255Álgebra y trigonometría

Introducción

En trigonometría aparecen continuamente expresiones como sen ( ) !" o

cos (2 ) donde y ! son ángulos y es importante conocer el valor de estas

funciones, en términos de funciones de ángulos simples; además, al estudiar estas

funciones se estarán desarrollando funciones trigonométricas de cualquier ángulo,

como se verá más adelante.

Objetivos

1. Estudiar funciones trigonométricas de suma y diferencia de ángulos.

2. Estudiar funciones trigonométricas de ángulos dobles.

3. Estudiar funciones trigonométricas de ángulo mitad.

Preguntas básicas

1. ¿Cuáles son las funciones trigonométricas de suma de ángulos?

2. ¿Cuáles son las funciones trigonométricas de diferencia de ángulos?

3. ¿Cuáles son las funciones trigonométricas de ángulo doble?

Contenido

23.1 Funciones de diferencia y suma de ángulos

23.2 Funciones de ángulos dobles

Vea el módulo 23 delprograma de televisión

Álgebra y trigonometría

23Fórmulas de adición y de ángulo doble

Demócrito de Abderea (460-370 a. C.)

Demócrito es más conocido por su teoría atómica perotambién fue un excelente geómetra. Muy poco se conocede su vida, pero se sabe que Leucipo fue su profesor.

Pertenece a la línea doctrinaria de pensadores que naciócon Tales de Mileto. Esta escuela, así como la pitagórica yla eleática, que representan lo más grande del pensamientoanterior, le atribuye gran importancia a lo matemático.

Los atomistas pensaban distinto a los eleatas, pues mientraséstos no aceptaban el movimiento como realidad, sino comofenómeno, Leucipo y Demócrito parten de que elmovimiento existe en sí.Demócrito pone como realidadesprimordiales a los átomos y al vacío, o como dirían loseleatas, al ser y al no ser (recordemos que etimológicamentela palabra átomo, en griego, significa indivisible, lo queactualmente sabemos que no es así).

Se nota en Demócrito un esfuerzo por sustituir la noción decualidad por la de cantidad.

Se sabe que Demócrito escribió varios tratados degeometría y de astronomía, pero desgraciadamente todosse perdieron. Se cree que escribió sobre teoría de losnúmeros y encontró la fórmula B*h/3 que expresa elvolumen de una pirámide. Asimismo demostró que estafórmula se puede aplicar para calcular el volumen de uncono.

Se le atribuyen también los siguientes dos teoremas:

1. «El volumen de un cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro de igual base y altura»

2. «El volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura»

256

Capítulo 8: Trigonometría del círculo

23.1 Funciones de diferencia y suma de ángulos

Considérese un círculo de radio a y dos ángulos y ,! como en las figuras 23.1

y 23.2.

Figura 23.1. Gráfica ilustrativa para suma de ángulos Figura 23.2. Gráfica ilustrativa para suma de ángulos

En la figura 23.1, las coordenadas de P son ( cos , sen )a a y las de Q son

( cos , sen ).a a! !

La longitud de la cuerda PQ es la distancia entre los puntos P y Q. Por tanto, al

efectuar operaciones se tiene que:

2 2cos cos 2sen sen (1)PQ a a ! !# $ $

En la figura 23.2, el ángulo ! $ se ha trasladado a su posición estándar. La

longitud de la cuerda PQ no cambia; las coordenadas de Q, en esta figura, son

% &cos ( ), sen ( ) ,a a! ! $ $ mientras que las coordenadas de P son ( , 0).a

En esta figura, la longitud de la cuerda PQ viene dada por:

% &2 2 2cos ( ) sen ( )PQ a a a! ! # $ $ " $

2 2cos ( ). (2)a ! # $ $

Igualando las expresiones (1) y (2) y elevando al cuadrado se tiene que:

x

y

Q P

!

x

y

Q

P! $

Escuche Demócrito de Abdereaen su multimedia de Àlgebra ytrigonometría

257Álgebra y trigonometría

Módulo 23: Fórmulas de adición y de ángulo doble

2 2cos cos 2sen sen 2 2cos ( ). ! ! ! $ $ # $ $

Por tanto

cos ( ) cos cos sen sen! ! !$ # "

La anterior expresión es básica para evaluar funciones de suma de ángulos, ya que

de ella se desprenden las siguientes relaciones:

Si 0! # , cos ( ) cos0ºcos sen 0º sen . $ # "

O sea que:

cos ( ) cos $ #

Si ,2

'! # cos ( ) cos cos sen sen .

2 2 2

' ' ' $ # "

O sea que:

cos ( ) sen2

' $ #

De las dos anteriores relaciones se desprenden dos hechos, a saber:

1. El coseno de cualquier ángulo negativo es igual al coseno del correspon-

diente ángulo positivo.

2. El seno de un ángulo es igual al coseno del complemento.

Si en la relación cos sen2

' ( )$ #* +

, - se hace ,

2

' !# $ se tiene que:

cos sen .2 2 2

' ' '! !

. /( ) ( )$ $ # $* + * +0 1, - , -2 3

O sea que:

cos sen2

'! !( )# $* +

, -

De una manera similar se pueden deducir las relaciones siguientes:

tan cot2

' ( )$ #* +

, -

Visite el sitio

http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/

258

cot tan2

' ( )$ #* +

, -

sen ( ) sen $ # $

En consecuencia, el seno de cualquier ángulo negativo es igual a menos el seno

del correspondiente ángulo positivo.

Para demostrar las relaciones siguientes, hay que utilizar las relaciones demostra-

das con anterioridad.

sen ( ) sen cos sen cos! ! !$ # $

tan tantan ( )

1 tan tan

! !

! $

$ #"

4 5sen sen cos sen cos ! ! ! " # "

4 5cos cos cos sen sen ! ! !" # $

tan tantan ( )

1 tan tan

! !

! "

" #$

En los ejemplos siguientes se desarrollarán aplicaciones de las relaciones desarro-

lladas antes.

Ejemplo 22

Calcule el cos ( 750º ).$

Solución

cos ( 750º ) cos 750º

cos (720º 30º )

cos 720ºcos30º sen 720º sen 30º

cos 30º

3 .

2

$ #

# "

# $

#

#

Capítulo 8: Trigonometría del círculo

259Álgebra y trigonometría

Módulo 23: Fórmulas de adición y de ángulo dobleEjemplo 23

Calcule el sen ( 118º ).

Solución

sen ( 118º ) sen 118º

sen (90º 28º )

sen 90º cos 28º cos 90º sen 28º

cos 28º.

!

! "

!

!

Usando una calculadora científica, se obtiene que cos 28º 0.88295. !

Ejemplo 24

Si2

sen5

# ! y # está en el segundo cuadrante, y si tan 1$ ! y $ está en el

segundo cuadrante, calcule sen ( ).# $"

Solución

Se sabe que sen ( ) sen cos sen cos .# $ # $ $ #" ! "

Como2

sen ,5

# ! 2 2cos 1 sen .# #!

Por tanto, 21

cos5

# ! % . Y puesto que # está en el segundo cuadrante,

21cos .

5# !

De otra parte, como tan 1,$ ! se tiene que 2

sen2

$ ! y 2

cos .2

$ ! Susti-

tuyendo, se tiene que:

& '

& '

2 2 2 21sen

5 2 2 5

2 2 21 .

10

# $( ) ( ) ( )( )

" ! " * + * + * +* + * + * + * +, - , - , - , -

! "

23.2 Funciones de ángulos dobles

En muchas aplicaciones, especialmente en cálculo, se presentan funciones

trigonométricas de ángulos dobles en términos de un ángulo simple dado.

Si se toman como punto de partida las relaciones

& 'sen sen cos sen cos ,# $ # $ $ #" ! " cos( ) cos cos sen sen ,# $ # $ # $" !

y en ellas se hace # $! , se tendrá que:

260

Capítulo 8: Trigonometría del círculo

sen 2 2sen cos #

2 2cos 2 cos sen # $

De esta última relación se desprenden las siguientes fórmulas:

2 1 cos 2sen

2

$#

2 1 cos 2cos

2

"#

Además, si en la fórmula tan tan

tan ( )1 tan tan

! !

!"

" #$

se hace , !# se obtiene

2

2 tantan 2 .

1 tan

#

$

De las anteriores relaciones se pueden obtener las fórmulas para cot 2 ,

sec 2 , csc 2 .

Ejemplo 25

Halle las funciones trigonométricas de 2 si 1

sen2

# y está en el primer

cuadrante.

Solución

Si2 21 3

sen , cos 1 sen , cos .2 2

# # $ #

3sen 2 2 sen cos ,

2 # #

2 2 1cos 2 cos sen ,

2 # $ #

tan 2 3, # sec 2 2, #

3cot 2 ,

3 #

2 3csc 2 .

3 #

Ejemplo 26

Calcule las funciones trigonométricas de 75º utilizando las funciones trigonométricas

de 45º y 30º.

261Álgebra y trigonometría

Módulo 23: Fórmulas de adición y de ángulo doble

Solución

Aplicando las fórmulas para la suma de ángulos se obtiene:

sen 75º sen (45º 30º ) sen 45º cos30º sen 30º cos 45º

2 3 1 2 2( 3 1).

2 2 2 2 4

! !

! !

cos 75º cos (45º 30º ) cos 45º cos30º sen30º sen 45º

2 3 1 2 2( 3 1).

2 2 2 2 4

! "

" "

tan 45º tan 30ºtan 75º tan (45º 30º )

1 tan 45º tan 30º

11

3 13.

1 3 113

! !

"

!!

""

Ejemplo 27

Calcule las funciones trigonométricas de 15º" utilizando las funciones

trigonométricas de 45º y 30º.

Solución

Aplicando las fórmulas para la diferencia de ángulos se obtiene:

sen ( 15º ) sen (30º 45º ) sen 30º cos 45º sen 45º cos30º

1 2 2 3 2(1 3).

2 2 2 2 4

" " "

" "

cos ( 15º ) cos (30º 45º ) cos 45º cos30º sen 30º sen 45º

2 3 1 2 2( 3 1).

2 2 2 2 4

" " !

! !

tan30º tan 45ºtan ( 15º ) tan (30º 45º )

1 tan 30º tan 45º

11

1 33.

1 3 113

"" "

!

""

!!

262

Ejemplo 28

Calcule sen 150º utilizando las funciones trigonométricas de 30º y 60º.

Solución

Aplicando las fórmulas de la suma de ángulos y del ángulo doble se obtiene:

2 2

sen150º sen (120º 30º ) sen120º cos30º sen 30º cos120º

sen (2 60º )cos30º sen30º cos(2 60º )

2sen 60º cos60ºcos30º sen 30º (cos 60º sen 60º )

3 1 3 1 1 3 12 .

2 2 2 2 4 4 2

# " # "

# 6 " 6

# " $

( )# " $ #* +

, -

2 2

cos150º cos (120º 30º ) cos120º cos30º sen 30º sen120º

cos(2 60º ) cos30º sen 30º sen (2 60º )

(cos 60º sen 60º )cos30º sen30º (2sen 60ºcos60º )

1 3 3 1 3 1 32 .

4 4 2 2 2 2 2

# " # $

# 6 $ 6

# $ $

( )# $ $ # $* +, -

2

2

tan120º tan 30º tan (2 60º ) tan 30ºtan150º tan (120º 30º )

1 tan120º tan 30º 1 tan (2 60º ) tan 30º

2 3 12 tan 60ºtan 30º

1 3 31 tan 60º2 tan 60º 2 3 11 tan 30º 1

1 tan 60º 1 3 3

13

13.

2 3

" 6 "# " # #

$ $ 6

""$$# #

$ $$ $

$ "# # $

Ejemplo 29

Si3 5

cos , sen5 13

!# # y los ángulos , ! están en el primer cuadrante, calcule

cos ( ). !$

Solución

Como ambos ángulos están en el primer cuadrante, se tiene:

2 2.

9 4 25 12sen 1 cos 1 ; cos 1 sen 1

25 5 169 13 ! !## $ $ # # " $ # $ #

Capítulo 8: Trigonometría del círculo

263Álgebra y trigonometría

Módulo 23: Fórmulas de adición y de ángulo doblePor la fórmula de la suma de ángulos:

3 12 4 5 56cos ( ) cos cos sen sen

5 13 5 13 65 ! ! !$ # " # 6 " 6 # .

Ejemplo 30

Si1

cos , cot 23

!# # $ y está en el primer cuadrante, calcule tan ( ). !"

Solución

Como en el primer cuadrante, entonces

1 2 2 sen2sen 1 cos 1 ; tan 2 2.9 3 cos

# " $ # $ # # #

Además,1 1

tan .cot 2

!!

# # $ Por la fórmula de la suma de ángulos:

12 2

tan tan 4 2 12tan ( )11 tan tan 2 2 2

1 2 22

! ! !

6

$" $" # # # 6

$ ""

Ejemplo 31

Exprese cos (3x) en términos de cos x.

Solución

2 2 2

2 2

3

cos (3 ) cos ( 2 ) cos cos 2 sen sen 2

cos (cos sen ) 2sen cos

cos (2 cos 1) 2(1 cos )cos

4cos 3cos .

x x x x x x x

x x x x x

x x x x

x x

# " # $

# $ $

# $ $ $

# $

Ejemplo 32

Exprese sen (4x) en términos de sen x y cos x.

Solución

2 2

2 3

sen 4 sen 2(2 ) 2sen 2 cos 2 2(2sen cos ) ( cos sen )

4cos sen (1 2sen ) cos (4sen 8sen ).

x x x x x x x x

x x x x x x

# # # $

# $ # $

264

Ejemplo 33

Exprese cot (2x) en términos de cot (x).

Solución

Utilizando las fórmulas del ángulo doble para la tangente, tenemos:

2 22

11

1 1 tan cot 1cotcot ( 2 ) .

1tan (2 ) 2 tan 2cot2

cot

x xxx

x x x

x

$$ $

# # # #

Ejemplo 34

Calcule los valores de sen , cos2 2

x x( ) ( )* + * +, - , -

y tan2

x( )* +, -

si 4

sen5

x # y x es un ángulo

del primer cuadrante.

Solución

Utilizando las fórmulas del seno y el coseno del ángulo doble se obtiene:

2 2.

1 cos 2 1 cos 2sen ; cos

2 2

$ "# #

Y reemplazando 2

x # obtenemos:

2 22 2

.1 cos 1 cos

sen ; cos2 2 2 2

x x x x$ "( ) ( )# #* + * +, - , -

Como x es un ángulo del primer cuadrante, 2

x es también un ángulo del primer

cuadrante; por tanto:

2 2

.1 cos 1 cos

sen ; cos2 2 2 2

x x x x$ "( ) ( )# " #"* + * +, - , -

Reemplazando en las expresiones anteriores 2 2 9

cos 1 sen25

x x# $ # obtenemos:

9 91 1

4 34 425 25sen ; cos ; tan .2 2 2 2 25 2 5 2 34

x x x$ "

( ) ( ) ( )# # # # #* + * + * +, - , - , -

Capítulo 8: Trigonometría del círculo