Pengantar Vektor

Besaran

Skalar(Tidak mempunyai arah)

Vektor(Mempunyai Arah)

Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain -

lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak tertentu.

Vektor (Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu.

Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3.

Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menentukan besarnya vektor.

Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor.

Ujung panah disebut titik ujung vektor.

Vektor ditulis dalam huruf kecil tebal (a, k, v, w,

dan x), sedangkan Skalar ditulis dengan huruf kecil

miring ( a, k, v, w, dan x)miring ( a, k, v, w, dan x)

Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B,

maka ditulis dengan lambang ū = , panjang

vektor u dinyatakan dengan |u| dan panjang vektor

AB dinyatakan dengan

AB

AB

Vektor - vektor yang panjang dan arahnya sama disebut ekuivalen, vektor-vektor yang ekuivalen dipandang sama walaupun mungkin terletak pada posisi yang berbeda.

Jika v dan w ekuivalen, kita tuliskan : v = w

B

A

B

Vektor ABVektor-vektor yang ekuivalen

Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka jumlah vdan w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut :

Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v.

Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik pangkal vke titik ujung w.ke titik ujung w.

v

w

v + w

v + w = w + v

Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0.

Jika v adalah sebarang vektor tak nol, maka –v, negatif dari v, didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi arahnya terbalik.

-v

v

Vektor ini mempunyai sifat :

v + (-v) = 0

Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai :

v – w = v + (-w) v-wv

w

Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan berlawanan arah dengan v jika k < 0. Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0

VEKTOR-VEKTOR DALAMRUANG BERDIMENSI 2

DANRUANG BERDIMENSI 3

VektorVektor--vektor vektor dalam sistem koordinatdalam sistem koordinat

Vektor - Vektor dalam Ruang Berdimensi 2 (Bidang)

Koordinat v1 dan v2 dari titik ujung v disebut komponen v, dan kita v disebut komponen v, dan kita tuliskan :v = (v1, v2)

x

y

v(v1, v2)

w

v + w

y

w = (w1, w2)v + w =(v1 + w1 , v2 + w2)

v - w =(v1 - w1 , v2 - w2)

kv = ( k.v1, k.v2)

w

v v = (v1, v2) x

CONTOH :

Sketsa kan vektor-vektor berikut ini dengan titik pangkal pada titik asal :

(a) v1 = (3,6) (b) v2 = (-4, -8) (c) v3 = (5,-4)1 2 3

Hitunglah !

(i) v1+v2 dan v2+v3

(ii) v1-v2 dan v3-v2

(iii) k.v1, k.v2, dan k.v3 jika k = 3

CONTOH :Sketsakan u=(-3, 1, 2), v = (4, 0, -8), dan carilah,

(a) u-v

(b) 6u+2v(b) 6u+2v

(c) 5(v-4u)

Vektor - Vektor dalam Ruang Berdimensi 3 (Ruang)

z

Z z

YP

x

y0X

(v1,v2,v3)v

z

x

y

Jika vektor mempunyai titik pangkal P1(x1,y1,z1) dan titik ujung P2(x2,y2,z2), maka

= (x2-x1, y2-y1, z2-z1)

Dengan kata lain

21PP

21PP

1221 OPOPPP

CONTOH :

Sketsakan u=(-3, 1, 2), v = (4, 0, -8), dan carilah,

(a) u - v

(b) 6u + 2v

(c) 5(v - 4u)

Jika x, y dan z adalah suatu vektor dalam ruang berdimensi-2 dan ruang berdimensi-3. dan βadalah skalar, maka berlaku hubungan berikut :

1. x + y = y + x Sifat Komutatif1. x + y = y + x Sifat Komutatif

2. (x + y) + z = x + (y + z)

Sifat Asosiatif penjumlahan

3. x + 0 = 0 + x = x

4. 0x = 0 atau x0 = 0

5. x + (-1)x = x + -x = 0

6. Untuk suatu skalar , (x + y) = x + y

sifat distributif

7. ( +) x = x + x, untuk suatu skalar dan sifat distributif

8. ( ) x = (x), untuk suatu skalar dan vuvu

8. ( ) x = (x), untuk suatu skalar dan 9. 1 . x = x

10.|mu| = |m| |u|

11.Jika mu = 0, maka m = 0 atau u = 0

12.Ketidaksamaan segitiga :

PERGESERAN SUMBU

Ketika kita menggeser sumbu –XY sehingga mendapatkan –X’Y’. O’ Titik awal baru berada pada titik (x , y) = ( k , l ), selanjutnya terdapat : pada titik (x , y) = ( k , l ), selanjutnya terdapat :

= (x’, y’) ,maka :

x’ = x – k dan y’ = y - l

PO'

BIDANG PADA RUANG DIMENSI 3

Bidang dalam ruang dimensi 3 dapat ditentukan jika kemiringan dan salah satu titik yang terletak pada bidang tersebut diketahui.pada bidang tersebut diketahui.

Bidang dalam ruang dimensi 3 dapat digambarkan dengan menggunakan suatu vektor normal yang tegak lurus terhadap bidang.

y

z

n

.

.P(x,y,z)

P0(x0,y0,z0)

Misalkan n =(a,b,c) adalah vektor normal dari bidang yang melewati titik P0(x0,y0,z0) dan P(x,y,z) dimana P0P adalah vektor ortogonal terhadap n

x

( a, b, c ) . ( x-x0, y-y0, z-z0) = 0

a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 --- --- (i)

Persamaan (i) disebut sebagai bentuk NORMAL –TITIK dari persamaan suatu bidang

n . P0P = 0

BENTUK UMUM PERSAMAAN SUATU BIDANG DALAM DIMENSI 3

TEOREMA :

Jika a, b dan c adalah konstanta tidak nol, maka Grafik dari persamaan :maka Grafik dari persamaan :

ax + by + cz + d = 0adalah suatu bidang yang memiliki vektor :

n = ( a, b, c)Sebagai normalnya.

GARIS PADA RUANG DIMENSI 3z

..

P(x,y,z)

P (x ,y ,z )

l

x

y

v =(a, b, c)

..P0(x0,y0,z0)

Berdasarkan gambar sebelumnya, diketahui bahwa garis l melalui titik P0 dan P serta sejajar dengan vektor v. Jika terdapat suatu skalar T, maka diperoleh persamaan berikut :

P0P = t vdan;

(x-x , y-y , z-z ) = (ta , tb, tc )(x-x0, y-y0, z-z0) = (ta , tb, tc )

x-x0 = ta x = x0 + ta …..(i)y-y0 = tb y = y0 + tb …..(ii)z-z0 = tc z = z0 + tc …..(iii)

persamaan (i), (ii), (iii) disebut persamaan parametrikuntuk garis l

JARAK ANTARA TITIK DENGAN BIDANG

Jika D adalah jarak antara titik P0(X0, Y0, Z0 ) dengan bidang : dengan bidang :

ax + by + cz + d = 0 maka

222

000

cba

dczbyaxD

Bila terdapat P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) yang merupakan dua titik dalam ruang berdimensi-3, maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah:

12121221 ,, zzyyxxPP

2122

122

12 zzyyxxd

Panjang & Jarak Vektor Panjang suatu vektor u dinyatakan dengan |u|.

Untuk ruang berdimensi 2. u = ( u1, u2)

22 22

21 uuu

23

22

21 uuuu

Untuk ruang berdimensi 3.u = ( u1, u2, u3) .

Misal ada P1(x1,y1,z1) danP2(x2,y2,z2) adalah dua titik dalamruang berdimensi-3, maka jarak dantara kedua titik tsb adalah

12121221 ,, zzyyxxPP 12121221

2122

122

12 zzyyxxd