Module #1 - Logic HY118-Διακριτά Μαθηματικά Την ...users.ics.forth.gr/~argyros/cs118_spring20/11_DM... · 2020. 3. 5. · • Ταυτότητες 2 Module #1

1Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό εξάμηνο 2020

11 –Επαγωγή

Module #1 - Logic

05-Mar-20 11

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Το υλικό των διαφανειών έχει

βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van

Deemter, από το

University of Aberdeen

Πέμπτη, 05/03/2020

Αντώνης Α. Αργυρόςe-mail: [email protected]

Module #1 - Logic

05-Mar-20 2

Την προηγούμενη φορά…

• Σύνολα/πολυσύνολα

• Ισότητα συνόλων

• Το κενό σύνολο

• Σχέσεις υποσυνόλου, υπερσυνόλου

• Πράξεις μεταξύ συνόλων

• Δυναμοσύνολο

• Αρχή εγκλεισμού/αποκλεισμού

• Ταυτότητες

2

Module #1 - Logic

05-Mar-20 3

Απόδειξη ισότητας συνόλων

Για να αποδείξουμε προτάσεις της μορφής

E1 = E2 (όπου τα E1, E2 είναι εκφράσεις

συνόλων), υπάρχουν τέσσερις βασικές τεχνικές:

1. Χρήση του πίνακα μελών

2. Διαγράμματα Venn

3. Απόδειξη ότι E1 E2 και E2 E1.

4. Χρήση ταυτοτήτων

3

Module #1 - Logic

05-Mar-20 4

Μέθοδος 1: Πίνακες μελών

• Κατ’ αναλογία με τους πίνακες αληθείας στον

προτασιακό λογισμό

• Στήλες για διαφορετικές εκφράσεις με σύνολα.

• Γραμμές για όλους τους συνδυασμούς

συμμετοχής στα σύνολα που απαρτίζουν τις

εκφράσεις

• Χρήση “1” για τα μέλη, “0” για τα μη-μέλη.

• Απόδειξη ισότητας με σύγκριση στηλών.

4



Module #1 - Logic

05-Mar-20 5

Παράδειγμα

Αποδείξτε ότι (AB)B = AB.

AA BB AABB ((AABB))BB AABB

0 0 0 0 0

0 1 1 0 0

1 0 1 1 1

1 1 1 0 0

5

Module #1 - Logic

05-Mar-20 6

Κι άλλο παράδειγμα

Αποδείξτε ότι (AB)C = (AC)(BC).

A B C AABB ((AABB))CC AACC BBCC ((AACC))((BBCC))

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

6

Module #1 - Logic

05-Mar-20 7

…συνέχεια

Αποδείξτε ότι (AB)C = (AC)(BC).

A B C AABB ((AABB))CC AACC BBCC ((AACC))((BBCC))

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 1 0 1 1

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 1 0 1

1 0 1 1 0 0 0 0

1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 0 0 0 0

7

Module #1 - Logic

05-Mar-20 8

Μέθοδος 2: Διαγράμματα Venn

• Αποδείξτε ότι (AB)B = AB

Α Β

8



Module #1 - Logic

05-Mar-20 9

Μέθοδος 2: Διαγράμματα Venn

• Αποδείξτε ότι (AB)B = ABΑ Β

AB =

(AB)B

9

Module #1 - Logic

05-Mar-20 10

Μέθοδος 3: υποσύνολα

Παράδειγμα: Δείξτε ότι A(BC)=(AB)(AC).

• Μέρος 1ο: Δείχνω ότι A(BC)(AB)(AC).

– Υποθέτω x(A(BC)), & δείχνω ότιx((AB)(AC)).

– Γνωρίζουμε ότι xA, και είτε xB είτε xC.• Περ. 1: xB. Τότε xAB, επομένως x(AB)(AC).

• Περ. 2: xC. Τότε xAC , επομένως x(AB)(AC).

– Άρα, x(AB)(AC).

– Άρα, A(BC)(AB)(AC).

10

Module #1 - Logic

05-Mar-20 11

Μέθοδος 3: υποσύνολα

Παράδειγμα: Δείξτε ότι A(BC)=(AB)(AC).

• Μέρος 2ο: Δείχνω ότι (AB)(AC) A(BC).

– Υποθέτω x((AB)(AC)) & δείχνω ότι x(A(BC)).

– Γνωρίζουμε ότι x(AB), ή x(AC).• Περ. 1: x(AB). Τότε xA και x(BC), επομένως

x(A(BC)).

• Περ. 2: x(AC). Τότε xA και x(BC), επομένωςx(A(BC)).

– Άρα, x(A(BC)).

– Άρα, (AB)(AC) A(BC).

• Άρα, A(BC)=(AB)(AC).

11

Module #1 - Logic

05-Mar-20 12

Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων

• Aπ’ευθείας με ταυτότητες ισότητας συνόλων

• Είτε με «μετάφραση» σε προτασιακή λογική,

• π.χ., δείξτε ότι A(BC)(AB)(AC).

Ποιά αντίστοιχη πρόταση θα πρέπει να αποδείξουμε στον προτασιακό λογισμό;

12



Module #1 - Logic

05-Mar-20 13


• Είτε απ’ευθείας με ταυτότητες συνόλων

• Είτε με «μετάφραση» σε προτασιακή λογική,

• π.χ., δείξτε ότι A(BC)(AB)(AC). Αρκεί να δείξουμε ότι η πρόταση

A(BC) (A B) (A C)

13

Module #1 - Logic

05-Mar-20 14


Πράγματι:

A(BC) (A B) (A C) ⇔

(A(BC)) ((A B) (A C) ) ⇔

(A(BC)) (A(BC)) ⇔ T

Κυκλικός συλλογισμός!

Απόδειξη με πίνακα αληθείας!

14

Module #1 - Logic

05-Mar-20 15

Διατεταγμένες n-άδες

• Για nN, μία διατεταγμένη n-αδα ή μίαακολουθία μήκους n γράφεται ως (a1, a2, …, an). Το πρώτο στοιχείο της είναι το a1, κλπ.

• Mπορούμε να έχουμε αντίγραφα στοιχείων

• H σειρά των στοιχείων έχει σημασία!

(1, 2) (2, 1) (2, 1, 1).

15

Module #1 - Logic

05-Mar-20 16

• Οι διατεταγμένες n-άδες έχουν πολλές εφαρμογές.

Για παράδειγμα,

• Μαθηματικές δομές συχνά περιγράφονται με μία

συγκεκριμένη διάταξη που επιτρέπει να ξέρουμε

πιο στοιχείο παίζει πιο ρόλο.

• π.χ., το (ℕ,<) είναι μία συγκεκριμένη δομή που

χρησιμοποιεί το < για να δημιουργήσει μία

διάταξη στο ℕ.

16



Module #1 - Logic

05-Mar-20 17

• Οι σχέσεις εκφράζονται μέσω n-αδων. Π.χ.:< = { (0,1), (1,2), (0,2), …) }

• Το πρώτο και το δεύτερο όρισμα μιας σχέσης μπορεί να προέρχεται από διαφορετικά σύνολα,

• π.χ. Προτιμάει_να_βλέπει = {(Κώστας, ειδήσεις), (Νίκος,ποδόσφαιρο), (Μαρία, ταινίες)}

• 1ο: στοιχεία από το σύνολο των ανθρώπων

• 2ο: στοιχεία από το σύνολο των προγραμμάτων της TV

17

Module #1 - Logic

05-Mar-20 18

Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων

• Για σύνολα A, B, το Καρτεσιανό τους

γινόμενο είναι το

AB : {(a, b) | aA bB }.

• π.χ. {a,b}{1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}

• Ο ορισμός επεκτείνεται για πολλά σύνολα:

A1A2…An={(a1,a2,...,an) | a1A1 a2A2 … anAn}

René Descartes

(1596-1650)

18

Module #1 - Logic

05-Mar-20 19


• Για σύνολα A, B

|AB| = |A||B|

• Σημειώστε ότι,

A,B: AB=BA

19

Module #1 - Logic

05-Mar-20 20


• {Κώστας, Μαρία, Νίκος}

{Νέα,Ταινίες}=

{ (Κώστας, Νέα), (Μαρία, Νέα),

(Νίκος, Νέα), (Κώστας, Ταινίες),

(Μαρία, Ταινίες), (Νίκος, Ταινίες) }

20



Module #1 - Logic

05-Mar-20 21

(21

Module #1 - Logic

• Για ένα δειγματικό χώρο U με διάταξη

x1, x2, …, αναπαράσταση ενός πεπερασμένου

συνόλου SU σαν το πεπερασμένο bit string

B=b1b2…bn όπου

i: xiS (1≤i≤n bi=1).

Π.χ. U=N, S={2,3,5,7,11}, B=01101010001.

• Σε αυτή την αναπαράσταση, οι βασικές πράξεις

συνόλων υλοποιούνται κατευθείαν με τις bitwise

πράξεις OR, AND, NOT…

05-Mar-20 22

Αναπαριστώντας σύνολα με Bit Strings

22

Module #1 - Logic

05-Mar-20 23

Αναπαριστώντας σύνολα με Bit

Strings

Π.χ., {2,3,5,7,11} {1,3,4,9}

01101010001 10110000100

=

11111010101

δηλ. το {1,2,3,4,5,7,9,11}

23

Module #1 - Logic

05-Mar-20 24

Αξιωματική θεωρία συνόλων

• Ένα βασικό αξίωμα: Δοσμένου μιας ιδιότητας / ενός κατηγορήματος P, κατασκεύασε ένα σύνολο ως τη συλλογή των αντικειμένων x που έχουν την ιδιότητα P.

• Ωστόσο, η προκύπτουσα θεωρία είναι λογικά ασυνεπής! – Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κάποιες προτάσεις p για τις οποίες να

μπορούμε να δείξουμε ότι και η p και η p προκύπτουν λογικά ώς αποτέλεσμα της θεωρίας μας!

– ... Δηλαδή ότι ξεκινώντας από τα αξιώματα οδηγούμαστε σε αντίφαση!

– Μια τέτοια θεωρία είναι θεμελιωδώς μη ενδιαφέρουσα, γιατί οποιαδήποτε πρόταση σε αυτή μπορεί (τετριμμένα) να“αποδειχθεί”

24



Module #1 - Logic

05-Mar-20 25

Παράδειγμα:

Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του ή όχι;• Έστω ότι σε μία πόλη ο κουρέας ξυρίζει όλους εκείνους

τους άντρες (και μόνο αυτούς) που δεν ξυρίζονται μόνοι τους.

• Ερώτηση: Ο κουρέας αυτός ξυρίζεται μόνος του ή όχι;

• Έστω ότι ξυρίζεται μόνος του. Άρα δεν ξυρίζεται μόνος του.– Δεν ανήκει στο σύνολο… άρα ανήκει (!)

• Έστω ότι δεν ξυρίζεται μόνος του. Άρα ξυρίζεται μόνος του.– Ανήκει στο σύνολο… άρα δεν ανήκει (!)

25

Module #1 - Logic

05-Mar-20 26

Η παράκαμψη του παράδοξου…

• Για να αποφύγουμε την ασυνέπεια, η θεωρία συνόλων

πρέπει με κάποιο τρόπο να τροποποιηθεί...

• Για περισσότερες πληροφορίες, διαβάστε για το παράδοξο

του Russel:

https://en.wikipedia.org/wiki/Russell's_paradox

26

Bertrand Russell

1872-1970

Module #1 - Logic

05-Mar-20 27

)27

Module #1 - Logic

05-Mar-20

Μαθηματική Επαγωγή

28



Module #1 - Logic

05-Mar-20

Μαθηματική επαγωγή

• Μία ισχυρή τεχνική για να αποδεικνύουμε ότι μια πρόταση της μορφής n 0 P(n)είναι αληθής.

• Τυπικά, η «πρώτη αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής» ορίζει τον παρακάτω κανόνα

εξαγωγής συμπερασμάτων:

P(0) (βάση της επαγωγής)

k0 (P(k)P(k+1)) (επαγωγικό βήμα)

n 0 P(n)29

Module #1 - Logic

05-Mar-20

Μαθηματική επαγωγή

• Μία ισχυρή τεχνική για να αποδεικνύουμε ότι μια πρόταση της μορφής n 0 P(n)είναι αληθής.

• Τυπικά, η «πρώτη αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής» ορίζει τον παρακάτω κανόνα

εξαγωγής συμπερασμάτων:

P(0) (βάση της επαγωγής)

k0 (P(k)P(k+1)) (επαγωγικό βήμα)

n 0 P(n) Μοιάζει με domino!30

Module #1 - Logic

05-Mar-20

Το “Domino Effect”

• Βάση της επαγωγής

P(0): Το ντόμινο #0 πέφτει.

• Επαγωγικό βήμα

k0 (P(k)P(k+1)):Για κάθε k0, εάν το ντόμινο

#k πέσει, τότε πέφτει και το

ντόμινο #k+1

• Συμπέρασμα:

• Όλα τα ντόμινο θα πέσουν!

31

Αυτό ισχύει και για

απείρως πολλά

ντόμινο!

Module #1 - Logic

Θυμηθείτε την άμεση απόδειξη:

• Έχουμε υποθέσεις p, θέλουμε να αποδείξουμε το συμπέρασμα q.

– Βρες ένα s1 τέτοιο ώστε p→s1

• Τότε o κανόνας modus ponens δίνει το s1.

– Μετά, βρές s2 τέτοιο ώστε s1→s2.• Τότε o κανόνας modus ponens δίνει το s2.

• ….

– … και τελικά βρίσκουμε ένα sn τ.ω.: sn→q.

05-Mar-20 32



Module #1 - Logic

05-Mar-20

Ορθότητα της επαγωγής

• Γιατί το n 0 P(n) είναι ένα ορθό συμπέρασμα, εάν η βάση της επαγωγής και η επαγωγική υπόθεση ισχύουν;

• Θεωρείστε ένα k 0. Το επαγωγικό βήμαk0 (P(k)P(k+1)) σημαίνει ότι(P(0)P(1)) (P(1)P(2)) … (P(k)P(k+1)) για κάθε k

• Η βάση της επαγωγής μας λέει ότι P(0).

• Μία εφαρμογή του Modus Ponens (σε συνδυασμό με το ότι (P(0)P(1))) μας δίνει ότι P(1).

• Άλλη μία μας δίνει ότι P(2), και ούτω καθεξής μέχρι την P(k+1) (για κάθε k).

• Επομένως, n 0 P(n). ■33

Module #1 - Logic

05-Mar-20

Οι επαγωγικές αποδείξεις έχουν μία

συγκεκριμένη δομή:

• Π.χ., αποδείξτε ότι n 0 P(n)…

– Αν αποδείξουμε τη βάση της επαγωγής και το

επαγωγικό βήμα, τότε από την αρχή της μαθηματικής

επαγωγής προκύπτει ότι n 0 P(n).

– Βάση της επαγωγής: Απόδειξη ότι P(0).

– Επαγωγικό βήμα: Απόδειξη ότι k P(k)P(k+1).

• Π.χ., μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε άμεση απόδειξη, ως

ακολούθως:

• Υποθέτουμε ότι για τυχαίο k, ισχύει ότι P(k). (επαγωγική

υπόθεση = ΕΥ)

• Με βάση αυτή την υπόθεση, αποδεικνύουμε ότι P(k+1).

34

Module #1 - Logic

05-Mar-20

Γενίκευση της επαγωγής

• Ο κανόνας μπορεί να γενικευτεί για να

αποδειχτεί ότι nc P(n) για μία σταθερά c,

όπου πιθανά, c 0.

– Σε αυτή την περίπτωση

– το βασικό βήμα είναι η απόδειξη της P(c) αντί

της P(0), και

– το επαγωγικό βήμα συνίσταται στην απόδειξη

του ότι kc (P(k)P(k+1)).

35

Module #1 - Logic

05-Mar-20

Ένα παράδειγμα επαγωγικής

απόδειξης• Αποδείξτε ότι n>0, n<2n.

– Έστω P(n)=(n<2n)

– Βάση επαγωγής: P(1)=(1<21)=(1<2)=Αληθές.

– Επαγωγικό βήμα: Πρέπει να δείξουμε ότι για κάθε k>0,P(k)P(k+1).

• Υποθέτουμε ότι P(k), δηλαδή ότι, k<2k και με βάση αυτό θα αποδείξουμε ότι k+1 < 2k+1.

• Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότιk<2k =>k+1 < 2k+1

< 2k + 2k (επειδή 1<2k, αφού k>0)= 2k+1

• Επομένως k+1 < 2k+1, (δηλαδή, P(k+1)). ΟΕΔ

– Επομένως, n>0, n<2n

36



Module #1 - Logic

05-Mar-20

Δεύτερο παράδειγμα

• Αποδείξτε επαγωγικά ότι το άθροισμα των πρώτων n περιττών φυσικών είναι ίσο με n2. Δηλαδή αποδείξτε ότι:

• «Για να φτιάξεις το επόμενο τετράγωνο, αρκεί να προσθέσεις τον επόμενο περιττό αριθμό»

2

1

)12(:1 ninn

i

37

Module #1 - Logic

05-Mar-20 38

Γεωμετρική ερμηνεία

«Για να φτιάξεις το επόμενο τετράγωνο, αρκεί

να προσθέσεις τον επόμενο περιττό αριθμό»

Module #1 - Logic

05-Mar-20 39




1

Module #1 - Logic

05-Mar-20 40




1

+3



Module #1 - Logic

05-Mar-20 41




1

+3

+5

Module #1 - Logic

05-Mar-20 42




1

+3

+5

+7

Module #1 - Logic

05-Mar-20 43




1

+3

+5

+7

+9

Module #1 - Logic

05-Mar-20 44




1

+3

+5

+7

+9

+11



Module #1 - Logic

05-Mar-20 45




1

+3

+5

+7

+9

+11

+13

Module #1 - Logic

05-Mar-20 46




1

+3

+5

+7

+9

+11

+13 =72

Module #1 - Logic

05-Mar-20

Δεύτερο παράδειγμα

• Αποδείξτε επαγωγικά ότι το άθροισμα των πρώτων n περιττών φυσικών ακεραίωνείναι ίσο με n2. Δηλαδή αποδείξτε ότι:

• Επαγωγική απόδειξη

– Βάση επαγωγής: Έστω n=1. Το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με 1, το οποίο ισούται με 12.

2

1

)12(:1 ninn

i

P(n)

47

Module #1 - Logic

05-Mar-20

Συνέχεια...

– Επαγωγικό βήμα: Αποδ. k1: P(k)P(k+1).

Έστω k1, υποθ. P(k), και απόδ. ότι P(k+1).

2

1

2

1

12

1

12

1

(2 1)

(2( 1) 1) (2 1) (2( 1) 1)

2 1 (2 1)

( 1) (2 1)

k

i

k

i

k

i

k

i

k i

k k i k

k k i

k i

48



Module #1 - Logic

05-Mar-20

Εναλλακτικά το επαγωγικό βήμα...



1

1 1

(2 1) (2 1) (2( 1) 1)k k

i i

i i k

49

Module #1 - Logic

05-Mar-20

Εναλλακτικά το επαγωγικό βήμα...



1

1 1

2

2

(2 1) (2 1) (2( 1) 1)

2 1

( 1)

k k

i i

i i k

k k

k

Από την επαγωγική

υπόθεση P(k)

50

Module #1 - Logic

Τετράγωνα

• Έστω P(n) =“Αν αφαιρέσεις

ένα τετράγωνο από ένα

πίνακα τετραγώνων 2n x 2n,

n>0, τότε μπορείς να καλύψεις

τα υπόλοιπα τετράγωνα με

κομμάτια σχήματος L που

έχουν τρία τετράγωνα το

καθένα.”

05-Mar-20 51

Module #1 - Logic

Τετράγωνα: βάση της επαγωγής

• Βάση της επαγωγής: n=1

• Πίνακας 2x2. Αν αφαιρέσουμε 1 (μπλέ), τα

υπόλοιπα 3 φτιάχνουν ένα σχήμα L με τρία

τετράγωνα (κόκκινο). Επομένως, η P(1)

ισχύει.

05-Mar-20 52



Module #1 - Logic

Τετράγωνα: επαγωγικό βήμα

• Επαγωγική υπόθεση: “αν αφαιρέσουμε ένα

τετράγωνο από ένα πίνακα διαστάσεων 2kx2k, τα

υπόλοιπα μπορούν να καλυφθούν με σχήματα L

τριών τετραγώνων.”

• Πρέπει να αποδείξουμε ότι αν ισχύει η επαγωγική

υπόθεση, τότε, αν αφαιρέσουμε ένα τετράγωνο

από ένα πίνακα διαστάσεων 2k+1x2k+1, τα

υπόλοιπα τετράγωνά του μπορούν να καλυφθούν

με σχήματα L τριών τετραγώνων.

05-Mar-20 53

Module #1 - Logic

Απόδειξη επαγωγικού βήματος

• Επαγωγικό βήμα: (2k+1) x (2k+1) ισοδύναμο με (2k·21) x (2k ·21), δηλαδή

4x(2kx2k). Αυτό είναι ένα τετράγωνο κατασκευασμένο από 4 τετράγωνα

διαστάσεων (2k x 2k).

• Από οποιοδήποτε από τα 4 τετράγωνα, αφαίρεσε ένα. Τότε αυτό, από την

επαγωγική υπόθεση μπορεί να καλυφθεί από σχήματα L τριών τετραγώνων.

• Τοποθέτησε ένα σχήμα L 3 τετραγώνων με τρόπο τέτοιο ώστε καθένα από τα

τρία τετράγωνά του να ανήκει σε ένα διαφορετικό από τα τρία εναπομείναντα

τετράγωνα μεγέθους 2k x 2k

• Σε καθένα από τα 3 αυτά τετράγωνα θα λείπει ακριβώς ένα μικρό τετράγωνο,

επομένως, από την επαγωγική υπόθεση, καθένα από αυτά, θα μπορεί να

καλυφθεί με σχήματα L τριών τετραγώνων.

• Επομένως, από την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, η πρόταση ισχύει για

κάθε φυσικό αριθμό n.

05-Mar-20 54

Module #1 - Logic

Οπτικοποίηση

05-Mar-20 55

Documents

Module #1 - Logic HY118-Διακριτά Μαθηματικά Την ...users.ics.forth.gr/~argyros/cs118_spring20/11_DM... · 2020. 3. 5. · • Ταυτότητες 2 Module #1