MODULO DE ALGEBRA 2ieojuandeampudia.edu.co/wp-content/uploads/2020/03/...2002/09/02 · MODULO DE ALGEBRA 2 INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º ALGEBRA

MODULO DE ALGEBRA 2

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º Matemática ALGEBRA 2 1 DE 15

MODULO DE

ALGEBRA 2 2020

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Conjunto de los números complejos. El ejemplo típico de una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales

es ó , ya que no existe ningún real x tal que su cuadrado sea un número negativo. De

manera más general, la ecuación : , con coeficientes a ,b, c , no tiene solución real

sí . Se hace, por tanto, necesario ampliar el conjunto de los números reales a un conjunto donde puedan resolverse situaciones como las anteriores, de manera que esté en correspondencia biunívoca con una parte de él. Dicho conjunto es llamado: Conjunto de los números Complejos y se denota por la letra C. Estructura de los números complejos

concepto de numero imaginario

En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: es un número imaginario, así como o son también números imaginarios. En otras

palabras, es un número de la forma: en donde

Convencionalmente, se le llama imaginario puro, o simplemente imaginario, si el contexto no se presta a confusión; de otro modo, los términos número imaginario y número complejo quieren decir lo mismo.

Un número imaginario puro puede describirse como el producto de un número real por la unidad

imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 ( )

Definición de unidad imaginaria

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

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Definición

Un número que cuando se eleva al cuadrado (se multiplica por sí mismo) da un resultado negativo.

Intentos

Vamos a probar a elevar algunos números al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo: 2 × 2 = 4 (-2) × (-2) = 4 (porque negativo por negativo da positivo) 0 × 0 = 0 0.1 × 0.1 = 0.01

¡No hay suerte! Siempre positivo, o cero.

Eso es porque estamos calculando el cuadrado de números reales.

Pero imagina que hay un número (vamos a llamarlo i de imaginario) que cumpliera esto: i × i = -1

¿Sería útil, qué podríamos hacer con él?

Bueno, haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor para la raíz cuadrada de -1:

Y esto es muy útil... simplemente aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número negativo.

Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?

Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i

Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que multiplicar por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.

Ejemplos de números imaginarios

i 12.38i -i 3i/4 0.01i -i/2

Los números imaginarios no son "imaginarios"

De hecho hubo un tiempo en que se pensó que los números imaginarios eran imposibles, y por eso se llamaban "imaginarios" (a modo de broma).

Pero después hubo gente que investigó más y descubrió que son útiles e importantes porque rellenan un hueco en matemáticas... pero el nombre de "imaginario" se mantuvo.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/cuadrados-raices-cuadradas.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/multiplicacion-negativos.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-reales.html

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Utilidad

Aquí tienes dos ejemplos en los que son útiles:

Electricidad

La CA o AC (corriente alterna) cambia de positivo a negativo siguiendo una onda sinusoidal.

Si combinas dos corrientes alternas puede que no coincidan bien, y puede ser muy difícil calcular la nueva corriente.

Pero usar números reales e imaginarios juntos hace mucho más fáciles los cálculos.

Y el resultado puede ser corriente "imaginaria", ¡pero puede hacerte daño

potencias de unidad imaginaria: Propiedad interesante

La unidad imaginaria, i, tiene una propiedad interesante. "Da la vuelta" pasando por 4 valores diferentes cuando la multiplicas:

Son, i × i = -1,... después -1 × i = -i,... después -i × i = 1, ... después 1 × i = i (¡de vuelta i!)

Conclusión

La unidad imaginaria, i, es igual a la raíz cuadrada de menos 1 Los números imaginarios no son "imaginarios", son de verdad y son útiles, ¡y puedes tener que usarlos algún día!

Ejemplo: En la potenciación de números imaginarios, existen equivalencias e identidades que serían las siguientes: i⁰=1; i¹=i; i²=-1; i³=-i; i⁴=1 Estas notaciones se van repitiendo cada cuatro números, lo cual quiere decir que para saber cuál es un determinado valor de la potencia de un número imaginario o complejo, debemos dividir el exponente entre cuatro y el resto del exponente es la potencia equivalente según las identidades notables que anotamos anteriormente. Por ejemplo: i²⁶ Tomamos 26 y dividimos para 4, lo que nos da: 6×4+2=26 Sabiendo entonces que 2 es el exponente indicado según su equivalencia, decimos que: i²⁶ = (i⁴)⁶ × i² = 1⁶ × -1 = -1 Intenta averiguar cuál es el resultado de i²⁷. elementos de un numero complejo Son cinco los cuales se listan como: notación simbólica, representación gráfica, coordenada rectangular, norma y conjugado Notación simbólica todo numero complejo se representa con una pareja ordenada cuya primera componente es la parte real y segunda componente es la parte imaginaria z= (x; y) que podemos escribir también como un binomio de suma así : Z= x+yi Representación gráfica de un número complejo

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número

http://www.disfrutalasmatematicas.com/seno-graficos-ejercicio.html

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complejo a + bi se representa:

1 Por el punto (a, b), que se llama su afijo,

Coordenada rectangular

Cada complejo z = a+bi se representa por un vector con origen en el origen de coordenadas O, y extremo en el punto P(a, b). El punto P(a, b) se llama afijo del complejo. a, se representa sobre el eje de abscisas que recibe el nombre de eje real. b, se representa sobre el eje de ordenadas que recibe el nombre de eje imaginario Si b=0, el complejo a+bi se identifica con el número real a. Su afijo está sobre el eje real. Si a=0, el número complejo a+bi tiene sólo parte imaginaria, recibe el nombre de imaginario puro. Su afijo está sobre el eje imaginario. Si a=0 y b=0, el complejo a+bi es el complejo 0. Su afijo coincide con el origen de coordenadas.

conjugado de un numero complejo En matemáticas, el conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo de su componente imaginaria. Por lo tanto, el conjugado de un número complejo

(donde y son números reales) es

El conjugado es a menudo indicado como . Aquí, se utiliza la notación para evitar confusiones con la notación utilizada para indicar la transpuesta conjugada de una matriz (que puede pensarse como una generalización del conjugado de un

número). Notar que si el número complejo es tratado como una matriz , las notaciones son idénticas. Por ejemplo,

Conjugado de un número complejo

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas. Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi. Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales

http://es.wikipedia.org/wiki/Transpuesta_conjugada

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_%28matem%C3%A1tica%29

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Propiedades de los conjugados Primera propiedad El conjugado del conjugado de un complejo z es la propia z. Demostración: En efecto si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z

· Segunda propiedad Dados dos números complejos cualesquiera z y z’, el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Esto se expresa escribiendo que · Tercera propiedad El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

· Cuarta propiedad Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales. Demostración: Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado. Esto equivale a que a + bi = a - bi Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real. · Quinta propiedad La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales. Demostración: (a + bi ) + (a - bi ) = 2a (a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2

Norma de un numero complejo

Norma o Modulo La norma del número complejo (a, b) es a2 + b2. El modulo del número complejo z = a+ ib., se representa por |z|, es la raíz cuadrada de a2 + b2.

operaciones con números complejos Todo se lleva a la forma binomica y se trabajan como si fueran expresiones algebraicas Suma: Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios:

Ejemplo de suma:

el resultado es 7 + 4i

Resta: Al igual que en la suma, se opera como con los números reales ordinarios:

Multiplicación: Para multiplicar dos números complejos, se multiplica cada término del primero por los dos del segundo, con lo que obtenemos 4 términos (propiedad distributiva de la multiplicación):

Obsérvese que el término pasa a ser . Eso es porque . Ejemplo:

Y de esta forma queda : .

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División: La división de números complejos requiere un mayor trabajo que la multiplicación y partimos de un artificio previo, basado en que el producto de un numero complejo por su conjugado da como resultado

un número real: Así, la división de dos números complejos, la multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador, que es lo mismo decir que multiplicamos dividendo (numerador) y divisor (denominador), por el conjugado del divisor (denominador).

Potencias Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables (cuadrado de

la suma). Se debe tener en cuenta la igualdad :

ACTIVIDAD # 5

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EJERCICIOS RESUELTOS

;Esta expresión se lee, “raíz cuadrada de menos 4”, de manera práctica se puede resolver este ejemplo aplicando los siguientes pasos: Paso 1: Se saca el signo negativo de la raíz y el signo se

convierte en i. ;Paso 2: Resolver la raíz. ;

Resultado: NOTA: Recuerda que en el resultado de una raíz cuadrada SIEMPRE se obtienen dos valores, uno positivo y uno negativo.

Resuelve el siguiente ejercicio: Paso 1: Se saca el signo negativo de la raíz y el signo se convierte

en i. Paso 2: Resolver la raíz. Resultado: NOTA: Recuerda que en el resultado de una raíz cuadrada SIEMPRE se obtienen dos valores, uno positivo y uno negativo.


en i. Paso 2: Resolver la raíz. Como 8 no tiene raíz cuadrada exacta, es por ello que se debe simplificar el radical de la siguiente manera:

Resultado:


en i. Paso 2: Resolver la raíz.

Resultado:

Resuelve el siguiente ejercicio: Paso 1: Se saca el signo negativo de la raíz y el signo se

convierte en i. Paso 2: Resolver la raíz. ;

Resultado RECUERDE QUE: Un número complejo está definido por una parte real y otra imaginaria. Se denota un número complejo con. Donde la primera parte siempre debe de ser la parte real y la segunda siempre la imaginaria. Ejemplos de números complejos:

Operaciones con números complejos (suma, resta, multiplicación y división) Como cualquier otro número, se pueden realizar operaciones tales como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.

Resuelve el siguiente ejercicio: Paso 1: Para poder realizar esta operación es necesario comprender que se suman términos semejantes, donde los términos semejantes se dividen en reales e imaginarios, así que se suman los reales con los reales y los imaginarios con los

imaginarios.

Resultado:

Resuelve el siguiente ejercicio: Paso 1: Para poder realizar esta operación es necesario comprender que se suman términos semejantes, donde los términos semejantes se dividen en reales e imaginarios, así que se suman los reales con los reales y los imaginarios con los

imaginarios.

Resultado:

Resuelve el siguiente ejercicio: Paso 1: Eliminamos signos de

agrupación: Paso 2: Se suman términos semejantes:

Resultado:

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Resuelve el siguiente ejercicio: Paso 1: Se aplica el producto notable binomio al cuadrado:

En este ejemplo aparece un valor que es , ¿Cuánto vale? Paso 2: Para determinarlo es necesario remitirnos con la definición de número imaginario la cual

es: Paso 3: Si se eleva al cuadrado ambos lados de la igualdad, se tiene:

Resultado:

Resuelve el siguiente ejercicio: Paso 1: Se realiza la

multiplicación: Paso 2: Se multiplica nuevamente:

Resultado:

Resuelve el siguiente ejercicio: Paso 1: Para resolver este ejemplo, lo que se debe de hacer es la racionalización, la cual consiste en eliminar del denominador los números imaginarios. Para ello se debe de multiplicar la ecuación por un número tal que elimine el número imaginario, para esto se multiplica por el conjugado del denominador.

Paso 2: Se multiplica TODA la ecuación por UNO, ya que es igual a 1, por lo cual la ecuación sigue siendo la misma. Pero en el denominador queda expresado un producto notable, el cual es “Binomio conjugado”:

Resultado

Resuelve el siguiente ejercicio: Paso 1: Se multiplica por el conjugado del denominador:

Paso 2: Simplificando:

Resultado

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EJERCICIOS PROPUESTOS ACTIVIDAD # 6 elaborar un trabajo en normas Icontec donde investigue o consulte sobre el teorema de moivre y la aplicación de los números imaginarios o complejos en la vida real ACTIVIDAD # 7

¿Al resolver la ecuación 3n2 – 5= -17 su solución es? a) n = 22 b) n = 4 c) n = 4 d) n = -25

EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS Cuando en los problemas de la vida real se modelan ecuaciones de la forma X2 +1 = 0 en general raíces pares de números negativos, no se encuentra una solución con los números que conocemos. Por tal motivo se generó un nuevo conjunto numérico llamado números complejos cuya unidad principal

está representada con la letra (i) y se denomina unidad imaginaria. 1 = i

1.- al resolver: - ) resulta: a) b) - c) 1 + d) ninguna

2. utilizando la definición de la unidad imaginaria indica cuál de las siguientes expresiones corresponde a un número imaginario

a) 25 b) )5( 2 c) 5 d) 3 8

3. Al realizar la suma de 9i/7 + 3i/7 su solución es a) 12i / 7 b) 17i / 14 c) 7i / 3 d) 7i / 9 4.- Al calcular resulta: a) -3 b) 3 c) -3 d) 3

5.- si tenemos la ecuación :(x)3 =- 8, una de las siguientes expresiones no corresponde a la solución correcta a. -2i b. 2i c. 2 d. -2 ACTIVIDAD # 8

ACTIVIDAD # 9

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EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS Sea el número complejo en forma cartesiana rectangular Z= (-12;-5) entonces conteste las siguientes preguntas: 1.-El módulo de Z expresado como equivale a:

a. -17 b. -7 c. 13 d. -13 2.- el conjugado de Z es:

a. -12-5i b. 12-5i c. 12+5i d. -12+5i ACTIVIDAD # 10 Resolver:

1) (-5+3i) - (6+4i)

2) (-3.8+2.4i) - (1.3+0.5i)

3) (2+3i)(5-6i)

4) (-1-2i)(-1+2i)

5) EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS Sean los números complejos Z1= (-4;-3) y Z2= (-15; 8)

1.- ¿La suma de Z1 y Z2 es?:

a. -11-11i b. -19-5i c. 11-5i d. -19+5i

2.- El producto de Z1 y Z2 es?:

a. -36-13i b. 84-13i c. 84+13i d. 36+13i

ACTIVIDAD # 11 Investigar sobre la forma polar y trigonométrica de un número complejo

PRE-EXAMEN ACUMULATIVO DE PERIODO

NOMBRE DEL ESTUDIANTE ÁREA/

ASIGNATURA

GRADO

ALGEBRA 2 9-1;9-2 Y 9-3

Cuando en los problemas de la vida real se modelan ecuaciones de la forma X2 +1 = 0 en general raíces pares de números negativos, no se encuentra

una solución con los números que conocemos.

Por tal motivo se generó un nuevo conjunto numérico llamado números complejos cuya unidad principal está representada con la letra (i) y se

denomina unidad imaginaria.

1 = i., teniendo en cuenta la anterior definición, conteste las preguntas 1-5


2. utilizando la definición de la unidad imaginaria indica cuál de las siguientes expresiones corresponde a un número imaginario

a) 25 b) )5( 2 c) 5 d)3 8

3. Al realizar la suma de 9i/7 + 3i/7 su solución es

a) 12i / 7 b) 17i / 14 c) 7i / 3 d) 7i / 9

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4.- Al calcular resulta: a) -3 b) 3 c) -3 d) 3

5.- si tenemos la ecuación :(x)3 =- 8, una de las siguientes expresiones no corresponde a la solución correcta

a. -2i b. 2i c. 2 d. -2

6.- Use la siguiente información: un terreno de forma rectangular mide (a + 2) metros de largo y (a-1) metros de ancho, debido a un nuevo loteo,

aumento su ancho en b metros y disminuyo en b metros su largo Determine la nueva área del terreno.

A. a2 +a +2-b+b2 B. a2 -a +2-b+b2 C. a2 +a +2-b-b2 D. a2 +a -2+b+b2 7.-

racionaliza y simplifica al máximo tu respuesta

A. 10+4 6 B. - 10+4 6 C. 10-4 6 D. - 10+4 6

LABORATORIO MATEMATICO 1

12.- ¿HAY POSIBILIDAD DE AMPLIAR EL CAMPO NUMERICO COMPLEJO A OTRO QUE LO

ABARQUE? SI O NO Y PORQUE?

ACTIVIDAD DEL PRIMER PERIODO CURSO: 9-02 ALUMNO: __________________________________________________________

CALIFICACIÓN: ______________________

LA ACTIVIDAD CONSTA DE TRES PARTES ASÍ: PARTE I Elaborar un trabajo con normas de presentación donde involucre los siguientes parámetros: definiciones o conceptos, formulas, demostración de las formulas, dibujos, gráficos, tablas o esquemas, ejemplos con números y aplicaciones a la vida real; para los siguientes temas:

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1.- Aplicación de los números imaginarios y complejos en la vida real(5 situaciones diferentes) 2.- Problemas que se resuelven con números reales con una ecuación lineal o de primer (5 problemas entre: de la misma matemática, de la ingeniería, de la economía, de la medicina, de la arquitectura, de la contabilidad, etc.) 3.- resumir en dos tablas :( todas las 7 operaciones con números reales y todas sus propiedades para cada operación) PARTE II RESOLVER EL SIGUIENTE TALLER PASO A PASO INCLUYENDO EL DESARROLLO DE CADA EJERCICIO: A continuación encontrará un cuestionario de 25 ejercicios o preguntas cada una con cuatro distractores: a),b),c) y d). Usted deberá seleccionar la respuesta correcta y marcar rellenando con negrilla en el ovalo respectivo del cuadro de respuestas, ojo usted debe desarrollar punto por punto. Para las preguntas 1 y 5 Cuando en los problemas de la vida real se modelan ecuaciones de la forma X2 +1 = 0 generan raíces pares de números negativos, cuya solución no se encuentra con los números que conocemos. Por tal motivo se generó un nuevo conjunto numérico llamado números complejos cuya unidad principal está representada con la letra (i) y se denomina

unidad imaginaria. 1 = i

1. utilizando la definición de la unidad imaginaria indica arriba cuál de las siguientes expresiones corresponde a un número imaginario

A) 25 B) )5( 2 C) 5 D)3 8


3.- al calcular resulta: a) -3 b) -3 c) 3 d) b y c son correctas

4. Al simplificar al máximo la expresión: resulta:

A) 24i B) 28i C) 48i D) 44i

5.- Al resolver el siguiente ejercicio: resulta:

A) i76 B) i76 C) i76 D) i76 6.- la fracción que genera el número decimal 15, 8066666666666…. es: A) 15806/1000 B) 1000 /15806 C) 2371/150 D) ninguna

7.-Al amplificar y racionalizar la expresión nos da: a) 4 b) c)2 d) ninguna

8.- Al expresar en notación científica con redondeo a las centésimas el siguiente número decimal: 9999998888777665540,0095 resulta: a) 9,9 x 1018 b) 9,9x1019 c) 1019 d) ninguna

9.-Al amplificar y racionalizar la expresión nos da: a) 9 b) c)3 d) no existe

10.- Al resolver 58π -39e +35e -25π +3e -8π resulta: a) 0 b) -6e c) 20π d) ninguno

11.- Al resolver resulta:

a.-) b.-) c.-) d.-)

12.- Al resolver resulta: a.-) 1 b.-) c.-) 0 d.-)

13.- Al operar resulta:

a.-) -8 b.-) c.-) 8 d.-) -16

14.- Al resolver la expresión 2176782336 resulta:

a) 6 b) 12 c) 10 d) 24

15.- Al simplificar al máximo la raíz 4 818 resulta:

a) 18 b) 36 c) 162 d) 324

16.- el producto de (8-2 ) por (8+2 ) es: a) - 44 b) 64 c) 20 d) 44

17.-Compré en el mercado dos libras de tomates a $650 la libra, 3 libras de cebolla a $1150 la libra y una caja de 15 huevos en $ 3750. Si pagué con un billete de $ 10000. ¿Cuál fue mi devuelta? a. -) 1000 b. -) 1250 c. -) 1500 d. -) 2000

18.-) Para pintar un metro cuadrado se necesitan 0,6 litros de pintura.

(Las ventanas son rectangulares de 1 m de largo y 0,7 m de ancho, y la puerta mide 1,95 m de largo y 0,98 m de ancho). ¿Cuántos litros de pintura se necesitarán aproximadamente para pintar el frente de esta casa? a) 27 litros b) 15 litros c) 16 litros d) 30 litros

3,5 m

8,5 m

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19.- Al resolver 5,02

1

resulta: a.-) 1 b.-) --1 c.-) -0,5 d.-) 0

20.- Si los lados iguales de un triángulo isósceles es 18 unidades menos que la base y el perímetro del mismo es 288 cm, entonces el área del triángulo es? a) 7776 cm b) 7776 cm2 c) 7776 cm 3 d) ninguno de las anteriores 21.- El área del paralelepípedo que se indica sabiendo el valor de sus dimensiones Largo = 4x+7 anchos =3x-2 y alto= 2x-1 es: a) 52x2 + 60x – 38 b) 8x2 + 10x – 7 c) 6x2 - 7x + 2 d) 12x2 + 13x – 14

22.- Usando el triángulo de pascal los coeficientes de la expresión (a-b) 5 son:

a) 1;- 5;10;-5;1 b) 1;- 5;10;-10; 5;-1 c) 1;-5;10; -6;10; -5; 1 d) 1;- 5 ;10; -20;10; -5 ; 1 23.- el valor numérico de la expresión algebraica -3x5 + 2y3 - 5x2 sabiendo que x= -1, y = -2 es: a) -14 b) 4 1 c) -18 d) 18

24.- Al despejar la letra x de la siguiente ecuación 1238

482

x resulta:

a) x= - 4 b) x=1 c) x = -2 d) x=6

25.- Si un rectángulo tiene de largo tres centímetros menos que cuatro veces su ancho, y su perímetro es diecinueve centímetros, ¿Cuál es el área del

rectángulo?

a.-) 25,10cm2 b.-) 17,5cm2 c.-) 28cm2 d.-) ninguno

TABLA DE RESPUESTAS

NOMBRE DEL ESTUDIANTE ÁREA/ ASIGNATURA GRADO

Algebra 2

9°

CUADRO DE RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8

1

9

2

0

2

1

2

2

2

3

2

4

2

5

a

b

c

d

¡ÉXITO! ¡FRACASO

ENTREGAR EL ANTERIOR TALLER RESUELTO TOTALMENTE CON SU RESPECTIVO DESARROLLO PASO POR PASO

COMO JUSTIFICACIÓN DE CADA UNA DE LAS PREGUNTAS, EN UN PORTA FOLIO Y PRESENTAR EXAMEN ESCRITO

PARA SUSTENTACIÓN DEL MISMO

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CONCLUSIÓN "Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber

" Albert Einstein

El Número

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