersebut dengan panjang
vector semula.Misalnya e adalah vektor satuan dari vektor a.maka vector
satuannya dinyatakan dengan :
𝐞 =𝐚
|𝐚|
Contoh :
Tentukan vector satuan dari a = 2I - 3j + �⃗�
Alternatif Penyelesaian :
𝐞 =𝐚
|𝐚|
𝐞 =2I − 3j + �⃗�
√22 + (−3)2 + 12
𝐞 =2I − 3j + �⃗�
√4 + 9 + 1
𝐞 =2I − 3j + �⃗�
√14
e =2
14√14𝑖 −
3
14√14𝑗 +
1
14√14�⃗�
e =1
7√14𝑖 −
3
14√14𝑗 +
1
14√14�⃗�
5. Besar/Modulus Vektor
Misal diketahui a = xi +yj modulus atau panjang vector a dirumuskan sebagai berikut
|𝐚| = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝒛𝟐
Contoh 1:
Tentukan panjang vektor a = 4I +3j + �⃗� !
Alternatif penyelesaian :
|𝐚| = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝒛𝟐
|𝐚| = √𝟒𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟏𝟐
|𝐚| = √𝟏𝟔 + 𝟗 + 𝟏
|𝐚| = √𝟐𝟔
Contoh 2 :
Diketahui vektor a = 𝑥I +3j + �⃗� .Jika panjang a adalah √26.Tentukan nilai x !
Alternatif penyelesaian :
|𝐚| = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝒛𝟐
√26 = √𝐱𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟏𝟐
√26 = √𝐱𝟐 + 𝟗 + 𝟏
𝟐6 = 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎 kedua ruas dikuadratkan
x2 = 26 – 10
x2 = 16
x = √16 = 4
6. Kesamaan Dua Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama jika besar dan arah kedua vector tersebut sama.
Contoh :
Diketahui 𝐚 = (5
−41
) dan 𝐛 = (𝑥−41
) jika a = b tentukan nilai x
Alternatif penyelesaian :
a = b
(5
−41
) = (𝑥−41
)
x = 5
7. Operasi Vektor
5. Penjumlahan Vektor
Contoh 1:
Diketahui Diketahui 𝐚 = (321) dan 𝐛 = (
4−30
).Tentukan a + b !
Alternatif penyelesaian :
a + b = (321) + (
4−30
).
a + b = (3 + 42 − 31 + 0
)
a + b = (7
−10
)
Contoh 2:
Diketahui Diketahui 𝐚 = (321), 𝐛 = (
4−30
) dan 𝐜 = (0−11
) .Tentukan a + b + c !
Alternatif penyelesaian :
a + b + c = (321) + (
4−30
) + (0−11
)
a + b + c = (3 + 4 + 02 − 3 − 11 + 0 + 1
)
a + b + c = (7−22
)
6. Pengurangan Vektor
Contoh 1:
Diketahui Diketahui 𝐚 = (−210
) dan 𝐛 = (36−1
).Tentukan a - b !
Alternatif penyelesaian :
a - b = (−210
) − (36−1
).
a + b = (−2 − 31 − 60 + 1
)
a + b = (−5−51
)
Contoh 2:
Diketahui Diketahui 𝐚 = (−210
), 𝐛 = (36−1
) dan 𝐛 = (111) .Tentukan a - b - c !
Alternatif penyelesaian :
a - b - c = (−210
) − (36
−1) - (
111)
a – b - c = (−2 − 3 − 11 − 6 − 10 + 1 − 1
)
a – b - c = (−6−60
)
7. Perkalian Vektor Dengan Dilangan Skalar
Contoh 1:
Diketahui Diketahui 𝐚 = (−210
) 2a dan -3a !
Alternatif penyelesaian :
2a = 𝟐(−210
)
2a = (−420
)
-3a = −3(−210
)
-3a = (6
−30
)
Contoh 2:
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j + �⃗� dan 𝐛 = 3i − 2j + �⃗� .Tentukan 3a - 2b !
Alternatif penyelesaian :
3a - 2b = 3(2i + 3j + �⃗� ) − 2(3i − 2j + �⃗� )
3a - 2b = (6i + 9j + 3�⃗� ) − (6i − 4j + 2�⃗� )
3a - 2b = 6i + 9j + 3�⃗� − 6i + 4j + 2�⃗�
3a - 2b = 6i − 6i + 9j + 4j + 3�⃗� + 2�⃗�
3a - 2b = 13j + 5�⃗�
8. Perkalian Vektor Dengan Vektor ( Dot )
Ada dua penyelesaian perkalian vektor dengan vektor ( Dot ), yaitu :
2. Jika soal tidak mengandung sudut.
Misal : a = 𝒙𝒂𝐢 + 𝒚𝒂𝐣 + 𝒛𝒂𝐤 , b = 𝒙𝒃𝐢 + 𝒚𝒃𝐣 +𝒛𝒃𝐤 dan c = 𝒙𝒄𝐢 + 𝒚𝒄𝐣 + 𝒛𝒄𝐤 maka
a.b dirumuskan :
a.b = ( xa..xb + ya.yb + za.zb)
a.b.c = ( xa..xb.xc + ya.yb.yc ++ za.zb+ zc )
Contoh 1:
Diketahui Diketahui 2i + 3j + �⃗� dan 𝐛 = 3i − 2j + �⃗� .Tentukan a.b !
Alternatif penyelesaian :
a.b = ( xa..xb + ya.yb )
a.b = 2(3)( 1)+ 3(-2)(1)
a.b = 6 – 6
a.b = 0
Contoh 2:
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j + �⃗� , 𝐛 = 3i − 2j + �⃗� dan 𝐜 = 5i + 3j +
2�⃗� .Tentukan a.b.c !
Alternatif penyelesaian :
a.b.c = ( xa..xb.xc + ya.yb.yc )
a.b.c = 3(3)(5) + 4(-2)(3) + 1(1)(2)
a.b = 45 – 24 + 2
a.b = 23
2. Jika soal mengandung sudut.
Misal : a = 𝒙𝒂𝐢 + 𝒚𝒂𝐣 + 𝒛𝒂𝐤 , b = 𝒙𝒃𝐢 + 𝒚𝒃𝐣 +𝒛𝒃𝐤 dan sudut yang dibentuk a dan
b adalah 𝛼 maka a.b dirumuskan :
𝒂. 𝒃 = |𝒂||𝒃| 𝐜𝐨𝐬𝜶
Contoh 1:
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j + �⃗� , 𝐛 = 3i − 2j + �⃗� dan sudut yang dibentuk
600. Tentukan a.b !
Alternatif penyelesaian :
a. b = |a||b| cos α
a. b = √22 + 32 + 12. √32 + (−2)2 + +12. cos 600
a. b = √4 + 9 + 1. √9 + 4 + 1. (1
2)
a. b = √14. √14. (1
2)
a. b = 14. (1
2)
a. b =14
2= 7
Contoh 2:
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j + �⃗� , 𝐛 = 3i − yj + �⃗� , a.b = 7 dan sudut yang
dibentuk 600. Tentukan vektor b !
Alternatif penyelesaian :
a. b = |a||b| cos α
7 = √22 + 32 + 12. √x2 + y2 + 12. cos 600
7 = √4 + 9 + 1.√32 + y2 + 1. (1
2)
7. (2
1) = √14.√9 + y2 + 1.
14 = √14. √10 + y2
196 = 14(10 + 𝑦2)
196
14= (10 + 𝑦2)
14 = 10 + 𝑦2
𝑦2 = 14 − 10
y2 = 4
y = ±√4 = ±2, Jadi vector b adalah b = 3i − 2j + �⃗� atau b = 3i + 2j + �⃗�
Contoh 3:
Buktikan bahwa |𝑎 + 𝑏| = √|𝑎|2 + |𝑏|2 + 2|𝑎||𝑏| cos 𝛼
Alternatif penyelesaian :
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = |𝑎 + 𝑏||𝑎 + 𝑏| cos 00
a.a + a.b + a.b + b.b = |𝑎 + 𝑏|2(1)
|𝑎|2 + 2. 𝑎. 𝑏 + |𝑏|2 = |𝑎 + 𝑏|2
|𝑎 + 𝑏|2 = |𝑎|2 + 2. 𝑎. 𝑏 + |𝑏|2
|𝑎 + 𝑏|2 = |𝑎|2 + |𝑏|2 + 2. 𝑎. 𝑏
|𝑎 + 𝑏| = √|𝑎|2 + |𝑏|2 + 2. 𝑎. 𝑏 terbukti
8. Sudut Antara Vektor
Misal : a = 𝒙𝒂𝐢 + 𝒚𝒂𝐣 + 𝒛𝒂𝐤 , b = 𝒙𝒃𝐢 + 𝒚𝒃𝐣 +𝒛𝒃𝐤 dan sudut yang dibentuk a dan b
adalah 𝛼 maka sudut antara dua vektor dirumuskan :
𝐂𝐨𝐬 𝛂 =𝐚. 𝐛
|𝐚||𝐛|
Contoh 1 :
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j + �⃗� , 𝐛 = 3i − yj + �⃗� .Tentukan besarnya sudut antara
dua vektor !
Alternatif penyelesaian :
Cos α =a. b
|a||b|
Cos α =2(3) + 3(−2) + 1(1)
√22 + 32 + 12√32 + (−2)212
Cos α =6 − 6 + 1
√4 + +9 + 1√9 + 4 + 1
Cos α =1
√14√14
Cos α =1
14
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 cos1
14
Contoh 2:
Diketahui Diketahui 𝐚 = i + 2j + 3�⃗� , dan 𝐛 = −2i + 4j + �⃗� .Tentukan nilai sinus sudut
antara dua vektor !
Alternatif penyelesaian :
Cos α =a. b
|a||b|
Cos α =1(−2) + 2(4) + 3(1)
√12 + 22 + 32√(−2)2 + 42 + 12
Cos α =−2 + 8 + 3
√1 + 4 + 3√4 + 16 + 1
Cos α =9
√8√21
Cos α =9
√168
x √168
9
x2 = (√168)2 – ( 9 )2
x2 = 168 – 81
x2 = 87
𝑥 = √87
Sin 𝛼 =sisi depan sudut
sisi miring
sin 𝛼 =√87
√168
Jadi nilai sin 𝛼 =√87
√168
9. Proyeksi Vektor
Proyeksi vektor ada dua jenis, yaitu :
1. Proyeksi skalar orthogonal.
Proyeksi skalar orthogonal dirumuskan :
a. Proyeksi skalar orthogonal a pada b
|𝐜| =𝐚. 𝐛
|𝐛|
Contoh :
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j + k⃗ , dan 𝐛 = 3i − j + k⃗ .Tentukan proyeksi
skalar ortogonal vector a pada vektor b !
Alternatif Penyelesaian :
|c| =a. b
|b|
|c| =2(3) + 1(−1) + 1(1)
√32 + (−1)2 + 12
|c| =6 − 1 + 1
√9 + 1 + 1
|c| =6
√11
|c| =5
√11×
√11
√11
|c| =5
11√11
b. Proyeksi skalar orthogonal b pada a
|𝐜| =𝐚. 𝐛
|𝐚|
Contoh :
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j − 2k⃗ , dan 𝐛 = 3i − j + k⃗ .Tentukan proyeksi
skalar ortogonal vector b pada vektor a !
Alternatif Penyelesaian :
|c| =a. b
|a|
|c| =2(3) + 1(−1) + (−2)(1)
√22 + 12 + (−2)2
|c| =6 − 1 − 2
√4 + 1 + 4
|c| =3
√9
|c| =3
3
|c| = 1
2. Proyeksi vektor orthogonal.
Proyeksi vektor orthogonal dirumuskan :
a. Proyeksi vektor orthogonal a pada b
|𝐜| =𝐚. 𝐛
|𝒃|𝟐. 𝒃
Contoh :
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i⃗⃗ ⃗ + j + k⃗ , dan 𝐛 = 3i − j + k⃗ .Tentukan proyeksi
vektor orthogonal vektor a pada vektor b !
Alternatif Penyelesaian :
|c| =a. b
|b|2. b
|c| =2(3) + 1(−1) + 1(1)
(√32 + (−1)2 + 12)2 (3i − j + k⃗ )
|c| =6 − 1 + 1
(√9 + 1 + 1)2 (3i − j + k⃗ )
|c| =6
(√11)2 (3i − j + k⃗ )
|c| =5
11× (3i − j + k⃗ )
|c| =15
11i −
5
11j +
5
11k⃗
b. Proyeksi vektor orthogonal a pada b
|𝐜| =𝐚. 𝐛
|𝒃|𝟐. 𝒃
Contoh :
Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j − 2k⃗ , dan 𝐛 = 3i − j + k⃗ .Tentukan proyeksi
vektor orthogonal vektor b pada vektor a !
Alternatif Penyelesaian :
|c| =a. b
|b|2. b
|c| =2(3) + 1(−1) + (−2)(1)
(√22 + 12 + (−2)2)2 (2i + j − 2k⃗ )
|c| =6 − 1 − 2
(√4 + 1 + 4)2 (2i + j − 2k⃗ )
|c| =3
(√9)2 (2i + j − 2k⃗ )
|c| =3
3× (2i + j − 2k⃗ )
|c| = 2i + j − 2k⃗
LATIHAN SOAL VEKTOR DAN PEMBAHASAN
I. Isilah titik titik di bawah ini dengan benar !
1. Diketahui 𝑎 = (3−21
) maka vektor basis dari 𝑎 adalah....
a. 3i − 2j + k
b. −3i − 2j
c. 3i + 2j
d. −3i + 2j
e. 2i − 3j
Pembahasan :
Vektor basis adalah : xi + yj + zk sehingga menajdi menjadi 3i – 2j + k ( A)
2. Diketahui b⃗ = i − j + k maka vector posisi dari �⃗� adalah….
a. b⃗ = (111)
b. b⃗ = (1
−11
)
c. b⃗ = (−111
)
d. b⃗ = (11
−1)
e. b⃗ = (−1−1−1
)
Pembahasan :
Vektor posisi adalah vector basis dengan menghilangkan unsur i ; j ; k atau ( x, y, z ) b⃗ = (1
−11
) (𝐁)
3. Diketahui P = ( 3,- 2,1 ) dan Q = ( 5,- 4.-1 ) maka PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ adalah....
a. PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−7,6.2)
b. PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (7, −6, −2)
c. PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, −2, −2)
d. PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,2,2)
e. PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2, −2,6)
Pembahasan :
Vektor diketahui tiga titik : PQ menjadi Q – P menjadi ( 5 – 3, - 4 – (-2),- 1 – 1 ) = ( 2,-2,-2 ) ( C )
4. Diketahui a⃗ = 2i + j − k dan b⃗ = i − j + 𝑘 maka hasil dari 2 a⃗ + b⃗ adalah ....
a. 5i − j + k
b. −5i + j + k
c. −5i − j + k
d. 5i + j – k
e. 5i − 5j – k
Pembahasan :
a⃗ = 2i + j − k
2a⃗ = 4i + 2j − 2k
b⃗ = i − j + 𝑘
Maka 2a + b = 4i + 2j − 2k + i − j + 𝑘 = 5i + j – k ( D )
5. Diketahui a⃗ = 3i + 2j + k dan b⃗ = i + j + 𝑘 maka hasil dari a⃗ − 3b⃗ adalah ....
a. i − j
b. −i − j
c. −i + j
d. i + j
e. −j − 2𝑘
Pembahasan :
a⃗ = 3i + 2j + k
b⃗ = i + j + 𝑘
3b⃗ = 3i + 3j + 3𝑘
Maka a – 3b = 3i + 2j + k − (3i + 3j + 3𝑘) = −𝑗 − 2𝑘 ( E )
6. Diketahui S = ( 4,- 1,2 ) dan T = ( -3,4,2 ) maka -2.TS⃗⃗⃗⃗ adalah....
a. ( 7,- 5,0 )
b. ( - 7, 5 ,0 )
c. ( 14,10, 0 )
d. ( - 14, - 10, 0 )
e. ( - 14, 10, 0 )
Pembahasan :
Vektor TS = S – T = ( 4,- 1,2 ) - ( -3,4,2 ) = ( 4 - (-3), -1 – 4 , 2 – 2 ) = ( 7, - 5, 0 )
2TS = 2( 7,- 5, 0 ) = ( 14, - 10, 0 ) ( E )
7. Diketahui r = 2i + 3j + k maka vector satuan 𝑟 adalah….
a. 2
15√13i +
3
15√13j +
1
15√15𝑘
b. 2
15√13i −
3
15√13j +
1
15√15𝑘
c. −2
13√13i +
3
13√13j + 12k
d. −2
13√13i −
3
13√13j – 12k
e. √13i + √13j – 13k
Pembahasan :
Vektor satuan c = 𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
r = 2i + 3j + k
c = 2𝑖+3𝑗+𝑘
√22+32+12=
2𝑖+3𝑗+𝑘
√4+9+1=
2𝑖+3𝑗+𝑘
√15=
2
15√13i +
3
15√13j +
1
15√15𝑘 ( A )
8. Diketahui A = ( 1,- 2,1 ) , B = ( 4,- 5,-1 ) vektor satuan AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ adalah....
a. 1
2√2i +
1
2√2j + k
b. 3
√22𝑖 −
3
√22𝑗 −
2
√22𝑘
c. −1
2√2i +
1
2√2j + 3k
d. −1
2√2i −
1
2√2j – 4k
e. √2i + √2j - k
Pembahasan :
AB = B – A
AB = ( 4,- 5,-1 ) - ( 1,- 2,1 ) = ( 3, - 3, - 2 )
Vektor satuan c = 𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
AB = 3𝑖−3𝑗−2𝑘
√32+(−3)2+(−2)1=
3𝑖−3𝑗−2𝑘
√9+9+4=
3𝑖−3𝑗−2𝑘
√22=
3
√22i −
3
√22j −
2
√22k ( B )
9. Diketahui a⃗ = 3i − 4j − 𝑘 maka |a⃗ | adalah....
a. √23
b. √24
c. 5
d. √26
e. 7
Pembahasan :
|a⃗ | = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
|a⃗ | = √32 + (−4)2 + (−1)2
|a⃗ | = √9 + 16 + 1 = √26 ( D )
10. Diketahui a⃗ = 2i + 3j + k dan b⃗ = 3i − j − 𝑘 maka hasil dari |2b⃗⃗ ⃗⃗ − a⃗ | adalah ....
a. 5√3
b. √42
c. 4√3
d. 4√2
e. 5
Pembahasan :
b⃗ = 3i − j − 𝑘
2b⃗ = 6i − 2j − 2𝑘
a⃗ = 2i + 3j + k
2b – a = 6i − 2j − 2𝑘 − ( 2i + 3j + k ) = 4i − 5j − k
|2b⃗⃗ ⃗⃗ − a⃗ | = √42 + (−5)2 + (−1)2 = √16 + 25 + 1 = √42 ( B )
11. Diketahui r = 2i + j + 2k dan s = i − j + 𝑘 maka hasil dari r . s adalah ...
a. 5
b. 4
c. 3
d. 2
e. 1
Pembahsan :
r . s = 2(1) + 1( −1) + 2(1) = 2 − 1 + 2 = 3 ( C )
12. Diketahui a⃗ = 2i − j + k dan b⃗ = 3i − 2j − 𝑘 sudut antara a⃗ dan b⃗ adalah 600 maka hasil dari a⃗ . b⃗ adalah
....
a. 1
8√85
b. 1
4√85
c. 1
3√84
d. 1
2√84
e. √85
Pembahasan :
a⃗ . b⃗ = |𝑎||𝑏| cos 𝛼
a⃗ . b⃗ = √22 + (−1)2 + 12√32 + (−2)2 + (−1)2 cos 600
a⃗ . b⃗ = √4 + 1 + 1√9 + 4 + 1(1
2)
a⃗ . b⃗ = √6√14 (1
2) = (
1
2)√84 ( D )
13. Diketahui p⃗ = 2i + j + k dan q⃗ = i − 2j maka besarnya sudut antara p⃗ dan q⃗ adalah ...
a. 00
b. 300
c. 450
d. 600
e. 900
Pembahasan :
𝐶𝑜𝑠 𝛼 =𝑎.𝑏
|𝑎||𝑏|=
2(1)+1(−2)+1(0)
√22+12+12√12+(−2)2+(0)2=
2−2+0
√2+1+1√1+2+0=
0
√4√3=
0
2√3= 0 = 900( E )
14. Diketahui a⃗ = 3i + j + k dan b⃗ = i − 2j − 𝑘 maka proyeksi skalar ortogonal a⃗ pada b⃗ adalah ...
a. 1
4√5
b. 0
c. 1
6√5
d. 1
7√5
e. 1
8√5
Pembahasan :
c =a. b
|b|
𝑐 =3(1)+1(−2)+1(−1)
√12+(−2)2+(−1)2=
3−2−1
√1+4+1=
0
√6= 0 ( B )
15. Diketahui a⃗ = 2i + j + k dan b⃗ = i − j + 𝑘 maka proyeksi vektor ortogonal b⃗ pada a⃗ adalah ...
a. 1
4i −
1
4j + 4k
b. 4
3𝑖 +
4
6𝑗 +
4
6𝑘
c. 1
6i −
1
6j + 2k
d. 2
7i −
1
7j – 3k
e. 1
8i −
1
8j – 5k
Pembahasan :
c =a. b
|𝑎|2× 𝑎
c =2(1) + 1(−1) + 1(1)
(√22 + 12 + 12)2 × 2i + j + k
c =2 + 1 + 1
(√4 + 1 + 1)2 × 2i + j + k
c =4
(√6)2 × 2i + j + k =
4
6× 2i + j + k =
4
3𝑖 +
4
6𝑗 +
4
6𝑘 ( B )
16. Vektor a mempunyai panjang 2√3.Jika a.( a + b ) = 15 sudut antara a dan b = 𝜋
6, maka |𝑏| adalah….
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Pembahasa :
a.( a + b ) = 15
a.a + a.b = 15
|a|2 + a. b = 15
|a|2 + |𝑎||𝑏| cos𝜋
6= 15
(2√3)2+ 2√3|𝑏|
1
2√3 = 15
12 + 3.|𝑏| = 15
3.|𝑏| = 15 − 12
3.|𝑏| = 3
|𝑏| = 𝟏 ( A )
