MODUL PEMBELAJARAN FISIKA

Momen Inersia,

Momentum Sudut,

Pemecahan Masalah

Dinamika Rotasi

dengan Hukum

Kekekalan Energi,

Keseimbangan Benda

Tegar dan Titik Berat.

Momen Inersia

1. Definisi Momen Inersia

Momen inersia merupakan ukuran kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap

porosnya

Momen inersia didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel terhadap kuadrat jarak

dari titik poros.

2. Persamaan Matematis Momen Inersia

𝐼=𝑚𝑟2

Keterangan:

I = momen inersia (kg.m2)

m = massa benda (kg)

r = jarak antara benda dan sumbu putar (m)

Jika terdapat banyak partikel masing-masing m1, m2, m3, …., dan mempunyai jarak

r1, r2, r3, …, terhadap poros, maka momen inersia total adalah penjumlahan momen

inersia setiap partikel, yaitu:

I = ∑mi.ri2 = m1.r12 + m2.r2

2 + m3.r32 + ….+ mn.rn

2

Bagian

Satu

3. Momen Inersia Benda Tegar

4. Analogi Hukum II Newton tentang Gerak Translasi dan Rotasi

Ingat kembali Hukum II Newton,

F = m.a

Ingat a = .r

Jadi, F = m. .r masing-masing ruas dikalikan r

Jadi,

r.F = m. .r2

Ingat kembali r.F = 𝜏 dan I = mr2

Jadi,

𝜏 = 𝐼. 𝛼

Momentum Sudut

1. Momentum Sudut

Momentum sudut/momentum anguler adalah ukuran tingkat kesukaran benda untuk

dihentikan bila sedang berputar.

Besarnya momentum sudut ditentukan oleh momen inersianya dan kecepatan sudutnya.

Besar momentum sudut dihitung dengan rumus:

𝐿=𝐼𝜔

Keterangan:

L = momentum sudut (kgm2 rad s-1)

𝜔 = kecepatan sudut (rad/s)

2. Hukum Kekekalan Momentum Sudut

“Jika tidak ada gaya yang mempengaruhi sistem, momentum sudut adalah tetap.”

𝐿1=𝐿2

𝐼1 𝜔1 = 𝐼2𝜔2

Keterangan:

L1 = momentum sudut keadaan 1

L2 = momentum sudut keadaan 2

Bagian

Dua

Pemecahan Masalah Dinamika Rotasi

dengan Hukum Kekekalan Energi

a. Energi Kinetik Rotasi

Seperti yang diketahui bahwa benda bermassa m bergerak translasi dengan

kecepatan v memiliki energi kinetik ½mv2. Walaupun benda tidak bergerak translasi,

tetapi jika benda tersebut berotasi (berputar) terhadap suatu poros, benda tersebut

memiliki energin kinetik yang disebut energi kinetik rotasi. Energi kinetik rotasi dapat

diturunkan dari rumus energi kinetik translasi.

EK = ½mv2 = ½m(r𝜔)2 = 1

2(𝑚r2)𝜔2

Seperti yang dipelajari sebelumnya bahwa mr2 = I, jadi:

Ekrotasi = ½I𝜔2

b. Energi Kinetik Gerak Menggelinding

Gerak menggelinding adalah ketika suatu benda tegar bergerak translasi dalam

suatu ruang sambil berotasi tanpa tergelincir, dimana total energi kinetik yang

didapatkan adalah jumlah energi kinetik translasi dan rotasinya. Dengan demikian dapat

dibentuk persamaan sebagai berikut:

EK = EKtranslasi + Ekrotasi

EK = ½mv2 + ½I𝜔2

Bagian

Tiga

Perbandingan Kelajuan Benda pada saat Meluncur dan Menggelinding

Sebuah silinder homogen dengan jari-jari R dan massa m berada dipuncak suatu bidang

miring (lihat gambar). Manakah yang kelajuannya lebih besar saat tiba di dasar bidang

miring? Silinder yang meluncur tanpa gesekan atau silinder yang menggelinding?

Jawab:

Untuk silinder yang meluncur tanpa gesekan, hukum

kekekalan energi mekanik memberikan persamaan

sebagai berikut.

EPpuncak + EKpuncak = EPdasar + EKdasar

mgh + 0 = 0 + ½mv2

gh = ½v2

v = √2𝑔ℎ

Untuk silinder yang menggelinding, energi kinetik didasar bidang merupakan gabungan

energi kinetik translasi dan rotasi sehingga hukum kekekalan energi mekanik memberikan

persamaan berikut.

EPpuncak + EKpuncak = EPdasar + EKdasar

mgh + 0 = 0 + (½mv2 + ½I𝜔2)

Untuk silinder pejal, I = ½mR2, dan v = 𝜔R dan 𝜔 = v/R sehingga persamaan menjadi

seperti berikut.

Contoh

Kasus

mgh = ½mv2 + ½(½mR2)(𝑣

𝑅)2

4gh = 2v2 + R2 (𝑣2

𝑅2)

4gh = 3v2

v2 = 4𝑔ℎ

3 v = √

4𝑔ℎ

3

Kesimpulan yang didapat adalah, silinder yang menggelinding akan lebih lambat

menuruni bidang miring daripada silinder yang meluncur tanpa gesekan. Hal itu

disebabkan sejumlah energi diserap oleh gerak rotasi benda. Energi total silinder di dasar

bidang adalah sama pada kedua kasus.

Bagaimana menentukan kelajuan

benda di dasar bidang miring?

How To

Solve

Suatu benda yang dapat berotasi terhadap porosnya (silinder dan bola) dilepaskan dari keadaan diam dari

suatu bidang miring. Posisi benda saat dilepaskan memiliki ketinggian vertikal h dari dasar bidang miring

(perhatikan kembali gambar pada contoh kasus). Jika benda menggelinding menuruni bidang miring tanpa

tergelicir, tunjukkan dengan menggunakan hukum kekekalan energi mekanik bahwa kelajuan menggelinding

benda di dasar bidang miring dapat dinyatakan sebagai berikut.

v = √2𝑔ℎ

1+𝑘

Tetapan k yang diperoleh dari momen inersia benda terhadap porosnya yang dinyatakan sebagai berikut.

Momen Inersia

I = kmr2 (note k = konstanta inersia)

Misal untuk silinder pejal: I = ½mr2 k = ½

bola pejal : I = 2/5 mr2 k = 2/5

note: untuk bidang miring licin sehingga benda meluncur (bergerak lurus tanpa rotasi) dan nilai

k = 0 sehingga v = √𝟐𝒈𝒉

Keseimbangan Benda Tegar

a. Keseimbangan Statis Sistem Partikel

Dalam sistem partikel, benda dianggap sebagai suatu titik materi. Semua gaya yang

bekerja pada benda dianggap bekerja pada titik materi tersebut sehingga gaya yang

bekerja pada partikel hanya menyebabkan gerak translasi (tidak menyebabkan gerak

rotasi. Oleh karena itu, syarat yang berlaku bagi keseimbangan partikel hanya

keseimbangan translasi.

Syarat keseimbangan sistem partikel

∑ 𝐹 = 0

∑ 𝐹𝑥 = 0 resultan gaya pada komponen sumbu x

∑ 𝐹𝑦 = 0 resultan gaya pada komponen sumbu y

Keseimbangan Statis Sistem Partikel oleh Tiga Gaya

Bagian

Empat

Contoh

Kasus

Perhatikan gambar disamping.

Sebuah benda memiliki berat 400 N dan digantung pada keadaan

diam. Tentukan tegangan-tegangan pada tali penahannya! (T1 dan

T2)

Catatan:

Tinjau titik A dan gambar gaya-gaya yang bekerja pada A. Tetapkan arah mendatar

sebagai sumbu X dan arah vertikal sebagai sumbu Y. Uraikan gaya-gaya pada sumbu X

dan sumbu Y, sesuaikan dengan syarat kesetimbangan pada sistem partikel.

Jawab:

Komponen-komponen tegangan tali T1 adalah T1x dan T1y, sedangkan T2 adalah T2x dan

T2y.

T1x = T1 cos 37 = 0,8 T1 T2x = T2 cos 53 = 0,6 T2

T1y = T1 sin 37 = 0,6 T1 T2y = T2 sin 53 = 0,8 T2

Gunakan persamaan kesetimbangan statis partikel, yaitu ∑ 𝐹𝑥 = 0 dan ∑ 𝐹𝑦 = 0.

Perhatikan tanda untuk setiap komponen gaya, positif untuk arah ke kanan atau ke atas,

dan negatif untuk arah ke kiri dan ke bawah.

∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0

T2x - T1x = 0 T1y + T2y – w = 0

T2x = T1x 0,6 T1 + 0,8 T2 – 400 = 0

0,6 T2 = 0,8 T1 0,6 T1 + 0,8 T2 = 400 …. (2)

T1= 0,6𝑇2

0,8 =

3𝑇2

4 .... (1)

Substitusi T1 = 3𝑇2

4 ke dalam persamaan (2) menjadi,

0,6 (3𝑇2

4) + 0,8 T2 = 400 kalikan kedua ruas dengan 4

1,8 T2 + 3,2 T2 = 1600

5T2 = 1600

T2 = 320 N

Substitusikan kembali nilai T2 = 320 N ke dalam persamaan (1) sehingga diperoleh nilai

T1.

T1 = 3(320)

4 = 240 N

b. Keseimbangan Statis Benda Tegar

“Suatu benda tegar berada dalam keseimbangan statis jika mula-mula benda berada

dalam keadaan diam dan resultan gaya pada benda sama dengan nol, serta torsi terhadap

titik sembarang yang dipilih sebagai poros sama dengan nol.”

Secara matematis, syarat keseimbangan benda tegar yang terletak dalam suatu

bidang datar (misal bidang XY) dinyatakan sebagai berikut.

1. Resultan gaya harus NOL ∑ 𝐹𝑥 = 0

∑ 𝐹𝑦 = 0

2. Resultan torsi harus NOL ∑ 𝜏 = 0

Keseimbangan pada Batang

Berengsel

Batang homogen berengsel (Gambar 1) dengan berat 50 N berada dalam keadaan seimbang.

Hitung tegangan pada kabel pendukungnya.

Strategi:

Pisahkan batang, lalu gambarkan gaya-gaya yang bekerja pada batang (Gambar 2). Perhatikan,

berat batang homogen bekerja di titik berat batang homogen, yaitu ditengah-tengah batang.

Untuk dapat langsung menghitung tegangan dalam kabel T, pilihlah titik P sebagai poros dan

gunakan syarat keseimbangan rotasi ∑ 𝜏 = 0.

Gambar 1 Gambar 2

Jawab:

Gaya-gaya yang bekerja pada batang adalah berat batang 50 N, dengan titik kerja tepat

di tengah-tengah batang; tegangan tali T; beban 100 N; serta gaya engsel dengan

komponen horizontal H dan komponen vertikal V (Gambar 2). Dengan menetapkan arah

horizontal sebagai sumbu X dan arah vertikal sebagai sumbu Y, maka gaya yang perlu

kita uraikan atas komponen-komponennya hanyalah gaya tegangan T, yaitu Tx dan Ty.

Tx = T cos 37 = 0,80T dan Ty = T sin 37 = 0,60T

Contoh

Kasus

Gaya horizontal dan vertikal engsel, yaitu H dan V, yang bekerja di titik P tidak di ketahui

sehingga sebaiknya titik P kita tetapkan sebagai poros. Dengan menetapkan P sebagai

poros, maka gaya gaya H, V dan Tx tidak menghasilkan torsi karena garis kerja ketiganya

melalui poros P.

∑ 𝜏 = 0

50(0,7) - Ty(1) + 100(1,4) = 0

35 - Ty + 140 = 0 Ty = 175 N

Ty = 0,60T = 175 T = 175

0,60 = 292 N

Tegangan kabel pendukung adalah 292 N.

Bagaimana jika gaya pada engsel ditanyakan? Tentu saja, kita terlebih dahulu

menghitung gaya horizontal engsel, H, dengan ∑ 𝐹𝑥 = 0 dan gaya vertikal, V, dengan

∑ 𝐹𝑦 = 0.

∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0

H - Tx = 0 V – 50 + Ty – 100 = 0

H = 0,80 T V = 150 – 0,60T

H = 0,80(292) = 150 – 0,60(292)

= 234 N = -25,2 N

Besar engsel Fp dihitung dengan teorema Pythagoras.

Fp = √𝐻2 + 𝑉2 = √(234)2 + (−25,2)2 = 235,4 N

Jadi, gaya engsel adalah 235,4 N.

Titik Berat Setiap partikel dalam suatu benda tegar memiliki berat. Berat keseluruhan benda

adalah resultan dari semua gaya gravitasi berarah vertical ke bawah dari semua partikel.

Resultan ini bekerja melalui suatu titik tunggal yang disebut titik berat, atau sebutan lainnya

pusat gravitasi. Titik berat atau pusat gravitasi terdapat di koordinat x dan koordinat y, yang

dirumuskan dengan:

XG = ∑ 𝑤𝑖𝑥𝑖

∑ 𝑤𝑖 YG =

∑ 𝑤𝑖𝑦𝑖

∑ 𝑤𝑖

Mengapa titik berat sering di identikkan dengan pusat massa?

Pada persamaan sebelumnya, komponen percepatan gravitasi dapat di tiadakan. Tetap

muncul notasi untuk menentukan koordinat XG dan YG. Titik koordinat (XG,YG) dalam kasus

ini disebut sebagai pusat massa. Setelah menghilangkan lambang gravitasi, untuk pusat

massa dapat dituliskan dengan:

XG = ∑ 𝑚𝑖𝑥𝑖

∑ 𝑚𝑖 YG =

∑ 𝑚𝑖𝑦𝑖

∑ 𝑚𝑖

Bagian

Lima

Bagaimana menentukan pusat massa

suatu benda?

Sebuah palu terdiri atas bagian kepala yang

berbentuk silinder dengan massa 2,00 kg dan

diameter 8,00 cm, serta tangkai yang juga berbentuk

silinder dengan massa 0,500 kg dan panjang 26,0

cm, seperti yang ditunjukkan pada gambar

disamping. Jika palu tersebut dilemparkan berputar ke udara, berapa jauh di atas dasar tangkai

letak titik yang membentuk lintasan parabola?

Perlu di ketahui:

Ketika palu dilemparkan berputar ke udara, maka titik yang membentuk lintasan parabola

adalah titik-titik lintasan pusat massa (atau titik berat) palu.

Jawab:

Titik berat tangkai palu ada di tengah-tengah tangkai, diberi indeks 2.

x2 = 26,0

2 = 13,0 cm

Titik berat kepala palu ada di tengah-tengah kepala palu, diberi indeks 1.

x1 = 26 + 8,00

2 = 30,0 cm

Contoh

Kasus

Titik berat palu, yaitu titik G, dapat ditentukan menggunakan persamaan:

XG = ∑ 𝑚𝑖𝑥𝑖

∑ 𝑚𝑖 =

𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2

𝑚1+ 𝑚2

= (2,00)(30,0) +(0,500)(13)

2,00+0,500

= 26,6 cm

Jadi, letak titik yang membentuk lintasan parabola ketika dilemparkan dengan berputar ke

udara adalah titik yang berjarak 26,6 cm dari dasar tangkai.

Next,

Untuk titik berat dalam satu dimensi, dapat ditentukan dengan rumus:

Untuk titik berat dalam dua dimensi, dapat ditentukan dengan rumus:

Untuk titik berat dalam tiga dimensi, dapat ditentukan dengan rumus:

Titik Berat dalam Berbagai Bidang Datar

Bagaimana cara menentukan koordinat titik

berat X dan Y pada bidang datar?

Tentukan letak titik berat bangun berupa luasan berikut dihitung dari bidang alasnya!

Jawab:

Tinjau bidang datar yang berwarna hitam,

A1 = 20 x 60 = 1200 cm2

Y1 = 30 cm

Tinjau bidang datar yang berwarna biru,

A2 = 20 x 60 = 1200 cm2

Y2 = 60 + 10 = 70 cm

Y = 𝑦1𝐴1+ 𝑦2𝐴2

𝐴1+ 𝐴2 =

(1200)(30)+(1200)(70)

1200+1200 = 50 cm

Contoh

Kasus

Latihan Soal I. Momen Inersia

1. Susunan 3 buah massa titik seperti gambar berikut!

Jika m1 = 1 kg, m2 = 2 kg dan m3 = 3 kg, tentukan momen inersia sistem

tersebut jika diputar menurut :

a) poros P

b) poros Q

2. Lima titik massa tersusun seperti gambar berikut

m1 = 1 kg, m2 = 2 kg , m3 = 3 kg, m4 = 4 kg, m5 = 5 kg

Tentukan momen inersianya jika:

Let’s try the

Exercise!

a) poros putar sumbu X

b) poros putar sumbu Y

3. Tiga buah benda masing-masing :

Bola pejal massa 5 kg

Silinder pejal massa 2 kg

Batang tipis massa 0,12 kg

D = 2 m

Tentukan momen inersia masing- masing benda dengan pusat benda sebagai

poronya.

4. Sebuah pipa dengan panjang L = 2 meter memiliki jari-jari luar pipa adalah 22

cm dengan jari-jari dalam 20 cm.

Jika massa pipa adalah 4 kg, tentukan momen inersia pipa

5. Diberikan sebuah batang tipis dengan panjang 4 meter dan bermassa 240 gram

seperti gambar berikut:

Jika momen inersia dengan poros di pusat massa batang adalah I = 1/12 ML2

tentukan besar momen inersia batang jika poros digeser ke kanan sejauh 1

meter

II. Momentum Sudut

6. Sebuah piringan berbentuk silinder pejal homogeny mula-mula berputar pada

porosnya dengan kecepatan sudut 9 rad/s. Bidang piringan sejajar bidang

horizontal. Massa dan jari-jari piringan 0,6 kg dan 0,2 m. Jika di atas piring

diletakkan cincin yang mempunyai massa 0,6 kg dan jari-jari 0,1 m dan pusat

cincin tepat di atas pusat piringan, maka piringan dan cincin akan bersama-sama

berputar dengan kecepatan sudut..

7. Sebuah bola pejal berputar melalui salah satu sumbunya dengan kecepatan

sudut 2 rad/s. Jika massa bola itu 0,5 kg dan jari-jarinya 20 cm, maka

momentum sudut adalah..

III. Hukum Kekekalan Energi Gerak Rotasi dan Translasi

8. Sebuah silinder pejal menggelinding dari keadaan diam menuruni suatu bidang

miring yang tingginya 15 m. Kelajuan linear silinder ketika tiba di kaki bidang

adalah…

9. Sebuah bola pejal menggelinding dari keadaan diam menuruni suatu bidang

miring yang tingginya 1,4 m. kelajuan linear bola tersebut ketika sampai di dasar

bidang adalah…

10.Sebuah silinder pejal menggelinding murni di atas lantai datar yang kasar dengan

kecepatan tetap 4 m/s. Bila diketahui massa silinder 0,1 kg, maka energy

kinetiknya adalah…

IV. Keseimbangan Benda Tegar

11. Seorang anak bermassa 50 kg berdiri

diatas tong 50 kg diatas sebuah papan

kayu bermassa 200 kg yang bertumpu

pada tonggak A dan C.

Jika jarak anak dari titik A adalah 1 meter

dan panjang papan kayu AC adalah 4 m,

tentukan :

a) Gaya yang dialami tonggak A

b) Gaya yang dialami tonggak C

12. Sebuah batang homogen AC dengan panjang panjang 4 m dan massanya 50 kg.

Pada ujung C digantungkan beban yang massanya 20 kg. Batang ditahan oleh tali

T sehingga sistem seimbang. Jika jarak BC 1 m, maka hitunglah tegangan tali T!

13. Sebuah tangga seberat 800 N dan panjang 10 m

disandarkan pada dinding seperti gambar. Jika

dinding licin dan lantai kasar, serta tangga tepat

akan tergelincir maka hitunglah koefisien gesekan

antara lantai dan tangga! (sin 53 = 0,8)

V. Titik Berat

14. Tentukan koordinat titik berat susunan enam buah kawat tipis berikut ini dengan

acuan titik 0 !

53o

15. Tentukan letak titik berat bangun berikut terhadap alasnya!

16. Karton I dan II masing-masing homogen , terbuat dari bahan yang sama dan

digabung menjadi satu seperti gambar di bawah.

Tentukan koordinat titik berat benda gabungan dari titik A

17. Diberikan sebuah bangun datar sebagai berikut.

Tentukan koordinat titik berat diukur dari titik O.

18. Sebuah tabung pejal disambung dengan kerucut pejal seperti pada gambar

berikut!

Tentukan letak titik berat bangun tersebut terhadap garis AB!