Módulo Geometrìa 2013

7/27/2019 Mdulo Geometra 2013

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Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica

1

UNIDAD ACADMICA DE MATEMTICAS

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA

CICLO I 2013

ICA PER

CENTRO DE ESTUDIOSPREUNIVERSITARIOS


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Centr o de Estudios Preuniversitari os de la U.N.ICA CICLOI - 2013

Unidad Acadmica de Matemtica Asignatura: Geometra2


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3

AUTORIDADES UNIVERSITARIAS

Dr. Alejand ro Gabriel ENCINAS FERNNDEZRector

Dr. Mario Gustavo REYES MEJAVice - Rector Acadmico

Dr . Mxim o Isaac SEVILLANO DAZVice - Rector de Investigacin y Desarrollo


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CENTRO DE ESTUDIOS

PREUNIVERSITARIOS

DIRECTORIO

Dr. Pedro Marcelino VELSQUEZ RUBIO

DIRECTOR GENERALMg. Javier Eduardo MAGALLANES YUI

DIRECTOR ACADMICO

Mg. Carlos Vcto r BENAVIDES RICRADIRECTOR ADMINISTRATIVO


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CENTRO DE ESTUDIOSPREUNIVERSITARIOS

COORDINADORES DE UNIDADES ACADMICAS

Mg. Csar LOZA ROJASU.A. DE MATEMTICAS

Mg.Juan PISCONTE VILCA

U.A. DE CIENCIAS NATURALES

Ing. ArcadioBenito PARVINA CARRASCOU.A. DE RAZONAMIENTO

Lic. Frediberto MALDONADO ESPINOZAU.A. DE HUMANIDADES


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CONTENIDO

BLOQUE II UNIDADES 9 - 16

GEOMETRA

CONTENIDO PAGINAUNIDAD 9 SEGMENTOS Y ANGULOS 08

9.1. ELEMENTOS GEOMTRICOS 089.2. ANGULOS 099.3. CLASIFICACION DE NGULOS 10

9.4. NGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELASY UNA RECTA SECANTE 139.5. NGULO DE LADOS PARALELOS 159.6. ANGULO DE LADOS PERPENDICULARES 15

UNIDAD 10TRINGULOS PROPIEDADES, LINEAS, PUNTOS NOTABLESCONGRUENCIA DE TRINGULOS

27

10.1. DEFINICIN 2710.2. ELEMENTOS 2710.3. CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS 2710.4. CONGRUENCIA DE TRINGULOS 2710.5. LINEAS NOTABLES DE UN TRINGULO 28

10.6. TRINGULOS RECTANGULOS NOTABLES 30UNIDAD 11 POLIGONOS - CUADRILTEROS 4711.1. POLGONOS 4711.2. ELEMENTOS DEL POLGONO 4711.3. REGIN POLIGONAL 4711.4.NGULO INTERIOR Y EXTERIOR DEL POLGONO 4811.5. DIAGONAL DE UN POLIGONO 4811.6. DIAGONAL MEDIA 4811.7. CLASIFICACIN DE LOS POLGONOS 4811.8. PROPIEDADES 4911.9. CUADRILTEROS 51

UNIDAD 12 CIRCUNFERENCIA PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DETRINGULOS 61

12.1. CIRCUNFERENCIA 6112.2. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA 6112.3. PROPIEDADES 6112.4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 6212.5. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES A UNA

CIRCUNFERENCIA63


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7

12.6.CUADRILTERO INSCRITO EN UNA CIRCINFERENCIA 6412.7.NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y SU MEDIDA 6512.8.SEMEJANZA DE TRINGULOS 6712.9.SEMEJANZA DE TRINGULOS 67

UNIDAD 13 RELACIONES MTRICAS DE UN TRINGULO 82

13.1 RELACIONES MTRICAS EN UN TRINGULORECTANGULO 82

13.2 PROPIEDADES 8213.3 RELACIONES MTRICAS EN TRINGULOS

OBLICUANGULOS83

UNIDAD 14RELACIONES MTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA YREAS DE REGIONES POLIGONALES Y CIRCULARES

95

14.1 TEOREMA SOBRE RELACIONES MTRICAS ENTRELAS LINEAS DE LA CIRCUNFERENCIA

95

14.2 REA 9614.3 PROPIEDADES DEL REA 96

14.4 RELACIONES ENTRE LAS REAS DE DOS REGIONESTRINGULARES

100

14.5 PROPIEDADES 100UNIDAD 15 GEOMETRA DEL ESPACIO 113

15.1 POSICIONES RELATIVAS 11315.2 DETERMINACION DE UN PLANO 11515.3 NGULO Y MINIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

ALABEADAS115

15.4 ANGULO DIEDRO 11615.5 ANGULO POLIEDRO 11615.6 PROPIEDADES GENERALES DEL TRIEDRO 117

15.7 CLASIFICACIN DE LOS TRIEDROS 11715.8 POLIEDROS 11715.9 PRISMA 11915.10 PARALELEPIPEDO 12015.11 CUBO 12015.12 REA LATERAL, AREA TOTAL Y VOLUMEN DE UN

PRISMA121

15.13 PIRMIDE 12115.14 SEMEJANZA DE PIRMIDES 12415.15 TRONCO DE PIRMIDE 124

UNIDAD 16 CILINDRO, CONO Y ESFERA 13316.1 CILINDRO: AREAS Y VOLUMEN 13316.2 CONO : REAS Y VOLUMEN 13616.3 ESFERA: REAS Y VOLUMEN. 139


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9.1. ELEMENTOS GEOMTRICOSLos elementos Geomtricos son abstractos o ideales. Para representar a es-tos elementos se utilizan figuras que han sido ideadas despus de observarcuerpos materiales.

EL PuntoEs un concepto abstracto cuya existencia aceptamos dndole una propiedadde ser tan pequeo que no tiene dimensin y se le designa por una marca

. A La Recta

Es la extensin considerada en una sola dimensin: La Longitud.Los puntos que pertenecen a una recta sedenominanCOLINEALES.

La recta se considera como un conjunto infinito de puntos alineados en unamisma direccin.Para denotar una recta se escribe:

Recta AB y se simboliza: AB o Recta L y se simboliza: L

El Plano.-No tiene espesor y sus dimensiones son infinitas.

El plano se considera como un conjunto infinitos de rectas o de puntos.Unplano se representa por:

Se lee plano P

RayoEs cada uno de los conjuntos de puntos determinados al ubicar un punto so-bre la recta.

Para denotar un rayo se escribe: Rayo OA y se simboliza:

Segmento de rectaEs la porcin de recta comprendida entre dos puntos, a los cuales se les

llama extremo del segmento y se le simboliza por: AB

Postulado:

A B

P

A B

OA

UNIDAD

9SEGMENTOS Y NGULOS

L

AO


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9

La distancia ms corta entre dos puntos es el segmento de recta que losune.

Para denotar la longitud delAB se usaran los siguientes smbolos: AB

mAB .El punto medio de un segmento es aquel que divide al mismo en dos seg-mentos de igual longitud.

Segmentos consecutivosDos o ms segmentos son consecutivos, cuando cada uno tiene con el si-guiente un extremo comn.

BCyAB Son segmentos consecutivos.

9.1.1. Relacin entre segmentos Dos segmentos son congruentes si y solo si sus medidas son iguales.

CDABCDAB

Dados (segmentos)AB y CD , entonces se cumple una y slo una de

las siguientes relaciones:i) AB > CD ; ii) AB < CD iii) AB = CD

9.1.2. Operaciones entre las medidas de segmentosEs posible efectuar las cuatro operaciones aritmticas;adicin, sustrac-cin, multiplicacin y divisin.

9.2. NGULOEs la porcin del plano limitado por dos rayos, que tienen un origen comn. Losrayos reciben el nombre de lados y el origen comn se llama vrtice

Un ngulo se designa de las siguientes formas:

ngulo AOB, ngulo BOA ngulo O, y se simboliza:

A B C

O

B

A

A

B

C

D


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AOB, BOA . O.

Cuando no hay lugar a confusin los ngulos se denotan por letrasminsculas, nmeros o letras del alfabeto griego.

Para denotar la medida de un ngulo AOB se usara el smbolo:

mAOB Dos ngulos son congruentes si y solo si sus medidas son iguales.

AOB COD mAOB = mCOD

9.2.1. Interior y exterior de un nguloConsiderando un ngulo AOB. El interior es la interseccin de dos semi-planos, el semiplano de la recta OB que contiene a A y el semiplano de laRecta OA que contiene a B.El exterior del ngulo AOB es el conjunto de todos los puntos del planodel ngulo que no estn en el ngulo ni en su interior.

9.2.2. Bisectriz de un nguloEs un rayo que partiendo del origen comn divide al ngulo en dos ngu-los iguales.

OB es bisectriz delAOC

9.3. CLASIFICACIN DE LOS NGULOS

9.3.1. Segn su magnitud:

A. ngulo nuloEs aquel que mide 0

mAOB = 0

AOB BOA O .

B

A

OINTERIOR

A

B

EXTERIOR

O

B

A

C

O

O A B


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11

B. Angulo convexoEs aquel cuya medida es mayor que 0 pero menor que 180. Puedeser: Agudo (mayor que 0 y menor que 90) ;

0 90

Recto (igual a 90) ;

mABC = 90

Obtuso (mayor que 90 y menor que 180)

90 180

C. ngulo LlanoEs aquel que mide 180, es decir

mAOB = 180

D. ngulo cncavoEs aquel cuya medida es mayor que 180 y menor que 360;

m180 360AOB

E. ngulo de una vueltaEs aquel que mide 360.

mAOB = 360

A

CB

A

B

O

OB A

180

OBA

C

B

O


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9.3.2. Segn su caracterstica:A. ngulos complementarios

Son dos ngulos cuyas medidas suman 90.Si un ngulo mide su complemento mide: 90 - .

+ = 90

B. ngulos suplementariosSon dos ngulos cuyas medidas suman 180. Si un ngulo mide ,su suplemento mide:180 -

+ = 180

9.3.3. Segn su posicin:

A. ngulos adyacentesSon dos ngulos de vrtice comn y lado comn, adems estn situa-dos a uno y otro semiplano determinados por el lado comn

AOB y BOCson adyacentes

B. ngulos consecutivosSon tres o ms ngulosde vrtice comn que de dos en dos son

adyacentes.

AOB BOCy COD son consecutivos

C. ngulos opuestos por el vrticeSon los ngulos que tienen el mismo vrtice y sus lados tienen senti-dos opuestos. Los ngulos opuestos por el vrtice tienen igual medida

AB

C

O

BC

D

OA


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13

PROPIEDADES:P.1. La suma de las medidas de los ngulos consecutivos formados alrededor de

un punto y a un mismo lado de una recta es 180P.2. La suma de las medidas de los ngulos consecutivos formados alrededor de

un mismo punto es 360

P.3. Las bisectrices de dos ngulos adyacentes forman un ngulo recto.9.4. ANGULO FORMADO POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA

SECANTE.Sean las rectas paralelas L1 y L2 y la recta L3 (secante ) tal como se indica en lafigura

Se han formado ocho ngulos, los cuales se clasifican en:

Internos.-3; 4; 5; 6

Externos.-1; 2; 7; 8

P.4. Los ngulos correspondientes son congruentes.

ngulos correspondientes.- 1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8.

P.5. Los ngulos alternos internos son congruentesngulos alternos internos.- 3 y 6; 4 y 5.P.6. Los ngulos alternos externos son congruentes.

ngulos alternos externos.- 1 y 8; 2 y 7.P.7. Los ngulos conjugados internos son suplementarios.

ngulos conjugados internos.-3 y 5; 4 y 6.P.8. Los ngulos conjugados externos son suplementarios.

ngulos conjugados externos.- 1 y 7; 2 y 8.P.9. Sean las rectas paralelas L1 y L2 y los ngulos mostrados en la figura, se

cumple que:

= a + b + c

Es decir la suma de los ngulos cuyos vrtices apuntan haca la derecha, esigual a la suma de los ngulos cuyos vrtices apuntan haca la izquierda.

L1 || L2

2L

3L

1L

12

34

5

6

78

1L

c

b a

2L


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P.10. Sean las rectas paralelas L1 y L2 y los ngulos mostrados en la figura,se cumple que:

180

P.11. Si L1 || L2

n

180

P.12. Si L1 || L2

n

90

n veces

L 1

L 2

2L

1L

L

L

n veces


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15

9.5. NGULOS DE LADOS PARALELOSLos ngulos cuyos lados son paralelos, pueden ser:

A. CongruentesSi sus lados son paralelos y estn orientados en el mismo sentido o sentidosopuestos.

B. SuplementariosSi dos lados estn orientados en el mismo sentido y los otros dos en sentidocontrario.

180

9.6. NGULO DE LADOS PERPENDICULARESDos ngulos cuyos lados son perpendiculares,pueden ser:

A. CongruentesSi ambos son agudos u obtusos

B. SuplementariosSi uno es agudo y el otro obtuso

180


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17

3. Sobre un eje orientado X X, se ubican tres puntos consecutivos M; Q y P (enese orden; MQ > QP), siendo A; A;A puntos medios de PQ; QM y MP respec-tivamente. Si R es un punto sobre X X ; MR > MP, con 5.RA= 2.RA

+ 3.RA, entonces la relacinPQ

MQ, es:

P) 1/2 Q) 2/3 R) 1/3 S) 3/2 T) 1/4RESOLUCIN:

Se tiene: 5.RA= 2.RA + 3.RA)ba2d(3)da(2)a2ca2d(5

c5b3a8 (1)

Adems: a2ccb2 bac

En (1): b5a5b3a82

3

a

bb2a3

Luego:PQ

MQ

2

3

a

b

a2

b2 Rpta: S

4. Si el suplemento del complemento de 2 , es igual a k veces el complemento delsuplemento de 4 . Cuando toma su mnimo valor entero ( es ngulo geomtri-co), el valor de k es:P) 62 Q) 46 R) 68 S) 70 T) 72

RESOLUCIN:Se tiene: SC(2 ) = k . CS (4 )90 + 2 = k (4 90) ..(1)

Como toma su mnimo valor entero se tiene: 4 90 > 0> 2230 = 23

En (1): 2k = 136 k = 68 Rpta: R

5. En la figura OX es bisectriz del ngulo BOC;58

22

XOEm

AOXm, la m DOE es:

a) 12

b) 15c) 20d) 24e) 28

M AA AQ P

a a

b bc

c-2a2b-c

c

R

d

A

B

CX

E

OD


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RESOLUCIN:m DOE = x = 90 2a .. (1)

Como:58

22

XOEm

AOXm

29

11

a180

a90

90.29 29a = 180.11 11a18a =90.7 a = 35

En (1): m DOE = x = 90 70 = 20 Rpta: R

6. Se toman los ngulos consecutivos AOB; BOC; COD y DOE. Si m COD . mDOE + m AOB . m BOC = 5. El valor de

2)AOEm(BOEm.COEmOBmDOEmAOCmAODm es:

P) 2 Q) 3 R) 4 S) 5 T) 6

Si: m COD . m DOE + m AOB . m BOC = 55b.ad.c (1)

Si:2

)AOEm(BOEm.COEmOBmDOEmAOCmAODm

2)dcba()dcb)(dca()dba)(cba(E

Sea a+b+c = x, se tiene:

abcd

abcdx)dcba(2

x

2

xabbxax

2

xcddxcx

2

x

2x)a.x)(bx()cx)(dx(E

De (1) E = 5 Rpta: S

A

B

CX

E

OD

a a

90 2a

90 2a

E

B

A

D C

Oa

bcd


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19

7. En el grfico si2

aa6x . El valor dex

, para x mximo es:

P) 37Q) 38

R) 39S) 36T) 40

RESOLUCIN:

Como:2

aa6x2

)3a(9x ; x es mximo si a 3 = 0

a = 3 x = 9 Pero: 360x 351

Luego:x

399

351 Rpta:R

8. Se tiene los ngulos consecutivos1

OA0

A ;2

OA1

A ;3

OA2

A ;4

OA3

A ; ;

nOA

1nA , de medidas

2xx

21;...;

20

21;

12

21;

6

21;

2

21respectivamente, Si

m 20n

OA0

A el valor de x es:

P) 10 Q) 14 R) 16 S) 18 T) 20Resolucin:

Se tiene: 202

xx

21...

12

21

6

21

2

21

20)1x(x

x1x...

5.4

45

4.3

34

3.2

23

2.1

1221

201x

1

x

1...

5

1

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

1121

20x21

20

1x

x20

1x

1121 Rpta: T

9. Si2

L||1

L , el complemento de x , es:

a) 3245b) 3345c) 3315d) 30e) 3045

x

a

b b2a

3a

3a

x

1L

2L


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RESOLUCIN:

Se tiene: 8a = 180 a = 2230Adems: 5a + 2b = 180 11230 + 2b = 180 b = 3345Tambin: 4a + b + x = 180 x = 180 903345

x = 5615 C(x) = 3345 Rpta: Q

10. Si2

L||1

L , el valor de x es:

a) 20b) 2030c) 2230d) 15e) 18

Resolucin:

8x = 180 x = 2230 Rpta: R

2x

x

5x

1L

2L

2x

x

5x

1L

2L

2x

5x

x+x

a

bb

2a

3a

3a

x

1L

2L

2a

5a


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21

PREGUNTAS PROPUESTAS N 9

1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos: P; Q; R y S tal

que R es punto medio de QS . Si 40PSPQ y QS=6 entonces la me-

dida de PQ, es:P) 2 Q) 4 R) 6 S) 3 T) 5

2. La suma de los complementos de dos ngulos es 120, en tanto que ladiferencia de sus suplementos es 20, la medida del mayor de dichosngulos es:P) 20 Q) 30 R) 40 S) 45 T) 35

3. En el grfico adjunto;21

L//L , el valor de x, es:

P) 2m-n Q) m-n R) m-2n S) 2(m+n) T) m+n

4. Sean los puntos colineales y consecutivos: A; B; C; D y E tal que F es

punto medio de AB y H punto medio de DE . Si AB=BC, CD=DE y

AB+DE=40 entonces el valor de 410

FHM , es:

P) 11 Q) 10 R) 9 S) 8 T) 75. Se tienen los ngulos consecutivos AOB y BOC, donde

42BOCmAOBm . si OM es bisectriz del ngulo AOC, entonces elcomplemento de la medida del ngulo MOB es:P) 65 Q) 66 R) 67 S) 69 T) 72

L1

L2

n

x

m


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6. Sobre una lnea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F,de tal manera que AB=BC=CD, EF=28 y CF=2(BE)=4(AD), el valor deCE-5, es:P) 5 Q) 10 R) 15 S) 20 T) 25

7. Si el suplemento del complemento de la medida de un ngulo es igual acinco veces el complemento de la medida de dicho ngulo, entonces sumedida ser:P) 30 Q) 45 R) 50 S) 55 T) 60

8. Sean los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD. Si140BODmAOCm , entonces el suplemento del ngulo formado por

las bisectrices de los ngulos AOB y COD, es:P) 105 Q) 110 R) 115 S) 120 T) 125

9. Sean los puntos colineales y consecutivos: P, A, B, C, D y E, de modo que5(PC)=2(PD)+3(PB). Si 2(AD)+3(AB)=15, entonces la medida de AC , es:P) 1 Q) 2 R) 3 S) 4 T) 5

10. Sobre una recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudesson: 5/6; 13/36; 35/216; 97/1296;, y asi sucesivamente. El valor del lim i-te de las sumas de todas las longitudes de los segmentos consecutivos asiformados es:P) 2/3 Q) 3/2 R) 5/2 S) 5/3 T) 7/2

11. Dado los puntos colineales y consecutivos: A, B, C, D y E, tal que

8

AECEBDAC , entonces el valor de

AE

BD, es:

P) 5/6 Q) 4/5 R) 7/8 S) 6/7 T) 8/9

12. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos: A, B, C, D y E tal que

AC+BD+CE=56; AE=35 y AB4

3DE , la longitud del segmento AB es:

P) 17 Q) 10 R) 11 S) 18 T) 24

13. La tercera parte de la mitad del complemento del suplemento de la medidade un ngulo excede en 8 a los 3/5 del complemento de la mitad de lamedida del mismo ngulo, la medida de dicho ngulo es:P) 162 Q) 158 R) 170 S) 165 T) 120


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23

L1

L3

7x

2x 5x

L4

L2

14. Sobre una lnea recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, de

manera que ADBC2CDAB y3

1

AB

2

AD

1, el valor de AC, es:

P) 15 Q) 12 R) 9 S) 6 T) 3


L//L , el valor de x, es:

P) 12 Q) 13 R) 14 S) 15 T) 18


L//L y43

L//L el valor de , es:

P) 30 Q) 45 R) 50 S) 54 T) 74

17. Si al suplemento de un ngulo se le disminuye el sxtuplo de su comple-mento, resulta la mitad del valor del ngulo, entonces el suplemento delsuplemento de dicho ngulo es:P) 80 Q) 70 R) 60 S) 50 T) 90

L2

L1

x

x

x

39


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x

3 L4

L2

L1

L3

2


L//L y43

L//L el valor de x es:

P) 100 Q) 120 R) 135 S) 150 T) 160

19. Sobre una lnea recta se toman los puntos consecutivos: A, B, C y D, de

modo que2

2

n

m

CD

ABy CDABBC 2 , el valor de

CD

BCAD, es:

P)2

n

nm Q)n

nm22

R)n2

nmS)

n

nm 2T) 1

20. Si las medidas de dos ngulos suman 100, adems el complemento de lamedida del primero es el triple de la medida del complemento del ngulodoble del segundo, entonces la medida del segundo ngulo es:P) 10 Q) 20 R) 40 S) 30 T) 50

21.Cinco rayos alrededor de un punto O forman cinco ngulos consecutivos;20AOBm , 60BOCm , 90CODm , 120DOEm y70EOAm , la medida del ngulo formado por la prolongacin del rayo

DO y la bisectriz del ngulo BOE, es:P) 10 Q) 15 R) 20 S) 25 T) 30

22. Sobre una lnea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F,

de tal manera que D es punto medio de CE , AC=CE y BD=DF, el valor

de22

22

EFAC

BEAB, es:

P) 1 Q) 2 R) 3 S) 4 T) 5


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25

23. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que OX es

bisectriz del ngulo AOC, OY es bisectriz del ngulo BOD, OM es bisec-

triz del ngulo AOB y ON es bisectriz del ngulo COD. Si

80XOYmMONm , entonces la AODm , es:

P) 86 Q) 82 R) 80 S) 79 T) 77

24. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD. SiCODm3AOBm , 120AOCm y 100BODm , entonces la medida

del ngulo formado por las bisectrices de los ngulos BOC y AOD, es:P) 6 Q) 5 R) 8 S) 10 T) 12

25. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. si(AB).(CD)=(BC).(AD) y

AB

d

BD

c

CD

b

AC

a, el valor de a+b+c+d es:

P) 4 Q) 8 R) 5 S) 6 T) 7

26. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, M, N y R. si

(AM)(AR)=3(MN).(NR) yAN

l

AM

n

NR

m, el valor de m+n+l, es:

P) 16 Q) 8 R) 12 S) 14 T) 18

27. Si la suma de las medidas del suplemento y complemento de un ngulo esa veces la medida del complemento de dicho ngulo, si dicho ngulo es

el menor posible Za , entonces su medida es:

P) 38 Q) 40 R) 43 S) 45 T) 50

28. Se tienen los ngulos consecutivos AOB y BOC tal que

170BOCmAOBm . Se trazan OX y OY bisectrices de los ngulosAOB y BOC, la medida del ngulo que forman las bisectrices de los ngu-los AOY y XOC es:P) 4230 Q) 45 R) 60 S) 63 T) 70


26/148




// LL , si el ngulo ABC es agudo, entonces el

mximo valor entero de x, es:

P) 30 Q) 46 R) 45 S) 44 T) 60

30. En el grfico adjunto,21

L//MN//L , entonces el valor de x es:

P) 16 Q) 18 R) 20 S) 22 T) 24

L2

C

x

L1

B

m

A

x

M32

L2

L1130

N


27/148


27

10.1. DEFINICIN

Un polgono de tres lados se llama tringulo

10.2. ELEMENTOS.

Lados : ACyBC,AB Angulos : 1 , 2 y 3Vrtices :A , B y C

10.3. CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS10.3.1. Segn sus lados:

EquilterosTienen sus tres lados iguales.

IsscelesTienen dos lados iguales. El lado desigual se llama base.

EscalenoTiene sus tres lados desiguales.

10.3.2. Segn sus ngulos: Rectngulo

Tienen un ngulo recto. El lado opuesto al ngulo recto se denominaHipotenusa y los otros dos catetos. Oblicungulos

Si ningn ngulo interior es recto. Pueden ser:1) Acutngulos.- Tienen sus tres ngulos agudos.2) Obtusngulos.- Tienen un ngulo obtuso.3) Equingulos.- tienen sus tres ngulos iguales.

10.4. CONGRUENCIA DE TRINGULOSDos o ms tringulos son congruentes si tienen sus lados y ngulos respecti-vamente congruentes. Se presentan los siguientes casos.

Caso 1 (ALA)Dos o ms tringulos son congruentes si tienen un lado igual y los ngulos ad-yacentes a l congruente.

AB = PQ yA P ;B Q

UNIDAD

10TRINGULOS, PROPIEDADES, LNEAS, PUNTOSNOTABLES, CONGRUENCIA DE TRINGULOS.

A

C

B

c

b

a23

A

C

B P

R

Q


28/148



Caso 2 (LAL)Dos o ms tringulos son congruentes si tienen un ngulo respectivamentecongruente y las medidas de los lados que lo forman respectivamente iguales.

AB = PQ; AC = PR yA P

Caso 3 (LLL)Dos o ms tringulos son congruentes si tienen la medida de sus tres ladosiguales.

AB=PQ ; AC=PR y BC=QR

Caso 4 (ALL)Dos o ms tringulos son congruentes si tienen las medidas de dos lados igua-les y el ngulo interior que se opone al mayor lado son congruentes.

AB = PQ ; AC = PR yC R

10.5. LNEAS NOTABLES EN UN TRINGULO10.5.1. Altura

Es el segmento perpendicular trazado desde un vrtice al lado opuestoo a su prolongacin.El punto donde se cortan las tres alturas de un tringulo se denominaORTOCENTRO.Propiedades:P.13. En un tringulo acutngulo el ortocentro se encuentra en el interior.P.14. En un tringulo rectngulo el ortocentro coincide con el vrtice del

ngulo recto.P.15. En un tringulo obtusngulo el ortocentro se encuentra en el exte-

rior.

ORTOCENTRO

C

A B P Q

R

C

AB

R

PQ

C

A B

R

P Q


29/148


29

10.5.2. MedianaEs el segmento que une un vrtice del tringulo con el punto medio dellado opuesto.El punto donde se cortan las tres medianas de untringulose denominaBARICENTRO.

Propiedad:P.16. El baricentro divide a cada mediana en 2 segmentos cuya relacines de 2 a 1.

.

10.5.3. BisectrizEs el segmento que parte de un vrtice del tringulo dividiendo al nguloen dos partes iguales.El punto donde se cortan las bisectrices interiores de un tringulo se de-nomina INCENTRO.Propiedad:P.17. El incentro equidista de los tres lados, y es el centro de la circunfe-

rencia inscrita al tringulo.

10.5.4. Mediatriz.-Es el segmento perpendicular a un lado del tringulo, trazado desde supunto medio.El punto donde se cortan las mediatrices de un tringulo se denominaCIRCUNCENTRO.Propiedad:P.18. Circuncentro equidista de los tres vrtices.

P.19. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita en eltringulo.

2x

x2y

y

2z

z

BARICENTRO

INCENTRO

xx

x

x

x

x CIRCUNCENTRO


30/148



10.5.5. CevianaEs el segmento que une un vrtice con un punto cualquiera del ladoopuesto o de su prolongacin.

10.6. TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES

.

10.7. PROPIEDADES

P.20. En todo tringulo la suma de las medidas de los tres ngulos interioreses 180.

+ + =180

P.21. En todo tringulo un ngulo externo es igual a la suma de los dos ngu-los interiores no adyacentes.

m

k 3

k

30

602k

kk 2

45

45

k

5k

37

53

4k

3k

5 K

26,52k

k63,3025k

16

74

24 k

7k

15

75( )2-6 k

k26

4k

k

4 k

17 k

14

76

11 k

55 k

10,5

2k79,5 k

19 k

362 k

3

87

4k

1815 k

72

5210 k

4k

5415 k

36

5210 k

5 2 k

8

82

7 k

k

3 k

10 k

18,5

k71,5

k

k12

22,5

224 k 67,5

A B

C

C

B

m

A


31/148


31

P.22. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un tringulo esparalelo al tercer lado y mide la mitad de este tercer lado.

AB||MN

P.23. La mediana relativa a la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual ala mitad de la hipotenusa.

2

ACBM

AM = MC = BM

P.24. En un tringulo rectngulo el ortocentro, baricentro y circuncentro se ali-nean a lo largo de la mediana relativa a la hipotenusa.

P.25. La bisectriz interior del ngulo desigual en un tringulo issceles es a lavez altura, mediana y mediatriz.

P.26. La bisectriz, mediatriz, mediana y altura en un tringulo equiltero se con-funden.

P.27. En todo tringulo el ngulo formado por dos bisectrices, una interior y otraexterior es igual a la mitad del tercer ngulo.

2

Amxm

A

B

CM

PA x

ORTOCENTROCIRCUNCENTRO

BARICENTROB

O

C

2x

x

3x 3x

NM

C

BA2

ABMN


32/148



P.28. En todo tringulo el ngulo formado al unir dos bisectrices interiores esigual a un ngulo recto ms la mitad del tercer ngulo.

2

Am90x

P.29. En todo tringulo el ngulo formado por una bisectriz interior con la alturaque parte del mismo vrtice, es igual a la semidiferencia de los otros dosngulos.

2

CmBm

x

P.30. La medida del menor ngulo formado por dos bisectrices exteriores esigual a 90 menos la mitad del tercer ngulo.

2

Am90x

P.31. En todo tringulo a mayor lado se opone mayor ngulo yreciprocemente.

a > b > c> >

P.32. A lados iguales de un tringulo se oponen ngulos iguales.

A

C Bx

A

B C

x

c

b

a

C

B

A

A

B

C

x

A C

B

aa


33/148


33

P.33. En todo tringulo se cumple:

a c < b < a + c

P.34. Toda bisectriz interior forma con el lado opuesto dos ngulos cuya dife-rencia es igual a la de los otros dos ngulos.

m C - m A = p q

P.35. Si ABC es un tringulo issceles con AB = BC, se tiene:

AH = PQ + PM

P.36. Si ABC es un tringulo equiltero, se tiene:

BH = OP + OQ + OR

P.37. En todo tringulo:

x =

CA

B

c

b

a

A

H

P

MQ

C

B

x

HR

Cqp

B

A

OP Q

A C

B


34/148



P.38. En todo tringulo

x = m n

P.39. En todo tringulo rectngulo la bisectriz y mediana trazadas desde elvrtice del ngulo recto forman un ngulo que mide:

2x

P.40. En un tringulo rectngulo de ngulos agudos 75 y 15 la altura relativa ala hipotenusa es la cuarta parte de sta.

4

ACBH

P.41. En todo tringulo

30x

P.42. Propiedad de la bisectriz.- Si BX es bisectriz del ngulo ABC se cum-ple:

PC = PA y AB = BC

n m

x

2

75 x

h

2h

A

BC

XP

A C

B

H75 15

x


35/148


35

P.43. Propiedad de la mediatriz.- Si L es mediatriz de MN se cumple: PM =PN

P.44.

cbax

P.45.

M N

P

L

a

x

c

b

2x a

a

b

b

x


36/148



PREGUNTAS RESUELTAS N 10

1. En un tringulo ABC, obtuso en A, los lados miden AB = 4 y BC = 6. Siendo AC elmayor nmero entero, su valor es:P) 9 Q) 8 R) 7 S) 5 T) 6

RESOLUCIN:

i ) x < 6ii) 6 4 < x < 6 + 4

2 < x < 10Mayor entero x = 5

Rpta: S

2. En la figura MN = NC = BC, el valor de x es:P) 75Q) 30R) 80S) 45T) 60

RESOLUCIN:

i ) m MNC = 60 ( exter.)

ii ) Se traza MC , MNC equilterom NMC = m NCM = 60iii)En M: m CMB = 80iv) MCB es issceles:x = 80

Rpta: R3. En un tringulo issceles ABC ( AB = BC ), se toma en el lado AC un punto Q, en

el lado AB un punto P y en BC un punto R, tal que PQ = QR, m PQR = 90 ym BPR + m QRC = 145. La medida del AQP es:P) 20 Q) 40 R) 35 S) 25 T) 50

A B

C

x6

4

A

B

C

M

N

20

40

x

A

B

C

M

N20

40

x


37/148


37

RESOLUCIN:i ) m BPR + m QRC = 145

145 (1)

ii )R

PQR(45, 45) issceles

iii) m RQC = 90 - xQRC: 90 - x + + = 180 (2)

APQ: +45 = + x= - x + + 45 (3)

De (3) en (2): 2x = 45 De (1) 2x = 145 -45 x = 50

Rpta: T4. En la figura AB = AE = ED = DF = FL = LC, la medida del ngulo DFL es:

P) 90Q) 100R) 115S) 105T) 120

RESOLUCIN:6 = 90

= 15x + 4 = 180x = 120

Rpta: T

5. En la figura mostrada, EDCEAC,BCAB , el valor de x es:P) 36

Q) 28R) 30S) 37T) 34

A Q C

B

R

P

x

4545

90 - x

A

B

CD L

E

F

A

B

4

D L

E

F

22

33

44

5

5

B

C D

E

x

3

A


38/148



i)ABC isosceles: mBCA=4ii)AEC issceles: mAEC=iii) mECD=2 ( exteriorAEC)iv) DEC issceles: mEDC=2mBEC=4mBEA=3

ABE es isscelesCBE esIssceles: mBCE=4En C: 4+4+2=180=18Luego: x+8=180 x = 36 Rpta: P

6. En la figura mostrada. Si AD = BC, entonces el valor de x es:P) 12Q) 15R) 17S) 18

T) 20

RESOLUCIN:

i) En el Cuadriltero ABC: mBDA=5xii) ABD es isscelesABC es issceles: mBAD=2x 2x + 5x + 5x = 180x = 15

Rpta: Q

7. En un tringulo acutngulo ABC, m ABC = 4x ; m BAC = x + 70. Si x tomasu mximo valor entero, la m BCA es:P) 17 Q) 18 R) 15 S) 20 T) 16

RESOLUCIN:i ) a + 4x + x + 70 = 180

a = 110 - 5xii ) 90x40

'3022x0 iii) 9070x0

20x x = 19Luego 95110a a = 15

Rpta: R

B

C D

E

x

3 A

P

4 2 2

3

4

A

B

C

D

x

x5x

3x

A

B

C

D

x

x5x

3x2x

4x

x+70 aA


39/148


39

8. En un tringulo ABC se traza la bisectriz interiorAM , si el ngulo BAC es agudo yla m MAC toma su mximo valor entero, entonces la m ABC + m BCA es:P) 90 Q) 91 R) 92 S) 93 T) 94

RESOLUCIN:

i ) 9020 450 ii ) 2180yx

)44(2180yx

92yx

Rpta: R

9. En el grfico, El valor de x es:P) 30Q) 60R) 45S) 80T) 70

RESOLUCIN:

360180x4180180x 3x = 180x = 60

Rpta: Q

A

B

D

E

F

2x

x

B

D

E

x

180-

4x-180

x

y

A

B

C

M


40/148



10. En el grfico x10ba . El valor de x es:P) 20Q) 22 30R) 18 30S) 15

T) 12 30

RESOLUCIN:

i ) m2x2b (1)ii ) m2180a (2)iii) 180x2ba

180x2x10

180x8 x = 2230

Rpta: Q

PREGUNTAS PROPUESTAS N 10

1. En un tringulo ABC, la 58Am , la medida del ngulo formado por las bisectri-ces interiores de los ngulos B y C, es:P) 118 Q) 117 R) 116 S) 119 T) 121

2. En un tringulo ABC, sobre AC se toma el punto P tal que BP=PC y AB=AP. Sila 72Am , entonces la Bm , es:P) 36 Q) 48 R) 54 S) 62 T) 81

3. En un tringulo ABC, AB=6; BC=7 y AC=10. Por el incentro de dicho tringulo se

traza AC//MN , el valor del permetro del tringulo MBN es:P) 13 Q) 17 R) 16 S) 23 T) 8

4. En un tringulo ABC, se traza la ceviana interior BM de tal manera que BM=MC yAM=AB=BC, la Am , es:P) 18 Q) 24 R) 30 S) 36 T) 45

A

B

C

D

b

a

x

A

B

C

D

b

a

x m

m

x+m


41/148


41

B

C

D

EA

x

2x

A

PB

Q

C

45

DC

E

B

A3

5. En el grfico adjunto, el menor valor entero de k es:P) 2Q) 3R) 4S) 5

T) 6

6. En el grfico adjunto, AD=AE y DE=EC, el valor de x es:P) 10Q) 12R) 15S) 18T) 20

7. En el grfico adjunto, AP=3 y CQ=4, el valor de AC es:

P) 25

Q) 36

R) 26

S) 35

T) 52

8. En el grfico adjunto, BE=DE y EC=DC, la ABCm , es:P) 40Q) 45R) 60S) 75

T) 90

k9+k

13


42/148



2

x

2

9. En el grfico adjunto, el valor de x es:P) 150Q) 118R) 144S) 132

T) 126

10. En el grfico adjunto, el valor de x, es:

P) 120 Q) 150 R) 144 S) 185 T) 105

11. En un tringulo ABC, la Cm2Am , la bisectriz interior BD prolongada inter-seca en E a la bisectriz exterior del ngulo C. si DE=8 entonces el valor de CE ,es:P) 4 Q) 5 R) 6 S) 7 T) 8

12. Si en un tringulo ABC, se trazan las cevianas BD (D en AC ) y DE (E en BC )tal que 40BDEmBADm , 70DBCm y AB=DC, entonces la medida

del ngulo ABD, es:P) 26 Q) 30 R) 34 S) 38 T) 42

13. En un tringulo ABC, la mediatriz de AC corta en F a BC ; luego la mediana

AFyBM se cortan en H, siendo BF=2 y BH=HM, el valor de AH, es:P) 2 Q) 3 R) 4 S) 5 T) 1

x

4 4


43/148


43

C20

x

B

30

A

40

40

P

Cx

B

A2x

M

A B

C Dx

x

14. Se tiene un tringulo ABC, BC=10 y Cm2Bm . Por A se traza una perpen-

dicular al lado AC , la cual corta a la prolongacin de CB en el punto D. si DB=2entonces el valor de AB, es:P) 4 Q) 5 R) 6 S) 6,5 T) 7

15. En un tringulo ABC, se traza la mediana AM , adems se considera el punto

medio N de BM , luego se traza la ceviana BD que interseca a ANen P y a

AMen su punto medio Q. si BD=2a, entonces el valor de PQ, es:P) 3a Q) 3a/2 R) a/2 S) 2a T) a

16. En el grfico adjunto, AB=PC, el valor de x es:P) 15Q) 20R) 25

S) 30T) 36

17. En el grfico adjunto, AM=MB y 45ACBm , el valor de x es:P) 30Q) 20R) 10S) 25T) 15

18. En el grfico adjunto, AB=BC y DABmCDBm , el valor de x, es:P) 13Q) 15R) 18S) 21T) 25


44/148



B

A30

C

2x

xD

19. En el grfico adjunto, el valor de x, es:P) 22+Q) 14-R) 26-S) 30-

T) 28+3

20. En el grfico adjunto, BC=CD y BD=AD, el valor de x, es:P) 10

Q) 12R) 14S) 16T) 18

21. Por el vrtice C de un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se traza una recta

que no corta al tringulo, luego se traza las perpendiculares BQyAP a dicha re-cta. Si PQ=8 y QC=3, adems AB=BC, entonces el valor de AP, es:P) 8 Q) 9 R) 10 S) 11 T) 15

22. Si en un tringuloABC, recto en B, la bisectriz exterior del ngulo A y la prolon-

gacin de la altura BH se intersecan en F tal que AB+AH=4 y HF=3, entonces elvalor de BH, es:P) 2 Q) 3 R) 1 S) 4 T) 5

23. En un tringulo ABC, se traza la mediana BM . Si2

BCBM y

MBCm2ABMm , entonces la medida del ngulo MBC, es:P) 45 Q) 36 R) 60 S) 37 T) 53

x

30

60+2


45/148


45

60

B xC

H

DA

10

7x

C

x

A

2x

B

P

24. En el grfico adjunto, el valor de x es:

P) 15Q) 16R) 17

S) 19T) 20

25. En el grfico adjunto, AP=AB=PC, el valor de x es:P) 9Q) 10R) 12S) 24T) 15

26. En el grfico adjunto, AB=CD, el valor de x es:P) 26Q) 30R) 32S) 36T) 39

x

C

B

x

A

D


46/148



A

B

R

HP

Ax

C

50

B

O

B D

x

A2

C

A

x

80

B

C

27. En el grfico adjunto, el valor de x es:P) 120Q) 138R) 140S) 135

T) 145

28. En el grfico adjunto, AH=HR, BH=HP y 18APRm , la medida del nguloBAR, es:P) 22Q) 23

R) 25S) 27T) 29

29. En el grfico adjunto O es circuncentro del tringuloABC, el valor de x es:P) 60Q) 70R) 80S) 85T) 40

30. En el grfico adjunto, BD=3(AC), el valor de , es:P) 50Q) 30R) 15S) 45T) 60


47/148


47

11.1. POLGONOEs la reunin de los segmentos de recta que tienen sus extremos comunes dosa dos, dichos extremos son los vrtices del polgono y los segmentos son loslados.

11.2. ELEMENTOS DEL POLGONO

Vrtices:A1, A2, A3, ..., A n

Lados:1n433221

AA,...,AA,AA,AA

ngulos: A1, A2, A3, ..., A n

Permetro (p):A1A2 + A2A3 + ... +A nA1

Propiedades:

P.46. En todo polgono, el nmero de lados es igual al nmero de vrtices eigual al nmero de ngulos.

P.47. El polgono divide al plano en 3 subconjuntos de puntos:

Puntos interiores al polgono.Puntos exteriores al polgono.

Puntos que pertenecen al polgono.

11.3. REGIN POLIGONALEs la reunin de los puntos interiores del polgono con los puntos de dicho pol-gono.La medida de una regin poligonal es el rea y es un nmero real positivo.

A1

A2

A3

An An-1

UNIDAD

11 POLGONOS - CUADRILTEROS


48/148



11.4. NGULO INTERIOR Y EXTERIOR DEL POLGONO

ngulo interior: BAH

ngulo exterior: QABm BAH = ; m QAB =

P.48. Si el polgono tiene n lados se cumple:m (interiores) + m (exteriores) = 180n

11.5. DIAGONAL DE UN POLGONOEs el segmento de recta que une dos vrtices no consecutivos.

11.6. DIAGONAL MEDIAEs el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados cualesquiera.

11.7. CLASIFICACIN DE LOS POLGONOS

11.7.1. Por el nmero de sus ladosTringulo ( 3 lados); Cuadriltero (4 lados); Pentgono (5 lados); Ex-gono (6 lados); Heptgono (7 lados); Octgono (8 lados) Nongono (9lados); Decgono (10 lados); Endecgono (11 lados); Dodecgono (12lados); Pentadecgono (15 lados); Icosgono (20 lados). Otros polgo-nos se mencionan segn su nmero de lados.

11.7.2. Por la forma de su contorno

Convexos

Un polgono es convexo cuando al prolongar cualquiera de sus la-dos, el polgono queda ubicado en un solo semiplano.

A

Q B

H


49/148


49

CncavosUn polgono es cncavo, cuando por lo menos existe un lado que alser prolongado ubica al polgono en los dos semiplanos.

EquilterosTienen todos sus lados congruentes.

EquingulosTienen todos sus ngulos congruentes.

RegularesUn polgono convexo es regular cuando es equiltero y equingulo.

11.8. PROPIEDADES

P.49. La suma de las medidas de los ngulos interiores de un polgono de nlados es:

)2n(180mi

P.50. La medida del ngulo interior en un polgono equingulo de n ladoses:

n

)2n(180m

i


50/148



P.51. La suma de la medida de los ngulos exteriores de un polgono de nlados es:

360me

P.52. La medida del ngulo exterior de un polgono equingulo de n ladoses:

n

360

em

P.53. La suma de las medidas de los ngulos centrales de un polgono con-vexo de n lados es:

360c

m

P.54. La medida del ngulo central de un polgono regular de n lados es:

n

360

cm

P.55. El nmero de diagonales que se pueden trazar desde cada vrtice de unpolgono de n lados es:

3nd

P.56. El nmero total de diagonales que se pueden trazar en un polgono den lados es:

2

)3n(nd#

P.57. El nmero de diagonales que se pueden trazar de los v primeros vrt i-ces consecutivos de un polgono de n lados es:

2

)2v)(1v(nv

)v;n(

d#

P.58. El nmero de diagonales que se pueden trazar desde los k vrtices noconsecutivos (alternados) en un polgono de n lados es:

2

)5k(knk

)k;n(d#


51/148


51

P.59. El nmero de diagonales medias que se pueden trazar en un polgonode n lados es:

2

)1n(ndm#

P.60. El nmero de diagonales medias que se pueden trazar desde los kprimeros lados en un polgono de n lados es:

2

)1k(knk

)k;n(dm#

11.9. CUADRILTEROSSon Polgonos que tienen cuatro lados.11.9.1. Clasificacin de los cuadrilteros:

a.1. Segn sus ngulos:

ConvexoEs aquel cuadriltero que posee sus cuatros ngulos internosconvexos.

CncavoEs aquel cuadriltero que posee un ngulo interno cncavo.

a.2. Segn su paralelismo:

ParalelogramosSon aquellos cuadrilteros que poseen sus cuatro lados para-lelos dos a dos, y pueden ser:

RomboideEs el paralelogramo propiamente dicho.

RectnguloEs aquel paralelogramo que tiene sus cuatro ngulos igua-les y rectos.

A

DB

C

A D

CB


52/148



CuadradoEs aquel rectngulo que tiene sus cuatro lados iguales.

RomboEs aquel paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales.

Propiedades de los paralelogramos:P.61. La suma de los ngulos internos es 360P.62. Los lados opuestos tienen la misma medida.P.63. Los ngulos opuestos tienen la misma medidaP.64. Los ngulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios.P.65. Las diagonales se cortan mutuamente en su punto medio.P.66. Las diagonales de un rectngulo son iguales.P.67. Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre s y bisectri-

ces de sus ngulos.

P.68. Las diagonales de un cuadrado son iguales, perpendiculares y bisec-tri ces de sus ngulos.

TrapeciosSon aquellos cuadrilteros que tienen solamente dos lados paralelosa los cuales se les denomina base y pueden ser:

Trapecio escaleno.-Es aquel trapecio que tiene sus lados no pa-ralelos desiguales.

Trapecio rectngulo.-Es aquel trapecio en el cul uno de suslados no paralelos es perpendicular a las bases.

D

CA

B

D

C

B

A

B C

A D


53/148


53

Trapecio issceles.- Es aque trapecio en el cul sus lados noparalelos son iguales.

Propiedades de los trapecios:

P.69. La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases.

2

BCADMN

P.70. El segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales de

un trapecio es igual a la semidiferencia de sus bases

2

BCADPQ

P.71. Las diagonales de un trapecio issceles son iguales.

P.72. En un paralelogramo se cumple:

3ba2x

TrapezoideSon cuadrilteros que no tienen ningn par de lados paralelos. Pue-den ser:

Trapezoide SimtricoSi una diagonal es mediatriz de la otra.

Trapezoide asimtricoEs aquel que no tiene ninguna simetra.

QPA D

CB

M N

A D

CB

D

CB

A

xa

2n

n

2m

m

b

A

B C

D


54/148




1. En un polgono, al aumentar su nmero de lados en 3, su nmero de diagonalesaumenta en 36, el nmero de lados de dicho polgono es:P) 13 Q) 14 R) 15 S) 11 T) 12

RESOLUCIN:# Lados n n+3

# Diagonales2

)3n(n=

2

n)3n( 36 n(n+3-n+3) = 72 n = 12

Rpta: T

2. Los ngulos internos de un nongono convexo estn en progresin aritmtica,luego el mximo valor de la razn aritmtica, es:P) 8 Q) 18 R) 9 S) 32 T) 35

RESOLUCIN:Sean los ngulos: -4r; -3r; -2r; -r; ; +r; +2r; +3r; +4r

Se tiene: mi= 180(n 2) 9 = 180(9 2) = 140Entonces: +4r


55/148


55

5. En un exgono regular ABCDEF, el valor del ngulo FBC es:P) 40 Q) 60 R) 45 S) 37 T) 30

RESOLUCIN:

Se tiene: mA = 1206

)26(180

Para: FAB issceles = 30Luego: 2 + x = 120x = 60

Rpta: Q

6. En un trapecio ABCD ( CD||AB ). Si mB = 2. mD; AB = 5 y BC = 12, entoncesel valor de CD es:P) 12 Q) 10 R) 14 S) 16 T) 17

RESOLUCIN:

Se traza5CE12AE

BC||AE

Luego: CD = 17

Rpta: T

7. En un romboide ABCD, sobre CD se ubica el punto medio M tal que lamABM = 90. Si AB = 6 y MB = 4, entonces la medida de AD es:P) 4 Q) 5 R) 6 S) 6,4 T) 7

RESOLUCIN:

Se prolonga BM hasta P en la prolongacin

De AD :Se tiene: AB = 6DM = MC = 3

5BC:BMCelEn

Como BC = AD 5AD

Rpta: Q

8. En un polgono regular ABCDEF., de n lados; la mACE = 135, entonces elnmero de diagonales de dicho polgono es:P) 96 Q) 98 R) 100 S) 102 T) 104

x

A

B C

D

EF

AB

C DE

1212

5

5 12

2

2

A

B C

D

5

4 3

3

90-

90-

6

x

M

P


56/148



RESOLUCIN:En B: mi = 180 - 2. Pero: mi = 2 + 135

De donde: 2 =2

45

Tambin: me =n

360

16nn

3602

Luego: 1042

)316(16d#

Rpta: T

9. En un romboide ABCD, las mediatrices de CDyAD se intersecan en un puntointerior P. Si la mBAP = 20 y la mAPD = 80, entonces la mBCP es:

P) 5 Q) 8 R) 10 S) 12 T) 15RESOLUCIN:

Se traza PCyPD,PA APD y DPC son isscelesComo mAPD = 80mAPN = mNPD = 40 y mPAN = 50Tambin: mA = 70 mB=110y mPDC=mPCD=60Luego mBCP = 10

Rpta: R

10. En la figura mostrada AC = 12, CM = MD. Si DC||AB,BC||AD , la medida de OE es:P) 2,5Q) 3R) 3,5S) 2T) 1,5

RESOLUCIN:

AC = 12 OE = 6 y como E es baricentroOE = x y EC = 2x

3x = 6 x = 2

Rpta: S

A

B

C

D

E

2135

A

B C

D

M

N

P

20

4040

50 50

x110

60

60

A

B C

D

O

E

M

A

B C

D

O

E

Mx

2x


57/148


57

2x

x

120

PREGUNTAS PROPUESTAS N 111. Si el cuadrado de la medida del ngulo central de un polgono regular es igual a 15

veces la medida de su ngulo interior, entonces el nmero de diagonales de dichopolgono, es:P) 18 Q) 20 R) 16 S) 24 T) 36

2. Si en un polgono regular al disminuir en 10 la medida de su ngulo interno, resul-ta otro polgono regular cuyo nmero de lados es 2/3 del nmero de lados del pol-gono original, entonces el nmero de lados del polgono original es:P) 16 Q) 14 R) 18 S) 20 T) 15

3. El ngulo exterior de un polgono regular mide 1730, entonces el nmero delados del polgono es:P) 300 Q) 350 R) 315 S) 320 T) 322

4. Se tiene un octgono regular ABCDEFGH, la medida del ngulo DAG, es:P) 60 Q) 65 R) 67,5 S) 82,5 T) 72

5. En un polgono desde los (n-4) primeros vrtices se han trazado (3n-3) diagona-les, el nmero de lados del polgono, es:P) 6 Q) 8 R) 9 S) 12 T) 10

6. Si ABCD es un trapecio rectngulo de bases ADyBC , AB=8, BC=4 y CD=10,entonces el valor de AD, es:P) 10 Q) 12 R) 14 S) 6 T) 8

7. En un cuadriltero ABCD, la xAm , 130Bm , 80Cm y x2Dm ,entonces el valor de x, es:P) 50 Q) 40 R) 20 S) 60 T) 30

8. En un rectngulo ABCD, AB=4 y BC=6, se traza las bisectrices CFyBE de losngulos ABC y BCD respectivamente, entonces la distancia entre los puntos me-

dios de CFyBE , es:P) 1 Q) 2 R) 3 S) 4 T) 4,5

9. En el interior de un cuadrado ABCD, se ubica el punto E de modo que AE=CD yla EBCm30AEBm , la medida del ngulo BAE, es:P) 45 Q) 50 R) 60 S) 68 T) 70


P) 30Q) 45R) 60S) 75T) 15


58/148



11. Si la suma de las medidas de los ngulos internos de un polgono convexo, escinco veces la suma de las medidas de los ngulos exteriores, entonces el nmerode diagonales medias, es:P) 78 Q) 120 R) 66 S) 55 T) 78

12. Si las medidas de los ngulos interiores de un pentgono convexo, se encuentranen progresin aritmtica, entonces el mximo valor entero de la razn, es:P) 33 Q) 34 R) 35 S) 36 T) 37

13. Si el nmero de lados de un polgono, es al nmero de diagonales, como 1 es 6,entonces el nmero de vrtices, es:P) 15 Q) 12 R) 14 S) 9 T) 10

14. Si al disminuir en 3 el nmero de lados de un polgono regular, la medida de sungulo central aumenta en 6, entonces el nmero de lados de dicho polgono, es:P) 15 Q) 14 R) 13 S) 16 T) 17

15. Los lados de un polgono regular miden 5 cada uno; su permetro es numricamen-te igual al nmero de diagonales, entonces la suma de las medidas de los ngulosinteriores, es:P) 1960 Q) 1860 R) 1880 S) 1980 T) 2000

16. En un paralelogramo ABCD, AB=12 y BC=22, las bisectrices de los ngulos A yB se cortan en P y las bisectrices de los ngulos C y D se cortan en Q, lamedida de PQ, es:P) 12 Q) 11 R) 9 S) 8 T) 10

17. En un cuadrado ABCD, en BC se ubica el punto M tal que la 37BAMm . Siel permetro del cuadriltero AMCD es 14, entonces el lado del cuadrado mide:P) 4 Q) 5 R) 6 S) 7 T) 8

18. Si en un cuadriltero convexo ABCD, AB=BC=BD; 3BADm , 2BCDm y

2

3

ABCm

ADCm, entonces el valor de: BmDm , es:

P) 30 Q) 37 R) 40 S) 45 T) 48

19. En la figura ADEF es un paralelogramo. Si FB=BC=CD; AE=30, AF=20 y AD=24,entonces la suma de las tres medianas del tringulo ABC es:

P) 35Q) 36R) 37S) 38T) 39

B

A

F E

D

C


59/148


59

A

B C

D

E

F

20. En la figura ABCD es un rectngulo. Si FE=EC; BE=14 y DE=4, entonces el valorde AF, esP) 5Q) 6R) 7

S) 8T) 4

21. En un octgono equingulo ABCDEFGH, AB=CD; BC=DE y 28BD , la medida

de AE, es:P) 16 Q) 8 R) 9 S) 12 T) 14

22. En un rombo ABCD, se ubica el punto N en BC , de modo que DN interseca a la

diagonal AC en el punto M. si 5(MN)=3(DM); AB=20 y 90NDAm , entonces

la distancia del punto medio de AC a DN , es:P) 1 Q) 2,5 R) 3 S) 4 T) 5

23. En un polgono equingulo ABCDEF cuyo nmero de lados es n, las prolonga-

ciones de EDyAB se intersecan en L, de modo que el ngulo ALE es agudo, elmximo valor de n es:P) 9 Q) 10 R) 11 S) 12 T) 13

24. Si en cuadriltero convexo ABCD, se cumple: 90BDAmDBCm ,

BC=3(AD) y BCDm2BADm , entonces la medida del ngulo ABD, es:P) 18 Q) 22 R) 25 S) 28 T) 30

25. En un romboide ABCD, se consideran los puntos medios M y N de los lados

BCyAD respectivamente, AC interseca a BM y DN en P y Q respectiva-

mente. Si AC=21 entonces el valor de PQ, es:P) 5 Q) 6 R) 7 S) 8 T) 9

26. En un trapecio ABCD, la base mayorAD mide 8, las diagonales son perpendicu-lares entre si y miden 6 y 8, la base menor mide:P) 1 Q) 1,5 R) 2 S) 2,5 T) 3


60/148



27. Se tiene un hexgono regular ABCDEF cuyo lado mide 8, la longitud del segmento

que tiene por extremos al punto medio de EF y al punto de interseccin de las di-

agonales BEyAC , es:

P) 64 Q) 62 R) 74 S) 74 T) 63

28. En un cuadriltero ABCD, se cumple: 90BCDmBADm ,

CADmBACm y 2kADAB , entonces el valor de AC, es:P) k/3 Q) k/2 R) k S) 2k T) 3k

29. En el grfico adjunto, el valor de MN, es:P) 4Q) 5R) 6

S) 7T) 8

30. En el grfico adjunto, BN=ND; BC=7 y AD=15, el valor de x, es:P) 2Q) 3R) 4S) 5T) 6

A D

B C

M Nx

E

NA

B

F

M G

D

C

8

6


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61

12.1. CIRCUNFERENCIA

Es el conjunto de puntos que estn en un mismo plano y que equidistande otro llamado centro. Toda circunferencia queda determinada al especi-ficar su centro y su radio.

12.2. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Centro: ORadio : Segmento que une el centro con un punto cualquiera de la

circunferencia. OA Cuerda : Segmento que une dos puntos de una misma una circunfe-

rencia. BC

Dimetro : Es toda cuerda mayor que pasa por el centro. DE

Secante : Recta que corta en dos puntos a la circunferencia. FG

Tangente : Recta que tiene un solo punto comn con la circunferencia

(T), el cul recibe el nombre de punto de tangencia. HI Flecha : Segmento perpendicular trazado desde el punto medio de una

cuerda al arco. La prolongacin de la flecha siempre pasa por

el centro. MN

Arco :Es la porcin de circunferencia limitado por dos radios:AE

12.3. PROPIEDADES

P.73. En toda circunferencia a arcos iguales corresponden cuerdas igua-les.

P.74. El dimetro perpendicular a una cuerda divide a la cuerda y al arcoque subtiende en dos partes iguales.

P.75. En toda circunferencia las cuerdas iguales equidistan del centro.P.76. Los arcos de una circunferencia comprendidos entre dos cuerdas

paralelas son iguales.P.77.

UNIDAD

12CIRCUNFERENCIA. PROPORCIONALIDAD Y

SEMEJANZA DE TRINGULOS

M

E

AN

G

TI

H

F

D

B

O

C


62/148



12.4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIASDos circunferencias de centros O y O pueden tener las siguientes pos i-ciones relativas:

12.4.1. Exteriores: 12.4.2.Tangentes exteriores:

12.4.3.Secantes: 12.4.4.Tangentes interiores:

12.4.5.Interiores: 12.4.6. Concntricas:

12.4.7.Ortogonales

R r< d < R + r

d r

RO O

d = R + r

d

rROO

d > R + r

Od

Or

R

d = R - r

d

RrOO

dr

R

d < R r

OO R

r

d = 0

222rRd

dO

O


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63

12.5. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

P.78. El radio trazado con respecto al punto de tangencia, es perpendi-cular a la recta tangente que lo contiene.

P.79. Las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferen-cia son iguales.

P.80. Las tangentes interiores comunes a dos circunferencias son igua-les

P.81. Las tangentes exteriores comunes a dos circunferencias son igua-les.

O

T

AD = BC

Or

r

B

A

TA = TB T

B

A

O O

C

T

D

AD = BC

OO T

D

C

B

A


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T.1. Teorema de PonceletEn todo tringulo rectngulo la suma de los catetos es igual a lahipotenusa ms el dimetro de la circunferencia inscrita.

T.2. Teorema de PITOTEn todo cuadriltero circunscrito a una circunferencia, la suma dedos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados.

T.3. Tringulo inscrito en una semicircunferenciaTodo tringulo inscrito en una semicircunferencia es un tringulorectngulo

12.6. CUADRILTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

P.82. En todo cuadriltero inscrito en una circunferencia los ngulosopuestos son suplementarios.

P.83. En todo cuadriltero inscrito en una circunferencia las diagonalesforman ngulos iguales con los lados opuestos.

AB + CD = BC +AC

C

B

AD

.O

AB + AC = BC + 2r

AB + AC = 2R + 2r

A

CB O

180

A

B C

D

O

A

rb c

CBO

OR


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65

12.7. NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y SU MEDIDA

12.7.1. ngulo central.Es el ngulo que tiene como vrtice el centro O de la circunferen-cia y como lados dos radios de la misma.

12.7.2. ngulo inscritoEs el ngulo que tiene su vrtice sobre la circunferencia y sus la-dos son dos cuerdas.

12.7.3. ngulo semi-inscritoEs el ngulo que tiene su vrtice sobre la circunferencia y sus la-dos son una cuerda y una tangente.

A

B C

DO

A

xB

C2

ACmx

O

2

ABmx

A

x

B

O

C

ABX

A

x BOC


66/148



12.7.4. InteriorEs el ngulo que tiene su vrtice dentro de la circunferencia y suslados son dos cuerdas que se cortan.

2

DCABx

12.7.5. ngulo exteriorEs el ngulo que tiene su vrtice fuera de la circunferencia y suslados son dos secantes o dos tangentes o una secante y una tan-gente.

12.7.6. ngulo e inscritoEs el ngulo que tiene su vrtice sobre la circunferencia y sus la-dos son una cuerda y una secante.

D

A

x

B CO

2

mAB m CDx

B

A

x

C

DPO

A

x

B

C2

m AB m BC x PO

A

x

B

2

ABACBx

PC

x + AB =180

O

A

x

B

2

BCmABmx

C

D

O


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67

12.8. SEMEJANZA DE TRINGULOS

T.4. Teorema de ThalesSi varias paralelas son cortadas por dos secantes cualesquiera, en-tonces las paralelas determinan en las secantes segmentos propor-cionales.

321L||L||L

EF

BC

DE

AB

Corolarios:

C.4.1. Toda paralela a un lado de un tringulo que interseca a los otrosdos lados, divide a estos lados en segmentos proporcionales

NC

AN

MB

AMBC||MN

C.4.2. Toda recta paralela a un lado de un tringulo que interseca a losotros dos lados determina sobre ellos segmentos que son propor-cionales a dichos lados.

AC

AN

AB

AMBC||MN

12.9. SEMEJANZA DE TRINGULOSDos tringulos son semejantes si sus ngulos respectivos son congruen-tes y sus lados correspondientes proporcionales.

ABC PQR A P ; B Q ; C R

PR

AC

QR

BC

PQ

AB

P R

Q

C

B

A

B

C

D

E

F

A L1

L3

L2

N

B

M

C

A

N

B

M

C

A


68/148


69/148


69

T.6. Teorema de CEVA

Sean CMyBP,AN , tres cevianas cualesquiera, del ABC, concurren-tes en el punto Q. Se cumple que:

AM x BN x CP = MB x NC x PA

T.7. Teorema de la bisectriz interior

En todo tringulo, una bisectriz cualquiera, determina sobre el ladoopuesto dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longi-tudes de los lados que concurren con dicha bisectriz.

m

n

c

a

ca

bcm

ca

ab

n

mnacx2

T.8. Teorema de la bisectriz exterior

m

n

c

a

b

nm

c a

B

CDA

x

N

M

Q

A C

An

m

ac

B

EC


70/148



T.9. Teorema del incentro.- En todo tringulo, el incentro divide a cada bi-sectriz, en dos segmentos, cuyas longitudes son proporcionales a lasuma de las longitudes de los lados que concurren con dicha bisectriz ya la longitud del tercer lado.

b

ca

ID

BI


1. En la figura mostrada AE=70. Entonces el valor de AB , es:P) 60Q) 80R) 50S) 70T) 100

RESOLUCIN:

Se traza DE y EC

35ADEm , PE = 70

70x140BE

Rpta: S

b

acI

B

CDA

BO

D

A

C

E

BO

D

A

C

Ex

70

35

7070

P


71/148


72/148



a

r

R

b

A

C

B

R

4. En la figura mostrada. El valor del ngulo PQR es:P) 100Q) 130R) 120S) 140

T) 150

RESOLUCIN:

I) se traza PB , BR

y BQ .a60Pm a80Rm

En el CuadrilteroPQRB:

bab80a60x 140x

Rpta: S5. Si los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a un tringulo rectngulo

miden 5m y 12m respectivamente. Entonces el permetro del tringulo rectngulo,es:P) 48m Q) 58m R) 52m S) 65m T) 70m

RESOLUCIN:Por el teorema de Ponceleta + b = 2(r + R)a + b = 34P = a+b+24 = 58

Rpta: Q

6. En un trapecio ABCD de base mayor AD, las diagonales se cortan en el punto F.Por F se traza una paralela al lado AB de modo que corta en el punto E al lado AD.Si AE = 2m y ED = 4m. Entonces el valor de BC es:

P) 1m Q) 1,5m R) 2m S) 2,5m T) 3mRESOLUCIN:

PFCAFEFP

EF

2x

2 (1)

DEFBPFEF

FP

4

2 (2)

P

A

B

C

60

80

P

Q

R

A

B

C

x

60

80a b

60-a 80-b

A

B C

DE

P

a c

b

b

a

F

c

c-a

2 4

2 x-2


73/148


73

De (1) y (2):2

4

2x

2 3x

Rpta: T

7. En un romboide ABCD se ubica P en la prolongacin del lado AB; PD corta al

lado BC y AC en los puntos Q y R respectivamente; tal que QR = 1m y RD = 3m.Entonces el valor de PQ es:P) 2 Q) 4 R) 5 S) 6 T) 8

RESOLUCIN:

i) DQCBPQm

BP

4

x

4

mxBP (1)

ii) DRCARP 3

4x

m

4

mxm

8x3

1x

4

4x

Rpta: T

8. En un tringulo ABC, se trazan las bisectrices BD y CF tal que2

3

ID

BI.

BF

AF. Sien-

do I el incentro del tringulo ABC. Entonces el valor deDC

AD, es:

P) 2/3 Q) 3/2 R) 3/4 S) 4/3 T) 1/2RESOLUCIN:

i)2

3

ID

BI.BF

AF .. (1)

ii)a

c

n

m

a

ca

n

nm

iii)nm

ca

ID

BI

De (ii)(iii):n

a

ID

BI

en (i)

a2

n3

x

y

2

3

n

a.x

y (2)

Tambin:a

nm

x

yen (2):

2

1

n

mnm2

a2

n3

a

nm

2

1

AC

AD

Rpta: T

A

B C

D

P

Q

a

a

b

b

c

c

d

d1R

3

x

mm

A D C

B

I

m n

F ac

x

y


74/148



A

B

C P

M N

L2 1 x

9. En un tringulo ABC se trazan las cevianas concurrentes AN, BL y CM. Tal que lasprolongaciones de MN y AC se cortan en P. Si AL = 2 y LC = 1. Entonces el valorde CP es:P) 2,5 Q) 2,8 R) 3 S) 3,2 T) 3,6

RESOLUCIN:

Por el teorema de CEVA:AM.BN.1 = MB.NC.2AM.BN = 2MB.NC (1)

Por el teorema de MENELAO:AM.BN.x = (x+3) .NC.MB

de (1)3x

MB.NC).3x(x.NC.MB2

Rpta: R

10. Las bases de un trapecio miden 8 y 12 metros respectivamente y los lados noparalelos no paralelos 10 metros. Entonces el permetro del menor tringulo que seforma al prolongar los lados no paralelos, es:P) 30m Q) 48m R) 40m S) 36m T) 21m

RESOLUCIN:BPCAPD

20aa

10a

8

12

488408a2P m

Rpta: Q

A D

CB

P

10

12

8

10

a a


75/148


75

D

A B

CO

T

PREGUNTAS PROPUESTAS N 121. En el grfico adjunto, ABCD es un cuadrado, T es punto de tangencia, la

ABTm , es:P) 30Q) 45

R) 60S) 37T) 53

2. En el grfico adjunto, P y Q son puntos de tangencia, el valor de x es: P) 20Q) 30

R) 36S) 45T) 35

3. Por el punto E exterior a una circunferencia de centro O, se traza la

secante EPQ , donde la parte exterior EP es igual al radio; y se traza tam-

bin EOR . Si la 25POEm entonces la medida del ngulo QOR es:P) 60 Q) 45 R) 63 S) 75 T) 80

4. Si los radios de dos circunferencias miden2

k5R ,

4

k3r y la distancia

entre los centros es3

k10d , entonces la posicin relativa de las dos cir-

cunferencias, es:P) Ortogonales Q) Concntricas R) Tangentes exteriores

S) Interiores T) Tangentes interiores

5. En un tringulo ABC se inscribe una circunferencia cuyo punto de tangen-

cia con BC es M. si AC=10 y el permetro del tringulo es 42, entonces elvalor de BM, es:P) 11 Q) 10 R) 9 S) 12 T) 13

F

Q

P

x3x


76/148



15

10

x

30

6. En la figura, O es centro y T es punto de tangencia, el valor de x es:P) 18Q) 16R) 26S) 32

T) 14

7. En un tringulo ABC la mediana AM interseca a la ceviana interior BS enel punto F. si AF=8; FM=2 y BS=6, entonces el valor de FS, es:P) 2,4 Q) 2,5 R) 2,6 S) 2,8 T) 1,8

8. En el grfico adjunto, APQR es un rombo, AB=2 y AC=3, el valor de PQ,es:P) 1,2Q) 1,3R) 1,4S) 1,5T) 1,6


P) 18 Q) 19 R) 20 S) 21 T) 22

B

A

P Q

CR

32

x

O

T

DC

B

A


77/148


77

D

R

QN

O

P

10. En un tringulo ABC, se traza la bisectriz interior CD , luego DM paralelo a

AC (M en BC ). Si AC=12 y BC=10, entonces el valor de DM, es:P) 60/11 Q) 6,5 R) 6 S) 5,5 T) 5

11. En el grfico adjunto, O es centro y la medida del arco NP es 140, laDRQm , es:

P) 16Q) 18R) 20S) 24T) 40

12.En la figura, O es centro, el valor de x es:P) 150Q) 120R) 135S) 105T) 165

13.En la figura mostrada, F y C son puntos de tangencia, la medida delarco BC es 32, el valor de x es:P) 16Q) 24R) 32S) 36T) 8

x

FD

C

B

A

10

x

O


78/148



QxCP

A

B

20

2a

x

45

C 3aD

B

A

14.En la figura, A, B y C son puntos de tangencia y mAB +mBC=160,entonces el valor de x es:P) 10Q) 15

R) 20S) 28

T) 40

15.En un cuarto de circunferencia de centro O y radios OByOA ; se toma el

punto E, luego se trazan OEBP,OEAH ( H y P son puntos de

OE ). Si AH=15 y BP=8 entonces el valor de EP es:P) 4 Q) 5 R) 1 S) 2 T) 3

16. En un tringulo ABC, se trazan la mediana BM y las bisectrices

MEyMD (D en AB y E en BC ). Si AC=40 y BM=30, entonces la longi-

tud de DE , es:P) 26 Q) 28 R) 18 S) 21 T) 24

17.En la figura, el valor de x es:P) 12Q) 11R) 13S) 11,5T) 12,5

18.En la figura; AP=3; PC=2, el valor de x, es:P) 8

Q) 10R) 12S) 9T) 10,5

B

xE

A

C


79/148


79

B

E

CD

A

19. En la figura, AD//BC , el valor de x, es:P) 19Q) 18R) 21

S) 22T) 20

20. En el grfico adjunto,3

4

BC

AC, BE=1 y AD=6, el valor de CE, es:

P) 9

Q) 8R) 7S) 5T) 6

21.Sea ABCD un cuadriltero inscrito en una circunferencia de centro O. si110Bm , entonces la ACOm , es:

P) 10 Q) 15 R) 20 S) 25 T) 30

22. Sea C1 y C2 dos circunferencias tangentes exteriores en P, desde unpunto exterior Q, se traza una tangente a cada circunferencia en T yS (T en C1 y S en C2). Si 80TQSm entonces la medida del ngu-lo agudo que forman las rectas PS y TP, es:P) 40 Q) 45 R) 50 S) 55 T) 60

23. En el grfico adjunto, el valor de x es:P) 18Q) 20

R) 22S) 24T) 26

x

B

P

C

O3

A D

4

r

r

5x


80/148



A

D

E

C

B F

G

A

N1

CxMx

8

B

24. En el grfico adjunto, AE es dimetro y N es punto de tangencia, el valorde x es:P) 18Q) 16

R) 14S) 20T) 24

25. En el grfico adjunto, si 10BACm y la medida del arco DE es 32;

adems FCAB , la medida del arco FG, es:P) 48

Q) 32R) 52S) 38T) 58

26. En un tringulo ABC, la ceviana AR corta a la bisectriz interior BD en elpunto M. Si BR=2, RC=12 y BM=MD, entonces el valor de AB es:P) 2 Q) 2,4 R) 2,6 S) 2,8 T) 3,2

27. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, la altura BH interseca a labisectriz exterior del ngulo C en Q, tal que AB=8 y BC=6, el valor deBQ, es:P) 14 Q) 15 R) 11 S) 10 T) 12

28. En el grfico adjunto, el valor de x, es:P) 4Q) 5R) 6S) 7T) 8

A

2x

B

N

O ECx


81/148


81

29. en un tringulo ABC, la prolongacin de la bisectriz interior BD , corta a lacircunferencia circunscrita en el punto E. si BD=16 y DE=9, el valor de

AE, es:P) 10 Q) 15 R) 12 S) 13 T) 16

30. en el grfico adjunto, MC||EN,AC||MN , AM=6 y ME=4, el valor de BE,es:P) 7Q) 5R) 4S) 9T) 8

M

E

N

B

CA


82/148



13.1. RELACIONES MTRICAS EN UN TRINGULO RECTNGULO

13.2. PROPIEDADES

P.85. En todo tringulo rectngulo, la longitud de un cateto es media propor-cional entre la longitud de su proyeccin sobre la hipotenusa y la longi-tud de dicha hipotenusa.

P.86. En todo tringulo rectngulo, la longitud de la altura relativa a la hipo-tenusa es media proporcional entre las longitudes de los segmentosdeterminados por la altura sobre dicha hipotenusa.

P.87. En todo tringulo rectngulo, el producto de las longitudes de los cate-tos, es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa por la alturarelativa a ella.

P.88. En todo tringulo rectngulo, la suma de los cuadrados de las longitu-des de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.

b.na2

b.mc2

n.mh2

a.c = b.h

222cab

UNIDAD

13 RELACIONES MTRICAS EN EL TRINGULO

A

h

mb

c a

H C

B

n


83/148


83

P.89. En todo tringulo rectngulo, la suma de las inversas de los cuadradosde las longitudes de sus catetos es iguala la inversa del cuadrado delas longitudes de la altura trazada a la hipotenusa.

13.3. RELACIONES MTRICAS EN TRINGULOS OBLICUNGULOS

T.10. En todo tringulo oblicungulo el cuadrado de la longitud del lado que seopone a un ngulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las lon-gitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de la longitudde uno de los lados por la longitud de la proyeccin del otro lado sobre es-te.

T.11. En todo tringulo oblicungulo, el cuadrado de la longitud del lado que seopone a un ngulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las lon-gitudes de los otros dos lados ms el doble del producto de la longitud deuno de estos lados por la proyeccin del otro lado sobre este.

T.12. Frmula de HernSe utiliza para calcular la longitud de la altura de un tringulo en funcinde las longitudes de los lados del tringulo.

222h

1

c

1

a

1

mb22

c2

b2

a

C

mAH

c

b

a

B

mb2cba222

b

A

c a

m HC

B


84/148



Si: p =2

cba( p : semipermetro )

T.13. Teorema de la MedianaEn todo tringulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de dos la-

dos es igual a dos veces el cuadrado de la longitud de la mediana traza-da al tercer lado ms la mitad del cuadrado de la longitud del tercer lado.

2

bBM2ca

2222

T.14. Teorema de STEWARTEste teorema se usa para calcular la longitud de cualquier ceviana en fun-cin de las longitudes de los lados del tringulo y las de las longitudes delos segmentos que determinan dicha ceviana sobre el tercer lado.

mnbn.cm.a)BD(b222

A

B

a

b

ch

CH

)cp)(bp)(ap(pb

2h

c

C

B

A

a

Db

m n

B

c

CA

a

M

b


85/148


85

T.15. Teorema de la proyeccin de la MedianaEn todo tringulo, la diferencia de los cuadrados de las longitudes de doslados es igual al doble producto de la longitud del tercer lado por la pro-yeccin de la mediana sobre el tercer lado.

MH.b2ca22

T.16. Teorema de EulerEn todo cuadriltero se cumple:Si AM = MC; BN = ND entonces:

2222222BDACMN4dcba

C

c

B

A

a

Mb/2

Hb/2

C

d

B

D

A

c

b

aN

M


86/148



PREGUNTAS RESUELTAS N13

1. En un tringulo ABC, AB = 2, BC = 3 y AC = 4, se traza la cevianaBD tal queDC = 3, el valor de BD es:P) 1,5 Q) 2,2 R) 3,2 S) 1,6 T) 7

RESOLUCIN:

Por el T. de Stewart:)4)(3)(1()3)(4()1)(9(x4

2

5,12

3x

Rpta: P

2. Los lados de un romboide miden 20y12 . Si la diagonal menor mide 28 ,

entonces la medida de la diagonal mayor es:P) 3 Q) 4 R) 8 S) 6 T) 9RESOLUCIN:

Como: 7228BD , se tiene que

BO = OD = 7

En el ABC por el T de la mediana:2

x2)7(22012 3x Luego: AC = 2x = 6

Rpta: S

3. En un cuadriltero ABCD, recto en C. Si AB = 13; BC = 20; CD = 10 y AD = 17

entonces la longitud de la proyeccin de AD sobre la recta AB es:P) 20/13 Q) 21/13 R) 15/17 S) 10/13 T) 20/17

RESOLUCIN:

En el RBCD: BD = 400 100 10 5

En el BAD: 2 2 2(10 5) 13 17

Entonces es obtusoPor el T. de Euclides en el BAD:

2 2 2(10 5 ) 13 17 2(13)(x) 21

x13

Rpta: Q

12

20

7

A

B C

D

7

7O

A

B

CD

2

1

x3

3

x

x

A

B C

D

x

13

20

17

1010 5


87/148


87

4. En un tringulo ABC, AC = 4 73 , se traza la mediana BM y la perpendicular

AH a dicha mediana. Si AH = 16 entonces la medida de CH , es:P) 10 Q) 12 R) 18 S) 20 T) 22

RESOLUCIN:

i)2 2

HM 4(73) 16 HM 6

ii) 2 2 216(73)

x 16 2(6)2

x = 20

Rpta: S

5. En la figura adjunta. Si AM = MC y AB = 2 entonces el valor de AQ es:P) 1 Q) 5 R) 3 S) 4 T) 2

RESOLUCIN:Por relaciones mtricas se tiene:

2AB AH. AC

4 AH.b (1)

En el RAQM:

2 2 bAQ AH. AM x AH.2

(2)

De (i) en (ii):2

2 2x x 22

Rpta: T

6. En la figura mostrada AB=6, BP=3 y PC=7, el valor de PM es:P)Q)R)

S) 2T) 3

A

B

C

H

16 x6

2 73 2 73

AB

C

M

A

B

C

Q

H M


88/148



RESOLUCIN:

Se prolonga CB hasta R con

ARCR

En el RARC: PM base media

PR = 7 BR = 4

En el RARB: 5246RA22

5x

Rpta: P

7. En un tringulo ABC las medianas BNyAM son perpendiculares. Si AC = 48

y BC = 32 , la longitud de la tercera mediana es:

P) 8 Q) 6 R) 4 S) 10 T) 12RESOLUCIN

Por el T. de la mediana:

2

AB)CR(2ACBC

2222

22x2)x9(24832

2x Luego: CR = 6

Rpta: Q

8. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, la mediatriz de AC corta a BC en el

punto F. Si BF = 3 y FC = 5, la medida de AB es:

P) 6 Q) 4 R) 8 S) 3 T) 3 3

RESOLUCIN:

Se traza AF , el AFC es issceles

FH es Mediatriz y medianaAF = 5En el

RABF (37; 53):

AB = 4

Rpta: Q

AB

P

C

M7

3

4

R

6

x

52

A

B

C

M

N

RO

x

x

x 2x

48

32

A

B

C

F

H

x5 5

35


89/148


89

B

CM A

B

CM A H

13 15

xx - 14

14

9

12

9. Si las bases de un trapecio miden 2 y 10, sus lados no paralelos miden 6 y 8, en-tonces la suma de los cuadrados de las diagonales es:P ) 100 Q) 150 R) 120 S) 140 T) 130

RESOLUCIN:

Se trazan CD||BFyBA||CE :

CE = 6, BF = 8, AE = 2 y FD = 2En el ACD (T. de Stewart):10(6)2 = (8)2.2 + x2.10 (10)(2)(8) x2 = 49En el ABD (T. de Stewart):10(8)2 = y

2(8) + 62(2)-(2)(8)(10) y2 = 91Luego: x2 + y2 = 140

Rpta: S10. En la figura AB = 13, BC = 15 y AC = 14, el valor del dimetro MC es:

P) 20Q) 22R) 25S) 24T) 23

RESOLUCIN:

Se trazan: BHyMB Por el T. de Hern:

12)6)(7)(8(21142BH

En elR

BHC

HC = 9Por relaciones Mtricas

25x)x()9(152

Rpta: R

A

B C

6 8

6

x y

2 2

2

E F

6 8


90/148


91/148


91

ND

A

B C

M

10. En el grfico adjunto, ABCD es un cuadrado y49

1

BN

1

BM

1

22, entonces el

valor de AB, es:P) 5Q) 6R) 7S) 8T) 9

11. En un cuadrado ABCD se ubican los puntos medios E de AB y F de EC . Si

134AB , entonces el valor de DF, es:

P) 13 Q) 26 R) 37 S) 13 T) 132

12. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se trazan la altura BH y la bisectriz

interiorAD que se intersecan en E. si AD.ED=100 entonces el valor de BE, es:

P) 28 Q) 35 R) 25 S) 10 T) 5

13. Si la base de un tringulo issceles mide 19 ms que la altura trazada al lado des-igual y si la altura es excedida por los lados iguales en 8, entonces el mayor valorde la altura, es:

P) 26 Q) 20 R) 31 S) 21 T) 15

14. En un tringulo acutngulo ABC, se trazan las alturas CQyAH . Si 28AQ.AB

y 36CH.CB , entonces el valor de AC, es:P) 12 Q) 5 R) 8 S) 9 T) 14

15. En un rombo la suma de las longitudes de sus diagonales es 70 y el radio de lacircunferencia inscrita es 12, la medida del lado del rombo, es:P) 20 Q) 22 R) 24 S) 25 T) 26

16. En un tringulo ABC, recto en B, se traza la altura BH , luegoBCHFyABHE (E en AB y F en BC ). Si AE=2 y FC=16 entonces el valor

de (EB.)(BF), es:P) 32 Q) 33 R) 34 S) 35 T) 36


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Universidad Nacional San Luis Gon

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Módulo Geometrìa 2013