Modulatori Ottici.

Introduzione.I modulatori ottici sono dispositivi che impiegano determinati materiali cristallini, i quali manifesta-no particolari proprietà adatte alla modulazione dell'onda luminosa. Essa, infatti, può essere modu-lata in intensità (ampiezza), fase, frequenza o polarizzazione a seconda della sorgente, del mezzo edel rivelatore.

I modulatori ottici vengono normalmente impiegati nei sistemi di comunicazione in fibra ottica.Normalmente per questo tipo di applicazioni viene utilizzata la modulazione di ampiezza, come ac-cade nei laser ad iniezione e nei LED, facendo variare la corrente di pilotaggio. Per realizzare modu-latori ad elevata efficienza e velocità, si utilizzano invece gli effetti elettro-ottico e acusto-ottico, ilcui funzionamento si basa sulla variazione dell'indice di rifrazione di un cristallo, generato rispetti-vamente da un campo elettrico o da una tensione meccanica. I modulatori basati su questi effetti rea-lizzano la modulazione di fase (diretta o attraverso variazioni di polarizzazione) o frequenza, chepoi, tramite componenti passivi, viene trasformata in modulazione di ampiezza; essi sono utilizzatianche per la modulazione della radiazione all'interno di risonatori per realizzare sistemi laser pul-santi (Q-switching, cavity dumping e mode locking).

Ci sono quattro tecniche principali per la realizzazione dei modulatori ottici:

1. La prima tecnica consiste nella MODULAZIONE DIRETTA o INTERNA; questa è concettual-mente la tecnica più semplice e consiste nel modulare in ampiezza la radiazione di uscita di undiodo LED o laser attraverso la modulazione di ampiezza della corrente di iniezione del disposi-tivo.

2. La seconda tecnica, basata sull'effetto PLASMA OTTICO, utilizza le variazioni delle proprietàottiche di un semiconduttore (dell'indice di rifrazione ∆n e del coefficiente di assorbimento ∆α)al variare della concentrazione dei portatori liberi ∆n e ∆p.

3. La terza tecnica sfrutta l'effetto ELETTRO-OTTICO, che si basa sulla variazione delle proprietàottiche di un cristallo, quando questo viene sottoposto all'azione di un campo elettrico; per unamigliore comprensione di questa tecnica sarà necessario trattare la propagazione in mezzi aniso-tropi.

4. L'ultima tecnica sfrutta invece l'effetto ACUSTO - OTTICO: è analogo al precedente con la dif-ferenza che in questo caso la sollecitazione è di tipo elastico (onda acustica).

Modulazione diretta.Nelle sorgenti di radiazione a semiconduttori, la potenza del fascio di uscita dipende dall'intensitàdella corrente di iniezione ed è dunque naturale utilizzare questa proprietà per modulare l'ampiezzadella radiazione.

Le modalità sono diverse a seconda che si usino diodi LED oppure diodi laser e, dunque, in questasezione, saranno descritte brevemente le caratteristiche della modulazione di ampiezza diretta o in-terna (modulazione del segnale di uscita attraverso la modulazione della corrente di iniezione) sepa-ratamente per ciascuna delle due classi di dispositivi.

In tabella 1 sono riportati i principali parametri caratteristici dei diodi LED e laser in modo da valu-tarne le prestazioni nei sistemi di comunicazione in fibra ottica:

Parametro LED a bassaradianza

LED ad altaradianza

Diodi laser Unità dimisura

Caduta di tensione 2 2 2 V

Corrente di iniezione 50 ÷ 300 50 ÷ 300 50 ÷ 300 mA

Corrente di soglia - - 50 ÷ 200 mA

Potenza d'uscita 1 ÷ 3 1 ÷ 20 1 ÷ 100 MW

Efficienza di accoppiamento infibra

0.1 ÷ 3 0.2 ÷ 10 5 ÷ 50 %

Larghezza spettrale 30 ÷ 100 30 ÷ 100 1 ÷ 10 nm

Brillanza 1 ÷ 10 1 ÷ 1000 105 W / cm2

Tempo di salita 5 ÷ 50 2 ÷ 20 0.01 ÷ 1 ns

Risposta in frequenza 5 ÷ 70 20 ÷ 200 50 ÷ 2000 MHz

Non linearità 0.1 ÷ 10 0.1 ÷ 10 0.1 ÷ 20 %

Vita media a 25°C > 106 > 106 > 106 ore

Temperatura di operazione -55 ÷ 130 -55 ÷ 90 -55 ÷ 70 °C

Tab.1 Parametri caratteristici di diodi LED e laser

Modulazione dei diodi LED.Un diodo LED è costituito essenzialmente da una giunzione PN polarizzata direttamente; nella re-gione di interfaccia avviene la ricombinazione delle coppie elettrone - lacuna che consente la produ-zione di fotoni. Il numero di fotoni generati dipende quasi linearmente dalla corrente di iniezione ecosì pure la potenza. La modulazione del fascio di uscita si ottiene modulando la corrente di iniezio-ne.

E' interessante notare che, essendo assente un effetto soglia, la modulazione diretta di un LED puòessere eseguita anche per valori della corrente di iniezione molto piccoli.

Il comportamento ad elevate frequenze di modulazione è limitato dal tempo di vita medio di ricom-binazione dei portatori, che nei semiconduttori a gap diretto (GaAs), pesantemente drogati(>1019cm-3 ), è dell'ordine della decina di nanosecondi. Pertanto, i tempi di salita tipici dei diodiLED (che sono appunto legati alla variazione della concentrazione dei portatori quindi alle variazio-ni di corrente e quindi alle variazioni della luce) variano tipicamente da 1 a circa 100 ns corrispon-denti a bande dell'ordine del centinaio di megaHertz.

Per quanto concerne la linearità, la risposta di un LED può presentare un certo grado di non lineari-tà, con conseguenti distorsioni della risposta in frequenza, che possono essere dovute anche ad effet-ti termici prodotti nella giunzione essendo la caratteristica di uscita del diodo LED dipendente dallatemperatura della giunzione.

Questi effetti possono essere eventualmente compensati utilizzando dei particolari circuiti di pilo-taggio contenenti un certo grado di distorsione capaci di compensare la distorsione introdotta dalLED; in figura 1 è riportato lo schema di un circuito di compensazione della non linearità dell'inten-sità luminosa.

Fig.1 Circuito di compensazione delle non linearità di un LED tramite un normale diodo.

A parità di tensione di alimentazione V del circuito, la corrente totale I è data dal contributo di duecorrenti: ILED e ID. A causa della non linearità, l'intensità luminosa nel LED non varia linearmentecon la corrente; quest' ultima si ripartisce nei due rami a seconda della caratteristica corrente - ten-sione dei due componenti.

Si vuol fare in modo che al variare della corrente I, una parte maggiore o minore di essa venga fattascorrere nell'altro ramo ( quello con il diodo e la resistenza in serie ). Ad esempio, nel caso di figura1, a parità di tensione, il LED tende ad assorbire una maggiore corrente, e ciò potrebbe bilanciarel'aumento meno che lineare della luce (fig. 2):

Fig. 2 Andamento meno che lineare della luce.

Modulazione di diodi laser.La modulazione diretta di un diodo laser è più complicata di quella realizzabile nei diodi LED acausa dell'effetto soglia presente nella caratteristica di uscita che lega la potenza emessa alla corren-te di iniezione (fig. 3):

Fig. 3 Caratteristica di un diodo laser (effetto soglia).

Questo risulta particolarmente evidente quando si analizza la risposta di un diodo laser sottopostoad un gradino di corrente:

Fig. 4 a) Gradino di corrente

b) Impulso luminoso ritardato di un tempo ts ≅ tr

Dalle figure 4a) e 4b) si può notare che il laser risponde con un gradino di intensità luminosa ritar-dato di un certo tempo tr , dovuto al fatto che il diodo laser impiega un certo tempo ts per raggiunge-re la soglia dell'emissione stimolata. Questo ritardo può essere così espresso:

ts=τsp⋅ln( iiNis) (1)

dove i è l'ampiezza del gradino di corrente applicato al diodo laser, is è la corrente di soglia e τsp è iltempo di ricombinazione elettrone - lacuna per emissione spontanea.

Poiché nella maggior parte dei casi il restante tempo di salita del laser, dopo aver raggiunto la so-glia, è molto basso si può scrivere:

ts=% tr (2)

Dalla caratteristica di uscita di un diodo laser, si può vedere che il modo più semplice per ridurre iltempo di ritardo è l'applicazione al diodo laser di una corrente di polarizzazione, in modo da tenerloappena sotto o appena sopra soglia. Si può dunque scrivere:

tr=%τsp⋅ln( iiNisMib) (3)

dove ib è la corrente di polarizzazione.

Frequency chirping.

Nella modulazione diretta dei diodi laser occorre tenere presente l'effetto del Frequency Chirping,che consiste in una modulazione di frequenza della radiazione luminosa in uscita dovuta a variazio-ni dell'indice di rifrazione n del semiconduttore dovute a loro volta a variazione di concentrazionedei portatori liberi. Questo effetto deve essere tenuto in debita considerazione quando si progettanosistemi di trasmissione in fibra ottica ad elevato bit rate e su grandi distanze.

Modulatori a semiconduttore (effetto plasma ottico).I modulatori ottici realizzati con materiali a semiconduttore utilizzano le variazioni dell'indice di ri-frazione n e del coefficiente di assorbimento α di un semiconduttore quando viene cambiata la con-centrazione dei portatori liberi in accordo alle seguenti relazioni:

∆α=e3λ2

4π2 c3 n Ĕ0[∆N e

me2µe

M∆N h

mh2 µh] (4a)

∆ n=e2λ2

8π2 c2 n Ĕ0[∆N e

me

M∆N h

mh] (4b)

dove

´ e è la carica dell'elettrone

´ λ è la lunghezza d'onda della radiazione incidente

´ c è la velocità della luce nel vuoto

´ n è l'indice di rifrazione del semiconduttore

´ ε0 è la costante dielettrica del vuoto

´ ∆N è la variazione della concentrazione dei portatori rispetto all'equilibrio

´ m è la massa efficace

´ µ è la mobilità

i pedici e e h si riferiscono rispettivamente agli elettroni e alle lacune.

Sfruttando le variazioni di n e di α, al variare della concentrazione dei portatori, si possono costruiredei modulatori, rispettivamente di ampiezza e di fase.

Modulatori in assorbimento (FCAM: free carrier absorption modulator)Il modo più semplice per realizzare un modulatore di ampiezza con un dispositivo a semiconduttoreè basato sull'uso di un diodo (fig. 5) in cui il fascio ottico da modulare viene fatto passare parallela-mente alla giunzione del diodo.

Fig. 5 Schema di principio di un modulatore d'ampiezza in silicio basato sul fenomeno dell'assorbimento da partedei portatori liberi.

Quando il diodo è polarizzato direttamente, una variazione della corrente di iniezione induce unavariazione della concentrazione dei portatori in prossimità della giunzione e, quindi, attraverso unavariazione del coefficiente di assorbimento genera una modulazione del fascio ottico che attraversala giunzione (∆α = f ( I )).

Questo dispositivo presenta l'inconveniente di poter essere utilizzato efficientemente solo a lunghez-ze d'onda molto grandi (decina di micron). L'uso di questi modulatori a lunghezze d'onda più picco-

le è reso complicato dal fatto che le variazioni del coefficiente di assorbimento sono proporzionalial quadrato della lunghezza d'onda della radiazione da modulare. Ciò implica che la stessa variazio-ne della concentrazione di portatori provoca ad 1 µm un effetto cento volte più piccolo di quello chesi avrebbe utilizzando una radiazione a 10 µm.

Da queste considerazioni si comprende il motivo per cui un modulatore basato su variazioni del co-efficiente di assorbimento non possa avere, nel vicino infrarosso, una lunghezza L inferiore a 5mm.

Modulatori a variazione di fase (FPOM: Fabry Perot optical modulator)Le equazioni (4a) e (4b) mostrano che le variazioni del coefficiente di assorbimento sono sempreaccompagnate da una variazione dell'indice di rifrazione e, quindi, della fase del fascio che attraver-sa il semiconduttore. Questo rende possibile realizzare modulatori di ampiezza utilizzando unoschema interferometrico capace di trasformare le variazioni dell'indice di rifrazione del semicondut-tore in modulazioni di ampiezza del fascio ottico.

Lo schema che consente di realizzare i modulatori più efficienti è basato sull'uso dell'effetto FabryPerot ed è rappresentato in figura 6.

Fig. 6 Schema di principio di un modulatore di ampiezza in silicio sull'uso dell'interferometro Fabry Perot.

Il dispositivo può essere facilmente realizzato utilizzando uno strato di un diodo al silicio (P-N-) la-vorato otticamente alle facce terminali, le quali possono essere a contatto con ossido di silicio; attra-verso questo strato si propaga la radiazione da modulare. Queste facce funzionano come specchipiani paralleli e costituiscono nell'insieme una configurazione Fabry Perot. Quando il diodo è pola-rizzato direttamente, variando la corrente di iniezione, varia la concentrazione dei portatori, quindianche l'indice di rifrazione del mezzo e quindi la frequenza naturale della fibra; in altre parole si haun modo che oscilla all'interno della zona N-: variando n si sposta la curva di risonanza, che ora nonè più centrale, e quindi si ha una modulazione (fig. 7).

Fig. 7 Variazione di frequenza naturale della fibra.

Questi dispositivi sono facilmente integrabili sia con dispositivi elettronici che ottici ed inoltre nonpresentano eccessivi problemi costruttivi.

Per completezza citiamo un ultimo effetto.

EFFETTO FRANZ – KELDISH.

Se un semiconduttore è sottoposto all'azione di un campo elettrico, il profilo delle bande di valenzae di conduzione può modificarsi inducendo una variazione del coefficiente di assorbimento ottico.Questa variazione può portare ad un cambiamento del valore dell'ampiezza della banda proibita(gap) e quindi ad una modulazione di ampiezza indotta dal campo applicato.

E' un metodo che presenta una bassa efficienza dal momento che richiede valori elevati del campoelettrico ed è quindi usato assai raramente.

Fig. 8 Tipico andamento del coefficiente di assorbimento in un semiconduttore in funzione della differenza tral'energia del fotone incidente e quella del gap, per diversi valori dell'ampiezza di un campo elettrico applicatoall'esterno.

Modulatori basati sull'effetto elettro-ottico.Prima di procedere con la trattazione di questo tipo di modulatori occorre fare delle premesse di ca-rattere fisico.

La polarizzazione delle onde luminose.Una perturbazione ottica è una quantità vettoriale la cui direzione del vettore non coincide con la di-rezione di propagazione. Questo vettore è detto vettore ottico. Per un'onda luminosa piana che sipropaga in un mezzo isotropo il vettore ottico è ortogonale alla direzione di propagazione. General-mente si assume come vettore ottico il campo elettrico.

Consideriamo un'onda luminosa incidente perpendicolarmente su una lamina polarizzatrice. Questalamina trasmette la luce senza assorbimento apprezzabile se il vettore ottico è parallelo ad una certadirezione preferenziale della lamina, l'asse di trasmissione della lamina, mentre l'assorbe completa-mente se il vettore ottico è ortogonale a questa direzione preferenziale. Nel caso in cui il vettore ot-tico abbia una direzione intermedia lo si può pensare come la combinazione di due vettori uno per-pendicolare ed uno parallelo all'asse di trasmissione della lamina polarizzatrice. La lamina trasmet-terà la componente parallela al suo asse di trasmissione ed assorbirà la componente ortogonale.L'onda uscente dalla lamina avrà il vettore ottico parallelo all'asse di trasmissione e diremo chequest'onda è polarizzata linearmente. Chiameremo il piano contenente la direzione di propagazionee il vettore ottico piano di vibrazione. Ogni sistema ottico capace di trasmettere solo lucelinearmente polarizzata verrà detto filtro polarizzatore.

a) b) c)Fig. 9 Nei tre casi sopra disegnati la lamina polarizzatrice ha l'asse di trasmissione verticale (frecce verticali).

Nel caso a) l'onda incidente ha il vettore ottico parallelo all'asse di trasmissione della lamina e quindi il suostato di polarizzazione non subisce alterazioni.Nel caso b) l'onda incidente ha il vettore ottico ortogonale all'asse di trasmissione e quindi la lamina polariz-zatrice assorbe l'onda.Nel caso c) il vettore ottico ha un'inclinazione arbitraria rispetto all'asse di trasmissione. In questo caso l'ondaemergente dalla lamina è la componente dell'onda incidente parallela all'asse di trasmissione.

Supponiamo ora che l'onda polarizzata uscente da un primo polarizzatore venga fatta passare attra-verso un secondo polarizzatore. L'ampiezza dell'onda trasmessa dal secondo filtro sarà proporziona-le al coseno dell'angolo tra il vettore ottico dell'onda polarizzata e l'asse di trasmissione del secondofiltro.

Asse di trasmissione

Eϕ

Fig. 10 In questa immagine sono evidenziate le componenti del campo rispetto all'asse di trasmissione della secondalamina

Sovrapposizione di onde polarizzate: la polarizzazione ellittica e circola-re.Consideriamo due onde luminose sinusoidali linearmente polarizzate aventi stessa frequenza e viag-gianti nella stessa direzione. Se i loro vettori ottici sono paralleli, si combinano in un'unica onda li-nearmente polarizzata la cui ampiezza e fase sono funzioni delle ampiezze e delle fasi delle ondecomponenti. Ci proponiamo di studiare la natura dell'onda risultante nel caso in cui le due perturba-zioni ottiche siano mutuamente ortogonali.

Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane con l'asse x nella direzione di propagazione, l'assey parallelo al vettore ottico di un'onda, e l'asse z parallelo al vettore ottico dell'altra onda.

Ez

Ey

E

x

y

z

Fig. 11 In questa immagine sono mostrate le due onde Ez ed Ey e la risultante E

I vettori ottici delle due onde sono rappresentati da espressioni del tipo

E y=Ay cos[ω(tNxv)Mφ1]

E z=Az cos[ω(tNxv)Mφ2]

(5)

Le funzioni Ey ed Ez rappresentano anche le componenti del vettore ottico risultante E lungo gli assiy e z. In un dato punto dello spazio, questo vettore varia nel tempo sia in lunghezza che in direzione.Il suo vertice descrive una curva, di cui le equazioni (5) sono le equazioni parametriche. Per deter-minare la forma di questa curva , dobbiamo solamente eliminare t tra le due equazioni. A questo fi-ne indichiamo con φ=φ2Nφ1 la differenza di fase tra le due oscillazioni e ridefiniamo l'origine dei

tempi ponendo ω t'=ω(tNxv)Mφ1 , così le equazioni (5) diventano

E y=Ay cos(ω t' )E z=Az cos(ω t'Mφ)=Az cos(ω t' )cosφNAz sin (ω t' )sinφ

(6)

Da queste equazioni otteniamo

E z

Az

NE y

Ay

cosφ=Nsin (ω t' )sinφ

(E z

Az

NE y

Ay

cosφ)2

=sin2(ω t' )sin2φ=[1N(E y

Ay)

2]sin2φ

e, dopo alcuni semplici passaggi, otteniamo

E y2

Ay2M

E z2

Az2N2

E y

A y

E z

Az

cosφ=sin2φ (7)

Questa è l'equazione di un'ellisse, e quindi concludiamo che il vertice del vettore che rappresenta laperturbazione ottica in un dato punto dello spazio descrive un'ellisse nel piano perpendicolare alladirezione di propagazione. Esprimiamo questo fatto dicendo che l'onda è polarizzata ellitticamente.

Notiamo che in ogni istante il modulo del vettore E della perturbazione ottica risultante è datodall'equazione

E2=E y2ME z

2 (8)

Le equazioni (5) mostrano che Ey varia da +Ay a -Ay e che Ez varia da +Az a -Az. Quindi l'ellisse rap-presentata da queste equazioni, o dall'equazione (7) è inscritta in un rettangolo con lati di lunghezza2Ay e 2Az. Se le due oscillazioni sono in fase, cioè se φ=2nπ con n∈Ħ , l'ellisse degenera in unsegmento rettilineo coincidente con la diagonale del rettangolo che giace nel primo e nel terzo qua-

drante (fig. 12b). Infatti in questo caso l'equazione (6) dà E y

A y

=E z

Az

.

Se φ=(2nM1)π con n∈Ħ , l'equazione (6) dà E y

Ay

=NE z

Az

.

L'onda risultante è ancora linearmente polarizzata, ma ora la perturbazione ottica è parallela all'al-tra diagonale del rettangolo, cioè a quella che giace nel secondo e quarto quadrante. (fig. 12c) .

Se φ=(2nM1)π2

con n∈Ħ , l'equazione (7) diventaE y

2

Ay2M

E z2

Az2=1, che è l'equazione di un'ellisse

avente gli assi nelle direzioni y e z (fig. 12d). Se in particolare, Ay = Az, l'ellisse degenera in una cir-conferenza e si dice che l'onda è polarizzata circolarmente. In questo caso il vettore che rappresenta

la perturbazione ottica in un dato punto ruota con velocità angolare costante senza variare in mo-dulo.

Az

Ay

Az

Ay

Az

Ay

Az

Ay

φ=2n π φ=(2nM1)π φ=(2nM1)π⁄2a) b) c) d)

Fig. 12 Stati di polarizzazione corrispondenti a differenti valori della differenza di fase φ

Vediamo di comprendere quale sia la direzione di rotazione del vettore ottico nel caso di polarizza-zione ellittica o circolare. A questo fine consideriamo la posizione del vettore ottico al tempo t'=0e al tempo t'=τ , dove τ è una piccola frazione del periodo T. Queste posizioni sono mostrate daisegmenti OP1 e OP2 della figura 13.

0

P1

P2

Az

Ay 0

P2

P1

Az

Ay

a) b)Fig. 13 Nel caso a) 0<φ<π : il vettore ottico ruota in senso orario.

Nel caso b) π<φ<2π : il vettore ottico ruota in senso antiorario.

Dalla (6), troviamo che

a t'=0 : E y=Ay , E z=Az cosφa t'=τ : E y=Ay cos(ωτ) , E z=Az cos(ωτMφ)Ricordiamo ora che se il suo argomento giace tra 0 e π il coseno è una funzione decrescente dell'ar-gomento, mentre è una funzione crescente del suo argomento se questo giace tra 0 e -π. Quindi, serisulta 0<φ<π , Ez è una funzione decrescente del tempo a t'=0, il punto P2 giace al di sotto delpunto P1, e il vettore ottico ruota in senso orario rispetto all'osservatore verso cui viaggia l'onda (fig.13a). Se, invece, Nπ<φ<0, Ez è una funzione crescente del tempo a t'=0 e il vettore ottico ruotain senso antiorario rispetto all'osservatore verso cui viaggia l'onda (fig. 13b).

In conclusione per un'onda viaggiante nella direzione dell'asse x di un sistema cartesiano di riferi-mento destrorso, troviamo che rispetto ad un osservatore posto di fronte alla sorgente, il vettore otti-co ruota in senso orario o antiorario a seconda che la componente z anticipi o ritardi rispetto allacomponente y di un angolo di fase minore di π.

Proprietà fondamentale dei mezzi anisotropi.Fino ad ora abbiamo concentrato la nostra attenzione nei mezzi isotropi ovvero in quei materiali incui le proprietà ottiche siano le stesse in tutte le direzioni. Vediamo ora di spostare la nostra atten-zione verso quei materiali in cui le proprietà ottiche variano a seconda della direzione ovvero i mez-zi anisotropi. Questa anisotropia viene spesso chiamata anche birifrangenza.

Proprietà fondamentale di questi mezzi è la seguente: per ogni direzione di propagazione in unmezzo anisotropo ci sono solo due onde, vibranti in uno o nell'altro di due piani mutuamente orto-gonali, che conservano il loro stato di polarizzazione mentre viaggiano attraverso il mezzo. In altre

parole per i mezzi anisotropi ci sono due direzioni preferenziali tali che le onde polarizzate linear-mente secondo queste direzioni non subiscono alterazioni del loro stato di polarizzazione nell'attra-versamento del mezzo. Queste due direzioni preferenziali vengono definite come gli assi principalidel mezzo. Differentemente una distribuzione di campo con polarizzazione generica incidente su unmezzo anisotropo dovrà essere scomposta negli stati di polarizzazione consentita ognuno dei qualisi propaga senza alterazioni, ma con velocità di fase diverse. Infatti altra importante caratteristicadei mezzi anisotropi è che le velocità di propagazione delle onde lungo gli assi principali del mezzosono diverse.

La produzione di luce polarizzata ellitticamente e circolarmente.Vediamo ora di analizzare come varia lo stato di polarizzazione di un'onda polarizzata linearmentequando attraversa una lamina birifrangente.

Siano y e z gli assi della lamina e ny e nz i rispettivi indici di rifrazione. Le corrispondenti velocità di

propagazione lungo y e z sono: vy=cn y

e vz=cnz

.

Supponiamo, per esempio, che ny<nz , di modo che la velocità di propagazione dell'onda che viag-gia lungo y sia maggiore di quella che viaggia lungo z.

Sia E il vettore ottico dell'onda luminosa linearmente polarizzata incidente sulla lamina. Scompo-niamo l'onda incidente (che supponiamo essere monocromatica ) in due onde con i piani di vibrazio-ne rispettivamente paralleli all'asse y e z.

Az

AyE

y

Ez

E

A

ψ

Az

Ay

Ey

Ez

E

Fig. 14 Produzione di luce polarizzata ellitticamente

Quando entrano nella lamina, l'onda incidente e le sue componenti hanno la stessa fase. I moduli deitre vettori ottici corrispondenti sono del tipo

E=Acosω t E y=Ay cosω t E z=Az cos(ω t) (9)

dove Ay=Acosψ e Az=A senψ .

Nella lamina, le onde onde viaggiano con velocità vy e vz. Se d è lo spessore della lamina il tempo

necessario per attraversare la lamina è t y=ny

cd e t z=

nz

cd per l'onda nella direzione y e z rispetti-

vamente. Perciò quando le due onde escono dalla lamina i loro vettori ottici sono rappresentati dalleseguenti equazioni:

E y=Ay cosω(tNt y)=Ay cos2πT (tNt y)=Ay cos2π( t

TN

n y d

λ0)

E z=Az cosω(tNt z)=Az cos2πT (tNt z)=Az cos2π( t

TN

nz d

λ0)

(10)

dove λ0 è la lunghezza d'onda nel vuoto. Vediamo quindi che le due onde emergenti hanno fasi di-verse. Infatti, l'oscillazione parallela all'asse z ritarda rispetto a quella parallela all'asse y di un ango-lo di fase

∆φ=2πdλ0(nzN z y) (11)

Come spiegato precedentemente le due oscillazioni si ricombinano per produrre un'onda polarizza-ta ellitticamente. Concludiamo perciò che, in generale, il passaggio attraverso una lamina birifran-gente muta un'onda polarizzata linearmente in un'onda polarizzata ellitticamente.

Lamine a quarto d'onda e lamine a mezzo d'onda.

Consideriamo ora il caso in cui le componenti dell'onda incidente abbiano una differenza di faseę , , ovvero che E y=Ay cosω t , E z=Az cos(ω tMę) . Supponiamo per semplicità che Ay = Az. Inquesto caso l'onda in ingresso sarà polarizzata circolarmente se ę=π⁄2 , mentre sarà polarizzata li-nearmente e con la direzione di polarizzazione parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrantese ę=0 .

La differenza di fase tra le componenti Ey ed Ez dell'onda emergente, φu , è data dalla relazione

φu=ęM∆φ=ęM2πλ0

d (nzNny)=ęM2πλ0

d∆ n . (12)

Tra gli infiniti valori che può assumere ∆φ , i più interessanti sono π2

e π.

Lamina a λλλλ4

:::: ∆∆∆∆φφφφ====ππππ2

....

Il primo caso è quello in cui d (nzNny)=λ0

4che provoca uno sfasamento tra le due onde uscenti

dalla lamina pari a ∆φ=π2

. Questo è facilmente dimostrabile:

∆φ=2πλ0

d∆ n=π2

@d∆ n=λ0

4

@d λ4

=λ0

4∆ n

.

In questo caso gli assi dell'ellisse coincidono con le direzioni y e z. L'ellisse è descritta in senso an-

tiorario. Una lamina di spessore d tale che d (nzNny)=λ0

4, cioè, una lamina in cui le lunghezze

dei cammini ottici delle due onde che vibrano nei piani paralleli ai due assi differiscono diλ0

4è

detta lamina a quarto d'onda.

Nel nostro caso specifico se l'onda incidente è polarizzata linearmente, ę=0, l'onda emergente sa-

rà polarizzata circolarmente (fig. 15). Infatti φu=∆φ=π2

.

z

45° y

z

y

Onda incidente Onda emergenteFig. 15 Lamina a quarto d'onda con onda incidente polarizzata linearmente.

Se invece l'onda incidente è polarizzata circolarmente, ę=π2

, l'onda emergente sarà polarizzata li-

nearmente lungo la bisettrice del secondo e quarto quadrante (fig. 16). Infatti φu=π2Mπ2=π .

z

y

z

45°y

Onda incidente Onda emergenteFig. 16 Lamina a quarto d'onda con onda incidente polarizzata circolarmente.

Quindi, possiamo ottenere luce polarizzata circolarmente ponendo lungo il cammino ottico di un'on-da polarizzata linearmente una lamina a quarto d'onda con gli assi inclinati a 45° rispetto al piano divibrazione dell'onda incidente.

Lamina a λλλλ2

:::: ∆∆∆∆φφφφ====ππππ ....

Il secondo caso è quello in cui d (nzNn y)=λ0

2, lamina a mezzo d'onda, in cui lo sfasamento intro-

dotto dalla lamina è ∆φ=π . Questo è facilmente dimostrabile:

∆φ=2πλ0

d∆ n=π

@d∆ n=λ0

2

@d λ2

=λ0

2∆ n

.

Una lamina di spessore d tale che d (nzNn y)=λ0

2, cioè, una lamina in cui le lunghezze dei cam-

mini ottici delle due onde che vibrano nei piani paralleli ai due assi differiscono diλ0

2è detta lami-

na a mezzo d'onda.

Nel nostro caso specifico se l'onda incidente è polarizzata linearmente, ę=0, l'onda emergente sa-rà ancora polarizzata linearmente ma la sua direzione sarà parallela alla bisettrice del secondo equarto quadrante (fig. 17). Infatti φu=∆φ=π .

z

45° y

z

45°y

Onda incidente Onda emergenteFig. 17 Lamina a mezzo d'onda con onda incidente polarizzata linearmente.

Se invece l'onda incidente è polarizzata circolarmente, ę=π2

, l'onda emergente sarà ancora pola-

rizzata circolarmente ma con verso di rotazione opposto (fig. 18). Infatti φu=πMπ2=

32π .

z

y

z

y

Onda incidente Onda emergenteFig. 18 Lamina a mezzo d'onda con onda incidente polarizzata circolarmente.

Il Tensore dielettrico in un mezzo anisotropo.In un mezzo isotropo, la polarizzazione indotta è sempre parallela al campo elettrico applicato ed èin relazione con questo tramite uno scalare indipendente dalla direzione in cui il campo elettrico èapplicato (dipende quindi solo dalla sua intensità). Questo non è più vero in un mezzo anisotropo, sesi escludono particolari direzioni. In questi materiali la polarizzazione indotta dipenderà dall'am-piezza e dalla direzione lungo cui è applicato il campo elettrico secondo la relazione

[Px

P y

P z]=Ĕ0[χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33]⋅[Ex

E y

E z] (13)

dove P è il vettore polarizzazione indotta, E è il vettore campo elettrico e χ è il tensore suscettibi-lità elettrica. L'ampiezza dei termini χij dipende ovviamente dalla scelta degli assi x, y e z rispettoalla struttura cristallina del mezzo. Scegliendo come assi x, y e z gli assi principali del mezzo la ma-trice che rappresenta il tensore χ diventa diagonale riducendo così la relazione tra P ed E a

[Px

P y

P z]=Ĕ0[χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33]⋅[Ex

E y

E z] . (14)

Possiamo anche scrivere la risposta dielettrica del mezzo tramite il tensore permeattività dielettricaĔij con la relazione matriciale

[Dx

D y

D z]=[Ĕ11 Ĕ12 Ĕ13

Ĕ21 Ĕ22 Ĕ23

Ĕ31 Ĕ32 Ĕ33]⋅[Ex

E y

E z] (15)

dove D è il vettore spostamento elettrico.

Dall'equazione costitutiva D=Ĕ0 EMP ricaviamo che

Ĕij=Ĕ0(1Mχij) (16)

Anche in questo caso con l'opportuna scelta degli assi x, y e z fatta prima, riesco a diagonalizzare lamatrice del tensore permeabilità dielettrica. La relazione (15) può anche essere espressa in formatensoriale Di=Ĕij E j .

L'ellissoide di Fresnel o ellissoide degli indici.Un mezzo isotropo è caratterizzato da un unico parametro, l'indice di rifrazione, che determina lavelocità di propagazione nel mezzo.

In un mezzo anisotropo invece non c'è un'unica velocità di propagazione e quindi un unico indice dirifrazione. Esiste però la possibilità di descrivere completamente le proprietà ottiche di questi mezziassegnando tre direzioni caratteristiche mutuamente ortogonali, Ox, Oy e Oz e tre corrispondenti co-stanti n1, n2 e n3, dette indici di rifrazione principali. Le due onde piane che viaggiano nella direzio-ne dell'asse x hanno i piani di vibrazione paralleli agli assi y e z, e le velocità di propagazione sono

v2=cn2

e v3=cn3

rispettivamente. Le due onde che viaggiano nella direzione dell'asse y hanno i

piani di vibrazione paralleli agli assi x e z, con velocità di propagazione v1=cn1

e v3 rispettivamen-

te. Le due onde che viaggiano nella direzione dell'asse z hanno i piani di vibrazione paralleli agli as-si x e y, con velocità di propagazione v1 e v2 rispettivamente. Notare che le velocità di propagazionedipendono dalla direzione di vibrazione e non dalla direzione di propagazione. Quindi per esempio,l'onda che vibra in una direzione parallela all'asse x ha la stessa velocità di propagazione sia che sipropaghi in una direzione parallela all'asse y che ad una parallela all'asse z.

Per determinare i piano di vibrazione e le velocità di propagazione delle due onde che si propaganoin una qualsiasi direzione diversa da Ox, Oy o Oz, usiamo il seguente metodo. Dapprima costruiamol'ellissoide (fig. 11a) i cui tre semiassi sono paralleli a Ox, Oy e Oz, e che hanno lunghezza uguale ri-spettivamente a n1, n2 e n3. L'equazione di questo ellissoide è

x2

n12M

y2

n22M

z2

n32=1 . (17)

0

z

x

y0

s

a) b)Fig. 19 Ellissoide di rotazione.

Assegnata la direzione di propagazione, s, costruiamo poi un piano perpendicolare a questa direzio-ne (cioè parallelo al corrispondente fronte d'onda) e passante per il centro dell'ellissoide. L'interse-zione del piano con l'ellissoide è un'ellisse. Gli assi di quest'ellisse sono paralleli ai piani di vibra-zione delle due onde piane che viaggiano invariate nella direzione assegnata. Le lunghezze dei se-miassi sono numericamente uguali ai due corrispondenti indici di rifrazione (fig 19b).

Apriamo una parentesi per spiegare da dove deriva l'equazione (17).

La superficie a densità di energia costante Ue nello spazio D data dalla relazione

U e=12

E⋅D=12

Ei Ĕij E j può essere scritta nella formaDx

2

Ĕx

MD y

2

Ĕ y

MD z

2

Ĕ z

=2U e dove Ĕx , Ĕ y e Ĕ z

sono le costanti dielettriche principali. Se sostituiamo r= x2M y2M z2 aD

2U e Ĕ0e definiamo gli

indici di rifrazione degli assi principali come nx, ny e nz, con ni2=

Ĕi

Ĕ0

( i=x, y, z) , l'ultima equazione

può essere scritta nella forma

x2

nx2M

y2

ny2M

z2

nz2=1 . (18)

Questa equazione è la generica equazione di un ellissoide con gli assi principali paralleli agli assi x,y e z e lunghi 2nx, 2ny e 2nz rispettivamente. Questo ellissoide è noto come ellissoide degli indici odi Fresnel o indicatrice ottica.

La propagazione dell'energia è descritta dal vettore di Poynting che è dato dalla perpendicolare alpiano tangente all'ellissoide nell'intersezione tra l'ellissoide stesso e la retta parallela alla direzionedi propagazione per l'origine (fig. 20)

Fig. 20 Piano tangente all'ellissoide nel punto Q e vettore di Poynting.

Per i materiali di tipo isotropo in cui gli indici di rifrazione sono gli stessi in tutte e tre le direzioni,l'ellissoide di Fresnel degenera in una sfera. Per i cristalli anisotropi in cui due degli indici principalidi rifrazione sono uguali (n1 = n2 = n0 e n3 = ne ), definiti cristalli uniassiali, l'ellissoide di Fresnel èun ellissoide di rotazione attorno ad un asse detto asse ottico del cristallo uniassiale.

x2

n02M

y2

n02M

z2

ne2=1 . (19)

Per i cristalli uniassiali la sezione normale all'asse dell'ellissoide di Fresnel è una circonferenza. Tut-te le onde piane che viaggiano nella direzione dell'asse ottico conservano il loro stato di polarizza-zione. Per tali onde il cristallo si comporta come un mezzo isotropo.

In tutte le altre direzioni, tuttavia, il cristallo è birifrangente. Assegnata una direzione di propagazio-ne arbitraria OA, diversa dall'asse ottico, intersechiamo l'ellissoide di Fresnel con un piano passanteper il suo centro e normale ad OA. L'intersezione è un'ellisse, di cui un asse, MN, giace nel pianoequatoriale dell'ellissoide, mentre l'altro, PQ, giace nel piano che contiene la direzione di propaga-zione e l'asse ottico.

0n

2

n3

A

P

Q

M

N

Fig. 21 Ellissoide di Fresnel per un cristallo uniassiale positivo.

Questi due assi sono paralleli ai piani di vibrazione delle due onde polarizzate linearmente che viag-giano nella direzione OA. Se definiamo il piano contenente la direzione di propagazione e l'asse ot-tico come sezione principale del cristallo relativa ad una data direzione di propagazione, possiamodire che delle due onde polarizzate linearmente che viaggiano in una data direzione, una ha il suopiano di vibrazione normale e l'altra parallelo alla corrispondente sezione principale.

L'indice di rifrazione dell'onda che vibra ortogonalmente alla sezione principale (e perciò all'asse ot-tico) è numericamente uguale a n2, il raggio della sezione equatoriale dell'ellissoide. La velocità diquest'onda è perciò v2. Per questa ragione l'onda che vibra in una direzione ortogonale all'asse otticoè detta onda ordinaria e il suo indice di rifrazione è detto indice di rifrazione ordinario n0. L'indicedi rifrazione dell'onda che vibra nel piano della sezione principale è numericamente uguale al semi-asse OP dell'ellisse. Questo indice di rifrazione è diverso per le diverse direzioni di propagazione; ilsuo valore è sempre intermedio tra n2 e n3 e viene detto indice di rifrazione straordinario ne. Quindil'onda che vibra nel piano della sezione principale ha una velocità che dipende dalla direzione dipropagazione, per questa ragione è detta onda straordinaria.

Classificazione dei mezzi anisotropi.

Nei cristalli uniassiali si ha che due degli indici principali di rifrazione sono uguali, nx=ny=n0 con

n02=

Ĕx

Ĕ0

=Ĕ y

Ĕ0

, ed uno è diverso, nz=ne=Ĕ z

Ĕ0. In questi cristalli il tensore dielettrico assume la forma

Ĕ=Ĕ0(n02 0 0

0 n02 0

0 0 ne2) .

In questi cristalli vi è un solo asse ottico che per convenzione è l'asse z.

Nei cristalli uniassiali l'indice di rifrazione ordinario è n0 mentre quello straordinario è ne. Sen0<ne il cristallo è detto positivo mentre se n0>ne il cristallo è detto negativo.

Propagazione della luce nei cristalli uniassiali.Molti dei dispositivi elettro-ottici moderni sfruttano i cristalli uniassiali. Esempi comuni di cristalliusati sono la calcite, il quarzo e il niobato di litio. In questi cristalli l'equazione dell'ellissoide degliindici assume la forma

x2

n02M

y2

n02M

z2

ne2=1 (20)

dove sono stati scelti gli assi di simmetria con la convenzione che z è l'asse ottico. La figura (fig.22) mostra l'ellissoide degli indici per un cristallo uniassiale positivo. Il versore s indica la direzionedi propagazione dell'onda luminosa. Siccome l'ellissoide in questo caso è invariante rispetto a rota-zioni attorno all'asse z, la proiezione di s sul piano xy è stata scelta, senza perdere di generalità, in

modo che coincida con l'asse y.

s

asse ottico

y

De

z

D0

0

A

B

x

ϑ

Fig. 22 Costruzione per trovare gli indici di rifrazione per una direzione di propagazione s data. La figura mostra uncristallo uniassiale con nx=ny=n0, nz=ne

In accordo con quanto detto prima l'intersezione del piano normale a s passante per l'origine dell'el-lissoide dà origine all'ellisse di intersezione in cui la lunghezza del semiasse maggiore, OA, equiva-le all'indice di rifrazione straordinario ne (ϑ) . La lunghezza del semiasse minore, OB, invece equi-vale all'indice di rifrazione ordinario n0.

È chiaro dalla figura che come varia l'angolo ϑ tra l'asse ottico e la direzione s di propagazionedell'onda, la direzione di propagazione ordinaria rimane fissa come pure il valore dell'indice di rifra-zione, pari a n0. Invece la direzione di polarizzazione straordinaria e il valore dell'indice di rifrazio-ne straordinario dipendono da ϑ . L'indice ne infatti varia da ne(ϑ)=n0 , assunto quando ϑ=0 , ane(ϑ)=ne , assunto quando ϑ=90 . L'indice di rifrazione ne(ϑ) può essere ricavato, noto che sia

l'angolo ϑ , dalla relazione

1

ne2(ϑ)

=cos2ϑ

n02

Msin2ϑ

ne2 . (21)

Riassumendo, la propagazione di un'onda luminosa in un cristallo uniassiale in generale consiste inun'onda ordinaria e in un'onda straordinaria. Il vettore campo elettrico E (e il vettore spostamentoelettrico D) per l'onda ordinaria è sempre perpendicolare all'asse ottico e al versore di propagazione.

La velocità di fase dell'onda ordinaria è sempre pari a cn0

indipendentemente dalla direzione di pro-

pagazione. Il vettore spostamento D dell'onda straordinaria è sempre perpendicolare al versore dipropagazione mentre il suo vettore campo elettrico E non è in generale perpendicolare a s ma giacenel piano formato da s e D. I vettori campo elettrico delle due onde ordinaria e straordinaria sonomutuamente ortogonali.

Prima di proseguire, diamo una dimostrazione matematica dell'espressione (21). È stato suppostoche il vettore s appartenga al piano yz e quindi posso scrivere l'equazione dell'ellissoide in questo

piano, ovvero per x = 0. L' equazione dell'ellissoide diventa quindiy2

n02M

z2

ne2=1 . Se ϑ è l'angolo

che il vettore s forma con l'asse z, le coordinate del punto A, (fig. 22), si possono esprimere con lerelazioni y (ϑ)=ne (ϑ)cosϑ e z (ϑ)=ne(ϑ)sin ϑ . A questo punto è sufficiente sostituirlenell'equazione dell'ellissoide e si trova:

ne2(ϑ)cos2(ϑ)

n02

Mne

2(ϑ)sin2(ϑ)ne

2=

cos2(ϑ)n0

2M

sin2(ϑ)n0

2=

1

ne2(ϑ)

.

L'effetto elettro-ottico.In questo capitolo analizzeremo la propagazione di un'onda elettromagnetica all'interno di un mezzole cui proprietà possono essere modificate con l'applicazione di un campo elettrico.

Nelle sezioni precedenti abbiamo visto che la propagazione in un mezzo anisotropo può essere age-volmente studiata con l'ausilio dell'ellissoide degli indici che, nel caso in cui gli assi coordinati(x,y,z) coincidono con gli assi principali, può essere descritta dall'equazione in forma canonica:

x2

nx2M

y2

ny2M

z2

nz2=1 (22)

L'effetto elettro - ottico lineare, può essere descritto considerando gli effetti che un campo elettricoapplicato dall'esterno ha sul tensore dielettrico. Questi effetti possono essere analizzati attraverso lemodifiche indotte sull'ellissoide degli indici. In generale, l'applicazione di un campo elettrico, oltread indurre un cambiamento degli indici di rifrazione ni, causerà l'apparizione dei termini mistidell'equazione (23) dovuta all'eventuale rotazione degli assi dielettrici principali.

L'ellissoide degli indici in un mezzo sottoposto all'applicazione di un campo elettrico si modificheràin generale nella forma:

( 1

nx2M∆1)x2M( 1

ny2M∆2) y2M( 1

nz2M∆3)z2M2yz∆4M2xz∆5M2xy∆6=0 (23)

dove i coefficienti ∆i sono legati alle componenti del campo elettrico applicato secondo la relazio-ne

∆i=∑j=1

3

rij E j (24)

dove rij prende il nome di tensore elettro ottico lineare.

Ad esempio se i = 4 allora ∆4=r41 E1Mr42 E2Mr43 E3 .

In questa relazioni 1, 2, 3 corrispondono agli assi dielettrici principali x, y, z rispettivamente e nx, ny

e nz sono gli indici principali di rifrazione. Il nuovo ellissoide degli indici si riduce a quello usualequando Ek = 0. In generale gli assi principali dell'ellissoide (23) non coincidono con quelli dell'ellis-soide non soggetto a campo elettrico.

Una nuova terna di assi di riferimento può essere ottenuta tramite una rotazione di coordinate, dagliassi principali del cristallo.

Il tensore elettro ottico lineare è un tensore 6 x 3 i cui elementi cambiano a seconda della classe cri-stallografica a cui appartiene il mezzo. Una tabella con i vari tensori per i cristalli uniassici è ripor-tata nella sezione con gli esempi assieme ad una tabella con alcuni indici di rifrazione.

Effetto elettro-ottico in un cristallo KDP.

Consideriamo l'esempio specifico di un cristallo di potassio diidrogeno fosfato (KH2PO4) noto an-che come KDP. Questo è un cristallo uniassiale tetragonale con simmetria di tipo 4 2m . Per con-venzione l'asse ottico è l'asse z. Dalle matrici riportate sopra si vede che il tensore elettro-ottico rij hasolo tre elementi non nulli r41=r52 e r63. Usando l'equazione (23) e la matrice rij otteniamo, in presen-za di un campo elettrico E (Ex, Ey, Ez), l'ellissoide degli indici espresso dalla relazione

x2

n02M

y2

n02M

z2

ne2M2yzr41 ExM2xzr51 E yM2xyr63 E z=1 (25)

dove le costanti impiegate nei primi tre termini non dipendono dal campo applicato.

Troviamo quindi che l'applicazione di un campo elettrico introduce dei termini in due variabili

nell'equazione dell'ellissoide. Questo significa che gli assi principali dell'ellissoide, causa l'applica-zione del campo elettrico, non sono più paralleli agli assi principali (x, y, z) del cristallo. Risultaquindi necessario determinare le direzioni dei nuovi assi e l'ampiezza dei rispettivi indici di rifrazio-ne in presenza del campo E. In questo modo potremo poi determinare l'effetto del campo elettricosulla propagazione nel mezzo. Per semplicità supponiamo che il campo elettrico applicato al cristal-lo sia diretto lungo l'asse ottico. In questo modo le componenti Ex ed Ey del campo sono nulle el'equazione (25) diventa

x2

n02M

y2

n02M

z2

ne2M2xyr63 E z=1 (26)

Il problema da risolvere consiste nel trovare un nuovo sistema di coordinate (x', y', z') nel qualel'equazione dell'ellissoide degli indici non contenga termini misti e abbia quindi la forma

x' 2

nx'2M

y' 2

n y'2M

z' 2

nz'2=1 . (27)

Quindi in presenza di un campo elettrico applicato secondo z gli assi principali dell'ellissoide degliindici diventano x', y', z'. In accordo con l'equazione (27) la lunghezza degli assi principali dell'ellis-soide corrisponde a 2nx' , 2ny' , 2nz' che dipenderanno dal campo applicato.

Nel caso dell'espressione (26) si ha che per giungere all'equazione (27) la nuova terna di assi x', y' ez' dovrà avere l'asse z' parallelo all'asse z. Inoltre a causa della simmetria in x e y nella (25) i nuoviassi x' e y' sono legati agli assi x e y tramite una rotazione di 45° espressa dalle relazioni seguenti

x=x' cosπ4M y' sin

π4=

1

2x'M

1

2y'

y=Nx' sinπ4M y' cos

π4=N

12

x'M12

y(28)

zz'

45°

xx' y'

y

Fig. 23 Effetto elettro ottico: rotazione degli assi in una lamina di KDP

Sostituendo le espressioni (28) nell'equazione (26) ottengo

x' 2

n02M

y' 2

n02M

z' 2

ne2M2r63 E z(x' 2

2N

y' 2

2 )=( 1

n02Mr63 E z)x' 2M( 1

n02Nr63 E z) y' 2M

z' 2

ne2=1 (29)

Questa equazione mostra che x', y' e z (dato che z' = z ) sono effettivamente gli assi dell'ellissoidedegli indici quando viene applicato al cristallo un campo elettrico diretto lungo z. Si noti inoltre che

la lunghezza dell'asse x' dell'ellissoide è 2nx', dove 1

nx'2=

1

n02Mr63 E z .

Assumendo che r63 E z«n0N2 ed usando la relazione differenziale dn=N

12

n3 d( 1

n2) troviamo

che

nx'=n0N12

n03 r63 EZ (30)

ny'=n0M12

n03 r63 EZ (31)

da cui si capisce che l'applicazione del campo elettrico lungo l'asse z ha deformato l'ellissoide chenon è più a simmetria circolare.

Consideriamo ora il caso in cui il campo applicato sia diretto parallelamente all'asse x. In questo ca-so l'equazione (25) assume la forma

x2

n02M

y2

n02M

z2

ne2M2yzr41 Ex=1 . (32)

È allora chiaro che il nuovo asse x' coinciderà con x in quanto i termini misti coinvolgono solo y e z.È necessaria una rotazione nel piano yz per ricondurre la (30) all'usuale forma dell'ellissoide. Sia ϑl'angolo tra le nuove coordinate y'z' e le vecchie coordinate yz. La trasformazione da y, z a y', z' è da-ta dalle relazioni

y= y' cosϑN z' sin ϑz= y' sin ϑM z' cosϑ

. (33)

Sostituendo la relazione (31) nell'equazione (30) e richiedendo che non compaiano termini in yz ot-tengo che

x2

n02M( 1

n02Mr41 Ex tan ϑ) y' 2M( 1

ne2Mr41 Ex tan ϑ)z' 2=1 (34)

con l'angolo ϑ tale che

tan 2ϑ=2 r41 Ex

1

n02M

1

ne2

. (35)

Il nuovo ellissoide degli indici ha i suoi assi principali ruotati di un angolo ϑ attorno all'asse x ri-spetto agli assi principali del cristallo non soggetto ad un campo elettrico Ex.

Modulazione elettro ottica.Abbiamo mostrato nella sezione precedente che l'applicazione di un campo elettrico può cambiarel'ellissoide degli indici. Sappiamo inoltre che la propagazione di onde elettromagnetiche nei cristalliè caratterizzata dall'ellissoide degli indici. Possiamo quindi usare l'effetto elettro-ottico per manipo-lare la propagazione delle onde luminose ed il loro stato di polarizzazione. Consideriamo ad esem-pio una lamina di KDP, tagliata normalmente all'asse z, soggetta ad un campo elettrico diretto lungoz. Se consideriamo la propagazione della luce lungo l'asse z, allora, in accordo con le equazioni (30)e (31), la birifrangenza è data da

ny'Nnx'=n03 r63 E z . (36)

Sia ora d lo spessore della lamina. Il ritardo di fase per questa lamina è dato da

∆ę=2πλ

d (n y'Nnx')=2πλ

d n03 r63 E z=

2πλ

n03 r63V (37)

dove V=E z d è la tensione applicata e λ è la lunghezza d'onda della radiazione incidente.

In questo caso il ritardo di fase è proporzionale alla tensione applicata. Di conseguenza siamo ingrado di modificare lo stato di polarizzazione di un'onda incidente sulla lamina nello stato desidera-to.

Per avere un ritardo di fase ∆ę=π la tensione applicata al cristallo è

V π=λ

2 n03 r63

. (38)

dove V π è definita tensione a mezzo d'onda definibile per ogni λ. I valori tipici della tensione V π

variano da un minimo di qualche decina di volt fino a qualche Kilovolt.

Effetto elettro ottico longitudinale e trasverso.

Il caso in cui il campo elettrico è parallelo alla direzione di propagazione dell'onda incidente, vieneindicato come effetto elettro ottico longitudinale; se il campo elettrico è normale alla direzione dipropagazione dell'onda incidente, viene indicato come effetto elettro ottico trasverso.

MODULATORI ELETTRO - OTTICI DI AMPIEZZA E DI FASESi possono distinguere due tipi di modulatori: i modulatori di fase e i modulatori di ampiezza.

MODULATORI DI FASE

Supponiamo di avere una situazione come quella descritta nella sezione precedente in cui l'ondaemessa incidente è polarizzata lungo una delle due polarizzazioni consentite nel cristallo, dopo l'ap-plicazione del campo elettrico ( x' e y' ). In questo caso, dopo l'applicazione del campo, l'onda pola-rizzata linearmente, si propaga nel cristallo senza alterare il suo stato di polarizzazione, solo che orail suo indice di rifrazione è:

nx'=n0(1Nn0

2 r63 E

2 )= n0

1Mn02 r63 E

(39)

Quindi l'onda emessa descritta, che all'ingresso del cristallo è:

Ex' ( z,t)=E e j(ω tNkzNę) (40)

all'uscita del cristallo sarà data da:

Ex'( z,t)=E e j(ω tNkzMęM∆ę) (41)

dove il ritardo di fase ∆ϕ è:

∆ę=2πλ

nx' L=2πλ

n0 LN2πλ

Ln0

2 r63 E

2n0=

2πλ

n0 LNπL n0

3 r63 E

λ=

2πλ

n0 LNπ2

VV π

(42)

Questo rappresenta la modulazione di fase: la fase dell'onda trasmessa contiene un termine modula-to linearmente con la tensione applicata.

MODULAZIONE DI AMPIEZZA

Si possono adottare diverse configurazioni per comprendere il principio di funzionamento di un mo-dulatore elettro - ottico di ampiezza; la configurazione base è la seguente:

Fig. 24 Schema di un modulatore di ampiezza basato sull'effetto elettro ottico. Il primo polarizzatore non è necessarionel caso in cui il fascio di ingresso sia già polarizzato.

Un fascio di radiazione in ingresso viene polarizzato linearmente dal primo polarizzatore; la cellaelettro ottica ne modifica la direzione di polarizzazione in funzione della tensione V applicata aisuoi capi. Questa modulazione di polarizzazione viene poi trasformata in modulazione di ampiezzadal secondo polarizzatore.

Supponiamo che sia la direzione di polarizzazione del polarizzatore di ingresso che di quella diuscita siano verticali.

In assenza di campo e quindi per V = 0, l'onda viene trasmessa totalmente ( il suo stato di polarizza-zione non cambia ).

Se viene applicato un campo elettrico, le direzioni consentite diventano x', y'; supponiamo che il cri-stallo produca una rotazione, ad esempio di π / 2 ( cioè V = Vπ ): in questo caso il cristallo si com-porta come una lamina a λ / 2 e quindi se la polarizzazione in ingresso era verticale, quella di uscitarisulta orizzontale.

La conclusione è che per V = Vπ il polarizzatore di uscita ' blocca tutto ' e si ha minima trasmissione.

Questa è una delle situazioni possibili, ma ce ne sono anche delle altre: ad esempio, si potrebbe pen-sare ad un polarizzatore di uscita incrociato rispetto a quello di ingresso, ovvero:

Fig 25 Polarizzatore di uscita incrociato rispetto a quello d'ingresso.

In questo caso si verifica la situazione opposta, infatti, per V = 0 si ha minima trasmissione, mentreper V = Vπ si ha massima trasmissione.

CENNI SULL'EFFETTO ACUSTO - OTTICOLe proprietà elettromagnetiche di molti materiali sono funzione di un eventuale campo di forze ap-plicato dall'esterno. A frequenze ottiche, il cambio della costante dielettrica e dell'indice di rifrazio-ne in funzione di un campo di pressioni applicate prende il nome di effetto elasto - ottico. In seguitoa studi su questo fenomeno è possibile analizzare l'interazione tra un'onda acustica ed un fascio lu-minoso che dà luogo proprio all'effetto acusto - ottico. Su questo effetto è possibile realizzare mo-dulatori di ampiezza molto efficienti.

Esempi.Vediamo ora alcuni esempi di applicazione della teoria presentata.

Esempio 1.

Si consideri una lamina tagliata da un cristallo uniassiale elettro ottico perpendicolare all'asse z. Lalunghezza della lamina in direzione z è L. Il cristallo può essere sottoposto ad un campo elettrico dipolarizzazione diretto secondo z e viene illuminato da un campo luminoso di segnale E polarizzatocircolarmente, che si propaga secondo z. x e y sono gli assi principali del cristallo con riferimento aiquali E si può scomporre in

Ex=cosω t

E y=cos(ω tMπ2) . (43)

a) Qual è il verso della polarizzazione?

L'indice di rifrazione ordinario è n0 = 2,006 e la lunghezza d'onda è quella del laser He-Ne . Dopo ilcristallo viene posto un polarizzatore con direzione di polarizzazione verticale.

b) Qual è l'espressione del campo in uscita?

Alla lamina viene applicata una tensione V π2

.

c) Rappresentare il campo in uscita dal cristallo prima e dopo il polarizzatore, tenendo conto solodello sfasamento relativo fra le componenti.

Soluzione.

x

y

z

Fig. 26

a)

Per le componenti di E valgono le seguenti relazioni:

per ω t=0 Ex=1, E y=0 mentre per ω t=π2

Ex=0, E y=N1 .

Si vede quindi che all'aumentare di t Ex decresce mentre Ey cresce in modulo diventando più negati-vo. Il verso di polarizzazione di E è indicato dalla freccia rossa tratteggiata.

b)

Se non applico il campo elettrico, il polarizzatore lascia passare solo la componente x e quindi il

campo in uscita sarà Ex=cos(ω tM2π n0 L

λ ) .

c)

Se applico alla lamina una tensione V π2

, ci sono due nuovi assi di riferimento x' e y'.

x

y

x'y'

1

-1

R

Fig. 27

In uscita ci sarà uno sfasamento di π2

indotto dal cristallo.

Il vettore campo elettrico in ingresso è polarizzato circolarmente e ruota in senso antiorario. Anche

secondo i nuovi assi x', y' lo sfasamento tra le componenti di E è di π2

.

Il campo in ingresso partendo dall'espressione iniziale (43), sarebbe correttamente correttamente de-scritto da

Ex'=cos(ω tNπ4), E y'=cos(ω tM

π4) , (44)

ma anche da

Ex'=cosω t , E y'=cos(ω tMπ2) (45)

e quindi il campo in uscita è

Ex'=cosω t , E y'=cos(ω tMπ2Mπ2)=cos(ω tMπ) (46)

naturalmente non tenendo conto dello sfasamento comune nel cristallo.

Ad esempio per ω t=0 Ex'=1, E y'=N1 e quindi (fig. 27) la risultante è diretta orizzontalmente evale 2 .

Dopo il polarizzatore il campo è nullo in quanto passano solo le componenti verticali.

Esempio 2

Un cristallo elettro ottico uniassiale presenta gli assi come in figura. Davanti al cristallo viene postoun polarizzatore con direzione di polarizzazione verticale e dopo il cristallo un polarizzatore con di-rezione di polarizzazione orizzontale. Il sistema deve modulare un'onda luminosa che si propaganella direzione dell'asse ottico z. Il cristallo viene sottoposto ad una tensione V πNv( t) , applicatanella direzione z, data da una componente continua e da una componente variabile nel tempo e taleche 0<v( t)<V π⁄2 . Le componenti del campo che si propaga, in uscita dal cristallo, vengonoespresse secondo gli assi della birifrangenza indotta come: Ex'=cosω t , E y'=cos(ω tMę) dove ę, sfasamento indotto dal campo applicato, vale naturalmente π , prodotto da V π , ridotto dellaquantità prodotta da v( t) . Si chiede di determinare i valori del campo in uscita dal polarizzatoreorizzontale quando v( t)=0 e quando v( t)=V π⁄2 .

Soluzione.

In questo esempio mostreremo due diversi metodi risolutivi.

Metodo 1

x

y

zPolarizzatore

Polarizzatore

x

y'

z

x'

y

x

y'

z

x'

y

Situazione iniziale Campo per t = 0 e v(t)=0 Campo per v(t)=π⁄2

Lo sfasamento indotto dal campo applicato è ę=πNα dove α è lo sfasamento indotto da v( t) .

Abbiamo le seguenti situazioni:

Tensione applicata alla lamina Ex' E y'

v( t)=0 V π cosω t cos(ω tMπ)

v( t)=π⁄2 V π⁄2 cosω t cos(ω tMπ2)

Per t = 0 e v( t)=0, Ex'=1, E y'=N1 . Il valore massimo del campo in uscita è EU= 2 .

Per t = 0 e v( t)=π2

, Ex'=1, E y'=0 . Al variare di t il campo con polarizzazione circolare ruota in

senso antiorario. Il valore massimo del campo è 1.

In generale al variare di v( t) il valore massimo del campo varierà tra 1 e 2 .

Metodo risolutivo alternativo (metodo dell'ampiezza complessa).

Rappresento il campo in ingresso secondo x', y' utilizzando l'ampiezza complessa. L'ampiezza com-plessa è tutto quello che non dipende dal tempo ovvero A e jφ , mentre non considero il terminee jω t .

I valori del campo in ingresso sono: x'=A e jφ , y'=A e jφ con φ qualsiasi.

In generale il campo può essere descritto:

ingresso uscitax' Ae j0 Ae j0

y' Ae j0 A e jφ1

Consideriamo il caso in cui ę1=π2

.

Dato che il polarizzatore in uscita è orizzontale quello che mi interessa trovare è la componenteorizzontale del campo in uscita. Proietto quindi su y le componenti di x' e y' e ottengo:

A e j0 cosπ4MA e

jπ2 cos

3π4=A e j0 cos

π4NA e

jπ2 cos

π4=A

22NA

22⋅(cos

π2M jsin

π2)

Se trascuro A ottengo che la proiezione su y vale 2

2N j

22

.

Il modulo e la fase valgono: | 22(1N j)|= 2

22=1 e

jπ4 . Come mi aspettavo, dato che la polariz-

zazione è circolare e avendo trascurato A, il modulo è unitario.

Consideriamo ora il caso in cui ę1=π .

Trascurando A la proiezione su y è data da:

e j0 cos3π4Me jπcos

π4=N

22M

22(cosπM jsinπ)=N 2

2N

22=N2

22= 2

In questo caso la proiezione su y ha modulo pari a 2 e fase nulla.

Se ę1=ę(v) ho la formulazione generica della proiezione sull'asse y.

Esempio 3

Si consideri una lamina tagliata da un cristallo elettro ottico uniassiale. Viene applicato un campoelettrico lungo l'asse z di 100V / cm. Si calcoli lo spessore della lamina in grado di trasformare dalineare lungo l'asse x a circolare la polarizzazione di un'onda in ingresso.

Siano noti i seguenti dati: n0 = 1,55 r63 = 0,83 10-12 m/V λ = 630 nm

Soluzione.

Per avere una polarizzazione circolare in uscita con polarizzazione lineare in ingresso la lamina de-

ve essere in λ / 4 e quindi lo sfasamento è ∆ę=2πL

λ (ny'Nnx')=2πL

λ∆ n=

π2

.

La situazione descritta dal testo è la seguente.

100V/cm

x

y

z

VL

L'applicazione di un campo elettrico provoca una rotazione degli assi di riferimento di 45°

x

y

x'y'

Nel nostro caso vale che ∆ n=n03 r63 E e quindi ∆ę=

2πL

λ (n03 r63 E)=π

2. Da questa relazione ri-

cavo lo spessore della lamina che è

L=π2

λ2π

1

n03 r63 E

=λ4

1

n03 r63 E

=630⋅10N7

4⋅3,724⋅0,83⋅10N10⋅100=509,56 cm

Questo valore per lo spessore della lamina indica che i dati forniti non sono molto realistici. Se in-vece applicassi un campo di 10 KV/cm otterrei per la lamina uno spessore L = 5,0956 cm molto piùverosimile.

Appendice: cristalli per l'optoelettronica.

Fig. A1 Parte ottica dello spettro elettromagnetico.

ADA arsenato deidrogenato di ammonio (NH4 H2 AsO4 )Materiale elettro-ottico poco utilizzato per la realizzazione di modulatori ottici. Possiede una discreta trasparenza nel visibile. Cristallo uniassiale.

ADP fosfato deidrogenato di ammonio (NH4 H2 PO4 )Utilizzato come trasduttore sonar.Possiede una buona trasparenza nel visibile e nel vicino IR da 0.2 a 1.2 micron.Cristallo piezoelettrico (isomorfo del KDP).r63 adatto alla configurazione elettro-ottica longitudinale, r41 alla trasversale.

KDA arsenato deidrogenato di potassio (KH2 AsO4 )Ottimo per applicazioni di bassa potenza e per realizzare modulatori a banda larga.Materiale piezoelettrico e ferroelettrico (isomorfo del KDP).

KDDP fosfato dideuterato di potassio (KD2 PO4 )Utilizzato nei campi della modulazione e della sensoristica.Trasparente tra i 0.2 e i 2.0 micron.Materiale elettro-ottico (isomorfo del KDP), cristallo uniassico.

KDP fosfato deidrogenato di potassio (KH2 PO4 )Trasparente in tutto il visibile e nel vicino UV (da 0.4 a 1.3 micron), completamente opaco nell'infrarosso.Cristallo elettro-ottico; sopra i 123K è uniassiale, esibisce effetti elettro-ottici lineari e quadratici; sopra e sotto la sua temperatura di Curie è piezoelettrico; materiale dielettrico non lineare.

KTN niobato di tantalato e potassio (KTax Nb1-x O3)Buone caratteristiche di trasmissione nell'IR fino a 5 micron.Presenta proprietà elettro-ottiche sopra la sua temperatura di Curie (è otticamente isotropo),eccellenti caratteristiche acustiche, buon comportamento alla modulazione e deviazione deiraggi laser, effetto elettro-ottico lineare sotto la temperatura di Curie e quadratico sopra; può essere utilizzato come isolante e come semiconduttore (tipo n).

niobato di litio (LiNbO3)Il più importante materiale per optoelettronica.Buone caratteristiche di trasparenza nel visibile e vicino IR.Materiale ferroelettrico.Possiede un elevato coefficiente elettro-ottico, elevata birifrangenza, un forte effetto piezoelettrico, eccellenti proprietà acustiche.

Proustite (Ag3 AsS3)Minerale ottimo per l'effetto elettro-ottico e ottica non lineare; largamente utilizzato nell'IRe in particolare per i laser a CO e CO2; si comporta anche da semiconduttore e fotocondut-

tore.Trasparente tra 0.6 e 13 micron.

tantalato di litio (LiTaO3)Applicazioni nel campo della modulazione e della sensoristica.Possiede proprietà elettro-ottiche, piezoelettriche e ferroelettriche.

BGO ossido di germanio e bismuto (Bi12 GeO20)Fortemente piezoelettrico, otticamente attivo, fotoconduttivo, esibisce un piccolo effetto elettro-ottico lineare.

semiconduttoriUtilizzati nella realizzazione di modulatori, interruttori e deviatori sia discreti che integrati.Buone proprietà elettro-ottiche.

Vediamo ora una tabella con gli indici di rifrazione di alcuni cristalli uniassiali.

Cristallo rij [10-12 m/V ] Indici di rifrazione n03 rij [10-12 m/V]

ADP

( fosfato di ammonio e deuterio)

r41 = 28

r63 = 8.5

n0 = 1.52

ne = 1.48

95

27

KDP

(fosfato di potasssio e deuterio)

r41 = 8.6

r63 = 10.6

n0 = 1.51

ne = 1.47

29

34

Quarzo r41 = 0.2

r63 = 0.83

n0 = 1.54

ne = 1.55

0.7

3.4

LiNbO3

(Niobato di litio)

r33 = 30.8

r13 = 8.6

r22 = 3.4

r42 = 28

n0 = 2.29

ne = 2.2

328

37

LiTaO3

(Tautanato di litio)

r33 = 30.3

r13 = 5.7

n0 = 2.17

ne = 2.18

314

BaTiO3

(Titanato di bario)

r33 = 23

r13 = 8

r42 = 820

n0 = 2.44

ne = 2.37

334

Nella pagina seguente riportiamo una tabella contenente il tensore elettro ottico lineare per i cristalliuniassiali.

Cristalli uniassiali tetragonali.

4 4 422 4mm 42 (2∥x1)

(0 0 r13

0 0 r13

0 0 r13

r41 r51 0r51 Nr41 00 0 0

) (0 0 r13

0 0 Nr13

0 0 0r41 Nr51 0r51 r41 00 0 r63

) (0 0 00 0 00 0 0r41 0 00 Nr41 00 0 0

) (0 0 r13

0 0 r13

0 0 r13

0 r51 0r51 0 00 0 0

) (0 0 00 0 00 0 0

r41 0 00 r41 00 0 r63

)Cristalli uniassiali trigonali.

3 32 3m (m⊥x1) 3m (m⊥x2)

(r11 Nr22 r13

Nr11 r22 r13

0 0 r33

r41 r51 0r51 Nr41 0Nr22 Nr11 0

) (r11 0 0Nr11 0 0

0 0 0r41 0 00 Nr41 00 Nr11 0

) (0 Nr22 r13

0 r22 r13

0 0 r33

0 r51 0r51 0 0Nr22 0 0

) (r11 0 r13

Nr11 0 r13

0 0 r33

0 r51 0r51 0 00 Nr11 0

)Cristalli uniassiali esagonali.

6 6mm 622

(0 0 r13

0 0 r13

0 0 r33

r41 r51 0r51 Nr41 00 0 0

) (0 0 r13

0 0 r13

0 0 r33

0 r51 0r51 0 00 0 0

) (0 0 00 0 00 0 0

r41 0 00 Nr41 00 0 0

)6 6 m2 (m⊥x1) 6 m2 (m⊥x2)

(r11 Nr22 0Nr11 r22 0

0 0 00 0 00 0 0

Nr22 Nr11 0) (

0 Nr22 00 r22 00 0 00 0 00 0 0

Nr22 0 0) (

r11 0 0Nr11 0 0

0 0 00 0 00 0 00 Nr11 0

)La notazione sopra le matrici indica il gruppo di simmetria.